25

Renkli – Resimli – Tablolu

Kazanımlarla Uyumlu

Tam Konu Anlatımı

Örnek Soru Çözümlü

Öğrenmeyi Kolaylaştıranİpuçları

Güncel

ONLİNE“eğitimde yayındenizi online”

ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ SEÇİMİ İLE SİSTEME ÜYELİK FORMUNU DOLDURUNUZ.

SİSTEME GİRİŞ YAPARAK DİJİTAL İÇERİKLERİNİZİ İSTEDİĞİNİZ YEREİNDİREBİLİRSİNİZ.

İNTERNETE BAĞLI OLSUN VEYA OLMASIN DİLEDİĞİNİZ PLATFORMLARDA İÇERİKLERİMİZKULLANABİLİRSİNİZ.

İSTEDİĞİNİZSORULARLA KENDİ TESTİNİZİOLUŞTURABİLİRSİNİZ.

www.ydakillitahta.com

ÜCRETSİZ ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ

KOLAY ERİŞİLEBİLİR DİJİTAL İÇERİK

ÖRNEK KİTAP TALEBİ

AYT

MÜFREDATA UYGUN SORU HAVUZU

MATEMATİK

2

Genel Yayın KoordinatörüAyça AKTAŞ DEMİRCAN

YazarServet KAÇARAN Şenay KAÇARANTuba ÇADIR

Dizgi YAYIN DENİZİ DİZGİ BİRİMİ

Basım Yeri

Copyright ©Bu kitabın her hakkı yayınevine aittir.

Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan yayınevinin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile

çoğaltılması, yayınlanması ve depolanması yasaktır.

10-0918-01-5000-BISBN: 978-605-197-140-7

İLETİŞİMServet KAÇARAN skacaran@gmail.comAyça AKTAŞ DEMİRCAN aycademircan@isler.com.tr

TELEFON 0(312) 395 13 36

İNTERNET @ydtekserisi tekyayinlari@gmail.com

@ydtekserisi

3

ÖN SÖZ

Sevgili Öğrenciler,

Yayın Denizi serisindeki TEK MATEMATİK AYT ve TEK MATEMATİK TYT kitaplarımız, Milli Eğitim Bakanlığı tarafından son olarak Ocak-2018 tarihinde değiştirilen ve 2018-2019 Eğitim - Öğretim yılından itibaren tüm sınıflarda ve sınavlarda uygulanacak müfredat değişikliğine hem konu sırası bakımından hem de içerik bakımından tam uyumlu olarak hazırlanmıştır.

Liselerde ortak sınıflar olan 9 ve 10. sınıfların Ocak - 2018’de yenilenen matematik konuları TEK MATEMATİK TYT kitabımızda; 11 ve 12. sınıfların Matematik konuları ise TEK MATEMATİK AYT kitabımızda bir araya getirildi.

TEK MATEMATİK TYT ve TEK MATEMATİK AYT kitaplarımız üniver-siteye hazırlanan gerek 12. sınıf öğrencileri, gerek mezun öğrenciler için aradıkları her bilgiye kolayca bulabilecekleri baş ucu kitapları niteliğindedir-ler.

Formüller, özellikler, uyarılar örneklerle desteklendi. Bunun için sıradan örnekler yerine özelliği olan örnekler seçildi. Kolay anlaşılabirlik için renkler kulanıldı. İşlem sırası, önemli noktalar renklendirildi. Uzun paragraflardan kaçınıldı, maddeleştirerek anlatım yolu tercih edildi. Gereksiz detaylara yer verilmedi.

Bu kitabın tüm 11. sınıf öğrencileri için de yıl boyu yanlarında taşıya-cakları iyi bir danışma kitabı olacağını rahatlıkla söyleyebiliz.

TEK MATEMATİK AYT kitabımızdan beklediğiniz verimi alabilmenizi temenni ediyoruz.

Başarı dileklerimizle.

Servet KAÇARAN Şenay KAÇARAN Tuba ÇADIR

4

ÇALIŞMA PLANI YAPALIM!

NA

SIL

NER

EDE

NE ZAMAN

Her şey ne kadar karışık görünse de;☛ Gerçekleştirilebilecek bir hedefin varsa,☛ Hedefe ulaşmayı amaç edindiysen,☛ Soru çözerek deneyim kazanıyorsan,☛ Konuları birbiri ile ilişkilendirebiliyorsan,☛ Sınav uygulayarak bilgilerini sık sık kontrol

ediyorsan, ☛ Kendine güveniyorsan

işler iyi gidecek demektir.

İYİ NOT ALMAK, HER ŞEYİ YAZMAK DEMEK DEĞİLDİR!

İyi not almak; kendi cümlelerini kurmak, şekille veya yazıyla şifre-lemek, baktığında kolayca anlayıp hatırlamak için materyal hazırlamak demektir.

Tutulan notlar; onlara geri dönmek, onları okumak, onları gözden geçirmek, oradaki fikirlerin üzerine düşünmekle bir anlam kazanırlar.

BilgiDuygu ve davranı�+ Deneyim + = ÖĞRENME

Merak

;

öğren

meisteğ

iniha

rekete

geçir

ir,

odaklan

mayısağla

r,

çabu

kyorulm

ayıeng

eller.

Çalışma Planı Yaparken Bu Soruları Dikkate Alınız!

Hangi ders, hangi gün?

Konu öğrenme ve tekrarı ne zaman?

Soru çözümleri, ödevler ne zaman?

Deneme Sınavları ne zaman?

Aksayan çalışmalara hangi gün, ne kadar zaman ayırmalıyım?

Ders dışı hangi etkinlikler ne zaman yapılmalı?

Tatil günü hangi gün?

5

EVDE ETKİN ÇALIŞMA Evde olduğunuz zamanı çok iyi değerlendirmelisiniz. Çoğu zaman yoğun ve

yorgun bir gün geçirerek eve geldiğiniz için uygulanabilir iyi bir ev programına ihtiyacınız var.

Evde yapılması gereken işler uyuma, dinlenme, beslenme, konuları tekrar etme, soru çözme, çözemediğin sorular için araştırma yapma, ödev yapma, fazladan sınav uygulama, önceden öngörülemeyen durumlar gibi pek çok başlık altında toplanabilir.

İyi bir program için aşağıdaki uyarılar işinize yarayabilir.

Eve gelince önce dinlenmelisiniz.

Konu öğrenme, tekrar etme, soru çözme saatlerini birbiri arkasına yerleştir-melisiniz.

Ders çalıştığınız her saat için 10 dakika kadar dinlenme molası vermelisiniz. Mola vermek odaklanma gücünü artırır.

Her hafta en az 1 tane deneme sınavı uygulamalısınız.

Her gün konu tekrarlarına zaman ayırmalısınız. Yeni bilgiyi günlük tekrar etmelisiniz. Tekrar etmek başarının anahtarıdır. Bilginin pekiştirilmesini ve uzun süreli hafızaya atılmasını sağlar.

Bilginin kalıcı olmasını sağlamak için ilişkilendirerek öğrenmeye çalışmalısı-nız.

Herkesin uyuduğu zaman çalışmak, herkesin çalıştığı zaman uyumak iyi bir yöntem değildir.

Her şeyden arındırılmış ortam, çalışma için iyi bir ortam değildir.

Dikkatinizi belli alanlara değil, genele yaymalısınız.

Yaptığınız programa beyninizi ikna etmelisiniz.

• Konuları eksik bırakma.• Tam özümseyene kadar tekrar et.• Tanımlara, kavramlara önem ver.• Zor bilgileri şekil ve grafikle destekle.• Bilgileri günlük yaşamla ilişkilendir.• Bilinçli okuma, yazma alışkanlığı kazan.• Kendine güven.BAŞARM

AK B

U KADAR KOLAY

B

6

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM: FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR ...........................................11 1. y = mx + n DOĞRUSUNUN GRAFİĞİ VE UYGULAMASI .............................. 11 2. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR .............................................. 13 3. FONKSİYOLARIN POZİTİF VE NEGATİF OLDUĞU ARALIKLAR ................ 15 3.1. Grafiği Verilen Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar ............. 15 3.2. Kuralı Verilen Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar .............. 16 3.3. Pozitif Değerli Fonksiyonlar .................................................................... 16 3.4. Negatif Değerli Fonksiyonlar ................................................................... 17 4. ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR .......................................................... 18 5. BİR FONKSİYONUN EN KÜÇÜK (MİNİMUM) DEĞERİ, EN BÜYÜK (MAKSİMUM) DEĞERİ ............................................................. 19 6. BİR FONKSİYONUN ORTALAMA DEĞİŞİM HIZI .......................................... 20

2. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ..........................................23 1. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYON ................................................................ 23 1.1. Parabolün Tepe Noktası (Köşesi) ........................................................... 23 1.2. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Tepe Noktas› Cinsinden İfadesi ....... 24 1.3. f: R†R , y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Simetri Ekseni ........... 25 1.4. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Eksenleri Kestiği Noktalar ................ 25 1.5. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun x-Eksenini Kestiği Noktalar Cinsinden İfadesi ................................................. 27 2. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONUN GRAFİĞİ (PARABOL) ...................... 28 3. BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI. ...... 38

3. BÖLÜM: FONKSİYONLARIN DÖNÜŞÜMLERİ ..............................................41 1. TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN GRAFİĞİNİN SİMETRİ ÖZELLİKLERİ .... 41 2. GRAFİKLERİN ÖTELENMESİ ........................................................................ 43 2.1. Grafiklerin x-Ekseni Boyunca Ötelenmesi .............................................. 43 2.2. Grafiklerin y-Ekseni Boyunca Ötelenmesi ................................................ 44 2.3. Grafiklerin hem x-Ekseni Hem de y-Ekseni boyunca Ötelenmesi .......... 44 2.4. y = f(x) ile y = k·f(x) Fonksiyonları Arasındaki İlişki ................................. 46 2.5. y = f(x) ile y = f(kx) Fonksiyonları Arasındaki İlişki ................................... 47 3. GRAFİKLERİN SİMETRİLERİ. ....................................................................... 49 4. ( ) ,f x x n Z

nd= BİÇİMİNDEKİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ ............. 53

