introduction des conditions réelles de débit aux limites d'un modèle hydrodynamique

lntroduction des conditions reelles de debit aux limites d9un modele hydrodynamique

Jean-Loup Robert et Mohammad Hossein Hamedi

RksumC : L'objectif principal de cet article est de presenter une technique pour mieux contrbler les dCbits imposCs aux limites ouvertes d'un modble numtrique hydrodynamique. En gCntral, les modbles bidimensionnels acceptent des conditions aux limites sous forme de valeurs impostes des hauteurs d'eau ou des composantes de la vitesse. Bien que ces conditions soient satisfaisantes dans la plupart des cas, la modClisation de canaux ouverts, dont I'Ccoulement est rCglC par une section contrBle oa le debit s'Ctablit en fonction de la charge hydraulique disponible, ne s'en accommode pas. La formulation intCgrale nCcessaire a la construction d'un modble aux ClCments finis permet de faire apparaitre explicitement des termes de contour qui, adCquatement exploitCs, permettent l'introduction de conditions aux limites en dCbit sur les sections ouvertes du domaine ttudiC. Les aspects thtoriques de cette demarche sont d'abord dCtaillCs puis, afin de verifier le bien-fond6 du dtveloppement et d'evaluer la fiabilitt du modble comme outil de conception, les rtsultats numCriques sont comparCs avec les mesures observtes sur un montage en laboratoire. Les rCsultats permettent de conclure que le modble ainsi dCveloppC offre une souplesse d'utilisation ainsi qu'un haut niveau de prCcision et qu'il constitue une aide fort appreciable la conception en hydraulique.

Mots clds : hydrodynamique, Ccoulement a surface libre, modClisation, elements finis, lois de ddbits, conditions aux limites, comparaison numCrique et expkrimentale.

Abstract: The main goal of this paper is to present a technique to improve the specification of discharge at the open boundaries of a hydrodynamic numerical model. Generally, two dimensional models need boundary conditions using imposed values of water level and (or) velocity components. Although these conditions are satisfactory in most situations, they are not sufficient for open channel flow modelling, in which the discharge is set up according to the upstream hydraulic head. The integral form, needed'by finite element modelling, is useful to generate explicit boundary terms that, adequately used, allow the introduction of discharge boundary conditions at open borders of the application domain. The theoretical aspects of this approach are first detailed and, to check the validity of the development and to evaluate the reliability of the model as a design tool, the numerical results are compared with observations on an experimental installation. The results allow to conclude that the proposed model offer a wide range of applications and a high level of accuracy and that it can be considered as a useful aid for hydraulic design.

Key words: hydrodynamics, free surface flow, modelling, finite elements, discharge law, boundary conditions, numerical-experimental comparison.

lntroduction

La modtlisation des Ccoulements, que ce soit en hydraulique ou en akrodynamique, est toujours like au problkme des conditions aux limites. En effet, dans la plupart des cas, le domaine d'Ctude est tellement grand qu'il devient nCcessaire d'en couper une partie pour mieux en dttailler une autre. Des conditions aux limites artificielles sont donc introduites pour

R e p le 30 novembre 1993. Revision acceptCe le 18 avril 1995.

J.-L. Robert. Dtpartement de gtnie civil, Pavillon Pouliot, UniversitC Laval, Sainte-Foy, QC G1K 7P4, Canada. M.H. Hamedi. Dtpartement de genie mCcanique, UniversitC de technologie de Khadjeh Nassir-al-Deen Toosi, C. P. 11365-1866, TChtran, Iran.

I Les commentaires sur le contenu de cet article doivent &tre envoyCs au directeur scientifique de la revue avant le 30 avril 1996 (voir l'adresse au verso du plat suptrieur).

borner une portion du domaine. Les comportements physiques sur la partie absente du domaine ne peuvent toutefois pas Ctre totalement ignorCs et les conditions d e frontikre i specifier sur ces limites artificielles doivent en reflCter la realit6 du comportement et remplacer les effets d e la partie manquante. Le cas des conditions de symktrie, par exemple, illustre bien ce concept, car sur ces limites artificielles, la rtalite impose qu'il n'y ait pas d'echange entre les deux parties et on impose alors des conditions de flux nul.

