12.İstatİstİk soru ve cevaplari76 12.İstatİstİk soru ve cevaplari 12.1. deskrİptİf...
TRANSCRIPT
76
12.İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI
12.1. DESKRİPTİF İSTATİSTİK
Soru 1.
Bir iş yerinde çalışanların maaşlarına, kişilerin kıdem derecelerine göre aşağıdaki
şekilde zam yapılmıştır.Acaba bu işyerinde çalışan şahısların tartılı ortalama zam oranı nedir?
Kıdem Derecesi Zam Oranı(%) Kişi Sayısı
1 35 1.000
2 40 2.000
3 40 3.000
4 30 4.000
5 50 5.000
Cevap 1.
Tartılı Ortalama = üzereolmak F........FF
XF.......XFXF
n21
nn2211
Fn=Tartı(Ağırlık) miktarı
Xn=Ortalaması alınacak değişken olmak üzere
3.40%403.0TO50004000300020001000
)50,0(5000)30,0(4000)40,0(3000)40,0(2000)35,0(1000TO
Soru 2.
Aşağıdaki frekans tablosundan yararlanarak;
a) Nisbi frekansları oluşturunuz.
b) Eklemeli frekansları oluşturunuz.
c) Histogram ve frekans poligonunu çiziniz.
Sınıflar Frekans Nisbi Frekans Eklemeli Frekans 14-15’den az 5 15-16’dan az 10 16-17’den az 16 17-18’den az 14 18-19’dan az 10 19-20’den az 5 20-21’den az 2
77
Cevap 2.
a) Nisbi frekans, o gözde bulunan frekansın toplam frekansa oranlanması ile bulunur.
b) Eklemeli frekans ise o sınıftaki frekansın daha önceki frekanslar ile toplanarak ilave edilmesi ile bulunan frekanstır.
Toplam Frekans=62
Sınıflar Frekans Nisbi Frekans Eklemeli Frekans 14-15’den az 5 5/62 = 0.08 5 15-16’dan az 10 10/62 = 0.16 15 16-17’den az 16 16/62 = 0.26 31 17-18’den az 14 14/62 = 0.23 45 18-19’dan az 10 10/62 = 0.16 55 19-20’den az 5 5/62 = 0.08 60 20-21’den az 2 2/62 = 0.03 62
c) Frekans poligonu ve histogram ise histogram yatay eksen sınırları ve orta noktası dikey eksen frekansı göstermek üzere frekans poligonu ise orta noktaların birleştirilmesi ile elde edilir.
Histogram
5
10
1614
10
5
2
02468
101214161820
14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21
Frekans
Soru 3.
X1 = [5,6,7,8,8,8,7,5,5,8,9,10]
a) Aritmetik ortalaması nedir?
b) Varyansı nedir?
c) Standart sapması nedir?
d) Varyasyon katsayısı nedir?
e) Modu nedir?
f) Medyanı nedir?
Not = 12n ,646x ,86x 2i
78
Cevap 3.
a) say.Eleman n ,16.71286
nx
.O.A i
b) Varyans= 27.212
)86(646111)(
11 22
22
nx
xn
S ii
c) Standart Sapma = S = 64.17.2S2
d) Varyasyon Katsayısı = VK = 9.22100*16.764.1100*
XS
e) Mod en çok tekrarlanan değerdir.(Frekansı en çok olan değerdir).Mod = 8’dir
f) Medyan = ortancadır.n tekse ortada yer alan değer, n çift ise iki değerin ortalamasıdır.
Medyan = (8 + 7)/2 = 7.5
Soru 4.
Başlıca merkez ve değişkenlik ölçülerini sınıflandırarak kısaca tanımlayınız ve
aşağıdaki terimleri açıklayınız.
İstatistik, parametre, ortalamanın standart hatası, örnek, populasyon, varyans.
Cevap 4.
Merkez Ölçüleri Analitik Olanlar Analitik Olmayanlar Değişkenlik Ölçüleri
Aritmetik Ortalama Mod Varyans Harmonik Ortalama Medyan Varyasyon Katsayısı Tartılı Ortalama Standart Sapma Kuadratik Ortalama Değişim Aralığı(Range)
İstatistik : Örneği karakterize eden ölçümler.
Parametre : Populasyonu karakterize eden ölçümler.
Örnek : Populasyonun alt grubu
Populasyon : Belli bir coğrafi alanda yer alan belli bir özelliğe ilişkin değerler
topluluğu
Varyans : Ortalamadan ayrılışların kareleri toplamının aritmetik ortalamasıdır.
Ortalamanın Standart Hatası : Örnek ortalamalarının örnekleme dağılışının standart
sapmasına ortalamanın standart hatası denir.
79
Soru 5.
X1= [2, 3, 7, ,8,1 0] sayı seti için.
a) Ortalamaya göre birinci birim moment?
b) Ortalamaya göre ikinci birim moment?
c) Üçüncü birim moment 3.6 ve dördüncü birim moment 122 olduğuna göre gama bir (q1) ve gama iki (q2) değerlerini yorumlayınız.
Not : 6X ve30x ,226 i
2 ix
1q değeri 3. birim momentin 2. birim momentin 3/2’nci kuvvetten üssünün değerine bölümü ile elde edilir. 2q Değeri ise 4. birim momentin 2.birim momentin karesine bölünmesi ile elde edilen değerden 3 çıkarılarak elde edilir.
3)(
, 22
422/3
2
31
VVq
VVq
Cevap 5.
a) Ortalamaya Göre Birinci Moment =n
x 1)(
05
)610()68()67()63()62(1
V
b) Ortalamaya göre ikinci birim moment = n
x 2)(
2.95
)610()68()67()63()62( 22222
2
V
c) 12.0)2.9(6.3
2/32/32
31
VVq olduğundan pozitif eğik.
)(1 q ; negatif eğik.
)0(1 q ; simetrik.
)(1 q ; pozitif eğik.
d) 5.13)2.9(
1223)( 22
2
42
VVq olduğundan platokurtik.
)(2 q leptokurtik.
)0(2 q normal
)(2 q platokurtik.
80
Soru 6.
Aşağıdaki veri seti için medyan, mod, ortalama, varyans, standart sapma, standart hata
ve varyasyon katsayısını hesaplayınız.
Xi=[80, 70, 80, 78, 81, 75, 77, 74, 77, 68]
928.57 ; 760 2 ii xx
Cevap 6.
a) Medyan = ortanca büyüklüğüne göre sıralanmış verilerde ortadaki değerlerdir.
68, 70, 74, 75, 77, 77, 78, 80, 80, 81.
Medyan = (77+77)/2=77
b) Mod= frekansı en büyük olan değerdir.Burada 77 ve 80’dir.2 kez tekrarlanmışlardır.
c) '7610760
nxx dır.
d) 66,18)(
11 2
22
nx
xn
S ii
e) Standart Sapma = 32.46.182 S
f) Standart Hata populasyon varyansının n’de birinin kareköküne eşittir.
36.11032.4
n
SS X
g) Varyasyon Katsayısı = VK = (S/X)*100=[(4.32/76)]*100=5.68
Soru 7.
Aşağıdaki frekans tablosunda boş yerleri doldurunuz.
Sınıflar Frekans Orta Nokta Eklemeli Frekans Nisbi Frekans 53-57’den az 3 58-62’den az 11 63-67’den az 17 68-72’den az 18 73-77’den az 8 78-82’den az 2 83-87’den az 1
Cevap 7.
Orta Nokta= [Alt Sınır + Üst Sınır]/2 buna göre orta noktalar
Xi = 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85
Eklemeli frekans; daha önceki sınıflarda yer alan frekansların ilgili sınıftaki frekanslar
üzerine eklenmesi ile oluşturulur.
81
Buna göre eklemeli ferkanslar 3, 14, 31, 49, 57, 59, 60’dır.
Nisbi Frekans= İlgili sınıf frekansı / toplam frekans formülü ile bulunur.
Nisbi Frekanslar = 0.05, 0.183, 0.283, 0.3, 0.133, 0.034, 0.017
Soru 8.
a) Xi = {2, 3, 7, 8, 10} sayı seti için ortalamaya göre birinci ve ikinci birim
momentleri
b) Xi = {2, 4, 8} sayı setinin geometrik ortalamasını
c) Xi = {11, 10, 9, 8, 7, 4, 3} sayı setinin meydanını ; Xi = {3, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10}
sayı setinin modunu
d) Xi = {3, 6, 9} serisinin harmonik ortalamasını
e) Xi = {8, 6, 5, 7, 9} serisinin varyansını hesaplayınız.( 255,35 2 ii xx )
Cevap 8.
a) Ortalamaya göre birinci birim moment = n
x 1)( =
6 = 05
)610()68()67()63()62(
Ortalamaya göre ikinci birim moment = n
x 2)(
= 2.95
)4()2()1()3()4( 22222
b) G.O.= 48.4.2......... 321 OGxxxn
n
c) Medyan = 8, Mod = 7
d) 9.4
91
61
31
31.....11
1..
21
nnnn
OH
e) 5.25)35(255
41)(
11 22
22
nx
xn
S ii
82
Soru 9.
Aşağıdaki iki grubun ayrı ayrı ortalama, varyans ve standart hatasını hesaplayınız.
1.Grup : (5, 3, 6, 8, 7, 6) ; 219;35 2 ii xx
2.Grup : (7, 6, 6, 7, 8, 9, 8) ; 379;51 2 ii xx
Cevap 9.
1.Grup için : 83.5635
n)x(
X i
96.26)35(219
51)(
11 22
22
nx
xn
S ii
7.0696.2
nSSx
2.Grup için : 28.7751
n)x(
X i
24.17)51(
37961)(
11 22
22
nx
xn
S ii
42.0724.1
nS
nSS
2
x
Soru 10.
Bir işletmede çalışan işçilerin saat başına aldıkları ücretlerin dağılımı aşağıdaki
gibidir. Medyan işçinin ücreti nedir?
Saat Ücreti(TL) İşçi Sayısı(n) Kümülatif(Eklemeli)Frekans 0-200’den az 8 8
200-400’den az 11 19 400-600’den az 7 26 600-800’den az 6 32
Cevap 10.
Frekans tablolarından medyan hesabı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Medyan = L(med)+ medmed
i C . F
F)2/F(
L(Med) = Medyan sınıfının alt sınırı
F = Toplam frekans
Fi = Medyan sınıfından bir önceki eklemeli frekans
83
F med = Medyan sınıfının frekansı
C med = Sınıf genişliği
32 işçi olduğundan, Medyan 32/2 = 16 ferdin bulunduğu sınıftadır.(200-400
sınıfındadır.)
Medyan Değeri İse ;
Medyan = 45.345200*11
)8)2/32(200
olur.
Soru 11.
Aşağıdaki Frekans Tablosunu;
a) den az frekans tablosu haline getiriniz.
b) den çok frekans tablosu haline getiriniz.
c) Histogram haline getiriniz.
d) Frekans Poligonu haline getiriniz.
e) Eklemeli frekans grafiklerini çiziniz.
Boy Uzunlukları(cm) Frekans(n) 150-155 12 155-160 34 160-165 86 165-170 54 170-175 15
201
Cevap 11.
a)den az esasına göre
Sınıflar Frekans 155 den az 12 160 den az 46 165 den az 132 170 den az 186 175 den az 201
b)den çok esasına göre
Sınıflar Frekans 150 den çok 201 155 den çok 189 160 den çok 155 165 den çok 69 170 den çok 15
84
c) Histogram
12
34
86
54
15
0102030405060708090 Fy
150-155 155-160 160-165 165-170 170-175
X
Frekans
d) Frekans poligonu
12
34
54
15
86
0102030405060708090
100
150-155 155-160 160-165 165-170 170-175
Frekans
e) Kümülatif Frekans Grafikleri
012
46
186201201
189
155
0
132
69
150
50
100
150
200
150 155 160 165 170 175
Den azDen çok
85
Soru 12.
Aşağıdaki tabloda bir yöredeki (108) ailenin aylık gelirlerine ilişkin frekans tablosu
sunulmuştur.Bu veriler yardımı ile ;
a) Medyan geliri
b) Mod geliri
c) Aritmetik ortalama ve varyans gelirini hesaplayınız.
Gelir(1000 TL) Frekans Eklemeli Frekans 20-60 den az 17 17
60-100 den az 28 45 100-140 den az 26 71 140-180 den az 18 89 180-220 den az 7 96 220-260 den az 10 106 260-300 den az 2 108
Cevap 12.
a) Medyan = medmed
imed C*
FF)2/F(
L
. 108/2=54’dür.Bu değer 100-140 arasındadır.
Medyan = 69.10740*26
)4954(100
b) Mod= Frekansı en çok olan sınıf arasında mod değeri.
Mod = [Mod Sınıfı Alt Sınırı] + C*)( 21
1
1 = Mod Frekansı ile bir önceki frekans farkı
2 = Mod Frekansı ile bir sonraki frekans farkı
Mod = 84.9340*)2628()1728(
1728(60
c) Aritmetik ortalama di(orta nokta) fi.di(Orta nokta frekansı) Aritmetik Ortalama
40 17*40= 680 80 28*80=2240
120 26*120=3120 160 18*160=2880 200 7*200=1400 240 10*240=2400 280 2*280= 560
A.O.= iii F/d.F
= 96.122108
13280
d) Frekans tablolarından varyans hesabı şu formülle yapılır.
8.3938108
)13280(2054400107
1n
)df()d.f(
1n1S
22ii2
ii2
86
Soru 13.
Aşağıdaki frekans tablosunda boş yerleri doldurunuz?
Sınıflar Frekans Orta nokta Eklemeli Frekans Nisbi Frekans 5.3-5.7 den az 5 5.8-6.2 den az 13 6.3-6.7 den az 19 6.8-7.2 den az 21 7.3-7.7 den az 7 7.8-8.2 den az 3 8.3-8.7 den az 2 70
Cevap 13.
Orta Nokta = (Alt Sınır – Üst Sınır) / 2 dir.
Orta Noktalar = 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5 dir.
Eklemeli Frekanslar = 5-18-37-58-65-68-70
Nisbi Frekans = Sınıf Frekansı/Toplam Frekans
= 0.07-0.18-0.27-0.3-0.1-0.04-0.028
Soru 14.
Xi = {4, 5, 6, 7, 8, 9} sayı seti için
a) Birinci birim moment
b) İkinci birim moment
c) Standart hata değerlerini hesaplayarak bu serinin eğiklik ve kürtasisini belirleyiniz.
Cevap 14.
a) Ortalamaya göre birinci birim moment = V1= nx 1)(
05
)68()67()66()65()64(V1
b) Ortalamaya göre ikinci birim moment = n
x 2)(
25
)68()67()66()65()64(V22222
2
c) 631.0541.1
nSS ; 41.12SS x
2
87
Eğikliği hesaplamak için 3. birim moment ve 1q değeri hesaplanır
05
)68(........)64()( 33
3
n
xV i
02
03/23/2
2
31
VVq olduğundan populasyon simetriktir.
Kürtosisi hesaplamak için 4. birim moment hesaplanır.
8.65
)68(........)64()( 44
4
n
xV i
3.132
8.63 222
42
VVq negatif olduğundan platokurtiktir.
Soru 15.
Aşağıdaki veri seti için medyan, mod, aritmetik ortalama, varyans, standart sapma,
standart hata, VK değerini hesaplayınız.
Xi = {6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 6, 13, 14} xi = 93 ; 9392 ix ; n=10
a) Medyan { 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 13, 14}
Medyan = (8+9)/2 = 8.5
b)Mod = 8 ve 6
c) A.O. = 93/10=9.3
d) 23.810
)93(939110
1)(1
1 2222
nxx
nS i
i
e) 86.28.232 SS Standart hata ise 90.01067.2
n
SS x
f) 75.30100*3.986.2100*..
xSKV
Soru 16.
