İstatistik-fizik-soru-ve-çözümü

5/9/2018 İstatistik-Fizik-soru-ve-çözümü - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/istatistik-fizik-soru-ve-coezuemue 1/9

1

1 Termodinamik

1.1 Matematiksel Baslangıc

1.1.1 A, B, C uc farklı degisken olmak uzere, eger bir degisken diger iki degiskenin bagımsız

olarak turevlenebilir bir fonksiyonu ise, Asagıdaki ifadeleri ispatlayınız.

(a)∂A∂B

C

∂B∂C

A

∂C ∂A

B

= −1,

(b)∂A∂C

B

= 1∂C∂A

B

.

Cozum:

A, B, C nin fonksiyonel baglılıgını f (A,B,C ) = 0 seklinde gosterelim;

∂f

∂A

B,C

dA + ∂f

∂B

A,C

dB + ∂f

∂C

A,B

dC = 0.

A sabit ise; ∂f

∂B

A,C

+∂B

∂C

A

= − ∂f

∂C

A,B

,

∂B

∂C

A

=−

∂f ∂C

A,B

∂f ∂B

A,C

,

benzer sekilde;

∂C

∂A

B

=−

∂f ∂A

B,C

∂f ∂C

A,B

,

∂A

∂B

C

=−

∂f ∂B

A,C

∂f ∂A

B,C

.

Bu uc esitligi carparsak; ∂A∂B

C

∂B∂C

A

∂C ∂A

B

= −1.

elde edilir. Bu denklemlerin ikincisinde A ve C yi yerdegistirirsek,

∂A

∂C

B

=1

∂C ∂A

B

.

elde edilir.

1.1.2 Asagıdaki ifadelerden hangileri tam diferansiyeldir? (a) dx = (5y + 3z)dy + (3y)dz(b) dx = (4y2 + 2yz)dy + (2yz + y2)dz (c) dx = y6z−2dy + zdz



2

Cozum:

(a)∂ (5y+3z)∂z

= ∂ (3y)∂y

⇒ 3 = 3 oldugundan tam diferansiyeldir. (b) ∂ (4y2+2yz)∂z

= ∂ (2yz+y2)∂y

tam

diferansiyel degildir. (c)

∂ (y6z−2)

∂z =∂ (z)

∂y tam diferansiyel degildir.

1.1.3 f ve g sistemin durumuna baglı iki fonksiyon ve c bir sabit olmak uzere, asagıdaki

ifadeleri ıspatlayınız.

(a) f + g = f + g (b) cf = cf

Cozum:

P s bir sistemin s durumunda bulunma olasılıgını gostermek uzere, sistemin s durumunda

iken aldıgı degeri f s olan f fonksiyonunun ortalaması; f = s f sP s seklinde tanımlanır.

O halde, (a) f + g =

s P s(f s + gs) =

s P sf s +

s P sgs = f + g (b) cf =

s P s(cf s)

= c

s P sf s = cf

1.1.4 u2 > u2 oldugunu gosteriniz.

Cozum:

∆u = u − u ∆u = (u − u) = u − u = 0 diger bir kullanıslı ortalama ifadesi; (∆u)2 =

i P (ui)(ui−u)2 bu ifadeye dispersiyon veya dagıtkanlıkta denir. ((∆u)2 > 0) Bu ifade her

zaman pozitiftir. (u− u)2 = (u2 − 2uu + u2) = u2 − 2uu + u2

(u− u)2 = u2 − u2 elde edilir. Boylece, u2 > u2

1.2 Basit tanımlar ve termodinamik yasaları

1.2.1 Asagıdakilerden hangilerinin genis (extensive) hangilerinin yogun (intensive) parame-

tre oldugunu belirtiniz? (a) 10 m3 luk bir hacim (b) 30 J luk kinetik enerji (c) 90 kPa

lık basınc (d) 1000 kPa lık gerilme (e) 75 kg lık kutle (f) 60 m/s lik hız (g) Tum genis

parametreleri yogun parametreye kutleyi 75 kg varsayarak ceviriniz.

Cozum:

(a) Genis parametredir, kutle iki katına cıkartılırsa hacim artar.

(b) Genis parametredir, kutle iki katına cıkartılırsa kinetik enerji artar.

(c) Yogun parametredir, basınc kutleden bagımsızdır.

