introduction kinematics ofeng.sut.ac.th/me/box/2_55/425203/02-ch2_kinematics of...ch-2 kinematics of...

Ch-2

Kinematics

of

Particles

1

โดย อาจารย์ วทิูรย์ เห็มสุวรรณสาขาวชิาวศิวกรรมเครื�องกล ปีการศึกษา 2/2555

� Introduction

� Rectilinear Motion

� Plane Curvilinear Motion

� Rectangular Coordinates (x, y)

� Normal and Tangential Coordinates (θ, t)

� Polar Coordinates (r, θ)

� Relative Motion (Translation Axes)

� Constrained Motion of Connected Particles

Outline2

Kinematics (จลนคณติศาสตร์): ?Kinematics (จลนคณติศาสตร์): การศึกษาการเคลื�อนที�ของอนุภาค ได้แก่ - Position (ตําแหน่ง)- Velocity (ความเร็ว)- Acceleration (ความเร่ง)

2/1: Introduction3

โดย “ ไม่พจิารณาผลกระทบจาก แรงกระทําภายนอก”

“kinematics”

Possible Coordinate System

2/1: Introduction (cont.)4

Choice of Coordinates

� x, y, z : Rectangular Coordinates

� r, θ, z : Rectangular Coordinates

� R, θ, ø : Spherical Coordinates

� n, t : Normal and Tangential

Coordinates (plat variables)

2/2: Rectilinear Motion:1D (การเคลื�อนที�วิถตีรง)5

(1) Position, s (m)

(2) Velocity, (m/s)

(3) Acceleration, (m/s2)

0

limt

s dsv s

t dt∆ →∆ →∆ →∆ →

∆∆∆∆= = == = == = == = =∆∆∆∆

&&&&

0

limt

v dva v

t dt∆ →∆ →∆ →∆ →

∆∆∆∆= = == = == = == = =∆∆∆∆

&&&&

2

2

d sa s

dt= == == == = &&&&&&&&

From (2) :

From (3) :

dsdt

v====

dvdt

a====

v dv a ds====

s dv s ds====& &&& &&& &&& &&

สรุป: 3 สมการการเคลื�อนที�หลกั (ODE)

(1)

(2)

(3)

dsv

dt

dva

dt

v dv a ds

→→→→

→→→→

→→→→

====

====

====

2/2: Rectilinear Motion (cont.)6

� Graphical Interpretation: กราฟ s, v, a เทียบต่อ t และ v, a เทียบ sa) กราฟ s, v, a เทียบต่อ t

Fig.a1: the s – t curve Fig. a2: the v – t curve

2 2

1 1

1 2 ( )

s t

s t

s areaunder v t curve

ds v dt

s −

=

− =

∫ ∫s t curveslope

dsv

dt −= =


a) กราฟ s, v, a เทียบต่อ t (ต่อ)

Fig.a3: the a – t curve

2 2

1 1

1 2 ( )

v t

v t

v areaunder v t curve

dv a dt

v −

=

− =

∫ ∫


b) กราฟ v, a เทียบต่อ s

Fig.b1: the v – s curve

:From v dv a ds

dva v

ds

=

=

Fig.b2: the a – s curve

2 2

1 1

v s

v sv dv a ds=∫ ∫

v s curvea v slope −∴ = ⋅ ( )2 22 11

2( )v v areaunder a s curve−− =


� Analytical Integration: พิจารณาได้เป็น 3 กรณี ดงันี�1) ความเร่งคงที : a = constant2) ความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา: a = f(t)3) ความเร่งเป็นฟังก์ชันของความเร็ว: a = f(v)4) ความเร่งเป็นฟังก์ชันของการกระจัด: a = f(s)

Fig.: กรณีที 3, a=f(v) Fig.: กรณีที 4, a=f(s)


กรณ ีความเร่งคงที�: a = constant

(1)

(2)

(3)

.:From

dsv

dtdv

adt

v dv a ds

→

→

→

=

=

=

00

(2):v t

vFrom dv a dt=∫ ∫

0v v at

v u at

= += +

( )0

0

0

0

(1) :

s t

s

From and

ds dt

v v at

v at=

= +

+∫ ∫

00

(3):v s

svFrom vdv a ds=∫ ∫

2 2

0 02 2

0 0

2

2

( )

;

v v a s s

v v aS S s s

= + −= + = −

2

0 0

2

0 0

1

2

1

2;S S

at

at

v t

v t

s s

s s

+

+

= +

= = −

หมายเหตุ: สมการข้างต้นใช้วิเคราะห์ในกรณีความเร่งคงที เท่านั�น (มกัมีผู้ใช้ผิดนาํไปใช้กับปัญหาความเร่งไม่คงที ซึ งไม่ถกูต้อง)