7

İÇİNDEKİLER

4. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER ............55 1. İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER VE DENKLEM SİSTEMLERİ ........................................................................ 55 2. İŞARET İNCELEME ........................................................................................ 58 2.1. f(x) = ax + b Fonksiyonunun İşareti ........................................................ 60 2.2. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun İşareti .............................................. 62 2.3. Kolay İşaret Tablosu İçin Bir Metot ......................................................... 64 3. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ ....... 67 4. EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI ........................................................................ 68 4.1. f(x) = ax2 + bx + c İkinci Dereceden Üç Terimlisinin Daima Negatif veya Daima Pozitif Olması .............................................. 68 4.2. ax2 + bx + c İkinci Dereceden Denkleminin Köklerinin İşareti ................ 70

5. BÖLÜM: OLASILIK .........................................................................................73 1. KOŞULLU OLASILIK ...................................................................................... 73 2. BAĞIMSIZ OLAYLAR, BAĞIMLI OLAYLAR ................................................... 75 3. BİLEŞİK OLAYLARIN OLASILIKLARI ............................................................ 77 4. DENEYSEL VE TEORİK OLASILIK ................................................................ 79

6. BÖLÜM: ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR ...................................83 1. ÜSTEL FONKSİYON ...................................................................................... 83 2. LOGARİTMA FONKSİYONU .......................................................................... 84 2.1. Onluk Logaritma Fonksiyonu .................................................................. 87 2.2. e Sayısı ................................................................................................... 88 2.3. Doğal Logaritma Fonksiyonu .................................................................. 89 3. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................. 92 4. ÜSLÜ DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER .................................................... 95 5. LOGARİTMALI DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER ...................................... 97

8

İÇİNDEKİLER

7. BÖLÜM: DİZİLER ............................................................................................99 1. GERÇEK (RE EL) SA YI DİZİLE Rİ ................................................................... 99 2. İNDİRGEMELİ DİZİLER ................................................................................ 104 2.1. Fibonacci Dizisi ...................................................................................... 104 3. ARİTMETİK DİZİLER .................................................................................... 107 4. GEOMETRİK DİZİLER .................................................................................. 109 5. Σ (TOP LAM) SEM BO LÜ ............................................................................... 112

8. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ............................................................................121 1. BİRİM ÇEMBER ............................................................................................ 121 2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR .......................................................... 123 3. DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI ................ 127 3.1. Özel Dar Açıların (30°, 45° ve 60°) Trigonometrik Oranları. ................. 127 3.2. Trigonometrik Fonksiyonlar (Oranlar) Arasındaki Bağıntılar ................. 128 3.3. Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ........................ 129 3.4. Tümler Açıların Trigonometrik Oranları Arasındaki İlişki ........................ 129 3.5. Geniş Açıların Trigonometrik Oranlarını Dar Açıların Trigonometrik Oranlarına Çevirmek ...................................................... 130 3.6. Özel Açıların Trigonometrik Oranları ..................................................... 133 4. PERİYODİK FONKSİYONLAR ..................................................................... 135 5. ÜÇGENDE BAZI TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR ..................................... 137 5.1. Kosinüs Teoremi ................................................................................... 137 5.2. Sinüs Teoremi ....................................................................................... 138 5.3. Üçgenin Alanı ....................................................................................... 138 6. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ ................................ 139 7. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ................................................ 140 8. TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ ............................................................... 145 8.1. Yarım Açı Formülleri ............................................................................. 147 9. TRİGONOMETRİK DENKLEMLER .............................................................. 150 9.1. Trigonometrik Özdeşlikler ..................................................................... 150 9.2. Trigonometrik Denklemler ..................................................................... 150

9

İÇİNDEKİLER

9. BÖLÜM: FONKSİYONLARDA LİMİT ............................................................161 1. LİMİT KAVRAMI ............................................................................................ 161 2. LİMİT ALMA KURALLARI ............................................................................. 164 3. PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ .................................... 166

4. LİMİTTE 00

BİÇİMİNDEKİ BELİRSİZLİK DURUMU .................................... 167

10. BÖLÜM: FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK ..............................................169 1. FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK ............................................................... 169 1.1. İç Nokta, Uç Nokta ................................................................................ 169 1.2. İç Noktada Süreklilik ............................................................................. 169 1.3. Uç Noktada Süreklilik ............................................................................. 170 1.4. Açık veya Kapalı bir Aralıkta Süreklilik ................................................... 170 1.5. Soldan Süreklilik, Sağdan Süreklilik ..................................................... 172 1.6. Tanım Kümesinde Süreklilik ................................................................. 173 1.7. Süreksizlik ............................................................................................. 174 1.8. Sürekli İki Fonksiyon Arasındaki İşlemler ............................................. 175 1.9. Mut lak De ğer Fonk si yo nu nun Sü rek li li ği ................................................ 176 1.10. Trigonometrik Fonksiyonların Sürekliliği .............................................. 176 1.11. Bileşke Fonksiyonunun Sürekliliği ........................................................ 176

11. BÖLÜM: FONKSİYONLARDA TÜREV .......................................................177 1. DEĞİŞİM ORANI, ANLIK DEĞİŞİM ORANI ................................................. 177 2. BİR FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ TÜREVİ .......................................... 181 3. BİR FONKSİYONUN TÜREVİ ...................................................................... 184 4. TÜREV ALMA KURALLARI - I ...................................................................... 185 4.1. Sa bit Fonk si yo nun Tü re vi .................................................................... 185 4.2. f(x) = xn Fonk si yo nu nun Tü re vi ................................................................ 185 5. BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLİRLİK ......................................................... 186 5.1. Açık Aralıkta türevlenebilme ................................................................. 186 5.2. Kapalı Aralıkta türevlenebilme ................................................................ 186 5.3. Türevin Süreklilikle İlişkisi ..................................................................... 187 5.4. Fonksiyonun Türevli Olmadığı Noktalarla Grafiği Arasındaki İlişki ........ 189

10

İÇİNDEKİLER

6. TÜREV ALMA KURALLARI - II ..................................................................... 191 6.1. Bir Fonk si yo nun Bir Sa bit le Çar pı mı nın Türevi ..................................... 191 6.2. iki Fonksiyonun Top la mı nın Tü re vi ....................................................... 191 6.3. İki Fonk siyonun Çar pı mı nın Tü re vi ....................................................... 191 6.4. İki Fonk siyonun Bölümünün Tü re vi ....................................................... 191 6.5. Parçalı tanımlı Fonksiyonların Tü re vi .................................................. 195 7. BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ (TÜREVDE ZİNCİR KURALI) .............. 200 8. ARTAN FONKSİYONLAR, AZALAN FONKSİYONLAR ............................... 205 8.1. Tü re vin Ar tanlık ve Aza lan lık ile İl gi si ..................................................... 205 9. EKSTREMUM NOKTALAR VE EKSTREMUM DEĞERLER ........................ 207 9.1. Mut lak Mak si mum De ğe ri ve Mut lak Mak si mum Nok ta sı ...................... 207 9.2. Mut lak Mi ni mum De ğe ri ve Mut lak Mi ni mum Nok ta sı ............................ 207 9.3. Ye rel (Lo kal) Mak si mum De ğe ri ve Nok ta sı .........................................................207 9.4. Ye rel (Lo kal) Mini mum De ğe ri ve Nok ta sı ............................................................208 9.5. Ekstremum Noktalar İle Türevin İlişkisi ..................................................................210 9.6. Kri tik Nok ta lar ......................................................................................... 212 10. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ ............................ 214 11. TÜ REV İN GEOMETRİK ANLAMI ................................................................. 216 12. TÜ REV İN FİZİKSEL ANLAMI ....................................................................... 220 13. MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ ................................................. 221 14. POLİNOMUN ÇOK KATLI KÖKLERE SAHİP OLMASI (Ek Bilgi) ................. 225 15. L’HOSPİTAL (LOPİTAL) KURALI (Ek Bilgi) .................................................. 226

12. BÖLÜM: İNTEGRAL ....................................................................................227 1. İNTEGRAL KAVRAMI ................................................................................... 227 2. BELİRSİZ İNTEGRAL ................................................................................... 227 3. BİR KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI (BÖLÜNMESİ) ........................... 237 4. BELİRLİ İNTEGRAL ...................................................................................... 242 5. BELİRLİ İNTEGRAL İLE ALAN HESABI ....................................................... 246 5.1. Bir Eğri İle x-Ekseni Arasında Kalan Alan ............................................. 246 5.2. x-Eksenine Göre İki Eğri Arasında Kalan Alan ..................................... 254 5.3. Ters Fonksiyonun Altında Kalan Alan ................................................... 255

BÖLÜM

1

11

FONKSİYONLARDAUYGULAMALAR

1. y = mx + n DOĞRUSUNUN GRAFİĞİ VE UYGULAMASI

Bir doğrunun standart denklemi y = mx + n dir. Denklemde x'in katsayısı olan m reel sayısı doğrunun eğimidir. Doğrunun grafiğinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı denklemin sabit terimi olan n'dir.

y = mx + n denkleminde y = 0 yazılarak bulunan x = mn– değeri, doğrunun

grafiğinin x-eksenin kestiği noktanın apsisidir.

