宜古宜今的數學題目 陳玉芬 老師

最近讀了李冶的《測圓海鏡》中的部份內容，覺得有些與我們現在的國三部份單元有些相關，

也覺得挺有趣的，所以就想在此與大家一起分享一下吧！

李冶（西元 1192～1279 年），元真定欒城（今河北欒城）人。

生逢亂世，金朝奸臣得勢，忠臣受貶，整個皇朝正由勝至衰。仕途

多舛，至金開興元年（1232），蒙古軍攻破鈞洲，李冶棄城北渡黃

河後，便流落於山西忻縣、崞縣之間，於是潛心學問，1248 年寫成

他的數學千古名著《測圓海鏡》。

李冶的《測圓海鏡》共 12 卷，卷一為理論基礎，餘卷均為算題。

卷一之首即為圓城圖示，如下圖左。該圖以一個直角三角形及其内

切圓為基礎，通過若干互相平行或垂直的直線，構成 16 個大小不一

的直角三角形，而書中題目則圍繞著這些不同的三角形邊長，討論

在各種條件下如何求圓徑的問題。而個人覺得有趣的地方就是，原

本一個看似簡單的『勾股容圓』性質竟可以由淺入深的遷移變化，

書中的例題不斷透過位置的改變，但仍保有一以貫之的思想，所以

初學者可以針對一種幾何操作的解題技巧反覆操練，不但概念可以

更加穩固，對於操作技能也將更有感覺。現在我們將舉下列幾個例子

，也是在現今國中階段同學們熟悉的題目來說明。

數食店月刊 第 77 期 104年 9月號

店址：新北巿立明德高中國中部數學科教學研究會

店長：李伶芳 老師 執行長：陳玉芬 老師 副執行長：涂佩瑜 老師

大掌櫃：胡樂 施先俞 跑堂：林政融 羅樟筠

圖片來源：孔國平，《李冶

傳》卷首

圖一 圖二

【問 1】：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立，甲南行六百步望見乙。問徑幾里？

依所給公式，可得 2 2 320 600

24320 600 680

a bd

a b c

( , , , )a b c 分別表示為 天地乾的短勾長股與斜邊

簡單地說，此題就是在求最大的天地乾內切圓直徑。在《測圓海鏡》中，李冶利用直角三角

形求面積的等價公式： = 高 底邊長 勾長 股長。

雖然只給公式沒有解題過程，但我們根據公式，不難想像與現今的解法應是大同小異，只要將

公式稍做轉換並參考（如前頁圖一）即可利用公切線長相等性質解出：

( ) 2d a b c ab ，此處 d 為直徑。值得一提的是，此公式，在漢代時的九章算術中已出現。

【問 2】：甲乙二人俱在西門，乙東行二百五十六步，甲南行四百八十步望見乙。問答同前。

依所給公式，可得 2 2

2 2

2 2 256 480240

480 544

a bd

b c

說明：題意仍是要求出大三角形天地乾內切圓的直徑，但是所給的已知條件卻是：西川、西

天及天川此三個邊長。在此先說明在圓城圖示中，李冶將天地乾分割成 16 個大小不同的直

角三角形並給予 1-16 的編號， , ,i i ia b c 分別表示每個三角形右下角數字代號的勾、股、弦，

1...16i 。所以，若我們延續【問 1】思想，公式依舊可轉換成 2 2 2 2( ) 2d b c a b ， 從前頁圖

二的切割即可得到如右結果：天川西直徑 d ＝ 2 2 2 2

2 22

2a 2a=

( + )

