introducción a los espacios de sobolev

Introduccion a los Espacios deSobolev

Mariana Forastieri

Analisis Funcional

Indice

1. Motivacion 4

2. Preliminares 42.1. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Espacios Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Teorema de representacion de Riesz-Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Los espacios Lp 73.1. Reflexibilidad, separabilidad y Dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Soportes en la convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4. Sucesiones regularizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimension uno 154.1. Definicion de los espacios W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Propiedades fundamentales del espacio W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3. Los espacios Wm,p(I) y el espacio W 1,p

0 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. El espacio dual de W 1,p

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5. Un ejemplo de problema de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

INDICE 3

NOTACION

L(E,F ) operadores lineales y continuos de E en F

E∗ dual topologico de E, i.e. funcionales continuos de E

Ckc (Ω) funciones con derivadas continuas hasta orden k y soporte compacto en Ω, k ≥ 0

C∞c (Ω) =⋂k Ck

c (Ω)

IE operador identidad del espacio E

Lp = Lp(Ω,Σ, µ) =u : Ω→ R/u medible en Ω y

∫Ω|u(t)|p dµ(t) <∞

1 ≤ p <∞

L∞ = L∞(Ω,Σ, µ)=u : Ω→ R/u es medible en Ω y existe C tal que |u(t)| ≤ C, c.t.p. en Ω

1K funcion caracterıstica del conjunto K (toma el valor 1 en K y 0 en el resto de sudominio )

|K| medida del conjunto K.

BE Bola cerrada y unitaria del espacio normado E.

B(0, r) Bola abierta centrada en 0 y de radio r.

Suppf Soporte de la funcion f.

Dkf = ∂α1

∂xα11

∂α2

∂xα22... ∂

αN

∂xαNN

f , para f definida en Ω ⊂ RN y α1 + α2 + ...+ αN = k

W 1,p, W 1,p0 , Wm,p, H1, H1

0 , Hm Espacios de Sobolev

∂A Frontera del conjunto A.

4 Preliminares

1. Motivacion

Dada f ∈ C([a, b]), consideremos el problema de valores iniciales−u′′ + u = f en [a, b] (1)u(a) = u(b) = 0

Una solucion clasica (o solucion fuerte) del mismo es una funcion u, de clase C2 en [a, b],que lo verifica. Por supuesto, se lo puede resolver con un calculo sencillo, pero aquı usaremosesta ecuacion ordinaria como ejemplo simple del metodo de resolucion que sigue el enfoquevariacional de la teorıa de ecuaciones en derivadas parciales, cuya herramienta fundamentalson los espacios de Sobolev. Para nuestro problema bastara considerar dichos espacios parafunciones definidas en algun intervalo real.Si se multiplica (1) por una funcion ϕ cualquiera, ϕ ∈ C1([a, b]) tal que ϕ(a) = ϕ(b) = 0, yluego se integra por partes, obtenemos

−∫ b

a

ϕu′′dx+

∫ b

a

ϕudx =

∫ b

a

ϕfdx

⇔∫ b

a

ϕ′u′dx− ϕu′|ba +

∫ b

a

ϕudx =

∫ b

a

ϕfdx

⇔∫ b

a

ϕ′u′dx+

∫ b

a

ϕudx =

∫ b

a

ϕfdx ∀ϕ (2)

Observese que (2) tiene sentido si u ∈ C1([a, b])1, contrariamente a (1), que supone u deri-vable dos veces. Digamos provisionalmente, que una funcion u de clase C1que verifica (2) esuna solucion debil de (1).En nuestro estudio precisaremos la nocion de solucion debil, estableceremos la existenciay unicidad de una solucion debil, demostraremos que es de clase C2 (por lo menos) y porultimo probaremos que toda solucion debil de clase C2 es solucion clasica.

2. Preliminares

2.1. Isomorfismos

Definicion 2.1. Un isomorfismo entre dos espacios normados E y F es un operador T ∈L(E,F ) biyectivo tal que T−1 ∈ L(F,E).

Un isomorfismo es entonces, una biyeccion que conserva la estructura algebraica y tambien,como demuestra la siguiente proposicion, la estructura topologica.

Proposicion 2.2. Sean E y F dos espacios normados. Sea T ∈ L(E,F ) un isomorfismoentre ellos y sean M = ‖T‖ y m = ‖T−1‖−1

. Entonces :

m ‖x‖E ≤ ‖Tx‖F ≤M ‖x‖E ∀x ∈ E

Demostracion. Dado cualquier x ∈ E1En realidad bastarıa con tener u, u′ ∈ L1(a, b)

Preliminares 5

‖x‖E = ‖T−1(Tx)‖E ≤ ‖T−1 ‖‖Tx‖F

Lo que prueba la primera desigualdad. La segunda es inmediata por la continuidad de T.

Entonces podemos pensar que E y F son un mismo espacio vectorial con dos normas equi-valentes que generan la misma topologıa. Diremos que E y F son isomorfos.

Definicion 2.3. Un isomorfismo isometrico entre dos espacios normados E y F es unaaplicacion lineal T de E en F, sobreyectiva, tal que ‖Tx‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E.

Una tal aplicacion es por su puesto un isomorfismo:

Por la definicion T es continua de norma 1.

T (x1) = T (x2) =⇒ T (x1) − T (x2) = 0 =⇒ T (x1 − x2) = 0 =⇒ ‖T (x1 − x2)‖ = 0 =⇒‖x1 − x2‖ = 0 =⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ E (inyectividad de T)

‖T−1(Tx)‖ = ‖x‖ = ‖Tx‖ ∀Tx ∈ F (continuidad de T−1)

El isomorfismo isometrico es la identificacion total entre dos espacios normados.Diremos que E y F son isometricos (o iguales) y lo anotaremos E ∼= F

Observacion 2.4. Notemos que un isomorfismo entre E y F que cumpla ‖T‖ = ‖T−1‖ = 1es claramente isometrico.

Observacion 2.5. Llamaremos isometrıa a secas, a una aplicacion lineal T de E en F talque ‖Tx‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E. En cuyo caso E sera isometrico al subespacio T (E) ⊆ F .

2.2. Espacios Reflexivos

Sea E un K-espacio vectorial normado2. Notaremos E∗ a su dual topologico, que comosabemos es un espacio de Banach, con la norma dual usual. A los elementos de E∗ como eshabitual los llamaremos funcionales y a veces usaremos la notacion de producto punto 〈x, ϕ〉en vez de ϕ(x), para x ∈ E y ϕ ∈ E∗.Consideremos ahora, el dual topologico del dual (E∗)∗ = E∗∗

Definicion 2.6. Llamaremos inmersion canonica de E a la aplicacion J = JE : E → E∗∗,dada por

JEx = Jx ∈ E∗∗, donde Jx(ϕ) = ϕ(x), ∀ϕ ∈ E∗

Es inmediato que para cada x ∈ E, Jx ∈ E∗∗:

Jx(cϕ+ φ) = (cϕ+ φ)(x) = c ϕ(x) + φ(x) = c Jx(ϕ) + Jx(φ) ∀ϕ, φ ∈ E∗ y ∀c ∈ K

|Jx(ϕ)− Jx(φ)| = |ϕ(x)− φ(x)| = |(ϕ− φ)(x)| ≤ ‖x‖ ‖ϕ− φ‖ ∀ϕ, φ ∈ E∗

Por como fue definida JE es claramente lineal. Ademas JE es una isometrıa, es decir E ∼=J(E) ⊆ E∗∗. Para verlo tomemos cualquier x ∈ E y recordemos que podemos calcular sunorma en forma dual (consecuencia del teorema de Hahn-Banach). Entonces

2Aquı el cuerpo K es R o C

6 Preliminares

‖x‖E = supϕ∈BE∗ |ϕ(x)| = supϕ∈BE∗ |Jx(ϕ)| = ‖Jx‖E∗∗ = ‖JE(x)‖E∗∗

Definicion 2.7. Un espacio normado E es reflexivo si la isometrıa JE es sobreyectiva. Conlo cual E resulta isometrico a su bidual.

Mencionamos dos resultados sobre espacios reflexivos, se puede encontrar una prueba de losmismos en R[1].

Teorema 2.8. Sea E un espacio de Banach. E es reflexivo si y solo si BE es compacta en latopologıa debil σ(E,E∗) (topologıa menos fina sobre E que hace continua cada elemento deE∗).