X1= {2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17, 18} serisinin
a) Meydanını
b) Aritmetik ortalamasını
c) Varyansını
d) Standart Sapmasını
e) Değişim katsayısını hesaplayınız
Not : 1148x ; 86x 211
88
Cevap 16.
a) Medyan , n=tek olduğundan 9’dur
b) 55.99
86
nxAO
c) 77.409
)86(114881)(
11 22
22
nx
xn
S ii
d) 38.67.402 SS
e) 8.66100*55.938.6100*
XSVK
Soru 17.
Bir bölgede 1/5 oranında montofon, 3/5 oranında yerli kara ve 1/5 oranında karışık
sığırların bulunduğu bilinmektedir.Her ırktan rast gele 10’ar hayvanda yıllık süt verim
ortalamaları montofon için 4830 kg., yerli karalar için 825 kg. ve karışık ırklar için 2400 kg.
belirlenmiştir.Bu bölgede hayvan başına yıllık ortalama süt verimini nasıl hesaplarsınız.
Not : Tartılı ortalamayı kullanınız.
Cevap 17.
Tartılı Ortalama = n
nn
fffxfxfxf
.............
21
2211
Tartılı Ortalama = Kg. 19455
)1.2400()3.825()1.4850(
Soru 18.
Bir tarlada rast gele seçilen 40 tütün bitkisindeki yaprak sayısını gösteren aşağıdaki
rakamlara ait frekans tablosunu oluşturarak, histogramını çiziniz?
6 8 12 11 9 5 7 7 8 9 6 7 11 9 10 9 8 7 7 6 6 5 8 7 8 7 9 7 8 10 6 5 6 7 6 7 8 8 7 6
Cevap 18.
Sınıf Sayısı(k) = 1 + 3.3 log 40 = 6.2 6
Sınıf Genişliği = (max-min)/ k = (12-5)/6 = 1.16
89
Sınıflar Orta Nokta Frekans Eklemeli Frekans Eklemeli Nisbi Frekans 5-6.16 5.58 11 11 27
6.17-7.33 6.75 11 22 55 7.34-8.5 7.92 8 30 75
8.51-9.67 9.09 5 35 87 9.68-10.84 10.26 2 37 92 10.85-12.01 11.43 3 40 100
11 11
8
5
23
0
2
4
6
8
10
12Fy
5-6.16 6.17-7.33 7.34-8.5 8.51-9.67 9.68-10.84 10.85-12.01
X
Frekans
Soru 19. A bölgesinde yaşayan ailelerin aylık gelirleri aşağıdaki şekilde belirlenmiştir. (1=100000) X1 = {1, 1, 1, 3, 2, 5, 8, 8, 8, 8, 7, 6, 6, 5, 10, 10, 13, 14, 14, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 25, 25}
a) Frekans tablosunu oluşturunuz.
b) Histogramını çiziniz.
c) Modunu hesaplayınız.
Cevap 19.
a) Sınıf Sayısı=k=1 + 3.3 log 30 = 5.87 6 ; Sınıf Genişliği = (25-1)/6 = 4
Sınıflar Frekans 0-4 5 5-9 10
10-14 5 15-19 3 20-24 6 25-29 2
90
b)
5
10
5
3
6
2
0123456789
10Fy
0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29X
Frekans
c)Mod = 74*)510()510(
)510(5
Soru 20.
Aşağıdaki veriler (A) bölgesinden elde edilen buğday verimini göstermektedir.
Sınıflar (x103 ton)
Orta Nokta (di)
Frekans (Fi)
Xi . Fi 2d i ii Fd .2 Eklemeli Frekans
0-4 2 3 6 4 12 3 4-8 6 5 30 36 180 8
8-12 10 10 100 100 1000 18 12-16 14 6 84 196 1176 24 16-20 18 2 36 324 648 26 26 256 3016
a) Medyan=? b)Varyans=? c)AO=? d) VK=?
Cevap 20.
a) Medyan = 26/2 = 13 sınıf değeri medyandır.Tam sayı değeri ise;
Medyan = 8+(13-8).4/10 = 10
b) 82.1926
)256(3016251).(
.1
1 2222
ndF
dFn
S iiii
c) 9.85256/20X
d) VK= 28.45100*85.945.4100*
85.9100*
X
2
SS
91
Soru 21.
A bölgesinde üretilen tahıl miktarına ilişkin veriler aşağıda verilmiştir.
Sınıflar Xi Fi XiFi (Xi- i2 F)X (Xi- i
3 F)X (Xi- i4 F)X
0-2 1 3 3 31.69 -102.98 334.6 2-4 3 4 12 6.25 -7.81 9.79 4-6 5 6 30 3.37 12.53 1.89 6-8 7 2 14 15.12 41.59 114.38 8-10 9 1 9 22.56 107.17 509.06 16 68 78.99 -40.5 969.78
Yukarıdaki veriler yardımı ile diklik-basıklığı, eğikliği değişkenlik ve merkez
bakımından tanımlayınız.
Not : n
xVn
xVn
xV4
4
3
3
2
2)( ; )( ; )(
Cevap 21.
Diklik-Basıklık = 94.416
99.78)( ; 61.6016
78.969)( 2
2
4
4
n
xVn
xV
516.0)94.4(
61.603)( 22
2
42
VVq olduğundan platokurtiktir.
Dağılımın eğikliği ise ;
23.0)94.4(53.2 ; 53.2
1640.15- )(
2/31
3
3
qn
xV olduğundan negatif eğik.
Soru 22.
Aşağıdaki verilerden faydalanarak ;
a) Aritmetik ortalamayı
b) Mod’u
c) Medyan’ı
d) Varyans’ı
e) Standart Sapma’yı
f) Standart Hata’yı hesaplayınız.
Sınıflar Fi di 2id 2. ii dF Fi.di Eklemeli Frekans
2-5’den az 2 3.5 12.25 24.5 7 2 6-9’den az 5 7.5 56.25 281.25 37.5 7
10-13’den az 18 11.5 132.25 2380.5 207 25 14-17’den az 6 15.5 240.25 1441.5 93 31 18-21’den az 3 19.5 380.25 1140.75 58.5 34 34 821.25 5268.5 403
92
Cevap 22.
a) 85.1134403.
i
ii
ffd
X
b) Mod = 56.113.)618()518(
)518(10
c) Medyan 17. ferdin değeri olan
Medyan = 66.113.18
)717(10
d) 9.1434
)403(5.5268331).(
.1
1 2222
ndF
dFn
S iiii
e) 86.39.142 SS
f) 662.03486.3
n
SS X
Soru 23.
a) Xi = {2, 4, 8} serisinin geometrik ortalamasını
b) Xi = {3, 6, 9} serisinin harmonik ortalamasını
c) Xi = {11, 10, 9, 8, 7, 4, 3} serisinin meydanını
d) Xi = { 3, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10} serisinin modunu
e) Xi = { 8, 6, 5, 7, 9} serisinin varyansını hesaplayınız.
Not: 255;35 2 ii xx
Cevap 23.
a) 48.4.2...... 321 n
nxxxOG
b) 9.4236
18.31...11
..
21
nnnn
nOH
c) Medyan n tek olduğundan 8’dir
d) Mod; en çok tekrarlanan değer olan 7’dir.
e) 5.25)35(255
41)(
11 22
22
nx
xn
S ii
93
Soru 24.
Aşağıda 3 Güney Avrupa Ülkesine ait, 1979 verilerine göre nüfus ve kişi başına milli
gelir değerleri verilmiştir.Bu ülkelerin bir arada kişi başına milli gelirini tartılı aritmetik
ortalama ile hesaplayınız.
Ülkeler Kişi Başına milli Gelir Nüfus(Milyon) Fransa 10.240 51.3 İtalya 5.400 58.5 İspanya 4.500 40.2
Cevap 24.
08.6814150
)2.40*4500)5.58*5400()3.51*10240(........
..21
2211
n
nn
nnnxnxnxn
OT
Soru 25.
Bir sürüdeki koyunların 90 tanesi 2 yaşında, 75 tanesi 3 yaşında, 55 tanesi 4 yaşında
ve 30 tanesi de 5 yaşındadır.Yapılan hesaplamalara göre çeşitli yaş gruplarındaki koyunların
ortalama yapağı verimleri şöyledir.
Yaş 2 3 4 5 Ortalama
Yapağı Verimi 1.8 2.1 2.0 1.6
Bütün sürü birden göz önüne alındığında hayvan başına ortalama yapağı verimi kaç
kg.’dır.
Cevap 25.
kg. 91.1250
)30*6.1()55*0.2()75*1.2()90*8.1(........
..21
2211
n
nn
nnnxnxnxn
OT
Soru 26.
Bir morkaraman sürüsünden şansa bağlı olarak seçilen 16 kuzuya ait doğum ağırlıkları
aşağıda verilmiştir.
Xi = {5, 3, 6, 4, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 4, 8, 4, 6, 4, 5}
x2 = 396 ; x = 72 ; n = 16
a) Aritmetik ortalama
b) Medyan
c) Mod
d) Varyans
e) Standart sapma
f) Varyasyon katsayısını hesaplayınız.
94
Cevap 26.
a) 5.41672..
nxOA
b) Medyan = [(4.5+4.6)]/2= 4.55
c) Mod = 4(7 kere tekrar etmiştir.)
d) 8.416
)72(396151)(
11 22
22
nx
xn
S ii
e) S=2.19
f) VK = 2.19/4.5*100=48.6
Soru 27.
İstatistiği tarif ederek aşağıdaki terimleri açıklayınız.
a)Kareler toplamı, b)Kareler ortalamaları c)Frekans poligonu d)Değişim aralığı
Cevap 27.
İstatistik; örneği karakterize eden ölçümlerdir.
Kareler Toplamı; ortalamadan ayrılışların kareleri toplamıdır.
Kareler Ortalamaları; Kareler toplamının eleman sayısına bölümüdür.Diğer bir
deyişle ortalamadan ayrılışların karelerinin ortalamasıdır.
Frekans Poligonu; Histogram oluşturan sütunların üst kenarlarının orta noktalarının
birleştirilmesi ile elde edilen eğridir.
Değişim Aralığı(Range); Serideki en fazla ve en az değer arasındaki farktır.
Soru 28.
1000 memur ailesi arasında aylık gelirlere göre araştırma yapılmış ve memurların
almış oldukları aylık gelirlere göre dağılması aşağıdaki şekilde gerçekleşmiştir.Bu topluluk
içinde düzenli bir gelir dağılımı söz konusu olabilir mi? İnceleyeniz.
Aylık Gelir(TL) Memur Sayısı 10000’den az 8 10000-12000 16 12000-14000 40 14000-16000 26 16000’den çok 10
Cevap 28.
Nisbi frekanslara bakarak dağılımın normal dağılışa uymadığı anlaşılmaktadır.
Nisbi Frekanslar :
8/90=0.088, 16/90=0.17, 40/90=0.44, 10/90=0.11, 26/90=0.28
95
Soru 29.
Xi = {12, 11, 10 , 10, 9, 7, 6, 5, 2} serisinin
a) Eğiklik derecesini
b) Diklik derecesini
c) Değişkenlik derecesini hesaplayınız. (Not: 8X )
Cevap 29.
a)
2/3
2
31 V
Vq ;
nxV
3
3)(
; )( 2
2 nxV
9.89
)82(........)812( 22
2
V ; 189
)82(.....)812( 33
3
V
67.0)9.8(18
2/31
q negatif eğik.
b) 3)( 2
2
42
VVq ;
nxV
4
4)(
; 5.2019
)82(........)812( 44
4
V
46.03)9.8(5.20122
q olduğundan platokurtiktir.
Soru 30.
25 adet Pemphigus populi-Transversus isimli bir afit zararlısının belli bir hayat
devresindeki femur uzunluğu (mm x 10-1) olarak aşağıda verilmiştir.
a) Frekans tablosunu oluşturunuz.
b) Histogram ve frekans poligonunu çiziniz.
c) Frekans tablosu yardımı ile aritmetik ortalamayı
hesaplayınız.
Cevap 30.
a) Önce sınıf sayısı ve sınıf genişliği bulunacaktır.
k= 1+3.3 log n =1+3.3 log 25 = 5.62 6 sınıf sayısı
Range = max – min = 4.7 – 3.3 = 1.4
Sınıf genişliği = [ Range/k ] = (1.4)/6 = 0.23
Orta Nokta = (üst + alt sınır)/2
3.8 3.6 4.3 3.5 4.3 3.3 4.3 3.9 4.3 3.8 3.9 4.4 3.8 4.7 3.6 4.1 4.4 4.5 3.6 3.8 4.4 4.1 3.6 4.2 3.9
96
Sınıflar Frekans Eklemeli Frekans Eklemeli Nisbi Frekans Orta Nokta(di) 3.3-3.53 2 2 8 3.40 3.54-3.77 4 6 24 3.60 3.78-4.01 7 13 52 3.90 4.02-4.25 3 16 64 4.10 4.26-4.49 7 23 92 4.30 4.50-4.73 2 25 100 4.60
b) Histogram ve frekans poligonu
2
4
7
3
7
2
012345678 Fy
3.3-3.53 3.54-3.77 3.78-4.01 4.02-4.25 4.26-4.49 4.5-4.73
X
2
43
2
77
012345678
3.3-3.53 3.54-3.77 3.78-4.01 4.02-4.25 4.26-4.49 4.5-4.73
X
Fy
c) 425/9.100.. ; 9.100. OAdf ii Soru 31.
Bir hastada yapılan ölçümlerde distolik kan basınçları (Mg-Hg) aşağıdaki gibi
bulunmuştur.
Xi = { 80, 70, 80, 78, 81, 75, 77, 74, 77, 68} Bu hastanın;
a) Kan basınç ortalamasını
b) Kan basınç varyansını
97
c) Kan basınç standart sapmasını
d) Kan basınç varyasyon katsayısını hesaplayınız.
Not: n=10 , 928.57x ,760 2 x
Cevap 31.
a) 7610760
nxX i
b) 6.1810
)760(5792891)(
11 22
22
nx
xn
S ii
c) 31.46.182 SS
d) 67.5100*7631.4100*
XSVK
Soru 32.
Bir yedek parça satıcısı maliyetine göre satış fiyatını tespit ettiği 268 fren parçasını
aşağıdaki fiyatlardan satmıştır.Bu parçaların ortalama satış fiyatı nedir.
Ort.Satış Fiyatı : Parça Sayısı :
1800 68
1290 112
1940 88
Cevap 32.
1194,16328811268
)881940()1121920()681800(....
.......
21
11
xxx
nnnnxnxTOn
nn
Soru 33.
Bir dersin ara sınavından alınan notlar şöyle dağılmaktadır.
Alınan Not Öğrenci Sayısı 40-50 38 50-60 50 60-70 35 70-80 16 80-90 11
90-100 2 Eğiklik konusunda ne söyleyebilirsiniz.
98
Cevap 33.
Sınıflar di fi fi.di 40-50 45 38 1710 50-60 55 50 2750 60-70 65 35 1480 70-80 75 16 1200 80-90 85 11 935
90-100 95 2 190 152 8265
3.541528265).(
i
ii
fdfX
nxV
3
3)(
= 25239 ; )( 2
2 nxV
= 21.24
000072.02/32
31
VVq ve pozitif eğik.
Soru 34.
Bir kg. ekmek fiyatı ile 1 kg.et fiyatı arasındaki oran son üç yılda (1/10), (1/12), (1/16)
olmuştur.Bu üç yılın ortalama ekmek fiyatı/et fiyatı oranını bulunuz.
Cevap 34.
62.0)16/1)(12/1)(10/1(...... 321 n
nxxxOG
Soru 35.
Bir malın üretim miktarında son üç yılda sırası ile %55, %3 ve %112’lik değişmeler
olmuştur.Yıllık ortalama değişme oranını bulunuz.
Cevap 35.
265.0100112
1003
10055...... 321
n
nxxxOG
Soru 36.
1970-79 döneminde sanayi ücreti artış hızları %0 ve %16 arasında değişken 66
ülkenin üretim artışı itibarı ile dağılımı aşağıdaki gibi olmuştur.Bu dağılımın meydanını
bulunuz.
