ismael sánchez -departamento de estadística … · se desea realizar un experimento para...

Ismael Sánchez Ismael Sánchez -- Departamento de Estadística Departamento de Estadística -- Universidad Carlos III de MadridUniversidad Carlos III de Madrid

Tema 11: Experimentos factoriales a dos nivelesTema 11: Experimentos factoriales a dos niveles

1- Introducción 2 El diseño 2² 3 El diseño 2k

4 Fracciones de diseños factoriales

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 3

1. Introducción

Si tenemos 5 factores con 5 niveles cada uno, y hacemos todas las combinaciones posibles...

3125 experimentos elementales!!

Temas 2 y 3 Análisis de un conjunto de factores cada uno con distintos niveles

Normalmente, sólo pocos factores serán relevantes

Experimento inicial: probar muchos factores con sólo 2 niveles


1. Introducción

Diseños 22KK K factores

cada uno a dos niveles

Requieren 2K experimentos elementales

Factores:

• Tipo de motor: con/sin catalizador

• Temperatura: alta/baja

• Reactivo químico: en cantidad Q1 ó Q2

• Circuitos: con componentes tipo I o tipo II

• Voltaje: V1 ó V2

• Potencia: P1 ó P2


2. El diseño 2²

Ejemplo 1: Una empresa de componentes electrónicos desea saber qué factores afectan a la variabilidad de sus resistencias eléctricas. Dicha variabilidad se mide con la diferencia entre el valor real y el diferencia entre el valor real y el nominalnominal (en Ohmios). Se realiza un primer experimento con 4 resistencias de valor nominal 100 Ω. Los factores que se controlan son:

· Factor A: Temperatura: (-) 15ºC (+) 60ºC

· Factor B: Vida del componente: (-) sin usar (+) 1000 horas de uso

se nombran con el alfabeto

1=-;2=+

en minúscula, el factor con signo +

ningún factor con signo +

a este orden se le llama Tabla estándar

100 Ω

con 4 factores... (16 experimentos elementales)


2. El diseño 2²

El modelo es el de 2 factores:

se puede simplificar la notación

( ) ; , 1, 2ij i j ij ijY u i jμ α β αβ= + + + + =


Factor A

Factor B

Factor A

2. El diseño 2²

efecto del nivel + respecto a la media

el signo coincide con el producto de los factores

efecto del nivel + respecto a la media

Factor B


Ecuación o modelo de regresión:

2 2 22( )ij A B A B ijY D D D D uμ α β αβ= + + + × +


2. El diseño 2²

Estimación de los parámetros:

... igual que en temas anteriores, sólo hemos cambiado algo la notación

μ media general

2 2

1 1ˆ4

iji j

yμ = ==

∑∑

2α

Contribución marginal del factor A por estar a nivel +

Diferencia entre el valor medio en ese nivel y la media general

21 222 ˆˆ

2y yα μ+= −

2β12 22ˆ ˆ

2y yβ μ+= −


2. El diseño 2²

Estimación de los parámetros:

... igual que en temas anteriores, sólo hemos cambiado algo la notación

μ2 2

1 1ˆ4

iji j

yμ = ==

∑∑

2α21 22

2 ˆˆ2

y yα μ+= −

2β 12 22ˆ ˆ2

y yβ μ+= −

22( )αβDiferencia entre el valor medio de la celda y el efecto sin interacción

( )22 2 2ˆˆ ˆy μ α β− + +

(no tenemos replicación: no podemos estimar los residuos. Sólo interés teórico)


Temperatura

Edad de la resistencia eléctrica

2. El diseño 2²

Valor real-nominal

... y la ecuación de regresión es:

No hay residuo. El modelo no es interesante

ijY


2. El diseño 2²

Se define efectoefecto (de un factor o interacción) a la variación en la variable respuesta al pasar de (-) a (+)

efectoefecto= 2 veces el parámetro

• Media global=18

• Efecto Factor A: Temperatura=13

• Efecto Factor B: Edad componente=18

• Efecto Interacción=1


Con la estimación de la interacción, no tenemos grados de libertad para hacer contrastes. Necesitamos replicar el experimento