Proposicion 2.9. Sea E un espacio de Banach reflexivo y sea M ⊂ E un subespaciovectorial cerrado. Entonces M , dotado de la norma inducida por E, es reflexivo.

2.3. El operador adjunto

Definicion 2.10. Sean E y F dos espacios normados y T ∈ L(E,F ). Definimos el operadorT ∗, que llamaremos operador adjunto de T, de la siguiente forma:

T ∗ : F ∗ → E∗ y T ∗(ϕ) = ϕ T ∀ϕ ∈ F ∗

Claramente este operador esta bien definido y es lineal. Para ver que es continuo tomemosϕ ∈ F ∗ fijo, tenemos entonces:

|(T ∗ϕ)(x)| = |ϕ(Tx)| ≤ ‖ϕ‖ ‖Tx‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖T‖ ‖x‖ ∀x ∈ E

Luego

‖T ∗ϕ‖ ≤ ‖T‖ ‖ϕ‖ ∀ϕ ∈ F ∗ entonces T ∗ ∈ L(F ∗, E∗) y ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖

Mas aun, calculando la norma de los vectores T (x) ∈ F en forma dual, tenemos que:

‖T‖L(E,F ) = supx∈BE

‖Tx‖F = supx∈BE

supϕ∈BF∗

|ϕ(Tx)| = supϕ∈BF∗

supx∈BE

|(ϕ T )(x)|

= supϕ∈BF∗

‖ϕ T‖E∗ = supϕ∈BF∗

‖T ∗ϕ‖E∗ = ‖T ∗‖L(F ∗,E∗)

Por lo tanto‖T‖ = ‖T ∗‖ (1)

Otra consecuencia inmediata de la definicion es que si E, F y G son espacios normados y siT ∈ L(E,F ) y S ∈ L(F,G) entonces

(S T )∗ = T ∗ S∗

Proposicion 2.11. Dados dos espacios normados E y F, E ∼= F =⇒ E∗ ∼= F ∗

Demostracion. Primero observemos que para cualquier funcional ϕ de E, ϕ IE = ϕ, conlo que (IE)∗ = IE∗ . Sea T el isomorfismo isometrico de E sobre F, como

IE∗ = (IE)∗ = (T−1 T )∗ = T ∗ (T−1)∗

Los espacios Lp 7

ası mismo IF ∗ = (T−1)∗T ∗, con lo que hemos probado que T ∗ es biyectivo y (T ∗)−1 = (T−1)∗

que es continuo, luego T ∗ es un isomorfismo de F ∗ sobre E∗. Como T es isometrico, dela igualdad ‖T‖ = ‖T−1‖ = 1 deducimos por (1) que ‖T ∗‖ = ‖(T ∗)−1‖ = 1, de dondese concluye rapidamente que T ∗ tambien es un isomorfismo isometrico. Resultando E∗ ∼=F ∗.

Proposicion 2.12. Dados dos espacios normados E y F y la aplicacion T ∈ L(E,F ).T ∗ ∈ L(F ∗, E∗) es el unico operador que cumple

〈x, T ∗ϕ〉 = 〈Tx, ϕ〉 ∀x ∈ E,∀ϕ ∈ F ∗

Demostracion. Dados x ∈ E y ϕ ∈ F ∗

〈x, T ∗ϕ〉 = (T ∗ϕ)(x) = (ϕ T )(x) = ϕ(Tx) = 〈Tx, ϕ〉

Si H ∈ L(F ∗, E∗) es otro operador cumpliendo lo mismo, entonces dado ϕ ∈ F ∗

〈x,Hϕ〉 = 〈Tx, ϕ〉 = 〈x, T ∗ϕ〉 ∀x ∈ E

Con lo que Hϕ = T ∗ϕ, pero ϕ era un funcional cualquiera en F ∗, entonces H = T ∗.

2.4. Teorema de representacion de Riesz-Frechet

Recordemos que un R-espacio vectorial, H, es un espacio de Hilbert si esta dotado de unproducto interno 〈., .〉 : HXH → R y es completo con la norma inducida por el mismo

(‖u‖ = 〈u, u〉1/2).Dado y ∈ H (H espacio de Hilbert), definamos ϕy ∈ H∗ por

ϕy(x) = 〈x, y〉 , ∀x ∈ H

es inmediato que dicho funcional esta bien definido.

Teorema 2.13. (de Riesz-Frechet) La aplicacion H 3 y 7→ ϕy ∈ H∗ produce un isomorfismoisometrico3 de H sobre H∗. Es decir, para toda ϕ ∈ H∗ existe un unico y ∈ H tal queϕ = 〈., y〉, que ademas cumple ‖ϕ‖ = ‖y‖.

Este teorema nos dice que todo espacio de Hilbert se puede identificar con su dual, se puedeencontrar una prueba del mismo en R[2].

3. Los espacios Lp

3.1. Reflexibilidad, separabilidad y Dual de Lp

En esta seccion y en las siguientes las funciones se consideran a valores reales, Ω designa unabierto de RN con medida de Lebesgue µ positiva y los espacios Lp(Ω,Σ, µ) son los espaciosde Banach usuales con la norma p usual , donde se han identificado como iguales las funcionesque coinciden c.t.p.

3Si H es un C-espacio de Hilbert es en realidad un anti-isomorfismo isometrico.

8 Los espacios Lp

Ademas, cuando el dominio de integracion se deduzca del contexto escribiremos∫f para

denotar∫

Ωf(t)dµ(t) y pondremos Lp en vez de Lp(Ω,Σ, µ).

Como es habitual, si p y q son numeros reales tales que 1p

+ 1q

= 1, con 1 < p < ∞,diremos que p y q son exponentes conjugados entre sı. Por otro lado, diremos que 1 y ∞son exponentes conjugados. Usuremos la letra q, a veces sin previo aviso, para referirnos alexponente conjugado p en ambos casos.A continuacion recordamos un teorema de Teorıa de la Medida, que es consecuencia directadel teorema de Radon–Nikodym, para una prueba consultar [R3], pagina 92.

Teorema 3.1. (de Representacion de Riesz) Sea ϕ ∈ Lp(Ω,Σ, µ)∗, 1 < p < ∞, entoncesexiste g ∈ Lq(Ω,Σ, µ) (q exponente conjugado de p) tal que

ϕ(f) =

∫Ω

fg dµ ∀f ∈ Lp (2)

Por otro lado, para ϕ en L1(Ω,Σ, µ)∗ existe g ∈ L∞(Ω,Σ, µ) cumpliendo (2) para todafuncion f en L1.4

Observacion 3.2. L2 dotado del producto interno 〈f, g〉 =∫fg dµ, es un espacio de Hilbert.

El teorema anterior aplicado a L2 es en realidad el teorema de representacion 2.13.

Teorema 3.3. Sean p y q exponentes conjugados, 1 < p <∞. Entonces

Lq(Ω,Σ, µ) ∼= Lp(Ω,Σ, µ)∗

Demostracion. Definimos la funcion Φ : Lq → (Lp)∗ por

Φ(g) = ϕg ∈ (Lp)∗ , donde ϕg(f) :=

∫Ω

fg dµ =

∫fg ∀f ∈ Lp (3)

1) Φ esta bien definida: La desigualdad de Holder asegura que si f ∈ Lp y g ∈ Lq, entoncesfg ∈ L1. Por lo tanto fijado g ∈ Lq, ϕg(f) es efectivamente un numero real para todo f enLp, ademas por estar definida por una integral ϕg es una aplicacion lineal y su continuidadtambien la tenemos gracias a la desigualdad de Holder:

|ϕg(f)| ≤∫|fg| = ‖fg‖1 ≤ ‖g‖q ‖f‖p para toda f ∈ Lp (4)

Por lo tanto ϕg es un elemento de (Lp)∗

2) Φ es lineal: Sean g, g′ ∈ Lq y λ ∈ R

ϕλg+g′(f) =

∫f(λg + g′) = λ

∫fg +

∫fg′ = λϕg(f) + ϕg′(f) = (λϕg + ϕg′)(f) ∀f ∈ Lp

Por lo tanto ϕλg+g′ = λϕg + ϕg′ , o lo que es lo mismo Φ(λg + g′) = λΦ(g) + Φ(g′)

3)Φ es sobreyectiva: Esto esta garantizado por el teorema de Representacion de Riesz.