99
Sınıflar 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 Ülke Sayısı(Frekans) 6 16 18 9 10 5 0 Eklemeli Frekans 6 22 40 49 59 64 64
Medyan(Ortanca)=64/2=32. ferdin bulunduğu yerdedir.Bu fert de (4-6) sınıfında yer
almaktadır.
Medyan = medmed
imed C*
FF)2/F(
L
11.52*18
22324
Soru 37.
Bir baldan alınan örneklerde bulunan prolin adlı amino asidine ilişkin değerler
aşağıdaki gibi sınıflandırılmıştır.
Prolin (mgr) 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
Frekans (Fi)
0 5 66 82 95 76 60 29 8
Eklemeli Frekans 0 5 71 153 248 324 364 413 421
Bu verilerden faydalanarak;
a) Verilere ilişkin histogram çiziniz.
b) Medyan ve modunu hesaplayınız.
Cevap 37.
a)
0 5
66
82
95
76
60
29
8
0102030405060708090
100 Fy
0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
X
100
b) Medyan = 421/2=211.ferdin bulunduğu değeri olup, bu fert 41-50 sınıfında yer
almaktadır.
Medyan = 479*95
15321141*)2/(
med
med
imed C
FFF
L ’dir
Mod = [Mod Sınıfı Alt Sınırı] + C*)( 21
1
Mod = 65.449*)7695()8295(
)8295(41
Soru 38.
Bir dersin ara sınavından alınan notlar aşağıya çıkarılmıştır.
Alınan Not Öğrenci Sayısı 30-40 48 40-50 38 50-60 50 60-70 35 70-80 16 80-90 11
90-100 2 a) Bu dağılımın ortalamasını hesaplayınız
b) Bu dağılımın varyansını hesaplayınız
c) Bu dağılımın standart sapmasını hesaplayınız
d) Bu dağılımın varyasyon katsayısını bulunuz.
e) Bu dağılımın histogramını çiziniz.
Cevap 38.
Sınıflar fi di fi.di 2id ii fd 2
30-40 48 35 1680 1225 58800 40-50 38 45 1710 2025 76950 50-60 50 55 2750 3025 151250 60-70 35 65 2275 4225 147875 70-80 16 75 1200 5625 90000 80-90 11 85 935 7225 79475
90-100 2 95 190 9025 18050 200 10740 32375 622400
a) 7.53200
10740...
ndfOA ii
101
b) 46.229200
)10740(622400199
1).(.
11 22
22
ndf
dfn
S iiii
c) 15.152 SS
d) 2.28100*7.53
15.15100* XSVK
e)
48
38
50
35
1611
205
101520253035404550Fy
35 45 55 65 75 85 95 105X
Soru 39.
Bir beslemeci insanlarda yemek alışkanlığı üzerine çalışmaktadır. 13 yaşında 50 erkek
50 kızın harcadıkları kalori aşağıda sunulmuştur.
a) Her grubun mod ve meydanını bulunuz.
b) Her grubun harcadıkları kalori ortalamalarını hesaplayınız.
Sınıflar Erkek Frekansı Eklemeli Frekans Kız Frekansı Eklemeli Frekans 1000-1499 1 1 1 1 1500-1999 2 3 0 1 2000-2499 4 7 2 3 2500-2999 16 23 5 8 3000-3499 12 35 10 18 3500-3999 7 42 20 38 4000-4499 5 47 8 46 4500-4999 2 49 2 48 5000-5499 1 50 2 50
Cevap 39.
a) Erkek için mod 16 frekanslı sınıftaki değerdir.Bu sınıf da 2500-2999 sınıfıdır.
25.2874499.)1216()416(
)416(2500
Mod
Kızlar için mod 20 frekanslı sınıftaki yani 3500-3999 sınıfındaki değerdir.
102
82.3726499.)820()1020(
10203500
Mod
Medyan = 50/2=25.değerdir.
Bu değer erkekler için 3000-3499 sınıfında yer almaktadır.Erkekler için medyan;
16.3083499.12
23253000
Medyan ’dır.
Kızlar için medyan sınıfı 3500-3999 sınıfıdır.
3.3849499.10
18253500
Medyan
b) Erkekler için 5.3179).(
..5.158997.
i
iiii f
dfOAdf
Kızlar için 5.3034)(
..5.151729
i
iiii f
dfOAdf
Soru 40.
Aşağıda 60 öğrencinin ağırlıklarına ilişkin veriler sunulmuştur.n=gözlem sayısı olmak
üzere k=0+3.3 log n=6.867 olduğuna göre frekans tablosunu oluşturarak histogramı çiziniz.
65 70 48 58 64 62 66 71 72 64 71 56 70 63 64 66 68 63 59 76 68 67 66 60 64 75 71 60 72 73 67 80 57 59 73 75 75 62 63 80 73 63 69 60 70 70 64 62 58 63 71 70 83 59 71 65 68 69 54 73
Cevap 40.
k= 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 60 = 7
Range = 83-54 = 29
Sınıf Genişliği = Range/Sınıf Sayısı = 29/7 = 4.14
Sınıflar Frekans Eklemeli Frekans 53-57’den az 3 3 58-62’den az 11 14 63-67’den az 17 31 68-72’den az 18 49 73-77’den az 8 57 78-82’den az 2 59 83-87’den az 1 60
103
3
11
17 18
8
2 102468
101214161820
53-57 58-62 63-67 68-72 73-77 78-82 83-8
Soru 41.
Aşağıdaki frekans tablosundan yararlanarak Aritmetik ortalama ve varyansı
hesaplayınız.
Sınıflar Fi di Fidi 2iidF
0-9.5 8 10-19.5 20 20-29.5 40 30-39.5 56 40-49.5 44 50-59.5 20 60-69.5 8 70-79.5 4 200 7150 300612
Cevap 41.
75.35200
7150.. OA
12.226200
)7150(300612199
1).(.
11 22
22
ndF
dFn
S iiii
Soru 42.
Mühendislerin yıllık kazançlarının standart sapması 60.000, profesörlerin 40.000 TL
bulunsun.Acaba mühendislerin geliri mi yoksa profesörlerin geliri mi daha
değişkendir.Hesaplayınız.( 000.400.2 ,000.250.1 mühprof XX )
104
Cevap 42.
100.XSVK
Mühendisler için ; 5.2100.240000060000
VK
Profesörler için ; 2.3100.1250000
40000VK
Profesörlerin V.K.’sı daha büyüktür. O halde gelirleri daha değişkendir.
Soru 43.
Bir holdinge ait fabrikada çalışan işçi sayıları ve her birinde ödenen ortalama ücret
aşağıdaki gibidir.Fabrikaların tamamı için ortalama ücreti bulunuz.
A B C Ortalama Ücret (TL) 72.000 68.000 81.000 İşçi Sayısı 56 32 28 116
Cevap 43.
069.73116
)2881000()3268000()5672000(....
.......
21
11
xxxnnnnxnxTOn
nn
Soru 44.
Deskriptif istatistikte kaç çeşit grafik bulunmaktadır.İsimlerini belirtiniz.
Cevap 44.
a) Verilerin büyüklüklerine göre sınıflandırılmasının şekille ifadesinde kullanılan
grafikler.
Histogramlar
Frekans poligonu
Çubuklu diyagram
Eklemeli frekans poligonu
b) İki ayrı veri oranındaki miktarlar arasındaki ilişkilerin ifade edilmesinde kullanılan
grafikler.
Çizgi eğri grafikleri
Çubuklu grafikler
Dağılım grafikleri
c) Bir bütünün kısımları arasındaki ilişkilerin ifade edilmesinde kullanılanlar.
105
Bütünün resmi
Bileşik çizgi grafikler
Bileşik sütun grafikler
Bölünmüş daire grafikler
Soru 45.
Dünyadaki 76 en büyük şehrin 1976-77 nüfus verilerine göre gruplara ayrılması ile
elde edilen frekans tablosu aşağıda verilmiştir.
Sınıflar(x1000) Frekans(Fi) Nisbi Frekans Eklemeli Frekans Eklemeli Nisbi Frekans 2000-4000 44 4000-6000 15 6000-8000 9 8000-10000 4
10000-120000 3 12000-140000 1
76
a) Boş yerleri doldurunuz.
b) Aritmetik ortalamayı hesaplayınız.( 352000. ii df )
c) Varyansı hesaplayınız.( 2066000. ii df )
Cevap 45.
a)
Nisbi frekans Eklemeli Frekans Eklemeli nisbi frekans 44/76=0.578 44 44/76=0.57 15/76=0.198 59 59/76=0.77 9/76=0.119 68 68/76=0.89 4/76=0.053 72 72/76=0.94 3/76=0.039 75 75/76=0.98 1/76=0.013 76 76/76=1 1 76
b) 6.463176
352000...
i
ii
fdfOA
c) 1.2170999776
)352000(2066000751).(
.1
1 2222
ndF
dFn
S iiii
106
Soru 46.
Fasulye pek nektar salgılamaz ama, toprağa citro phosphate verildiğinde bol nektar
elde edilmiş ve fasulye çiçekleri arıları çekmiştir.Bir araştırıcı tarlayı parsellere ayırarak her
parsele fasulye bitkisi ekmiş ve bunlara çeşitli dozlarda gübreler vermiştir.Uzun gözlemler
sonunda parsellere bir saat boyunca gelen ortalama arı sayıları şöyledir.
Gübre(kg/ha.) 50 150 200 250 300 350 400 Arı sayısı 3.1 7.2 9.7 14.3 18.6 24.0 30.1
Bu verileri bir çizgi grafiği ile gösteriniz.
3,1 7,2 9,7
14,3
30,1
24,0
18,6
-
5
10
15
20
25
30
35
50 150 200 250 300 350 400
Soru 47.
Bir işçi 10 fidanı 43 dakikada, İkinci işçi 10 fidanı 50 dakikada, Üçüncü işçi 10 fidanı
48 dakikada, Dördüncü işçi 10 fidanı 55 dakikada budamışlardır.
Bu işçilerin ortalama 10 fidanı budama sürelerini hesaplayınız.
Cevap 47.
Böyle durumlarda ortalama almak için Harmonik Ortalamadan faydalanılır.
. 6.48)48/1()55/1()50/1()43/1(
4)/1(.......)/1(
..1
daknn
nOHn
Soru 48.
Aşağıdaki değerleri sınıf aralıkları 5 olmak üzere gruplanmış bir frekans tablosu haline
getiriniz.
3, 7, 12, 21, 13, 16, 19, 6, 22, 29, 15, 12, 9, 8, 8, 6, 6, 7, 5, 4, 5, 8, 11, 11, 17
107
Cevap 48.
Sınıflar Frekans Eklemeli Frekans Nisbi frekans 3-7 9 9 0.36 8-13 9 18 0.72
14-19 4 22 0.88 20-25 2 24 0.96 26-31 1 25 1
Soru 49.
Kız ve erkek öğrencilerin ağırlıkları ile ilgili frekans bölünmesinin standart sapmaları
sırası ile 5.51 ve 6 kg., aritmetik ortalaması ise 55 kg.(kız) ve 70 kg.(erkek) olarak
hesaplanmıştır.Bu bölünmelerin değişkenliklerini varyasyon katsayıları yardımı ile mukayese
ediniz.
Cevap 49.
Kızlar : S1=5.51, 551 X
Erkekler : S2=6, 702 X
VK = 100.XS
57.8100.706 ,01.10100.
5551.5
21 VKVK
Buna göre kızların değişkenliği daha fazladır.
Soru 50.
Geçen yıl belli bir mesafeye taksi ücretleri belediye otobüsü ücretinin 8 katı idi.Bu yıl
ise 12 katıdır.
a) İki yıl için bu ücret oranlarının aritmetik ve geometrik ortalamasını bulunuz.
b) Bu sayılara göre otobüs ücretlerinin taksi ücretlerine oranı ilk yıl (1/8)=0.125, ikinci
yıl ise (1/12)=0.083’dür.Bu iki oranın aritmetik ve geometrik ortalamasını
bulunuz.Elde ettiğiniz sonuca göre bu tip oranlar için aritmetik ortalamayı mı,
geometrik ortalamayı mı tercih edersiniz?
Cevap 50.
a) 10212821
nxxAO
8.99612.8 2221 n xxGO
108
b) 42.10%104.02
083.0125.0
AO
21.10%1021.0)083.0)(125.0(2 GO
Oranlara ilişkin ortalamalarda geometrik ortalama daha uygundur.
Soru 51.
Aşağıda 40 adet 2 yaşlı koyunun ağırlığı verilmiştir. Bu verileri,
a) Frekans tablosu haline getirerek, histogramını çiziniz.
b) Aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
c) Varyansını hesaplayınız.
Not : n=40 ; 1260 iidf ; 467352 iidf
33 2 39 17 53 1 34 22 34 11 33 20 29 30 33 19 59 19 33 53 57 24 39 21 12 53 30 53 24 44 32 25 39 19 32 40 36 30 30 21
Soru 52.
Aşağıda bir sınavda alınan notlara ilişkin frekans tablosu verilmiştir. Bu frekans
tablosundan (VK) hesaplayarak, hitogramını çiziniz.
Notlar Frekans(fi) Orta Nokta 2iX fi.Xi 2. ii Xf
0-10’dan az 1 5 25 5 25 11-20’dan az 1 15.5 240.25 15.5 240.25 21-30’dan az 8 25.5 650.25 204 5202 31-40’dan az 25 35.5 1260.25 887.5 31506.25 41-50’dan az 39 45.5 2070.25 1774.5 80739.75 51-60’dan az 45 55.5 3080.25 2497.5 138611.25 61-70’dan az 36 65.5 4290.25 2358 154449 71-80’dan az 25 75.5 5700.25 1887.5 142506.25 81-90’dan az 16 85.5 7310.25 1368 116964 91-100’dan az 4 95.5 9120.25 382 36481 200 33747.25 11379.5 706724.75
109
Soru 53.
Aşağıdaki 30 öğrencinin boy uzunluğuna ilişkin dağılışı yalnızca sınıf sınırları ve
frekanslarını içeren frekans tablosu halinde ifade ediniz.(Not: Minimum değer = 160 ;
Maksimum değer = 187’dir.)
k=1+3.3log(n)
160 163 173 178 180 169 168 187 174 173 168 178 173 168 170 170 171 168 170 180 167 170 182 172 185 175 175 184 172 185
Soru 54.
Aşağıdaki frekans tablosunda medyanı ve geometrik ortalamayı hesaplayınız.
Not : Medyan = medmed
imed C*
FF)2/F(
L
Sınıflar Frekans(fi) Eklemeli Frekans(fi) Orta Nokta(Xi) log(Xi) (fi)(logXi) 158-164 4 4 161 2.207 8.828 165-171 20 24 168 2.225 44.5 172-178 19 43 175 2.243 42.617 179-185 7 50 182 2.260 15.82
50 686 8.935 111.765
Soru 55.
Aşağıdaki frekans tablosunda modu hesaplayınız.
CLModNot *)(
:21
1mod
Sınıflar Eklemeli Frekans 158-162 4 163-167 9 168-172 28 173-177 42 178-182 46 183-187 50
Soru 56.
Aşağıda bir sınıfın notlarının dağılımı frekans tablosu halinde sunulmuştur.bu tablo
yardımı ile aritmetik ortalama, mod, medyan, varyans, varyasyon katsayısı, standart sapma,
standart hatasını hesaplayarak histogramını çiziniz.
110
Sınıflar Orta Nokta (Xi) Frekans(fi) Fi.Xi Eklemeli Frekans Nisbi Frekans 2iX 2. ii XF
61-65 63 10 630 10 0.105 3969 39690 66-70 68 17 1156 27 0.179 4624 78608 71-75 73 25 1825 52 0.264 5329 133225 76-80 78 18 1404 70 0.189 6084 109512 81-85 83 12 996 82 0.127 6889 82668 86-90 88 8 704 90 0.084 7744 61952 91-95 93 4 372 94 0.042 8649 34596 96-100 98 1 98 95 0.010 9604 9604
95 7185 1.0 52887 549885
111
12.2. BİR ÖRNEK ORTALAMASININ ANA KİTLE
ORTALAMASINA KARŞI TESTİ
Soru 1.