กรณ ีความเร่งไม่คงที�: วิเคราะห์ด้วยการอินทิเกรต ตามความสัมพันธ์ของฟังก์ชันความเร่ง เช่น a = f(t); a = f(v); a = f(s) เป็นรายกรณีไป

(1)

(2)

(3)

: ( ), ( ), ( )Integrat from Acceleration function a f t a f v a f s

dsv

dtdv

adt

v dv a ds

→

→

→

= = =

=

=

=

12Sample.2/1 (Analytical, Graphical): ตาํแหน่งการเคลื อนที ของอนุภาคใน

แนวเส้นตรงเป็นดงัสมการ s =2t3-24t+6 ; s(m), t(s)

Solution: 2

2

.: 6 24 ( / )

12 ( / )

dsFrom v v t m s

dtdv

a a t m sdt

= → = −

= → =

2 72 24): 72 6 24 442

a t t s Anst+

= − → =± ± == →

2

(3

2

) 3): 30 6 24 3 12(3) 6 /sb t t nsa Am s= − → = == →

( ) 431 4 4 1 1): 2 24 6 38 ( 1 ) 546t

s s tc s s s t Ansmt

=

− =∆ = − = − + == − −

( )4 4

2

1 41 1

6 24 54s s

s ss s

s vdt t dt so nr m A−∆ = == −∫ ∫

จงหา: a) t@v=20 m/s; b) a@v=30 m/s; c) การกระจัดในช่วงเวลา t=1s to t=4sd) ระยะทางการเคลื อนที ทั�งหมด จาก t=1s to t=4s

131 4): ?s sc total distance − =

1 / 2

1 2 2 4

1 2 4

10 64

74

v om s

s s

t s t s t s

total distan

A

ce s s

m m

nsm

=

− −

= < = < =

∴ = ∆ + ∆

= −

=

+

Q

/

2

/

? (

2

)

6 24 0 v o

v om s

m s

find t changedirection

fr m t so v t =

= =

= − ⇒ =

→

=

ลกัษณะการเคลื อนที ในเชิงเส้น

14Sample.2/2 (a=constant): อนุภาคเคลื อนที ในแนวเส้นตรงในแนวแกน x;

1) ช่วงแรก“ความเร็วคงที 50 m/s : 0 ≥ t ≥ 4s” 2) ช่วงที สอง“ความเร่งคงที -10 m/s2 : 4 ≥ t ≥ 12s”

จงหา: a) ความเร็ว v และตาํแหน่ง s ที เวลา t = 8s และ t = 12s ;b) ตาํแหน่งสูงสุดที อนุภาคเคลื อนที ในแนวแกน x (xmax) d) ระยะทางการเคลื อนที ทั�งหมด จาก t=0s to t=12s

Solution:

a) ช่วงแรก v = 50 m/s; 0 ≥ t ≥ 4s

2

50

50

/

,

/ 0 /

v m s

s vat t s

a dv dt m s

=

= =

= =∫

b) ช่วงที�สอง a = -10 m/s2; 4 ≥ t ≥ 12s

50 4 410 50 10( 4) 90 10 #

x

xx

v t t

t tdv a dt dt v v− − −− ⇒ ⇒ == = =∫ ∫ ∫( ) ( )2

50(4) 4 4

2

4

90 81090 10 200 90 0 #52

ts t t

tt t ttds v dt dt ss− ⇒ + − ⇒ −= = = = −∫ ∫ ∫

15a) ความเร็ว v และตาํแหน่ง s ที เวลา t = 8s และ t = 12s;

b) ตาํแหน่งสูงสุดที อนุภาคเคลื อนที ในแนวแกน x (xmax)

d) ระยะทางการเคลื อนที ทั�งหมด จาก t=0s to t=12s

8

12

8 90 10(8)

12 90 10(12

10 /

30 /90 10

)

:

:x

m s

st

m

t s v

tv A

s vns

− =

=−⇒

−−

= =

== =

2

2

8

2

8

3208 90(8) 5(8 ) 80

12 90(12) 5(1#

28090 80

2 ) 805

:

:

mt An

mt s

t s s

ss

t s⇒ −

− −

− −

=

=

= ==

−

==

_ max

_max

_max

_max ( )

2

max 3

@

@ 90 10

90(9) 5( 29 ) 0 58

9 #

0

s

s

s t s

t m Ans

dstdt

t v t

x

t s

s

⇒

−

− − =

=

=

= ⇒

∴ = =

1 / 2

0 9 9 12

0 9 12

3 75 3 025 4

v om s

s s

t s t s t s

total distance s s

m sm nm A

=

− −

= < = < =

∴ = ∆ + ∆

= + − =

Q∆s0-9s=325 m

∆s9-12s=45m

16Sample.2/3 (a=f(s)): โจทย์กาํหนด: ค่าเริ มต้น t=0s และ สมการความเร่ง

0 0 2

0

0

0 ;0

t s

t s

t sv v

a k ss

=

=

== =− =

คาํถาม: จงหาสมการการเคื อนที v(t) และ s(t)