2ˆ 0.75Rs =

ijkY

Media:13.25

Factor A: 13.5

Factor B:19

Interacción AB=1


Para poder hacer contrastes, necesitamos replicar el experimento

Media:13.25

Factor A: 13.5

Factor B:19

Interacción AB=1

ijkYno es significativo

18.25 6,75 9.5ijk A B ijkY D D u= + + +


Estimación del Estimación del efectoefecto= 2 veces la estimación del parámetro

Estimación del Estimación del parámetroparámetro= a través de las diferencias de medias

muestrales

Otra forma equivalente de estimar los efectos... Criterio de los signos

Efecto del factor A: diferencia de estar a nivel (+) respecto al nivel (-)

21 22 11 122 1

21 22 11 12

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2

2 2

y y y y

y y y y

α α α μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜= − = − − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ += −


Estimación del Estimación del efectoefecto= 2 veces la estimación del parámetro

Estimación del Estimación del parámetroparámetro= a través de las diferencias de medias

muestrales

Otra forma equivalente de estimar los efectos... Criterio de los signos

Efecto del factor A: diferencia de estar a nivel (+) respecto al nivel (-)


Factor A=(1/2)(-3+15-20+34) =13

Factor B=(1/2)(-3-15+20+34)=18

¿y la media general?

Media global=(1/4)(3+15+20+34)=18

Equivale a una columna con todos los signos (+)

+

+

+

+

Media


¿y la interacción?

Se puede comprobar que es equivalente a aplicar una columna que sea el

producto de los factores implicados

Interacción=(1/2)(+3-15-20+34)=1


Con la estimación de la interacción, no tenemos grados de libertad para hacer contrastes. Necesitamos replicar el experimento

Media:(1/8)(+3+15+20+34+2+15+21+36)=18.25

Factor A: (1/4)(-3+15-20+34-2+15-21+36)=13.5

Factor B:(1/4)(-3-15+20+34-2-15+21+36)=19

Interacción AB=(1/4)(+3-15-20+34+2-15-21+36)=1

ijkY

2ˆ 0.75Rs =


Para poder hacer contrastes, necesitamos replicar el experimento

Media:(1/8)(+3+15+20+34+2+15+21+36)=18.25

Factor A: (1/4)(-3+15-20+34-2+15-21+36)=13.5

Factor B:(1/4)(-3-15+20+34-2-15+21+36)=19

Interacción AB=(1/4)(+3-15-20+34+2-15-21+36)=1

ijkYno es significativo

18.25 6,75 9.5ijk A B ijkY D D u= + + +


3. El diseño 2k

Diseños 22KK K factores


Requieren 2K experimentos elementales

Tabla estándar:

• Factor A: -+-+-+-+...

• Factor B: --++--++...

• Factor C: ----++++....

• ...

Tabla 2Tabla 233

Efectos principales

Efectos de segundo orden

Efectos de tercer orden

(el orden de los datos se aleatoriza!!)


Ejemplo: proceso de soldadura por ola

3. El diseño 2k

http://www.ixxi.com/prod03_cmd_prowave_s.htm

http://www.propelec.com/productos/soldaduraOla.htm

Precalentadores

ola de soldadura

placas de circuitos impresos


3. El diseño 2k

La soldadura por ola consiste en una cinta transportadora que desplaza las PCBs sobre una cubeta rectangular que contiene estaño líquido.

Las inspecciones efectuadas en condiciones normales de funcionamiento señalan que el número de soldaduras defectuosas es del 0.035 % (350 ppm, donde ppm son 'partes o defectos por millón').