Buna göre, y = mx + n doğrusunun grafiğini çizmek için, grafiğin eksenleri kestiği noktaları bulmak yeterlidir. Bu iki noktadan geçen doğru çizilerek grafik elde edilir.

y = 3x + 6 doğrusunun grafiğini çizelim.›› ÖRNEK

y = 3x + 6 doğrusunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulalım:

x = 0 için; y = 3·0 + 6 ⇒ y = 6 ⇒ A(0, 6) (y-eksenini kestiği nokta)

y = 0 için; 0 = 3x + 6 ⇒ x = –2 ⇒ B(–2, 0) (x-eksenini kestiği nokta)

Doğrunun grafiği aşağıdaki gibi olur:

x

y y=3x+6

6

–2 0

›› ÇÖZÜM

12

1.1. Doğrunun Diğer Tür Denklemleri

a. Doğrunun genel denklemi ax + by + c = 0 dır. Bu denklem,

ax + by + c = 0 ⇒ by = – ax – c ⇒ y = ba x b

c– –$

biçiminde düzenlenerek standart forma çevrilebilir.

b. Orijinden geçen doğruların denklemleri y = mx biçimindedir.

c. x-eksenine paralel doğruların denklemi y = n dir. Bu doğru y-eksenini (0, n) noktasında keser. Grafiği y-eksenine dik, x-eksenine paraleldir.

ç. y-eksenine paralel doğruların denklemi x = k dir. Bu doğru x-eksenini (k, 0) noktasında keser. Grafiği x-eksenine dik, y-eksenine paraleldir.

y = 3, y = –2, x = 5 ve x = –3 doğrularının grafiğini çizelim.›› ÖRNEK

Doğruların grafikleri aşağıdaki analitik düzlemde bir arada verilmiştir.

x

y

y=3

x=5x=–3

0

3

–2

–3 5

y=–2

›› ÇÖZÜM

1.2. Eksenleri Kestiği Noktalar Belli Olan Doğrunun Denklemi

x-eksenini A(p, 0) ve y-eksenini B(0, q) noktaların-

da kesen doğrunun denklemi px

qy

1+ = biçiminde

kurulur.x

y

q

p0

13

Sabit hızla hareket eden bir aracın deposunda kalan benzin miktarı yandaki doğ-rusal grafikte verilmiştir.

Buna göre araç, deposundaki benzinle en fazla kaç km yol gider?

Yol(km)

Benzin(litre)

60

48

1500

›› ÖRNEK

Araç, 60 – 48 = 12 litre benzinle 150 km yol gitmiştir.

Buna göre, orantı kurarak aracın, deposundaki benzinle gidebileceği yolu bulabiliriz:

12 litre benzinle 150 km yol gidiyor.

1 litre benzinle 12150 km yol gider.

60 litre benzinle, 12150 60 750$ = km yol gider.

›› ÇÖZÜM

2. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARBir fonksiyon için önemli bilgilerden birisi de fonksiyonun grafiğinin eksenleri

kestiği noktalardır. Her fonksiyonun grafiği eksenleri kesmek zorunda değildir. Bazı fonksiyonların grafikleri her iki ekseni de keserken bazıları sadece bir ekseni keser. Bazıları da hiçbir ekseni kesmeyebilir.

y = f(x) biçimindeki bir fonksiyon y-eksenini en fazla bir noktada kesebilir. x-eksenin ise birden fazla noktada kesebilir.

2.1. Grafiği Verilen Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar

x

y

y=f(x)

0–3 –1

2

3

Yandaki y = f(x) fonksiyonu;x-eksenini (–3, 0), (–1, 0) ve (3, 0) nok-talarında kesmiştir. (–1, 0) noktasında x-eksenine teğettir.

y-eksenini B(0, 2) noktasında kesmiştir.

14

2.2. Kuralı (Denklemi) Verilen Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar

Kuralı y = f(x) olan bir fonksiyonun grafiğini çizmeden, grafiğin eksenleri kesip kesmediğini, kesiyorsa kesim noktalarının koordinatlarını bulabiliriz.

Grafiğin y-eksenini kestiği noktayı bulmak için y = f(x) kuralında x = 0 yazılır. Eğer bir y değeri bulunabiliyorsa, bulunan değer grafiğin y-eksenini kestiği nokta-nın ordinatıdır. Bir y değeri bulunamıyorsa, grafik y-eksenini kesmez.

Grafiğin x-eksenini kestiği nokta (noktaları) bulmak için y = f(x) kuralın- da y = 0 yazılır. f(x) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemden bir veya daha çok x değeri bulunabiliyorsa, bulunan değer (değerler) grafiğin x-eksenini kestiği nok-ta (noktaların) apsisidir. f(x) = 0 denkleminden bir x değeri bulunamıyorsa, grafik x-eksenini kesmez.

y = (2x + 3)·(x2 – 5x – 6) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulalım.

›› ÖRNEK

y-eksenini kestiği nokta:

x = 0 için; y = (2·0 + 3)·(02 – 5·0 – 6) ⇒ y = –18

Buna göre, grafik y-eksenini (0, –18) noktasında keser.

x-eksenini kestiği nokta (noktalar):

y = 0 için; 0 = (2x + 3)·(x2 – 5x – 6) ⇒ (2x + 3)·(x – 6)·(x + 1) = 0

⇒ 2x + 3 = 0 veya x – 6 = 0 veya x + 1 = 0

⇒ x1 = 23– veya x2 = 6 veya x3 = –1 bulunur.

Buna göre, grafik x-eksenini ,23 0–e o, (6, 0) ve (–1, 0) noktalarında keser.

›› ÇÖZÜM

y = x1 fonksiyonunun grafiği eksenleri kesmez. Nedenini araştırınız.

›› ÖRNEK

15

3. FONKSİYONLARIN POZİTİF VE NEGATİF OLDUĞU ARALIKLAR

y = f(x) fonksiyonunda x'e değişik değerler verdiğimizde bulduğumuz y değeri bazen negatif, bazen pozitif, bazen de 0 olabilir.

y değerinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon pozitif değerlidir ve grafiği x-ekseninin üstündedir.

y değerinin negatif olduğu aralıklarda fonksiyon negatif değerlidir ve grafiği x-ekseninin altındadır.

3.1. Grafiği Verilen Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Değerli Olduğu Aralıklar

x

y

y=f(x)

0–3 –1 3

Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun pozitif olduğu ve negatif olduğu aralıkları bulalım.

›› ÖRNEK

Grafikte x-ekseninin üstünde kalan kısımlar kırmızı renkte çizilmiştir. Fonksiyon buralarda pozitif değerlidir.

Grafikte x-ekseninin altında kalan kısımlar mavi renkte çizilmişştir. Fonk-siyon buralarda negatif değerlidir.

Buna göre, y = f(x) fonksiyonu (– ∞, –3) ve (–1, 3) aralıklarında pozitif değerlidir. Yani, x < –3 ve –1 < x < 3 için f(x) > 0 dır.

y = f(x) fonksiyonu (–3, –1) ve (3, + ∞) aralıklarında negatif değerlidir. Yani, –3 < x < –1 ve 3 < x < + ∞ için f(x) < 0 dır.

x = –3, x = –1 ve x = 3 için f(x) = 0 olmaktadır. Bu noktalar fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalardır.

›› ÇÖZÜM

16

3.2. Kuralı Verilen Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Değerli Olduğu Aralıklar

y = f(x) kuralı ile verilen bir fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu aralıkları bulabiliriz.

f(x) > 0 eşitsizliğinin çözümü ile fonksiyonun pozitif değerli olduğu aralıklar bulunur. f(x) < 0 eşitsizliğinin çözümü ile fonksiyonun negatif değerli olduğu ara-lıklar bulunur.

Bu tür örnekleri ilerleyen ünitelerde eşitsizlik çözümünü öğrendikten sonra çözebileceksiniz.

f(x) = – 2x – 6 fonksiyonunun negatif değerli ve pozitif değerli olduğu aralıkları bulalım.

›› ÖRNEK

f'nin negatif değerli olduğu aralık için f(x) < 0 eşitsizliğini çözmeliyiz:

f(x) < 0 ⇒ – 2x – 6 < 0 ⇒ – 2x < 6 ⇒ x > – 3

O hâlde, f, (–3, +∞) aralığında negatif değerlidir.

f'nin pozitif değerli olduğu aralık için f(x) > 0 eşitsizliğini çözmeliyiz:

f(x) > 0 ⇒ – 2x – 6 > 0 ⇒ –2x > 6 ⇒ x < – 3

O hâlde, f, (–∞, –3) aralığında pozitif değerlidir.

›› ÇÖZÜM

3.3. Pozitif Değerli Fonksiyonlar

f : A → R , y = f(x) fonksiyonu verilsin.

∀x ∈ A için f(x) > 0 ise f’ye A aralığında pozitif değerli bir fonksiyon denir.

• Pozitif değerli fonksiyonların grafikleri x–ekseninin üst kısmındadır. x–ekseni-ne değmezler, x-ekseninin altına inmezler.

17

a b

y

fd

c

xa b

y

gd

00

0x a b

y

h

d

cx

Yukarıdaki f, g ve h fonksiyonlarının her biri pozitif değerlidir.

f : [a, b] → [c, d] ye pozitif değerli bir fonksiyondur.

g : [a, b) → (0, d] ye pozitif değerli bir fonksiyondur.

h : [a, b] → [c, d] ye pozitif değerli bir fonksiyondur. Bu fonksiyonda c ve d değerlerine dikkat ediniz. Bu değerler a ve b’nin görüntüleri değiller.

3.4. Negatif Değerli Fonksiyonlar

f : A → R , y = f(x) fonksiyonu verilsin.

∀x ∈ A için f(x) < 0 ise f’ye A aralığında negatif değerli bir fonksiyon denir.

• Negatif değerli fonksiyonların grafikleri x–ekseninin alt kısmındadır. x–ekse-nine değmezler, üstüne çıkmazlar.

Aşağıda negatif değerli fonksiyonlar görmektesiniz.

a b

y

fd

c

xa b

y

d

g0 0

0 x a b

y

h

d

c

x

Yukarıdaki fonksiyonların her biri negatif değerlidir. Çünkü, her birinin grafiği tamamen x-ekseninin altında kalmaktadır.

f : [a, b] → [c, d] ye negatif değerli bir fonksiyondur.

g : (a, b] → [d, 0) a negatif değerli bir fonksiyondur.

h : [a, b] → [c, d] ye negatif değerli bir fonksiyondur. Bu fonksiyonda c ve d değerlerine dikkat ediniz. Bu değerler a ve b’nin görüntüleri değiller.