วิธีที� 1: Solve 1th order ODE ( )

( )2 2 2

(

2

2

0

2 2 2 2) 00

:

#

o

v s

v

s

from vdv ads k s ds

v dv k s d

v v k s

s

v v k s

= = −

∴ = −

− = −= ⇒

∫ ∫

( )2 2 20 00

1

2 2

1

1

:

1: sin

st

dsfrom v dt dsdt v

dt dsv k s

xfrom dxaa x

−

= → =

∴ =−

=−

∫ ∫

∫

( )12 21: sin:

1

xfrom dxaa x

set x ks

dx kds ds dxk

−=−

== → =

∫

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

0 0

1

0( )

( ) 0

1

0 0

1

0

1 1/

1 1sin sin

1 sin( )

cos( )

sin t

t

kds dxv k s v x

x ksk v k v

kstk v

dsvd

vs kt Ans

k

v v kt Ant

s

− −

−

∴ =− −

= =

∴ = ⇒

= ⇒

=

=

∫ ∫

Q

17Sample.2/4 (a=f(v)): โจทย์กาํหนด: ค่าเริ มต้น t=0s และ สมการความเร่ง

0 0 2

0

0

0 ;0

t s

t s

t sv v

a k ss

=

=

== =− =

คาํถาม: จงหาสมการการเคื อนที v(t) และ s(t)

วิธีที� 2: Solve 2nd order ODE 2

2

2

2

( )

:

0 :

cos( ) sin( )t

dv d sfrom a sdt dt

a k s s

s k s solutionby SOVmethod

s A kt B kt

= = =

∴ =− =+ = ⇒= +

&&

&&

&&

( )

( )

( ) ( )

( )

1 0

2 00

000

0

0#

#

:

:

sin( )

0

cos( ) #

t s

t s t s

t

t

s

from IC A

v

s

IC

B kt

vB

k

s

s v

s kB kt v

=

= =

=

=⇒=

==

=

=

= = ⇒

Q

&

&

( )

( )

0

0

sin( )

cos( )

t

t

vs kt Ans

kv v kt Ans

=

=

Q

18Sample.2/4 (a=f(v)): เครื องบินต้องการลงจอด ลดความเร็วจาก 8 knots เหลือ 4 knots

ในนาทีที 10 โดยมีสมการความเร่งเป็น a=-kv2 จงหา: a) ความเร็ว v, (knots) เป็นฟังก์ชันของเวลา t;

b) ระยะทางการเคลื อน s (miles) เป็นฟังก์ชันของเวลา tSolution:

a) ความเร็ว v เป็นฟังก์ชันของเวลา t

(

2

28 0

8

)

:

1

1

1 81 1 1

8 #1

8 8 8

8

1

v t

v v

v

t

dvfrom a kvdt

dv k dtv

ktv

ktkt kt

v v

vkt

=

=

= =−

∴ = −

− =−

+− = ⇒ = +

=+

=

∴

∫ ∫

หาค่า k จากเงื อนไข v10min=4 knots

ซึ ง: 1 knots = 1 mile (1852m) /1hour

( )

(

(10min)6

)

1

184

1 8 (1/6

6

/

1

4

8

)

3

h

t

our

k m

v v

s

i

t

k

v An

−=

∴ = =

=+

+

⇒

∴

=

19Sample.2/4 (ต่อ):b) ระยะทาง s เป็นฟังก์ชันของเวลา t

( ) ( )( )

0 0

0

( )

8 1 61 6

4 ln 1 63

:

8 ln6

s t

t

t

dsfrom v ds v dtdt

s dt tt

s t Ans

++

= → =

=

∴ = +

=

∫ ∫

∫

2/3: Plane Curvilinear Motion:2D (วิถโีค้งในระนาบ)20

(1) Position, r (m)

(2) Velocity, (m/s)

0

limt

r drv r

t dt∆ →

∆= = =

∆&

General Introduction

(3) Acceleration, (m/s2)

0

limt

v dva v r

t dt∆ →

∆= = = =

∆& &&

2/4: Rectangular Coordinates (x-y): 2D21

2 2 1

2 2

:

:

:

: ; tan

x y

x y

y

x yx

x y

Position

Velocity

Acceleration

r xi yj

v r xi yj

v i v j

a v r xi yj

a i a j

vwhere v v v

v

a a a

θ −

= +

= = +

= +

= = = +

= +

= + =

= +

v vv

v vv v& & &

v v

v vv v v& && && &&

v v

v

v

Rectangular Coordinate (x-y)