Bir sigara fabrikasındaki sigara paketleme makinesinin ürettiği paketlerin tam olarak
20 sigara içermesi gerekmektedir.Bu işlemin gerçekleşip gerçekleşmediğini test etmek için
225 sigara paketinden oluşan bir örnek alınmış, paketlerde ortalama sigara sayısının 19.4
standart sapmasının 1.7 olduğu görülmüştür.=0.05 anlamlık düzeyi için sigara paketleme
makinesinde bir arıza olup olmadığını test ediniz.
Cevap 1.
H0: µ=20 (çekilen örnek ana kitle ortalaması 20 olan populasyona aittir.)
H1: µ20 (19.4 ortalama ana kitleye ait değildir.Makine arızalıdır.
Örnek ortalaması( X ) = 19.4 ve ana kitle ortalaması(µ)=20’dir.
n>30 olduğundan Z cetveli kullanılır.
45.5
2257.1
204.19.
xSX
SapmaStparametreİstZ
n
SS x
Sonuç olarak; H0 reddedilir.Makine
arızalıdır. -5.45
Soru 2.
Bir otomobil yapımcısı ürettiği otomobillerin 1 litre benzinle ortalama 11 km. yol
aldığını iddia etmektedir. Bu iddiayı test etmek için rastgele seçilen 17 otomobilde birer litre
benzinle yapılan denemede ortalamanın 10.625 ve Standart sapmanın da 1.2 km olduğu
görülmüştür.Yapımcının iddiasının doğru olup olmadığını =0.01 hata seviyesi için test
ediniz.(µ=11)
112
-1.31 +2.92 -2.92
Cevap 2.
H0: µ=11 (otomobil 1 litre benzinle 12 km gidebilir)
H1: µ11 (otomobil 1 litre benzinle 11 km gidemez)
31.1
172.1
11625.10)(
xSXtTK SD=17-1=16
Sonuç ; test kriteri -1.31 olduğundan H0
kabul edilir.Çekilen örnek ana kitle
ortalaması 11 olan populasyondan
seçilmiştir.
Soru 3.
Bir fırında eksik gramajlı ekmek çıkarıldığı iddia edilmektedir.Populasyon
ortalamasının µ=420 gr olması gerekmektedir.Bu fırından alınan n=100 ekmek tartılmış ve
390X gr ve S2= 81 gr hesaplanmıştır.Bu iddianın doğru olup olmadığını kontrol ediniz.
Cevap 3.
H0: µ=420 (çekilen örnek µ=420 olan populasyondan seçilmiştir.)
H1: µ420 (çekilen örnek başka populasyona aittir.)
n>30 . cetZ
x
)(S
XZTK = 33
1009
420390
981S ; 2 Sn
SS x
Test kriteri -33 olduğundan H0 reddedilir.
Ekmek eksik gramajlıdır.
Soru 4.
Doğu Anadolu’daki morkaraman koyunlarında yapağı verimi ortalamasının µ=2.5
kg.olduğu bilinmektedir.Üniversite çiftliğindeki 400 koyunda bu ortalama 9.2X kg ve
113
+1.96 -1.96
+1.96 -1.96
+2.23 -2.23
S2=4 olarak bulunmuştur.Çiftlik koyunlarının yapağı verimi bakımından Doğu Anadolu
morkaraman koyunlarından farklı olup olmadığını test ediniz.(=0.05)
Cevap 4.
H0: µ=2.5 (çiftlik oyunları Dağu Anadolu Mor Karamanlarından farklı değildir.
H1: µ2.5 (çiftliktekiler mor karamanlardan farklıdır.)
4
4002
)5.2()9.2()(
xSXZTK
Test kriteri 4 olduğundan H0 reddedilir.
Soru 5.
Bir cins çilekte bitki başına ortalama verim µ=150 gr., varyan ise 2=300’dür.Bu
bitkilerden 10 tanesi özel bir metodla işlenen topraklarda yetiştirilmiş ve gr. 165X verim
gözlenmiştir.=0.01 önem seviyesinde toprak işleme ve metodunun verim ortalamasını
değiştirip değiştirmediğini test ediniz.
Cevap 5.
H0: µ=150(toprak işlemenin verime etkisi olmamıştır.)
H1: µ150(toprak işlemenin verime etkisi olmuştur.)
µ=150, 165X , (n
SS x )
n<30 74.247.5
15
10300
150165)(
xSXtTK
H0 reddedilir.Yeni metod verimi arttırmıştır.
114
+3.34 -3.34
0.4
+2.58 -2.58
Soru 6.
Varyansı(2)=225 olan bir populasyondan çekilen 9 fertlik örnekte 20X
bulunmuştur.Ana kitle ortalamasının µ=22 olduğu yolundaki µ=0.01 önem seviyesi için
hipotezi kontrol ediniz.
Cevap 6.
22 ; 20X n<30(t) test kriteri kullanılır.
H0: µ=22(örnek populasyona aittir)
H1: µ22(örnek populasyona ait değildir.)
4.0
9225
2220)(
xSXtTK
nS
nSS x x
2
S ;
Test kriteri (0.4) olduğundan H0 kabul edilir.
Soru 7.
Bir konserve fabrikasında imal edilen ve üzerinde brüt 500 gr. yazan konserve
domates salçaları ile ilgi örnekleme sonucunda 196 kutuluk bir örnekte gr 496X ve S=18
gr olmuştur.=0.01 için imal edilen salçaların ortalama ağırlığının 500 gr’dan farklı olduğu
söylenebilir mi?
Cevap 7.
H0: µ=500(örnekler populasyona aittir.)
H1: µ500(örneklere populayona ait değildir.)
12.3
19618
500496)(
xSXZTK
Sonuç; H0 reddedilir.Çekilen örnek başka
bir populasyona aittir.
115
+2.58 -2.58
+1.64
Soru 8.
Bir üretim merkezindeki bir makinede seri halinde miller üretilmektedir.Üretim yapan
makinenin ayarı üretilen millerin çapının 12.60 mm olacağı şekilde ayarlanmıştır.Doğal
olarak üretilen tüm millerin tam olarak tam olarak 12.6 mm çapında üretilmesi beklenemez.
Üretimde 100 adet örnek alınmış ve yapılan ölçümlerle mil ortalaması (12.65) mm ve
varyansı ise (0.1584) olarak bulunmuştur.Bu sonuçlara göre makine ayarı düzgün kabul edilir
mi?(=0.01)
Cevap 8.
H0: µ=12.60(makine ayarı düzgündür)
H1: µ12.60(makine ayarı farklıdır.)
30n ; 60.12 ; 65.12 X
x
)(S
XZTK = 28.1
100158.0
)60.12()65.12(
Sonuç olarak H0 hipotezi kabul edilir.Yani
makine ayarı düzgündür.
Soru 9.
Bir şehirlerarası yoldan geçen tesadüfi olarak seçilmiş 225 aracın ortalama hızlarının
92 km/sa.ve standart sapmanın 15 km/sa.olduğu tespit edilmiştir.Yoldan geçen tüm araçlarla
ilgili ortalamanın 90 km.nin üstünde olduğu hipotezini (=0.05) hata payı ile test ediniz.
Cevap 9.
H0: µ=90(tüm araçlar 90 km.dir)
H1: µ>90(Ana kitle ortalaması 90 km.nin üstündedir)
n=225, ,92X µ=90, S=15, n>30TK(Z)
x
)(S
XZTK = 2
22515
9092
TK=2 olduğundan H0 hipotezi reddedilir.
116
-1.64
-1.64
Soru 10.
Bir firma ürettiği lastik bantların esnekliğinin ortalama 15 cm olduğunu iddia
etmektedir.41 adet lastik bantla yapılan testte ortalamanın 13 cm ve standart sapmanın 2 cm
olduğu belirlenmiştir.Firmanın iddiasının farklı olup olmadığını tek taraflı bir test yardımı ile
ve =0.05 hata payı için test ediniz.
Cevap 10.
H0: µ=15(Tüm lastiklerin esnekliği 15 cm.dir)
H1: µ<15 (Lastiklerin esnekliği 15 cm.nin altındadır.)
µ=15 cm, n=41, S=2, cm. 13X
x
)(S
XZTK = 4.6
412
1513
H0 red.Lastiklerin esnekliği 15 cm.nin altındadır. Soru 11.
Bir oto montaj fabrikası için alınacak akülerin ortalama 3000 saatten az
dayanmamaları gerekmektedir.Bir imalatçıdan alınan 100 adet akünün ortalama ömürlerinin
2950 saat ve standart sapmanın 200 saat olduğu görülmüştür.Bu imalatçının akülerinin
ortalama ömürlerinin 3000 saatten az olduğu hipotezini =0.05 hata payı ile test ediniz.
Cevap 11.
H0: µ=3000((Akülerin ömrü 3000 sa.dır)
H1: µ<3000(Akülerin ömrü 3000 sa.nın altındadır.)
µ=3000, n=100, S=200, 2950X , n>30(Z) test kriteri.
x
)(S
XZTK = 5.2
100200
30001950
TK= -2.5 olduğundan H0 reddedilir.
Akülerin ömrü 3000 saatin altındadır.
117
-2.33
+2.33
Soru 12.
Bir mağaza sahibi günde ziyaret edenlerin ortalama 500 kişiden az olup olmadığını
araştırmaktadır.Tesadüfi olarak seçilen 30 günün ortalamasının 472 kişi ve standart
sapmasının 35 kişi olduğu görülmüştür.0.01 hata payı ile ortalamanın 500 kişinin altında
olmadığı hipotezini test ediniz.
Cevap 12.
H0: µ=500(Mağazayı günde 500 kişi gezer.)
H1: µ<500(Mağazayı günde 500 kişiden az kişi gezer.)
µ=500, n=30, S=35, 472X , n>30TK(Z)
x
)(S
XZTK = 38.4
3035
500472
-4.38
TK= -4.38 olduğundan H0 red
edilir.Yani günde 500 kişiden az kişi gezer.
Soru 13.
Bir fabrikada halen kullanılmakta olan tezgah saatte ortalama 135 parça imal
etmektedir.Yeni bir tip tezgahın çalışması esnasında tesadüfi olarak seçilen 36 sa. içinde
ortalama 138 parça imal ettiği ve standart sapmanın 10 parça olduğu tespit edilmiştir.=0.01
düzeyi için yeni tezgahın diğerinden üstün olduğunu söyleyebilirmisiniz.
Cevap 13.
H0: µ=135(Yeni tezgah yine saatte 135 parça üretir.)
H1: µ>135(Yeni tezgah daha fazla parça üretir.)
µ=135, n=36, S=10, 138X , n>30TK(Z)
x
)(S
XZTK = 81.1
3610
135138
H0 kabul edilir.Yeni tezgahın üstünlüğü yoktur.
118
+2.80 -2.80
+1.96 -1.96
Soru 14.
Bir ilaç fabrikasında imal edilen sodyum bi karbonat paketlerinin ağırlığı ortalama 40
gr ve varyansı 64 gr’dır. Herhangi bir üretim partisinden rast gele seçilen 25 paketlik bir
örnekte ortalama 44 gr bulunduğuna göre makinenin ön görülen standarda uygun üretim yapıp
yapmadığını =0.05 için kontrol ediniz.
Cevap 14.
H0: µ=40(Örnek bu populasyona aittir.)
H1: µ40(Örnek bu populasyona ait değildir.)
µ=40 gr, S2=64, ,44X n=25 <30TK(t)
x
)(S
XZTK = 5.2
2564
4044
TK=2.5 olduğundan H1 reddedilir.Örnek bu populasyona aittir. Soru 15.
Bir traş bıçağı imalatçısı bıçakların enlerinin 1.5 cm.den farklı olmamasını
istemektedir.Tesadüfi olarak seçilen 100 adet traş bıçağının enlerinin ortalaması 1.55 cm ve
standart sapması ise 0.1 cm olarak belirlenmiştir.=0.05 için bıçakların enlerinin 1.5 cm
olduğu söylenebilir mi?
Cevap 15.
H0: µ=1.5(Örnek ortalaması=populasyon ortalaması)
H1: µ1.5(Örnek ortalaması populasyondan farklıdır.)
µ=1.5, S=0.1, ,55.1X n=100 >30TK(Z)
x
)(S
XZTK 5
1001.0
5.155.1
TK=5 olduğundan H0 reddedilir.
Örnek populasyondan farklıdır.
119
Soru 16.
Bir meyve suyu fabrikasının ürettiği portakal sularının ortalama (C) vitamini düzeyi
=17 mgr/100 gr. olduğu bilinmektedir. Yani bir teknikle (C) vitamini düzeyinin arttırıldığı
iddia edilmektedir. Bu iddianın doğruluğunu anlamak için yapılan incelemede 36 kutuluk
örnekte (C) vitamini düzeyi 17.8 mgr/100 gr , varyansı ise 4.5 olarak bulunmuştur. Acaba
yeni teknik ortalama vitamin (C) düzeyini arttırmış mıdır?Test ediniz.(=0.01)
Soru 17.
Bir kalite kontrol laboratuarında demir testerelerin dayanıklılığı ölçülmektedir.
Standart bir testerenin 2500 kesim yapması gerekmektedir. Bir firmaya ait 28 testerenin kesim
ortalaması 2600 ve varyansı 17500 olarak bulunmuştur. Acaba firmanın üretimi standardın
üstünde midir?(=0.01)
Soru 18.
Bir cins çilekte bitki başına ortalama verim =180 gr varyansı ise 2=250’dir. Bu
bitkiden 10 tanesi özel bir metotla işlenen topraklarda yetiştirilmiş ve 200X gr verim
gözlenmiştir. =0.01 önem seviyesinde toprak işleme ve metodunun verim ortalamasını
yükseltip yükseltmediğini test ediniz.
120
+1.96 -1.96
12.3. İKİ ÖRNEK ORTALAMASININ KARŞILAŞTIRILMASI
Soru 1.
Bir otomobil fabrikası imal ettiği otomobiller için lastik satın alacaktır.A marka
lastiklerin B marka lastiklerden daha dayanıklı oldukları öne sürülmektedir.Fabrika bu
iddianın doğruluğunu test edecektir.Bu amaç ile 120’şer adet (A) ve (B) marka lastiğin eşit
şartlar altında dayanıklılıkları ölçülmüştür.Test sonucu A marka lastiklerin ortalama ömürleri
42000 km ve standart sapmaları 2500 km olmuştur. Aynı şekilde B marka lastiklerin ortalama
ömürleri 40500 km ve standart sapmaları 3000 km olmuştur.=0.05 için (A) marka lastiklerin
(B) marka lastiklerden daha dayanıklı olduğu söylenebilir mi?
Cevap 1.
H0: µA - µB = 0 (A ve B örnekleri aynı ana kitleden çekilmiştir.)
H1: µA - µB 0 (A’nın ortalaması B’den daha fazladır.)
A B
n=120 n=120
42000AX 40500BX
SA=2500 SB=3000
n>30TK(Z)= 07.449.368
1500
1203000
1202500
0)4050042000()()(22
2
22
1
21
2121
nS
nS
XX
TK=4.07 olduğundan H0 red edilir.A lastikleri
daha uzun ömürlüdür.
Soru 2.
Bir mağaza erkek ve kadın müşterilere yapılan satışlar arasında fark bulunup
bulunmadığını araştırmaktadır.Erkek müşteriler arasından seçilen 1000 kişinin ortalama 6000
TL’lik(S.S.=300 TL) ve kadın müşteriler arasından seçilen 80 kişinin ortalama 6300 TL’lik
121
+2.58 -2.58
(S.S.=700) alışveriş yaptıkları görülmüştür.Kadın müşterilerin erkeklerden daha fazla
alışveriş yaptıkları =0.01 için söylenebilir mi?
Cevap 2.
H0: µ1=µ2 (Kadınlar ile erkekler arasında fark yoktur.)
H1: µ1µ2 (Kadınlar ile erkekler arasında fark vardır.)
