Matematicas II: calculo diferencial(temas 1, 2 y 3)

Javier Segura

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Indice general

1. Numeros reales. Sucesiones y series de numeros reales 5

1.1. Ampliacion de los campos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Definicion axiomatica de los numeros reales. Primeras propiedades. . . . . . . . . 6

1.2.1. Propiedades aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Propiedades de ordenacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Valor absoluto. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Lımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2. Infinitesimos e infinitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2. Algunas series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.3. Criterios de convergencia para series de terminos no negativos . . . . . . . 24

1.5.4. Criterios de convergencia para series de terminos cualesquiera . . . . . . . 27

1.6. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Funciones reales de variable real. Lımites y continuidad 33

2.1. Concepto de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Composicion de funciones. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Funciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1. Potencias: la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2. Funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.4. Inversas de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5. Lımite de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1. Relacion entre lımites de sucesiones y lımites de funciones . . . . . . . . . 40

2.5.2. Infinitesimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6. Continuidad de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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3. Calculo diferencial para funciones reales de variable real. 473.1. Concepto de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Funciones derivables en un intervalo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Consecuencias. . . . . . . . . 533.4. Teorema del valor medio de Cauchy. Regla de L’Hopital. . . . . . . . . . . . . . . 573.5. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor. Series de Taylor. . . . . . . . . . . . . 59

3.5.1. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.2. Aplicaciones del teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.3. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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Numeros reales. Sucesiones y series de

numeros reales

1.1. Ampliacion de los campos numericos

La primera estructura numerica abstracta con la que los humanos aprendieron a trabajares el conjunto de N de los numeros naturales. En ese conjunto hay definidas una suma, unproducto y un orden. La limitacion algebraica que tiene N es que en este conjunto no siempre sepuede restar. Esto motiva la ampliacion de N a Z . En Z seguimos teniendo un conflicto cuandointentamos dividir, es decir, cuando intentamos resolver una ecuacion del tipo ax = b.

Ampliamos ası a Q , el conjunto de los numeros de la forma a/b con a, b enteros y b 6= 0.Algebraicamente, este nuevo conjunto tiene estructura de cuerpo. La carencia fundamental esque tiene “agujeros”: hay numeros medibles, como

√2, que no estan en este conjunto. Ası pues,

en Q el problema de calcular la longitud hipotenusa de la hipotenusa de un trıangulo rectangulocuyos catetos tienen longitud 1 no tiene solucion.

Efectivamemte, no es difıcil convencernos de modo riguroso de que√2 no es un numero

racional

Teorema 1.1 No existe numero racional cuyo cuadrado sea dos.

Demostracion Supongamos que si existe un numero racional r tal que r2 = 2 y llegaremos auna contradiccion; esto querra decir que la hipotesis de partida es falsa, con lo que el teoremaquedara demostrado (demostracion por reduccion al absurdo).

Si r es racional, entonces existiran dos numeros enteros tal que r = p/q; escojamos p y q demanera que la fraccion p/q sea irreducible.

Como r2 = 2 por hipotesis, tenemos que p2/q2 = 2, luego p2 = 2q2, de manera que p2 es par.Pero esto implica que p tambien es par (ya que impar por impar es impar). Entonces p = 2nsiendo n un entero. Y como p2 = 2q2 tenemos que 4n2 = 2q2, luego q2 tambien es par y por lotanto tambien q es par. Entonces tanto p como q son pares y por lo tanto divisibles por 2, lo quecontradice nuestra hipotesis de partida de que la fraccion p/q era irreducible. ✷

Ası, pues, necesitamos un conjunto que mantenga las buenas propiedades de Q , pero que almismo tiempo no tenga “agujeros”. De la misma manera que los numeros racionales se puedenconstruir a partir de los enteros, se puede construir los numeros reales partiendo de los numerosracionales. Esta construccion, sin embargo, nos llevarıa mucho tiempo y no nos resultara tanpractico como dar una definicion axiomatica.

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1.2. Definicion axiomatica de los numeros reales. Primeras pro-

piedades.

El conjunto de los numeros reales lo definimos axiomaticamente como aquel cumpliendo lossiguientes axiomas (aritmeticos, de orden y del supremo)

1.2.1. Propiedades aritmeticas

El conjunto R , con las operaciones suma y producto, es un cuerpo conmutativo, es decir,

1. La suma y el producto son leyes de composicion internas, es decir, que

a+ b ∈ R ; ab ∈ R ∀ a, b ∈ R

2. Tanto las suma como el producto son leyes asociativas:

a+ (b+ c) = (a+ b) + c; (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ R

3. Tanto la suma como el producto son leyes conmutativas

a+ b = b+ a; ab = ba ∀ a, b ∈ R

4. La suma y el producto tienen elemento neutro

∃ 0 ∈ R : a+ 0 = a ∀ a ∈ R ;∃ 1 ∈ R : a1 = a ∀ a ∈ R

5. Existe elemento opuesto para la suma

∀ a ∈ R → ∃(−a) ∈ R : a+ (−a) = 0

6. Existe inverso para todo numero real distinto del neutro de la suma

∀ a ∈ R , a 6= 0∃a−1 ∈ R : aa−1 = 1

7. Se cumple la distributividad entre suma y producto

a(b+ c) = ab+ ac ∀ a, b, c ∈ R

Los axiomas aritmeticos no dicen nada sobre la resta y la division, pues se pueden definir apartir de la suma y el producto. Ası, definirıamos:

a− b = a+ (−b)

ya/b = ab−1 si b 6= 0

Estos axiomas no son suficientes para definir por completo el conjunto de los numeros reales.Simplemente hemos definido la estructura de cuerpo y todas las propiedades que se deduzcande ellas seran en general ciertas para los cuerpos (tambien, por ejemplo, para Q) entre ellas,propiedades tan “evidentes” como:

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1. Los neutros de la suma y el producto son unicos. Ademas, el neutro de la la suma, 0, es elunico elemento que satisface x+ x = x,

2. a+ (−b) es la unica solucion de la ecuacion b+ x = a,

3. Los elementos opuesto y simetrico son unicos,

4. 0x = 0 ∀x ∈ R,

5. Si xy = 0 entonces x = 0 o y = 0 (o ambos),

1.2.2. Propiedades de ordenacion

Las propiedades de ordenacion nos indican como manejar las desigualdades en R. El conjuntoR es un cuerpo totalmente ordenado, es decir,

1. Si a ≤ b y b ≤ a → a = b

2. ∀ a, b ∈ R necesariamente se ha de cumplir una de las tres siguientes afirmaciones (y solouna): a < b , b < a , a = b

3. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c

4. ∀ a, b, c ∈ R , si a ≤ b entonces a+ c ≤ b+ c

5. Si 0 ≤ a y 0 ≤ b, entonces 0 ≤ ab

Cuando escribamos a ≥ b estaremos diciendo lo mismo que si escribieramos b ≤ a.A partir de estos axiomas de ordenacion, junto con los axiomas aritmeticos, podemos de-

mostrar otras propiedades, como, por ejemplo:

1. Si x < y y a < b entonces x+ a < y + b,

2. Si x < y y a > 0 entonces ax < ay

3. Si x < y y a < 0 entonces ax > ay.

1.2.3. Axioma del Supremo

Para enunciar el axioma del supremo, debemos antes definir el concepto de conjunto acotadoy el de supremo e ınfimo

Definicion 1.2 (Conjuntos acotados) .Dado un conjunto A ⊂ R ,

Diremos que A es acotado superiormente si

∃M ∈ R : x ≤ M ∀ x ∈ A

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Diremos que A es acotado inferiormente si

∃m ∈ R : x ≥ m ∀ x ∈ A

Diremos que A es acotado si lo es superior e inferiormente.

Definicion 1.3 (Supremo, ınfimo, maximo y mınimo) .

Dado un conjunto A acotado superiormente, si existe una cota superior menor o igual quecualquier otra cosa superior, se dice que esa cota es el supremo o extremo superior de A,que denotamos por sup(A). Es decir, que si x0 = sup(A) verifica:

• x0 ≥ x ∀x ∈ A

• Si y ≥ x ∀x ∈ A, entonces y ≥ x0

Si el conjunto A admite supremo y sup(A) ∈ A entonces se dice que el supremos es maximoy en este caso denotamos sup(A) = max(A):

Analogamente, si A es acotado inferiormente y existe una cota inferior mayor o igual quecualquier otra cosa inferior, se dice que esa cota es el ınfimo o extremo inferior de A, quedenotamos por ınf(A). Si ademas el ınfimo esta en A, se dice que es mınimo, lo que sedenota como mın(A).

Comentario 1.4 De la definicion anterior se deduce que, dado un conjunto acotado superior-mente, aunque las cotas superiores no son unicas, el supremo sı lo es (de existir), ası comoel maximo (de existir). No todo conjunto acotado tiene supremo y, por ejemplo, veremos masadelante que podemos definir conjuntos acotados en Q que no tienen supremo en Q. Tampoco,de existir el supremo, tiene por que existir maximo (ya que el supremo no tiene por que perte-necer al conjunto). Por supuesto, la discusion para las cotas inferiores, el ınfimo y el mınimo essimilar.

Bien, pues aunque el supremo no tiene por que existir para un conjunto acotado, sı tieneque existir necesariamente para cualquier conjunto acotado en R. Y esta condicion adicional esprecisamente la que nos falta para definir axiomaticamente el conjunto de los numeros reales: elaxioma del supremo.

Axioma del supremo: Sea A un conjunto no vacıo de numeros reales acotado superior-mente, entonces A posee supremo sup(A).

Con este ultimo axioma, se dice que R es un cuerpo completamente ordenado y completo.El axioma del supremo es el que anade la propiedad fundamental de completitud (R no tiene“agujeros”).

Cualquier otra propiedad de los numeros reales puede deducirse de todos los axiomas enun-ciados, por ejemplo:

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Proposicion 1.5 (Propiedad de ordenacion arquimedeana) Dado cualquier numero realx, existe un entero positivo n tal que n > x.

Tambien podemos demostrar la propiedad de densidad del orden, antes definimos los numerosirracionales.

Definicion 1.6 Un numero real se dice que es real si no es racional. El conjunto de los numerosirracionales se denota por R \Q.

Proposicion 1.7 (densidad del orden) Sean x, y ∈ R con x < y, entonces existen infinitosnumeros racionales q e irracionales r cumpliendo x < q < y, x < r < y.

1.3. Valor absoluto. Intervalos.

Terminamos este apartado dedicado a los numeros reales definiendo el valor absoluto, enun-ciando algunas propiedades y recordando las definiciones de intervalos.

Definicion 1.8 (Valor absoluto de un numero real) Dado x ∈ R , definimos su valor ab-soluto como

| x |= max{x,−x} =

{

x, x ≥ 0−x, x < 0

Teorema 1.9 (Propiedades del valor absoluto) .

1. | x |= | − x| ≥ 0 ∀ x ∈ R

2. | x |= 0 ⇐⇒ x = 0

3. | xy |=| x | · | y |

4. Sea a > 0,

|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a

|x| < a ⇐⇒ −a < x < a

5. | x+ y |≤| x | + | y | (desigualdad triangular)

6. | x− y |≥ || x | − | y || (desigualdad triangular inversa)

Demostracion Como ejemplo, vamos a demostrar la desigualdad triangular (dando por demos-trada la propiedad 4); el resto de propiedades son igualmente sencillas de demostrar.

Como evidentemente |x| ≤ |x|, tenemos, por la propiedad 4 que:

−|x| ≤ |x| ≤ |x|

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y de la misma forma−|y| ≤ |y| ≤ |y| .

Sumando−(|x|+ |y|) ≤ |x+ y| ≤ |x|+ |y|

y aplicando de nuevo la propiedad 4 obtenemos la desigualdad triangular. ✷

Definicion 1.10 (Intervalo) .Un subconjunto I de numeros reales es un intervalo si dados x, y ∈ I y dado z tal que

x < z < y, entonces z ∈ I

Existen intervalos acotados y no acotados;Intervalos acotados:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Intervalos no acotados:

(a,∞) = {x ∈ R : a < x}

[a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x}

(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}

(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

(−∞,+∞) = R

1.4. Sucesiones

Definicion 1.11 Una sucesion de numeros reales es una aplicacion

a : N −→ R

Para cada n ∈ N , denotaremos an = a(n). De este modo, la sucesion a sera escrita en formacompacta como {an}n∈N o mas abreviadamente {an}.

Comentario 1.12 Las notaciones para las sucesiones pueden variar segun los textos. En estosapuntes utilizaremos la notacion {an}. En otras textos de utiliza la notacion (an) pare representarlo mismo o variantes como (an)n (esta es la notacion que se empleaba en los apuntes de anosanteriores) o (an)n∈N.

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Llamaremos rango de la sucesion al conjunto {an : n ∈ N }.

Como el nombre indica, una sucesion es un conjunto infinito de numeros reales que se vasucediendo uno al otro. De la misma forma podrıamos haber definido sucesiones en Q, es decira : N → Q.

Podemos determinar una sucesion de distintas formas:

1. Explıcitamente. Ejemplo: {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}.

2. Dando su termino general. Ası, la anterior sucesion {an} tiene por termino general an =1/n.

3. Iterativamente. La misma sucesion se puede definir dando an+1 en funcion de an, an+1 =nan/(n + 1) y dando el valor inicial a0 = 1.

1.4.1. Lımites de sucesiones

Se dice que una sucesion {an} tiene lımite l si los valores de an se acercan tanto como sequiera a l tomando n suficientemente grande. De forma mas precisa, definimos:

Definicion 1.13 Se dice que un numero real l es lımite de la sucesion {an}, y se representa

lımn→∞

an = l

o bien an → l, si:

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : | an − l |< ε ∀n > n0 .

Observemos que, como consecuencia, se deduce:

an → l ⇔ {an − l} → 0 .

Ejemplo 1.14 Sea {an} dada por an = 1/n, parece razonable suponer que lımn→∞ an = 0. Essencillo demostrar que esto es ası a partir de la definicion.

Efectivamente, para cualquier ǫ, por muy pequeno que sea, podemos encontrar un numeronatural n0, tal que n0 > 1/ǫ (propiedad arquimedeana, Prop. 1.5) de modo que

|an − 0| = |1/n| < 1/n0 < ǫ ∀n > n0

Por otra parte, diremos que el lımite de una sucesion es +∞ si podemos hacer que los terminosde la sucesion se hagan tan grandes (positivos) como queramos tomando n suficientementegrande. De similar forma podemos definir cuando el lımite es −∞. De modo mas preciso:

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Definicion 1.15 Se dice que la sucesion {an} tiene lımite +∞, y se representa

lımn→∞

an = +∞

o bien an → +∞, si:∀ M ∈ R ∃n0 ∈ N : an > M ∀ n > n0 .

Y se dice que la sucesion {an} tiene lımite −∞, y se representa

lımn→∞

an = −∞

o bien an → −∞, si:∀ M ∈ R ∃n0 ∈ N : an < M ∀ n > n0 .

Definicion 1.16 Diremos que una sucesion {an} es convergente si

lımn→∞

an = l ∈ R .

Por el contrario, diremos que {an} es divergente si

lımn→∞

| an |= +∞ .

Finalmente, una sucesion {an} se dice oscilante si no es convergente ni tampoco divergente.