Ejemplo: proceso de soldadura por ola

Variable respuesta:

Se desea realizar un experimento para determinar si existen posibilidades de mejorar su funcionamiento. Para ello se decide controlar los siguientes factores:

· Factor A: Velocidad de la cinta: 1.6/1.8 (m/min)

· Factor B: Temperatura de la placa: 30/50ºC

· Factor C: Temperatura del estaño líquido: 210/260ºC

· Factor D: Densidad del estaño: 0.83/0.86 (gr/cm³)

Para cada combinación de factores se utilizan 30 PCBs iguales, con 998 uniones cada una. Después de la soldadura se inspecciona cada placa y se contabiliza el número de defectos de soldadura en las 30 placas.


Estimaciones usando el criterio

de los signos


Estimaciones usando el criterio

de los signos16 datos 16 parámetros

No hay información para estimar los residuos.

No se pueden hacer contrastes

Se hace una primera selección con el diagrama de Pareto


Regla empírica 1

Regla de Pareto: la mayoría de la

variabilidad es debida a muy pocas causas

Regla empírica 2

Los efectos de las interacciones suelen

ser menores que el de las variables

principales implicadas

tal vez sean los únicos significativos

Regla empírica 3

Si un factor no es relevante, no lo suele

ser tampoco su interacción


Otra opción: representar los efectos en un gráfico probabilístico normal

0

Si un efecto es nulo, su estimación es una v.a. normal de media cero

En un gráfico probabilísticonormal aparecerán alineados cerca del cero


Sugiere que A,B,C,D,BC serán significativos

Para hacer un análisis estadístico, iremos poco a poco. Comenzamos eliminando las interacciones de orden 3 y 4, que parece que no serán significativas.

Con esos grados de libertad estimamos la VNE


3. El diseño 2k


3. El diseño 2k

Ecuación de regresión:


3. El diseño 2k

Ecuación de regresión:

+ - - -


3. El diseño 2k

Antes del experimento: 350 ppm

Introduciendo las mejoras del experimento: 271 ppm

Mejora:22,6%

1. Se hace un análisis previo de los datos utilizando técnicas descriptivas

2. Se estiman los efectos de los factores e interacciones

3. Se representan dichas estimaciones en un diagrama de Pareto o gráfico probabilísticonormal

4. A la vista de estas representaciones gráficas se hace una preselección de los efectos que no son significativos

5. Se construye la tabla ANOVA con los efectos restantes y se contrasta su significatividad

6. Se eliminan los efectos que, tras los contrastes anteriores, no resulten significativos y se reconstruye la tabla ANOVA hasta que todos los efectos incluidos sean significativos

7. Se hace diagnosis de los residuos para comprobar que el modelo es adecuado

8. Se construye la recta de regresión y se obtiene con ella las condiciones de los factores que proporcionan mejores valores de la variable respuesta

Procedimiento general:Procedimiento general:


4. Fracciones de diseños factoriales

La motivación de los diseños 2k es analizar muchos factores con pocos experimentos elementales

Objetivo de las fracciones: conseguir analizar k factores con menos de 2k experimentos elementales

Fracción de un diseño factorial:

Es un diseño factorial en el que no se realizan todos los experimentos factoriales

Si se elige la fracción adecuadamente se podrán estimar los factores de forma independiente (aunque con menos precisión)

Nos centraremos en fracciones que sean

(1/2p) x número de datos del diseño completo

(p=1:la mitad, p=2:la cuarta parte, p=3:la octava parte...)



Ejemplo: fracciones de un 23

si hacemos sólo 4 experimentos...

por ejemplo, cuando ABC=+ por ejemplo, cuando AB=-



Notación:

Sea un diseño 2k del que queremos tomar sólo (1/2p) x número de datos del diseño completo

= (1/2p) 2k =2k-p experimentos elementales

22KK--pp

K factores


sólo hacemos 2k-p

experimentos elementales



por ejemplo, cuando ABC=+

diseños 23-1 o medias fracciones

Si hay el mismo número de + que de – la estimación del efecto por el criterio de los signos es insesgada

Al hacerse con menos datos, es menos precisa

Si el producto de los signos de dos columnas es 0, sus estimaciones son independientes (COLUMNAS ORTOGONALES)