b b

b cb 甲川 甲天

同學們，是不是覺得很有趣呢？若真覺得神奇，現在再提供下列 3題題目及解題的公式，請同

學依照相同的概念進行切割與重組，並證明此公式的正確性，你將會得到更多的成就感。也歡

迎同學將解出的證明投稿至『數食店月刊信箱』，就有下午茶哦！

【問 3】：甲乙二人俱在北門，乙東行二百步而止，甲南行三百七十五步望見乙。問答同前。此為

股上容圓問題股上容圓 3 3

3 3

2a bd

a b

【問 4】：甲乙二人俱在圓城中心而立，乙穿城向東行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五

步望見乙。問答同前。此為勾股上容圓問題 12 12

12

2a bd

c

【問 5】：甲乙二人同立於乾地，乙東行一百八十步遇塔而止，甲南行三百六十步回望其塔正居城

徑之半 2a b

da b

（此處的 ,a b將依題目設定）

颱風假？假颱風？

在台灣，我們對颱風並不陌生，因為它幾乎每年都會來拜訪，但我們可能不清楚颱風的強度是

如何界定？颱風假是如何評斷？現在，就讓我們用量化的方式讓同學知道相關的知識，如果我們都

能多瞭解一些，至少在下次颱風來時，可以很理性的面對而且少些謾駡。

根據台灣中央氣象局，現行的風級標準（如右下表，標準與香港同）所訂，在下表中，除了可

以知道風力級數的大小，也可知道浪級的分類，也可藉由右下欄的說明，了解風力級數多少時會造

成何種程度的傷害？也明白了為何政府總是宣導颱風時盡量避免外出。當然，也有有趣的部份，比

方說我們還可以具體地瞭解『微風的感覺』，原來是清風拂面，樹葉有聲呀！

那麼要到達什麼標準才算是颱風呢？它須達到 12 級風（見左下表），浪級則需由猛浪轉狂濤

了。那何時可以放颱風假？依照氣象預報，颱風暴風半徑於四小時內可能經過的地區，其平均風力

達到七級風或陣風達到十級風。因此，像此次的台南巿、高雄巿、屏東縣就是因為風雨量未達放假

標準，為避免造成假颱風，所以未放颱風假。

下回如果北北基也未放颱風假，不管是因為颱風減弱或是颱風未經過，都表示依照標準我們也

是颱風無法肆虐的幸福地方，除了心存感激，是不是更要『尊重專業』？

參考資料引自 http://typhoon.ws/learn/reference/stop_working_rule

班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績

班級 座號 姓名 成績 110 13 施惟智 94 班級 座號 姓名 成績 107 4 周碩漢 100

101 10 鄭友鈞 90 110 14 許展豪 95 102 5 黃仕穎 98 107 6 范皓程 95

101 15 周芷芸 92 110 17 詹曜維 92 102 6 黃修承 100 107 11 陳鴻慶 90

102 1 邱棋浚 96 202 8 張昊翰 96 102 7 黃龢 100 107 15 莊馥菡 95

102 5 黃仕穎 100 202 9 張宸愷 94 102 10 簡易軒 90 107 17 陳萱寧 95

102 7 黃龢 100 202 20 劉怡暄 90 102 16 陳如青 100 107 19 謝恩雅 100

102 16 陳如青 100 202 28 詹嬿平 90 102 19 黃羚芝 93 107 22 古榮恩 90

102 17 程彥慈 97 204 1 王瑋晨 90 102 25 郭李晟 91 107 25 李欣儀 95

102 19 黃羚芝 97 204 6 郭品謙 96 102 27 許芷瑄 100 108 5 葉哲齊 100

102 27 許芷瑄 96 204 11 駱毅 94 102 29 羅榆婷 90 108 7 戴坤益 90

102 29 羅榆庭 100 204 12 吳瑄軒 94 103 1 王星翰 100 108 10 何晏瑜 90

103 9 陳奕丞 97 204 23 蘇筱茜 90 103 9 陳奕丞 95 108 14 陳逸楹 95

103 12 余育庭 98 206 13 古蕙慈 90 103 12 余育庭 95 108 23 陳榆靜 93

103 17 陳靜怡 96 208 1 朱韋城 100 103 17 陳靜怡 100 110 14 許展豪 95

103 26 黃郁婷 95 208 14 呂婕箖 100 104 11 廖紹廷 100 110 16 溫逸凱 100

104 2 吳永仁 94 209 3 林紘宇 96 104 15 呂采函 100 209 11 戴仕庭 94

104 11 廖紹廷 93 209 6 彭士庭 96 104 17 李庭儀 95 209 18 李宜臻 94

104 15 呂采函 100 209 18 李宜臻 90 105 2 王翔儒 100 209 20 陳亦萱 90

104 16 李宜庭 93 209 20 陳亦萱 96 105 5 陳冠瑜 100 209 22 曾沐琴 94

105 2 王翔儒 100 301 7 林易晉 100 105 6 陳禹嘉 90 311 * 藍奕玹 優秀

105 11 林伃珊 97 301 25 張琬祈 90 105 7 陳國安 90 311 * 康凱浚 優秀

105 15 劉嘉媁 90 302 3 呂銘席 100 105 10 蔡秉葦 95

105 19 蘇以恩 90 302 12 管政霖 90 105 11 林伃珊 100

105 20 洪耀揚 96 302 15 嚴狷峰 90 105 14 楊沐英 95

106 3 周廷駿 100 304 3 杜紀廣 95 105 15 劉嘉媁 100

106 5 林柏凱 92 304 20 張巧羚 93 105 17 賴凱妮 90

106 7 秦睿邦 92 305 7 黃品竣 100 105 18 蘇心怡 90

106 12 王俐婷 100 305 15 丁紫翎 95 105 19 蘇以恩 100

107 19 謝恩雅 92 305 31 林珈卉 95 106 4 林弘洋 9

107 25 李欣儀 96 306 1 王建富 100 106 11 劉耀鈞 90

109 5 葉哲齊 100 306 12 陳思瑋 100 106 12 王俐婷 95

109 10 何晏瑜 93 308 15 白京陵 90 106 18 胡芝熒 100

109 14 陳逸楹 96 308 20 許子潔 95 106 19 陳書涵 100

109 16 溫婉柔 96 308 22 陳姍妤 90 106 21 蔡堯安 90

109 18 蘇映欣 94 106 24 胡昱捷 95

1-1 1-2

榮 譽 榜

9 5 4 6

6 7

2 8 4

4 8 5 1

8 9 1 4

2 6 7 5

8 7 3

5 1

9 4 8 2

4 9 8

1 8 5

1 7 3

5 7 3 6 4

4 2

6 7 2 8 4

2 4 8

9 5 1

5 9 7

班級： 姓名: 班級： 姓名:

請根據下列各題所提供的資訊，圈選出適當的選項或填入適當的答案 動動腦時間

班級： 姓名: 班級： 姓名:

請在下列每題的五個選項中，圈選出唯一

沒有共同點的詞彙

請在下列每題的四個選項中，圈選出唯一

沒有相同點設計的概念

同學們，以上所做的趣味題，是德國學生平常所做的邏輯訓練，是不是很有趣呢？如果喜歡，那麼

我們是不是也可以設計一些自己認為有『符合某種概念或意義』的題目？請將你的設計寫於下面空

白處，若經錄取，就有下午茶哦！

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題目：包含 4-5個選項 設計理由是符合 概念

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