En modtlisation bidimensionnelle des Ccoulements i surface libre, on doit pratiquement systematiquement utiliser des limites artificielles pour limiter le domaine d'Ctude i une zone c6tikre ou encore a un tronCon de cours d'eau. C'est ce dernier aspect qui sera l'objet d e l'etude prCsentte ici. Nous nous limiterons donc i 1'Ctude des canaux ouverts et au dCve- loppement d e conditions aux limites artificielles qui reprB sentent un comportement physique rCaliste. La position d e ce type d e limites est de premikre importance pour assurer la

Can. J . Civ. Eng. 22: 1133-1142 (1995). Printed in Canada I Imprime au Canada

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qualit6 de la modClisation. Si l'une d'entre elles est placCe dans un endroit oh 1'Ccoulement est permanent et uniforme, des conditions de gradient de vitesse nu1 et l'imposition d'une hauteur d'eau connue sont parfaitement adequates pour respecter la rCalitC. Cependant, il n'est pas toujours possible de trouver ces conditions idCales; par contre, il est souvent possible de repCrer, dans l'Ccoulement, un endroit singulier oh une relation entre divers parambtres de 17Ccoulement peut &tre Ctablie. C'est le cas d'un seuil ou d'un orifice de contrble pour lesquels la relation entre la charge hydraulique et le dCbit est connue empiriquement ou experimentalement.

Nous nous attacherons donc ici 2 dCvelopper une mCthode qui permette de placer les limites artificielles d'un modble numCrique bidimensionnel aux ClCments finis d'Ccoulement en canal ouvert au voisinage d'une section oh il existe une relation charge-debit. Cela se fera par le dCveloppement d'un ClCment de contour qui assurera l'introduction de cette condition particulibre dans les Cquations du modble. Le modble Ctant bidimensionnel, ce nouvel ClCment pourra non seulement permettre le contrble du dCbit aux limites ouvertes, mais aussi simuler des distributions laterales irrkgulibres de debits.

Les applications de ce type d'C1Cments sont multiples, mentionnons a titre d'exemples : (i) l'imposition d'un dCbit constant ou non a la sortie d'une centrale hydroClectrique sans avoir 2 imposer le niveau d'eau a cet endroit, (ii) 1'Ctude de la rCpartition du dCbit dans des canaux parallbles contrb1Cs par des vannes rCglCes de f a ~ o n s diffkrentes ou ayant des caractkristiques de perte de charge diffkrentes et (iii) la modClisation d'un cours d'eau se terminant par une chute, un dCversoir ou une centrale hydroklectrique en fonctionnement.

Avant de passer a cet ClCment de frontibre, nous dCtaille- rons les principes du modble bidimensionnel horizontal rCsolu par la mCthode des ClCments finis, car la crCation du nouvel ClCment implique des modifications 5 sa formulation. Ensuite, nous expliciterons la formulation de 1'ClCment de contour et nous en ferons la validation en Ctudiant un cas pour lequel nous avons procCdC 2 des mesures en laboratoire.

Modele numerique

Principes La formulation de base du modble devra nous permettre de quantifier, dans le temps et dans l'espace, la vitesse moyenne d'un profil vertical et la position de la surface libre. I1 s'agit donc de mettre en Cquations les parambtres et leurs variations par rapport a l'espace et au temps et de rCsoudre le systbme par une mCthode appropriCe. La mCthode de rCsolution analytique devient ici inutilisable en raison, principalement, de la prCsence de termes non linCaires et, aussi, 2 cause de la gComCtrie irrCgulibre du domaine d'application des Cquations. Ces raisons nous guident naturellement vers une mCthode de rCsolution numCrique. C'est donc par approximation des Cquations au moyen d'une discrktisation adCquate dans le temps et dans l'espace que nous obtiendrons des rCsultats dont l'interpretation physique sera significative.

~ ~ u a t i o n s de base L'Ctude de 1'Cquilibre des forces, lors du mouvement des fluides sans frottement visqueux, nous conduit aux Cquations d'Euler. En plus, il faut tenir compte du principe de conservation de la masse, ici pour un fluide incompressible, en Ccrivant 1'Cquation de continuitC.

En faisant l'hypothbe que l'effet de l'accC1Cration verticale est negligeable, ce qui exclut 1'Ctude des phCnombnes rapides tels que les vagues, nous dkfinissons l'hypothbse de pression hydrostatique. Comme nous l'avons spCcifiC en introduction, les limites artificielles du modble doivent &tre placCes au voisinage des dispositifs de contrble du debit, de telle sorte que les zones de fortes accClCrations verticales ne soient pas incluses dans le modble. L'objectif premier de la technique proposCe Ctant d'assurer la justesse des dCbits entrant ou sortant du modble, on place ce type de limites artificielles 2 une distance amont choisie de telle sorte que la hauteur d'eau 2 cet endroit permette de calculer la charge sur le dispositif de contrhle. Un modble tridimensionnel ayant un plus haut degrC de prCcision serait alors nCcessaire pour calculer 1'Ccoulement sur un seuil ou dans l'orifice.