4Para este segundo caso necesitamos que el espacio de medida (Ω,Σ, µ) sea σ-finito

Los espacios Lp 9

4)Φ es una isometrıa: Primero observemos que toda funcion medible g : Ω → R puedeescribirse en la forma g = α|g|, donde α es tambien una funcion medible sobre Ω que tomasolo los valores +1 y -1. Fijada entonces g = α|g| ∈ Lq, tomamos f = α|g|q−1, con lo que|f |p = |g|pq−p = |g|q, como esta ultima es una funcion integrable sabemos que f ∈ Lp ytenemos ∫

|g|q =

∫fg = ϕg(f) ≤ ‖ϕg‖ ‖f‖p = ‖ϕg‖ (

∫|g|q)1/p

Dividiendo ambos miembros por (∫|g|q)1/p se ve que ‖g‖Lq ≤ ‖ϕg‖(Lp)∗ .

Por otro lado en (4) se puede ver que ‖ϕg‖(Lp)∗ ≤ ‖g‖Lq . Ası concluimos que para todo

g ∈ Lq, ‖Φ(g)‖ = ‖ϕg‖ = ‖g‖.

Por lo tanto, Φ un isomorfismo isometrico entre Lq y (Lp)∗

De manera analoga se puede probar que

L1(Ω,Σ, µ)∗ ∼= L∞(Ω,Σ, µ)

Proposicion 3.4. Los espacios Lp, 1 < p <∞, son reflexivos.

Demostracion. Como acabamos de ver (Lp)∗ ∼= Lq entonces por 2.11 (Lp)∗∗ ∼= (Lq)∗ vıa eloperador adjunto Φ∗(Φ∗ : (Lp)∗∗ → (Lq)∗). A su vez (Lq)∗ de nuevo, como en la proposicionanterior, se identifica con Lp,mediante el operador isometrico

Γ : Lp → (Lq)∗ Γ(f) = φf , donde φf (g) :=

∫fg para toda g ∈ Lq (5)

Entonces, la composicion (Φ∗)−1Γ es un isomorfismo isometrico (y por lo tanto sobreyectivo)de Lp sobre (Lp)∗∗. Comprobemos que (Φ∗)−1 Γ es precisamente la inmersion canonica J deLp en su bidual; equivalentemente, es mas directo probar que Γ = Φ∗ J . Tomemos f ∈ Lp,y recordemos 2.12 y 2.6

〈g, (Φ∗ J)f〉 = 〈g,Φ∗(J(f))〉 = 〈Φ(g), J(f)〉 = 〈f,Φ(g)〉 ∀g ∈ Lq

y por las definiciones de Φ (3) y Γ tenemos

〈g, (Φ∗ J)f〉 = 〈f,Φ(g)〉 = 〈g,Γf〉 ∀g ∈ Lq

de donde (Φ∗ J)f = Γf para todo f en Lp resultando Γ = Φ∗ J como querıamos.Por lo tanto, hemos probado que J es sobreyectiva, es decir, que para 1 < p <∞, Lp es unespacio de Banach reflexivo.

Teorema 3.5. El espacio Cc(Ω) es denso en Lp(Ω) para 1 ≤ p <∞

Antes de demostrarlo recordemos una definicion y dos lemas. Se puede encontrar una de-mostracion del segundo lema en [R1]

Definicion 3.6. Sea 1 ≤ p ≤ ∞, se dice que una funcion f : Ω→ R pertenece a Lploc(Ω) sif1K ∈ Lp(Ω) para todo compacto K ⊂ Ω.

Lema 3.7. Si f ∈ Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces f ∈ L1loc(Ω).

10 Los espacios Lp

Demostracion. Es trivial cuando p = 1. Sea f ∈ Lp, 1 < p ≤ ∞, sea q el exp. conjugadode p y K ⊆ Ω un compacto cualquiera. Usando la desigualdad de Holder tenemos∫

Ω

|f1K | ≤ ‖f‖Lp ‖1K‖Lq = ‖f‖Lp |K|1/q <∞

Por lo tanto, f ∈ L1loc(Ω).

Lema 3.8. Sea f ∈ L1loc(Ω) tal que∫

Ω

fu = 0 ∀u ∈ C∞c (Ω)

Entonces f = 0 c.t.p. en Ω.

Demostracion. (del teorema). Sabemos que Cc(Ω) es denso en L1(Ω). Supongamos entoncesque 1 < p < ∞. Para demostrar que Cc(Ω) es denso en Lp(Ω) es suficiente con ver que sih ∈ Lq verifica

∫hu = 0 para todo u ∈ Cc(Ω), entonces h = 0. Por 3.7 h ∈ L1

loc(Ω) y entoncesse puede aplicar 3.8 para concluir que h = 0 c.t.p.

Teorema 3.9. Lp(Ω) es separable (i.e. contiene un denso numerable) para 1 ≤ p <∞

Demostracion. Se designa por (Ri)i∈I a la familia numerable de rectangulos R ⊂ Ω ⊂ RN

de la forma

R = Πnk=1(ak, bk), con ak, bk ∈ Q

Y sea E el espacio vectorial sobre Q generado por las funciones 1Ri (c.l. finitas con coeficientesracionales de las mismas), de modo que E es numerable. Veamos que es denso en Lp(Ω). Seanf ∈ Lp(Ω) y ε < 0 fijos. Sea f1 ∈ Cc(Ω) tal que ‖f − f1‖Lp < ε (sabemos que existe por elteorema anterior). Sea Ω′ un abierto acotado tal que suppf1 ⊂ Ω′ ⊂ Ω. Como f1 ∈ Cc(Ω′), seconstruye facilmente una funcion f2 ∈ E tal que suppf2 ⊂ Ω′ y que |f2(x)− f1(x)| ≤ ε

|Ω′|1/p

c. t. p. en Ω′ (se comienza recubriendo suppf1 con un numero finito de rectangulos Ri sobrelos cuales la oscilacion de f1 es inferior a ε

|Ω′|1/p). Resulta entonces que ‖f2 − f1‖Lp ≤ ε y por

ende ‖f − f2‖Lp < 2ε.

3.2. Convolucion

Definicion 3.10. Dada f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(RN), con 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos la convolu-cion de f y g, que denotamos f ∗ g , por

(f ∗ g)(x) =

∫RNf(x− y)g(y)dy, x ∈ RN

Teorema 3.11. Para casi todo x ∈ RN , la funcion y 7→ f(x−y)g(y) es integrable sobre RN ,por lo que la aplicacion anterior esta bien definida. Ademas f ∗ g ∈ Lp(RN) y ‖f ∗ g‖Lp ≤‖f‖L1 ‖g‖Lp .

Demostracion. Si g ∈ L∞(RN), como ademas f es integrable, la convolucion queda definidapara todo x

Los espacios Lp 11

(f ∗ g)(x) =∫RN f(x− y)g(y)dy ≤ ‖g‖∞

∫RN f(x− y)dy ≤ ∞

y ademas para todo x ∈ RN

|(f ∗ g)(x)| =∣∣∫

RN f(x− y)g(y)dy∣∣ ≤ ∫RN |f(x− y)| |g(y)| dy ≤ ‖g‖∞

∫RN |f(x− y)| dy =

‖g‖L∞ ‖f‖L1

con lo que tenemos la desigualdad

‖f ∗ g‖L∞ ≤ ‖f‖L1 ‖g‖L∞ .