18

4. ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

A ⊂ R ve f : A → R bir fonksiyon olsun. ∀x1, x

2 ∈ A olmak üzere;

x1 < x

2 ⇒ f(x

1) < f(x

2) ise f fonksiyonuna A aralığında artandır denir.

x1 < x

2 ⇒ f(x

1) > f(x

2) ise f fonksiyonuna A aralığında azalandır denir.

x1 < x

2 ⇒ f(x

1) = f(x

2) ise f fonksiyonu A aralığında sabittir denir.

y = f(x)y

x10 3 5–2

Yukarıda R → R ’ye grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıklar şöyledir:

• f fonksiyonu (–∞, –2] aralığında azalandır.

• f fonksiyonu [–2, 1] aralığında artandır.

• f fonksiyonu [1, 3] aralığında azalandır.

• f fonksiyonu [3, 5] aralığında sabittir.

• f fonksiyonu [5, +∞) aralığında artandır.

• Bu aralıklar farklı renklendirilmiştir. Fonksiyonun artan, azalan ya da sabit olduğu aralıklar açık aralık olarak da yazılabilir.

• f fonksiyonu [–2, 1] aralığında artandır yerine, f fonksiyonu (–2, 1) aralı-ğında artandır denebilir.

• f fonksiyonu için [–2, 3] aralığında artandır, azalandır ya da sabittir di-yemeyiz. Çünkü bu aralığın bir kısmında artan, bir kısmında azalandır.

• Fonksiyonun grafiğini x’in artan değerlerine göre soldan sağa doğru, ok-ların yönünde takip ediniz.

›› ÖRNEK

19

• f fonksiyonu [–2, 1] ∪ [5, +∞) aralığında ARTAN DEĞİLDİR.Çünkü; 0,9 < 5,1 olduğu hâlde, f(0,9) > f(5,1) dir. Bu durum artan olmanın tanımı ile çelişir.

• f fonksiyonu (–∞, –2] ∪ [1, 3] aralığında AZALAN DEĞİLDİR.Çünkü; –2,01 < 1,1 olduğu hâlde, f(–2,01) < f(2,1) dir. Bu durum azalan olmanın tanımı ile çelişir.

5. BİR FONKSİYONUN EN KÜÇÜK (MİNİMUM) DEĞERİ, EN BÜYÜK (MAKSİMUM) DEĞERİ

Bir fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük elemanına o fonksiyonun en büyük (maksimum) değeri, görüntü kümesinin en küçük elemanına o fonksiyonun en küçük (minimum) değeri denir.

Maksimum değeri aldığı noktaya fonksiyonun maksimum noktası denir.

Minimum değeri aldığı noktaya fonksiyonun minimum noktası denir.

f : [–4, 7] → R , f(x) = 5 – 2x foksiyonunun en küçük ve en büyük değer-lerini bulalım.

›› ÖRNEK

–4 ≤ x ≤ 7 ⇒ (–2)·(–4) ≥ (–2)·x ≥ (–2)·7 (–2 ile çarptık.)

⇒ 8 ≥ – 2x ≥ –14 olur. Her tarafa 5 ekleyelim:

⇒ 5 + 8 ≥ 5 – 2x ≥ –14 + 5

⇒ 13 ≥ 5 – 2x ≥ –9

⇒ –9 ≤ f(x) ≤ 13 bulunur.

O hâlde, f fonksiyonunun en küçük değeri –9, en büyük değeri 13'tür.

Bu fonksiyonun grafiğini çizerek bulduğumuz bilgileri kontrol ediniz.

›› ÇÖZÜM

20

Aşağıda verilen fonksiyonların en küçük (minimum) ve en büyük (maksi-mum) değerlerini bulalım. Minimum ve maksimum noktaları yazalım.

−3−2

−2

y

f3

11 x

−2 −1

y

g5

3

1

10x

›› ÖRNEK

f fonksiyonunun f : [–3, 1] → [–2, 3] olarak tanımlandığını grafikten izleyi-niz. Görüntü kümesinin en büyük (maksimum) elemanı 3, en küçük (minimum) elemanı –2’dir. Bunun için f fonksiyonunun en büyük değeri 3, en küçük değeri –2’dir. Bu durumu –2 ≤ f(x) ≤ 3 biçiminde yazarız.

f fonksiyonunun minimum noktası (–2, 1), maksimum noktası (–2, 3) tür.

g fonksiyonunun g : [–2, 3] → [0, 5] olarak tanımlandığını grafikten izleyi-niz. Görüntü kümesinin en büyük (maksimum) elemanı 5, en küçük (minimum) elemanı 0’dir. Bunun için g fonksiyonunun en büyük değeri 5, en küçük değeri 0’dır. Bu durumu 0 ≤ g(x) ≤ 5 biçiminde yazarız.

g fonksiyonunun minimum noktası (–1, 0), maksimum noktası (1, 5) tir.

›› ÇÖZÜM

6. BİR FONKSİYONUN ORTALAMA DEĞİŞİM HIZI

f : R → R bir fonksiyon; x1, x2 ∈ R olmak üzere; f(x1) = y1 ve f(x2) = y2 olsun. f fonksiyonunun [x1, x2] aralığındaki ortalama değişim hızı

( ) ( )

x xf x f x

x xy y

– –––

2 1

2 1

2 1

2 1=

dir.Fonksiyonun bir aralıktaki değişim hızını bir grafik üzerinde açıklayalım. Bu-

nun için bir grafik çizip üzerinde A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarını işaretleyelim.

21

y = f(x)y

xx1 x2

y1

y2y2−y1

x2−x1

} }A

B

x xy y

––

2 1

2 1 oranı şekildeki AB doğrusunun

eğimidir.

O hâlde, fonksiyonun [x1, x2] aralığındaki değişim oranı (hızı) fonksiyonun AB kese-ninin eğimidir.

Yani, m x xy y

––

AB 2 1

2 1= dir.

f(x) = x3 + x – 3 fonksiyonunun [–1, 2] aralığındaki ortalama değişim hızını (oranını) bulalım.

›› ÖRNEK

f'nin [–1, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı ( )( ) ( )f f2 12 1

––

––

oranıdır.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.f f

t r2 12 1

33 3

42 2 1 1

– –– – – – –

ü– –3 3

=+ +

=c m

›› ÇÖZÜM

f(x) = x4 + 2x – 2 fonksiyonunun x = –2 ve x = 2 apsisli noktalarından geçen keseninin eğimini bulalım.

›› ÖRNEK

Bu kesenin eğimi, fonksiyonun [–2, 2] aralığındaki ortalama değişim hı-

zıdır. Yani, kesenin eğimi, ( )( ) ( )

mf f

2 22 2

––

––

= dir.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.mf f

dir2 22 2

42 2 2 2

22 2 2 2

– –– – – –– – –4 4

$ $= =

+ +=

c m

›› ÇÖZÜM

22

–2–3 1

1

4

y = f(x)

x

y

5

4

3

Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunda bilgilerimizi tekrar edelim.

1. f fonksiyonunun tanım kümesi R ’dir. Tüm x reel sayıları için tanımlıdır.

2. f fonksiyonunun görüntü kümesi (–∞, 4] aralığıdır. Bu aralık grafiğin y-ekseninde örttüğü kısımdır.

3. Grafik y–eksenini (0, 1) noktasında kesiyor. Yani, f(0) = 1’dir.

4. Grafik x–eksenini (–3, 0), (1, 0), (5, 0) noktalarında kesiyor.

Yani, f(x)=0 denkleminin birbirinden farklı üç tane kökü vardır.

Bu kökler: x1 = –3 x2 = 1, x3 = 5’tir. Bu sayılar f fonksiyonunun sıfırları diye isimlendirilir.x = 1 apsisli noktada grafik x-eksenine teğet olduğundan, x = 1 sayısı denklemin çift katlı köküdür.

5. (f o f o f)(5) = f(f(f(5))) = f(f(0)) = f(1) = 0 dır.

6. Fonksiyon (–∞, –2] ve [1, 4] aralıklarında ayrı ayrı artandır.

7. Fonksiyon (–∞, –2] ∪ [1, 4] aralığında artan değildir.

8. Fonksiyon (–2, 1] ve [4, +∞) aralıklarında ayrı ayrı azalandır.

9. Fonksiyon (–2, 1] ∪ [4, +∞) aralığında azalan değildir.

10. Fonksiyonun maksimum değeri 5, maksimum noktası (4, 5) tir.

11. Fonksiyonun en küçük (minimum) değeri yoktur. f, –∞ a kadar değer alabilmektedir. Fonksiyonun minimum noktası yoktur.

12. f’nin [–2, 4] aralığındaki değişim hızı ( )( ) ( )

.f f

d r64 3

61

4 24 2

–– – ›–

–= =

›› ÖRNEK

BÖLÜM

2

23

İKİNCİ DERECEDENFONKSİYONLAR

1. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYON

a ≠ 0; a, b, c ∈ R olmak üzere,

f : R → R , f(x) = ax2 + bx + c

fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir.

• a, b ve c reel sayıları fonksiyonun katsayılarıdır.

• y = f(x) = ax2 + bx + c ikinci derece fonksiyonunun grafiğine parabol denir.

• Parabolün üzerindeki her nokta f(x) = ax2 + bx + c eşitliğini sağlar.

• f(x) = ax2 + bx + c eşitliğini sağlayan her nokta parabolün üzerindedir.

1.1. Parabolün Tepe Noktas› (Köşesi)

f : R → R , f(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunda

( )

r ab

k f aac br

2

44

–

– 2

=

= =

olmak üzere, T(r, k) noktas›na parabolün tepe noktas› (köşesi) denir.

• Bir parabolün tepe noktasını (köşesini bulmak için önce r ab2–= formülün-

den tepe noktasının apsisi bulunur.

• Sonra tepe noktasının ordinatı için ya k aac b

44 – 2

= formülünü kullanırız ya

da fonksiyonun denkleminde x = r yazarız. x = r yazarak bulduğumuz y değeri

k'dir. k = f(r) dir.

