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從探討尺規作圖任意角三等分中發現莫利定理 李偉銘 老師

在上二年級的尺規作圖這單元，讓我回想起以前的教授跟我說，不可能使用尺規作圖將

一個角分成三等分(但可以使用別的方法，因不在國中課綱所以不予討論)，只有幾個特殊的

角才可以。例如：直角、135∘等少數的幾個角。然後我開始去查閱資料有沒有能讓國中生

了解為什麼是尺規作圖辦不到的，但在看了證明之後，發現對國中生來說，很難解釋清楚給

他們聽，不過在找尋的過程中我卻發現了莫利定理，這是一個很令我驚豔的定理，因為它的

內容牽扯上我們學數學最不喜歡碰的三等分角。

莫利定理：

任給一個三角形△ ABC ，作各角的三等分角線，兩鄰角的三等分角線會得到一個交點，共

有三個交點，則三個交點圍成一個正三角形（如下圖一）。

圖一 圖二

現在就來介紹這定理證明的過程。

證明：

如上圖二，設△ABC 的∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ

與 BC 相鄰的兩條三等分分角線交於 X

∠B 和∠C 的另兩條三等分分角線交於 S，則 X 為△SBC 的內心，

得 XS 平分∠BSC

在 XS 兩側分別作∠SXZ=∠SXY=30°，且 Z、Y 分別在BC 、CS 上

則△SXZ 全等於△SXY

所以 XZ = XY

又∠ZXY=60°

故△XYZ 為正三角形

數食店月刊 第 68 期 103 年 5 月號

店址：新北巿立明德高中國中部數學科教學研究會

店長：涂佩瑜 老師 執行長：陳玉芬 老師 大掌櫃：汪姵君

Hint

讓裡面小三角形是

正三角形再去推得

是由三個角的三等

分線構成

同學們在看解答之

前先想想看，是否

能夠用你國中三年

學到的數學方法去

證明它 。

2

接下來要證 AZ 、 AY 三等分∠A

分別在 BA 、CA取 'BX = BX , "CX =CX ，則△BZX'全等於△BZX，得 'ZX = ZX = ZY

同理 得 "YX = ZY

所以 'ZX = ZY = "YX

∠X'ZY=360°-2∠BZX-60°

=360°-2(∠S/2+30°)-60°

=240°-∠S

=240°-(180°-2β-2γ)

=60°+2(β+γ)

=60°+2(60°-α)

=180°-2α

同理 得∠ZYX"=180°-2α

參考資料: http://ej0cl6.pixnet.net/blog/post/26306404-%5B%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%

AE%9A%E7%90%86%5Dmorley%E5%AE

本校國中部數學科陳玉芬、涂佩瑜、李伶芳老師，為讓數學走進生活，更希望學生在生

活中發現數學，她們透過在該校已發行 13 年的「數食店月刊」及古文本「九章算術」的轉

譯，結合電腦互動方式提高學生的學習興趣，把中國經典數學著作「九章算術」翻譯成白話

文教學，獲得今年台灣微軟創意教師競賽的特別獎與國中組優勝，明年 3 月將代表台灣參

加全球教育論壇，與世界各國老師的教案一較高下。所以，同學們若在校園中看到老師們要

向她們說聲恭喜哦！。

全文網址:

http://mag.udn.com/mag/edu/storypage.jsp?f_ART_ID=513844#ixzz32J7EIz

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作 X'ZY 的外接圓 O 由對稱性知 X"也在

圓 O 上，

則圓心角∠X'OZ=∠ZOY=∠YOX"=2

α，故∠X'OX"=6α

又因為∠A=3α，故 A 也在圓 O 上

又弦 'ZX = ZY = "YX

得 AZ 、 AY 為∠A 的三等分線，故得證

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學週考風雲榜

前期答對同學名單 注意：名字旁的數字表示你答對的題數，也是你可以來領取下午茶的份數哦！

208 陳蓬元×4 208 林芷伶×1 102 陳亭如×3 109 簡慧姍×1 104 張巧羚×1 307 王鈺媞×1 307 蔡佩芸×3

103 邵立瑜×1

※編輯部聲明：每期都有適合各年級同學的程度，希望同學們針對自己的實力誠實地全力以赴，如此獲獎才有意義！

甲、乙、丙、丁、戊分別是 1、9、2、8、5

692 推理遊戲 安朵娜特／勞倫特／藍色／玫瑰

薩 賓／賽 吉／黃色／百合

瑪克西 ／維森特／粉紅／菊花

多明妮克／巴斯坦／紅色／蘭花

艾斯黛拉／帝地爾／白色／康乃馨

單元 3-1 3-2 單元 3-3 單元 3-2 3-3

班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績

102 1 王承彥 98 101 1 任治樺 100 306 4 許智豪 96

103 13 魏啟峻 100 9 邱繼泓 96 305 3 柯亭佑 96

104 6 陳政豪 95 102 6 許智翔 96 305 5 張富閔 100

17 張巧羚 95 104 17 張巧羚 100 309 15 徐艾琳 96 100

105 7 黃品竣 100 100 105 7 黃品竣 100 307 9 王鈺媞 100

31 林珈卉 100 31 林珈卉 95 12 呂宜珊 96

單元 3-4 106 9 范益福 96 20 顏于雯 100

305 3 柯亭佑 95 18 陳雯馨 100 21 林佳弘 96

306 19 劉曉芸 95 111 23 王慈翎 96

我的媽媽像

什麼？

我的媽媽像『＋』號，總是給我正面能量，一直教我做人處事的人生道理！ 208林芷伶

我的媽媽像『循環小數』，對我的愛永無止境！ 208林芷伶

我的媽媽像『圓周率』，永遠有講不完的話！ 307王子嘉

我的媽媽像『絶對值』，不管我怎麼壞，她都永遠會把我拖回「正」軌。 204 王軍

我的媽媽像『圓周率』，給我「無窮盡」的愛。 108 王麗雅

我的媽媽像『未知數』，總是不知道媽媽心裡到底在想什麼？ 108 許子潔

我的媽媽像『』，對我的愛永遠沒有底線。 204 王玟博

我的媽媽像『未知數』，心情總是搖擺不定 109 簡慧姍

前期解答專區

榜上有名的同學，記得

明天（5/29）中午找佩

瑜師領珍珠奶茶哦！

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繪馬亭上的十道題

不知各位同學是否已看過子惠樓 2 樓數學科專科教室前繪馬亭上的題目？那都是每位

數學老師為同學們精心設計的數學題目！不僅有趣而且還是將來數學週的參考題，最重要的

是在解題的過程中，同學們會看到數學的不同「面貌」，真心期待同學們的熱情參與！

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下圖是本校繪馬亭同學解題的情形，只要同學認為已解出該題的正解，歡迎你向你的數

學老師索取解答卷，寫下你的答案之後，懸掛於繪馬亭上表示勇於展現自己的實力，你們的

熱烈參與，將會是數學老師們努力的最大動力。

為何叫做『繪馬亭』？

首先，此『繪馬亭』從設計到命名，都是由本校數學科朱志竣老師一手包辦的，為了精

簡成本，他僅利用 4000元的材料費製作出了價值上萬元的『繪馬亭』（有外校老師估約 30000

元），所以同學們，下回在校園中見到朱老師記得要向他說聲謝謝！

接著，我們就要來介紹『繪馬亭』了，原來是在日本江戶時期，人們為了酬神，卻又買

不起真馬來謝神，於是想到在木板上畫匹馬以表心意，進而演進到為了祈求神明的護持提升

技藝，或感謝神明讓自己成長，人們就各自為了不同目的將寫上數學算式的繪馬獻給神明，

這就是所謂的『算額繪馬』。那麼同學們是也能利用這『繪馬亭』讓自己的學藝更精進呢?

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數學下午茶時間

３ １ ５

８ １ ９

８ ３ ２

１ ５ ８ ６ ９

４ ３ ９ １ ８

７ ２ ３

９ ４ ７

３ ８ ９

９ ５ ３

２ ６ ３

４ １ ２

８ ６ ３ ２

８

２ ７ ９ ８

３ ７ ２

７ ５ １

６ ８ ７

班級： 姓名: 班級： 姓名:

班級： 姓名: 班級： 姓名:

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