Sea p = 1 y llamemos F (x, y) = f(x− y)g(y). Para casi todo y ∈ RN se tiene∫RN |F (x, y)| dx = |g(y)|

∫RN |f(x− y)| dx = ‖f‖L1 |g(y)| <∞

y∫RN dy

∫RN |F (x, y)| dx = ‖f‖L1 ‖g‖L1 <∞

Aplicando el teorema de Tonelli se ve que F ∈ L1(RNXRN). Y por el teorema de Fubini∫RN |F (x, y)| dy <∞ c.t.x ∈ RN∫

RN dx∫RN |F (x, y)| dy ≤ ‖f‖L1 ‖g‖L1

Como querıamos.Si 1 < p < ∞. Por lo anterior, se sabe que para casi todo x ∈ RN fijo, la funcion y 7→|f(x− y)| |g(y)|p es integrable sobre RN , esto es

|f(x− y)|1/p |g(y)| ∈ Lp(RN)

Como |f(x− y)|1/q ∈ Lq, siendo q el exponente conjugado de p, se deduce de la desigualdadde Holder que

|f(x− y)| |g(y)| = |f(x− y)|1/p |g(y)| |f(x− y)|1/q ∈ L1 y∫|f(x− y)| |g(y)| dy ≤ (

∫|f(x− y)| |g(y)|p dy)1/p ‖f‖1/q

L1

⇒ |(f ∗ g)(x)|p ≤ (|f | ∗ |g|p)(x) ‖f‖p/qL1

Aplicando el resultado del caso p = 1, se ve que

f ∗ g ∈ Lp y ‖f ∗ g‖pLp ≤ ‖f‖L1 ‖g‖pLp ‖f‖p/q

L1

⇒ ‖f ∗ g‖Lp ≤ ‖f‖L1 ‖g‖Lp .

En lo que sigue, dada una funcion f notaremos f(x) = f(−x)

Proposicion 3.12. Sean f ∈ L1(RN), g ∈ Lp(RN) y h ∈ Lq(RN). Entonces∫RN

(f ∗ g)h =

∫RNg(f ∗ h). (6)

Demostracion. La funcion F (x, y) = f(x− y)g(y)h(x) pertenece a L1(RNXRN) ya que∫|h(x)|

(∫|f(x− y)| |g(y)| dy

)dx <∞

gracias al teorema 3.11 y a la desigualdad de Holder.Por consiguiente∫

(f ∗ g)(x)h(x)dx =

∫ ∫F (x, y)dydx =

∫ ∫F (x, y)dxdy =

∫g(y)(f ∗ h)(y)dy.

12 Los espacios Lp

3.3. Soportes en la convolucion

La nocion de soporte de una funcion continua, complemento del mayor abierto sobre el quees nula o equivalentemente clausura del conjunto donde es no nula, ya no es adecuada cuandose trabaja con funciones medibles (que suelen estar definidas solo para casi todo punto) comose ve considerando la funcion 1Q.

Proposicion 3.13. Sea f : Ω → R. Se considera la familia de todos los abiertos (ωi)i∈I ,ωi ⊂ Ω, tales que para todo i, f = 0 c.t.p. en ωi. Se define ω =

⋃i∈I ωi.

Entonces f = 0 c.t.p. en ω.

Demostracion. No es evidente que f = 0 c.t.p. en ω ya que la familia I no es numerable.Sea (Kn) una sucesion de compactos tales que ω =

⋃∞n=1Kn, por ejemplo

Kn =x ∈ ω; d(x,RN − ω) ≥ 1/n ∧ |x| ≤ n

∀n

Para cada n, Kn esta recubierto por un numero finito de ωi. Sea Kn ⊂⋃i∈In ωi con In ∩ I

finito. Poniendo J =⋃n In (J es numerable) se tiene ω =

⋃i∈J ωi y podemos afirmar que

f = 0 c.t.p. en ω.

Definicion 3.14. Dada f como en la proposicion, definimos Suppf = Ω− ω.

Observacion 3.15. Si f1 y f2 son dos funciones iguales en c.t.p. de Ω entonces tienen elmismo soporte y hablaremos del soporte de la funcion f ∈ Lp.Si f es continua en Ω se comprueba facilmente que esta definicion coincide con la usual.

Observacion 3.16. Se puede probar (ver [R1]) que si f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(RN) entoncesSupp(f ∗ g) ⊂ Suppf + Suppg. Si ambas tienen soporte compacto entonces la convoluciontiene soporte compacto.

Proposicion 3.17. Sean f ∈ Cc(RN) y g ∈ L1loc(RN). Entonces

f ∗ g ∈ C(RN)

Demostracion. Para todo x ∈ RN la funcion y 7→ f(x − y)g(y) es integrable, por lo que(f ∗ g)(x) esta definida para todo x ∈ RN .Sea xn → x y pongamos

Fn(y) = f(xn − y)g(y) y F (y) = f(x− y)g(y)

entonces Fn(y)→ F (y) c.t.p. en RN . Por otro lado, sea K un compacto tal que (xn−Suppf) ⊂K para todo n. Ası f(xn − y) = 0 para y /∈ K y por tanto |Fn(y)| ≤ ‖f‖L∞ 1K(y)g(y) y porel teorema de la convergencia dominada

(f ∗ g)(xn) =

∫Fn(y)dy →

∫F (y)dy = (f ∗ g)(x).

Proposicion 3.18. Sean f ∈ Ckc (RN) y g ∈ L1

loc(RN)(k natural). Entonces

f ∗ g ∈ Ck(RN) y Dk(f ∗ g) = (Dkf) ∗ g

Los espacios Lp 13

En particular, si f ∈ Cc(RN) y g ∈ L1loc(RN), entonces f ∗ g ∈ C∞(RN).

Demostracion. Por recurrencia se reduce al caso k = 1.Sea x ∈ RN fijo y sea h ∈ RN con |h| < 1. Se tiene

|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)|

=

∣∣∣∣∫ 1

0

[h∇f(x+ sh− y)− h∇f(x− y)] ds

∣∣∣∣ ≤ |h| ε(|h|) ∀y ∈ RN

donde ε(|h|)→ 0 cuando |h| → 0 (pues ∇f es uniformemente continuo sobre RN).Sea K un compacto suficientemente grande para que x ∪B(0, 1)− Suppf ⊂ K. Entonces

|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)| = 0 ∀y /∈ K, ∀h ∈ B(0, 1)

y

|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)| ≤ |h| ε(|h|)1K(y) ∀y ∈ RN , ∀h ∈ B(0, 1)

Por consiguiente

|(f ∗ g)(x+ h)− (f ∗ g)(x)− h(∇f ∗ g)(x)| ≤ |h| ε(|h|)∫K

|g(y)| dy.

De donde f ∗ g es diferenciable en x y ∇(f ∗ g)(x) = (∇f ∗ g)(x)

3.4. Sucesiones regularizantes

Definicion 3.19. Se llama sucesion regularizante a toda sucesion de funciones (ρn)n≥1 talque

ρn ∈ C∞c (RN), Suppρn ⊂ B(0, 1/n),

∫RNρn = 1, ρn ≥ 0, ∀n

Ejemplo 3.20. Si fijamos una funcion ρ ∈ C∞c (RN) con Suppρ ⊂ B(0, 1),∫ρ > 0 y ρ ≥ 0

en RN ; por ejemplo

ρ(x) =

e

1

|x|2−1 si |x| < 10 si |x| ≥ 1

Y consideramos para cada n ∈ N a la funcion ρn(x) = CnNρ(nx) con C = (∫ρ)−1, obtenemos

una sucesion regularizante.

Proposicion 3.21. Sea f ∈ C(RN); entonces ρn∗f → f uniformemente sobre todo compactode RN .

Demostracion. Fijemos un compacto K de RN . Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

|f(x− y)− f(x)| < ε ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ).

14 Los espacios Lp

Se tiene

(ρn ∗ f)(x)− f(x) =

∫[f(x− y)− f(x)] ρn(y)dy =

∫B(0,1/n)

[f(x− y)− f(x)] ρn(y)dy

Entonces, para n > 1/δ y x ∈ K, se tiene

|(ρn ∗ f)(x)− f(x)| ≤ ε

∫ρn = ε.

Teorema 3.22. Sea f ∈ Lp(RN) con 1 ≤ p <∞. Entonces ρn ∗ f → f en Lp(RN).

Demostracion. Dado ε > 0 como Cc es denso en Lp (3.5) podemos tomar f1 ∈ Cc(RN) fijatal que ‖f − f1‖Lp < ε. Por la proposicion anterior sabemos que ρn ∗ f1 → f1 uniformementesobre todo compacto. Y por 3.16

Supp(ρn ∗ f1) ⊂ B(0, 1/n) + Suppf1 ⊂ K, K compacto fijo

Se deduce que

‖ρn ∗ f1 − f1‖Lp → 0 cuando n→∞

Finalmente se escribe

ρn ∗ f − f = [ρn ∗ (f − f1)] + [ρn ∗ f1 − f1] + [f1 − f ]

de donde resulta por 3.11 que

‖ρn ∗ f − f‖Lp ≤ 2 ‖f − f1‖Lp + ‖ρn ∗ f1 − f1‖Lp

Concluimos que

limn→∞ ‖ρn ∗ f − f‖Lp = 0

Corolario 3.23. C∞c (Ω) es denso en Lp(Ω) para 1 ≤ p < ∞, donde Ω como siempre es unabierto arbitrario de RN .