Ejemplo 1.17 Tres ejemplos {an} de sucesiones de cada tipo:

1. La sucesion con an = 1/n es, como hemos demostrado, convergente.

2. La sucesion con an = n es divergente.

3. La sucesion con an = (−1)n es oscilante.

Definicion 1.18 Diremos que {an} es una sucesion acotada superiormente (respectivamenteacotada inferiormente o acotada) si su rango es un conjunto acotado superiormente (respectiva-mente acotado inferiormente o acotado).

Por ejemplo, cuando una sucesion esta acotada se cumple que

∃M > 0 : |an| < M ∀n ∈ N .

Definicion 1.19 Diremos que la sucesion {an} es monotona creciente si verifica:

an ≤ an+1 ∀n ∈ N .

Diremos que es monotona decreciente si, por el contrario, verifica:

an ≥ an+1 ∀n ∈ N .

Diremos que el crecimiento o el decrecimiento son estrictos si escribimos se sustituyen lasdesigualdades por desigualdades estrictas.

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Teorema 1.20 Si una sucesion {an} tiene lımite, finito o no, este es unico.

Como ilustracion demostraremos el resultado para lımite finito (no insistiremos mucho masen demostraciones sobre lımites a partir de la definicion).

Demostracion Supongamos que existen dos lımites l y l′ y veremos que son iguales. Por ladefinicion de lımite

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀ n > n0 | an − l |< ε

∀ ε > 0 ∃n′0 ∈ N : ∀ n > n′

0 | an − l′ |< ε

De manera que|l − l′| = |l − an + an − l′| ≤ |an − l|+ |an − l′|

y como ∀n ≥ max(n0, n′0) ambos modulos son menores que ǫ, tenemos que

|l − l′| < 2ǫ ∀ǫ > 0 ,

lo cual implica que l = l′. ✷

Teorema 1.21 Toda sucesion convergente es acotada.

Efectivamente, si la sucesion es convergente quiere decir que se va acercando a un determinadolımite l, luego para n0 suficientemente grande, todos los valores an estaran cerca de l y por lotanto todos estos valores estaran acotados. Por otra parte, todos los an con n < n0 estanacotados por el mayor y el menor de los valores {an : n < n0}. Esta lınea de razonamientopermite demostrar este resultado.

Por otra parte vamos a demostrar que:

Teorema 1.22 Sea {an} una sucesion monotona creciente. La sucesion es convergente si y solosi esta acotada superiormente.

Demostracion Que la convergencia implica acotacion ya lo sabemos. Queda entonces por demos-trar que la acotacion superior para una sucesion monotona creciente implica convergencia.

El rango de la sucesion A = {an : n ∈ N} es un conjunto acotado superiormente por hipotesis,luego por el axioma del supremo admite supremo. Sea l = sup(A). Por definicion de supremo (lamenor de todas las cotas superiores), para cualquier ǫ > 0 existira algun elemento de A, quedenotaremos an0

, tal que l − ǫ < an0≤ l. Pero como ademas la sucesion es creciente, tenemos

que an0≤ an ≤ l para cualquier n > n0 (an ≤ l por ser l = sup(A)). Combinando estas dos

ultimos desigualdades tenemos que l − ǫ < an0≤ an ≤ l < l + ǫ para cualquier n > n0, es decir

que l − ǫ < an < l + ǫ para todo n > n0, con lo que queda demostrado que:

∀ǫ > 0∃n0 : |an − l| < ǫ ∀n > n0.

Es decir que lımn→∞

an = l. ✷

De forma completamente analoga al anterior teorema, tenemos:

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Teorema 1.23 Sea {an} una sucesion monotona decreciente. La sucesion es convergente si ysolo si esta acotada inferiormente.

Y poniendo juntos los dos ultimos teoremas:

Corolario 1.24 Sea una sucesion monotona. La sucesion es convergente si y solo si es acotada.Por el contrario, si es monotona pero no es acotada, entonces diverge a +∞ si es creciente y a−∞, si es decreciente.

La convergencia en los ultimos teoremas es cierta para sucesiones dentro de los numeros realespero no lo serıa para sucesiones dentro de Q; el motivo es que la completitud es esencial enese caso, pues puede haber una sucesion de numeros racionales que tenga lımite no racional.Observemos que el axioma del supremo ha sido fundamental en la demostracion del teorema1.22.

Ejercicio 1.25 Obtener el lımite de la sucesion {an} de termino general dado por

an+1 =α+ an1 + an

(4.1)

siendo a1 = α y α cualquier numero del intervalo [0, 1].Estudiar si la sucesion es convergente y obtener el lımite caso de que sea convergente.

Vamos a comprobar que la sucesion es acotada y monotona creciente y por lo tanto es con-vergente.

En el enunciado se dice que 0 ≤ a1 ≤ 1. Por induccion probaremos que 0 ≤ an ≤ 1 ∀n.1Supongamos pues que 0 ≤ an−1 ≤ 1, n > 1, entonces:

0 < an =α+ an−1

1 + an−1≤ 1 + an

1 + an= 1,

luego, en efecto, 0 ≤ an ≤ 1 ∀n ∈ NVeamos, de nuevo por induccion, que la sucesion es creciente, es decir, que an+1 − an > 0

∀n. En primer lugar, vemos que a2 − a1 ≥ 0:

a2 − a1 =α+ a11 + a1

− a1 =2α

1 + α− α = α

1− α

1 + α≥ 0 .

Supongamos ahora que an − an−1 > 0, n > 1; veamos que esto implica que an+1 − an > 0:

an+1 − an =α+ an1 + an

− α+ an−1

1 + an−1=

(1− α)(an − an−1)

(1 + an)(1 + an−1)≥ 0 .

1La prueba por induccion para probar que cierta afirmacion se cumple para todo n ∈ N consiste en probarque se cumple para n = 1 y que, suponiendo que se cumpla para n− 1 (hipotesis de induccion) necesariamente seha de cumplir tambien para n. Esto demuestra que se cumple para todo n porque sabemos que se cumple paran = 1, y entonces tambien para n+ 1 = 2; y si se cumple para n = 2, entonces para n+ 1 = 3,...)

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La sucesion es mononotona creciente y acotada y por lo tanto convergente. Para calcular ellımite, teniendo en cuenta que lımn→∞ an+1 = lımn→∞ an = l y tomando lımites a ambos ladosde la igualdad (4.1) tenemos que:

l =α+ l

1 + l

luego l2 = α, de modo que l =√α (nos quedamos con la solucion positiva ya que tenemos uns

sucesion en la que an > 0 para todo n).

Si, por ejemplo, tomasemos α = 1/4 tendrıamos una sucesion de numeros racionales conlımite racional. Sin embargo, existen sucesiones de numeros racionales con lımite irracional,como demuestra el caso α = 1/2. Esto ilustra como la completitud de R es, necesariamente, uningrediente fundamental para que el Teorema 1.24 se verifique.

Por otra parte, este ejemplo tambien sirve para ilustrar, por ejemplo en el caso α = 1/2, unejemplo de un conjunto de numeros racionales A = {an : n ∈ N} que no tiene supremo en Q,pero que sı lo tiene en R. En este caso, el supremo no es un maximo porque sup(A) /∈ A.

Teorema 1.26 (Propiedades aritmeticas de los lımites) Si tenemos dos sucesiones, {an}y {bn} de modo que lımn→∞ an = a ∈ R y lımn→∞ bn = b ∈ R , entonces se tiene:

1. lımn→∞(an ± bn) = a± b.

2. lımn→∞(anbn) = ab.

3. lımn→∞anbn

= ab si b 6= 0.

4. lımn→∞(an)bn = ab.

5. lımn→∞ logc an = logc a si an > 0 ∀n.

siempre que tengan sentido las operaciones

Ejemplo 1.27 Sabiendo que lımn→∞ np = 0 si p < 0 calcular lımn→∞(n2 + n)/(3n2 + 2).

lımn→∞

n2 + n

3n2 + 2= lım

n→∞

1 + 1/n

3 + 2/n2 =lımn→∞

(1 + 1/n)

lımn→∞

(3 + 2/n2)=

1

3

Las reglas aritmeticas del Teorema 1.26 tambien pueden aplicarse al caso de lımites infinitos,recordando unas sencillas reglas. Simbolizamos con −∞ y con +∞ dos objetos (que no sonnumeros reales) y se define la recta real ampliada, R como R ∪ {−∞,+∞} dotada de laaritmetica de la recta real ampliada que a continuacion definiremos (que es la artimetica de loslımites de sucesiones).

En terminos de lımites de sucesiones, cuando, por ejemplo escribamos a/+∞ nos estaremosrefiriendo al valor de cualquier lımite del tipo lımn→∞ an/bn donde lımn→∞ an = a (donde a

15

puede ser un numero real o ±∞) y lımn→∞ bn = +∞. Por otra parte cuando escribimos 0+

(0−) nos estamos refiriendo a sucesiones que tienen limıte 0 y que son de terminos positivos(negativos) para n suficientemente grande.

Con este tipo de notacion, tenemos las siguientes reglas:

Aritmetica de la recta real ampliada

1. Suma

a+(+∞) = +∞∀a ∈ (−∞,+∞] (cuando escribimos que se cumple para a ∈ (−∞,+∞],al incluir a = +∞ lo que queremos decir es que (+∞) + (+∞) = +∞; entenderemos estoası en todo este apartado).

a+ (−∞) = −∞∀a ∈ [−∞,+∞).

(+∞) + (−∞) es una indeterminacion.

2. Diferencia

Entenderemos −(+∞) = −∞ y tambien −(−∞) = +∞.

3. Producto

a · (+∞) = +∞ ∀a ∈ (0,+∞].

a · (−∞) = −∞ ∀a ∈ (0,+∞].

a · (+∞) = −∞ ∀a ∈ [−∞, 0).

a · (−∞) = +∞ ∀a ∈ [−∞, 0).

4. Cocientes. Potencias.

1/ +∞ = 0+; 1/0+ = +∞.

1/ −∞ = 0−; 1/0− = −∞.

±∞

±∞y 0±

0±son indeterminaciones.

a+∞ = +∞ ∀ a ∈ (1,+∞].

a+∞ = 0+ ∀ a ∈ (0, 1) , o si a = 0+.

a−∞ = 1/a+∞.

(+∞)a = +∞ ∀ a ∈ (0,+∞].

1±∞ y (+∞)0±

son indeterminaciones.

16

La aritmetica de la recta real ampliada tambien se aplica al caso de lımites de funciones,como mas adelante veremos.

A continuacion enunciaremos sin demostrar una serie de resultados de utilidad en el calculode lımites, ilustrando su aplicacion con ejemplos.

Teorema 1.28 (Criterio del sandwich) .Sean {an}, {bn} y {cn} tres sucesiones, tales que se verifica:

lımn→∞ an = lımn→∞ cn = l ∈ R .

∃n0 ∈ N : an ≤ bn ≤ cn ∀n ≥ n0.

Entonces, ∃ lımn→∞ bn y es igual a l.

Consecuencia inmediata del anterior teorema tenemos:

Corolario 1.29 Si una sucesion {an} tiende a cero, y otra {bn} esta acotada, entonces

lımn→∞

(anbn) = 0 .

Ejemplo 1.30 lımn→∞

(−1)n

n = 0.

El criterio de Stolz puede ser util para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞.

Teorema 1.31 (Criterio de Stolz) .Dadas las sucesiones {an} y {bn}, verificando alguna de las siguientes condiciones:

1. {bn} monotona con lımite ±∞.

2. an → 0; bn → 0; bn monotona.

Entonces, si existe el lımite lımn→∞

an − an−1

bn − bn−1∈ R , se verifica:

lımn→∞

anbn

= lımn→∞

an − an−1

bn − bn−1.

Como consecuencia del teorema de Stolz tenemos los siguientes resultados que proponemoscomo ejercicio demostrar (se dan indicaciones de como hacerlo):

Teorema 1.32 Se dan las siguientes propiedades:

1. Regla de la media aritmetica: si {an} → a ∈ R , entonces

lımn→∞

a1 + a2 + ...+ ann

= a .

17

2. Regla de la media geometrica: si {an} → a ∈ R , con an > 0 ∀n ∈ N , entonces

lımn→∞

n√a1a2...an = a .

3. Regla de la raız: si {an} sucesion con an > 0 ∀n ∈ N , y lımn→∞

an+1

an= a, entonces

lımn→∞

n√an = a .

Demostracion

1. Aplicar Stolz para las sucesiones xn = a1 + a2 + ...+ an y yn = n (xn en lugar de an e ynen lugar de bn en el criterio de Stolz).

2. Tomar logaritmos y aplicar la regla de la media aritmetica.

3. Escribir n√an = n

√

a11

a2a1

...an

an−1y aplicar la regla de la media geometrica.

Veamos como estas reglas nos permiten resolver algunas indeterminaciones:

Ejemplo 1.33 Calcular los siguientes lımites:

1. lımn→∞n√n=1 por la regla de la raız.

2. lımn→∞1 + 2

√2 + 3

3√3 + ...+ n

n√3

n2 = 1/2 por la regla de Stolz.

Otras indeterminaciones se pueden resolver operando convenientemente. Veamos algunosejemplos:

Ejercicio 1.34 Calcular los siguientes lımites:

1. ∞/∞: lımn→∞3n2 + 2n2n3 + 3

= lımn→∞

2/n + 2/n2

2 + 3/n2 = 0.

2. 0/0: lımn→∞

1/n+ 3/n2

1/n3 + 3/n= lımn→∞

n2 + 3n1 + 3n2 = 1/3.

3. ∞−∞: lımn→∞[√n2 + an+ 1−

√n2 + bn+ 1] = lımn→∞

(n2 + an+ 1)− (n2 + bn+ 1)√

n2 + an+ 1 +√

n2 + bn+ 1=

= lımn→∞

(a− b)√

1 + a/n + 1/n2 +√

1 + b/n+ 1/n2= (a− b)/2.

4. 00: lımn→∞

(

1n3

)1/n= lımn→∞

1( n√n)3

= 1.

18

Las indeterminaciones del tipo 1∞ estan relacionadas con el numero irracional e. Podemosdefinir este numero como el lımite (que existe):

e = lımn→∞

(

1 +1

n

)n

= 2,71828182845904523536...

Se puede ademas demostrar el siguiente resultado:

Proposicion 1.35 Sea {an} tal que lımn→∞ an = 0, y tal que ∃n0 tal que an 6= 0 ∀n ≥ n0,entonces

lımn→∞

(1 + an)1/an = e .

Como consecuencia tenemos que:

Corolario 1.36 Si lımn→∞ an = 1, y tal que ∃n0 tal que an 6= 1 ∀n ≥ n0, lımn→∞ bn = +∞entonces lımn→∞ abnn = elımn→∞ bn(an−1).

Efectivamente, lımn→∞ abnn = lımn→∞(1 + an − 1)bn(an−1)/(an−1) =

= lımn→∞

[

(1 + an − 1)1/(an−1)]bn(an−1)

= elımn→∞ bn(an−1).

Ejercicio 1.37 lımn→∞

(

n2 + nn2 + 1

)2n

= e2.