Enfin, en posant l'hypothbse qu'un profil vertical de vitesse 2 tout endroit de 1'Ccoulement prCsente peu de variation, il est possible d7Climiner les variations des parambtres selon la dimension verticale z . Ceci permet alors d'obtenir une formulation spatiale bidimensionnelle. Pour Ctablir cette formulation, il faut intCgrer les Cquations de 7 2 h, oh 7 est la position de la surface libre par rapport au niveau de rCfC- rence et h la position du fond selon la verticale.

Suivant ces dernibres considCrations et en ajoutant des contraintes de viscositC turbulente, v,, (Le MChautC 1976), on peut exprimer le systbme d'Cquations dCfinissant le modble mathimatique bidimensionnel de la f a ~ o n suivante :

avec la force de Coriolis, f = 2w sin 4, oh w est la vitesse de rotation de la terre (radls) et 4 la latitude (en degrCs), et C,, le coefficient de ChCzy.

Conditions aux limites Les conditions aux limites h considCrer sont les suivantes : (i) On peut connaitre et imposer, sur une frontike du domaine, les composantes U et V de la vitesse moyenne du courant sur la verticale ou la hauteur d'eau. (ii) Sur d'autres frontibres, il est possible d'imposer des contraintes qui sont proportionnelles aux gradients de vitesse dans un fluide new- tonien tel que l'eau.

Par conskquent, le traitement d'une frontibre naturelle du domaine, une paroi impermeable par exemple, pourra se faire de plusieurs f a ~ o n s : (i) Par une condition d'adhkrence parfaite du fluide 5 la paroi, c'est-&dire en imposant U = V = 0 5 la paroi. (ii) Par une condition de glissement parfait, c'est-a-dire en imposant seulement une vitesse nulle selon la normale 5 la paroi et en laissant la vitesse tangentielle totalement libre. (iii) Par une situation intermkdiaire o t ~ la vitesse normale est nulle mais oh une loi de frottement est spCcifiCe sous forme d'une contrainte tangentielle, en gCnCral propor-

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tionnelle au carrt de l'intensitt de la vitesse. Comme on peut le constater, i partir de ce que l'on vient

de dtvelopper, les variables du modble sont exprimtes sous forme de vitesses de courant et de position de la surface libre et l'on ne voit pas apparaitre explicitement le dtbit normal 5 une frontibre.

Formulation par ClCments finis Sans entrer dans les dttails de la mtthode des tltments finis, mentionnons que celle-ci est baste sur une formulation inttgrale du modble mathtmatique i rtsoudre numtriquement. De f a ~ o n gtntrale, cette formulation nous est donnte par l'approche de la mtthode des rtsidus pondtrts et, plus parti- culibrement, par la mtthode de Galerkine en ce qui concerne les tquations en mtcanique des fluides (Zienckiewicz 1977). Des variantes de cette mtthode sont cependant ntcessaires pour amtliorer le comportement des schtmas numtriques utilists pour rtsoudre les optrateurs hyperboliques compris dans ces equations. Nous dttaillerons un peu plus loin cet aspect en dtmontrant . exptrimentalement la ntcessitt de ces modifications.

La forme inttgrale du modble s'tcrit donc i partir de l'application de la mCthode de Galerkine (voir Dhatt et Touzot 1981) aux equations 1, 2 et 3 :

Les termes de l'inttgrale contenant des optrateurs du second ordre sont inttgrts par parties afin de pouvoir rtduire le degrt de la fonction d'interpolation.

Afin de transformer le modkle inttgro-difftrentiel en un systbme d'tquations difftrentielles, il suffit de remplacer les fonctions continues U, 6U, etc., par des fonctions paramttri- ques obtenues par approximation nodale, c'est-i-dire utilisant comme parambtres les valeurs discrbtes de la fonction localistes en difftrents noeuds de l'dtment.

Pour ce modble, nous utiliserons des tltments triangu- laires i six noeuds et des tltments quadrilattraux i neuf noeuds. Les valeurs nodales des composantes de la vitesse seront localistes aux six ou neuf noeuds selon l'tltment; cependant, pour tviter les oscillations de la position de la surface libre (Cochet 1979; Cochet et al. 1982), les valeurs nodales de cette dernibre ne seront localistes qu'aux trois ou quatre sommets (fig. 1 ) .

Les fonctions d'approximation nodale seront bastes sur une fonction polynomiale du second degrt pour les vitesses et elles seront linCaires pour les hauteurs d'eau. Ainsi, on tcrira

Fig. 1. ~ l k m e n t s utilisks.