Vector Representation

2/4: Rectangular Coordinates (x-y): 2D (ต่อ)22

Projectile Motion (x-y): การเคลื อนที แบบอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก (ay = -g) “การเคลื อนที ด้วยความเร่งคงที ”

0x

y

aAcceleration

a g

= =−

Projectile Motion (ต่อ) 23

0

2

0 0

2 2

0 0

1

2

2 ( )

v v at

v v a s s

atv ts s

= +

+

= + −

= +

จากสมการ 1-D:a = constant

( )( )

0

0 0

0: ( )

(1)

(2)

x

x x

x

x direction a

v v

x x v t

=−

=

= +( )

( )

( ) ( )

0

2

0 0

22

0 0

: ( )

(1)

1 (2)2

2 (3)

y

y y

y

y y

y direction a g

v v gt

y y v t gt

v v g y y

=− −

= −

= + −

= − −

Projectile Motion (x-y)

24Sample.2/5 (Curvilinear motion): อนุภาคเคลือนทีบนระนาบ x-y มีสมการ

การเคลือนทีดงันี�: vx= 50-16t และ y = 100-4t2 และทราบวา่การกระจดั x=0เมือ t=0

จงหา: ขนาด-ทิศทาง ของความเร็ว และความเร่ง ณ ตาํแหน่ง y = 0 mSolution: ขนาด-ทิศทาง ของความเร็ว และความเร่ง

2 2 1 2 2; tan ;yx y v x yx

vv v v a a a

vθ − = + = = +

v v

: ; 0x y x yfind v v a a at y m∴ =

1)

: 50 16 (1)

16 (

:

2)

x

x

x direct

from v t

a

ion

= −

=

−

−

2

2

2)

: 100 4 (3)

8 (4)

8 (5)

0 ; 0 1

:

0 50 #4

y

y

y

f

direct

rom y t

v t

a

at y

i n

tm

o

t s

= −

=−

=

= = − → =

−

∴

−

25

( )

( )

2 2

1

)

50 1 50 /3

(

06 5

8 5 tan

/

40 / 53.

:

1

5 )

x yx

yy v

x

o

Va

m sm s

m s

v v vv i

elocity t

v

s

vv j θ −

= =+= − = =− = =

=

−

− =

vv

v

เพราะฉะนั�น: At y = 0m (t = 5 s) จะได้

2

2

2

2 2

)

16 /17.89 /

8 /

1

8

( 5 ):

6xx y

y

Ab

m sm s

m

ecel

a ia a a

a j

eratio t s

s

n

=− = = +

=

−=

−

= −=

v

vv

26Sample.2/6 (Projectile motion): จรวดเคลือนทีถึงจุด A เชื�อเพลิงหมด ณ

ตาํแหน่งนี� มีความเร็ว u และทาํมุม θ กบัแนวระนาบดงัรูปจงหา: t h และ s ณ จุด B

( )( )

0

0 0

0: ( )x

x x

x

x direction a

v v

x x v t

=−

=

= +

( )

( )

( ) ( )

0

2

0 0

22

0 0

: ( )

12

2

y

y y

y

y y

y direction a g

v v gt

y y v t gt

v v g y y

=− −

= −

= + −

= − −

At Point A: (t = 0 s)

( ) ( )0 0

0 0

0 0;0 :

cos ; sinAx y

x yt s

v u v uθ θ

= == = =

At Point B: (vy = 0 m/s ; ymax= h)

( )0: 0 sin

sin

y

B

By

Ans

Form v v gt u g t

utg

θ

θ

= − → = −

=⇒

Solution:

From Projectile Motion (x-y)

27Sample.2/6 (ต่อ): t h และ s ณ จุด BAt Point B: (vy = 0 m/s ; ymax= h)

( )

( ) ( )2

2

0 0

2

2 s

sin

12

10 s

in

in sin s

?

2

in2

B

B B By

uat tg

y y v t gt

u uh

uh Ans

u gg

h

g

g

θ

θ θ θ

θ

=

= + −

= +

=

−

⇒ =

( )( )

2

x

0 0

ma

:sin( ) sin cos cos si

;

n

245

sin

0 cos si

sin( )

2

?

n

B

o

B Bx

for a b a b a b

uat tg

x x

us Ans

v t

u

s

s ug

s

wheng

θ

θ θ

θ θ

± = ±

=

=

=

+

=

⇒

=

=

+

2/5: Normal and Tangential Coordinates (n-t):2D28

Path

ˆte

ˆneρρρρrrrr

( )tββββ

ˆtV ve====

vvvv

x ivvvv

y

jvvvv

A

พจิารณาที�จดุ A : (รัศมีความโค้ง ρ)

( )( )

ˆ: cos sinˆ ˆ

ˆ: sin cos

ˆ ˆ: sin cos

:

ˆ ˆ: cos s

:

in

n

n t

t

n t

t n

Unit vector

Derivative o

normal e i je e

tangential e i j

normal e i j e

tangential e

f Unit vect

i

or

j e

β β

β β

β β β β

β β β β

=− − ⊥

=− +

= − =−

= − − =

& &

& &

v v

v v

v v&

v v&

The Normal and Tangential Coordinates (n-t) Motion:


Path

ˆte

ˆneρρρρrrrr

( )tββββ

ˆtV ve====

vvvv

x ivvvv

y

jvvvv

A

( ): ˆ ˆt t tVeloc V veity eβρ= = &v

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

:

ˆ

: t n

t t n n

t n t

t n t

Position e

V eVe e

V e e

V

locity

e e

β

β

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

=−

= =− −

= − − −

= − +

&

&

v

v v && &

v&

v&

( )

( ) ( ){ }( ){ }

( )

( )

2

( )

( )

2

( )

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

:t

t t

t t t t n

t n

n tnt t n t

Aecelerd e

a Vdt

a e e e

ation

a

e

e e

a e eae e

β

β β β β β

β β

β β

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

= =

= + = +

= +

∴ = + = +

&

&& & && & &

&& &

& &&

vv &

v &

v

( )ˆ ˆ

:

t t tV ve e

when v

β

β

ρ

ρ

= =

=

&

&

v

( )

22

ˆ ˆ

:

t n n t t

n

t

a a e a e

va vwhen

a v

ρβ βρρβ

= +

= = =

= =

v

& &

&&&


Path

ˆte

ˆneρρρρrrrr

( )tββββ

ˆtV ve====

vvvv

x ivvvv

y

jvvvv

A

สรุปสมการวิเคราะห์: ระบบพกิดั (n-t)

22

2 2

ˆ:

ˆ ˆ:

:

ˆ ˆ:

:

n

t t

n n t t

n

n t

t

Position

Velocity

Acceleration

e

V e ve

where v

a a e a e

vwhere a v

a a a

a v

β

β

ρ ρ

ρ

ρ

ρβ βρ

ρβ

=−

= =

=

= +

= = = = +

= =

&

&

v

v

v

& &v

&&&


สมการการเคลื�อนที�: พกิดัวงกลม (r - θ)

ne$$$$

te$$$$

v

ta

na

θθθθ&&&&

( )

22

2 2

ˆ:

ˆ ˆ:

:

ˆ ˆ:

:

n

t t

n n t t

nn t

t

Position

Velocity

Acceleration

r re

V r e v e

where v r

a a e a e

vwhere a r v

r a a a

a v r

θ

θ

θ θ

θ

=−

= =

=

= +

= = = = +

= =

v

v&

&

v

& & v

&&&

คาํศัพท์ เพิ�มเติม: พกิดัวงกลม (r – θ)

≡ มุมของรัศมี r ทีเวลา t ใดๆ

≡ ความเร็วเชิงมุม (Angular velocity: rad/s)

≡ ความเร่งเชิงมุม (Angular acceleration: rad/s2)

θ

θ&

θ&&

Circular Motion (r = constant)

32

a) รัศมีความโค้ง ณ จดุ A: ρA

คาํถาม: จงหาa) รัศมีความโคง้ ณ จุด A (ρA) หากตอ้งการความเร่งรวมเท่ากบั 3m/s2

b) ความเร่งรวม ณ จุด B

c) ความเร่งรวม ณ จุด C

Sample.2/7 (n-t coordinate): รถเคลือนทีจาก A-C เบรกดว้ยอตัราคงที (a = cont.) โดยทีความเร็ว ณ จุด A = 100 km/h และเมือผา่นจุด B ลดเหลือ 50 km/h โดยระยะทางจาก A-C = 120 m ดงัรูป

2 2

, ,

,,

: (1)t A t An A AA n A

v vfrom a

aρρ= ⇒ = →

2 2 2

, ,: (2)A n A t Afrom a a a= + →

120

0: (3)

B

A

v m

tv

from vdv a ds= →∫ ∫

( ) ( )50/

2

3.6 1202

0100/3.6

, ,

1(3):2

2.41 / #

B B

AA

t t A t B

v s

t svsolve v a s

a a a m s

= =

==

∴ −

=

= = =

2

2

, ,

2 2

,(2): 3 ( 2.41)

1.785 / #

n A

n A t Ba a

s

m

o

s

lve a= +

∴ = =

−

( )21003.61.785

432

432(1):

A

A

m A

so m

s

lv

n

e ρ

ρ

= =

∴ =

33Sample.2/7 (ต่อ):