(d) Yogun parametredir, gerilme kutleden bagımsızdır.

(e) Genis parametredir, kutle iki katına cıkartılırsa kutle artar.

(f) Yogun parametredir, hız kutleden bagımsızdır.

(g) V m

= 1075

= 0.1333m3/kg E m

= 3075

= 0.40J/kg mm

= 7575

= 1.0kg/kg



3

1.2.2 Asagıdaki buyukluklerin birimlerini SI birimlerini (kg, m, s) temel alarak ifade ediniz.

(a) Guc (b) Isı akısı (c)¨Ozgul agırlık

Cozum:

(a) Guc=(kuvvet)(hız) = (N)(m/s) = (kg.m/s2)(m/s) = kg.m2/s3

(b) Isı akısı = ısı transferi/zaman = J/s = N.m/s = kg.m/s2.m/s = kg.m2/s3

(c) Ozgul agırlık = agırlık/hacim = N/m3 = kg.m/s2

m3 = kg/(s2.m2)

1.2.3 Legendre donusumunu kullanarak termodinamik potansiyellerden Helmholtz serbest

enerjisine baglı termodinamik nicelikler icin ifadeler turetiniz.

Cozum:

dE = T dS − P dV + µdN bilinen termodinamik fonksiyondan (termodinamigin birinci

yasası) E = E (V , S , N ) yararlanarak F = F (V , T , N ) yeni degiskenli fonksiyona Leg-

endre donusumu yardımıyla F = E − T S iliskisiyle gecilebilir. Bu ifadenin tam diferan-

siyeli alınırsa dF = dE − T dS − SdT termodinamigin birinci yasasını kullanarak dF =

T dS − P dV + µdN − T dS − SdT

dF = −P dV − SdT + µdN

elde ederiz. F = F (V , T , N ) ifadesininde tam diferansiyeli alınarak

dF = (∂F

∂V )T,N dV + (

∂F

∂T )V,N dT + (

∂F

∂N )V,T dN

bu iki ifade kıyaslanırsa;

P =

−(∂F ∂V

)T,N ve S =

−(∂F ∂T

)V,N ve µ = ( ∂F ∂N

)V,T

1.2.4 Bir boyutta cevresiyle T sıcaklıgında dengede olan harmonik osilatorun (titreskenin

veya salınıcının) ic enerjisini bulunuz. (osilatorlerin bagımsız ve ayırt edilebildigini varsayınız)

Cozum:

Bir boyutlu harmonik osilatorun Hamiltonyeni;

H =p2

2m+

1

2k0x2

ile verilir. Enerji oz degerleri;

ε j = ( j + 12

)ω



4

burada j=0,1,2,... ve ω =

k0m

seklindedir.

Osilatorler bagımsız ve ayırt edilebildiginden; n j = N Z

e−εjkT dir. Sistemin bolusum fonksiyonu

ise;

Z =∞

j=0

e−(j+1

2)ω

kT

Z = e−ω2kT

∞ j=0

e−jωkT

= e−ω2kT

1

1 − e−ωkT

burada;∞n=0 axn = 1 + ax + ax2 + ... = a

1

−x

kullanıldı. β = 1kT

olmak uzere;

= e−βω2

1

1 − e−β ω

Ic enerji ifasesi;

U = −N ∂lnZ

∂β

oldugundan,

lnZ = −1

2β ω − ln(1 − e−β ω)

U = 12 N ω + N 1 − eβ ωωe−β ω

N ω[1

2+

1

eβ ω − 1]

N ω[1

2+

1

eωkT − 1

]

Dusuk sıcaklıklarda, (T → 0) U ≈ 12ω dır. Bunun anlamı osilatorler taban durumdadır.

Yuksek sıcaklıklarda,

U = N ω[1

2

+1

1 +ωkT + ...− 1

]

= N ω[1

2+

kT

ω]

= NkT

bu klaasik sonuctur. Yuksek enerji seviyeleri doludur. kT >> ∆ε(= ω) icin kuantum-

lanma onemli degildir.