Triangle a 6 noeuds Quadrilatere a 9 noeuds

Ceci nous permettra d'tcrire les matrices et vecteurs tltmen- taires pour les assembler dans les matrices et vecteurs glo- baux. Comme le problbme est non lintaire, nous utiliserons une mtthode de Newton-Raphson pour le lintariser. Ceci implique qu'il faille construire la matrice jacobienne (ou tangente) du systbme en prenant la premibre variation des for- mes inttgrales prtctdentes. Celles-ci deviennent donc

X (U2AU + U V A V ) - U H2

asuaau asuaau dD x v t - - ( a x ax +.i dl)]

aav aav aav av [81 AW,= ~ G V - + u - + v - + - A U D [ a t ax ay ax

X (V2AV + U V A U ) - V H2

asvaav asvaav , --+-- ax ax ay ay 11

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En introduisant les fonctions d'interpolation, on obtient, aprks assemblage, le systkme algebrique suivant :

~ldment de contour pour I'introduction du ddbit normal L'equation de continuit6 du modkle bidimensionnel intCgrC sur la verticale s'Ccrit

Selon la convention adoptCe, les produits HU et HV reprCsen- tent respectivement les dtbits unitaires q, et qy.

L'introduction d'un dispositif de contr6le de 1'Ccoulement B une limite ouverte du modkle peut se faire B condition que les dtbits unitaires soient explicitement exprimCs dans la formulation. Rkgle gCnCrale, on Ccrira cette relation de con- tr6le du debit sous la forme

Dans le cas d'un orifice submerge complktement noyC, cette formule pourrait prendre la forme

oh p est le coefficient de dCbit, ho, l'ouverture de l'orifice, ha, la hauteur d'eau B l'aval, H, la charge amont et g, 1'accelCration gravitationnelle.

Dans le cas d'un seuil normal dCnoyt, cette relation prend la forme

oh Hc est la hauteur de cr6te. Afin de mettre en Cvidence le dCbit unitaire q, dans le

modkle pour Etre en mesure d'introduire des relations charge- dCbit, il faut intCgrer la forme intCgrale de 1'Cquation de con- tinuit6 par parties. Cette opCration d'intkgration par parties dCfinit la forme faible de la formulation intCgrale et offre des possibilitCs intCressantes sur le plan de la manipulation des conditions aux limites. En effet, appliquCe B 1'Cquation de continuit6 (Cq. 1 I), elle permet de rCduire l'ordre de dCriva- tion des produits HU et HV et, surtout, de faire apparaitre explicitement un terme de contour impliquant directement le dCbit normal B une frontikre.

En laissant de c6tC le terme temporel dans la forme intC- grale de Galerkine de 1'Cquation de continuit6 (Cq. 9) et en y introduisant les dCbits unitaires selon les deux directions, nous obtenons, par intkgration par parties :


Fig. 2. DCfinition de la normale au contour.

dx = -m ds dy= Pds e = cos e

m = sin 8

En considCrant la convention suivante (fig. 2), la forme inti- grale devient

+ f677(qX cos 6' + q,, sin 6' )dS

Finalement, sachant que

q, = q, cos 6' + qy sin 6'

et en reintroduisant les variables primitives, nous obtenons

ce qui dCfinit la forme inttgrale faible de 1'Cquation de con- tinuitC.

Afin de proceder B la discretisation de cette forme intC- grale de 1'Cquation de continuid, nous allons traiter sCparC- ment l'intkgrale sur le domaine D et l'intkgrale sur le contour S en notant

Sachant que le problkme non linCaire sera rCsolu par une mCthode de Newton-Raphson, il faut Ccrire la matrice tangente que l'on obtient par la premikre variation de la forme faible :

ce qui devient

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Fig. 3. Position des ClCments de frontibre par rapport au maillage.

Surface libre Maillage dans le plan de rkfkrence

/

En introduisant les fonctions d'approximation nodale dCfi- nies 2 la section 2, nous obtenons la forme faible discrkte ClC- mentaire de 1'Cquation de continuit6 :

Cette relation permet de calculer la matrice tangente ClCmen- taire nCcessaire au processus de rCsolution.

Traitons maintenant le terme de contour sur un ClCment unidimensionnel qui se confondra seulement aux noeuds appartenant 2 une frontikre (fig. 3). Le terme de contour s'Ccrit

[211 W,s = $679, dS S

Pour la rCsolution par Newton-Raphson, on doit prendre la premikre variation de la forme intCgrale en supposant la forme gCnCrale suivante de la relation charge - debit :

9, = f ( H )

alors,

Pour la discrktisation de cette forme sur un ClCment unidimensionnel, on utilisera une fonction d'interpolation qui ne fera intervenir que les noeuds dYextrCmitC pour &tre parfaitement compatible avec les ClCments T-6 et Q-9 dCj2 dCcrits. Ceci est justifiC par le fait que l'on doive considCrer que les noeuds de cet ClCment particulier sont dCj2 utilisCs par d'autres ClCments et qu'ils contiennent des degrCs de libertC en vitesse; bien que, ici, seuls les degrCs de libertC en hauteur d'eau soient utilids.