,

2

,

2

,

2 41

0

. /

: t Bn

B

B

B

B

ta

vfr

a m s An

o

s

m a ρ=

=−

→

∴ =

c) ความเร่งรวม ณ จดุ C

( ),

2

2

2

,

50

3.6

1501.286 / #: t Cn C

C

vfrom sa mρ= = =

2 2 2

, ,: (1)C n C t Cfrom a a a= + →

( )22 2

2

1.286 2.41(1)

2.73 /

:

C

C

a m s An

so v

s

l e a −

=

= +

⇒

b) ความเร่งรวม ณ จดุ B

ทีจุด B มีรัศมีความโคง้ ρB � ∞

34Sample.2/8 (n-t coordinate):

จากรูป จงหาa) Radius of curvature: ρ

b) Rate speed v is increasing: at

c) Angular rate: β&

b) Rate speed v : at2: 8.12 / .trate speed v a m s Ans= =&

c) Angular rate :

( )( ) ( )3

4

6

:

20 10 /3.612.85 10 / .

4.32 10

vfrom v

rad s Ans

ρβ β ρ

β −

= ⇒ =

= =

& &

&

ββββ&&&&

a) Radius of curvature: ρ

2/6: Polar Coordinates (r-θ):2D35

Path

êθθθθêθθθθ

rrrrr

( )tθθθθ

x ivvvv

y

jvvvv

Aθθθθ

θθθθ

( )( )

ˆ cos sinˆ ˆ

ˆ sin cos

ˆ ˆsin cos

ˆ ˆcos sin

:

:

r

r

r

r

Unit vector

Derivative of unit vecto

e i je e

e i j

e i j e

e i j e

r

θθ

θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

=

= −

= + ⊥

=− +

= − +

= − −

& &

& &

v v

v v

v v&

v v&

สมการการเคลื�อนที� พกิดัเชิงขั�ว (r - θ)

( )

( ) ( )

ˆ:

ˆ ˆ:

ˆ ˆ

t r

t t r r

r

Position

Velocity

r r e

v r r e r e

r e r eθθ

=

= = +

= + &

v

v v && &

&

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

t t r r

r r

r

Acceleration

a v r e r e r e r e r e

r e r e r e r e r e

r r e r r e

θ θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ

= = + + + +

= + + + −

= − + +

& && &

& & && & &

& & &&

v v & && && & &

&& & &

&& &

The Polar Coordinates (r-θ) Motion:

2/6: Polar Coordinates (r-θ):2D (cont.)36

êθθθθˆre

rrrrr

( )tθθθθ

ivvvv

jvvvv

θθθθθθθθ

( )

( )

( )

2 2

( )

( )

2

2 2

( )

2

2

ˆ:

ˆ ˆ:

.

ˆ ˆ:

.

1.

t r

t r r

r

t r

t r r

r

t r

Position

Velocity

Acceleration

r r e

v v e v e

where v rv v v

v r

a a e a e

where a r ra a a

a r r

dor a r

r dt

θ θ

θθ

θ θ

θθ

θ

θ

θ

θ θ

θ

=

= +

= = +

= = +

= − = +

= +

=

&

&

&& &

&

v

v

& v

v

&& v

&

สรุปสมการวิเคราะห์: ระบบพกิดัเชิงขั�ว (r-θ)

37

สมการการเคลื�อนที�: พกิดัวงกลม (r - θ)Circular Motion (r = constant)

คาํศัพท์ เพิ�มเติม: พกิดัวงกลม (r – θ)

≡ มุมของรัศมี r ทีเวลา t ใดๆ

≡ ความเร็วเชิงมุม (Angular velocity: rad/s)

≡ ความเร่งเชิงมุม (Angular acceleration: rad/s2)

θ

θ&

θ&&

re$$$$

eθθθθ$$$$ vθθθθaθθθθ

P

r

θθθθ&&&&

ra

( )

( )

2 2

( )

( )

2

2 2

( )

ˆ:

ˆ ˆ:

. 0

ˆ ˆ:

.

t r

t r r

r

t r

t r r

r

t r

Position

Velocity

Acceleration

r r e

v v e v e

where vv v v

v r

a a e a e

where a ra a a

a r

θ θ

θθ

θ θ

θθ

θ

θ

θ

=

= +

= = +

= = +

= − = +

=

&

&

&&

v

v

v

v

v

2/6: Polar Coordinates (r-θ):2D (cont.)38

Sample.2/9 (r-θ coordinate):

โจทย์กาํหนดθ = 0.2t + 0.02t3

r = 0.2 + 0.04t2

โจทย์ถาม : จงหา ความเร็ว และความเร่ง ณ เวลา t = 3 sSolution:

39Sample.2/9 (ต่อ): a) ความเร็ว ณ เวลา t = 3 s

40Sample.2/9 (ต่อ): b) ความเร่ง ณ เวลา t = 3 s

41Sample.2/10 (r-θ coordinate): จานเรดาร์จบัสญัญาณการเคลือนทีของจรวด

ดงัรูป ณ ตาํแหน่ง θ = 30o จรวดเชื�อเพลิงหมด(unpowered) เรดาร์จบัสญัญาณได้

โจทย์ถาม: ณ ตาํแหน่งดงักล่าวจงหา ( )48 10 , 1200 / , 0.8deg/ .r m r m s and sθ= = =&&

,v r and θ&&&&

Solution:

a) ความเร็ว v

42Sample.2/10 (ต่อ): b) หา เชื�อเพลิงหมด(unpowered): a = g = 9.2m/s2 r and θ&&&&

2/8: Relative Motion (Translating Axes)43

Frames of reference: (ระบบแกนสังเกตอุ้างอิง) แบ่งเป็น 3 ประเภท ได้แก่

1) Fixed frames of reference: (ระบบแกนสังเกตอุยู่กับที )

2) Translating frames of reference: (ระบบแกนสังเกตแุบบเลื อน)**

3) Rotating frames of reference: (ระบบแกนสังเกตแุบบหมนุ)

** : หัวข้อที เราจะกล่าวถึงในบทนี�

Axes X Y

Axes x y

Initial axes

Translating axes

− ≡

≡−

/

/

/

:

:

:

A B A B

A B A B

A B A B

Position

Velocity

Acceleration

r r r

v v v

a a a

= +

= +

= +

v v v

v v v

v v v

2/8: Relative Motion (Translating Axes) (cont.)44

rB

Vector Representation: B observe A

/ / /, , :

A B A B A Br v av v vv v vv v vv v v

เวกเตอร์ระบุ (ตําแหน่งความเร็ว ความเร่ง )ของ A เทยีบต่อ B เรียกว่า “A สัมพทัธ์ B” , “A relative to B”

/

/

/

:

:

:

B A B A

B A B A

B A B A

Position

Velocity

Acceleration

r r r

v v v

a a a

= +

= +

= +

v v v

v v v

v v v


rB

rA/B

Vector Representation: A observe B

( ) ( )1

; sin

x x y yx y

y

x yx yx

i ji j

i ji j

c a b a b a ba a a

cc c cb b b

cθ −

++

+ =+

= + = + += ⇒ ==

v vv v

v vv v

vv vv

v v


วิธีการวิเคราะห์ปัญหา: Relative motion1) วเิคราะห์ พชีคณติเวกเตอร์ (Vectors Algebra)

2) ใช้ Law of sines / Law of cosines

a

b

c

α

α

γ

sin

:

sin sin

La

a b

wof sine

c

s

α β γ= =2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos( )

2 cos( )

2 cos( )

:Lawof cosine

a b c bc

b a

s

c ac

c a b ab

α

β

γ

= + −

= + −

= + −

47Sample.2/13 (relative motion): เครืองบินโดยสาร A มีความเร็ว 800 km/h

ผูโ้ดยสารใน A สงัเกตเห็นเครืองบินขบัไล่ B บินถอยหลงัและทาํมุม 60o กบัแนวระดบั แต่แทจ้ริงแลว้เครืองบินขบัไล่ B บินไปขา้งหนา้และทาํมุม 45o กบัแนวระดบั ดงัรูป

คาํถาม: จงหาความเร็วแทจ้ริงของเครืองบิน B

วิธีที� 1. ใช้ Law of sine

( )800

60 75sinsin sinB A

o o

v v

α= =

60800

75

sin

sin717 /

o

oB kv m s Ans∴ ==

# หา vB/A=?

( )/ 800

45 75sinsin sinB A A

o o

v v

α= =

/ 80075

sin 45

si5 / ##

n86

o

oB A hv km=∴ =

48Sample.2/13 (ต่อ):

วิธีที� 2. วเิคราะห์ Vector Algebra

( ) ( ) ( ) ( )

/ / /

/

/ /

800

cos 45 sin 45

cos60 sin 60

cos 45 sin 45 800 cos60 sin 60

A

o o

B B B

o o

B A B A B A

B A B A

o o o o

B B B A B A

v i

v v i v j

v v i v j

v v v

v i v j v i v j

=

= +

= − +

⇒ = +

⇒ + = − +

vv

v vv

v vv

v v v

v v v v

แยกเวกเตอร์องค์ประกอบ i�, j�:

( )( )

/

/

:(1

cos 45 800 cos60 (1)

sin 45 sin 60), (2)

: (2)

o o

B B A

o o

B B A

i termssolve

j terms

v v

v v

= − →

= →

−

−

v

v

/ 586 /

71

#

7 /

#B A

B

v k

v

m

km h Ans

h=

=

49Sample.2/14 (relative motion): รถ A วิงดว้ยความเร่ง 1.2 m/s2 ;