Demostracion. Sean f ∈ Lp(Ω), ε > 0 y f1 ∈ Cc(Ω) tales que

‖f − f1‖Lp(Ω) < ε

Consideremos f1

f1(x) =

f1(x) si x ∈ Ω0 c.c

entonces f1 ∈ Lp(RN) y por el teorema∥∥ρn ∗ f1 − f1

∥∥→ 0. Por otro lado

Supp(ρn ∗ f1) ⊂ B(0, 1/n) + Suppf1 ⊂ Ω, para n suficientemente grande

Sea un = (ρn ∗ f1)|Ω. Entonces para n grande, un ∈ Cc(Ω) y ‖un − f1‖Lp(Ω) → 0, resultando‖un − f‖Lp(Ω) < 2ε.

Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimension uno 15

4. Espacios de Sobolev y problemas de contorno en

dimension uno

4.1. Definicion de los espacios W 1,p(I)

Definicion 4.1. Sea I ⊆ R un intervalo abierto y sea p ∈ R con 1 ≤ p ≤ ∞, definimos elespacio de Sobolev W 1,p(I) por

W 1,p(I) :=u ∈ Lp(I); ∃g ∈ Lp(I) tal que

∫Iuϕ′ = −

∫Igϕ ∀ϕ ∈ C1

c (I)

En particular, notaremos H1(I) := W 1,2(I).

Dado u ∈ W 1,p(I) a la funcion g en las condiciones de la definicion, la llamaremos derivadadebil de u y anotaremos g = u′. A las funciones ϕ se las suele llamar funciones test.

Observacion 4.2. Para cada u ∈ W 1,p(I) g es unica, por ende la notacion u′ tiene sentido.Si suponemos que existe h en las condiciones de g, entonces∫

I

gϕ =

∫I

hϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)

⇒∫I

(g − h)ϕ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I)

Como g− h pertenece Lp(I), por 3.7 g− h pertenece a L1loc(I), y aplicando 3.8 tenemos que

g − h = 0 c.t.p o bien g = h c.t.p. de I.

Observacion 4.3. Si u ∈ C1(I) ∩ Lp(I), u′ ∈ Lp(I) (aquı u′ es las derivada usual) y ϕ esuna funcion test con suppϕ ⊆ [a, b] ⊆ I entonces por la formula de partes∫

I

uϕ′ =

∫ b

a

uϕ′ = uϕ|ba −∫ b

a

u′ϕ = −∫I

u′ϕ

como ϕ era generica, u ∈ W 1,p(I) y la derivada debil coincide con la derivada habitual. Enparticular si I esta acotado, entonces C1(I) ⊂ W 1,p(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Ejemplo 4.4. Consideremos la funcion u(x) = |x| definida en I = (−1, 1). Dada ϕ ∈ C1c (I)

se tiene que ∫I

uϕ′ = −∫ 0

−1

xϕ′ +

∫ 1

0

xϕ′ =

∫ 0

−1

ϕ+

∫ 1

0

ϕ

donde la ultima igualdad proviene de integrar por partes teniendo en cuenta que ϕ(−1) =ϕ(1) = 0. Por lo tanto, ∫

I

uϕ′ = −∫I

gϕ

con

g(x) =

−1 si −1 < x < 01 si 0 < x < 1

Claramente g ∈ Lp(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞. Ası u ∈ W 1,p(I) para todo p y su derivadadebil es u′ = g, a pesar de que u no es derivable en el sentido usual y por tanto u /∈ C1(I)

16 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimension uno

Observacion 4.5. De la misma forma que en el ejemplo se puede probar que si el intervaloI esta acotado, entonces toda funcion continua en I y derivable con continuidad a trozos enI pertenece a W 1,p(I) para todo p, 1 ≤ p ≤ ∞.

Es inmediato a partir de la definicion que W 1,p es en realidad un subespacio vectorial de Lp,por ende si u, v ∈ W 1,p y c es un numero real, entonces u+cv ∈ W 1,p. Mas aun, la propiedadde linealidad de la integral tambien nos da el siguiente lema cuya demostracion es trivial.

Lema 4.6. (Linealidad de la derivada debil) Sean u, v ∈ W 1,p(I) y c ∈ R, entonces

(u+ cv)′ = cu′ + v′.

W 1,p esta dotado de la norma

‖u‖W 1,p = ‖u‖Lp + ‖u′‖Lp (∗)o a veces, si 1 < p < ∞, con la norma equivalente (‖u‖pLp + ‖u′‖pLp)1/p. El espacio H1 estadotado del producto escalar

〈u, v〉H1 = 〈u, v〉L2 + 〈u′, v′〉L2 =∫I(uv + u′v′)

con la norma asociada

‖u‖H1 = (〈u, u〉L2 + 〈u′, u′〉L2)1/2 = (‖u‖2L2 + ‖u′‖2

L2)1/2

que como dijimos es equivalente a la norma (∗) con p = 2.

4.2. Propiedades fundamentales del espacio W 1,p(I)

Proposicion 4.7. W 1,p es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞. Es reflexivo para 1 <p <∞ y separable para 1 ≤ p <∞. H1 es un espacio de Hilbert separable.

Demostracion. 1)Sea (un) una sucesion de Cauchy en W 1,p, por como fue definida la normaen el espacio de Sobolev, (un) y (u′n) resultan sucesiones de Cauchy en Lp (para (u′n) verlema 4.6), y como Lp es completo, un → u ∈ Lp y u′n → g ∈ Lp. Entonces∫

I

unϕ′ = −

∫I

u′nϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)

y en el lımite ∫Iuϕ′ = −

∫Igϕ ∀ϕ ∈ C1

c (I)

Por lo tanto, u ∈ W 1,p, u′ = g y ‖un − u‖W 1,p = ‖un − u‖Lp + ‖u′n − u′‖Lp → 0, resultandoW 1,p completo.

2) Veamos que es reflexivo:Si 1 < p < ∞ por 3.4 Lp es reflexivo y en consecuencia el espacio producto E = LpXLp esreflexivo. El operador T : W 1,p → E dado por Tu = (u, u′) es una isometrıa de W 1,p en E,por tanto T (W 1,p) es un subespacio cerrado de E. Resulta entonces por 2.9 que T (W 1,p) esreflexivo, y por consiguiente tambien lo es W 1,p.

3) Es separable para 1 ≤ p <∞:Por 3.9 el espacio producto E = LpXLp resulta separable, y como cualquier subconjunto deun separable es separable, T (W 1,p) tambien es separable. Por ende W 1,p es separable.


Observacion 4.8. Destaquemos que si (un) es una sucesion en W 1,p que converge a u en Lp

y (u′n) tambien es convergente en Lp, entonces u ∈ W 1,p y (un) converge a u con la normade W 1,p.

El siguiente teorema afirma que toda funcion de W 1,p admite un representante continuo

Teorema 4.9. Sea u ∈ W 1,p(I), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces existe u ∈ C(I) tal que u = u c.t.pen I y

u(x)− u(y) =

∫ x

y

u′(t)dt ∀x, y ∈ I (7)

Para demostrarlo necesitaremos dos lemas

Lema 4.10. Sea f ∈ L1loc(I) tal que∫

I

fϕ′ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I) (8)

Entonces existe una constante C tal que f = C c.t.p.

Demostracion. Tomemos φ ∈ Cc(I) tal que∫Iφ = 1. Para toda otra funcion w en Cc(I)

existe ϕ ∈ C1c (I) tal que

ϕ′ = w − (∫Iw)φ

En efecto, h = w − (∫Iw)φ ∈ Cc(I) y

∫Ih = 0, entonces h tiene una primitiva (unica) con

soporte compacto, o sea h = ϕ′ para alguna ϕ ∈ C1c (I). Aplicandole entonces la hipotesis a

h tenemos que ∫I

f

[w − (

∫I

w)φ

]dµ = 0 ∀w ∈ Cc(I)

⇒∫I

[f − (

∫I

fφ)

]wdµ = 0 ∀w ∈ Cc(I)

y por 3.8 f − (∫Ifφ) = 0 c.t.p , o sea f =

∫Ifφ c.t.p, siendo el segundo miembro claramente

una constante.