En introduisant les fonctions d'interpolation, on Ccrit

Dans le cas particulier oh

l'expression [22] devient

Dans le cas oh l'on dispose, sur une limite ouverte, de don- nCes de dCbits mesurCs, potentiellement sous forme de series chronologiques, il suffit d'introduire directement les valeurs nodales de q, dans la forme discrkte de 1'Cquation 21. Cette possibilitC est fort intiressante pour introduire des conditions de debit au voisinage d'installations hydroClectriques, car elle permet au modkle d'ajuster les valeurs de hauteur d'eau et de vitesse avec, pour seule rCfCrence, la valeur du debit turbinC.

Application aux seuils deversoirs

GCnCralitCs Dans cette section, nous dCcrirons la mCthode utilisCe pour valider le modkle numCrique. En gCnCral, la validation d'un modkle numCrique se fait en comparant les rCsultats du modkle 2 ceux d'une solution analytique d'un problkme relativement simple. Le present modkle est issu d'un modkle existant dCj2 validC, car seule la formulation de 1'Cquation de continuit6 a CtC modifiCe. Dans une premikre Ctape, nous avons donc pro- cCdC 2 la virification de la nouvelle version en reprenant nos tests de validation tel que 1'Ccoulement permanent uniforme ou la propagation sans frottement d'une onde longue dans un canal rectiligne fermC 2 une extrCmitC. Ces essais nous ont permis de constater que la formulation faible de 1'Cquation de continuit6 Ctait correcte car les rCsultats obtenus Ctaient iden- tiques 2 ceux qui dCcoulent de la forme forte. MathCmatique- ment, l'intkgration par parties d'une forme intCgrale de type rCsidus pondCrCs conduit rigoureusement 2 une forme faible Cquivalente si la solution est exacte. Si la solution est appro-

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Fig. 4. SchCma du canal avec les seuils. Cloison skparatrice

Seuil a plan incline

I \ I

ximative, 1'intCgration par partie augmente les conditions de dCrivabilitC de la pondkration (Dhatt et Touzot 1981). En fonction du degrC de la fonction de pondCration polynomiale, cela peut rCduire la prCcision de la solution numkrique. Dans le cas prksent, la forme forte exige que la pondCration soit au moins une constante et nous utilisons une forme polynomiale du premier degrC. La forme faible impose que la pondCration soit dCrivable une fois, ce qui est satisfait par la fonction choisie. On peut donc s'attendre B ce que la perte de prCcision soit rCduite. Cependant, en ce qui concerne les ClCments de contour, nous voulions aller plus loin que les essais prkliminaires basks sur l'utilisation d'une loi de seuil thCorique (ou toute autre loi de cet ordre). La simulation d'un montage disponible au laboratoire d'hydraulique du dCparte- ment de gCnie civil de 1'UniversitC Lava1 nous a paru intCres- sante sous deux aspects : d'une part, la vkrification effective de la performance de l'klkment de dCbit et, d'autre part, sa mise en situation dans un cas de rkpartition de dkbit puisque le canal expCrimental se termine par deux seuils aux performances diffkrentes et, par consequent, prCsente une disparitk sur le plan de la rkpartition du dkbit.

Description du montage expkrimental La portion du montage expkrimental qui nous intCresse ici est constituCe d'un canal B section rectangulaire d'une largeur de 0,722 m et d'une longueur de plus de 6 m (fig. 4). L'extrC- mitC amont est CquipCe d'un dispositif d'alimentation rCglC au moyen d'une vanne a proximitk de laquelle se trouve un diaphragme calibrC, permettant la mesure du dCbit envoy6 dans l'installation. Dans la partie aval, une paroi verticale longitudinale sCpare le canal en deux canaix concourants aboutissant sur deux seuils dCversoirs aux caracteristiques diffkrentes. Le premier est un seuil de type Creager, alors que le second eit un seuil en plan inclink B 45",destinC B Ctudier les dCcollements de la couche limite.

Une sCrie de mesures a CtC rCalisCe pour Ctablir les relations charge-dCbit pour ces deux seuils. Cependant, lors de tests numCriques et de mesures au laboratoire, nous nous sommes vite rendu compte que les deux seuils avaient des caractkristiques trop semblables sur le plan de leur capacitC de dCbit pour bien mettre en Cvidence le-problkme du partage inkquitable du dCbit. Tout au plus, nous pouvions conclure que la faible dissymktrie du partage du dCbit observCe (environ 49 - 5 1 %) Ctait Cgalement prkdite par le modkle numCri- que. Ceci a donc CtC considkrk comme un essai de validation de la formulation et de la programmation du modkle.

