introducao ao escoamento compressivel
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Introducao ao escoamento compressivelTRANSCRIPT
Introdução ao escoamento incompressível
Matéria Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética Revisões de Termodinâmica Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao veio
Entalpia e temperatura de estagnação Exemplo Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
Introdução ao escoamento incompressível
Matéria Condições críticas Evoluções em funão do número de Mach Equações para regime compressível unidimensional Transferência de calor em condutas de secção
constante Exemplo.
Introdução ao escoamento compressível
Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética:
2
2Vp
∆−=∆ ρEquação de Bernoulli:
2V∆ p∆elevados elevados
ρ∆
ρ = ρ (T,p)
significativos Efeitos de compressibilidade
Importância do termo
p∂∂ρ
2
1
a= a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)
Introdução ao escoamento compressível
Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível
V e p
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli(ou de quantidade de movimento)
V, p, ρ e T
Equação da continuidade
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.): RTp ρ=
Novos parâmetros: a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)
Revisão de Termodinâmica
Algumas definições: Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura). Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final. Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior. Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).
Leis da Termodinâmica: 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia. 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo)
Equação de energia para escoamentos unidimensionais:
QWmgyV
hmgyV
hdV
ut veio
entk
ksaídai
iVC
+=
++−
+++
+
∂∂ ∑∑∫∫∫ 222
222
ψρ
Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:
qV
hV
h =
+−
+
1
2
2
2
22
2ª Lei da Termodinâmica
Num processo real a entropia s varia de modo a que;
T
dqds > ( ) ( ) irrevrev dsdsds +=
s e q expressos por unidade de massaT
dq
Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0
Gases perfeitos
Equação de estado: comRTp ρ= MR R=
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)
e ainda:
dTcdh
dTcdu
p
v
==
vp
vp
ccR
cc
−=
=γ
Evoluções isentrópicas:1
1
2
1
1
2
1
2
−−
=
=
γγ
γ
ρρ
p
p
T
T
γ varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água γ =1,33.
1−=
γγR
cp
Número de Mach, M
som do velocidade
fluido do velocidade==a
VM
( ) Mp
V =∂∂
=ρ
( ) Mp
V =∂∂
=ρ
( ) 2
22
Lp
LV
ρρρ
∂∂=
elálásti forçoinércia de forçoForça de inércia
Força elástica
( ) 3
32
Lp
LV
ρρρ
∂∂=
elálásti energiacinética energiaEnergia cinética
Energia elástica
2
2
0
Vhh +=
qhh =− 1020
Entalpia de estagnação adiabática:
Equação de energia: qV
hV
h =
+−
+
1
2
2
2
22
Num escoamento adiabático (q = 0): .2
2
0 cteV
hh =+=
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática
Entalpia de estagnação adiabática
Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação adiabática
pc
VTT
2
2
0 +=
qhh =− 1020
.2
2
0 cteV
hh =+=
Para um gás perfeito: dTcdh p=
Num escoamento adiabático:
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática
Equação da energia:pc
qTT =− 1020
.2
2
0 ctec
VTT
p
=+=
p0=84 kPa
V
p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot.
Exemplo
Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
pc
qTT =− 1020Equação da energia:
.2
2
0 ctec
VTT
p
=+=1 0
pc
VTT
2
21
10 += ( )11 2 TTcV op −=
Evolução isentrópica:γ
γ 1
11
−
=p
p
T
T oo
K 9,2340 =TK 223502731 =−=T m/s 1541 =VResultados:
0=q?
Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M
Temperatura de estagnação, T0:pc
VTT
2
2
0 +=
+=
Tc
VTT
p21
2
0
( )
−+=RT
VTT
γγ 2
0 2
11
2a
( )
−+= 2
0 2
11 MTT
γ
1−=
γγR
cp
=p
Condições críticas (M=1)
Para M=1 ( )
−+=
2
110
γTT( )
−+= 2
0 2
11 MTT
γ
( ) 1
0 2
1−∗
+= γ
T
T
∗∗ =+
= aRT
V10
γγ
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
a* é a velocidade do som crítica
Equações a utilizar em escoamento compressível
Equação da energia:pc
qTT =− 1020
Equação da continuidade:
Equação de estado:
Equação do número de Mach:
pc
dqdT =0
.cteAV =ρ 0=++V
dV
A
dAd
ρρ
RTp ρ= 0=−−T
dTd
p
dp
ρρ
a
VM = 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
Equações a utilizar em escoamento compressível
( ) ( ) AVdVd
dxVfdAAdpppdApA ρρ =−++−+2
2
Equação da quantidade de movimento:
( )12 xxx VVmF −=
02
2
=−+d
dx
A
Mf
RT
VdV
p
dp γ
V V+dVA, p, ρ
A+dA
p+dp
ρ+dρ
(escoamento sem mudança de direcção)
RTp
1=ρ
p
pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Equação da energia:pc
dqdT =0
dq
Vp, ρ
V+dV p+dpρ+dρ
pc
VdVdTdT +=0
Definição de temperatura de estagnação:
T+dTT0+dT0
M+dM
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Equação da continuidade: 0=++V
dV
A
dAd
ρρ
Equação de estado: 0=−−T
dTd
p
dp
ρρ
Eq. número de Mach: 0=−+V
dV
a
da
M
dM
02
2
=−+d
dx
A
Mf
RT
VdV
p
dp γ Eq. da quant. movimento:(desprezando o atrito)
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equações
Solução: ( )pc
dqM
V
dV
T
dT =−= 20 1
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?
smRTMV eee 95== γ
q
M=0,3T=250 K
saída
121436 −= smkgA
m
315 mkgV
Am
ee ==
ρ PaTRp eee 1083628== ρ
( )eses VVA
mpp −−=
( )22eesse VVp ρρ −−=
sRTγ
( )2eesses VRTpp ργρ −−=
sp
Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante
PaVp
p eees 507918
1
2
=+
+=γ
ρ
39,2 mkgRT
p
s
ss ==ρ
smAm
Vs
s 495==ρ
M=0,3T=250 K
saída
121436 −= smkgA
m
ss
s
ss AV
mRT
RTp
== ρ
γs
s
RT
A
mp
= KTs 610=
( ) KgKJVV
TTcq esesp 4,479
2
22
=−+−=
( )sss RTVM γ== 1
( )2eesses VRTpp ργρ −−=
sp
Introdução ao escoamento incompressível
Bibliografia Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999.
Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.