24

f(x) = 2x2 + 6x – 1 fonksiyonunun tepe noktas›nı bulalım.›› ÖRNEK

Önce tepe noktasının apsisini bulalım:

.r ab dir2 2 2

623– – –

$= = =

Tepe noktasının ordinatını iki yolla bulabiliriz. Ya k aac b

44 – 2

= formülünü kullanırız ya da fonksiyonun denkleminde x = r yazarız.

Biz formülü kullanalım: ( )

k aac b

44

4 24 2 1 6

211– –

–– 2 2

$

$ $= = =

O hâlde, tepe noktası, ( , ) ,T r k T 23

211– –= e o dir.

›› ÇÖZÜM

1.2. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Tepe Noktas› Cinsinden İfadesi

f : R → R , y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktas› T(r, k) olsun.

Bu parabolün tepe noktas› cinsinden denklemi y = f(x) = a(x – r)2 + k dir.

Te pe nok ta sı T(–1, 3) olan ve A(2, – 3) nok ta sın dan ge çen ikin ci de re­ceden fonk si yo nun denk le mini bulalım.

›› ÖRNEK

Te pe nok ta sı T(r, k) olan pa ra bo lün denk le mi: y = a(x – r)2 + k dir. Bu denklemde r = – 1, k = 3 ya zar sak, y = a·(x + 1)2 + 3 olur.

A(2, – 3) nok ta sı pa ra bol üze rin de ol du ğun dan, fonk si yo nun denk le mi­ni sağ la ma lı dır. y = a·(x + 1)2 + 3 denkleminde x = 2, y = – 3 ya zalım:

y = a·(x + 1)2 + 3 ⇒ –3 = a·(2 + 1)2 + 3 ⇒ a 32–= bu lu nur.

O hâl de, pa ra bo lün denk le mi:

( ) ( ) ( ) .y a x y x y x x dir1 3 1 3 31 2 4 73

2 – ––2 2 2& &$ $ $= + + = + + = +

›› ÇÖZÜM

25

1.3. f : R → R , y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Simetri Ekseni

f : R † R , f(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonun grafiği x = r doğ-

rusuna göre simetriktir. r = ab2– olduğunu biliyoruz.

• x = r doğrusuna parabolün simetri ekseni denir.

• Aşağıdaki grafikte parabollerin simetri eksenleri görülmektedir.

Simetri Ekseni Simetri Ekseni

r

x = r x = r

x

y

T

y = ax2+bx+c

k

r x

yT

y = ax2+bx+c

k

1.4. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Eksenleri Kestiği Noktalar

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y­eksenini kestiği noktayı bulmak için fonk-siyonun denkleminde x = 0 verilir. Yani, y = f(x) fonksiyonu y­eksenini (0, f(0)) noktasında keser.

Buna göre, y = ax2 + bx + c denkleminde x = 0 için y = c olur. O hâlde, parabol y eksenini P(0, c) noktas›nda keser.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x­eksenini kestiği noktalar› araştırmak için fonksiyonun denkleminde y = f(x) = 0 yaz›l›r. f(x) = 0 denkleminin kökleri, grafiğin x­eksenini kestiği noktaların apsisleridir. f(x) = 0 denkleminin kaç tane kökü varsa grafik x­eksenini o kadar noktada keser. f(x) = 0 denkleminin kökü yoksa, grafik x-eksenini kesmez.

Buna göre, y = f(x) = ax2 + bx + c denkleminde x­eksenini kestiği noktaların apsislerini araştırmak için y = 0 dersek ax2 + bx + c = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde reel köklerin varl›ğ› ∆ = b2 – 4ac say›s›na bağl›d›r.

•• ∆ = b2 – 4ac < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur. Dolayısıyla parabol x­ek-senini kesmez.

•• ∆ = b2 – 4ac = 0 ise, denklemin çakışık iki kökü, yani tek kökü var. Bu durum-da parabol x­eksenine teğettir. Değme noktas›, parabolün tepe noktas› olan T(r, 0) noktas›d›r.

•• ∆ = b2 – 4ac > 0 ise, denklemin farklı iki reel kökü var. Dolayısıyla parabol x­eksenini farkl› iki noktada keser. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x­eksenini kestiği noktalar; A(x1, 0) ve B(x2, 0) d›r.

26

f : R → R , f(x) = 3x2 – 2x + c fonksiyonunun grafiğinin x­eksenini farklı iki noktada kesmesi için c’nin alabileceği değerleri bulalım.

›› ÖRNEK

Parabolün x­eksenini farklı iki noktada kesmesi için ∆ > 0 olmalıdır.

∆ > 0 ⇒ (–2)2 – 4·3·c > 0

⇒ 4 – 12c > 0• ⇒ –12c > –4 ⇒ c 31< olmalıdır.

›› ÇÖZÜM

f : R → R , f(x) = ax2 – 2x + 4 fonksiyonunun grafiğinin x­eksenine teğet olması için a’nın alabileceği değerleri bulalım.

›› ÖRNEK

Parabolün x­eksenine teğet olması için ∆ = 0 olmalıdır.

∆ = 0 ⇒ (-2)2 - 4·a·4 = 0

⇒ 4 - 16a = 0 ⇒ a 41= olmalıdır.

›› ÇÖZÜM

f : R → R , f(x) = 4x2 + 7x – 2 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği

noktaların koordinatlarını bulalım.

›› ÖRNEK

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y­eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonun denkleminde x = 0 verilir.

f(x) = 4x2 + 7x – 2 ⇒ f(0) = 4·02 + 7·0 – 2 ⇒••f(0) = – 2

olduğundan, grafik y­eksenini A(0, – 2) noktasında keser.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x­eksenini kestiği noktalar› araştırmak için fonksiyonun denkleminde y = f(x) = 0 yaz›l›r.

›› ÇÖZÜM

27

f(x) = 0 ⇒ 4x2 + 7x – 2 = 0 ⇒ (4x – 1)·(x + 2) = 0

⇒ x 41= veya x = –2 bulunur.

O hâlde, grafiğin x­eksenini kestiği noktalar ,B 41 0e o ve C(–2, 0) dır.

1.5. f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun x-Eksenini Kestiği Noktalar Cinsinden İfadesi

y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği x­eksenini x1 ve x2 apsisli nok-talarda kessin. Parabolün x1 ve x2 cinsinden denklemi;

y = f(x) = a·(x – x1)·(x – x2)

dir. Buna göre, x eksenini kestiği noktalar belli olan parabolün denklemi bu formül-le elde edilebilir.

Eksenleri A(0, 12), B(–1, 0) ve C(4, 0) noktalarında kesen parabolün denklemini bulalım.

›› ÖRNEK

x-eksenini x1 ve x2 apsisli noktalarda kesen parabolün x1 ve x2 cinsin-den denklemi; y = f(x) = a·(x – x1)·(x – x2) dir.

Denklemini aradığımız parabol x­eksenini –1 ve 4 apsisli noktalarda kestiğine göre denklemi,

y = f(x) = a·(x – x1)·(x – x2) ⇒ y = f(x) = a·(x – (–1))·(x – 4)

⇒•••y = f(x) = a·(x + 1)·(x – 4) tür.

Grafik ayrıca A(0, 12) noktasından geçtiğine göre, bu noktanın koordi-natları parabolün denklemini sağlamalıdır:

y = f(x) = a·(x + 1)·(x – 4) ⇒ 12 = a·(0 + 1)·(0 – 4) ⇒ a = –3 bulunur.

Buna göre, parabolün denklemi, y = f(x) = –3·(x + 1)·(x – 4) olur.

Bu denklem düzenlenirse, y = f(x) = –3x2 + 9x + 12 bulunur.

›› ÇÖZÜM

28

2. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONUN GRAFİĞİ (PARABOL)

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağ›daki s›ra izlenebilir:

a. r ab2–= ve ( )k f r a

ac b4

4 – 2= = hesaplanarak tepe noktas›; T(r, k) bulunur.

b. x = 0 yaz›larak y eksenini kestiği (0, c) noktas› bulunur.

c. y = 0 yaz›larak elde edilen ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözümüyle grafiğin x­eksenini kestiği noktalar araşt›r›l›r.

ç. Gerek duyulursa x’e başka değerler verilerek grafiğe ait daha başka noktalar bulunur.

d. Bu bilgiler bir tablo (değişim tablosu) üzerinde gösterilir.

e. Bulunan noktalar analitik düzlemde işaretlenir. Uygun bir eğimle birleştirilerek parabol çizilir.

y = f(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinde aşağ›-daki genellemeleri yapabiliriz.

a. a > 0 ise, parabolün kollar› yukar› doğrudur. Tepe noktas› fonksiyonun minimum noktas›d›r.

a > 0 olan y = ax2 + bx + c fonksiyonunun değişim tablosu şöyledir:

f(x)=ax2+bx+c

tepe noktası

x r

kazalan artan

−∞

+∞

+∞

+∞

b. a < 0 ise, parabolün kollar› aşağ› doğrudur. Tepe noktas› fonksiyonun maksimum noktas›d›r.

a < 0 olan y = ax2 + bx + c fonksiyonunun değişim tablosu şöyledir:

f(x)=ax2+bx+c

tepe noktası

x r

kazalanartan

−∞

−∞

+∞

−∞

☛ UYARI

29

y = f(x) = x2 – 2x – 3 fonk si yo nu nun grafiğini çizelim.›› ÖRNEK

a. Tepe noktası:

( ) ( )( , )

r ab

k f r fT

2 2 12 1

1 1 2 1 3 41 4

– – –

– – ––

2&

$

$

= = =

= = = =

4

b. y­eksenini kestiği nokta:

x = 0 ⇒ f(0) = 02 – 2·0 – 3 = –3 ⇒ A(0, –3)

c. x­eksenini kestiği noktaları araştıralım:

y = 0 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0

⇒ (x – 3)·(x + 1) = 0 ⇒ x = 3 veya x = –1

⇒ B(3, 0) ve C(–1, 0) noktalarında x­eksenini keser.