1.2.5 Bir atomun ortalama kinetik enerjisini hesaplayınız.



5

Cozum:

E = 12

mv2 = 12

m(v2x + v2y + v2z) E = 12

m(v2x + v2y + v2z)

v2x = ∞−∞

f (v)v2xdvx =

m2πkBT

∞−∞

e−mv

2x

2kBT v2xdvx

2

m

2πkBT

∞0

e− mv2x

2kBT v2xdvx

∞0

xte−αx2dx =

Γ( t+12 )

2αt+12

oldugundan ∞0

e− mv2x

2kBT dvx =Γ(

(2+1)2 )

2( m2kBT

)(2+1)

2

=Γ( 32 )

2( m2kBT

)32

Γ(t + 12

) =

1.3.5...(2t−1)2t

√π t = 1 icin

√π2

v2x = 2 m

2πkBT ∞0

v2xe−mv2x

2kBT dvx =kBT

m

benzer sekilde v2ykBT m

vev2zkBT m

E =1

2m(

kBT

m+

kBT

m+

kBT

m) ⇒ E =

3

2kBT

1.2.6 Es bolusum teorisi geregi sistemin Hamiltonyenindeki her bir koordinatın (x veya

px) karesinden ortalama enerjiye1

2kT lik katkı getirir. Bu yuksek sıcaklıktaki klasik rejimiyansıtır. Bu teoremden hareketle (a) Uc boyutta ideal gaz (b) Bir boyutlu harmonik osilator

(c) uc boyutta harmonik osilator icin ortalama enerjiyi bulunuz.

Cozum:

(a) Uc boyutta ideal gaz icin Hamiltonyen;

H =P 2x2m

+P 2y2m

+P 2z2m

seklindedir. O halde, ortalama enerji; U =kBT

2 +kBT

2 +kBT

2 =3kBT

2 N atom icin3

2N kBT olur.

(b) Bir boyutlu harmonik osilatorun Hamiltonyeni;

H =P 2x2m

+kx2

2

seklindedir. O halde, ortalama enerji; U = kBT 2

+ kBT 2

N atom icin NkBT olur.

(c) Uc boyutlu harmonik osilatorun Hamiltonyeni;

H = P 2x2m

+ P 2y2m

+ P 2z2m

+ kx2

2+ ky2

2+ kz2

2



6

O halde, ortalama enerji; U = kBT 2

+ kBT 2

+ kBT 2

+ kBT 2

+ kBT 2

+ kBT 2

= 3kBT N atom icin

3NkBT olur.

1.2.7˙Ideal gaz icin durum yogunlugu ifadesini uc boyutlu uzay icin elde ediniz.

Cozum:

D(k)dk = gV d3k(2π)3

D(k)dk = gV 4πk2dk

8π3D(k)dk = gV k

2dk2π2

momentum uzayında, p = k

D( p)dp = gV d3 p(2π)3

D( p)dp = gV 4πp2dp

8π33D( p)dp = gV p2dp

2π23

diger bir yol ise; D(k)dk = dN dk

N = g43πk

3

( 2πL)3

N = gL34πk3

38π3D(k)dk = dN

dk= gV k

2dk2π2

1.2.8 (a) Relativistik parcacık icin (b) enerjinin ε = αks oldugunda durum icin (c) valans

bandındaki bir hol icin durum yogunlugu ifadelerini elde ediniz.

Cozum:

1.2.9 Maxwel hız dagılımı v ile v+dv aralıgında dN N

= 4π( m2πkBT

)32 e

−mv2

2kBT v2dv seklinde ver-

ilmektedir. N toplam parcacık sayısıdır. vn nin ortalaması vn = N −1 vndN seklinde

tanımlanırsa,

vn = (2kBT

m)n2

(n+12

)!

(12

)!

oldugunu gosteriniz.

Cozum:

hız dagılımı,dN

N = 4π(

m

2πkBT )32 e− mv2

2kBT v2dv

dN = 4N π( m2πkBT )32 e−

mv2

2kBT v2dv

vn =1

N

vndN ⇒ vn =

1

N 4N π(

m

2πkBT )32

vne

− mv2

2kBT v2dv

vn = 4π(m

2πkBT )32

vn+2e

− mv2

2kBT dv

Γ(z) = ∞0

e−ttz−1dt Γ(z + 1) = zΓ(z) = z! mv2

2kBT = t v2 = 2kBT

mt

v = (2kBT

m

)12 t

12

dv =1

2(

2kBT

m)12 t−

12 dt



7

vn = 4π(m

2πkBT )32 (

2kBT

m)n+32

∞0

tn+12 e−tdt

z

−1 = n+1

2z = n+3

2ohalde Γ(z+3

2) = Γ( z

2+ 1

2+ 1) = z+1

2Γ( z+1

2)

vn = (2kT

m)n2

(n+12

)!

