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Introdução ao escoamento compressível Matéria
Velocidade das ondas de pressão no interior de condutas
Variação de massa específica associada à variação de energia cinética
Revisões de Termodinâmica Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao veio
Entalpia e temperatura de estagnação Exemplo Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
Introdução ao escoamento compressível Matéria (cont.)
Velocidade do som Condições críticas Evoluções em função do número de Mach Equações para regime compressível
unidimensional Transferência de calor em condutas de secção
constante Exemplo.
Fluido já afectado pelo movimento do êmbolo
Fluido ainda não afectado pelo movimento do êmbolo
Velocidade das ondas de pressão (I)
pV ,0
Êmbolo desloca-se com velocidade dV durante o intervalo
de tempo dt
dppdV ,
Onda de pressão de velocidade c
cdt
Qual a velocidade do som (onda de pressão) c?
dVdt
Fluido não afectado pelo movimento do êmbolo
Velocidade das ondas de pressão (II)
,, pc
Onda de pressão de velocidade estacionária
Vdt
Num referencial fixo à frente de onda (para tornar o problema estacionário)
12
Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: dVcAdAc c
ddV
Balanço de quantidade de movimento ao VC:
sqmeqmxxVC
xxqqF
t
K
ddppdVc ,,
Fluido afectado pelo movimento do êmbolo
x
22
32
cd
dd
dp
Velocidade das ondas de pressão (III)
Vdt
12
Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: cd
dV
Balanço de quantidade de movimento ao VC: eqmsqmx xx
qqF
ddppdVc ,, ,, pc
AdpppA AdVcd 2 2dVA
ddVcAcdVdAdVAAdp 222 2
s
p
d
dpc
x
No caso dos líquidos, introduzindo o módulo de expansão volumétrica:
Velocidade das ondas de pressão (IV)
d
dp
dv
dpvEv
d
dpc
vE
c E v c
Líquidos kg/m3 Pa m/sÁgua 988 2,07E+09 1447Mercúrio 13550 2,62E+10 1391Glicerina 1258 4,35E+09 1860Benzina 895 1,03E+09 1073
Condições para pressão e temperatura normais
Caso de líquidos em tubagens elásticas:
Velocidade das ondas de pressão (V)
EE
ed
ccv
p
1
1
Condições para água a PTN e d/e=10
d – diâmetro do tubo
e – espessura do tubo
E – módulo de elasticidade do material do tubo
c – velocidade num tubo inelástico
E c p /cMaterial Pa
Aço 2,07E+11 0,95Ferro forjado 1,03E+11 0,91Betão 2,07E+10 0,71
Velocidade das ondas de pressão (VI)
kp
RTc
No caso de gases perfeitos, p=RT, em evoluções isentópricas (=cp/cv):
s
pc
RTpp
s
Para o ar ( =1,4; R =287 J/kg/K) em condições PTN: c = 343 m/s
Introdução ao escoamento compressível
Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética:
2
2Vp
Equação de Bernoulli:
2V pelevados elevados
= (T,p)
significativos Efeitos de compressibilidade
Importância do termo
p
2
1
a a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)
Introdução ao escoamento compressível Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível
V e p
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli(ou de quantidade de movimento)
V, p, e T
Equação da continuidade
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.): RTp
Novos parâmetros: a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)
Revisão de Termodinâmica
Algumas definições: Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura). Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final. Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior. Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).
Leis da Termodinâmica: 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia. 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo) Equação de energia para escoamentos unidimensionais:
QWmgyV
hmgyV
hdV
ut veio
entk
ksaídai
iVC
222
222
Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:
qV
hV
h
1
2
2
2
22
2ª Lei da Termodinâmica
Num processo real a entropia s varia de modo a que;
T
dqds irrevrev dsdsds
s e q expressos por unidade de massaT
dq
Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0
Gases perfeitos
Equação de estado: comRTp MR R
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)
e ainda:
dTcdh
dTcdu
p
v
vp
vp
ccR
cc
Evoluções isentrópicas:1
1
2
1
1
2
1
2
p
p
T
T
varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água =1,33.
