investigación operativa ii - confiabilidad

7/25/2019 Investigacin Operativa II - Confiabilidad

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CONFIABILIDAD

Investigacin de operaciones


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Qu es ?

La Confiabilidad es la "capacidad de un artculo de desempear

una funcin requerida, en condiciones establecidas, durante un

perodo de tiempo determinado".

Es decir, que habremos logrado la Confiabilidad requerida cuandoel artculo" hace lo que queremos que haga y en el momento

que queremos que lo haga.

Al decir artculo" podemos referirnos a una mquina, una planta

industrial, un sistema y hasta una persona.


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La Confiabilidad impacta directamente sobre los resultados de la

empresa, debiendo aplicarse no slo a mquinas o equipos

aislados sino a la totalidad de los procesos que constituyen la

cadena de valor de la organizacin.

Ayuda a prevenir detenciones, accidentes y disminuir prdidas.

Para qu sirve?


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?

Cul es la vida promedio del producto? Cuntas fallas se espera el prximo ao?

Cunto nos costar desarrollar y dar servicio a este producto?

Cmo podemos hacerlo ms efectivo en costo?


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Cmo se aplica?

En la confiabilidad se examina el desempeo de un

producto a travs del tiempo.

La variable aleatoria de inters es la cantidad de

tiempo transcurrido entre fallas, una vez que el

producto se pone en servicio


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TIEMPO DE VIDA Y FALLA

La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida tilde unproducto. Durante este perodo el cliente obtiene las caractersticas

ofrecidas intencionadamente.

Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la funcin ofrecida alcliente, se considera que ha habido unaFalladel producto. Esto

representa el trmino del tiempo de vida.


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MODELOS DE TIEMPO DE VIDA

Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La frecuencia

relativa o la probabilidad con que ocurrir el evento.

La regla que asigna valores de frecuencia relativa o probabilidades alos valores de una variable se llama Distribucin de Probabilidad


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Funcin de Densidad de Probabilidad f(t) Predice el comportamiento de cualquier situacin

probabilstica

Es la probabilidad de la variable tde caer en algn punto del

rango t1a t2:p t t t f t d t

t

t

( ) ( )1 21

2

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

t

f(t)

t1 t2

El rea totalbajo la

curva siempre es 1 o100%


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Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta un tiempo t1,

obtenemos la Distribucin de Probabilidad Acumulada CDF

F(t).

F(t) = P(t t1)

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

t

F(t)


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Funcin de Distribucin Acumulada La Probabilidad de que una variable (t) tome un valor menor o igual a un valor

especfico, ej:, t1

Cuando la variable tes tiempo de falla, esto representa la no

confiabilidado la probabilidad de que una unidadfalle antes del tiempo t1

1

0

1 )()0()(

t

dttfttPtF



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F t P t t f t dt

t

( ) ( ) ( )0 10

1


t

f(t

)

t

F

(t)

t1

No confiabilidad, F(t)

Funcin de Densidad de Probabilidad

t1

Funcin de Distribucin Acumulada

0

1

0


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CONFIABILIDAD

Es la probabilidad de que un sistema ejecute su funcin sin fallar

para un intervalo de tiempo especfico, bajo condiciones

establecidas.

Se define como la Probabilidad de Supervivencia o Confiabilidad enun determinado tiempo.

R(t) = 1 - F(t)


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t

R

(t)

R t F t f t d t f t d t

t

t( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

t

f(t)

t1

Funcin de Densidad de Probabilidad Funcin de Confiabilidad

0

0

1

t10

Grficamente.


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Confiabilidad de un solo componente

Ejemplo:

Una empresa compr 1.000 capacitores elctricos parausarlos en radiotransmisores de corto alcance. La empresa

mantuvo registros detallados del patrn de fallas de esos

capacitores con los siguientes datos obtenidos:

Aos en

funcionamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>10

Cantidad de fallas 220 158 121 96 80 68 47 40 35 25 110


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Con base en estos datos, se desea estimar la distribucin de

probabilidades asociadas con la falla de un capacitorseleccionado al azar

Sea T una variable aleatoria definida como el tiempo que el

capacitor funciona hasta que falla. La funcin de distribucin

acumulada de T es:

tTPtF )(

F(t) es la probabilidad de que un componente elegido al azarfalle en o antes del tiempo t.