(12

)!

1.2.10 Maxwell Boltzmann hız dagılımını kullanarak molekullerin en olası hızı ve en olası

enerjisini, ortalama hız ve ortalama suratini hesaplayınız.

Cozum:

en olası hız;

df (v)dv

|v=vp= 0 ⇒ 2v pe−mv2

2kBT − mv3 pkBT

e−mv2

2kBT = 0

v p =

2kBT

m

f (v) = v2e− mv2

2kBT

ortalama v = v seklinde de gosterilebilir. Ortalama hız;(v = (vx, vy, vz))

vx = (m

2πkBT )32

∞

−∞ ∞

−∞ ∞

−∞vxe

| mv2

2kBT |dvxdvydvz = 0

vy = vz = 0 boylece v = 0

ortalama surat

v = 4π(m

2πkBT )32

∞0

vf (v)dv

v = 4π(m

2πkBT )32

∞0

v3e− mv2

2kBT dv

t = mv2

2kBT degisimi yapılarak ve gama integrali yardımıyla,

v =

8kBT

πm

elde edilir.

1.2.11 Bir sistemin bolusum fonksiyonu a bir sabit olmak uzere Z = eaT 3V seklinde ver-

ildigine gore; Sistemin basıncını, entropisini ve ic enerjisini hesaplayınız?

Cozum:

Z = eaT 3V



8

serbest enerji, F = −kBTlnZ

F = −kBT ln(eaT 3V )

= −akBT 4

Termodinamigin birinci yasasından dE = T dS − P dV Legendre donusumu yardımıyla

F = E −T S dF = dE −T dS −SdT dF = T dS −P dV −T dS −SdT dF = −P dV −SdT

ve F = F (V, T ) dF = ( ∂F ∂V T

)dV + ( ∂F ∂T V

)dT

P = −(∂F

∂V T ) = akBT 4

S = −(∂F

∂T V ) = 4akBT 3V

E = F + T S ⇒ E = −akBT 4V + 4akBT 4V = 3akBT 4V

Enerjiyi bulmak icin ikinci bir yol: β = 1kBT

olmak uzere

E = −∂lnZ

∂β

kullanarakta elde edilebilir.

1.2.12Cozum:

BURAYA KADAR ASAGIDAKI IFADELER DIGER SORULARDA LAZIM OLACAGI

ICIN YAZILDI

Diatomik gazlarda;

H oteleme =P 2x2m

+P 2y2m

+P 2z2m

z ekseni yonundeki donmeyi ihmal edersek,

H donme =L2x

2I x+

L2y

2I y

z iki atom arasındaki bagıl koordinat olamak uzere,

H titresim =(P )2z

2m+

kz 2

2

Bir manyetik sistem icin dalgalanma-duyarlılık iliskisi, Bolusum fonksiyonu;Z =

i e− εikBT

olmak uzere, T sıcaklıgında ortalama enerji,

E =i

P iεi



9

burada olasılık,

P i = Z −1e−βE

E = Z −1i

εie−βεi

M =1

Z

∂Z

∂H = −∂lnZ

∂H

Oz-ısı ve enerji dalgalanması,

E = − 1

Z

∂Z

∂β = −∂lnZ

∂β

Maxwell Boltzmann dagılımı = Gibbs dagılımı = Kanonik dagılım = Klasik dagılım

2 Klasik Istatistik Mekanigi

2.1 Termal denge, Mekanik denge, Termodinaik denge sartları nelerdir.

3 Kuantum Istatistik Mekanigi

3.11 Mikro ve makro durum nedir?

2 Termodinamik degiskenler nelerdir? bildiklerinizi yazınız

3 Termodinamik surecler hakkında bilgi veriniz?

4 Termodinamik yasalarını kısaca acıklayınız

5 Istatistik fizikte kullanılan dagılımlar nelerdir ve hangi durumlarda kullanılır.

6 Istatistik fizikteki topluluklar hakkında bilgi veriniz.

7 Klasik ve Kuantum istatistik mekanigin sınırlarını belirtiniz.

8 Fermi ve Bose parcacıkları hakkında bilgi veriniz.

Referanslar

İstatistik-fizik-soru-ve-çözümü

Documents