Erkek Kadın n 100 n 80 X 6000 X 6300 S1 300 S2 700
n>30 58.3612590063006000)()(
)(
2
22
1
21
2121
nS
nS
XXZTK
H0 reddedilir.Kadınlar erkeklerden daha fazla
Alışveriş yapmıştır.
Soru 3.
Bir market kasasında görevli iki elemanın Şule ile Demet arasında hizmet çabukluğu
bakımından bir fark bulunup bulunmadığı araştırılacaktır.Yapılan incelemede Şule’nin
müşterileri arasından seçilen 49 kişiye ortalama 10 dakikada hizmet götürdüğü, hizmet
çabukluğuna ilişkin varyasyondan elde edilen standart sapma ise 2’dir. Demet’in müşterileri
arasından seçilen 49 kişiye ise ortalama 5 dakikada hizmet götürdüğü ve Demet’e ilişkin
verilerin Standart sapması ise 3’tür.Şule ile Demet’in hizmet sunma süreleri arasında bir fark
bulunup bulunmadığını, = 0.05 ve =0.01 için test ediniz.
Cevap 3.
H0: µ1=µ2 (Hizmet sunma süreleri arasında fark yoktur.
H1: µ1µ2
Şule Demet n 49 n 49 X 10 X 5 S1 2 S2 3
122
+1.64
+2.33
+2.58 -2.58
n>30
2
22
1
21
2121 )()()(
nS
nS
XXZTK 80.9265.05
4932
4922
0)510(
Her iki halde de H0 reddedilir.Demet’in hizmet çabukluğu daha fazladır.
Soru 4.
Büyük bir şehirde lise öğrencilerinin okul kantinlerinde günlük gıda harcamaları
üzerine bir araştırma yapılmıştır.Şansa bağlı örnekler usulü ile işçi ve memur ailelerinden
alınan örneklerdeki sonuçlar aşağıda verilmiştir.
Sınıf Aile Sayısı Ortalama Standart Sapma Varyans İşçi(n1) 327 6120 1040 1081600
Memur(n2) 280 6420 1180 1392900
Bu sonuçlara göre memur ailelerinin çocuklarının okul kantini ortalama gıda
harcamaları ile işçi ailelerinin ortalama gıda harcamaları farklı mıdır? Z testi ile kontrol
ediniz.(=0.01)
Cevap 4.
H0: µ1-µ2=0(Harcamaları aynıdır.)
H1: µ1-µ20(Harcamaları farklıdır.)
2
22
1
21
2121 )()()(
nS
nS
XXZTK 29.3
280)1180(
327)1040(
6420612022
H0 red edilir.Çocukların gıda harcamaları farklıdır.
123
+1.96 -1.96
Soru 5.
Bir otomobil fabrikasına stop lambası satın alınacaktır.A ve B firmalarının
lambalarının ortalama ömürleri ve ortalama ömürlerine ait standart ayrılışlar şöyledir.
A B n 100 n 100 µ 4830 sa µ 5055 2 310 sa. 2 1205
Otomobil fabrikası taktığı lambaların 4000 saatten az dayananların müşteride fabrika
aleyhine bir kanaat meydana getirdiğini düşünmektedir.Bu sebeple yönetim kurulu 4000
saatin altındaki ampul nispetini minimum yapmak istemektedir.Hangi firmanın ampulleri
tercih edilmelidir.(=0.05).
Cevap 5.
H0: µ1 - µ2 = 0 (İki fabrika aynıdır.Fark yoktur.)
H1: µ1 µ2 (İki fabrika farklıdır.)
n>30
2
22
1
21
2121 )()()(
nS
nS
XXZTK 84.57
1001205
100310
)0()50554830(
Sonuç; H0 red edilir.Fabrikalar farklıdır.
B fabrikasının ampulleri tercih edilmelidir.
Soru 6.
Aşağıda iki ayrı domates çeşidine ilişkin yapılan bir denemede elde edilen sonuçlar
sunulmuştur. Birinci varyete ortalaması 24.9 ve ikinci varyete ortalaması 21.97 olrak
bulunmuştur. Bu iki çeşidin verim ortalamalarının istatistiki olarak önemli düzeyde farklı olup
olmadığına ilişkin hipotez kontrolünü yapınız.(=0.01)
Tekerrürler Xi 2iX 2
iS iX ni 1.Çeşit 299 7757.9 27.98 24.92 12 2.Çeşit 263.6 6158.12 33.42 21.97 12
124
Soru 7.
Yapılan bir çalışmada iki farklı koyun ırkından elde edilen kuzuların doğum ağırlıkları
kaydedilmiştir.Bu verilerden yararlanarak iki farklı koyun ırkının yavruların doğum ağırlıkları
bakımından istatistiki olarak bir fark var mıdır?Test ediniz.(=0.01)
Irklar X S2 N Tahirova 2.5 0.9 100 Sönmez 2.1 0.3 120
Soru 8.
Birbirinin aynı 15 motosiklet A marka yakıt kullanılarak sürülüyor ve litre başına
ortalama 25 km yapıldığı ve standart sapmanın da 0.5 km olduğu tespit ediliyor. Aynı
motosikletler B marka yakıt kullanıldığında ortalama 28 km ve standart sapma ise 0.8 km
olarak bulunmuştur. 0.01 ihtimal seviyesinde B marka yakıt ile gidilen km daha fazla mıdır?
125
+1.96 -1.96
+1.96 -1.96
12.4. BİR ÖRNEK ORANININ POPULASYON ORANINA KARŞI TESTİ
Soru 1.
İmal edildiği fabrikada en az %70 etkili olduğu iddia edilen bir alerji ilacı 300 hasta
üzerine denenmiştir.Belli bir süre sonucunda iyileşen hasta sayısı 222 olduğuna göre
fabrikanın iddiası doğru mudur?(=0.05).
Cevap 1.
=0.70 ; n=300 ; P̂ =222/300=0.74
H0: = 0.70(Örnek oranı ana kitle oranı ile aynıdır.)
H1: 0.70(Örnek oranı ana kitle oranı ile aynı değildir.)
n>30
n
PZTK)1(
ˆ)(
= 2
300)30.0)(70.0(
0))70.0()74.0((
Sonuç; Fabrikanın iddiası doğru değildir.
H0 reddedilir.
Soru 2.
Bir ayçiçeği varyetesinde
tohumların %70 çimlenme gücüne sahip olduğu bildirilmektedir.Bu varyeteden alınan (100)
bitkilik bir örnekte 62 bitki çimlenmiştir. Acaba bu örnek çimlenme gücü %70 olan ana
kitleyi temsil etmekte midir?(=0.05)
Cevap 2.
H0: = 0.70(Örnek oranı ana kitle oranı ile aynıdır.)
H1: 0.70(Örnek oranı ana kitle oranı ile aynı değildir.)
=0.70 ; n=100 ; P̂ =0.62
n>30
n
PZTK)1(
ˆ)(
= 2
100)30.0)(70.0()70.0()62.0(
H1 kabul edilir.Örnek ana kitleyi
Temsil etmez.
126
+1.64
-2.3
Soru 3.
Bir fabrikanın mamullerinin %10’unun kusurlu olduğu bilinmektedir. İmalat arasında
tesadüfi seçilen 100 parça örnekten 15’i kusurlu çıkmıştır.%5 hata ile fabrika ürünlerinin
%10’dan fazlasının kusurlu olduğu söylenebilir mi?
Cevap 3.
H0: = 0.10(Örnek oranı ana kitle oranı ile aynıdır.)
H1: > 0.10(Örnek oranı ana kitle oranından fazladır.)
=0.10 ; n=100 ; P̂ =0.15 ; =0.05
n>30
n
PZTK)1(
ˆ)(
66.1
100)90.0)(10.0()10.0()15.0(
H0 red edilir.Örnek oranı bu ana kitleyi
temsil etmez.
Soru 4.
Bir şehirdeki ailelerin %20 özel araç sahibi oldukları bilinmektedir. Bir yöreden
seçilen 225 ailenin %15’inin özel araç sahibi olduğu belirlendiğine göre bu yöredeki özel araç
sahibi aile oranının %20’den az olduğu 0.01 hata payı ile söylenebilir mi?
Cevap 4.
H0: = 0.20(Özel araç sahibi olanların oranı 0.20’dir)
H1: < 0.20(Özel araç sahibi oranı 0.20’nin altındadır.)
=0.20 ; n=225 ; P̂ = 0.15 ; =0.0.1
n>30
n
PZTK)1(
ˆ)(
= 9.1
225)80.0)(20.0()20.0()15.0(
Sonuç olarak farksızlık hipotezi
Kabul edilir.
127
+1.64 0.86
Soru 5.
Bir şehirde yapılmış olan piyasa etüdünün sonuçlarına göre 300 kişilik örnek içinde
“A” marka diş macununu kullananların oranı 0.22’dir. Bu sonuçlara göre ana kitle oranının
%20’nin üzerinde olduğunu 0.05 hata payı ile söyleyebilir misiniz?
Cevap 5.
H0: = 0.20(Ana kitle oranı 0.20’ye eşittir.)
H1: > 0.20(Ana kitle oranı 0.20’den fazladır.)
=0.20 ; n=300 ; 22ˆ P ; =0.05
n>30
n
PZTK)1(
ˆ)(
= 86.0
300)80.0)(20.0(
20.022.0
H0 kabul edilir.Örneğin çekildiği ana
Kitlenin oranı 0.20’den daha büyük olduğu
söylenemez.
Soru 6.
Bir köydeki çiftçi ailelerinin %8’inin traktör sahibi olduğu bilinmektedir. Geçen belli
bir zaman sonrasında bu köyden seçilen 65 ailelik örneğin 3 tanesinin traktör sahibi olduğu
anlaşılmıştır. Acaba geçen zaman zarfında köydeki traktör sahibi olma oranı değişmiş midir?
Soru 7.
Bir firmanın otomobil piyasasındaki satış payı %40’dır. Bir reklam programından
sonra satılan 600 arabanın 250’si bu firma tarafından gerçekleştirilmiştir. Reklam firmanın
Pazar payını arttırmış mıdır?(=0.05)
Soru 8.
Bir fabrikanın mamüllerinin %10’unun kusurlu olduğu bilinmektedir. İmalatçısından
tesadüfi seçilen 100 parça örnekten 15’i kusurlu çıkmıştır. %5 hata ile fabrika ürünlerinin
%10’dan fazlasının kusurlu olduğu söylenebilir mi?
128
+2.58 -2.58
12.5. İKİ ÖRNEK ORANININ KARŞILAŞTIRILMASI
Soru 1.
İl merkezleri ve kırsal kesimler arasındaki okuma yazma oranının farklı olup
olmadığını anlamak için yapılan bir örneklemede il merkezlerinde yaşayan 1000 kişide %85
okuma yazma oranı, kırsal kesimde yaşayan 1500 kişide %65 okuma yazma oranı
gözlenmiştir.=0.01 için il merkezi okuma yazma oranı arasında istatistik olarak önemli bir
fark olup olmadığını test ediniz.
Cevap 1.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
65.0ˆ85.0ˆ
2
1
P
P
73.02500
)65.0(1500)85.0(1000ˆˆ
21
211
nn
PnPnk
10)
15001
10001)(27.0)(73.0(
0)65.085.0(
)11
1)(1(
)()ˆˆ(
2
2121
nnl
PPZ
kk
Sonuç olarak H0 red edilir.İki örnek oranı farklıdır.
Soru 2.
İstanbul’da 270 aracın trafik kontrolü sırasında bunlardan 20’sinin sigortasız olduğu
tespit edilmiştir.Ankara’da 180 araçta yapılan kontrolde ise 9 aracın sigortasız olduğu
gözlenmiştir.Bu verilere göre İstanbul’da daha fazla sigortasız araç bulunduğu söylenebilir
mi?
129
+1.64 1.04
Cevap 2.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 > µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
05.0180
9ˆ ; 074.027020ˆ
21 PP
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 06.0270180
)05.0(180)074.0(270
n>30
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 043.1023.0
0)05.0074.0(
Sonuç olarak H0 kabul edilir.
Yani iki oran aynıdır.
Soru 3.
Yapılan bir araştırmada belli bir (A) varyetesinde 1039 tohumda çimlenme gücü 0.18
ve diğer bir (B) varyetesinde çimlenme gücü 168 bitkide 0.19 olmuştur.Bu iki varyetenin
yaşama gücü bakımından farklı olup olmadığını karşılaştırınız.(=0.01)
Cevap 3.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P =0.18 ; 2̂P =0.19
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 18.01207
)19.0(168)18.0(1039
n>30
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
33.0
1681
10391)82.0)(18.0(
0)19.0()18.0(
130
+2.58 -2.58 -0.33
+1.96 -1.96
Sonuç olarak H0 kabul edilir.Yani
İki oran aynıdır.
Soru 4.
Bir parazitolog iki farklı güvercin populasyonunun belli bağırsak paraziti ile infekte
olma oranı bakımından karşılaştırmak istemektedir.Her iki populasyonda da n1=n2=100 olan
örneklerde 1.grupta 58 ve 2.grupta 30 güvercin infekte olduğu tespit edilmiştir.Acaba bu iki
grup güvercinin infekte olma oranları arasındaki fark istatistiki olarak önemli midir?(=0.05)
Cevap 4.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P =0.58 ; 2P̂ =0.30 ; n1=n2=100
n1=n2 44.02
30.058.02
ˆˆ21
PPk
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 68.3
1001
1001)56.0)(44.0(
0)30.058.0(
H0 red edilir.Yani iki oran aynı
Değildir.Fark önemlidir.
Soru 5.
Pahalı bir malın kullanım oranını tespit etmek için gözlemler yapılmaktadır.Her ayın
muhtelif zamanlarında yapılan ani gözlemlerle bu malın kullanılıp kullanılmadığını (Z)
dağılışı yardımı ile oranların farklarının hipotez kontrolü ile test ediniz.
1̂P =0.77 ; n1=700 ; 2P̂ =0.22 ; n2=200
131
+1.96 -1.96
Cevap 5.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
65.0900
)22.0(200)77.0(700
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 47.14
2001
7001)35.0)(65.0(
0)22.077.0(
Sonuç olarak H0 red edilir.
İki oran farklıdır.
Soru 6.
İki ayrı hibrit çeşidinde yapılan çimlenme denemesinde (A) hibridinde 100 tohumun
82’si, (B) hibridinde ise 150 tohumdan 105’i çimlenmiştir.Acaba bu iki hibrit çeşidinin
çimlenme oranları istatistiki olarak farklı mıdır?(=0.01)
Cevap 6.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P =82/100=0.82 ; 2P̂ =105/150=0.70
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 748.0150100
)70.0(150)82.0(100
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 15.2
1501
1001)25.0)(75.0(
0)70.082.0(
132
+2.58 -2.58
+1.64 0.87
H0 kabul edilir.Oranlar aynıdır.
Soru 7.
Bir firmanın iki satış elemanının yaptığı satışlardan ötürü firma merkezine 1.satış
elemanının 270 satışı için 20 şikayet, 2.satış elemanının 180 satışı için 9 şikayet gelmiştir.Bu
verilere göre =0.05 hata payı ile 1’nci satıcıdan daha fazla şikayet geldiğini söyleyebilir
miyiz?
Cevap 7.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 > µ2 (İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P 07.027020
; 2P̂ 05.0180
9
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 062.0450
)05.0(180)07.0(270
n>30
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 87.0
1801
2701)0938.0)(062.0(
0)05.007.0(
H0 kabul edilir.İki satıcının şikayet oranları
aynıdır.
Soru 8.
A ve B şehirlerinden tesadüfi olarak seçilmiş 200 ve 250’şer seçmenlik örnekler
yardımı ile yapılan kamuoyu yoklamasında incelenen (A) örneği içinde (X) partisini
destekleyenlerin oranı %60 ; (B) örneği içinde (X) partisini destekleyenlerin oranı %52
133
+1.96 -1.96 1.7
bulunmuştur.Bu verilere dayanarak %5 anlamlık düzeyi için A ve B şehirlerindeki oranlar
arasındaki fark önemli midir?