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Aos de

servicio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >10

Fallas

acumuladas

220 378 499 595 675 743 790 830 865 890 1.000

Proporcin

del total0.220 0.378 0.499 0.595 0.675 0.743 0.790 0.830 0.865 0.890 1.00

Del ejemplo obtenemos las fallas acumuladas:

Suponga que se quiere determinar:

1.La probabilidad de que un capacitor tomado al azar dure ms

de 5 aos2.La proporcin de los 1.000 capacitores originales que

trabajaron y fallaron el ao 6.

3.La proporcin de los capacitores que sobreviven cuando

menos 5 aos y fallan en el ao 6


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SOLUCIONES:

1 La probabilidad de que un capacitor tomado al azar dure ms de 5 aos.

En la tabla de datos, tenemos la proporcin de fallas al ao 5: P P{T 5}=0,675

Buscamos P{T > 5} = 1P {T 5}= 1- 0,675= 0,325= 32,5%

2.La proporcin de los 1000 capacitores originales que trabajaron y fallaron el ao 6.

P{T= 6} =P{T 6}- P {T 5}= 0,743- 0.675= 0.068= 6,8%

3. La proporcin de capacitores que sobreviven cuando menos 5 aos y fallan el ao 6.

P{T=6 T > 5 } P{T=6 }- P {T 5}Buscamos P{T = 6/T > 5}= =

P{T > 5} 1- P {T 5}=0,068/ (1- 0,657)= 0,209= 20,9%


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Definicin 1: sea T la variable aleatoria de la vida del

componente, T tiene una funcin F(t) de distribucin

acumulada expresada por:

F(t) es diferenciable de t, de modo que exista la funcinf(t) de densidad de probabilidades expresada por:

tTPtF )(

dttdFtf )()(


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Definicin 2: Sea R(t) la funcin de confiabilidadde uncomponente expresada como:

)(1)( tFtTPtR

En otras palabras R(t) es la probabilidad de que un

componente nuevo sobreviva ms del tiempo t


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Si se divide entre sy hacemos que s tienda a 0 queda:

)(

)(

)(

)()(*

1lim

0 tR

tf

tR

tFstF

ss

de este modo se obtiene la funcin de tasa de fallas o tasa de riesgo:

)(

)()()(

tR

tftrt

TASA DE FALLA :

Es una medida de la probabilidad de que el sistema falle en un pequeo

intervalo de observacin (t, t+s )

)(

)()(/

tR

tFstF

tTP

stTtPtTstTtP


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La Tasa de Riesgo o Tasa de Falla es la fraccin de fallas

probables entre la proporcin de supervivientes al tiempo t.Cuando se conoce la Distribucin de Probabilidad de t, se

calcula a partir de

(t) = f(t) / R(t)

Es una medida de la mortalidad entre los artculos que quedan.

La tasa de falla representa la propensin a la falla de un producto

como una funcin de su edad o tiempo en operacin.

La tasa de falla, en cualquier tiempo dado, es la proporcin de

artculos que fallarn en la siguiente unidad de tiempo respecto aaquellos artculos que han sobrevivido a este tiempo.


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tt

t

tT

Supongamos que en el intervalo (0, t] no ocurri la falla

?tT/ttTtP

)t(t

tT/ttTtPlim

0t

)(t funcin de riesgo


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Ejemplo

Por ejemplo, 1000 motores elctricos se ponen a prueba en el tiempo cero. Cuatrocientos de

ellos estn trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50

fallaron en las siguientes horas.

