Introducción a la estadística de distribuciones

Laboratorio de Mecánica y TermodinámicaCátedra: Prof. Ana Amador

Docentes del Laboratorio

Gustavo Grinblat

Jorge Alliende

Federico Petrovich

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.

• Denotamos como 𝑛𝑗 al número de elementos contenidos en el j-ésimo intervalo.

Función de distribución y densidad de probabilidad

• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.

• Denotamos como 𝑛𝑗 al número de elementos contenidos en el j-ésimo intervalo.

𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1

Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1

Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1

• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗

𝑁

Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1

• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗

𝑁(σ𝑗=1

𝑚 𝑓𝑗 = 1 → la función está normalizada)

𝑓 se denomina también frecuencia de ocurrencia.

Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7

N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51

m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |

𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1

• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗

𝑁(σ𝑗=1

𝑚 𝑓𝑗 = 1 → la función está normalizada)

𝑓 se denomina también frecuencia de ocurrencia.

• Densidad de probabilidad: d𝑗 =𝑓𝑗

𝑎

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

• Media: Es el valor medio: തx = 𝑥 =1

𝑁σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖

• Moda: Valor de 𝑥 donde está la máxima frecuencia

• Mediana: Valor de 𝑥 que divide a la primera mitad de los valores, de la segunda mitad.

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

• Varianza: σ𝑥2 =

1

𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

• Varianza: σ𝑥2 =

1

𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2

𝑁′ = 𝑁 si se trata de la población total𝑁′ = 𝑁 − 1 si se trata de una muestra de la población

Elaboración de un histograma

Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1

2

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

n

x

• Varianza: σ𝑥2 =

1

𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2

𝑁′ = 𝑁 si se trata de la población total𝑁′ = 𝑁 − 1 si se trata de una muestra de la población

• Desviación estándar: 𝜎𝑥

Ancho óptimo del sub-intervaloUn ancho demasiado pequeño o demasiado grande impide observar el patrón subyacente.

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

Ancho óptimo del sub-intervaloUn ancho demasiado pequeño o demasiado grande impide observar el patrón subyacente.

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60

1

2

3

4

5

n

x

Ancho de columna a considerar1: 𝑎 = 3.5𝜎𝑥𝑁−1

3

1David W. Scott, Biometrika, Vol. 66, No. 3 (Dec., 1979), pp. 605-610

Evolución de una distribución según el valor de N

Lanzamos un dado N = 10 veces

Medimos el periodo de un faroN = 10 veces

Evolución de una distribución según el valor de N

Lanzamos un dado N = 10 veces

Medimos el periodo de un faroN = 10 veces

40

30

20

10

0

Frec

uen

cia

de

ocu

rren

cia

(%)

Den

sid

ad d

e p

rob

abili

dad

(s-1

)

Evolución de una distribución según el valor de N

Lanzamos un dado N = 100 veces

Medimos el periodo de un faroN = 100 veces

Frec

uen

cia

de

ocu

rren

cia

(%)

40

30

20

10

0

Den

sid

ad d

e p

rob

abili

dad

(s-1

)

Evolución de una distribución según el valor de N

Lanzamos un dado N = 1000 veces

Medimos el periodo de un faroN = 1000 veces

40

30

20

10

0

Frec

uen

cia

de

ocu

rren

cia

(%)

Den

sid

ad d

e p

rob

abili

dad

(s-1

)

Evolución de una distribución según el valor de N

Lanzamos un dado N = 10000 veces

Medimos el periodo de un faroN = 10000 veces

40

30

20

10

0

Frec

uen

cia

de

ocu

rren

cia

(%)

Den

sid

ad d

e p

rob

abili

dad

(s-1

)

Distribuciones de probabilidad

Todas las posibilidades tienen igual probabilidad

Distribución normal ogaussiana

40

30

20

10

0

Frec

uen

cia

de

ocu

rren

cia

(%)

Den

sid

ad d

e p

rob

abili

dad

(s-1

)

Distribución gaussiana

𝑓(𝑥) =1

2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 −

(𝑥 − 𝑥𝑐)2

2𝜎2

Función gaussiana

Distribución gaussiana

𝑓(𝑥) =1

2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 −

(𝑥 − 𝑥𝑐)2

2𝜎2

Función gaussiana

• 𝑥𝑐: centro de la distribución

• 𝜎 : Medida del ancho de la distribución

• 2𝜎 contiene el 68.3% de los valores

• 4𝜎 contiene el 95.5% de los valores

• 6𝜎 contiene el 99.7% de los valores

Distribución gaussiana

Variando 𝑥𝑐y 𝜎

𝑥𝑐 =0𝜎= 2

𝑥𝑐=5𝜎= 3

𝑥𝑐 =2𝜎= 1

𝑥

• 𝑥𝑐: centro de la distribución

• 𝜎 : Medida del ancho de la distribución

• 2𝜎 contiene el 68.3% de los valores

• 4𝜎 contiene el 95.5% de los valores

• 6𝜎 contiene el 99.7% de los valores

Existen otras distribuciones

Distribución binomial Distribución de Poisson Distribución exponencial

Error de una magnitud según cuántas veces se mide

• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1

𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2 =𝜎𝑥

𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)

Error de una magnitud según cuántas veces se mide

• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1

𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2 =𝜎𝑥

𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)

Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%

Error de una magnitud según cuántas veces se mide

• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1

𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2 =𝜎𝑥

𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)

• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐

2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2

Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%

Error de una magnitud según cuántas veces se mide

• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1

𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2 =𝜎𝑥

𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)

• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐

2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2

• Si a mayor N, menor 𝜎𝑒𝑠𝑡 ¿Cuántas veces tiene sentido medir?

Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%

Error de una magnitud según cuántas veces se mide

• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1

𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)

2 =𝜎𝑥

𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)

• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐

2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2

• Si a mayor N, menor 𝜎𝑒𝑠𝑡 ¿Cuántas veces tiene sentido medir?

Un criterio sería medir tantas veces como para conseguir al menos 𝜎𝑒𝑠𝑡 𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%

Discrepancia y promedios pesados

• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1

• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2

Discrepancia

Discrepancia y promedios pesados

• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1

• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1

2 + ∆𝑋22

Discrepancia

Discrepancia y promedios pesados

• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1

• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1

2 + ∆𝑋22

𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%

𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%

Discrepancia

Discrepancia y promedios pesados

• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1

• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1

2 + ∆𝑋22

𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%

𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%

Discrepancia

Promedio pesados entre L mediciones independientes con su error

𝑥 𝑝 = 𝜎 𝑥 𝑝

2

𝑘=1

𝐿𝑥𝑘

𝜎𝑘2

Discrepancia y promedios pesados

• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1

• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1

2 + ∆𝑋22

𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%

𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%

Discrepancia

Promedio pesados entre L mediciones independientes con su error

𝑥 𝑝 = 𝜎 𝑥 𝑝

2

𝑘=1

𝐿𝑥𝑘

𝜎𝑘2

1

𝜎 𝑥 𝑝

2 =

𝑘=1

𝐿1

𝜎𝑘2

𝑥 𝑝: promedio pesado de 𝑥

𝜎 𝑥 𝑝: Error del promedio pesado