1.4.2. Infinitesimos e infinitos equivalentes

Finalizamos esta parte dedicada a las sucesiones introduciendo el concepto de infinitesimos ainfinitos equivalentes, conceptos utiles a la hora de calcular lımites, en particular para indetermi-naciones 0/0, ∞/∞ o 0∞. Mas adelante, cuando estudiemos el teorema de Taylor, entenderemosel por que de la mayor parte de las equivalencias que vamos a enumerar.

Definicion 1.38 Se llama infinitesimo a toda sucesion {an} tal que lımn→∞ an = 0.

Se llama infinito a toda sucesion {an} tal que lımn→∞ an = +∞,−∞.

Definicion 1.39 Se dice que dos infinitesimos (respectivamente infinitos) {an} y {bn} son equi-valentes si lımn→∞

anbn

= 1. Se escribe an ∼ bn.

Comentario 1.40 Intuitivamente, el que an ∼ bn quiere decir que {an} y {bn} tienden a cero(o a infinito) con la misma velocidad.

Proposicion 1.41 (Principio de sustitucion) El lımite de una sucesion no se altera al sus-tituir uno de sus factores o divisores por otro factor o divisor que sea equivalente a el (yasea infinitesimo o infinito).

19

Proporcionamos a continuacion unas cuantas equivalencias para sucesiones.

1) Si lımn an = 0.

ln(1 + an) ∼ an

sin an ∼ an

1− cos an ∼ a2n/2

tan an ∼ an

arcsin an ∼ an

arctan an ∼ an

ean − 1 ∼ an

(1 + an)α − 1 ∼ αan

2) Si n → ∞.

apnp + ap−1n

p−1 + . . .+ a0 ∼ apnp

ln(apnp + ap−1n

p−1 + . . .+ a0) ∼ lnnp, si ap > 0

n√a− 1 ∼ 1

nln a (a > 0)

n! ∼ e−nnn√2πn (formula de Stirling)

Ejemplo 1.42 Aplicando el principio de sustitucion, calcular

lımn→∞

9n7 ln(

1− 1n2

)

sin(

1n4

)

3n− 1.

Utilizamos ln(

1− 1n2

)

∼ −1/n2, sin(

1n4

)

∼ 1/n4 y, como son factores, podemos reemplazarpor los equivalentes con lo que

lımn→∞

9n7 ln(

1− 1n2

)

sin(

1n4

)

3n − 1= lım

n→∞

9n7(−n−2)n−4

3n− 1= −3.

1.5. Series infinitas

Una serie infinita, como su nombre indica, es una suma de infinitos numeros reales. Depen-diendo de cual es la secuencia de numeros reales que sumemos, la suma puede o no tender a un

20

numero real a medida que se suman mas terminos. Por ejemplo, veremos como

∞∑

n=0

1

n!= e

es decir, que a medida que vamos anadiendo mas terminos a la suma el resultado se va pareciendocada vez mas al numero e (diremos entonces que la serie converge a e). Por contra, es evidenteque la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... se hace mas grande a medida que sumamos mas terminos,dirıamos entonces que la serie diverge y escribirıamos

∞∑

n=0

n = +∞ .

Las series, como veremos mas adelante, son un elemento esencial en el estudio de funciones.En este apartado estudiaremos algunos criterios para estudiar la convergencia de las series yaprenderemos a sumar algunas series particulares.

1.5.1. Definiciones y primeras propiedades

Definicion 1.43 Dada una sucesion de numeros reales, {an}, se considera una nueva sucesion,{Sn} de la forma:

Sn = a1 + a2 + ...+ an =

n∑

k=1

ak .

Ası construida, llamamos a {Sn} sucesion de las sumas parciales de la serie

∞∑

n=1

an.

Definicion 1.44 Diremos que la serie

∞∑

n=1

an es convergente, divergente u oscilante si la sucesion

{Sn} es convergente, divergente u oscilante, respectivamente.En el primer caso, si lım

n→∞Sn = S ∈ R , llamaremos al numero S suma de la serie, y lo

escribiremos

∞∑

n=1

an = S.

Por el contrario, si lımn→∞

Sn = ±∞, escribiremos

∞∑

n=1

an = ±∞.

El siguiente criterio puede servirnos para decidir si una serie es divergente:

Teorema 1.45 (Condicion necesaria de convergencia) .

Si la serie

∞∑

n=1

an es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

21

Este resultado es sencillo de comprobar, en efecto: an = Sn −Sn−1 y si la serie converge a Sentonces Sn → S y, por supuesto, Sn−1 → S, de modo que necesariamente an → 0.

El teorema nos dice pues que si no se cumple que an → 0 la serie no puede ser convergente.Por ejemplo,

∞∑

k=1

(

1 +1

k

)k

no es convergente pues

lımn→∞

(

1 +1

n

)n

= e 6= 0

Sin embargo, que an → 0 no implica que la serie sea convergente. Por ejemplo, la seriearmonica

∞∑

k=1

1

k

es divergente.

Ejercicio 1.46 Demostrar que la serie∑

∞

k=11k

es divergente.Veamos que las sumas parciales no estan acotadas:

S2n = 1 + 12 + 1

3 + ....+ 12n

= 1 + 12 +

(

13 + 1

4

)

+(

15 + 1

6 + 17 + 1

8

)

+ ...

+

(

12n−1 + 1

+ ...+ 12n

)

> 1 + 12 +

(

14 + 1

4

)

+(

18 + 1

8 + 18 + 1

8

)

+ ...+(

12n

+ ...+ 12n)

donde en el ultimo sumando hay 2n−1 terminos. Entonces, los terminos entre parentesis suman1/2 en todos los casos y vemos pues que

S2n > 1 + n/2

y como lımn→∞(1 + n/2) = +∞ es evidente que la serie diverge.

Podemos hacer determinadas operaciones con series, al igual que lo hacıamos con sucesiones:

Proposicion 1.47 Si las series

∞∑

n=1

an y

∞∑

n=1

bn son convergentes con sumas S1 y S2 respectiva-

mente, entonces la serie∞∑

n=1

(an + bn) es convergente, y su suma es S1 + S2.

Proposicion 1.48 Si la serie

∞∑

n=1

an es convergente con sumas S ∈ R y λ ∈ R , entonces la

serie∞∑

n=1

(λan) es convergente de suma λS.

22

1.5.2. Algunas series notables

Veamos algunos ejemplos concretos de series.

Serie geometrica de razon r

La serie geometrica de razon r es la serie

∞∑

n=0

rn. La sucesion de sus sumas parciales es

Sn =

n∑

k=0

rk = rn+1 − rr − 1 .

Ası, la serie geometrica de razon r es:

1. Convergente si | r |< 1, S = 11− r .

2. Oscilante si r = −1.

3. Divergente en caso contrario.

Es muy facil comprobar este resultado. Teniendo en cuenta que Sn = 1 + r + r2 + ...+ rn yrestandole rSn = r+r2+...+rn+1, tenemos que (1−r)Sn = 1−rn+1, luego Sn = (1−rn+1)/(1−r).El resto de los resultados se siguen de las conocidas propiedades de las sucesiones {an} conan = rn.

Serie aritmetico-geometrica

Llamaremos serie aritmetico-geometrica a toda serie del tipo

∞∑

n=0

P (n)rn, donde P (n) es un

polinomio. Resulta ser convergente cuando −1 < r < 1.

Series telescopicas

Se dice que∑

∞

n=1 xn es una serie telescopica asociada a la sucesion {an} si xn = an − an+1.En este caso

∑

∞

n=1 xn es convergente si y solo si lo es la sucesion {an} y ademas∑

∞

n=1 xn =a1 − lımn→∞ an.

En efecto, las sumas parciales son Sn = (a1 − a2)+ (a2 − a3)+ ...+ (an − an+1) = a1 − an+1.

Ejemplo 1.49 Sumar la serie∑

∞

n=11

n(n+ 1).

Como 1n(n+ 1)

= 1n − 1

n+ 1 la serie es telescopica y su suma es:

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)= 1− lım

n→∞

1

n= 1 .

23

Serie armonica generalizada

La serie armonica generalizada es la serie

∞∑

n=1

1nα .

Esta serie es:

1. Convergente si α > 1.

2. Divergente en caso contrario.

Comprobaremos, al menos en parte, el comportamiento de estas series en sucesivos ejercicios.

1.5.3. Criterios de convergencia para series de terminos no negativos

Trataremos con series de la forma∞∑

n=1

an, donde an ≥ 0 ∀n ∈ N . Si todos los terminos son

no positivos, podemos aplicar los mismos criterios sin mas que cambiar el signo:

∞∑

n=1

an = −∞∑

n=1

(−an) .

Ademas, ni siquiera es necesario que todos los terminos sean no positivos (o no negativos)sino que basta que todos lo sean para n ≥ n0 siendo n0 cierto numero natural. Esto es ası porqueun numero finito de terminos no afecta al caracter de una serie. De hecho, conviene tener encuenta que, aunque por lo general hemos escrito las sumas empezando desde 1, esto no tiene porque ser ası; podrıamos tener series

∑

∞

n=n0an y nada cambia a la hora de establecer criterios de

convergencia. Lo crucial es el comportamiento para grandes n de las sumas parciales.

De forma que cuando escribamos ∀n, nada cambia si escribimos que an ≥ 0 ∀n ≥ n0.

Teorema 1.50 Toda serie∞∑

n=1

an de terminos positivos debe ser convergente o divergente a +∞.

Es decir, que una serie de terminos positivos no puede ser oscilante. Esto es evidente, pues alser los terminos positivos la sucesion de sumas parciales es monotona creciente. Si esta acotadasera convergente y si no lo esta divergera a +∞.

Teorema 1.51 (Criterio de comparacion de Gauss) .

Si

∞∑

n=1

an y

∞∑

n=1

bn son series de terminos positivos, entonces:

1. Si an ≤ bn∀n ∈ N y

∞∑

n=1

bn converge =⇒∞∑

n=1

an converge.

24

2. Si an ≤ bn∀n ∈ N y

∞∑

n=1

an = +∞ =⇒∞∑

n=1

bn = +∞.

Comprobemos el primer caso: las sucesiones de sumas parciales son monotonas (pues lossumandos son no negativos) y si Sn son las sumas parciales para la serie de termino an y Tn

las de la otra serie y tenemos que lımn→∞ Tn = T , entonces Sn ≤ Tn ≤ T y Sn es monotonacreciente y acotada superiormente luego convergente.

Ejemplo 1.52 Estudiar la convergencia o no de la serie∑

∞

n=11nα , α < 1.

La serie diverge pues∑

∞

n=11n es divergente y 1/nα > 1/n si α < 1.

El siguiente resultado se prueba tambien de modo sencillo apoyandonos en el Teorema 1.51(omitimos la demostracion).

Teorema 1.53 (Criterio de comparacion en el lımite) .

Sean

∞∑

n=1

an y

∞∑

n=1

bn series de terminos positivos. Sea l = lımn→∞anbn

.

Se verifican entonces las siguientes propiedades:

1. Si l = 0

a)

∞∑

n=1

bn < +∞ =⇒∞∑

n=1

an < +∞.

b)∞∑

n=1

an = +∞ =⇒∞∑

n=1

bn = +∞.

2. Si l = +∞

a)

∞∑

n=1

an < +∞ =⇒∞∑

n=1

bn < +∞.

b)∞∑

n=1

bn = +∞ =⇒∞∑

n=1

an = +∞.

3. Si l 6= 0; l 6= +∞

a)

∞∑

n=1

an < +∞ ⇐⇒∞∑

n=1

bn < +∞.

25

Ejemplo 1.54 Discutir la convergencia de la serie∑

∞

n=11n2 .

Comparando an = 1/n2 con bn = 1/(n(n + 1)), sabiendo que la serie∑

∞

n=1 bn converge (su

suma vale 1), deducimos que∑

∞

n=11n2 converge.

Observese que del ejemplo 1.52 sabemos que la serie∑

∞

n=11np diverge si p ≤ 1 y del ejemplo

1.54 que converge para p = 2; con el criterio de comparacion de Gauss y el ejemplo 1.54 deduci-mos que converge para p > 2. Dejamos sin comprobar que ocurre si 1 < p < 2, en cuyo caso laserie es convergente.

La serie armonica generalizada∑

∞

n=11np resulta util, junto con el Teorema 1.53 para estudiar

el caracter de un buen numero de series, en particular las de terminos que son funciones racionaleso algebraicas de n.

A continuacion, enunciamos sin demostrar una serie de criterios que permiten estudiar elcaracter de una serie sin necesidad de comparar con otra serie.

Teorema 1.55 (Criterio del cociente) . Sea

∞∑

n=1

an una serie de terminos positivos. Supon-

gamos que exista

λ = lımn→∞

an+1

an.

Entonces,

1. Si λ < 1, entonces

∞∑

n=1

an converge.

2. Si λ > 1, entonces

∞∑

n=1

an diverge.

3. Si λ = 1, no hay informacion.

Ejemplo 1.56 Estudiar el caracter de la serie∑

∞

n=11n!.

Es convergente por el criterio del cociente.

El criterio de Raabe permite en ocasiones obtener el caracter de una serie para la que elcriterio del cociente no da informacion.

Teorema 1.57 (Criterio de Raabe) . Sea

∞∑

n=1

an una serie de terminos positivos. Suponga-

mos que exista

λ = lımn→∞

n

(

1− an+1

an

)

.

Entonces,

26

1. Si λ > 1 =⇒∞∑

n=1

an converge.

2. Si λ < 1 =⇒∞∑

n=1

an diverge.

3. Si λ = 1 no hay informacion.

Ejemplo 1.58 Estudiar el caracter de la serie

∞∑

n=1

n!

a(a+ 1)...(a + n).

El criterio del cociente no da informacion, mientras que el criterio de Raabe nos garantizala convergencia para a > 1 y que diverge para a < 1. Por otra parte, si a = 1 la serie es

∑

∞

n=1 1,que por supuesto diverge.

Finalmente, anadimos un criterio mas, que aunque no hemos presentado en clase, se anadecomo ejemplo adicional de criterio (hay mas, por supuesto). Enunciamos ahora el criterio de laraız y lo ilustramos con un ejemplo.

Teorema 1.59 (Criterio de la raız) . Sea∞∑

n=1

an una serie de terminos positivos. Suponga-

mos que existaλ = lım

n→∞

n√an .

Entonces,

1. Si λ < 1 =⇒∞∑

n=1

an converge.

2. Si λ > 1 =⇒∞∑

n=1

an diverge.

3. Si λ = 1, no hay informacion.

Ejemplo 1.60 Estudiar la convergencia de∑

∞

n=1

(

n2 + 3n

)n.

lımn→∞n√an = lımn→∞

n2 + 3n = 1/3 < 1, luego la serie converge.

1.5.4. Criterios de convergencia para series de terminos cualesquiera

Cuando una serie contiene infinitos terminos positivos y negativos, el analisis de la conver-gencia puede complicarse considerablemente.

Las series alternadas, como su nombre indica, van alternando signos. En este caso, el criteriode Leibniz suele ser de utilidad.

27

Series alternadas

La serie

∞∑

n=1

an se dice alternada si anan+1 ≤ 0 ∀n ∈ N . Como antes, podemos sustituir

(∀n ∈ N ), por (∀n ≥ n0).

Teorema 1.61 (Criterio de Leibniz) . Si

∞∑

n=1

an es una serie alternada, y verifica las siguien-

tes condiciones:

1. lımn→∞ an = 0.