Lema 4.11. Sea g ∈ L1loc(I) y sea y0 ∈ I fijo, consideremos la funcion integral

v(x) =

∫ x

y0

g(t)dt, x ∈ I (9)

Entonces v es continua y ∫I

vϕ′ = −∫I

gϕ, ∀ϕ ∈ C1c (I) (10)

Demostracion. Dada cualquier ϕ ∈ C1c (I), notemos que aunque I = (a, b) no fuese acotado,

i.e. a = −∞ y/o b =∞, de todas formas las integrales de (10) son finitas gracias a que ϕ yϕ′ tienen soporte compacto. Entonces∫

I

v(x)ϕ′(x)dx =

∫I

[∫ x

y0

g(t)dt

]ϕ′(x)dx =

∫I

∫ x

y0

g(t)ϕ′(x)dtdx


= −∫ y0

a

∫ y0

x

g(t)ϕ′(x)dtdx+

∫ b

y0

∫ x

y0

g(t)ϕ′(x)dtdx

Aplicando el teorema de Fubini y la regla de Barrow, se tiene∫I

v(x)ϕ′(x)dx = −∫ y0

a

∫ t

a

g(t)ϕ′(x)dxdt+

∫ b

y0

∫ b

t

g(t)ϕ′(x)dxdt

= −∫ y0

a

g(t)

[∫ t

a

ϕ′(x)dx

]dt+

∫ b

y0

g(t)

[∫ b

t

ϕ′(x)dx

]dt = −

∫I

g(t)ϕ(t)dt

Demostracion. (del Teorema) Se fija y0 ∈ I y se pone u(x) =∫ xy0u′(t)dt. Entonces por 4.11

tenemos ∫I

uϕ′ = −∫I

u′ϕ, ∀ϕ ∈ C1c (I)

Por lo tanto∫

(u− u)ϕ′ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I). Entonces por 4.10 u− u = C c.t.p. Ası la funcion

u(x) = u(x) + C tiene las propiedades deseadas.

Observacion 4.12. Cuando sea necesario consideraremos el representante continuo de usin hacerlo explicito con la notacion u.

Proposicion 4.13. Sea u ∈ Lp, 1 < p ≤ ∞, y sea q el exp. conjugado de p. Las siguientesafirmaciones son equivalentes

1. u ∈ W 1,p.

2. Existe una constante C tal que∣∣∣∣∫I

uϕ′∣∣∣∣ ≤ C ‖ϕ‖Lq(I) ∀ϕ ∈ C1

c (I) (11)

Ademas, se puede tomar C = ‖u′‖Lp(I) en 2.

Demostracion. 1.⇒ 2. Es trivial.2.⇒ 1. El funcional lineal

ϕ ∈ C1c (I) 7−→

∫I

uϕ′ (12)

esta definido en un subespacio denso de Lq (ya que q < ∞) y es continuo para la normade Lq. Por el teorema de Hahn-Banach se puede extender a un funcional continuo F en Lq.Segun el teorema de representacion de Riesz (3.1) existe g ∈ Lp tal que

〈F, ϕ〉 =

∫I

gϕ ∀ϕ ∈ Lq (13)

En particular ∫I

uϕ′ =

∫I

gϕ ∀ϕ ∈ C1c (14)

y ası u ∈ W 1,p.


Observacion 4.14. Es claro, por la desigualdad de Holder, que cuando p = 1 permanecevalido 1.⇒ 2.

Corolario 4.15. Una funcion u de L∞(I) pertenece a W 1,∞(I) si y solo si existe una cons-tante C tal que

|u(x)− u(y)| ≤ C |x− y| para c.t. x, y ∈ I.

Demostracion. =⇒) Por 4.9 deducimos que

|u(x)− u(y)| ≤ ‖u′‖L∞ |x− y| para c.t. x, y ∈ I.

⇐=) Sea ϕ ∈ C1c (I). Para h ∈ R, con |h| suficientemente pequeno, tenemos∣∣∣∣∫I

u(x) [ϕ(x− h)− ϕ(x)] dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫I

[u(x+ h)− u(x)]ϕ(x)dx

∣∣∣∣(gracias a que ϕ tiene soporte compacto en I). Ahora usando la hipotesis∣∣∣∣∫

I

u(x) [ϕ(x− h)− ϕ(x)] dx

∣∣∣∣ ≤ C |h| ‖ϕ‖L1

Dividiendo por |h| y tomando limite cuando h tiende a 0 obtenemos∣∣∣∣∫I

uϕ′∣∣∣∣ ≤ C ‖ϕ‖L1 ∀ϕ ∈ C1

c (I).

Y por la proposicion 4.13 u ∈ W 1,∞(I).

Algunas operaciones fundamentales, como la convolucion, tienen sentido solo para las fun-ciones definidas en todo R. Veamos como se puede prolongar una funcion u ∈ W 1,p(I) a unafuncion u ∈ W 1,p(R)5.

Teorema 4.16. (Operador de prolongacion) Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Existe un operador de prolon-gacion P : W 1,p(I)→ W 1,p(R) lineal y continuo tal que

1. Pu|I = u ∀u ∈ W 1,p(I)

2. ‖Pu‖Lp(R) ≤ C ‖u‖Lp(I) ∀u ∈ W 1,p(I)

3. ‖Pu‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I) ∀u ∈ W 1,p(I)

(donde C solo depende de |I|).

Demostracion. Si I = (0,∞) la reflexion respecto del eje Y resuelve la cuestion

(Pu)(x) = u(x) =

u(x) si x ≥ 0u(−x) si x < 0

Primeramente se tiene que ‖u‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I). Pongamos

v(x) =

u′(x) si x > 0−u′(−x) si x < 0

5Si se prolonga u por 0 fuera de I la funcion obtenida no pertenece, en general, a W 1,p(R).


Se comprueba facilmente que v ∈ Lp(R) y que

u(x)− u(0) =

∫ x

0

v(t)dt ∀x ∈ R (15)

Por 4.11 u ∈ W 1,p(R) y ‖u‖W 1,p(R) ≤ 2 ‖u‖W 1,p(I)

El caso de un intervalo acotado I siempre se puede reducir al caso en que I = (0, 1), porende lo probaremos para este ultimo. Fijemos η ∈ C1(R), con valores entre cero y uno, talque

η(x) =

1 si x < 1/40 si x > 3/4

Por otro lado dada u ∈ W 1,p(I), consideremos

u(x) =

u(x) si 0 < x < 10 si x ≥ 1

y veamos que

ηu ∈ W 1,p(0,∞) y (ηu)′ = η′u+ ηu′

En efecto, sea ϕ ∈ C1c (0,∞), se tiene∫ ∞

0

ηuϕ′ =

∫ 1

0

ηuϕ′ =

∫ 1

0

u [(ηϕ)′ − η′ϕ] (16)

= −∫ 1

0

u′ηϕ−∫ 1

0

uη′ϕ ya que ηϕ ∈ C1c (0, 1) (17)

= −∫ ∞

0

(u′η + uη′)ϕ. (18)

Ahora, dada u ∈ W 1,p(I) se escribe

u = ηu+ (1− η)u

ηu se prolonga primero a (0,∞) por ηu y despues se prolonga a R por reflexion. Se obtieneası una funcion v1 ∈ W 1,p(R) que prolonga a ηu y tal que

‖v1‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I), ‖v1‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I)

(donde C depende de ‖η′‖L∞).Por otro lado se prolonga (1−η)u primero a (−∞, 1] por 0 en (−∞, 0] y despues se prolongaa R por una reflexion (respecto del 1). Se obtiene ası una funcion v2 ∈ W 1,p(R) que prolongaa (1− η)u y tal que

‖v2‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I), ‖v2‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I)

Entonces Pu = v1 + v2 resuelve la cuestion.


Teorema 4.17. (Densidad) Sea u ∈ W 1,p(I) con 1 ≤ p <∞. Entonces existe una sucesion(un)n≥1 en C∞c (R) tal que la sucesion (un|I)n≥1 converge a u en W 1,p(I).

Demostracion. Supongamos I = R, caso contrario se comienza prolongando u a una fun-cion de W 1,p(R). Demostraremos el teorema en tres etapas.