7 1 Seuil Creager

I1 nous est alors paru intkressant et important de modifier l'un des deux seuils pour accentuer cette dissymktrie. Une cr&te mince de prks de 2 cm de hauteur a Ctk superposke B la crCte du seuil B plan inclink B 45".

Pour les trois configurations de seuils, un dkflecteur de dkbit a CtC utilisC afin de permettre 1'Ctalonnage individuel des relations charge-dkbit par simple mesure des niveaux d'eau et du dCbit entrant dans le dispositif expkrimental, au moyen d'un diaphragme Ctalonnk.

En kliminant quelques valeurs aberrantes aux extrkmitks, nous Ctablissons les lois suivantes pour les trois seuils : seuil Creager :

seuil en plan inclint :

seuil en plan inclint modifiC :

Ces trois Cquations sont trades B la figure 5 en tenant compte du fait que le seuil en plan inclink a une crCte surClevCe de 1,7 mm par rapport au seuil Creager et que la surClCvation du seuil modifiC est de 17,3 mm. Les deux courbes des seuils originaux sont t r b p r b l'une de l'autre jusqu'h une charge d'environ 13 cm. A partir de ce point, le seuil Creager prk- sente une meilleure efficacitk. La courbe du seuil modifiC, quant B elle, se dttache nettement et sera donc utilisCe pour les essais de comparaison entre le dispositif expkrimental et le modkle numCrique.

Modele aux elements finis

Un premier maillage utilisant 80 Clkments Q-9 a CtC utilisC pour traiter numkriquement ce cas. Une attention particulikre a kt6 apportCe au niveau de la clpison ~Cparatrice dans les 2,45 m de la partie aval du canal. A cet endroit, deux noeuds ont CtC dCsignCs, de part et d'autre de la cloison, pour permettre une spCcification de vitesses indkpendantes. Cepen- dant, le passage, sur le bord d'attaque de la paroi, de un a deux noeuds sur deux positions voisines crCe une situation de discontinuit6 de conditions aux limites car la vitesse spCcifiCe au noeud unique pointe B 1'extCrieur du domaine (fig. 6). Cette situation provoque des oscillations du plan d'eau dans le voisinage de ces conditions. Afin d'attCnuer ce problkme,

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Fig. 5. Relations charge-d6bit pour les trois configurations de seuils. 8 0

0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0 , l 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

Charge (m)

nous avons penst que la reduction de la dimension de la dis- continuit6 pourrait Stre efficace.

Deux autres maillages ont donc CtC produits en se basant sur le raffinement du maillage. Le premier dCcoule directement du maillage initial car il en partage les nombres d'C1C- ments et de noeuds. Seule la taille des ClCments a CtC ajustCe pour rCduire leur dimension prbs du bord d'attaque de la paroi. Cette reduction entraine Cvidemment une augmenta- tion de la dimension d'C1Cments plus CloignCs. Quant au deuxibme, il est tout i fait diffkrent car il respecte les dimen- sions physiques de llCpaisseur de la paroi (5 mm). I1 prCsente donc une variCtC importante de tailles et un grand nombre d7C1Cments dans la zone critique (fig. 7).

Des ClCments de contou: ont CtC installCs aux extrCmitCs amont et aval du domaine. A l'aval, un dCbit unitaire constant a CtC dtfini, alors qu ' i l'amont, les relations [24] et [25] ou [26] ont CtC utilisies.

Les essais prCliminaires nous ont permis de constater que les diffkrents maillages gCnCraient des rCsultats numCriques 1Cgbrement differents quant aux hauteurs d'eau au voisinage du bord d'attaque de la cloison et sans differences significa- tives sur le plan des vitesses. Le maillage raffinC Ctant un bon compromis, il fut conservC pour les essais numCriques suivants.

Fig. 6. Discontinuit6 de conditions aux limites au bord d'attaque de la cloison separatrice.

Resultats numeriques La formulation numCrique par la mCthode de Galerkine produit des schCmas numCriques centres qui ne sont pas bien adaptCs B la modClisation des termes convectifs. Bien qu'ici, 1'Ccoulement Ctant pratiquement uniforme, les termes convectifs soient trks faibles, la formulation de Galerkine ne permet pas d'atteindre un niveau de precision correct. Lors du dCmarrage du modkle, nous avions fix6 comme objectif un Ccoulement d'une vitesse d'environ 8,6 cm/s et nous ne pouvions pas atteindre une vitesse supCrieure 2 2 cmls lors de la

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Fig. 7. Maillages du canal avec les seuils.