ç. Bu bilgileri bir değişim tablosunda gösterelim.

f(x)

x – ∞ +∞

+∞+∞ 0

–1

–3

0

–4

Tepe noktası

1

0

3

d. Gra fik aşa ğı da ki şe kil de gö rül mek te dir. y

x310–1

–3–4

›› ÇÖZÜM

30

y

x

T

0–2

–4

Yukarıdaki parabol orijinden geçmektedir ve tepe noktası T( –2, –4) tür.

Bu parabolün denklemini bulalım.

›› ÖRNEK

Parabolün tepe noktası verildiğinden, y = f(x) = a·(x – r)2 + k denklemini kullanabiliriz.

y = f(x) = a·(x – r)2 + k ⇒ y = f(x) = a·(x – (–2))2 + (–4)

•• ••⇒ y = f(x) = a·(x + 2)2 – 4 elde edilir.

Fonksiyon O(0, 0) noktasından da geçtiğine göre, bu nokta denklemi sağ-lamalıdır: y = f(x) = a·(x + 2)2 – 4 ⇒ 0 = a·(0 + 2)2 – 4 ⇒ a = 1’dir.

O hâlde, grafiği yukarıda verilen parabolün denklemi,

y = f(x) = 1·(x + 2)2 – 4 ⇒ y = f(x) = (x + 2)2 – 4 olarak bulunur.

›› ÇÖZÜM

y = f(x) = –2·(x – 2)·(x + 1) fonk si yo nu nun grafiğini çizelim.›› ÖRNEK

Fonksiyon y = f(x) = a·(x – x1)·(x – x2) biçiminde verilmiştir.

Grafiğin x­eksenini kestiği noktaları hemen bulabiliriz:

f(x) = 0 ⇒ –2·(x – 2)·(x + 1) = 0 ⇒ x = 2 veya x = –1 dir.

›› ÇÖZÜM

31

Buna göre, grafiğin x­eksenini kestiği noktalar A(2, 0) ve B(–1, 0) dır.

Fonksiyonun y­eksenini kestiği noktayı bulalım:

x = 0 ⇒ f(0) = –2·(0 – 2)·(0 + 1) = 4 ⇒ C(0, 4)

Tepe noktasını bulalım:

( )

,( ) ( )

r

kT

x x

f r f

22 1

21

2 2 1 29 2

1292

21

21

21

–

– –

1 2

&= =

+=

= + =

+

= = e ee

o oo4

Gra­fik­aşa­ğı­da­ki­şe­kil­de­gö­rül­mek­te­dir.­

y

x2

4

0–121

29

A(–2, 11), B(0, 1) ve C(1, 2) noktalarından geçen parabolün denklemini bulalım.

›› ÖRNEK

Parabolün denklemi f(x) = ax2 + bx + c olsun. Parabol yukarıdaki A, B ve C noktalarından geçtiğine göre, noktalar parabolün denklemini sağlamalıdır:

A(–2, 11) için; f(–2) = 11 ⇒• a·(–2)2 + b·(–2) + c = 11

⇒ 4a – 2b + c = 11

›› ÇÖZÜM

32

B(0, 1) için; f(0) = 1 ⇒•••• a·(0)2 + b·(0) + c = 1 ⇒ c = 1

C(1, 2) için; f(1) = 2 ⇒ a·(1)2 + b·(1) + c = 2 ⇒ a + b + c = 2

denklemleri elde edilir. c = 1 değeri diğer iki denklemde yerine yazılırsa;

4a – 2b = 10

a + b = 1

sistemi elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden a = 2, b = –1 bulunur.

Parabolün denklemi f(x) = 2x2 – x + 1 olur.

y = f(x) = – (x + 1)2 + 3 fonk si yo nu nun grafiğini çizelim.›› ÖRNEK

Fonksiyon y = f(x) = a·(x – r)2 + k biçiminde verilmiştir.

Grafiğin tepe noktasını hemen bulabiliriz:

y = f(x) = – (x + 1)2 + 3 ⇒ y = f(x) = – (x – (–1))2 + 3

⇒ T(–1, 3) tür.

Fonksiyonun y­eksenini kestiği noktayı bulalım:

x = 0 ⇒ f(0) = – (0 + 1)2 + 3 = 2 ⇒ C(0, 2)

Gra fik aşa ğı da ki şe kil de gö rül mek te dir.

y

x

2

3

0–1

›› ÇÖZÜM

33

2.1. f : R → R , f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Görüntü Kümesi,

En Büyük (Maksimum) Değeri, En Küçük (Minimum) Değeri

f : R → R , y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktas› T(r, k) olsun.

a baş katsayısının pozitif ya da negatif olmasına göre inceleme yapabiliriz.

a > 0 ise; parabolün kolları yukarı doğrudur ve daima f(x) ≥ k olur.

Yani, ∀x ∈ R için f(x) in alabileceği değerler k’den büyük veya k’ye eşit olur. Buna göre, fonksiyonun en küçük değeri k'dir.

Fonksiyonun minimum noktası tepe noktasıdır.

Fonksiyonun görüntü kümesi: [k, +∞) olur.

f(r) = k olduğundan, ∀x ∈ R için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu x = r için en küçük değerini alır. Bu en küçük değer, k’dir.

a < 0 ise; parabolün kolları aşağı doğrudur ve daima f(x) ≤ k olur.

Yani, ∀x ∈ R için f(x) in alabileceği değerler k’den küçük veya k’ye eşit olur. Buna göre, fonksiyonun en büyük değeri k'dir.

Fonksiyonun maksimum noktası tepe noktasıdır.

Fonksiyonun görüntü kümesi: (–∞, k] olur.

f(r) = k olduğundan, ∀x ∈ R için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu x = r için en büyük değerini alır. Bu en büyük değer, k’dir.

Bu açıklamaları aşağıdaki grafiklerden izleyiniz.

Görüntükümesi

r x

y

T

y = ax2+bx+c

a > 0 ise, kollar yukarı doğrudur.y = ax2+bx+c nin en küçük değeri k'dir.Görüntü kümesi, [k, +∞) dur.

k

Görüntükümesi

rx

yT

y = ax2+bx+ca < 0 ise, kollar aşağı doğrudur.y = ax2+bx+c nin en büyük değeri k'dir.Görüntü kümesi, (−∞, k] dir.

k

34

f : R → R , f(x) = –x2 + 6x – 3 fonk si yo nu nun te pe nok ta sı nı, en bü yük ve ya en kü çük de ğe ri ni bu lalım, görüntü kümesini yazalım.

›› ÖRNEK

y = –x2 + 6x – 3 fonk si yo nun da baş katsayı a = –1 dir. Baş katsayı negatif olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur.

O hâlde, parabolün en büyük değeri vardır ve bu değer k’dir.

( )( ) ( )

k aac b

44

4 14 1 3 6

6––

– – –2 2

$

$ $= = =

ol du ğun dan, fonksiyonun en büyük değeri, maksimum f(x) = k = 6’dır.

f’nin görüntü kümesi, f(R ) = (–∞, 6] dır.

›› ÇÖZÜM

f : R → R , f(x) = –mx2 + (m – 10)x + 4 fonk si yo nu nun grafiğinin simetri ekseni x = 3 doğrusudur.

Buna göre, f'nin görüntü kümesini bulalım.

›› ÖRNEK

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun simetri ekseni x = r = ab2– doğru-

sudur.

r = 3 ⇒ ab2– = 3 ⇒ ( )m

m2

10 3– ––$

= ⇒ m = –2 dir.

Buna göre, f(x) = 2x2 – 12x + 4 olur.

k = f(r) ⇒ k = f(3) ⇒ k = 2·32 – 12·3 + 4 ⇒ k = –12 dır.

f'nin baş katsayısı pozitif olduğuna göre, parabolün kolları yukarı doğru-dur. Parabolün en büyük değeri yoktur. En küçük değeri ise k = –12 dir.

f'nin minimum noktası T(3, –12) dir.

Buna göre, f’nin görüntü kümesi, f(R ) = [–12, +∞) dur.

›› ÇÖZÜM

35

Bir üretici M(x) = x2 + 20x TL'ye mal ettiği ürünü S(x) = 30x + 10 TL'ye satmaktadır.

Bu üreticinin ürettiği bu üründen en fazla kaç TL kâr edebileceğini bu-lalım.

›› ÖRNEK

Satış fiyatı ile maliyet fiyatı arasındaki fark kârdır. Kâr, K(x) olsun.

K(x) = S(x) – M(x) = 30x + 10 – (x2 + 20x)

= – x2 + 10x + 10 olur.

Bu ifade, x'e bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun maksimum noktası tepe noktasıdır. Maksimum değeri ise tepe noktasının ordi-natıdır. Buna göre, elde edebileceği maksimum kâr,

k = ( )( )

aac b TL4

44 1

4 1 10 1035–

–– –2 2

$

$ $= = olabilir.­

›› ÇÖZÜM

x

y qp

0A B

D C

ABCD dikdörtgeninin A ve B köşeleri x­ekseni üzerinde, C köşesi p doğrusu üzerinde ve D köşesi q doğrusu üzerindedir.

p doğrusunun denklemi, 2x + 3y – 12 = 0 dır.

q doğrusunun denklemi, y = x + 4 tür.

Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanının maksimum kaç birimkare ola-bileceğini bulalım.

›› ÖRNEK

36

Doğruların eksenleri kestiği noktaları yazalım:

x

y

O

4K

L–4 6

A B

baM

D H C

|AB| = a birim

|BC| = b birim

|KH| = (4 – b) birim

|LM| = 10 birim

|KO| = 4 birim

A(ABCD) = a·b birimkare olur. Bu ifadenin alabileceği maksimum değeri bulacağız. a ve b iki değişkendir. Biri diğerine bağlı olarak değişir. a ve b değişkenleri arasında bir bağıntı bulmalıyız.

KDC ve KLM üçgenleri benzer üçgenlerdir. Bu benzerliği kullanalım:

KDC KLMLM

DC

KO

KH a b b a10 4

4 4 52– –( ( (+ = = =& &

bulunur.