1)Convolucion

Lema 4.18. Sea ρ ∈ L1(R) y v ∈ W 1,p(R) con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces

ρ ∗ v ∈ W 1,p(R) y (ρ ∗ v)′ = ρ ∗ v′.

Demostracion. Tomemos una sucesion (ρn) de Cc(R) tal que ρn → ρ en L1. Sabemos por3.11 que ρ ∗ v ∈ Lp(R) y tambien para cada n, ρn ∗ v ∈ Lp(R). Sea ϕ ∈ C1

c (R), por 3.12 y3.18 se tiene que∫

(ρn ∗ v)ϕ′ =

∫v(ρn ∗ ϕ′) =

∫v(ρn ∗ ϕ)′ = −

∫v′(ρn ∗ ϕ) = −

∫(ρn ∗ v′)ϕ.

=⇒ ρn ∗ v ∈ W 1,p(R) y (ρn ∗ v)′ = ρ ∗ v′

Por el teorema 3.22, ρn ∗ v → ρ ∗ v en Lp y ρn ∗ v′ → ρ ∗ v′ en Lp, de donde se concluye latesis.

2)TruncamientoSe fija ξ ∈ Cc(R) tal que 0 ≤ ξ ≤ 1 y

ξ(x) =

1 si |x| ≤ 10 si |x| ≥ 2

Se define la sucesion (ξn)n≥1, con ξn(x) = ξ(x/n) para todo n.Y se comprueba , gracias al teorema de la convergencia dominada, que si una funcion f ∈ Lpcon 1 ≤ p <∞ entonces ξnf → f en Lp.

3)ConclusionSe toma una sucesion regularizarte (ρn). La sucesion (un), con un = ξn(ρn ∗ u) converge a uen W 1,p. En efecto, si escribimos

un − u = ξn [(ρn ∗ u)− u] + [ξnu− u]

Entonces

‖un − u‖Lp ≤ ‖(ρn ∗ u)− u‖Lp + ‖ξnu− u‖Lp → 0

Por el lema anterior se tiene

u′n = ξ′n(ρn ∗ u) + ξn(ρn ∗ u′)

Por consiguiente

‖u′n − u′‖Lp ≤ ‖ξ′n(ρn ∗ u)‖Lp + ‖ξn(ρn ∗ u′)− u′‖Lp ≤Cn‖u‖Lp + ‖(ρn ∗ u′)− u′‖Lp + ‖ξnu′ − u′‖Lp → 0


donde C = ‖ξ′‖L∞ .

Teorema 4.19. Existe una constante C, dependiendo solo de |I|, tal que

‖u‖L∞(I) ≤ C ‖u‖W 1,p(I) , ∀u ∈ W 1,p(I), ∀ 1 ≤ p ≤ ∞

Con lo que W 1,p(I) ⊂ L∞(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Demostracion. De nuevo lo demostramos para I = R, ya que el caso general se reduce aeste gracias al teorema de Prolongacion.

Sea v ∈ C1c (R), si 1 ≤ p <∞ tomamos G(s) = |s|p−1 s. La composicion w = G(v) pertenece

a C1c (R) y

w′ = G′(v)v′ = p |v|p−1 v′

Entonces, para x real se tiene

G(v(x)) =

∫ x

−∞p |v(t)|p−1 v′(t)dt

y por la desigualdad de Holder

|v(x)|p ≤ p ‖v‖p−1Lp ‖v′‖Lp

⇒ |v(x)| ≤ p1/p ‖v‖1−1/pLp ‖v′‖1/p

Lp ⇒ |v(x)| ≤ e1/e ‖v‖1/qLp ‖v′‖

1/pLp , ∀x

(ya que p1/p ≤ e1/e, ∀p ≥ 1)

Recordemos la desigualdad de Young que afirma que ∀a, b ≥ 0; ab ≤ 1pap+1

qbq. Aplicandola

y sacando factor comun el mınimo entre 1/p y 1/q obtenemos el resultado deseado parafunciones en C1

c (R)

|v(x)| ≤ e1/e

(1

q‖v‖Lp +

1

p‖v′‖Lp

), ∀x =⇒ ‖v‖L∞ ≤ C ‖v‖W 1,p , ∀v ∈ C1

c (R) (19)

Ahora, por el teorema anterior, dada u ∈ W 1,p sabemos que existe una sucesion (un) ∈ C1c (R)

tal que un → u en W 1,p(R). Por (19) (un) es de Cauchy en L∞. Entonces un → u en L∞ y‖u‖L∞ ≤ C ‖u‖W 1,p .

Corolario 4.20. Si I no es acotado y u ∈ W 1,p(I) con 1 ≤ p <∞. Entonces

lim|x|→∞u(x) = 0 (20)

Demostracion. Por 4.17 existe (un) ∈ C1c (R) tal que un|I → u en W 1,p(I) y por 4.19

‖un − u‖L∞(I) → 0, y de aquı (20). En efecto, dado ε > 0, se elige n suficientemente grandepara que ‖un − u‖L∞(I) < ε, y para |x| suficientemente grande se tiene un(x) = 0 y por tanto|u(x)| < ε.


Corolario 4.21. (Derivacion del producto) Sean u, v ∈ W 1,p(I), con 1 ≤ p ≤ ∞. Entoncesuv ∈ W 1,p(I) y

(uv)′ = u′v + uv′ (21)

Ademas se verifica la formula de integracion por partes∫ x

y

u′v = uv|xy −∫ x

y

uv′ ∀x, y ∈ I (22)

Demostracion. Como u ∈ L∞ (4.19), luego uv ∈ Lp. Comencemos suponiendo p < ∞;tomemos dos sucesiones (un) y (vn) en C1

c (R) tales que un|I → u y vn|I → v en W 1,p(I).Entonces un → u y vn → v en L∞(I), luego unvn → uv en L∞(I) y en Lp(I). Entonces

(unvn)′ = u′nvn + unv′n → u′v + uv′ en Lp(I)

De donde uv ∈ W 1,p(I) y (uv)′ = u′v + uv′ (ver 4.8), e integrando se obtiene la formula departes.

Si u, v ∈ W 1,∞(I) entonces

uv ∈ L∞(I) y u′v + uv′ ∈ L∞(I)

Para ver que en efecto ∫I

uvϕ′ = −∫I

(u′v + uv′)ϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)

dada ϕ ∈ C1c (I) se fija un intervalo abierto y acotado J ⊂ I que contenga al soporte de ϕ.

Entonces u, v ∈ W 1,p(I) para todo p <∞ y por lo anterior∫J

uvϕ′ = −∫J

(u′v + uv′)ϕ

o sea

∫I

uvϕ′ = −∫I

(u′v + uv′)ϕ

Otro resultado importante que se puede demostrar usando el teorema anterior (ver [R1]) esel de derivacion de una composicion de funciones.

Corolario 4.22. Sea G ∈ C1(R) tal que G(0) = 0 6 y sea u ∈ W 1,p(I). Entonces

G u ∈ W 1,p(I) y (G u)′ = (G′ u)u′.

6Esta restriccion es necesaria cuando I es no acotado y 1 ≤ p <∞.


4.3. Los espacios Wm,p(I) y el espacio W 1,p0 (I)

Definicion 4.23. Dado un entero m ≥ 2 y 1 ≤ p ≤ ∞, definimos por recurrencia el espacio

Wm,p(I) = u ∈ Wm−1,p(I), u′ ∈ Wm−1,p(I)

Notaremos Hm(I) = Wm,2(I).

Se comprueba facilmente que u ∈ Wm,p(I) si y solo si existen g1, ..., gm ∈ Lp(I) cumpliendo∫uDjϕ = (−1)j

∫gjϕ ∀ϕ ∈ C∞c (I),∀j = 1, ...,m

Y se anota nuevamente gj = Dju.Dotamos a este espacio de la norma

‖u‖Wm,p = ‖u‖Lp +∑m

j=1 ‖Dju‖.

Se pueden extender a estos espacios todas las propiedades demostradas para W 1,p.

Definicion 4.24. Dado 1 ≤ p < ∞, se designa por W 1,p0 (I) a la clausura de C1

c (I) enW 1,p(I). Usaremos H1

0 (I) para W 1,20 (I).

Observacion 4.25. W 1,p0 con la norma inducida por W 1,p, es un espacio de Banach separable

y es reflexivo cuando p 6= 1. H10 es un espacio de Hilbert separable.