1
R
cp
Número de Mach, M
som do velocidade
fluido do velocidade
a
VM
M
p
V
M
p
V
2
22
Lp
LV
elálásti forçoinércia de forçoForça de inércia
Força elástica
3
32
Lp
LV
elálásti energiacinética energiaEnergia cinética
Energia elástica
aRTp
s
para um gás perfeito
2
2
0
Vhh
qhh 1020
Entalpia de estagnação adiabática:
Equação de energia: qV
hV
h
1
2
2
2
22
Num escoamento adiabático (q = 0): .2
2
0 cteV
hh
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática
Entalpia de estagnação adiabática
Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação adiabática
pc
VTT
2
2
0
qhh 1020
.2
2
0 cteV
hh
Para um gás perfeito: dTcdh p
Num escoamento adiabático:
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática
Equação da energia:pc
qTT 1020
.2
2
0 ctec
VTT
p
p0=84 kPa
V
p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot.
Exemplo
Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
pc
qTT 1020Equação da energia:
.2
2
0 ctec
VTT
p
1 0
pc
VTT
2
21
10 11 2 TTcV op
Evolução isentrópica:
1
11
p
p
T
T oo
K 9,2340 TK 223502731 T m/s 1541 VResultados:
0q
?
Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M Temperatura de estagnação, T0:
pc
VTT
2
2
0
Tc
VTT
p21
2
0
RT
VTT
2
0 2
11
2a
20 2
11 MTT
1
R
cp
Condições críticas (M=1)
Para M=1
2
110
TT
20 2
11 MTT
1
0 2
1
T
T
aRT
V1
2 0
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
a* é a velocidade do som crítica
Equações a utilizar em escoamento compressível
Equação da energia:pc
qTT 1020
Equação da continuidade:
Equação de estado:
Equação do número de Mach:
pc
dqdT 0
.cteAV 0V
dV
A
dAd
RTp 0T
dTd
p
dp
a
VM 0
V
dV
a
da
M
dM
Equações a utilizar em escoamento compressível
AVdVd
dxVfdAAdpppdApA
2
2
Equação da quantidade de movimento:
12 xxx VVmF
02
2
d
dx
A
Mf
RT
VdV
p
dp
V V+dVA, p,
A+dA
p+dp
+d
(escoamento sem mudança de direcção)
RTp
1
p
pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Equação da energia:pc
dqdT 0
dq
Vp,
V+dV p+dp+d
pc
VdVdTdT 0
Definição de temperatura de estagnação:
T+dTT0+dT0
M+dM
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante Equação da continuidade: 0
V
dV
A
dAd
Equação de estado: 0T
dTd
p
dp
Eq. número de Mach: 0V
dV
a
da
M
dM
02
2
d
dx
A
Mf
RT
VdV
p
dp Eq. da quant. movimento:(desprezando o atrito)
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante 6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações
Solução: pc
dqM
V
dV
T
dT 20 1
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?
2
22es
esp
VVTTcq
q
M=0,3T=250 K
saída
121436 smkgA
m
ss RTV ssVA
m
sss RTp maxQ 1sM
Qual a equação que falta?
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?
smRTMV eee 95
q
M=0,3T=250 K
saída
121436 smkgA
m
315 mkgV
Am
ee
PaTRp eee 1083628
eses VVA
mpp
22eesse VVp
sRT
2eesses VRTpp
sp
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
PaVp
p eees 507918
1
2
39,2 mkgRT
p
s
ss
smAm
Vs
s 495
M=0,3T=250 K
saída
121436 smkgA
m
sssss AV
mRTRTp
ss
RT
A
mp
KTs 610
KgKJVV
TTcq esesp 4,479
2
22
sss RTVM 1
2eesses VRTpp
sp
Introdução ao escoamento incompressível Bibliografia
Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999.
Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.
Secções 10.1 e 10.2, L. A. Oliveira, A. G. Lopes, Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, ETEP, 2007