2. | an+1 |≤| an | ∀n ∈ N .

Entonces, la serie es convergente.

Ejemplo 1.62∑

∞

n=1(−1)n 1n es convergente.

Series de terminos arbitrarios

Si la serie es de terminos arbitrarios, pero no cumple las hipotesis del Teorema 1.61, el estudiode la convergencia absoluta puede resolver el problema del estudio de la convergencia (Teorema1.64).

Definicion 1.63 Se dice que la serie

∞∑

n=1

an es absolutamente convergente si la serie

∞∑

n=1

| an |

es convergente.

Teorema 1.64 Toda serie absolutamente convergente es tambien convergente.

Efectivamente, si tenemos que∑ |an| es convergente, entonces, como −|an| ≤ an ≤ |an|,

resulta que0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|

y como la serie∑

2|an| es convergente, tenemos que∑

(an + |an|) es una serie de terminos nonegativos, que, por comparacion con

∑

2|an|, resulta ser convergente. De modo que

∑

an =∑

(an + |an| − |an|)

y como hemos dicho que∑

(an + |an|) y∑ |an| convergen, tenemos que

∑

an =∑

(an + |an|)−∑

an

luego∑

an converge.

28

Ejemplo 1.65∑

∞

n=1cos(nπ/8)√

n3es absolutamente convergente y por lo tanto convergente.

Sin embargo, el recıproco del Teorema 1.64 no es cierto: una serie puede ser convergente perono absolutamente convergente. Un ejemplo es la serie

∑

∞

n=1(−1)n/n.

Definicion 1.66 Cuando una serie es convergente pero no es absolutamente convergente, sedice que la serie es condicionalmente convergente.

Vamos a continuacion a realizar un ejercicio de “matematica tramposa” para comprobar la“fragilidad” de las series condicionalmente convergentes. Sabemos que la serie

∑

∞

n=1(−1)n/n esconvergente. De hecho, cuando estudiemos series de Taylor veremos que

∑

∞

n=1(−1)n/n = ln 2.Bien, pues vamos a “demostrar” que ln 2 = 0:

ln 2 = 1− 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − 16 + ... =

(

1− 12

)

− 14 +

(

13 − 1

6

)

− 18 + ... =

= 12

(

1− 12 + 1

3 − 14 + ...

)

= 12 ln 2 .

Vemos pues que, sin mas que reordenar los terminos de la serie hemos “demostrado” que ln 2 = 0.¿Que falla en este razonamiento?. El problema es que cuando una serie es condicionalmenteconvergente la reordenacion de las sumas no es en absoluto inocua. De hecho, se puede demostrarel siguiente resultado:

Teorema 1.67 Una serie condicionalmente convergente puede hacerse, por reordenacion, queconverja a cualquier numero real o que diverja.

Por contra:

Teorema 1.68 Una reordenacion en una serie absolutamente convergente no destruye su con-vergencia (absoluta) ni modifica su suma.

El concepto de convergencia absoluta es pues mas fuerte y restrictivo que el de convergen-cia condicional. Por supuesto, para estudiar la convergencia absoluta de una serie de terminosarbitrarios

∑

an se pueden aplicar los criterios para series de terminos no negativos a la serie∑ |an|.

1.6. Series de potencias

Definicion 1.69 Se denomina serie de potencias centrada en x0 a toda serie de la forma

∞∑

n=0

an(x− x0)n .

29

Es decir, que una serie de potencias no es mas que una serie∑

n bn, donde bn = an(x−x0)n.

Los criterios de convergencia estudiados para series numericas tienen, por supuesto, tambiensentido para este tipo de series, para cada valor que le demos a x. La unica diferencia estribaen que aparecen potencias de x−x0 donde interpretamos x como una variable que puede tomarvalores reales. Dicho de otra forma, podemos interpretar las series de potencias como funcionesde x para aquellos valores de x para los que converja la serie (esto es adelantarse en parteal siguiente tema, en el que estudiaremos funciones, pero se asume que el concepto no resultaajeno).

En primer lugar, estudiaremos la convergencia absoluta de tales series utilizando el criteriodel cociente. Para ello, debemos estudiar el valor del lımite:

lımn→∞

|an+1(x− x0)n+1|

|an(x− x0)n| = |x− x0| lım

n→∞

|an+1||an|

Denotemos L = lımn→∞

|an+1||an| . Tenemos entonces, por el criterio del cociente el siguiente

resultado:

Teorema 1.70 Sea∑

∞

n=0 an(x− x0)n y sea

L = lımn→∞

∣

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

∣

entonces:

1. Si L = ∞, la serie de potencias converge solamente para x = x0. Se dice entonces que elradio de convergencia es cero.

2. Si L = 0, la serie de potencias converge ∀x. Se dice entonces que el radio de convergenciaes infinito.

3. Si L es un numero real positivo, la serie converge para todos los valores de x que cumplanque |x− x0| < R, siendo R = 1/L el radio de convergencia de la serie. Si |x− x0| = R elteorema no informa sobre la convergencia de la serie. Si |x−x0| > R la serie no converge.

Este resultado es evidente a partir del criterio del cociente. Solo conviene puntualizar que sepuede asegurar que para |x − x0| > R la serie no converge, puesto que al aplicar dicho criteriovemos que, para n suficientemente grande, cada termino de la suma sera mayor que el anterior enmodulo, lo que querra decir que los sumandos no tienden a cero segun n crece, que es condicionnecesaria para la convergencia.

Comentario 1.71 Se puede enunciar un teorema analogo utilizando la regla de la raız, con elunico cambio de que ahora L = lımn→∞

n√

|an|.

30

Definicion 1.72 Se llama intervalo de convergencia de una serie de potencias al intervalo devalores de x para los que la serie converge.

Ejercicio 1.73 Obtener el intervalo de convergencia de:

1.∑

∞

n=1(−x)n

n . Solucion: (−1, 1].

2.∑

∞

n=0(x− 1)n

n!. Solucion: (−∞,+∞).

Las series de potencias son, de algun modo, como polinomios con infinitos terminos. Dehecho, tienen las mismas propiedades de derivabilidad, en el siguiente sentido:

Teorema 1.74 Dada una serie de potencias f(x) =∑

∞

n=0 an(x − x0)n, f(x) tiene infinitas

derivadas en el interior del intervalo de convergencia de f(x). Ademas, f ′ se obtiene derivandotermino a termino, es decir, que

f ′(x) =∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1 .

Comentario 1.75 Algo similar se puede decir respecto a la integracion: las series de potenciasse pueden integrar termino a termino.

Ejercicio 1.76 Comprobar que toda serie de potencias tiene el mismo radio de convergenciaque su derivada.

Ejercicio 1.77 Sea f(x) =∑

∞

n=0xn

n!. Obtener el intervalo de convergencia de la serie y calcular

su derivada.El intervalo de convergencia es todo R. En cuanto a su derivada:

f ′(x) =

∞∑

n=1

nxn−1

n!=

∞∑

n=1

xn−1

(n− 1)!=

∞∑

n=0

xn

n!.

Es decir, que f(x) = f ′(x). Ademas, como f(0) = 1, no es aventurado decir que f(x) = ex. Estees un primer ejemplo de representacion de una funcion como series de potencias. De hecho,podrıamos definir la funcion exponencial de este modo:

ex ≡∞∑

n=0

xn

n!.

31

32

2

Funciones reales de variable real. Lımites

y continuidad

En este tema repasamos conceptos basicos como el de funcion, lımite y continuidad. En granmedida, es de esperar que estos sean conceptos ya adquiridos en bachillerato, de forma que eltema sera en gran parte un repaso de conceptos. No demostraremos ni mucho menos todos losresultados, pero si daremos prueba cuando se considere que puede resultar interesante.

2.1. Concepto de funcion

Definicion 2.1 Una funcion f : A −→ R es una aplicacion de un subconjunto A ⊂ R en R ,es decir, una regla que asigna a cada x ∈ A un unico valor f(x) ∈ R .

Definicion 2.2 Sea f una funcion real de variable real.

1. El dominio de f , representado Dom(f), es el conjunto de numeros reales para los cualestiene sentido f(x). Si Dom(f) = A, representaremos a la funcion de la forma

f : A −→ R

2. La imagen de f , denotada Im(f), es el conjunto de valores f(x) que puede tomar la funcionpara cualquier x en su dominio:

Im(f) = {f(x) : x ∈ Dom(f)}

Las funciones se suelen representar trazando su grafico en el plano cartesiano.

Definicion 2.3 Dada una funcion real de variable real f se llama grafica de f a:

G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ Dom(f)}

La grafica de una funcion se suele representar dibujando los puntos en el plano cartesiano.

33

2.2. Tipos de funciones

Definicion 2.4 Una funcion f : A −→ B se dice inyectiva si:

∀y ∈ Im(f) ∃!x ∈ A : f(x) = y

Es decir, si cada imagen tiene una unica antiimagen o, lo que es lo mismo, si para cuales-quiera x, y ∈ Dom(f) tales que f(x) = f(y) se tiene que necesariamente x = y.

Definicion 2.5 Dada una funcion f : A −→ R y un subconjunto X ⊂ A,

Diremos que f es creciente en X si x1 < x2 implica f(x1) ≤ f(x2) para cualquier parx1, x2 ∈ X

Diremos que es estrictamente creciente si x1 < x2 implica f(x1) < f(x2) para cualquierpar x1, x2 ∈ X

Diremos que f es decreciente en X si x1 < x2 implica f(x1) ≥ f(x2) para cualquier parx1, x2 ∈ X

Diremos que es estrictamente decreciente si x1 < x2 implica f(x1) > f(x2) para cualquierpar x1, x2 ∈ X

Definicion 2.6 Sea f : A −→ R ,

Diremos que la funcion f es par si f(−x) = f(x) ∀x ∈ A

Diremos que la funcion f es impar si f(−x) = −f(x) ∀x ∈ A

Definicion 2.7 Diremos que una funcion f : A −→ R es acotada superiormente, acotadainferiormente o acotada, si el conjunto Im(f) es respectivamente acotado superiormente, acotadoinferiormente o acotado.

Definicion 2.8 Una funcion f es periodica si existe h > 0 tal que

f(x) = f(x+ h) ∀x ∈ Dom(f)

El perıodo de f es el mınimo valor de h con la propiedad anterior.

2.3. Composicion de funciones. Funcion inversa

Definicion 2.9 Dadas dos funciones, f : A −→ R y g : B −→ R , de modo que f(A) ⊂ B, sedefine la funcion compuesta g ◦ f : A −→ R como sigue:

g ◦ f(x) := g (f(x)) ∀x ∈ A

34

Definicion 2.10 Si f es una funcion inyectiva, entonces existe una unica funcion h : Im(f) −→R que verifica h (f(x)) = x ∀x ∈ Dom(f). La funcion h se denomina funcion inversa de f , yse denota h = f−1.

Ademas, h es tambien inyectiva, y se verifica f (h(y)) = y ∀y ∈ Dom(h) = Im(f)

Son bien conocidas las funciones polinomicas y racionales.A continuacion, resumiremos las propiedades de otras funciones elementales que, en principio,

deberıan ya ser conocidas. En todo caso, conviene insistir en que es fundamental conocer laspropiedades de estas funciones.

2.4. Funciones elementales.

2.4.1. Potencias: la funcion exponencial

Dado un numero real a > 0, definimos

f(x) = ax

Llamamos a f funcion exponencial. Sus propiedades esenciales son:

Dom(f) = R

• Si a 6= 1, entonces Im(f) = R +

• Si a = 1, se tiene Im(f) = {1}

• Si a ≥ 1, f es creciente

• Si 0 < a < 1, f es decreciente

a0 = 1

axay = ax+y ∀x, y ∈ R

a−x = 1ax ∀x ∈ R

2.4.2. Funcion logarıtmica

Sea a > 0; a 6= 1. Se llama funcion logarıtmica de base a , denotandola f(x) = loga(x) a lafuncion inversa de la exponencial ax.

En particular, si a = e, el logaritmo se llama neperiano y se representa por log(x) o ln(x).Verifica las siguientes propiedades:

Dom(f) = R +

Im(f) = R

35

• Si a ≥ 1, f es creciente

• Si 0 < a < 1, f es decreciente

loga(1) = 0

loga(xy) = loga(x) + loga(y) ∀x, y ∈ R +

loga(xy) = y loga(x) ∀x, y ∈ R +

loga

(

xy

)

= loga(x)− loga(y) ∀x, y ∈ R +; y 6= 0

logb(x) =loga(x)loga(b)

y ax = bx logb(a) ∀x, a, b ∈ R +

2.4.3. Funciones trigonometricas

Se suelen denominar funciones trigonometricas o funciones circulares a las funciones quesiguen:

Definicion 2.11 (La funcion seno) .

La funcion f(x) = sin(x) satisface las siguientes propiedades:

Dom(sin) = R

Im(sin) = [−1, 1]

Es una funcion impar, acotada, periodica con periodo 2π.

Definicion 2.12 (La funcion coseno) .

La funcion f(x) = cos(x) verifica las siguientes propiedades:

Dom(cos) = R

Im(cos) = [−1, 1]

Es una funcion acotada, par, periodica con periodo 2π.

Definicion 2.13 (La funcion tangente) .

La funcion f(x) = tan(x) se define como tan(x) = sin(x)cos(x) y, por tanto, cumple:

Dom(tan) = R − {(2k − 1)π2 : k ∈ Z}

Im(tan) = (−∞,+∞)

Es una funcion no acotada, impar, periodica con periodo π.

36

Definicion 2.14 (La funcion cotangente) .

La funcion f(x) = cot(x) se define como cot(x) = cos(x)sin(x) y, por tanto, cumple:

Dom(cot) = R − {kπ : k ∈ Z}

Im(cot) = (−∞,+∞)

Es una funcion no acotada, impar, periodica con periodo π.

Definicion 2.15 (La funcion secante) .La funcion f(x) = sec(x) se define como sec(x) = 1

cos(x) y sus propiedades esenciales son:

Dom(sec) = R − {(2k − 1)π2 : k ∈ Z}

Im(sec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

Es una funcion no acotada, par, periodica con periodo 2π.

Definicion 2.16 (La funcion cosecante) .La funcion f(x) = cosec(x) se define como cosec(x) = 1

sin(x) y sus propiedades esencialesson:

Dom(cosec) = R − {kπ : k ∈ Z}

Im(cosec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

Es una funcion no acotada, impar, periodica con periodo 2π.

Teorema 2.17 (Relaciones trigonometricas) .Se cumplen, entre otras, las siguientes relaciones:

1. sin2(x) + cos2(x) = 1

2. sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

3. cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)

4. tan(x+ y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y)

5. sin(x) + sin(y) = 2 sin(x+y

2

)

cos(x−y

2

)

6. cos(x) + cos(y) = 2 cos(x+y

2

)

cos(x−y

2

)

7. cos(x)− cos(y) = −2 sin(x+y

2

)

sin(x−y

2

)

8. sin2(x) = 1−cos(2x)2

9. cos2(x) = 1+cos(2x)2

10. cos2(x) = 11+tan2 x

37

2.4.4. Inversas de funciones trigonometricas

Las funciones circulares no son inyectivas en todo su dominio. Por ello, si queremos definirfunciones inversas, deberemos restringirnos a regiones del dominio donde sı lo sean.