Maillage rkgulier

Maillage raffine

Maillage non structure

Fig. 8. Patrons d'bcoulement. situation en comparaison avec un cas ou le debit se rtpartit

est-plus faible puisque-sa crCte est plus haute. Dans les trois

sur les deux seuils.

mise en vitesse en regime transitoire. De plus, tout calcul en regime permanent n'atteint pas la convergence mCme aprbs 50 ittrations. Pour corriger le modble, il est ntcessaire de dtcentrer le schtma des termes convectifs par une technique de dtcentrage amont. Compte tenu de ses bonnes performances, nous avons choisi une technique SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin) qui consiste essentiellement B ajouter, au schtma existant, un terme diffusif affect6 d'une viscositt numtrique proportionnelle au produit de la vitesse et de la distance entre les noeuds le long des lignes de courant (Brooks et Hughes 1982). Nous soulignons qu'il ne s'agit pas ici d'une viscositt artificielle car celle-ci est une constquence directe de la modification de la formulation et de l'ameliora- tion des schtmas numtriques. De plus, le modele reste coht- rent, car cette viscositt disparait si l'on retourne aux tquations difftrentielles en faisant tendre le nombre de noeuds vers I'infini et, constquemment, la distance qui les stpare vers ztro.

Un premier test a consist6 B simuler une situation pour laquelle le dtbit est suffisamment faible pour que le niveau d'eau n'atteigne pas la cote de la crCte du seuil modifit. Ceci correspond A un dtbit de 2 L/s. L'tltment de contour a it6 programme de telle sorte que le coefficient de dtbit s'annule pour des valeurs de niveau d'eau inftrieures ou tgales A la cote de crCte. Le modkle rtagit correctement, et nous prtsen- tons, A la figure 8, un dttail du patron d'tcoulement au voisinage du bord d'attaque de la cloison stparatrice, pour cette

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cas, le plan de rtftrence Ctait situt B 0,54 m au-dessus du radier horizontal et les vitesses ont t t t mesurtes B l'amont (environ 1,5 m) des seuils dans chacun des canaux d'amente de part et d'autre de la cloison dparatrice.

La rtpartition du dtbit sur les deux seuils est trbs bien

Le tableau 1 prtsente les rtsultats obtenus avec le modkle - . - . - . numtrique par comparaison avec les mesures exptrimentales - . < . . . - . pour difftrentes valeurs de la charge sur le seuil Creager.

simulte par le modble numtrique. La tendance selon laquelle plus la charge augmente, plus la rtpartition de dtbit s'tgalise (de 60140 B 58/42) est tgalement bien reproduite par le modble numtrique. Le dtbit total pour chaque cas, calcult B la sortie du canal, est, aux erreurs d'arrondi prbs, exacte- ment le mCme que celui qui a t t t impost B l'amont. Ceci confirme une excellente conservation du dtbit, ce qui vient valider la justesse du dtveloppement effectut sur le traitement de l'tquation de continuitt.

En ce qui concerne les hauteurs d'eau, les prtdictions du modble numtrique sont aussi trbs satisfaisantes.

Sur le plan des vitesses moyennes dans chaque canal d'amente aux seuils, nous observons une difftrence syst6 matique entre les mesures et les valeurs calcultes. Cette difftrence s'observe aussi exptrimentalement entre le dtbit mesurt par un diaphragme B l'amont du montage et celui obtenu par integration des mesures de vitesse au moyen d'un moulinet. En fait, nous avons impost au modble le dtbit mesurt au diaphragme car cette mesure a semi B ttablir les courbes de la figure 5. D'autre part, sur le plan strictement exptrimental, les valeurs mesurtes du debit, soit par un diaphragme ttalonnt, soit par l'inttgration des profils de vitesses mesurtes, different de plus en plus 21 mesure que le dtbit augmente. Dans le pire cas (charge B 12 cm), l'erreur sur les deux mesures exptrimentales du dtbit est de 29,3% alors que l'erreur entre les valeurs numtriques et experimen- tales de la vitesse est de 25,4 %. Nous croyons que l'erreur

- - Rappelons que la charge correspondante sur le seuil modifit

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Robert et Hamedi

Tableau 1. Comparaison des resultats du modble numCrique et des mesures expkrimentales.

Vitesse (m/s) Hauteur d'eau (m) DCbit (m3/s)

Num. Exp. Num. Exp. Num. Exp.