Observacion 4.26. Hemos visto que cuando I = R, C1c es denso en W 1,p (teorema 4.17),

es decir W 1,p0 (R) = W 1,p(R).

Usando sucesiones regularizantes se puede ver que C∞c (I) es denso en W 1,p0 (I) y que si

u ∈ W 1,p(I) ∩ Cc(I), entonces u ∈ W 1,p0 (I).

Teorema 4.27. Sea u ∈ W 1,p(I), entonces u ∈ W 1,p0 (I) si y solo si u = 0 sobre ∂I.

Demostracion. ⇒) Si u ∈ W 1,p0 (I), existe una sucesion en C1

c (I) que tiende a u en W 1,p(I),dicha sucesion converge uniformemente a u sobre I y por ende u = 0 en los extremos de I.

⇐)Sea u ∈ W 1,p, con u = 0 en ∂I. Se fija G ∈ C1(R) tal que

G(t) =

0 si |t| ≤ 1t si |t| ≥ 2

y

|G(t)| ≤ |t| ∀t ∈ R

Se pone un = 1nG(nu) que por 4.22 pertenece a W 1,p(I) para todo n. Ademas

Supp un ⊂x ∈ I; |u(x)| ≥ 1

n

entonces Supp un es un compacto incluido en I (u = 0 sobre ∂I y tiende a 0 cuando |x| → ∞,x ∈ I). Por 4.26 un ∈ W 1,p

0 . Usando el teorema de la convergencia dominada se ve que un → uen W 1,p(I). Entonces u ∈ W 1,p

0 (I).


Proposicion 4.28. (Desigualdad de Poincare) Si I es acotado, existe una constante C,dependiendo de |I| tal que

‖u‖W 1,p ≤ C ‖u′‖Lp ∀u ∈ W 1,p0 (I).

Demostracion. Dada u ∈ W 1,p0 (I) (con I = (a, b)). Como u(a) = 0, tenemos

|u(x)| = |u(x)− u(a)| =∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖u′‖L1

Entonces ‖u‖L∞(I) ≤ ‖u′‖L1(I), y por la desigualdad de Holder se deduce la tesis.

Observacion 4.29. La desigualdad nos dice que en W 1,p0 (I) la cantidad ‖u‖∗ = ‖u′‖Lp es

una norma equivalente a la norma que induce W 1,p en este espacio.Si I es acotado, la expresion 〈u′, v′〉L2 =

∫u′v′ define sobre H1

0 un producto escalar, y lanorma asociada (‖u′‖L2) es equivalente a la norma que antes definimos en H1

0 , es decir lainducida por H1.

Observacion 4.30. Se definen tambien los espacios Wm,p0 (I) como la clausura de Cm

c (I) enWm,p(I) para m = 2, 3, ... y 1 ≤ p <∞.

4.4. El espacio dual de W 1,p0

Notacion: El espacio dual de W 1,p0 (I) (1 ≤ p <∞) sera notado W−1,q(I) y el dual de H1

0 (I)se anotara H−1(I).Sabemos que L2 se identifica con su dual, pero no se identifican H1

0 y su dual. Si se tienenlas inclusiones

H10 ⊂ L2 ⊂ H−1

con inyecciones continuas y de imagen densa (identidades de los respectivos subconjuntos).Si I es acotado, se tiene

W 1,p0 ⊂ L2 ⊂ W−1,q ∀1 ≤ p <∞

con inyecciones continuas y de imagen densa.Los elementos de W−1,q se pueden representar por medio de funcione de Lq

Proposicion 4.31. Sea F ∈ W−1,q. Entonces existen f0, f1 ∈ Lq tales que

〈F, v〉 =

∫f0v +

∫f1v′ ∀v ∈ W 1,p

0

y

‖F‖ = max ‖f0‖Lq , ‖f1‖Lq

Cuando I es acotado, se puede tomar f0 = 0.

Demostracion. Consideremos el espacio E = LpXLp con la norma

‖(h0, h1)‖ = ‖h0‖Lp + ‖h1‖Lp


La aplicacion T : W 1,p0 → E dada por T (u) = (u, u′), como ya hemos dicho, es una isometrıa

entre estos espacios. Consideremos el subespacio G = T (W 1,p0 ), con la norma inducida por E,

y llamemos S = T−1 : G → W 1,p0 . La aplicacion h ∈ G 7→ 〈F, Sh〉 es un funcional continuo

sobre G. Por el teorema de Hahn-Banach lo podemos extender a un funcional continuo sobreE, Φ, con ‖Φ‖E∗ = ‖F‖. Por el teorema de representacion de Riesz (3.1) existen f0, f1 ∈ Lqtales que

〈Φ, h〉 =

∫f0h0 +

∫f1h1 ∀h ∈ E

Es facil comprobar que ‖Φ‖E∗ = max ‖f0‖Lq , ‖f1‖LqCuando I es acotado se dota a W 1,p

0 de la norma equivalente ‖u′‖Lp (4.28) y se razona igualtomando E = Lp y T (u) = u′.

4.5. Un ejemplo de problema de contorno

Ya estamos en condiciones de resolver por el metodo variacional el problema propuesto enla primer seccion. Este metodo es en realidad, muy versatil y se adapta a una gran cantidadde problemas. En cada problema es fundamental precisar bien el espacio funcional sobre elcual se trabaja. Recordemos nuestro P.V.I

−u′′ + u = f en I = (0, 1) , f ∈ L2(I)u(0) = u(1) = 0

(23)

Definicion 4.32. Una solucion debil de (23) es una funcion u ∈ H10 (I) que verifica∫

I

u′v′ +

∫I

uv =

∫I

fv ∀v ∈ H10 (I) (24)

Completemos los pasos descriptos en la seccion 1.

1) Toda solucion clasica es solucion debil. Esto es evidente gracias a la formula deintegracion por partes del corolario 4.21.

2)Existencia y unicidad de una solucion debil

Proposicion 4.33. Para toda f ∈ L2, existe u ∈ H10 unica solucion de (24). Ademas u viene

dada por

Minv∈H10

1

2

∫I

(v′2 + v2)−∫I

fv

que es el llamado principio de Dirichlet.

Demostracion. Se aplica el teorema de Riesz Frechet en el espacio de Hilbert H10 (I) con

la forma bilineal

a(u, v) =∫u′v′ +

∫uv = 〈u, v〉H1

y con la forma lineal v 7→∫fv.

Observacion 4.34. Dada F ∈ H−1, se sabe por el teorema 2.13 que existe u ∈ H10 tal que


〈u, v〉H1 = 〈v, F 〉 ∀v ∈ H10

El operador F 7→ u es el isomorfismo de Riesz-Frechet de H−1 sobre H10 . Se puede considerar

u como solucion de la ecuacion −u′′ + u = F .

3) Regularidad Notemos que si f ∈ L2 y u es solucion debil, entonces u ∈ H2:∫u′v′ =

∫(f − u)v ∀v ∈ C1

c

y u′ ∈ H1 (ya que f − u ∈ L2), i.e u ∈ H2. Si ademas f ∈ C(I), la solucion u esta en C2(I).En efecto (u′)′ ∈ C(I) y entonces u′ ∈ C1(I) y por ende u ∈ C2(I) (ver 4.9).

4)Recuperacion de la solucion clasica Hemos visto que una funcion u cumpliendo (24)es C2 y ademas por el teorema 4.27 cumple las condiciones de contorno (u(0) = u(1) = 0).Solo resta ver que efectivamente cumple la ecuacion del problema (23). Integrando por partes(24) y observando que las funciones test v tambien son nulas en los extremos de I (tamb.por 4.27) obtenemos ∫ 1

0

(−u′′ + u− f)v = 0 ∀v ∈ H10 (I)

y en particular para todo v ∈ C1c (I). Como C1

c (I) es denso en L2(I) (3.23), −u′′ + u = f ,como querıamos.


REFERENCIAS

[R1] Brezis H - Analisis Funcional, Teorıa Y Aplicaciones. Version espanola de Juan RamonEsteban. Editorial alianza 1984.[R2] Demetrio Stojanoff. Un Curso de Analisis Funcional. 2011.[R3] Bartle - The Elements Of Intregration and Lebesge Mesure.

introducción a los espacios de sobolev

Documents