Definicion 2.18 (La funcion arcoseno) .Para cada x ∈ [−1, 1] se define arcsin(x) como el unico y ∈ [−π

2 ,+π2 ] tal que sin(y) = x La

funcion arcsin(x) satisface las siguientes propiedades:

Dom(arcsin) = [−1, 1]

Im(arcsin) = [−π2 ,+

π2 ]

Es una funcion acotada, impar.

Definicion 2.19 (La funcion arcocoseno) .Para cada x ∈ [−1, 1] definimos arc cos(x) como el unico y ∈ [0, π] tal que cos(y) = x La

funcion arc cos(x) verifica:

Dom(arc cos) = [−1, 1]

Im(arc cos) = [0, π]

Definicion 2.20 (La funcion arcotangente) .Para cada x ∈ R se define arctan(x) como el unico y ∈ (−π

2 ,+π2 ) tal que tan(y) = x La

funcion arctan(x) cumple:

Dom(arctan) = R

Im(arctan) = (π2 ,+π2 )

Es una funcion acotada, impar.

Analogamente podrıamos definir las funciones arcocotangente, arcosecante y arcocosecante.

2.5. Lımite de una funcion en un punto

Se dice que una funcion f : A → R tiene lımite l cuando x tiende a una valor a cuando lafuncion toma valores tan proximos como queramos a l siempre que se tomen valores de x ∈ Asuficientemente cercanos al valor a.

Definicion 2.21 Sea f : A −→ R . Diremos que la funcion f tiene lımite l ∈ R en el punto a,y se escribe

lımx→a

f(x) = l

si se verifica:∀ε > 0 ∃δ > 0 : si 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− l| < ε

Notemos que δ depende de ε y de a.

38

Es decir, que para cualquier valor de ε (por pequeno que sea), encontramos que para todoslos valores de x ∈ A que esten suficientemente proximos al valor a (|x− a| < δ pero x 6= a), losvalores de f(x) distan de l a lo sumo en ǫ.

Es importante resaltar que en la definicion nada se dice sobre lo que ocurre en x = a. Dehecho, bien podrıa ocurrir que f no estuviese definida para x = a pero que existiese lımite cuandox tiende a a. Por ejemplo f(x) = sinx/x no esta definida en x = 0; sin embargo, veremos comolımx→0 sinx/x = 1.

En la definicion de lımite se supone de forma implıcita que podemos acercarnos a x convalores mayores que a (por la derecha) o menores que a (por la izquierda), pero esto no siemprees ası. Por ejemplo, f(x) = arcsin(x) tiene lımite cuando x → 0:

lımx→0

arcsin(x) = 0

sin embargo, no existe el lımite de la funcion cuando x → 1. El motivo es que arcsin(x) noesta definida para valores mayores que uno. Sin embargo, si tiene sentido preguntarse por elvalor al que se acerca la funcion cuando x tiende a 1 con valores menores que 1. Esto nos llevaal concepto de lımite lateral.

Definicion 2.22 Sea f : A −→ R , diremos que el lımite lateral por la derecha de la funcion fen el punto a es l, escribiendo

lımx→a+

f(x) = l

si se cumple:∀ε > 0 ∃δ > 0 : si a < x < x+ δ ⇒ |f(x)− l| < ε

Analogamente, si a ∈ Ac(A) diremos que el lımite lateral por la izquierda de la funcion f enel punto a es l,

lımx→a−

f(x) = l

si se cumple:∀ε > 0 ∃δ > 0 : si a− δ < x < a ⇒ |f(x)− l| < ε

Es evidente que, con nuestra definicion de lımite y lımite laterales, el lımite de una funcionen un punto existe si y solo si existen los dos lımites laterales en ese punto y son iguales.

Teorema 2.23 Sea f : A −→ R , entonces

∃ lımx→a

f(x) = l ⇐⇒

∃ lımx→a+

f(x)

∃ lımx→a−

f(x)

lımx→a+

f(x) = lımx→a−

f(x) = l

En cuanto a los lımites infinitos, diremos que lımx→a f(x) = +∞ cuando la funcion se hacearbitrariamente grande al tomar valores de x suficientemente cercanas al valor a, es decir, que:

39

Definicion 2.24 Dada f : A −→ R , diremos que

lımx→a

f(x) = +∞

cuando

∀M ∈ R ∃δ > 0 : si 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > M

Del mismo modo, diremos que

lımx→a

f(x) = −∞

cuando

∀M ∈ R ∃δ > 0 : si 0 < |x− a| < δ ∈⇒ f(x) < M

De un modo analogo a como se hacıa antes, se puede trabajar (quedandose a un lado delpunto a) con:

lımx→a+

f(x) = ±∞; lımx→a−

f(x) = ±∞

Tambien se pueden definir lımites cuando x → +∞ como el valor, si existe, al que se acercala funcion tomando valores de x suficientemente grandes, es decir:

Definicion 2.25 Sea f : A −→ R .

1. Diremos que lımx→+∞

f(x) = l ∈ R si se cumple

∀ε ∈ R ∃C ∈ R : x > C ⇒ |f(x)− l| < ε

2. Escribiremos lımx→+∞

f(x) = +∞ si

∀M ∈ R ∃C ∈ R : x > C ⇒ f(x) > M

Analogamente se definirıa lımx→+∞

f(x) = −∞

De forma similar, si f esta definida al menos en (−∞, x0), se pueden definir los lımites del tipo

lımx→−∞

f(x) = l ∈ R , lımx→−∞

f(x) = +∞ , lımx→−∞

f(x) = −∞

2.5.1. Relacion entre lımites de sucesiones y lımites de funciones

La obtencion de lımites de funciones exige la utilizacion de una serie de teoremas como, porejemplo, resultados analogos a los de la aritmetica de lımites y el criterio del emparedado parasucesiones. Estos resultados, son deducibles a partir de los analogos para sucesiones teniendo encuenta el siguiente resultado, que enunciamos sin demostrar:

40

Teorema 2.26 (Caracterizacion del lımite mediante sucesiones) Sea f : A −→ R . En-tonces, existe lım

x→af(x) = l si y solo si para toda sucesion {an}n∈N ⊂ A \ {a} convergente con

lımn→∞ an = a se verifica lımn→∞ f(an) = l.

Observese que estamos considerando {an}n∈N ⊂ A \ {a}, es decir, sucesiones que tienden aa pero con an 6= a∀n (aunque es suficiente que exista un n0 tal que an 6= a ∀n > n0).

Ejercicio 2.27 Probar que no existe el lımite lımx→0 sin1x .

Si existiera este lımite, entonces dada cualquier sucesion {an} tal que an → 0, an 6= 0 ∀nse deberıa cumplir que ∃ lımn→∞ f(an), pero esto no es ası. En efecto, tomemos an = 1/((2n +1)π/2) entonces la sucesion, {f(an)} tiene termino general f(an) = sin((2n + 1)π/2) = (−1)n;luego {f(an)} es una sucesion oscilante y no tiene lımite.

Con el teorema 2.26, podemos trasladar a lımites de funciones los resultados conocidos yasobre lımites de sucesiones, como la aritmetica de lımites y el criterio del emparedado. Ası pues:

Teorema 2.28 Si f : A −→ R esta acotada en un intervalo que contenga a a (pero excluyendoa) y ademas lım

x→ag(x) = 0, entonces lım

x→af(x)g(x) = 0

Ejercicio 2.29 Calcular lımx→0 x sin(1/x)

En el anterior ejecicio vimos que ∄ lımn→0 sin(1/x), sin embargo lımx→0 x sin(1/x) = 0 por-que sin(1/x) esta acotada y x tiende a cero.

Teorema 2.30 (Criterio del emparedado) .

Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) alrededor de un punto a, y se da

lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = l

entonces se tiene

lımx→a

g(x) = l

2.5.2. Infinitesimos equivalentes

Definicion 2.31 La funcion f : A −→ R es un infinitesimo en el punto a ∈ R si

lımx→a

f(x) = 0

Se puede trabajar tambien con infinitesimos en ±∞, en lugar de a.

La funcion f : A −→ R es un infinito en el punto a si

lımx→a

f(x) = +∞,−∞

41

Definicion 2.32 Dos funciones f y g se llaman infinitesimos equivalentes en el punto a (oinfinitos) si:

Ambas son infinitesimos en a (o infinitos)

lımx→a

f(x)

g(x)= 1

Denotaremos esta situacion como f ∼ g

El principio de sustitucion funciona analogamente al caso de sucesiones:

Proposicion 2.33 El lımite de una funcion en un punto no cambia al sustituir uno de susfactores o divisores por otro factor o divisor equivalente a el (sea infinitesimo o infinito).

Por ejemplo, los siguientes son infinitesimos equivalentes en el punto x = 0:

1. sin(x) ∼ x ∼ arcsin(x)

2. tan(x) ∼ x ∼ arctan(x)

3. 1− cos(x) ∼ x2

2

4. log(1 + x) ∼ x

5. ax − 1 ∼ x log(a) (a > 0)

No insistimos mas ni mostramos mas ejemplos (ver la hoja de problemas, donde hay masejemplos de infinitesimos e infinitos).

Mencionemos para finalizar que podemos utilizar las anteriores equivalencias cambiando lax (que es infinitesimo en cero) por otro infinitesimo en otro punto. Por ejemplo, si f es uninfinitesimo en a, tendremos la equivalencia sin(f(x)) ∼ f(x) cuando x → a.

2.6. Continuidad de una funcion en un punto

Desde un punto de vista grafico, podrıamos decir que una funcion f definida en un deter-minado intervalo [a, b] es continua en ese intervalo si al trazar la grafica desde (a, f(a)) hasta(b, f(b)) lo podemos hacer sin levantar el lapiz del papel sobre el que dibujamos la grafica.Dirıamos entonces que f es continua en todos los puntos de (a, b) y continua lateralmente, almenos, en a y b. Definamos con mayor precision estos conceptos.

Definicion 2.34 (Continuidad en un punto) Sea f : A −→ R . Diremos que f es continuaen el punto a ∈ A si lım

x→af(x) = f(a). En caso contrario, diremos que f es discontinua en a.

42

Utilizando la caracterizacion del lımite por sucesiones (Teorema 2.26), podemos reescribir ladefinicion de continuidad en terminos de sucesiones

Proposicion 2.35 (Caracterizacion de la continuidad por sucesiones) Sea f : A −→R . Entonces, f es continua en a si y solo si para toda sucesion {an}n∈N ⊂ A \ {a} ∈ Rcon lım

n→∞an = a se verifica lım

n→∞f(an) = f(a).

Definicion 2.36 (Continuidad lateral) Se define la continuidad por la derecha o continuidadpor la izquierda sin mas que sustituir en la definicion 2.34 lım

x→af(x) por lım

x→a+f(x) o lım

x→a−f(x)

respectivamente.

Definicion 2.37 (Continuidad en intervalos) Diremos que una funcion es continua en unintervalo (a, b) si es continua en todos los puntos del intervalo.

Se dice que una funcion f es continua en un intervalo [a, b] si f es continua en todos lospuntos de (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

De forma similar se puede definir la continuidad en intervalos (a, b] o [a, b) o en uniones deintervalos.

Definicion 2.38 Sea f : A −→ R tal que f es discontinua en a.

1. Diremos que la discontinuidad en a es evitable si

∃ lımx→a

f(x) 6= f(a)

2. Diremos que es una discontinuidad de salto finito si existen

lımx→a−

f(x) ∈ R ; lımx→a+

f(x) ∈ R

pero

lımx→a−

f(x) 6= lımx→a+

f(x)

3. Diremos que la discontinuidad en a es de salto infinito o asintotica si al menos uno de loslımites laterales es +∞ o −∞.

4. Finalmente, si alguno de los lımites laterales no existen, llamaremos esencial a la discon-tinuidad.

Ejemplo 2.39 Damos cuatro ejemplos de funciones discontinuas en un punto:

1. f(x) = sinx/x tiene una discontinudad evitable en x = 0.

43

2. La funcion definida a trozos:

f(x) =

{

sinx si x > 0cos x si x ≤ 0

tiene una discontinuidad de salto finito en x = 0.

3. f(x) = 1/(x− 1)2 tiene en x = 1 una discontinuidad de salto infinito

4. f(x) = sin(1/x) tiene en x = 0 una discontinuidad esencial.

Teorema 2.40 Si f y g son continuas sobre A, tambien lo son f + g, f − g, y fg. Ademas, lafuncion f/g es continua en todos los puntos donde g no se anule.

Es evidente que las funciones constantes y la funcion identidad son continuas en toda la rectareal. Como los polinomios pueden construirse a partir de esas funciones mediante un numerofinito de sumas y productos, los polinomios son funciones continuas en todo R. Un funcionracional, cociente de dos polinomios, sera por lo tanto continua en todos los puntos donde no seanule el denominador.

Teorema 2.41 Sean f y g funciones. Sea l = lımx→a

f(x); y supongamos que g es continua en l.

Entonces,

lımx→a

g(f(x)) = g(

lımx→a

f(x))

En particular, si f : A −→ R es continua en a y g : B −→ R es continua en f(a) ∈ B, entoncesg ◦ f es continua en a.

A continuacion se citan algunas propiedades importantes relacionadas con la continuidad enel caso A = [a, b]. En todas ellas, el axioma del supremo, es decir, la completitud de los numerosreales es crucial para demostrar estos resultados.

En primer lugar, empezamos por el teorema de Bolzano que demostraremos. Este es unteorema importante y que es facil de entender intuitivamente. Este resultado dice que si unafuncion es continua en un intervalo cerrado y toma distinto signo en los extremos del intervalo,entonces dentro del intervalo debe de haber un valor de la variable para el que la funcion seanula. Esto parece razonable: si la funcion es continua y pasa, por ejemplo, de positiva a negativadebera en algun momento anularse.

A los valores de la variable para los que se anula una funcion se les suele llamar ceros o raıcesde la funcion. El teorema proporciona un criterio bastante evidente (pero que probaremos) paraaislar las raıces de una funcion continua: localizar intervalos cerrados donde la funcion cambiade signo.

La demostracion que vamos a considerar sugiere un metodo de localizacion de raices quepermite acotar la raız en intervalos cada vez mas pequenos, lo que permite aproximar numeri-camente raıces. De hecho, esta idea da lugar a lo que se conocer como metodo de biseccion parael calculo de raıces, que es un metodo que se estudiara con mas detenimiento en la asignaturade Metodos Numericos.

44

Teorema 2.42 (Teorema de Bolzano) .Sea f : [a, b] −→ R continua.Si f(a)f(b) < 0, entonces ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0

DemostracionSupongamos, sin perdida de generalidad, que f(a) < 0 y f(b) > 0.Vamos a construir un conjunto de intervalos cada vez mas pequenos y contenidos cada uno

en el anterior (lo que se llaman intervalos encajados). Estos intervalos nos van a servir paralocalizar la raız c, que queremos demostrar que existe.

Para ello, partimos de [a, b]. Denotamos [a0, b0] = [a, b] y tomamos el punto medio c0 =(a0 + b0)/2. Si f(c0) = 0 habrıamos encontrado la raız c = c0 y quedarıa probado el teorema. Sino es ası hay dos opciones:

1. f(c0) < 0, en cuyo caso denotamos [a1, b1] = [c0, b0].