Cevap 8.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P =0.60 ; 2P̂ =0.52
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 55.0450
)52.0(250)60.0(200
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 702.1
2501
2001)45.0)(55.0(
0)52.060.0(
H0 kabul edilir yani iki oran aynıdır.
Soru 9.
Texas’da yapılan bir araştırmaya göre sonbaharda doğan 1039 Ramboılye ırkı
kuzulardan 187’si ve 168 merinos ırkı kuzudan ise sadece 33’ü ölmüştür.Ramboılye ırkının
ölüm oranının Merinos ırkı ölüm oranından daha yüksek olduğu yolundaki hipotezi kontrol
ediniz.(=0.05)
Cevap9.
H0: µ1 - µ2 = 0(İki örnek oranı aynıdır.)
H1: µ1 - µ2 0(İki örnek oranı farklıdır.)
1̂P =187/1039=0.179 ; 2P̂ =33/168=0.196
21
2211ˆˆ
nnPnPn
k
= 18.01681039
)196.0(168)179.0(1039
134
+1.96 -1.96 0.5
21
2121
11)1)((
)()ˆˆ()(
nn
PPZTK
kk
= 54.0
1681
10391)82.0)(18.0(
0)196.0179.0(
H0 kabul edilir.İki oran aynıdır.
Soru 10.
Sığırlarda suni tohumlamadaki gebelik oranı ile tabii çiftleşme ile sağlanan gebelik
oranı arasında, tabii çiftleşme lehine %10 oranında bir fark olduğu bildirilmektedir. Bu
sürüdeki hayvanlardan suni tohumlama yapılan 165 hayvandan 132’si, tabii aşım yaptırılan 80
hayvandan 76’sı gebe kalmıştır. Tabii çiftleşmede sağlanan gebelik oranı suni tohumlamada
sağlanan gebelik oranından %10 daha fazla mıdır?(=0.01)’e göre test ediniz.
Soru 11.
Belli bir televizyon programını izleyen 400 kişilik orta yaşlı kimseden 100 kişi ve 600
kişilik gençler arasında ise 300 kişi programı beğenmektedir. Buna göre programı beğenmek
bakımından orta yaşlılar ve gençler arasında bir fark olup olmadığını %5 hata seviyesine göre
test ediniz.
135
12.6. GÜVEN ARALIKLARI
Soru 1.
Bir şehirde yapılan piyasa etüdüne göre 300 kişilik örnek içinde “A” marka diş
macunu kullananların oranı 0.22 olmuştur.%95’lik güven sınırlarını bulunuz.
Not: Örnek oranlarının örnekleme dağılışının standart hatası nqP ˆˆ
dir.
Cevap 1.
n
ZP cet)1(ˆ
1
n=300 ; 22.0ˆ P ; 96.1cetZ
04.022.0
300)78.0)(22.0(96.122.0
P(0.18 < < 0.26) = 0.95
Soru 2.
Bir yüksek okuldaki kız öğrenciler arasından şansa bağlı olarak seçilmiş 64 öğrencinin
boy uzunlukları ortalaması 162 cm ve standart sapmanın 4 cm olduğu görülmüştür.Okuldaki
kızların boy uzunluklarının ortalaması için %95 güven aralığını hesaplayınız.
Cevap 2.
n=64 ; X =162 cm. ; S=4 cm. ; =0.05
n
SZX c .
98.0162644.96.1162
P(161.02 < µ < 162.98)=0.95 (L1=162.98 ; L2=161.02
Soru 3.
Herhangi bir populasyonun ortalaması µ=70 varyansı 49 olsun. Bu populasyondan
çekilebilecek 16 birey için örneklerin ortalamaları %95 ihtimalle hangi değerler arasında
bulunacaktır?
136
Cevap 3.
µ=70 ; 2=49 ; =0.05
n
StX
nS
XtTK c
)(
73.370164913.270
P(66.27 < µ < 73.73) = 0.95
Soru 4.
Bir çay fabrikasının ürettiği çay paketlerinden rast gele alınan 5 kutunun ağırlığı sırası
ile (107, 103, 95, 92, 98) gram olmuştur.Bu fabrikada üretilen çay paketlerinin ortalama
ağırlığı için %95 güven sınırlarını hesaplayınız.
Not : 49151 ; 495 2 ixx
Cevap 4.
995
989295103105
X
5.365
)495(4915141 2
2
S
S= 04.62 S
n
StX
nS
XtTK c
)( tc=2.70
29.799504.670.299 S.D.=5-1=4
P(92.71 < µ < 106.29)=0.95 (L1=106.29 ; L2= 92.71)
Soru 5.
a) P(-2.13 < Z < -1.04)’ü hesaplayınız.
b) P(-1.19 < Z < -0.73)’ü hesaplayınız.
c) P(Z > -1.96)’yı hesaplayınız.
137
0.73 -1.96
P(-1.19 < Z< 0.73) = ?
-1.96
Cevap 5.
a) P(Z< -2.13) = P(Z>2.13)=0.0166
P(Z< -1.04) = P(Z>1.04)=0.1492
ve P(-2.13 < Z < -1.04) = 0.1492 – 0.016 = 0.1326
b) P(Z< -1.19)=0.1170 ve P(Z<0.73)=0.21770.1170+0.2177=0.40
c) P(Z > -1.96) =0.025 + 0.5 = 0.525
Soru 6.
Bir bölgede bulunan 15 yaşından büyük insanlardan 4000 kişi ile yapılan bir taramada
bu insanlardan 1200 kişinin sigara içtiği belirlenmiştir.Bu verilere göre bu bölgede bulunan
tüm 15 yaşından büyük insanlarda sigara içme oranının %95 güven sınırlarını belirleyiniz.
Cevap 6.
İçenlerin oranı = 30%3.040001200
1̂ P
n
ZP cet)1(ˆ
0142.030.0
4000)70.0)(30.0(96.130.0
L1=Altsınır=0.2858 ; L2=Üst Sınır=0.3142
Soru 7.
Bir buğday tarlasında örneklenen 16 bitkide gözlenen kardeş sayıları aşağıdaki
şekildedir.
Xi={7, 3, 2, 4, 5, 3, 2, 1, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 5}
Bu tarladaki ortalama kardeş sayısının =0.05 için güven aralığını bulunuz.
Not: 345 ; 67 2 ii xx
138
Cevap 7.
n= 16 ; X =67/16=4.18 ; 3.416
)67(345151 2
2
S
10.118.4
163.413.218.4
n
StX c
P(3.08 < µ < 5.28)=0.95
Soru 8.
Köy şartlarındaki 16 doğu kırmızısı ineğin sütlerinde süt şekeri % değerleri ölçülmüş
ve X =5.1 ve S2=11.6 bulunmuştur.Süt şekeri % değerlerinin normal dağılış gösterdiği
varsayılır ise; Doğu Kırmızısı populasyonu ortalamasının %95 güven sınırları hangi değerleri
alır.
Cevap 8.
n=16 ; X =5.1 ; S2=11.6 ; S=3.40
n
StX c =1640.313.21.5
P(3.3 < µ < 6.9)=0.95
Soru 9.
Bir bölgede yapılacak olan belediye seçimi için ön bir tahmin yapmak isteniyor ve bu
o bölgedeki bir başkan adayının seçimde alacağı oyu hesaplamak için 100 kişiden oluşan bir
örnek seçiliyor.Bu örnekte bu adaya %35 oy verildiğine göre %99 ihtimalle gerçek bir
seçimde bu adayın hangi aralıklarda oy alabileceğini söyleyebilir misiniz?
Cevap 9.
n
ZP cet)1(ˆ
12.035.0
100)65.0)(35.0(58.235.0
P(0.23 < < 0.47)=0.99
139
Soru 10.
Mısır silajındaki kuru maddenin koyun ve sığırdaki hazmolma katsayıları % olarak
aşağıdaki gibi olmuştur.
Koyun(X1) 57.8 56.2 61.9 54.4 53.6 56.4 53.2
Sığır(X2) 64.2 58.7 63.1 62.5 59.8 59.2 --
87.22535;41.22174 ;5.367;5.393 22
2121 xΣxxx
a) Hazmolma katsayıları koyun ve sığırlarda farklı mıdır?
b) Ortalamalar arasındaki farkın %95 güven sınırlarını bulunuz.
Cevap 10.
a) 21.567
5.3931 X ; 25.61
65.367
2 X
2
2
1
22121 )()(
)(
nS
nS
XXtTKkk
12.56
)5.367(87.2253551
01.97
)5.393(41.2217461
222
221
S
S
H0: µ1 - µ2 =0(Ana kitle ortalamaları farksızdır.)
H1: µ1 - µ2 0(Ana kitle ortalamaları farklıdır.)
2.72
).1().1(
21
222
2112
nn
SnSnSk
33.35.15
62.7
72.7
0)25.61()25.56()(
tTK
Sonuç olarak H0 red edilir.Yani koyun ve sığırda hazmolma dereceleri farklıdır.
b) 2
2
1
2
2121 )()(nS
nStXX kk
cet
tcet [0.05 ; 11 SD]=2.2’dir. O nedenle P(2.7 < [ µ1 - µ2 ]< 8.3)=0.95
Soru 11.
Bir okulda yapılan ankete göre 100 kişilik örnek içinde erkeklerin boy uzunluklarının
ortalaması 178.2 cm ve varyansı ise 35 cm olmuştur. Buna göre 100 kişilik örneğin çekildiği
ana kitlede erkeklerin boy uzunluğu ortalamasının %99’lik güven aralığı nedir?
140
Soru 12.
40 bitkinin boyları ölçülmüş varyansı (S2)=36 ortalaması 172.2 cm olarak
bulunmuştur.bu bitkilerin temsil ettiği populasyonun tümünün boy ortalaması %99 ihtimalle
hangi aralıklarda bulunur.
141
+2.78 -2.78
12.7. KORELASYON VE REGRESYON HESABI
Soru 1.
X ve Y değişkenlerine ait aşağıdaki gözlemler yardımı ile
a) En küçük kareler doğrusunu(regresyon denklemini) hesaplayınız.
b) Determinasyon katsayısını hesaplayınız.
c) ’nin sıfırdan farklı olmadığı hipotezini =0.05 hata payı ile test ediniz.
Y 8 3 7 6 1
X 2 9 3 8 3
Cevap 1.
a) x=25 ; y=25 ; xy=115 ; x2=167 ; y2=159
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
23.0
5)25(167
5)25)(25(115
2
Kuracağımız denklem Y=a + bx kesme noktasının değeri ise
85.3)5.(23.05 XbYa
Regresyon doğrusunun denklemi ; Y=3.85 + 0.23x ‘dir.
b)
nyy
nxx
nyxxy
22
22 )()(
))((
26.0
5)25(159
5)25(167
5)25)(25(115
22
Determinasyon katsayısı r2’ye eşittir.
DK=(0.26)2=0.07
c) H0: =0 ; H1: 0 ; SD=5-1=4 ; =0.05
47.0
25)26.0(1
26.0
21
)(22
nr
rtTK
tcet(0.05 ; 3 SD) = 2.78
Sonuç olarak =0 hipotezi kabul edilir.
142
Soru 2.
Aşağıda bitki yaşı ve saptaki kuru madde arasındaki ilişki verilmiştir.
82.325.41
14428
330
73.111
1136
883972
2
2
y
i
i
x
i
i
ii
SY
y
y
SXx
xyx
a) Bitiki yaşı ile kuru madde düzeyi arasındaki ilişkiyi regresyon denklemi ile ifade
ediniz.
b) Elde ettiğiniz denklemi kullanarak 22 haftalık yaşa sahip bitkilerin kuru madde
%’sinin ne olacağını tahmin ediniz.
c) Korelayon katsayısını bulunuz ve bulduğunuz değerleri yorumlayınız.
Cevap 2.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
03.2168342
8)88(1136
8)330)(88(3972
2
XbYa 86.1811).03.2(25.41 a
Y=18.86 + (2.03)X yani bitki yaşındaki bir birim değişim kuru maddede 2.035 katı
kadar değişim oluşturur.(+18.86 kadar dahil)
b) Y=18.86 + (2.035)(22)=63.63
c)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
924.0
1.370342
8)330(14428168
3422
İlişki pozitif olup kuvvetli bir ilişki vardır.
X Y
Yaş K.M.(% Top)
4 24
6 28
8 35
10 48
12 44
14 49
16 51
18 51
143
Soru 3.
X ve Y değerlerine ait aşağıdaki gözlemler yardımı ile;
a) Regresyon denkelemini kurunuz.
b) Korelasyon katsayısını hesaplyınız.
176 ; 167
117 ; 25 ; 2622
xy
xyyx
Cevap 3.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
31.0
5)26(176
5)25)(26(117
2
XbYa = 6.65265 b
Y=a + bx Y=6.6 – (0.31)X
b)
nyy
nxx
nyxxy
22
22 )()(
))((
31.0
5)25(167
5)26(117
5)25)(26(117
22
Soru 4.
Türkiye’nin 1961-70 yılları arasındaki buğday üretimi aşağıdaki gibi olmuştur.
5.49187
88.108303.3435990
854582900
91870285
45
2
2
XY
SS
yxy
yx
x
y
x
ii
i
i
Y 9 3 7 6 1 X 2 9 3 8 3
Yıllar(Xi) Üretim (x1000 ton)(Yi)
1961(0) 7000
1962(1) 8450
1963(2) 10000
1964(3) 8300
1965(4) 8500
1966(5) 9600
1967(6) 10000
1968(7) 9520
1969(8) 10500
1970(9) 10000
144
a) Regresyon denklemini kurunuz ve bu denklem yardımı ile artış temayülünün
değişmediğini farz ederek 1950 yılı ve 2000 yılına ait üretimi tahmin ediniz.
b) Korelasyon katsayısını hesaplayınız. Bulduğunuz değerin anlamını tartışınız.
Cevap 4.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
63.273
10)45(285
10)91870)(45(435990
2
XbYa =9187 – (273.6)(4.5)= 7955.8
Y= 7955.8 + 273(X)
2.18627)39)(6.273(8.7955392.4946)11)(6.273(8.795511
200
1950
YXYX
b) 76.0
10)91870(854582900)5.82(
22575
)()(
))((
222
22
nyy
nxx
nyxxy
r
İlişki pozitif ve yüksektir.
Soru 5.
Bir işletmenin yıllık reklam giderleri ve satış hasılatı son 5 yıl boyunca aşağıdaki gibi
olmuştur.(Milyar TL)
2250))((5004900
15055
15
2
2
yxxyy
yx
x
i
i
a) Regresyon denklemini kurunuz.
b) 1995’de 5 milyon TL reklam gideri planlandığına göre satış hasılatı kaç lira olur
tahmin ediniz.
c) Korelasyon katsayısını bulunuz.
Yıl Reklam Gideri(X) Satış Hasılatı(Y)
1988 2 25
1989 1 20
1990 5 35
1991 4 45
1992 3 25
145
Cevap 5.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
5
5)15(55
52250500
2
XbYa 15)3)(5(30
Y=15 + 5(X)
b) Y=15 + (5)(5)=40 milyar TL.
c) 79.0
5)150(4900)10(
50
)()(
))((
222
22
nyy
nxx
nyxxy
r
Soru 6.
Beş ailenin ortalama yıllık gelirleri ile yıllık seyahat harcamalarına ilişkin bir
araştırmanın sonuçları aşağıdaki gibidir.Yıllık gelirleri bağımsız değişken (X) ve yıllı seyahat
harcamasını bağımlı değişken (Y) olarak alıp, bu iki değişken arasındaki en küçük kareler
doğrusunu(regresyon denklemini) ve korelasyon katsayısını belirleyiniz.Yıllık geliri
1.000.000 TL olan bir ailenin yıllık seyahat harcamasının ne olması gerektiğini tahmin ediniz.
0.5Y10;X ; 65.1
550
1.285.2
50
2
2
i
i
y
x
xyyx
Cevap 6.