A(ABCD) = a·b = a· a4 52–e o = a a5

2 4– 2$ + olur.

ABCD dikdörtgeninin alanını a değişkenine bağlı olarak yazdık.

Bu bağıntıyı, f(a) = a a52 4– 2$ + biçiminde düşünebiliriz.

Bu fonksiyon a'ya bağlı, ikinci dereceden bir fonksiyondur. Baş katsayısı negatif olduğundan tepe noktası maksimum noktasıdır. Tepe noktasının ordi-natı maksimum değeridir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanının alabileceği maksimum değer,

aac b

44

4 52

4 52 0 4

10–

–

– –22

$

$ $

= =e

e

o

o birimkaredir.

›› ÇÖZÜM

37

2.2. Bir Parabolün Bire Bir ve Örten Olduğu Aralıklar

f(x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olsun.

a > 0 ise; f : (–∞, r] → [k, +∞) ya da f : [r, +∞) → [k, +∞) olarak tanımlanırsa f, bire bir ve örten olur.

a < 0 ise; f : (–∞, r] → (–∞, k] ya da f : [r, +∞) → (–∞, k] olarak tanımlanırsa f, bire bir ve örten olur.

f : [–3, 2] → B, f(x) = 2x2 + 4x fonk si yo nu ör ten ol du ğu na gö re, B kü­me si ni bu lalım.

›› ÖRNEK

r ab r2 2 2

4 1– – –&$

= = = dir. –1, tanım kümesinin bir elemanıdır.

Baş katsayı pozitif olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur ve parabol en küçük değerini tepe noktasında alır. Yani, B kümesinin en küçük elemanı tepe noktasının ordinatıdır.

k = f(r) ⇒ k = f(–1) = 2·(–1)2 + 4·(–1) = –2

Bu na gö re, B'nin en küçük elemanı –2 dir.

Tanım kümesinin uç nok ta la rın da fonk si yo nun de ğer le rini bu la lım:

x = – 3 için f(– 3) = 2·(– 3)2 + 4·(– 3) = 6 ⇒ (– 3, 6)

x = 2 için f(2) = 2·22 + 4·2 = 16 ⇒ (2, 16)

Uç noktalardaki en büyük değer 16 olduğundan, B kümesinin en büyük elemanı 16'dır.

O hâl de, B = [–2, 16] dır.

f(x) = 2x2 + 4x fonk si yo nu nun gra fi ği yanda ki şe kil de çi zil miş tir. Yuka-rıda bulduğumuz bilgileri bu grafikten kontrol ediniz.

y

x20–2–3

16

6

–2

–1

›› ÇÖZÜM

38

3. BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

y = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusu verilmiş olsun. Doğru ile pa-rabolün birbirine göre durumlarını incelemek için doğru ile parabolün denklemleri ortak çözülür.

y = ax2 + bx + c y = mx + n

denklemleri­ikinci­dereceden­iki­bilinmeyenli­bir­denklem­sistemi­oluşturur.Bu sistemi çözmek için her iki denklemin y’leri birbirine eşitlenir: ax2 + bx + c = mx + n ⇒ ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0

ikinci­dereceden­denklemi­elde­edilir.Bu denklemin köklerinin varlığı denklemin diskriminantına bağlıdır.

a. ∆ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Bu durumda, doğru ile parabol kesişmezler.

b. ∆ = 0 ise denklemin çakışık iki kökü vardır. Bu durumda, doğru parabole teğettir.

ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0 denkleminin kökü, değme noktasının apsisidir.

c. ∆ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Bu durumda doğru ile parabol farklı iki noktada kesişirler. ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0 denkleminin kökleri, kesim noktalarının apsisleridir.

A

B

Δ > 0Doğru ile parabol A ve B gibi farklı iki noktada kesişirler.

T

Δ = 0Doğru, parabole T noktasında teğettir.

Δ < 0Doğru ile parabol

kesişmezler.

y = ax2 + bx + c parabolüne orijinden çizilen teğetlerin birbirine dik olması için

∆ = b2 – 4ac = –1

olmalıdır.

xA

B

0

y

☛ UYARI

39

y = ax2 + bx + c parabolünün x–ekse-nini kestiği noktalar A ve B olsun.

Bu parabolün A ve B noktalarındaki teğetlerinin birbirine dik olması için

∆ = b2 – 4ac = 1

olmalıdır.

xA B0

y

☛ UYARI

y = 2x + n doğrusu y = – (x + 1)2 + 3 fonk si yo nu na teğet olduğuna göre, n reel sayısını bulalım.

›› ÖRNEK

Doğru ile parabol birbirlerine teğet olduklarına göre doğru ile parabolün denklemlerinin ortak çözümünde ∆ = 0'dır.

2x + n = – (x + 1)2 + 3 ⇒ 2x + n = – x2 – 2x – 1 + 3

• ⇒ x2 + 4x + (n – 2) = 0 denklemi elde edilir.

∆ = 0 ⇒ 42 – 4·1·(n – 2) = 0 ⇒••n = 6 bulunur.

›› ÇÖZÜM

y = – x2 + 2x + 3 fonk si yo nu nun y = mx + 6 doğrusuna en yakın noktası y-ekseni üzerindedir.

Buna göre, m'nin alabileceği değeri bulalım.

›› ÖRNEK

Parabolün doğruya en yakın noktasındaki teğeti, doğruya paralel olur. Aşağıdaki şekli inceleyiniz. Paralel iki doğru arasındaki uzaklık her yerde aynıdır. Parabol üzerindeki diğer noktalar d doğrusuna daha uzaktır.

›› ÇÖZÜM

40

x

3

td

6

0

y

d // t olduğundan eğimleri eşittir. t teğetinin denklemi y = mx + 3 olur. Doğ-ru parabole teğet olduğundan, denklemlerinin ortak çözümünde elde edilecek ikinci dereceden denklemin diskriminantı 0'dır.

– x2 + 2x + 3 = mx + 3 ⇒ x2 + (m – 2)x = 0 denklemi elde edilir.

∆ = 0 ⇒ m = 2 bulunur.

y = –x2 + 3x + c fonk si yo nu nun x–eksenini kestiği noktalar A ve B olsun.

Bu fonksiyonun A ve B noktalarındaki teğetlerinin birbirine dik olması için c'nin alabileceği değeri bulalım.

›› ÖRNEK

Bir parabolün x­eksenini kestiği noktalarındaki teğetlerinin birbirine dik olması için ∆ = b2 – 4ac = 1 olmalıdır.

∆ = 1 ⇒• b2 – 4ac = 1

• ⇒• 32 – 4·(–1)·c = 1

• ⇒••c = –2 bulunur.

›› ÇÖZÜM

BÖLÜM

3

41

FONKSİYONLARINDÖNÜŞÜMLERİ

1. TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN GRAFİĞİNİN SİMETRİ ÖZELLİKLERİ

1.1. Çift Fonksiyon • Çift fonksiyonların grafikleri y–eksenine göre simetriktir. • Grafiği y–eksenine göre simetrik olan her fonksiyon çift fonksiyondur.

x0

y

a

y=f(x)

−a

Yukarıdaki grafik bir çift fonksiyona aittir. Grafiğin y-eksenine göre si-metrik olduğunu görüyorsunuz. Yani, analitik düzlemi y-ekseni boyunca katlarsak grafik üst üste çakışır.

›› ÖRNEK

: , ( )f f x ax cR R2

$ = + fonksiyonları daima çift fonksiyondur. Çünkü, bu parabollerin tepe noktaları y-ekseni üzerindedir.

x0

y=ax2

y=ax2+c

y=ax2+cy

x0

y

x0

y

›› ÖRNEK

42

1.2. Tek Fonksiyon

• Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

• Grafiği orijine göre simetrik olan her fonksiyon tek fonksiyondur.

x0

y

a

y=f(x)

−a 0

Yukarıdaki grafik bir tek fonksiyona aittir. Grafiğin orijine göre simetrik olduğunu görüyorsunuz. Yani, grafiğin herhangi bir noktasının orijine göre simetriğini alırsak yine grafik üzerinde bir nokta elde ederiz.

›› ÖRNEK

: , , ( ) sinf f x x1 1–R$ =8 B fonksiyonu tek fonksiyondur.

y = sin x fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. Grafik, periyodiktir ve her iki yönde aynı biçimde devam eder.

Grafik üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijine göre simetriği yine grafik üzerindedir.

0x

y

1

−2π 2π−π π– 2

3π2

3π

2 π

– 2 π

−1

y = tan x fonksiyonunun da tek fonksiyon olduğunu grafiğini inceleyerek görünüz.

›› ÖRNEK

43

2. GRAFİKLERİN ÖTELENMESİ

Analitik düzlemdeki herhangi bir şeklin düzlemde bir yerden bir yere x ekseni boyunca, y ekseni boyunca ya da her ikisi boyunca belli bir miktar yer değiştirme hareketine öteleme denir.

• Öteleme ile grafiklerin yapısı değişmez. Sadece analitik düzlemde bulunduk-ları konum değişir.

2.1. Grafiklerin x–Ekseni Boyunca Ötelenmesi

Öteleme sadece x ekseni boyunca sağa doğru (pozitif yönde) ya da sola doğru (negatif yönde) olabilir.

y = f(x)y

xk k

y = f(x–a)y

xk+a

y = f(x) in grafiği x ekseni boyunca a birim sağaötelendi.

y = f(x+a)y

xk–a

y = f(x) in grafiği x ekseni boyunca a birim solaötelendi.

k

• y = f(x) fonksiyonu x ekseni boyunca a birim sağa doğru (pozitif yönde) ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f( x – a) olur. Yani, fonk-siyonun kuralında her x yerine x – a yazılıyor.

• y = f(x) fonksiyonu x ekseni boyunca a birim sola doğru (negatif yönde) ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f( x + a) olur. Yani, fonk-siyonun kuralında her x yerine x + a yazılıyor.