2. f(c0) > 0, en cuyo caso denotamos [a1, b1] = [a0, c0].

En los dos casos, acabamos con un intervalo [a1, b1] contenido en el anterior [a0, b0], de longitudla mitad, y tal que f(a1) < 0, f(b1) > 0. Continuamos con este intervalo y procedemos de lamisma forma, calculando c1 = (a1 + b1)/2; si f(c1) = 0 hemos acabado, y si no [a2, b2] = [c1, b1]si f(c1) < 0 y [a2, b2] = [a1, c1] en el otro caso. Ası, procediendo sucesivamente de la mismaforma, o bien en un de esos pasos encontramos un ci tal que f(ci) = 0 (lo que prueba el teorema)o habremos construido una sucesion de intervalos encajados:

[a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ . . . [an, bn] ⊃ . . .

Como decıamos, cada intervalo es mitad del anterior, con lo que

bn − an =bn−1 − an−1

2=

bn−2 − an−2

4= . . . =

b0 − a02n

=b− a

2n

y ademas f(ai) < 0, f(bi) > 0 para todo i ∈ N.Tenemos entonces que {an} es sucesion creciente acotada superiormente (por ejemplo, una

cota es b) mientras que {bn} es una sucesion decreciente acotada inferiormente (por ejemplopor a). Por lo tanto (ver Teoremas 1.22 y 1.23), tenemos que {an} y {bn} son sucesionesconvergentes. Ademas

lımn→∞

(bn − an) = lımn→∞

b− a

2n= 0

y por lo tanto ambas sucesiones tienen el mismo lımite, que llamamos c. Tenemos entoncesque c = lımn→∞ an y por continuidad de f , lımn→∞ f(an) = f(lımn→∞ an) = f(c). Y comof(an) < 0 para todo n, es evidente que f(c) ≤ 0. De forma analoga tenemos que lımn→∞ f(bn) =f(lımn→∞ bn) = f(c) y como f(bn) > 0 para todo n deducimos que f(c) ≥ 0. Y como f(c) ≥ 0y a la vez f(c) ≤ 0, necesariamente tenemos f(c) = 0, con lo que queda probado el teorema.

✷

45

Comentario 2.43 El proceso por el cual se van generando intervalos encajados que contienena una raız c es conocido como algoritmo de biseccion, y puede ser utilizando como herramientapara calcular raıces numericamente.

Hay qye senalar que, como para cualquier otro teorema, es importante comprobar que severifican las hipotesis antes de aplicarlo. Por ejemplo, la funcion f(x) = 1/x cambia de signo en[−1, 1] pero no hay ningun c en (−1, 1) tal que f(c) = 0; no es sorprendente, ya que la funcionno es continua en [−1, 1].

Finalmente, observamos que el teorema nos dice que existe una raız en el abierto, pero puedehaber mas de una.

Finalizamos con algunos resultados adicionales relacionados con la continuidad.

Teorema 2.44 (Teorema de los valores intermedios) .Sea f : [a, b] −→ R continua. Entonces, f toma todos los valores entre f(a) y f(b).

Ejercicio 2.45 Demostrar este teorema como consecuencia del teorema de Bolzano.

Por otra parte, se puede demostrar que:

Teorema 2.46 Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces esta acotada en [a, b].

Teorema 2.47 (Teorema de Weierstrass) .Sea f : [a, b] −→ R continua. Entonces, f alcanza maximo y mınimo en [a, b]; es decir,

∃ x1, x2 ∈ [a, b] tales que:f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) ∀x ∈ [a, b]

Es crucial que la funcion sea continua en un intervalo cerrado para que se pueda aplicar elteorema de Weierstrass. Ası, por ejemplo, la funcion 1/x es continua en (0, 1], que no es cerrado.No es pues de extranar que no se cumpla que la funcion alcance tanto maximo como mınimo eneste intervalo, de hecho no alcanza maximo puesto que lımx→0+

1x = +∞.

46

3

Calculo diferencial para funciones reales

de variable real.

El calculo se centra en el estudio de dos operaciones: derivacion e integracion. El calculodiferencial fue introducido por Newton y Leibnitz. Newton introdujo el calculo diferencial comoherramienta matematica en el estudio del movimiento de los cuerpos.

El concepto de derivada y su interpretacion como razon de cambio ya es con seguridadconocido. Ası, por ejemplo, el concepto de velocidad instantanea, necesita de la definicion de laderivada. Asımismo, sera conocida la interpretacion de la derivada como pendiente de la rectatangente a la grafica de la funcion en un punto. Tambien es de esperar que sean conocidoslos metodos fundamentales de derivacion ası como la aplicacion de la derivada al problema delcalculo de extremos de una funcion.

Este tema puede de nuevo considerarse como un tema de repaso y ampliacion de conoci-mientos. Se tratara de dar rigor a conceptos que seran posiblemente conocidos, y se introducirannuevos e importantes conceptos, como por ejemplo las series de Taylor.

3.1. Concepto de derivada.

Definicion 3.1 (Derivada en un punto) Dada f : A −→ R una funcion, diremos que f esderivable en a si el siguiente lımite:

lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

existe, y es un numero real.

En tal caso, llamaremos al valor del lımite derivada de f en el punto a, y lo denotaremoscomo f ′(a)

Comentario 3.2 Se puede dar una formulacion equivalente para el calculo de la derivada enun punto a.

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

Comentario 3.3 Se pueden definir las derivadas laterales de una funcion en un punto, tomandoel lımite por la derecha o bien por la izquierda. Por las propiedades conocidas de los lımites, una

47

funcion sera derivable en un punto si y solo si lo es por la derecha y por la izquierda, y ambasderivadas laterales coinciden.

Definicion 3.4 (Funcion derivada) Sea f una funcion real de variable real. La funcion de-rivada de f , que denotamos por f ′, es una funcion cuyo dominio Dom(f ′) es el conjunto depuntos donde f es derivable y que asigna a cada x ∈ Dom(f ′) el valor de la derivada en esepunto.

Notacion 3.5 Una notacion alternativa para la funcion derivada f ′(x) esdfdx

. Tambien se sueleescribir la definicion de lımite como

df

dx= lım

∆x→0

∆f

∆x

donde ∆f = f(x+∆x)− f(x).

Definicion 3.6 (Derivadas sucesivas) Dada una funcion f y su funcion derivada f ′, llama-remos derivada segunda de f a la derivada de f ′, que denotaremos por f ′′. Genericamente, a lafuncion resultante de derivar n veces f la llamaremos derivada n-esima y la denotaremos porf (n).

La siguiente definicion resume la interpretacion grafica del concepto de derivada.

Definicion 3.7 La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = a es la rectaque pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente f ′(a). Su ecuacion es:

y − f(a) = f ′(a)(x− a) .

La recta normal a y = f(x) en x = a es la perpendicular a la recta tangente en ese punto;es decir, es la recta:

y − f(a) =−1

f ′(a)(x− a) .

Definicion 3.8 Una funcion f : A −→ R se dice que es derivable en un intervalo abiertoA ⊂ R si es derivable en cualquier punto de A.

La derivabilidad de una funcion en un punto implica la continuidad de la funcion en esepunto. Podemos, en efecto, intuir que esto es ası puesto que la existencia de derivada en unpunto implica que la funcion varıa suavemente en un entorno de ese punto, lo que es necesariopara que exista la recta tangente a la curva en ese punto. Tıpicamente, las graficas de funcionesque presenten “picos” no seran derivables en estos picos pero si pueden ser continuas. Un ejemplobien conocido es el siguiente:

Ejemplo 3.9 Demostrar que la funcion f(x) = |x| es continua en x = 0 pero no es derivableen x = 0.

48

Este ejemplo muestra que continuidad no implica derivabilidad, aunque derivabilidad sı im-plique continuidad, como vamos a continuacion a demostrar.

Teorema 3.10 Si una funcion f es derivable en un punto a, entonces es continua en ese punto.

Demostracion Como f es derivable en a ⇒ ∃ lımx→af(x)− f(a)

x− a . A partir de aquı es facilcomprobar que f es continua en a, pues:

lımx→a

f(x)− f(a) = lımx→a

(f(x)− f(a))

Podemos dividir y multiplicar por (x − a) en el miembro de la derecha (recordemos que en ladefinicion de lımite cuando x → a se consideran valores de x tan proximos a a como se quierapero con x 6= a). Entonces:

lımx→a

f(x)− f(a) = lımx→a

(f(x)− f(a))

x− a(x− a) = lım

x→a

f(x)− f(a)

x− alımx→a

(x− a)

donde la ultima igualdad es cierta por las reglas artimeticas de los lımites y puesto que amboslımites en la expresion de la derecha existe. Entonces

lımx→a

f(x)− f(a) = f ′(a) lımx→a

(x− a) = 0

✷

3.2. Calculo de derivadas

Realizamos un breve repaso de tecnicas de derivacion, que, en un primer curso de una licen-ciatura, se ha de asumir que son conocidas de antemano. No demostramos estos resultados salvoen el caso de la regla de la cadena.

Proposicion 3.11 Sea f : A −→ R una funcion y A un abierto

Si f(x) = c ∀x ∈ A, entonces f ′(x) = 0 para todo x ∈ A.

Si f(x) = x ∀x ∈ A, entonces f ′(x) = 1 para todo x ∈ A.

Proposicion 3.12 Sean f : A −→ R , g : A −→ R funciones derivables en un punto a ∈ A.Entonces,

f + g derivable en a, y(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

λf derivable en a ∀λ ∈ R , y ademas

(λf)′(a) = λf ′(a) .

49

fg derivable en a, y

(fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a) .

Si g(a) 6= 0,fg es tambien derivable en a, y:

(

f

g

)′

(a) =f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)

(g(a))2.

Proposicion 3.13 A continuacion se dan las derivadas de otras funciones elementales (tienevalidez cuando tenga sentido la expresion).

1. f(x) = xn =⇒ f ′(x) = nxn−1

2. f(x) = n√x =⇒ f ′(x) = 1

nn√xn−1

.

3. f(x) = ln |x| =⇒ f ′(x) = 1x .

4. f(x) = logb |x| =⇒ f ′(x) = 1x ln b

.

5. f(x) = ex −→ f ′(a) = ex.

6. f(x) = ax =⇒ f ′(x) = ax log a.

7. f(x) = sinx −→ f ′(x) = cos x.

8. f(x) = cosx −→ f ′(x) = − sinx.

9. f(x) = tanx −→ f ′(x) = 1cos2 x

10. f(x) = cot x −→ f ′(x) = −1sin2 x

.

11. f(x) = arcsinx −→ f ′(x) = 1√

1− x2.

12. f(x) = arctan x −→ f ′(x) = 11 + x2

.

Teorema 3.14 (Regla de la cadena) .

Sea f una funcion derivable en un punto a y g una funcion derivable en el punto f(a).Entonces, la composicion g ◦ f es derivable en a, y se cumple:

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) .

50

Comentario 3.15 Otra forma, sin duda menos precisa pero bastante utilizada, de escribir laregla de la cadena para derivar una funcion z(y(x)), es:

dz

dx=

dz

dy

dy

dx.

Por supuesto, la notacion no nos debe hacer pensar que se trata de una identidad entre fracciones.Esta notacion es menos precisa pues se identifica con la misma letra a las funciones z(y(x)) (yes funcion de x) con z(x) (o si se prefiere z(y), donde ahora y es considerada como variableindependiente).

Demostracion Denotemos f(a) = b. Definimos la funcion:

F (y) =

g(y)− g(b)y − b

− g′(b) si y 6= b

0 si y = b

que es, como comprobamos a continuacion, continua en y = b. En efecto, como g es derivableen y = b

lımy→b

F (y) = lımy→b

g(y)− g(b)

y − b− g′(b) = 0 = F (b)

Teniendo en cuenta que, si f(x) 6= b

F (f(x)) =g(f(x))− g(b)

f(x)− b− g′(b)

despejamos y obtenemos

g(f(x)) − g(b) = [F (f(x)) + g′(b)](f(x) − b) .

Esta ultima igualdad es tambien cierta para f(x) = b. Dividiendo por (x− a) y tomando lımitex → a:

(g ◦ f)′(a) = lımx→ag(f(x))− g(f(a))

x− a = lımx→a[F (f(x)) + g′(b)] lımx→af(x)− f(a)

x− a =

= [F (b) + g′(b)]f ′(a) = g′(b)f ′(a) ,

donde se ha utilizado que F es continua en b (y f en a) para escribir lımx→a F (f(x)) =F (lımx→a f(x)) = F (f(a)) = F (b) ✷

Corolario 3.16 Si f : A −→ R es una funcion derivable en un punto a, con f ′(a) 6= 0, ysuponemos que existe f−1 : f(A) −→ R funcion inversa, entonces f−1 es derivable en f(a), yverifica

(f−1)′(f(a)) =1

f ′(a)

51

o, de forma equivalente, escribiendo b = f(a), a = f−1(b):

(f−1)′(b) =1

f ′(f−1(b))

Demostracion Este resultado se demuestra teniendo en cuenta que (f−1 ◦ f)(x) = x y aplicandola regla de la cadena.

3.3. Funciones derivables en un intervalo. Propiedades

Como es bien conocido, una de las aplicaciones de las derivadas es la obtencion de losextremos (maximos y mınimos) de una funcion. Definamos en primer lugar que entendemos porextremos relativos.

Definicion 3.17 (Extremos relativos) .

Una funcion f tiene un maximo relativo en x0 si ∃δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) para todox ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

x0 es mınimo relativo de la funcion f si ∃δ > 0 tal que f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈(x0 − δ, x0 + δ).

Si se sustituyen las desigualdades por desigualdades estrictas entonces se habla de extremosrelativos estrictos.

Definicion 3.18 (Extremos absolutos) .

Una funcion f alcanza maximo absoluto sobre un conjunto I si existe un x0 ∈ I tal quef(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ I. Se dice entonces que f tiene un maximo absoluto en x0.

Una funcion f alcanza mınimo absoluto sobre un conjunto I si existe un x0 ∈ I tal quef(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ I. Se dice entonces que f tiene un mınimo absoluto en x0.

Teorema 3.19 (Condicion necesaria de extremo relativo) Sea I un intervalo abierto; seaf : I −→ R derivable en x0 ∈ I.

Entonces, si x0 es extremo relativo de f =⇒ f ′(x0) = 0.

Demostracion Supongamos que f tiene un maximo relativo en x0 (para un mınimo relativo lademostracion es analoga). Por definicion de mınimo relativo debe exitir un ε > 0 tal que

f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) .

Consideremos el cociente

Q(h) =f(x0 + h)− f(x0)

h.

52

Es evidente que Q(h) ≤ 0 si h ∈ (0, ε) y que Q(h) ≥ 0 si h ∈ (−ε, 0) y por lo tanto:

limh→0+Q(h) ≤ 0 , limh→0−Q(h) ≥ 0 ,

de modo que

f ′(x0) = lımh→0

Q(h) = lımh→0+

Q(h) = lımh→0−

Q(h) = 0 .