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
062.050
1.3
5)50(550
5)4.2)(50(1.28
2
TLYxX
XYXbYa
000.5010)062.0(12.0için 10000.000.1062.0)12.0(
12.010).062.0(5.0
Aileler Yıllık Gelir(Xi) (x1000.000)
Yıllık Seyahat Harcaması(Yi) (x100.000)
1 6 0.12 2 12 1.0 3 9 0.3 4 15 0.6 5 8 0.4
146
Soru 7.
Şeker pancarındaki ağırlıkla şeker yüzdesi arasında ilişki aranırken aşağıdaki değerler
bulunmuştur.Pancar ağırlığı ile şeker yüzdesi arasındaki regrasyon ve korelasyon katsayılarını
hesaplayınız Sonuçları yorumlayınız.
Ağırlık(Kg.) (X) 0.6 0.2 0.3 0.1 0.4 0.4 0.3 0.5
Şeker %’si (Y) 15 21 20 21 18 17 19 16
49 ;2737 ;16.1 ;147 ;8.2 22 iiii yxyxyx
Cevap 7.
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
6.13
8)8.2(16.1
8)147)(8.2(49
2
XbYa =18.4-(-13.6)(0.35)=23.6
Y=23.6 – 13.6(X)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
96.0
8)147(2737)018(
45.22
Sonuç olarak pozitif ve yüksek bir ilişki vardır.
Soru 8.
Bir kuş bilimci belli bir kuş türünün kanat uzunluğu ile bulunduğu enlem arasındaki
muhtemel ilişkiyi araştırmaktadır.Araştırıcının elde ettiği veriler aşağıdadır.
a) Regresyon denklemini kurunuz.
b) Korelasyon katsayısını bulunuz ve bulduğunuz değeri yorumlayınız.
147
Örnek Xi(enlem derece kuzey) Yi(Kanat uzunluğu) XiYi 1 25 132 3300 2 25 131 3275 3 25 128 3200 4 30 138 4140 5 30 139 4170 6 35 146 5110 7 35 147 5145 8 35 143 5005 9 40 149 5960
10 40 154 6160 11 40 151 6040 12 45 155 6975 13 45 158 7110 14 45 154 6930 15 45 155 3975
79495;33.145;318156;2180;36;20250;540;15 22 iiiiii yxYyyXxxn
Cevap 8.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
253.1
15)540(20250
15)2180)(540(79495
2
XbYa =145.33 – (1.253)(36)=100.225
Y=100.225 + 1.253(X)
b)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
978.0
15)2180(318156)810(
10152
Pozitif ve yüksek bir ilişki söz konusudur.
Soru 9.
Memeli hayvanlar üzerinde çalışan bir yüksek lisans öğrencisi tarla farelerinin orta
kulak kemiği uzunluğu ile kafatası uzunluğu arasında muhtemel bir korelasyonu
araştırmaktadır.10 gözleme ilişkin sonuçlar aşağıdadır.
148
35.356015.13
27.1730
5.13106.27
3.7327
6.270
2
2
ii
i
i
i
i
yxY
y
yX
x
x
a) Regresyon denklemini kurunuz
b) Korelasyon katsayısını hesaplayınız.
Cevap 9.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
353.0
10)6.270(7327
10)5.131)(6.270(15.3560
2
XbYa =13.15 – (0.353)(27.06)=3.6
Y=3.6 + (0.353)(X)
b)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
01.1
10)5.131(27.1730)86.4
1962
Arada kuvvetli bir ilişki vardır.
Soru 10.
Bir tarlanın 6-20 cm’lik üst tabaksından alınan 9 numunede % kireç ve fosfor(ppm)
miktarı ölçülmüştür.
Xi(% Kireç 3.27 3.50 4.68 3.23 2.26 3.80 4.50 3.73 4.03 33 Yi[Fosfor(ppm)] 7.70 13.8 20.72 19.3 6.13 15.1 12.25 10.1 24.2 129.3
32.494;095.6;36.14;89.2154;727.0;66.3;229.125 22 iiyixi yxSYySXx
Bu iki özellik arasında bir korelasyon olup olmadığını belirtiniz ve önem testini
yapınız.
Gözlem Kafatası Kemiği Uzunluğu(Xi)
Orta Kulak Kemiği Uzunluğu(Yi)
1 26.2 12.9 2 26.4 12.6 3 27.2 13.3 4 26.8 13.2 5 28.1 13.6 6 26.5 13.1 7 26.2 12.7 8 27.6 13.5 9 28.0 13.5 10 27.6 13.1
149
Cevap 10.
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
55.0
9)5.129(2154
9)33(23.125
9)5.129)(33(32.494
22
H0: = 0 (Ana kitle korelasyon katsayısı sıfırdır.Yani ana kitlede ilişki yoktur.
H1: 0 (Ana kitle korelasyon katsayısı sıfırdan farklıdır.)
75.2
29)55.0(1
055.0
21
)(22
nr
rtTK tc[0.05 ; 8 SD]= 2.31
Sonuç olarak ana kitlede ilişki olmadığı yolundaki H0 hipotezi red edilir.
Soru 11.
Aşağıdaki hellim peyniri örneklerine ilişkin kuru madde oranı (X) ile protein oranı (Y)
değer çiftleri verilmiştir.
Bu veriler yardımı ile
a) Regresyon denklemini kurunuz.
b) Korelasyon katsayısını hesaplayınız.
Xi 56 48 60 90 ......... 58.49 Yi 20.28 23.92 20.86 20.40 ......... 22.777
29.3;82.3;94.23;74.60;1964.27833;6.11137;89.70376;94.454;12.1154 22
yx
iiiiii
SSYXnyxyxyx
Cevap 11.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
75.0
19)12.1154(8.70376
19)9.454)(1.1154(6.27800
2
XbYa =23.94 – (0.75)(60.7) = -21.58
Y= -21.58 – (0.75)(X)
150
+3.36
b)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
77.0
19)94.454(68.111379.271
2022
Soru 12.
Bir grup öğrencinin matematik ve istatistik derslerinden aldıkları notlar aşağıdaki
gibidir.
Matematik(Xi) 82 65 53 27 69 81 79 66 88 39 İstatistik(Yi) 75 65 51 30 60 75 71 67 80 70
43904 ;43406 ;45671 ;644 ;649 22 iiiiii yxyxyx
a) Regresyon denklemini kurunuz.
b) Korelasyon katsayısını hesaplayarak önem kontrolünü yapınız.
Cevap 12.
a)
nxx
nyxxy
b2
2 )(
))((
59.09.35504.2108
10)649(45671
10)644)(649(43904
2
XbYa =64.4 – (0.59)(64.9) = 25.85
Y = 25.83 + (0.59)(X)
b)
nyy
nxx
nyxxy
r2
22
2 )()(
))((
805.0
10)644(434069.3550
4.21082
H0 : =0 ; H1: 0
79.3
210)805.0(1
0805.0
21
)(22
nr
rtTK
tcet[0.01 ; 8 SD ] = 3.36
Sonuç olarak H0 red edilir.
151
Soru 13.
Belli bir ürünün yıllara göre üretim miktarı (X) ile birim başına düzeltilmiş fiyat (Y)
arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.
Yıl Üretim Miktarı Fiyat Üretim(X) x Fiyat(Y) X1 X1
2 (X1-X)2 Y1 Y12 (Y1-Y)2 XY (X1-X)(Y1-Y)
1989 73 5329 4.84 18 324 0.0009 1314 -0.066 1990 79 6241 14.44 20 400 4.121 1580 7.714 1991 80 6400 23.04 17.8 316.84 0.0289 1424 0.816 1992 69 4761 38.44 21.4 457.96 11.76 1476.6 -21.266 1993 66 4356 84.64 21.6 466.56 13.1769 1425.6 -33.396 1994 75 5625 0.04 15 225 8.8209 1125 0.594 1995 78 6084 7.84 14.4 207.36 12.745 1123.2 -9.996 1996 74 5476 1.44 17.8 316.84 0.0289 1317.2 0.204 1997 74 5476 1.44 19.6 384.6 2.657 1450.4 1.956 1998 84 7056 77.44 14.1 198.81 14.97 1184.4 -34.056 752 56804 253.6 179.7 3297.53 68.32 13420.4 -87.496
a) Serpilme diyagramını çiziniz.
b) Üretim değişkeninin varyansını bulunuz. ?)( 2 X
c) Fiyat değişkeninin varyansını bulunuz. ?)( 2 Y
d) Regresyon denklemini bulunuz ve sonucu yorumlayınız.
e) Korelasyon katsayısını bulunuz ve sonucu yorumlayınız.
f) Sb=0.1298 ve Sr=0.25 olduğuna göre bulunan (b) katsayısı ile (r) katsayısına ilişkin
hipotez kontrollerini yapınız.
Soru 14.
Bir yetiştirme yurdunda 8 çocuğun yaşı ve psikiyatrik tedavi görme sayıları aşağıdaki
gibidir.
Yaşlar(Xi) 1 3 4 6 8 9 11 14 Tedavi Sayısı(Yi) 1 2 4 4 5 7 8 9 XY 1 6 16 24 40 63 88 126
2iX 1 9 15 36 64 81 121 196 2
iY 1 4 16 16 25 49 64 81
Not : 545.2)ˆ( YYi
a) En küçük kareler doğrusal regresyonu modelini kurunuz.
b) Korelasyon katsayısını bulunuz ve %1 önem seviyesinde test ediniz.
c) Determinasyon katsayısını bularak yorumlayınız.
152
+3.11 -3.11 0.535
12.8. EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER
Soru 1.
12 asmada bazı sürgünler 3, bazıları 4 göz üzerinden budanmıştır. 3 ve 4 göz
üzerinden budanan sürgünlerden elde edilen yaş üzüm miktarları aşağıdaki
gibidir.Aralarındaki fark önemli midir?(Eşleştirilmiş gözlemler yaklaşımını kullanınız.)
Asmalar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x x2 3 Göz 4.4 6.2 6.6 5.3 4.1 3.7 6.4 7.0 4.0 3.8 3.5 4.7 59.7 314.69 4 Göz 4.6 6.0 6.0 6.4 4.0 4.0 6.2 8.1 3.7 3.4 3.0 5.4 60.8 333.58 Fark(di) 0.2 -0.2 -0.6 1.1 -0.1 0.3 -0.2 1.1 -0.3 -0.4 -0.5 0.7 1.1 3.99
Cevap 1.
ndd i
i 092.012
1.1 ;
ndd
nS i
id
222 )(
11 35.0
12)1.1(99.3
1121 2
H0: 0D (Gözler arasında farklılık yoktur.)
H1: 0D (Gözler arasında farklılık vardır)
n<30dSDdtTK
)( 535.0
1235.0
0)092.0(
tcet[0.01 ; 11]=3.11 H0 kabul edilir .Gözlemler arasında hiçbir farklılık yoktur. Soru 2.
Hubbard erkek civcivlerinde [Lisin + Vitkir] ve normal yemde beslenmenin
karşılaştırılması için aynı yaşta civcivler eşleştirilmiş eşlerin oluşturduğu her grup aynı yem
ile beslenmiştir.52 gün sonraki ağırlıkları aşağıdadır.Bu iki tür yemi bir biri ile karşılaştırınız.
Kafes No 1 2 3 4 5 6 7 Lisin+Vitkin 1.5 1.3 1.2 1.0 1.2 1.0 1.4 Normal 1.2 1.1 1.1 1.0 1.0 0.8 0.9 Fark(di) 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.2 0.5 1.5
153
-1.96 1.96
-2.2 2.2
Cevap 2.
nd
d ii 1.5/7=0.214 ; 2
id 0.47
ndd
nS i
id
222 )(
11 025.0
7)5.1()47.0(
61 2
H0: D = 0 (yemler arasında fark yoktur.)
H1: D 0 (yemler arasında fark vardır.)
n<30 dSDdtTK
)( = 28.4
7)025.0(0)214.0(
tcet[0.01 ; 6 ]=2.45
H0 red edilir.Yemler arasında fark vardır.
Soru 3.
Bir sürüden seçilen 12 koyunun birinci ve ikinci kırkımdan verdikleri yapağı
miktarları (kg) olarak aşağıdaki gibidir.
Koyun No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I.Kırkım 1.5 1.6 1.6 1.8 2.0 2.1 1.9 1.8 1.9 2.1 1.8 1.5 21.6 II.Kırkım 1.6 1.8 1.9 2.0 2.4 2.3 1.9 2.0 2.1 2.3 1.8 1.9 24.0 Fark(di) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.4 0.2 0.0 0.2 0.2 0.0 0.0 0.4 2.4 Buna göre eşleştirilmiş gözlemler yaklaşımını kullanarak birinci ve ikinci kırkım
verimlerinin birbirinden istatistik olarak farklı olup olmadığını test ediniz.
Cevap 3.
H0: D = 0 (kırkımlar farklı değildir)
H1: D 0 (kırkımlar farklıdır)
nd
d ii 2.4/12=0.2
ndd
nS i
id
222 )(
11 376.0
12)4.2(62.4
1121 2
n<30 dSDdtTK
)( = 12.1
12)376.0(
2.0
H0 kabul.Fark önemli değildir.(=0.05)
154
-3.25 3.25
Soru 4.
Belli bir ilacın tansiyona etkisini denemek üzere 10 hastada ilacın verilmesinden önce
ve sonraki kan basınçları aşağıda verilmiştir. Eş yapma tekniği ile ilacın etkisiz olduğu
yolundaki hipotezi test ediniz.
Birey İlaç Öncesi İlaç Sonrası Fark(di) 1 142.0 119.5 22.3 2 130.3 113.0 17.3 3 120.7 100.6 26.1 4 160.5 140.3 20.2 5 128.9 109.9 19.0 6 147.8 117.9 29.9 7 152.0 121.4 30.6 8 135.6 114.4 21.2 9 164.2 137.9 26.3 10 139.1 116.3 22.8
Ortalama 142.71 119.12 23.59 9235 ; 1.57472 . ΣΣd ii
Cevap 4.
H0: D = 0(İlacın etkisi yoktur.)
H1: D 0(İlacın etkisi vardır.)
ndd
nS i
id
222 )(
11 25.20
10)9.235(1.5747
1101 2
n<30 dSDdtTK
)( = 61.16
10)25.20(
59.23
n
SSd
2
H0 red.İlaç etkili olmuştur.(=0.01)
Soru 5.
Bir ay süre ile yalnız samanla beslenen 4 yaşlı dokuz adet karaman koyununun
denemeden önceki ve sonraki ağırlıkları ile bunlar arasındaki farklar aşağıda verilmiştir.Buna
göre bir ay yalnız samanla beslenmenin ağırlıkta önemli bir azalmaya sebep olup olmadığını
test ediniz.
155
-2.31 2.31
Hayvanlar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Önceki Ağırlık(kg) 46 45 48 45 50 49 47 51 44 425 Sonraki Ağırlık(kg) 42 42 49 41 50 46 45 46 40 401 Fark(di) 4 3 -1 4 0 3 2 5 4 24
2id 16 9 1 16 0 9 4 25 16 96
Cevap 5.
H0: D = 0 (Ağırlıklar farksızdır.)
H1: D 0 (Ağırlıklar farklıdır.)
nd
d ii 24/9=2.7 ;
ndd
nS i
id
222 )(
11 4
9)24(96
81 2
dSDdtTK
)( = 09.4
94
)7.2(
H0 red edilir.(=0.05 ; SD=8)
Soru 6.
Aşağıda 12 ayrı deneme istasyonunda iki çeşidin verimine ilişkin sonuçlar
sunulmuştur. Çeşitlerin verimlerinin farklı olup olmadığını eşleştirilmiş gözlemler yöntemi ile
karşılaştırınız.(=0.05).
Not : 5.148 ; 4.35 2 ii dd
İstasyon 1.Çeşit 2.Çeşit Fark(di) 1 21.4 17.6 3.8 2 20.9 15 5.9 3 23.2 21.7 1.5 4 19.8 18.1 1.7 5 23.1 21.5 1.6 6 18.9 13.6 5.3 7 25.6 24.7 0.9 8 28.7 27.9 0.8 9 26.2 25.2 1
10 22.7 19.1 3.6 11 37 33.9 3.1 12 31.5 25.3 6.2
Soru 7.