• Bir fonksiyonun kuralında her x yerine x – a yazılırsa o fonksiyonun x ekseni boyunca pozitif yönde a birim ötelenmesiyle elde edilen yeni fonksiyonun kuralı bulunmuş olur.

• Bir fonksiyonun kuralında her x yerine x + a yazılırsa o fonksiyonun x ekseni boyunca negatif yönde a birim ötelenmesiyle elde edilen yeni fonksiyonun kuralı bulunmuş olur.

44

2.2. Grafiklerin y–Ekseni Boyunca Ötelenmesi

Öteleme sadece y ekseni boyunca yukarı doğru (pozitif yönde) ya da aşağı doğru (negatif yönde) olabilir.

y = f(x)y

xk

y = f(x) + by

x

k+b

y = f(x) in grafiği y ekseni boyunca b birim yukarıötelendi.

y = f(x) − b

y

xk–b

y = f(x) in grafiği y ekseni boyunca b birim aşağıötelendi.

• y = f(x) fonksiyonu y ekseni boyunca b birim yukarı doğru (pozitif yönde) ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f(x) + b olur. Yani, her noktanın ordinatı b kadar artıyor.

• y = f(x) fonksiyonu y ekseni boyunca b birim aşağı doğru (negatif yönde) ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f(x) – b olur. Yani, her noktanın ordinatı b kadar azalıyor.

2.3. Grafiklerin Hem x–Ekseni Hem de y–Ekseni Boyunca Ötelenmesi

Öteleme x ekseni boyunca herhangi bir yöne, ardından y ekseni boyunca herhangi bir yöne olabilir.

y = f(x)y

x

y = f(x − a) + by

x

y = f(x) in grafiği x ekseniboyunca a birim sağa sonray ekseni boyunca b birimyukarı ötelendi.

y = f(x − a) − b

y

x

y = f(x) in grafiği x ekseniboyunca a birim sağa sonray ekseni boyunca b birimaşağı ötelendi.

• y = f(x) fonksiyonu önce x ekseni boyunca a birim sağa doğru (pozitif yönde) sonra y ekseni boyunca b birim yukarı doğru (pozitif yönde) ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f(x – a) + b olur.

45

• y = f(x) fonksiyonu önce x ekseni boyunca a birim sağa sonra y ekseni bo-yunca b birim aşağı doğru ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi y = f(x – a) – b olur.

• y = f(x) fonksiyonu önce x ekseni boyunca a birim sola sonra y ekseni bo-yunca b birim yukarı doğru ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi

y = f(x + a) + b olur.

• y = f(x) fonksiyonu önce x ekseni boyunca a birim sola sonra y ekseni bo-yunca b birim aşağı doğru ötelenirse elde edilen yeni fonksiyonun denklemi

y = f(x + a) – b olur.

• Hem x ekseni hem de y ekseni boyunca yapılan ötelemelerde öncelik sırası önemli değildir. Ötelemenin önce x ekseni boyunca ya da önce y ekseni bo-yunca yapılmasının bir önemi yoktur.

Aşağıda sağdaki grafik soldaki grafiğin ötelenmesi ile elde edilmiştir. Na-sıl bir öteleme yapıldığını açıklayalım.

y

x

y = f(x)

0 1

3

y

x

y = f(x − 1) − 2

0

1

2

›› ÖRNEK

İlk grafiğe ait (1, 3) noktası ötelemeden sonra (2, 1) noktasına dönüş-müştür. Noktanın apsisi 1 artmış, ordinatı 2 azalmıştır. Bunun için grafik x ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim, y ekseni boyunca negatif yönde 2 birim ötelenmiştir.

y = f(x) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca sağa doğru 1 birim, y ek-seni boyunca aşağı doğru 2 birim ötelenerek elde edilen yeni grafiğin denklemi y = f(x – 1) – 2 olmuştur.

›› ÇÖZÜM

46

y = x2 – 3 fonksiyonu ötelenmiş ve ötelendikten sonra denklemi

y = x2 – 2x + 5 denklemine dönüşmüştür.

Bu fonksiyonun x ve y eksenleri boyunca hangi yönlere kaçar birim öte-lendiğini bulalım.

›› ÖRNEK

y = f(x) fonksiyonunun hem x–ekseni boyunca hem de y–ekseni bo-yunca ötelenmiş denklemi y = f(x + a) + b dir. a ve b sayılarının pozitif, negatif olma durumuna göre sağa–sola, aşağı–yukarı doğru ötelendiğini söyleyeceğiz.

y = x2 – 3 ⇒ y = (x + a)2 – 3 + b ⇒ y = x2 + 2ax + (a2 – 3 + b) olur.

Bu denklem y = x2 – 2x + 5 olduğuna göre, birbirine karşılık gelen terim-lerin katsayılarını eşitleyerek a ve b’yi bulalım.

x’lerin katsayılarının eşitliğinden, 2a = – 2 ⇒ a = –1 bulunur.

Sabit terimlerin eşitliğinden, a2 – 3 + b = 5 denklemi elde edilir. Bu denk-lemde a = –1 yazılırsa b = 7 bulunur.

Buna göre, fonksiyonun denklemi, y = f(x – 1) + 7 dir.

Bu yazılıma göre fonksiyon, x ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 7 birim ötelenmiştir.

›› ÇÖZÜM

2.4. y = f(x) ile y = k·f(x) Fonksiyonları Arasındaki İlişki

y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = k·f(x) fonksiyonunun grafiği arasındaki ilişkiyi y = x ve y = x2 fonksiyonları için inceleyelim.

Aşağıdaki örnekleri inceleyerek grafiklerin arasındaki ilişkiyi anlamaya çalı-şınız.

–2

–2

y = x

x

y

2

2

0

–4

–2

y = 2x

x

y

2

4

0

–4

–2

y = −2x

x

y

2

4

0

47

–2 –1

y = x2

x

y

1

1

2

4

–2

–2

–8

–1

y = 2x2

x

y

1 2

2

8

–2 –1

y = −2x2

x

y

1 2

y = k·f(x) fonksiyonunda grafiğin y–ekseni boyunca k sayısına göre değişim gösterdiğini izleyiniz. k reel sayısının pozitif ya da negatif olma durumuna göre grafiğin değişimini fark ediniz.

2.5. y = f(x) ile y = f(kx) Fonksiyonları Arasındaki İlişki

y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f(kx) fonksiyonunun grafiği arasındaki

ilişkiyi f(x) = x1 ve f(x) = x2 fonksiyonları için inceleyelim.

Aşağıdaki örnekleri inceleyerek grafiklerin arasındaki ilişkiyi anlamaya çalı-şınız.

–1

–1 x

y

41/4

0

–2

–1 x

y

4

1/2

0

f(x) = 1x

–1/2

–1 x

y

41/8

0

f(2x) = 12x f( x) = 2

x12

48

–2 –1

f(x) = x2 f(2x) = 4x2

x

y

1

1

2

4

–2 –1 x

y

1 2

4

16

–4 –2 x

y

1

2

4

4

f( x) =21 x2

4

Aşağıda y = f(x) ve y = f(3x) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.

y = f(3x) fonksiyonunun grafiğindeki değişimi anlamaya çalışınız.

–8

y = f(3x)y = f(x)

x

y

1260

–8

x

y

2 40

›› ÖRNEK

y = f(kx) fonksiyonunda grafiğin x–ekseni boyunca k’ye bağlı olarak nasıl değişim gösterdiğini izleyiniz.

k reel sayısının 1’den büyük ya da 0 ile 1 aralığında olması durumlarındaki farkı inceleyiniz.

k < 0 olma durumunu araştırınız.

49

3. GRAFİKLERİN SİMETRİLERİ

3.1. Simetri

Bir grafiğin bir noktaya ya da bir doğruya göre simetriği alınabilir.

• Bir noktaya göre simetri alınırken grafiğe ait her noktanın o noktaya göre simetrikleri alınr. Böylece yeni grafik elde edilir.

• Bir doğruya göre simetri alınırken o doğru bir aynaymış gibi düşünülür. Grafi-ğin aynadaki görüntüsü yeni grafiktir.

3.2. Bir Noktaya Göre Simetri

Aşağıda bir grafik parçasının bir noktaya göre simetriği çizilmiştir, inceleyiniz.

A

S(a, b)

Aı

Bı

Cʹ

BP(x, y)

Pı(2a−x, 2b−y)C

• A’nın S noktasına göre simetriği A′, B’nin simetriği B′, C’nin simetriği C′ dür.

• S noktası [AA′], [BB′], [CC′] doğru parçalarının orta noktasıdır.

• P(x, y) noktasının S(a, b) noktasına göre simetriği P′(2a – x, 2b – y) dir.

• y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin S(a, b) noktasına göre simetriği ile elde edi-len grafiğin denklemi 2b – y = f(2a – x) tir. Yani, y yerine 2b – y, her x yerine 2a – x yazılarak yeni grafiğin denklemi elde edilir.

3.3. Orijine Göre Simetri

Bir noktaya göre simetri almanın en özel durumu orijine göre simetridir.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin O(0, 0) orijin noktasına göre simetriği ile elde edilen grafiğin denklemi 2·0 – y = f(2·0 – x) ⇒ y = – f(–x) tir.

50

3.4. Bir Doğruya Göre Simetri

Aşağıda bir grafik parçasının bir doğruya göre simetriği çizilmiştir, inceleyiniz.

A′

B′

A

B

C C′

Bir doğruya göre simetri alırken genellikle x–ekseni, y–ekseni, y = x doğrusu, x = a doğrusu, y = b doğrusu gibi özel doğrulara göre simetri alırız. Bu durumları inceleyelim.

3.4.1. y = f(x) in Grafiğinin x–Eksenine Göre Simetriği

y = f(x) fonksiyonunun x–eksenine göre simetriği alınırsa y = –f(x) fonksiyo-nunun grafiği elde edilir.

Aşağıda bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x–eksenine göre simetriği çizil-miştir. Grafiğin her noktasının x–eksenine göre simetriği alınmıştır.

0

y

x

y = f(x)

y = –f(x)