De la condicion necesaria de extremo relativo se deduce que en un punto x0 puede haberun extremo relativo si f es derivable en x0 y f ′(x0) = 0, pero que no necesariamente lo habra.Ademas, tambien puede haber extremos relativos en puntos donde no exista la derivada.

Definicion 3.20 Dada una funcion f se dice que x0 ∈ Dom(f) es un punto crıtico de f si fes derivable en x0 y f ′(x0) = 0 o bien si f no es derivable en x0.

Corolario 3.21 Si f tiene un extremo relativo en x0 entonces x0 es un punto crıtico.

Es importante tener en cuenta que para localizar todos los candidatos a extremos relativos nosolo nos basta con los puntos que anulan la primera derivada, sino que tambien necesitamosobtener los puntos donde no existe la derivada.

Ejemplo 3.22 Obtener los extremos relativos de f(x) = |x2 − 9|.

En cuanto a los extremos absolutos:

Teorema 3.23 Sea f : [a, b] → R, los extremos absolutos, si existen, estan localizados o bienen los puntos crıticos de la funcion o en los extremos del intervalo (a y b).

3.3.1. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Consecuencias.

El teorema del valor medio es un poderoso resultado que nos permite obtener importantesconsecuencias respecto al crecimiento/decrecimiento y existencia de extremos relativos, entreotras aplicaciones. Como paso previo, demostraremos el teorema de Rolle que es otro resultadoimportante que resulta util, entre otras aplicaciones como criterio de separacion de funciones, ydel que se deduce el teorema del valor medio.

Teorema 3.24 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b] y derivable en(a, b). Supongamos, ademas, que f(a) = f(b) = 0. Entonces,

∃x0 ∈ (a, b) : f ′(x0) = 0 .

53

Demostracion Distingamos dos casos. En primer lugar, si f fuese identicamente nula en [a, b],tambien lo serıa su derivada y el teorema se cumple trivialmente.

Por otra parte, si f no es identicamente nula, el teorema se demuestra sencillamente hacien-do uso del teorema de Weierstrass (Teorema 2.47) y de la condicion necesaria para extremosrelativos (Teorema 3.19). En efecto, como la funcion es continua en [a, b] alcanza maximo M ymınimo m en este intervalo. Es evidente que M ≥ 0 y que m ≤ 0 y que al menos una de lasdos desigualdades es estricta (si m = M = 0 la funcion serıa identicamente nula, en contra denuestra hipotesis). Supongamos que M > 0 (para el caso m 6= 0 se puede seguir un razonamientosimilar); sea x un punto del intervalo para el cual f(x) = M , entonces a < x < b pues M 6= 0.Por supuesto, la funcion tiene un maximo relativo en x y por la condicion necesaria de extremorelativo, ya que f es derivable en x, tenemos que f ′(x) = 0. ✷

Ejercicio 3.25 El resultado del teorema de Rolle sigue siendo cierto cambiando la hipotesisf(a) = f(b) = 0 por f(a) = f(b). Demostrar este hecho.

Comentario 3.26 El teorema de Rolle es util como criterio de separacion de raıces de funcionesderivables, en el sentido de que nos dice que entre dos raıces de una funcion derivable tiene quehaber al menos una raız de la funcion derivada. En la hoja de problemas encontramos variosejercicios en los que se ha de utilizar este hecho.

Teorema 3.27 (Teorema del valor medio) Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b] y deriva-ble en (a, b) . Entonces,

∃x0 ∈ (a, b) : f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a

Podemos interpretar graficamente este resultado diciendo que existe un punto x en (a, b)tal que la recta tangente a la grafica de la funcion en este punto es paralela a la recta secanteque une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) (ambas rectas tiene la misma pendiente). Este resultadose puede demostrar utilizando el teorema de Rolle, lo que no debe sorprendernos dado que elteorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio para el cual f(a) = f(b). Loque debemos hacer es encontrar una funcion auxiliar a la que podamos aplicar el teorema deRolle de manera que nos proporcione el teorema del valor medio. La eleccion es:

φ(x) = f(x)− s(x) ,

donde s(c) es la recta secante, es decir,

s(x) = f(a)− f(b)− f(a)

b− a(x− a) ,

54

de manera que φ(x) representa la desviacion de f(x) respecto a la secante s(x).

x0 x

y

y=f(x)

ba

Teorema del valor medio

Ejercicio 3.28 Con las indicaciones dadas, demostrar el teorema del valor medio.

Corolario 3.29 Si f : I −→ R es tal que f ′(x) = 0 ∀x ∈ I, entonces f es constante en I.

En efecto, sean x0 y x1, x0 < x1, dos puntos de I. Como se cumplen las hipotesis del teoremadel valor medio en [x0, x1], existira un x en (x0, x1) tal que f(x1)− f(x0) = f ′(x)(x − x0) perof ′(x) = 0 por ser f identicamente nula.

Corolario 3.30 Si dos funciones definidas en un intervalo I tienen la misma derivada, entoncesse diferencian solo en una constante.

Ejercicio 3.31 Demostrar el Corolario 3.30

El signo de la primera derivada es un criterio operativo para estudiar el crecimiento/decrecimientode una funcion. Podemos intuir que cuando una funcion sea estrictamente creciente, las rectastangentes a la grafica tendran pendiente positiva mientras que cuando sean estrictamente de-crecientes, la pendiente sera negativa. Por lo tanto, son perfectamente razonables los siguientesresultados (facilmente demostrables utilizando el teorema del valor medio).

Proposicion 3.32 Sea f : I −→ R una funcion derivable en un intervalo I. Entonces,

1. f es creciente en I ⇐⇒ f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.

2. f es decreciente en I ⇐⇒ f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I.

3. Si f ′(x) > 0 ∀x ∈ I =⇒ f es estrictamente creciente en I.

4. Si f ′(x) < 0 ∀x ∈ I =⇒ f es estrictamente decreciente en I.

55

Es importante darse cuenta de que los recıprocos de 3 y 4 no son ciertos, como demuestrael caso de f(x) = x3 que es una funcion estrictamente creciente ∀x pero cuya derivada se anulaen x = 0.

Ejercicio 3.33 Demostrar el Teorema 3.32.

Existen condiciones necesarias que nos aseguran que en un determinado punto la funcionalcanza un maximo o mınimo relativo. Asi, por ejemplo, cuando en un punto x0 en el que lafuncion es continua, la funcion pasa de ser creciente a decreciente podemos asegurar que hay unmaximo relativo.

Teorema 3.34 (Criterio de la primera derivada) Sea f tal que:

1. f es continua en x0

2. ∃δ > 0 | f ′(x) > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0) y f ′(x) < 0 ∀x ∈ (x0, x0 + δ) (es decir, que fes estrictamente creciente para x inmediatamente a la izquierda de x0 y estrictamentedecreciente para x inmediatamente a la derecha de x0).

Entonces f tiene un maximo relativo estricto en x0

De nuevo, el teorema del valor medio resulta util para demostrar este resultado. Tampoco esdifıcil comprobar el resultado analogo para mınimos relativos.

Teorema 3.35 (Criterio de la segunda derivada) Si f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) > 0 (f ′′(x0) <0), entonces f tiene en x0 un mınimo (maximo) relativo estricto.

Ejemplo 3.36 Obtener los extremos relativos de la funcion f(x) = x(x− 1)2/3.

Este es una ejemplo de funcion que tiene un extremo relativo en un punto donde es derivabley otro donde no existe la derivada.

Ademas del crecimiento, unas propiedades interesantes (por ejemplo desde un punto de vistade representacion grafica) son las de concavidad/convexidad de una funcion. No insistimos muchoen esto (que seguro sera conocido), y simplemente damos nuestra definicion.

Definicion 3.37 Se dice que una funcion f derivable en un abierto I es concava (convexa) enI si f ′ es creciente (decreciente) en I.

Se dice que x0 es un punto de inflexion de f si la funcion pasa de ser concava a convexa (oviceversa) en x0.

56

3.4. Teorema del valor medio de Cauchy. Regla de L’Hopital.

Enunciamos el teorema del valor medio de Cauchy, de nuevo consecuencia del teorema deRolle, y del que se deduce como consecuencia la regla de L’Hopital, de gran utilidad para resolverciertas indeterminaciones (y con segurida ya conocida).

Teorema 3.38 (T.V.M. de Cauchy) .

Sean dos funciones f, g : [a, b] −→ R continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces,

∃x0 ∈ (a, b) : f ′(x0)(g(b) − g(a)) = g′(x0)(f(b)− f(a))

Si, ademas, g(b) 6= g(a), podemos escribir

f ′(x0)

g′(x0)=

f(b)− f(a)

g(b) − g(a).

Demostracion Para demostrar este teorema no hay mas que aplicar el teorema de Rolle parala funcion

φ(x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f(x) g(x) 1f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

En efecto, tenemos que esta funcion φ(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) por serlo f yg, y ademas, por las conocidas propiedades de los determinantes, φ(a) = φ(b) = 0. Por lo tantodel teorema de Rolle deducimos que existe un x0 ∈ (a, b) tal que φ′(x0) = 0.

Desarrollamos el determinante por la primera fila y tenemos

φ(x) = f(x)(g(a) − g(b)) − g(x)(f(a) − f(b)) + f(a)g(b) − f(b)g(a),

luego φ′(x) = f ′(x)(g(a)− g(b))− g′(x)(f(a)− f(b)). Por lo tanto, que exista un x0 que cumplaque φ′(x0) = 0 implica que f ′(x0)(g(a)−g(b))−g′(x0)(f(a)−f(b)) = 0, con lo que queda probadoel teorema. ✷

Teorema 3.39 (Regla de L’Hopital) .

Sea I un intervalo abierto con a ∈ I. Sean f y g dos funciones derivables en I, con g′(x) 6= 0en I.

1. Si lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = 0 y ∃ lımx→a

f ′(x)

g′(x), entonces existe lım

x→a

f(x)

g(x)y

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

57

2. Si lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = ±∞ y ∃ lımx→a

f ′(x)

g′(x), entonces existe lım

x→a

f(x)

g(x)y

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

El teorema se puede asımismo formular para lımites laterales o lımites infinitos (a = ±∞).

Demostracion No vamos a demostrar completamente este teorema. Vamos unicamente aescoger el caso de indeterminacion 0/0 para lımites laterales por la derecha para ilustrar comoel teorema del valor medio de Cauchy se encuentra detras de la regla de L’Hopital.

Suponemos pues que existe el lımite

lımx→a+

f ′(x)

g′(x)= L . (4.1)

Por ser f es derivable en a, continua en a y lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = 0 entonces f(a) = g(a) =

0, con lo que podemos escribirf(x)

g(x)=

f(x)− f(a)

g(x) − g(a)

puesto que g(x) 6= g(a) (esto es cierto porque, por el teorema del valor medio, existe c ∈ (a, x)tal que g(x)− g(a) = g′(c)(x − a) y por hipotesis g′(c) 6= 0).

Ademas, como f y g son derivables en un abierto que contiene a x = a en particular podremosencontrar un b tal que f y g son continuas en [a, x] y derivables en (a, x) para cualquier x ∈ (a, b).Podemos entonces aplicar el teorema del valor medio de Cauchy en [a, x] y tenemos que existeun cx tal que a < cx < x < b y

f(x)

g(x)=

f(x)− f(a)

g(x)− g(a)=

f ′(cx)

g′(cx).

Esto, junto con la existencia del lımite (4.1) implica que

lımx→a+

f(x)

g(x)= lım

cx→a+

f ′(cx)

g′(cx).

(observemos que cx ∈ (a, x) con lo que, si x → a+ tambien cx → a+) ✷

Comentario 3.40 En lo anterior hemos tomado lımites por la derecha por comodidad, perocon las condiciones del teorema el argumento es igualmente valido para el lımite sin mas (y,claro, tambien para el lımite por la izquierda). Las condiciones que hemos dado en el teorema,por cierto, no son las mas generales pero son suficientes para nuestros propositos.

58

Comentario 3.41 Se debe, desde luego, insistir en que se han de verificar todas las hipotesis delteorema (como de cualquier teorema) para poder aplicarlo con garantıa. En particular, debemostener una indeterminacion 0/0 o ∞/∞ y no podemos aplicar el teorema en casos que no setraduzcan en estas indeterminaciones. Probablemente, la facilidad de aplicacion de este teoremainduzca muy a menudo a utilizarlo en circunstancias “poco propicias”.

Comentario 3.42 En el teorema hemos supuesto por hipotesis la derivabilidad en un entornoI que contiena a a, pero el resultado sigue siendo cierto si f y g son derivables en I \ {a} yg′(x) 6= 0 para todo x ∈ I \ {a}.

A continuacion se muestran ejemplos de lımites que se pueden resolver aplicando la regla deL´Hopital:

Ejercicio 3.43 Aplicar la regla de L’Hopital para calcular los siguientes lımites:

1. lımx→0cos x− 1

x2. Es una indeterminacion 0/0. Aplicando dos veces L’Hopital obtenemos

que el lımite es −1/2.

2. lımx→+∞lnxxa

, a > 0. El lımite es 0.

3. lımx→1−√1− x ln(ln 1/x). Esta es una indeterminacion 0.∞ pero podemos transformarla

en una indeterminacion ∞/∞ y aplicar L’Hopital:

L = lımx→1−

√1− x ln(ln 1/x) = lım

x→1−

ln(− lnx)

(1− x)−1/2= lım

x→1−

1/(x ln x)1

2(1− x)−3/2

luego

L = lımx→1−

(1− x)3/2

lnx

2

x

pero, aplicando de nuevo L’Hopital

lımx→1−

(1− x)3/2

lnx= lım

x→1−

−3

2(1− x)1/2

1/x= 0

de modo que L = 0.

3.5. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor. Series de Taylor.

El teorema de Taylor es una herramienta fundamental del calculo y, en particular, es uno delos resultados del analisis mas utilizados en fısica. Los polinomios de Taylor sirven, entre otrascosas, para aproximar una funcion suficientemente derivable en un entorno de un punto.

59

3.5.1. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor

Definicion 3.44 (Polinomio de Taylor) Dada f una funcion n veces derivable en x0, se de-fine el polinomio de Taylor de orden n en x0 para f , que denotaremos por Tn(x)

1, como el

polinomio de menor grado tal que T(i)n (x0) = f (i)(x0), i = 0, . . . n.

Proposicion 3.45 Sea f una funcion derivable n veces en x0, entonces el polinomio de Taylorde orden n en x0 para f se escribe

Tn(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k.

Demostracion En efecto, como queremos que se satisfagan n+1 condiciones T(i)n (x0) = f (i)(x0),

i = 0, . . . n, basta con que el polinomio sea a lo sumo de grado n, estando los n+ 1 coeficientesdeterminados por estas n + 1 condiciones. Escribimos el polinomio centrandolo en x0 (lo quesiempre se puede hacer):

Tn(x) =n∑

k=0

ak(x− x0)k = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ an(x− x0)

n

Es facil comprobar que T(i)n (x0) = i!ai, y como queremos que T

(i)n (x0) = f (i)(x0) deducimos que

ai = f (i)(x0)/i!, con lo que queda demostrado. ✷

Definicion 3.46 Se define el resto de Taylor, centrado en x0, de orden n de una funcion fcomo:

Rn(x) = f(x)− Tn(x)

donde Tn(x) es el polinomio de Taylor, de orden n, centrado en x0:

Tn(x) =

n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k

Enunciamos un resultado que es sencillo demostrar aplicando L’Hopital y que resultara utilmas adelante.