0 2000 2100 2200 tiempo

1000 400 350 300

horas

N de

sobrevivientes

La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:

(2000) = (nmero de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)

nmero de sobrevivientes a las 2000 horas

= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora

Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:

(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora


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Definicin 3: El intervalo de tiempo que un determinado

componente funciona hasta que falla es una variable aleatoriacon distribucin exponencial. La funcin F(t) se expresa

como:

te1)t(F

y la funcin de densidadf(t)es: te)t(f

donde es un parmetro que representa la tasa de ocurrencia y1/es el tiempo medio esperado para que ocurra una fallaen el caso de tasa constante


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Ejemplo:

Sea: F(t) = 1e-0.043t. Determinar:

1. La funcin de la tasa de fallas: (t)

dF(t)f(t) dt 0,043e-0,043t

Se pide hallar (t) = = = R(t) 1- F(t) 1-(1- e-0,043t )

(t)= 0,043 [fallos/ao]

2. La probabilidad de que el equipo trabaje durante ms de 5

aos sin fallar.

P{T5} = R(5)= 1-F( 5 ) = 1-(1- e-0,043*5 )

= 0,806 = 80,6%

3. Tiempo promedio entre fallas.

TPEF= 1/ (t) = 1/0,043= 23,26 [aos]


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CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA

En muchas aplicaciones de la teora de la confiabilidad se

predicen los patrones de falla del equipo, partiendo del

conocimiento de los patrones de falla de los

componentes de ese equipo.


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Confiabilidad del sistema

A medida que los productos se vuelven mas complejos y tienen mas componentes sevuelven menos confiables, es decir aumenta la probabilidad de que no funcionen.

El mtodo de arreglar los componentes afecta la probabilidad de todo el sistema,

estos se pueden arreglar de la siguiente manera:

SERIE

PARALELO

COMBINADO

RS= RA*RB*RC= 0,955*0,750*0,999= 0,715

RA=0,955 RB=0,750 RC=0,999

Parte A Parte B Parte C

SERIE


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Componentes en serie

En general si un sistema consiste de un gran nmero de

componentes conectados en series, su confiabilidad bajar yaque si alguno de estos equipos o componentes fallas, el

sistema completo fallar. Por tanto, un sistema en serie

funciona slo si cada componente lo hace.

1 N2

Sea Tiel tiempo hasta la falla del i-simo componente i, y sea Tsel

tiempo de falla de todo el sistema en serie:


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Sea Tiel tiempo hasta la falla del i-simo componente i, y sea Tsel tiempo de falla de todo el

sistema en serie:

tTTTMinPtTPtRNss

),......,)( 21

)(.........)()()( 21 tRtRtRtR N

tTtTtTPtR N ..,.........,)( 21

Para N componentes idnticos, cada uno con la funcin de confiabilidad R(t), esto se

convierte en [R(t)]N y la funcin de distribucin acumulada en serie es:

N

S tFtF )(11)(


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Ejemplo

Consideremos un sistema compuesto por tres componentesdispuestos en serie las cuales tienen una confiabilidad para

cumplir su funcin durante 100 horas de 99,5%, 98,7% y

97,3%, respectivamente. Cul es la confiabilidad del sistema

durante esas 100 horas?


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Componentes en Paralelo

Los componentes o equipos se conectan en

paralelo, ya que esto aumenta la confiabilidad

del sistema y se hace mucho ms difcil que el

sistema deje de operar cuando alguno de sus

equipos falla.

Un sistema en paralelo funciona si cualquiera de

los componentes funciona.

1

2

N

Estos sistemas se usan cuando se recurre a la redundancia para

aumentar la confiabilidad.


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Sea TPcomo el tiempo de falla de un sistema en paralelo formado por

componentes idnticos . Es claro que TP= Mx(T1, T2,..TN), entonces

tTTTmxPtF NP ),....,()( 21

tTtTtTPtFNP

,....,)( 21

Componentes en Paralelo

que se reduce a [F(t)]Nen el caso de N componentes idnticos.