รถ B วิงในทางโคง้รัศมี 150 m ดว้ยความเร็วคงที 54 km/h

จงหา: ความเร็ว / ความเร่ง ของ B ทีสงัเกตจากผูโ้ดยสารใน A ณ ตาํแหน่ง ดงัรูป ซึ ง ณ ตาํแหน่งนี� รถ A ความเร็ว 72 km/h

Solution: โจทยถ์ามหา ��B/A และ ��B/� a) หา /�

ˆte

ˆne Law of cosines/sines

( )( )( )

2 2 2

/

/

/

64.9 / 18.02 /

4

72 54 2 72 54 cos(60 )

sin s6.1

in 6054

o

B A

o

B

B A

o

A

v km h m s

v

v

Ans

Ansθθ

⇒

⇒

= + −

= ⇒

∴ =

=

50Sample.2/14 (ต่อ):a) หา �/� พจิารณา ความเร่ง ณ จุด B

ˆte

ˆne

(((( ))))22 , 2,

54/3.61.5

150/B t

BB n

vm sa ρρρρ==== = == == == =

,0

B ta ====∴∴∴∴

( ) ( )2

/

2

/

/

2 2

0.757 /

1.2 1

180 82.5 97.

.5 2 1.2 1.5 cos(30 )

sin sin82.

05

31.5

5

o

B A

o

B A

o

B A

o o o

a m s Ans

A

a

ns

a

β

β

β

⇒

⇒

= + −

∴ =

∴

=

− =

⇒ =

=

2/9: Constrained Motion of Connected Particles51

การเคลื�อนที�ของระบบอนุภาคที�ขึ1นต่อกนัa) ระบบ One Degree of Freedom (1DOF): ระบบทีมีพิกดั (coordinate)

การเคลือนทีทีไม่ขึ�นต่อกนันอ้ยทีสุด เท่ากบัหนึง

2 1

2 1

2

.

2

2 (1)

:2

.

:

L r r b

L co

x

n

y

x y

Total lengthof cable

when r

st

co r bnst

π

π π

π= + + + +

= + + →

= + +

((1) 1 "): ",x f y iF o OFsr m D⇒ = ∴

2/9: Constrained Motion(cont.)52

a) ระบบ One Degree of Freedom (1DOF): (ต่อ)

2 . (1)

1 : 0 2 2 (2)

2 : 0 2

:

(1

2 (3)

)

th

A B

nd

A B

L x y const

ti

Total lengthof cab

me x y or v v

tim

le

Deriva

e x y or a

t

a

ive of

= + + →

⇒ = + + →

⇒ = + + →

& &

&& &&

การวิเคราะห์ระบบ: 1DOF

53

b) ระบบ Two Degree of Freedom (2DOF)

( )1

2

3 4

1 2 3 4

3 4 1

2 ( )

( )

( ) 2( )

2 2

:

:

:

"2 " ( )

: , , ,

2 ,

1 :

:

(

2

0 2

)

2

A A D

B B C C D

A B C

A B

C

D

h

B

t

A B

cable A

cable B

eliminate y

D

L y y C a

L y y y y C b

a b

C y y y C

when C C C C is constant

and C L L C C L

y y y


Derivative of

OF

or

= + + →

= + + − + →

+

= + + + → ∗

∗

= + = +

= + +& & & 2 2 ( )

0 2 2 22 : 2 ( )

A B C

A

nd

B C A B C

v v v

y y y or a a a

+ + → ∗∗

= + + + + → ∗∗∗&& && &&

2/9: Constrained Motion(cont.)54

Sample.2/15 (constrain motion): จากรูป A เคลือนทีลงดว้ยความเร็ว 0.3 m/s. จงหา: ความเร็วของ B

Solution:

( )

3 2 . (1)

0 3 2

0 3 2 (2)

2 2: 0.3 0.

0

:

(1)

.

2 /3 3

2 )

:

/ (

B A

B A

A

B

B

B A B


erivative

L y y const

y y

v v

v v v

v m s upward An

s

o

s

f

m

= + + →

= +

= + →

∴+↓ =−

=

⇒ =− =−

& &

55Sample.2/16 (constrain motion): รถแทรกเตอร์วิงความเร็ว vAในแนวระนาบ

ดงัรูป. จงหา: ความเร็วของกระสอบ vB โดยเขียนใหเ้ป็นฟังกช์นัของ x

Solution:

( ) ( )

2

2 2

2 2

2

12

:

2 2 (1)

210

(1 :

2

)

2

AB


deriv

L h y l h y h x

x x

ative o

x vv Ans

h x

h

f

yx

=

= − + =

+

− + + →

=− ++

&&

introduction kinematics ofeng.sut.ac.th/me/box/2_55/425203/02-ch2_kinematics of...ch-2 kinematics of...

Documents