Si dos efectos tienen la misma columna de signos, su efecto no se puede estimar por separado. La columna de signos estima LA

SUMA de ambos efectos

El efecto principal A y la interacción BC están

confundidasconfundidas

En este diseño estimamos A+BC

También se dice que en este diseño

la confusión es A=BC




A+BC

Regla empírica 2

Los efectos de las interacciones suelen ser menores que el de las variables principales

implicadas

Tiene sentido aceptar un diseño con confusiones si suponemos que uno de los efectos confundidos no es significativo: la estimación es sólo del otro efecto

estimamos... la confusión es...

A=BCB+AC B=ACC+AB C=AB

confusión con la media muestral=I

ABC+I ABC=I





A+BC A=BCB+AC B=ACC+AB C=ABABC+I ABC=I

por ejemplo, cuando AB=-

A-B


A=-BC-ABC C=-ABCAB-I AB=-IAC-BC AC=-BC

¿Qué fracción será mejor?¿Qué fracción será mejor?

La que tenga una confusión de los efectos principales con La que tenga una confusión de los efectos principales con las interacciones de orden más alto posiblelas interacciones de orden más alto posible

¿Cómo encontrarla?¿Cómo encontrarla? Ecuación generatrizEcuación generatriz



La ecuación generatriz de una fracción es el conjunto de columnas de la tabla de la fracción que son iguales a I.

En los ejemplos anteriores: ABC=I; -AB=I

Ecuación generatrizEcuación generatriz

Operaciones:

• Multiplicar por I no cambia una columna de signos

AI=A; ABI=AB; -CI=-C

• Multiplicar una columna por si misma da I

AA=I; (ABC)(ABC)=I



Estructura de confusión, o estructura de aliasalias

Son las confusiones que se producen en una fracción

Ejemplo: en 23-1

Con la fracción ABC=I

Con la fracción -AB=I


Resolución: orden de interacción más baja confundida con algún efecto principal+1


Con la fracción ABC=I

diseño Resolución III

Con la fracción -AB=I

diseño Resolución II (sin utilidad)


Procedimiento para conseguir un diseño 22kk--pp de máxima resolución

Ejemplo: Se desea realizar un diseño para determinar la significatividad de 6 factores (A,B,C,D,E,F) sobre una variable respuesta. Debido al coste de la recogida de datos, se desea hacer un primer análisis con sólo 8 experimentos elementales. ¿Cómo ha de ser el diseño?

Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables. TODAS LAS COLUMNAS SON ORTOGONALES (darán estimaciones independientes)

en el ejemplo: 8= 23

luego escribimos un 23


Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables

Segundo paso:Segundo paso: asignamos los p factores restantes en las interacciones de mayor orden. Suele haber varias opciones, no todas de igual resolución.

Si sospechásemos que AB puede ser significativa...

D E F ecuación generatriz

D=AC I=ACDE=BC I=BCEF=ABC I=ABCF

Resolución: III


Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables

Segundo paso:Segundo paso: asignamos los p factores restantes en las interacciones de mayor orden. Suele haber varias opciones, no todas de igual resolución.

D E F

Si asignamos los factores restantes a las interacciones mayores, pero de igual orden, se consigue siempre resolución máxima

ecuación generatriz

D=AB I=ABDE=AC I=ACEF=BC I=BCF

También resolución: III


hacemos el experimento...

Los factores C,E y F no parecen significativos.

Los eliminamos y usamos sus grados de libertad para estimar mejor la varianza residual


Esta solución sugiere varias opciones:

• Son significativos A,B,D y ninguna de sus interacciones.

• Son significativos A,B y su interacción AB, pero D no.

• Son significativos B,D y su interacción, pero A no.

• Son significativos A,D y su interacción, pero B no.

...seguiríamos experimentando sólo con estos factores

ismael sánchez -departamento de estadística … · se desea realizar un experimento para...

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