La funcin de confiabilidad de un sistema con N componentesidnticos en paralelo es:

N

P tRtR )(11)(


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Ejemplo

Consideremos un sistema con tres componentes en paralelo,cada una de ellas con una confiabilidad de 99,5%, 98,7% y

97,3%, respectivamente, para cumplir su funcin durante

100 horas. Cul es la confiabilidad del sistema durante esas

100 horas?


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Sistemas K de N

Suponga que un sistema est formado por N componentes. Un sistemaK de N es aquel que slo funciona si trabajan cuando menos K de los

componentes, siendo 1 K N.

Para analizar estos sistemas se considera una distribucin binomial con

un xito si el componente funciona y un fracaso si no funciona. Se

supone que todos los componentes son idnticos, y entonces cada

uno tiene la misma funcin de confiabilidad, R(t) y la misma funcin

F(t).


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Sistema k de N

El sistema funciona con N= 4 componentes de los cuales pueden

fallar hasta k=2, para que el sistema permanezca en operacin.


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Entonces para un tiempo t, la probabilidad Rk(t) de que el sistema funcione en eltiempo t es la probabilidad de que al menos haya K xitos en N intentos :

Sistemas K de N

)!jn(!j

!n

j

n

:donde

)p1(pj

N)t(R jNj

N

Kj

K

jNjN

Kj

K tFtRjNtR )()()(


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Ejemplo:

Suponga el caso de 4(cuatro) turbinas (equipos), dispuestos en un arreglo

paralelo de tal manera que k = 2 y N = 4. En la figura se muestra tal configuracin.

En este ejemplo si fallan 2

o menos turbinas

en el sistema, este seguir

operando normalmente

Si falla una tercera turbina

el sistema falla.


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Ejemplo

Consideremos un sistema formado por 6 unidades de bombeo en el que esnecesario que al menos 4 de ellas funcionen. Cada bomba tiene una

confiabilidad del 85% para el periodo de proceso. Cul es la confiabilidad del

sistema durante ese periodo?

Solucin: Se trata de un sistema 4-de-6

jNjN

Kj

K )p1(pj

N)t(R

)t(RK


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Se trata de la presencia combinada de la configuracin delsistema en serie y paralelo. Ej:

Sistemas Combinados


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Ejercicio

Consideremos el siguiente sistema compuesto por 3unidades.

Solucin:

RS= 0,9995157

Cul es la confiabilidad de este sistema si R1 = 99,5%; R2 = 98,7%; R3 =

97,3%?

Se resuelve primero el sistema en serie 1 y 2, luego el sistema enparalelo con 3.

Ej i i


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Rj=0,840

Ri=0,750

Parte j

Parte i

Paralelo

Ejercicio

Solucin

Rp= 1- (1-Ri)*(1-Rj)

Rp= 1- (0,25)*(0,16)

Rp = 0,96

Rj=0,840

Ri=0,750

Parte j

Parte i

Combinado

Solucin

Ra=0,955 Rc=0,999

Parte a Parte c

RS= Ra*Rp*Rc= 0,955*0,96*0,999= 0,915

Ej l


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Ejemplo:

Una combinacin posible de un sistema combinado en serie y paralelo

puede representarse como se indica en la figura:

Rses la confiabilidad del sistema:

La confiabilidad del sistema ser:


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Ejercicio

Determine la confiabilidad del sistema siguiente:


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RS3

RS2

RS1

Ejemplo : Determine la confiabilidad del sistema siguiente

Se resuelve la serie 1:

RS1= 0,95 * 0,88 = 0,84

Se resuelve la serie 2

RS2= 0,95 * 0,88 = 0,84

Se resuelve el paralelo de RS1 Y RS2RS3= 1- (1-RS1)*(1-RS2)= 1- ( 0,16 * 0,16) = 0,97

Se resuelve el paralelo RS4

RS4= 1- (1-0,92)*(1-0,98)* (1-0,98)*(1-0,92)= 1- (0,08*0,02*0,08*0,02)= 0,99

Se resuelve la serie final

RS4

RS5

RS6

investigación operativa ii - confiabilidad

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