Seuil Creager Seuil modifiC DCbit total Rtpartition du dtbit

Seuil Creager Seuil rnodifiC DCbit total Rtpartition du debit

Seuil Creager Seuil modifiC DCbit total Ripartition du dtbit

Seuil Creager Seuil modifiC DCbit total Rtpartition du dtbit

Charge = 6 cm, dCbit imposC = 0,019 90 m3/s 0,081 43 0,090 97 0,409 80 0,408 50 0,047 96 0,038 12 0,410 70 0,408 60

Charge = 8 cm, dCbit impost5 = 0,032 31 m3/s 0,119 86 0,141 89 0,429 90 0,429 60 0,080 34 0,095 21 0,431 03 0,430 50

Charge = 10 cm, debit imposC = 0,046 98 m3/s 0,161 69 0,195 93 0,450 71 0,452 00 0,115 92 0,140 56 0,452 15 0,451 60

Charge = 12 cm, dCbit impose = 0,060 09 m3/s 0,196 56 0,246 43 0,467 57 0,469 80 0,145 59 0,181 13 0,469 32 0,470 10

expkrimentale observCe provient essentiellement des courbes d'ktalonnage assez anciennes des deux instruments de mesure utilisCs et que la valeur rCelle se situe probablement entre les deux mesures. Selon cette remarque, il faudrait ajuster les courbes de seuil et corriger B la hausse le dCbit impose a l'amont. Sachant que le modble conserve trbs bien les dCbits, nous pouvons augmenter les vitesses calculCes en proportion des corrections apporties aux mesures expkrimentales. Nous pensons donc que cette disparitC ne met pas en cause la vali- ditC du modble numCrique, puisque sa nature est essentiellement expkrimentale.

Conclusions

L'utilisation de la forme intCgrale faible de 1'Cquation de con- tinuit6 nous a permis de dCvelopper un ClCment de contour pour imposer, sur les limites ouvertes d'un modkle hydrodynamique bidimensionnel surface libre, un dCbit normal ?I ces frontibres artificielles. Ce dCbit peut Ctre soit constant, soit rCglC par la charge hydraulique sur un seuil, un dCversoir ou une vanne-orifice.

Soulignons de plus que la formulation d'un ClCment de contour en dibit dCveloppte ici est suffisamment gCnCrale pour s'appliquer B des Ccoulements non stationnaires. Aucune modification n'est nCcessaire dans le cas des lois de dkbits en fonction de la charge hydraulique car si cette dernibre Cvolue dans le temps, le dCbit correspondant s'ajustera automatique- ment. Dans le cas d'un dCbit imposC, il suffira de sptcifier son Cvolution temporelle.

L'utilisation d'un montage en laboratoire nous a permis de constater que la formulation du modkle ttait juste et que

ses performances Ctaient suffisamment prCcises pour consi- direr ce modble comme un outil de conception.

Bibliographie

Brooks, A.N., et Hughes, T.J.R. 1982. Streamline upwind/Petrov- Galerkin formulations for convective dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations. Computational Methods for Applied Mechanic Engineer- ing, 32 : 199-259.

Cochet, J.F. 1979. ModClisation d'tcoulement stationnaires et non stationnaires par ClCments finis. Thkse de docteur-ingtnieur, UniversitC de technologie de Compibgne, Compikgne.

Cochet, J.F., Dhatt, G., Hubert, G., Ouellet, Y., Robert, J.L. et Verrette, J.L. 1982. Modtlisation des mtcanismes de rejet des eaux de refroidissement. Centreau, UniversitC Laval, Quebec, rapport CRE-82/03.

Dhatt, G., et Touzot, G. 1981. Une prtsentation de la mCthode des Cltments finis. Maloine, Paris.

Le Mehaute, B. 1976. An introduction to hydrodynamics and water waves. Springer-Verlag, New York.

Zienckiewicz, O.C. 1977. The finite element method. 3" Cd. McGraw-Hill, London.

Liste des symboles

C, coefficient de ChCzy D domaine f force de Coriolis g accClCration gravitationnelle H hauteur d'tcoulement H, hauteur de crCte h profondeur d'eau par rapport au niveau de rCfCrence

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1142 Can. J . Civ. Eng. Vol. 22, 1995

h, hauteur d'eau B l'aval position de la surface libre par rapport au niveau de ho ouverture de l'orifice rCfCrence N, N, fonctions d'interpolation ClCmentaires ,u coefficient de debit q, dCbit unitaire normal B une frontibre (m2/s) Y, viscositk turbulente S contour latitude (en degrCs) U , V cornposantes de la vitesse moyenne du courant sur la w vitesse de rotation de la terre (radls)

verticale

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introduction des conditions réelles de débit aux limites d'un modèle hydrodynamique

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