Proposicion 3.47 Sea f una funcion n veces derivable en un punto x0; entonces,

lımx→x0

Rn(x)

(x− x0)n= 0 .

1En algunos textos se denota como T [f, n](x), o variantes, para recordar que se refiere a una determinadafuncion f

60

Como decıamos, el polinomio de Taylor sirve para aproximar una funcion en torno a un puntox0. En principio, podemos pensar que la aproximacion sera mejor cuanto mas alto sea el ordendel polinomio, aunque esto no es necesariamente ası. El siguiente resultado nos permitira enmuchas ocasiones (cuando las derivadas sean faciles de calcular y acotar) estimar el error que secomete con facilidad.

Teorema 3.48 (Teorema de Taylor (resto de Lagrange)) Sea f una funcion n+ 1 vecesderivable en el intervalo cerrado comprendido entre x0 y x, y n veces derivable en el abiertoentre x0 y x.

Sea Rn tal que

f(x) =

n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +Rn(x) ≡ Tn(x) +Rn(x)

(es decir, Rn(x) es el resto de Taylor de orden n centrado en x0).

Entonces, ∃c en el intervalo abierto entre x0 y x tal que

Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1 .

No demostramos el teorema, que se puede deducir utilizando el teorema de Rolle.

Comentario 3.49 Las hipotesis del teorema se verifican automaticamente si, por ejemplo, exis-te f (n+1) en un abierto I y x0, x ∈ I.

Hay otras formas de expresar el resto, pero para nuestros propositos es suficiente la formade Lagrange.

3.5.2. Aplicaciones del teorema de Taylor

Representacion grafica de funciones

Como consecuencia del Teorema de Taylor, podemos demostrar de forma simple un criteriosuficiente de existencia de extremos relativos y puntos de inflexion:

Teorema 3.50 Sea f una funcion cuyas n− 1, n ≥ 2, primeras derivadas en un punto x0 sonnulas mientras que la derivada n-esima es no nula y continua en x0. Entonces:

1. Si n es par y f (n)(x0) > 0 (f (n)(x0) < 0) en x0 hay un mınimo (maximo) relativo.

2. Si n es impar, en x0 hay un punto de inflexion.

61

Demostracion Como la primera derivada es nula, la tangente a la curva en x es horizontal.Tendremos un mınimo (maximo) cuando la tangente este por debajo (encima) de la grafica dela funcion en un entorno de x0. Por contra, si en x0 hay un punto de inflexion, la tangentecortara a la grafica en ese punto. Veamos cuando se dan estas circunstancias estudiando elsigno de f(x)− f(x0) en un entorno de x0 (la recta tangente en (x0, f(x0)), es y = f(x0)).

Por el teorema de Taylor, ∃c entre x y x0 de modo que

f(x)− f(x0) =f (n)(ζ)

n!(x− x0)

n

(puesto que f(x) = Tn−1(x) + Rn−1(x) y f Tn−1(x) = f(x0) ya que todas las derivadas de fhasta la (n− 1)-esima son nulas).

Si n es par entonces signo(f(x)− f(x0)) = signo(

f (n)(x))

, pero por ser f (n)(x0) 6= 0 y f (n)

continua en a debe existir un entorno de a donde f (n) no cambie de signo. Es decir, que para xsuficientemente proxima a a tendremos que signo(f(x)− f(x0)) = signo(f (n)(x0)). Entonces, severificara que la tangente esta por debajo de la grafica de la funcion si f (n)(x0) > 0 (mınimo);en caso contrario tendrıamos un mınimo.

Por otra parte, procediento de similar forma si n es impar signo(f(x)−f(x0)) = signo(f (n)(x0)(x−x0)

n) = signo(f (n)(x0)(x−x0)), luego el signo de f(x)−f(x0) cambia segun sea x > x0 o x < x0(y x suficientemente proximo a x0). Tenemos un punto de inflexion en x0. ✷

Aproximacion de funciones por polinomios

Bajo ciertas condiciones de derivabilidad, el teorema de Taylor nos garantiza que podemosescribir una funcion como suma del polinomio de Taylor de orden n mas el resto, que podemosestimar. Esto permite aproximar funciones mediante polinomios de cierto grado; la aproximacionsera tanto mejor cuanto menor sea el resto. En teorıa, si el resto tiende a cero, tomando suficientesterminos podemos conseguir una aproximacion tan buena como queramos en torno al punto quese desarrolla; parece logico que esto sea ası pues el polinomio de Taylor de orden n de unafuncion f centrado en un x = x0 es el unico polinomio de grado n cuyas n primeras derivadasen x0 coinciden con las derivadas de la funcion en este punto.

Ilustremos con un ejemplo esta aplicacion del teorema de Taylor.

Ejercicio 3.51 Verificar que los valores de la funcion seno pueden calcularse con al menos trescifras exactas (con un error menor que 0,0005) para angulos entre 41o y 49o por medio de laaproximacion:

sin(π

4+ h)

≃√2

2

(

1 + h− h2

2

)

.

Lo primero es siempre traducir todo a radianes. Si estamos entre 41o y 49o quiere decir queestamos alrededor de π/4, entre π/4 − δ y π + δ con δ = π/45 (1o son, como sabemos, π/180radianes).

62

El enunciado nos indica que debemos obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de la funcionsin(x) centrado en x0 = π/4 y acotar el resto de este orden. Tenemos pues que:

f(x) = sinx =2∑

k=0

fk(π/4)

k!(x− π/4)k +

f (3)(c)

3!(x− π/4)3

con c entre x0 = π/4 y x. O, si se prefiere, llamando x = π/4 + h

sin (π/4 + h) =

2∑

k=0

fk(π/4)

k!hk +

f (3)(ζ)

3!h3 =

= sin π4 + cos π4h−

sinπ

42!

h2 − cos(c)3!

h3

El polinomio de Taylor de orden 2 es entonces:

T2(h) =

√2

2

(

1 + h− h2

2

)

.

Para estudiar la bondad de esta aproximacion en el intervalo dado acotamos el resto, Ası:

|R2(x)| =∣

∣

∣

∣

cos(c)

3!h3∣

∣

∣

∣

≤ 1

3!

( π

45

)3= 0,0000567 .

donde hemos acotado | cos(c)| ≤ 1. Hemos demostrado con esto lo que se nos pedıa.En realidad podrıamos haber acotado mejor el resto, y en particular cos(c). Y aunque en este

caso no es necesario, en otros casos si puede ser conveniente afinar mas. En este caso, comoc esta entre π/4 − δ y π/4 + δ y en ese intervalo el coseno es decreciente (y positivo) tenemosque | cos(c)| < cos(π/4 − π/45) < 0,7547 y de ello deducimos que |R2(x)| < 0,0000428, que noes una gran mejora respecto a lo anterior.

Calculo de formas indeterminadas

En ocasiones, se puede resolver una indeterminacion en un lımite sustituyendo las funcionespor sus polinomios de Taylor de cierto orden. El siguiente ejercicio ilustra esta aplicacion.

Ejercicio 3.52 Calcular el lımite L = lımx→01− x2/2− cos x

x4.

El polinomio de Taylor de orden 4 de cos x entorno a x = 0 es T4(x) = 1 − x2/2 + x4/24.Entonces:

lımx→0

1− x2/2− cos x

x4= lım

x→0

−x4/24−R4(x)

x4

Pero, por la proposicion 3.47, lımx→0R4(x)/x4 = 0, luego L = −1/24.

63

Comentario 3.53 Observamos que, en el lenguaje de infinitesimos equivalentes, lo que se com-prueba en el anterior ejercicio es que 1− cos x− x2/2 ∼ −x4/24.

De hecho, los infinitesimos que se recogieron en la tabla eran, salvo por la aproximacion deStirling, consecuencias de la aproximacion mediante polinomios de Taylor.

Otros ejemplos podrıan ser:

Ejercicio 3.54 Calcular los siguientes lımites:

1. lımx→0cosx− ex

2

x2

2. lımx→0ex − cos xx− sinx

Aplicaciones en fısica

Los casos de aplicacion de las series de Taylor en fısica son innumerables. Vamos a dar dosejemplos.

1. Cuando estudiamos el movimiento de un pendulo simple de longitud l, tenemos que elangulo que forma la vertical en funcion del tiempo satisface la ecuacion:

d2θ

dt2+

g

lsin θ = 0.

No es facil obtener la solucion de esta ecuacion, aunque se puede encontrar una expresionen terminos de lo que se conocen como integrales elıpticas. Sin embargo, para angulospequenos podemos aproximar sin θ por su serie de Taylor centrada en θ0 = 0:

sin θ = θ − θ3

6+ . . .

Si las oscilaciones son suficientemente pequenas nos podemos quedar con el primer termino,aproximando la ecuacion de partida por

d2θ

dt2+

g

lθ = 0.

Esto ya es mas facil de resolver: θ(t) = θ0 cos(ωt+ φ0), ω =√

g/l.

2. Los desarrollos de Taylor en fısica son muy interesantes para estudiar aproximaciones deciertas ecuaciones, casos lımite o incluso relaciones entre teorıas. Por ejemplo, se puedeentender la mecanica clasica de Newton como lımite de la teorıa de la relatividad especialde Einstein para velocidades pequenas respecto a la de la luz (lo que formalmente esequivalente a tomar c → ∞ siendo c la velocidad de la luz).

64

Como ejemplo de esto, vamos a partir de la expresion para la energıa de un cuerpo mo-viendose con momento lineal p (que se estudiara en posteriores cursos):

E =√

(mc2)2 + (pc)2.

Observamos que para el caso particular p = 0 tenemos la archiconocida expresion E = mc2,que como vemos, no es toda la energıa, sino la energıa en reposo, que vamos a denotarpor E0 = mc2. Definimos ahora la energıa cinetica como diferencia entre la energıa E =√

(mc2)2 + (pc)2 y la energıa en reposo E0 = mc2:

K = E − E0.

Vamos a comprobar, utilizando series de Taylor, que si p es mucho menor que mc, tenemos

que K ≃ p2

2m , que es la expresion habitual de la energıa cinetica en mecanica Newtoniana(con la salvedad de que el momento p no es exactamente el mismo, aunque tambien seaproxima a velocidades pequenas).

En efecto:

K =√

(mc2)2 + (pc)2 −mc2 = mc2

(

√

1 +( p

mc

)2− 1

)

Y como estamos suponiendo que (p/(mc))2 va a ser muy pequeno, podemos aproximar laraız utililando la serie de Taylor centrada en 0 para f(x) =

√1 + x que es (comprobarlo):

f(x) = 1 + x2 − x2

8 + · · · (ponemos puntos suspensivos porque podrıamos considerar masterminos, aunque al final solo tomaremos los dos primeros de esta aproximacion).

Con esto y tomando x = (p/(mc))2

K = mc2(√1 + x− 1) = mc2

(

x2 − x2

8 + · · ·)

≈ 12mc2x =

p2

2m

3.5.3. Series de Taylor

El problema que ahora nos planteamos es: dada una funcion f(x), ¿admite la funcion unarepresentacion como serie de potencias en cierto intervalo?. Por supuesto, para que esto seaposible, se necesita que la funcion sea infinitamente derivable en ese intervalo, pues las series depotencias lo son.

Nos va a resultar comodo utilizar el concepto de entorno de un punto x0 ∈ R

Definicion 3.55 Un entorno de x0 ∈ R es un intervalo que contiene a x0.

65

Definicion 3.56 Una funcion real f se dice que es analıtica en un punto x0 si existe un entornoU de x0 de manera que existe una serie de potencias verificando

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− x0)n ∀x ∈ U .

Se dice que f es analıtica en un intervalo abierto I si lo es en todos los puntos de I.

Por supuesto, la analiticidad en un intervalo implica la infinita derivabilidad en ese intervalo. Sinembargo, el recıproco no es cierto, es decir, una funcion de variable real puede ser infinitamentederivable en un punto y no ser analıtica en ese punto, como el siguiente ejercicio ejemplifica.

Ejercicio 3.57 Sea la funcion

f(x) =

{

e−1/x2

si x 6= 00 si x = 0

Comprobar que la funcion es infinitamente derivable en R. ¿Es f analıtica en x = 0?.La respuesta es que la funcion es, efectivamente, infinitamente derivable, pero no es analıtica

en x = 0 pues todas las derivadas en x = 0 son nulas, de modo que la serie de Taylor solorepresenta a la funcion en x = 0, pero no en un entorno de x = 0.

Conviene pues estudiar cuando una funcion es analıtica y si las series de potencias entornoa un punto x0 son unicas y como se obtienen. Empecemos por resolver la segunda cuestion.

Teorema 3.58 (Serie de Taylor) Sea f una funcion analıtica en x0. Entonces, en un entornode x0

f(x) =

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n ,

y tal representacion en series de potencias (serie de Taylor centrada en x0) es unica.

Demostracion Similarmente a la proposicion 3.45, partimos de

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− x0)n

y como resulta que f (n)(x0) = n!an se tiene que an = f (n)(x0)n! y queda demostrado. ✷

En cuanto a la existencia de la series de potencias, es decir, en cuanto a la analiticidad de unafuncion dada, tendremos garantıas de que la funcion se puede representar mediante una seriede Taylor si la suma parcial n-esima de la serie de Taylor, que hemos denominado polinomio deTaylor de orden n, se aproxima a la funcion cuando n → ∞, es decir si el resto Rn tiene a cero.El teorema de Taylor nos da informacion sobre este resto.

66

Ejercicio 3.59 Comprobar que ex es analıtica en R. Escribir su serie de Taylor centrada encero.

Consideramos el resto de Taylor de orden n centrado en x0, que es

Rn(x) =ec

n!(x− x0)

n,

donde c es un valor entre x y x0. Sea cuales sean x, x0 y c, claramente lımn→∞Rn(x) = 0, yf(x) = ex es analıtica para cualquier x0, es decir, que es analıtica en R.

Como f (n)(x0) = f(x0) = ex0 la serie centrada en x0 es

ex =

∞∑

n=0

ex0(x− x0)n

n!= ex0

∞∑

n=0

(x− x0)n

n!,

que es facil de ver que converge en R. En particular la serie centrada en x0 = 0, es

ex =

∞∑

n=0

xn

n!

Ejercicio 3.60 Comprobar que sin(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!y que cos(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!para

todo x real.

Ejercicio 3.61 Comprobar que ln(1+x) es analıtica en (−1,+∞). Encontrar la serie de Taylorcentrada en x = 0 y estudiar su convergencia.

Para estudiar la analiticidad, hay que estudiar el resto de Taylor centrado en x0 ∈ Dom(f) =(−1,+∞]:

Rn(x) = (−1)n+1 1

(n+ 1)(1 + ζ)n+1 (x− x0)n+1

A partir de aquı no es dificil comprobar que para cualquier x0 ∈ (−1,+∞] existe un entorno dex0 en el cual lımn→∞Rn(x) = 0.

La serie de Taylor centrada en x = 0 es

ln(1 + x) =

∞∑

n=0

(−1)n

nxn .

El radio de convergencia es R = 1 y el intervalo de convergencia es (−1, 1], dandose laconvergencia absoluta salvo en x = 1.

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