9 adet 6x10 ebatlı kalasa ait mukavemet katsayıları ahşaplar fırınlanmadan önce ve
fırınlandıktan sonra aşağıdaki gibi bulunmuştur. Eşleştirilmiş gözlemler deneme tekniğini
kullanarak fırınlamanın kalaslarda mukavemeti arttırıp arttırmadığını test ediniz.(=0.05)
156
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 2ix
F. önce 1.2 1.5 1.7 1.4 1.6 1.5 1.8 1.9 1.7 14.3 23.09 F. sonra 1.1 1.4 1.3 1.4 1.7 1.5 1.9 1.7 1.5 13.5 20.71 Fark (di) 0.1 0.1 0.4 0 -0.1 0 -0.1 0.2 0.2 0.8
2id 0.01 0.01 0.16 0 0.01 0 0.1 0.04 0.04 0.28
157
-2.26 2.26 -0.9
12.9. GRUP KARŞILAŞTIRMALARI
Soru 1.
Topan ve Halkapınar patlıcan parsellerinden alınan örneklerde meyve ağırlıkları
aşağıdaki gibi olçülmüştür.
Topan için = { 3, 3.5, 4, 4.2, 2}
82.0 ;3.3 ;59 ;7.16 ;5 21
2111 1
xSXxxn
Halkapınar için= { 4, 5, 3.2, 2.8, 4, 4.3}
80.0 ;38 ;94 ;3.23 ;6 22
2222 2
xSXxxn
Buna göre Topan ve Halkapınar patlıcanları parsel verim ortalamalarının birbirinden
farklı olup olmadığını kontrol ediniz.(=0.05)
Cevap 1.
H0: µ1 = µ2(Her iki ortalama arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(İki ortalama farklıdır.)
n<30
21
2
2121
2
22
1
21
2121
11
)()()(
nnS
XXveya
nS
nS
XXtTK
p
80.09
8.0582.042
11
21
222
2112
nn
SnSnS p
SD=(n1 – 1)+(n2 – 1)=6+5-2=9
90.0
61
5180.0
0)8.3()3.3()(
tTK
H0 kabul edilir.Ortalamalar arasında fark yoktur.
Soru 2.
Bir sınıftan rast gele seçilen 12 kız ve 20 erkek öğrencinin istatistik dersinden aldıkları
not ortalaması sırası ile (77) ve (82) olmuştur.Bu örneklerin standart sapması da sıra ile (4) ve
(5) olmuştur.Her iki öğrenci grubunun not ortalamaları arasındaki farklılığın istatistiki olarak
önemli olup olmadığını kontrol ediniz.
158
-2.04 2.04
-2.18 2.18
Cevap 2.
2
)2()1(
21
222
2112
nnSnSnS p
7.2130
519411 22
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
94.2
201
1217.21
08277
H0 red edilr.Ortalamalar birbirinden
Farklıdır.(=0.05)
Soru 3.
Bir yörede uzun süredir yetiştirilmekte olan (A) varyeteleri yerine (B) varyetesini
güvenle tavsiye edebilmek üzere yöreyi temsil edecek şekilde tarla seçilmiş ve 14 parsele
ayrılmıştır.Bunların restgele 7’sine (A) diğer 7’sine (B) varyetesi ekilmiştir.Bütün parseller
aynı şekilde sürülmüş, gübrelenmiş ve korunmuştur.Her parsel ayrı ayrı hasat edilerek elde
edilen verimler kaydedilmiş ve aşağıdaki sonuçlar alınmıştır.Bu sonuçlara göre (A)
varyetesinin (B)’den istatistiki olarak üstün olup olmadığını test ediniz.(=0.05)
A varyetesi B varyetesi 2351 X kg/da 2482 X kg/da
n1=7 n2=7 28.1892
1 S 52.21922 S
Cevap 3.
2
)2()1(
21
222
2112
nnSnSn
S p 4.204
1252.219628.1896
H0: µ1 = µ2(Her iki ortalama arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(İki ortalama farklıdır.)
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
37.6
71
714.204
235248
221 nnSD
H1 kabul.Ortalamalar arsında fark vardır.
B varyetesi üstündür.
159
-2.05 2.05
SORU 4.
Bir deneysel matematik dersi programı için kabiliyetleri eşit olan 15’er kişilik 2 grub
öğrenci seçilerek bunlardan birine yeni, diğerine standart metodlar tatbik edilmiştir. Program
sonucunda her iki gruba uygulanan test sonucunda deneysel grup not ortalaması 1X 78 ve
standart sapma 3.5 olmuştur.Kontrol grubunda ise not ortalaması 2X 75 ve standart sapma
2.8 olarak gözlenmiştir.Diğer değişkenlerin sabit tutulduğu varsayımı altında iki grup
ortalaması arasındaki farkın istatistiksel önem taşımadığı hipotezini =0.01 anlamlık
düzeyinde test ediniz.
CEVAP 4.
2
)2()1(
21
222
2112
nnSnSn
S p
04.1028
8.215.31 22
21
nn
n<30
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p 75.2
151
15104.10
7578
221 nnSD =28
H0 red.Muameleler arasındaki fark önemlidir.
Soru 5.
Çernobil faciasından sonra Kapıkule çevresinde 12 inekten alınan sütlerde ortalama 1
milirem (S=2) ve Bursa çevresindeki 8 inekten alınan sütlerde ise ortalama 5 milirem (S=2.5)
düzeyinde radyasyona rastlanmıştır.Bu iki bölge sütlerinin radyasyon düzeyi açısından farklı
olup olmadığını %5 anlamlılık sınırında test ediniz.
Cevap 5.
2
)2()1(
21
222
2112
nnSnSn
S p 875.4
281225.6184112
Kapıkule Bursa n1=12 n2=8
1X 10 2X 5 S1=2 S2=2.5
160
-2.10 2.10
-2.06 2.06
0.025 0.025
n<30
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
96.4
007.15
81
12178.4
0510
H0 red edilir.H1: µ1 µ2 muameleler birbirinden
farklıdır.
Soru 6.
İki ayrı imalatçıdan alınan elektronik tüplerin dayanıklılıkları ölçülmüştür.Buna göre
(A) marka 12 tüpün ortalama 500 saat (S=80sa.) ve (B) marka 15 tüpün ise ortalama 525 saat
(S=100 sa.) dayandığı belirlenmiştir.Markalar arasında dayanıklılık bakımından bir fark olup
olmadığını kontrol ediniz.
Cevap 6.
H0: µ1 = µ2(Her iki marka arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(Markaların dayanma süreleri farklıdır.)
2
)2()1(
21
222
2112
nnSnSn
S p 8416
21512100148011 22
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
68.07.36
25
151
12175.91
525500
H0 kabul dayanıklılık açısından ortalamalar
arasında fark yoktur.
Soru 7.
Fakültemizde yapılan bir araştırmaya göre çiğ sütten ve pastörize sütten yapılan tulum
peynirlerinin yağ oranları aşağıdaki gibi bulunmuştur.
161
-2.45 2.45
Çiğ Sütten Yapılan Tulum Pastörize Sütten Yapılan Tulum % Yağ % Yağ 22.50 20.50 27.50 26.00 28.50 26.00 29.50 27.50
x1=107.5 x2=100
1X 26.87; 2X 25 ; 08.3 ;98.2 ;5.2528 ;75.291321
22
21 xx SSxx
Acaba bu iki yönteme göre yapılan tulum peynirlerinin ortalama % yağ düzeyleri
arasındaki fark önemli midir?
Cevap 7.
H0: µ1 = µ2(Her iki ortalama arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(İki ortalama farklıdır.)
18.9
208.398.2
2
2222
212
21
SSSnn p
n<30
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
87.014.2
875.1
41
4118.9
0)25()87.26(
221 nnSD =6
H0 kabul edilir.Muameleler arasında fark yoktur.
Soru 8.
Aşağıda iki ayrı firmaya ait üretilen mallardan alınan örnekler verilmiştir. Bu
firmaların ürettikleri malların ortalamaları arasında bir fark bulunup bulunmadığı hipotezini
=0.01 hata payı ile test ediniz.
I.Örnek X1={5, 3, 6, 8, 7, 6} ; 1X 5.83 ; 1x 35 ; 21x 219
II.Örnek X2={7, 6, 7, 8, 9, 8} ; 2X 7.5 ; 2x 45; 22x 343
162
-3.17 3.17
-2.18 2.18
Cevap 8.
38.22
8.196.2
83.16)45(343
51
96.26)35(219
51
2
222
221
pS
S
S
89.188.067.1
61
6138.2
083.55.7)(
tTK
221 nnSD =10
H0 kabul ortalamalar arasında fark yoktur.
Soru 9.
Koyunlarda yapılan bir besleme derecesinde 2 yeni rasyon karşılaştırılmıştır.Elde
edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
A Rasyonu 34 36 28 24 29 31 36 1X 31.14 21x 20.14
B Rasyonu 36 31 24 37 24 31 37 2X 31.42 22x 32.2
=0.05 hata seviyesinde iki rasyonun etkisinin farksız olduğu yolundaki hipotezi test
ediniz.
Cevap 9.
H0: µ1 = µ2(Her iki ortalama arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(İki ortalama farklıdır.)
2
22
212 SSS p
17.26
22.3214.20
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
10.0
71
7117.26
042.3114.31
221 nnSD =7+7-2=12
H0 kabul.A rasyonu ile B rasyonu
arasında fark yoktur.
163
-2.07 2.07
Soru 10.
Aşağıda 12 farklı deneme istasyonunda yetiştirilen iki farklı buğday varyetesine ait
verimler gösterilmiştir.Her iki varyeteye ait verim kabiliyetlerinin farksız olduğu şeklindeki
µ1 = µ2 hipotezini =0.05 de test ediniz.
İst. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi iX 2ix
I.Var 21.4 20.9 23.2 19.8 23.1 18.9 25.6 28 26 22 37 31 296.9 24.74 7645.23 II.Var 17.6 15 21.7 18.1 21.5 13.6 24.7 27 25 19 33 25 261.2 21.76 6019.56
Cevap 10.
H0: µ1 = µ2(Her iki ortalama arasında fark yoktur.)
H1: µ1 µ2(İki ortalama farklıdır.)
37.30
122.26156.6019
111
22.2712
)9.296(23.7645111
222
221
S
S
2
22
212 SSS p
= 8.282
37.3022.27
21
2
121
11
2)(
nnS
XXtTK
p
36.1
121
121)8.28(
076.2174.24
221 nnSD =12+12-2=22
H0 kabul.Varyetelerin verim kabiliyetleri
farksızdır.
Soru 11.
Bir araştırıcı kalp krizi geçiren n1=37 erkek ile sağlıklı kişilerden oluşan n2=32 kişilik
kontrol gruplarındaki serum fosfolipitlerini incelemiştir.Fosfolipitlerindeki oleik yağ asidi
%’lerinin ortalama değerleri ve standart sapmaları aşağıdaki gibi bulunmuştur.Acaba
hastalardaki ortalama sağlamlardan önemli derecede yüksek midir?
Hastalarda Kontrolde 7.12X 3.12X
S=1.7 S=1.7
164
-1.96 1.96 1.05
Cevap 11.
H0: µ1=µ2
H1: µ1µ2
89.223237
89.213289.21372
pS
05.1
321
37189.2
03.127.12)(
ZTK
H0 kabul.Hastaların ortalaması
sağlamlardan yüksek değildir.
Soru 12.
Standart bir buğday çeşidi ile yeni bir buğday çeşidini karşılaştırmak için yapılan
denemede aşağıdaki veriler elde edilmiştir.
x x2 Xort
Standart Çeşit 2.2 1.9 1.8 2.1 2.1 1.7 2.3 2.0 1.7 2.2 20 40.4 2.0 Yeni Çeşit 2.5 2.1 2.4 2.0 2.6 2.3 2.7 1.8 1.8 2.5 24.9 72.4 2.49 Bu iki çeşidin istatistiki olarak verimlerinin farklı olup olmadığını inceleyiniz.(=0.01)
Soru 13.
Meyve toplama zamanının meyve muhafazası üzerine etkisi araştırılmaktadır. Öteden
beri uygulanan standart meyve toplama zamanında toplanan 6 elmanın 4 aylık depolama
sonucu 8’i bozulmuştur. Bu yöntemden 1 hafta erken toplanan 40 elmanın ise 4 aylık
muhafaza süresi sonunda 5’i bozulmuştur. Acaba bu iki farklı zamanda toplanan meyvelerin
bozulma oranları farklı mıdır?(=0.05)
165
0.22 6.64
12.10. 2 TESTİ İLE İLGİLİ SORULAR
Soru 1.
300 kişilik bir örneğin incelenmesi ile cinsiyet ve bir malın kullanılması ile ilgili
aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.=0.01 anlamlılık düzeyi için malın kullanımının
cinsiyetten bağımsız olduğu hipotezini test ediniz.
Kullanan Kullanmayan
Erkek 50 70 120
Kadın 80 100 180
130 170 300
Cevap 1.
Beklenen değerler ;
Kullanan Kullanmayan
Erkek 52 68
Kadın 78 102
Beklenen değerler 1.sıra 1.sütun için(50 için) 52
. .1 ..1
ToplamGenelTopSütunxTopSat
70 için = 68300
120170
x ; 100 İçin = 102300
180170
x ; 80 için = 78300
130180
x
BeklenenBeklenenGözlenen 2
2 = 2265.0102
10210078
788068
687052
5250 2222
H0 kabul.Cinsiyet ve malın kullanımı birbirinden
bağımsızdır.
SD=(Sıra – 1) x (Sütun – 1)=(2 – 1)x(2 – 1)=1
166
7.81
Soru 2.
Bir üniversite idaresi öğrencilerin başarı durumları ve geldikleri yörelere göre tabloda
belirtilen şekilde sınıflandırma yapmıştır.Bu sonuçlara göre başarı faktörünün yöreden
bağımsız olduğu hipotezini =0.05 için test ediniz.
Kuzey Güney Doğu Batı Başarılı 550 450 430 1070 2500 Başarısız 150 100 200 50 500
700 550 630 1120 3000
Cevap 2.
Beklenen Değerler
Kuzey Güney Doğu Batı
Başarılı 583.3 458.3 52.5 933.3
Başarısız 116.6 91.6 105 186.6
Beklenen Değer(1.sat-1.süt)=
ToplamGenel
tosütxtopsat
..1..1
4.235
6.1866.18650............
3.5833.583550 222
2
BBG
H0 red olunur.Yöre ile başarı durumu
bağımlıdır.SD=(2-1)x(4-1)=3
Soru 3.
A ve B ilaçları bir yaprak biti türüne karşı kullanılmış ve aşağıdaki sonuçlar elde
edilmiştir.Ölü canlı sayısı kullanılan ilaçlara bağlı mıdır?
Netice/İlaçlar Ölü Canlı A 88 15 103 B 68 20 88 156 35 191
167
3.84 2.12
Cevap 3.
Beklenenler;
Ölü Canlı A 84.1 18.87 B 71.8 16.1
H0 : Netice ile ilaçlar bağımsızdır.
H1 : Netice ile ilaçlar birbirine bağımlıdır.
12.21.16
1.1620...............1.84
1.8488 222
H0 kabul edilir.İlaç ile ölüm oranları
birbirinden bağımsızdır.
Soru 4.
Meslek yüksekokulunun 2 bölümünden sigara içen ve içmeyenlerin dağılımı aşağıdaki
gibidir.Buna göre sigara içme oranı bölümlere göre değişmekte midir?(=0.05)
Bölümler
Alışkanlık İşletme Muhasebe
Sigara İçen 20 30 50
Sigara İçmeyen 60 50 110
80 80 160
Cevap 4.
Beklenen Değerler
Bölümler
Alışkanlık İşletme Muhasebe
Sigara İçen 25 25 Sigara İçmeyen 55 55
BBG 2
2 = 18.255
555055
556025
253025
2520 2222
H0: Bölümler ile içip içmeme bağımsızdır.
168
3.84 2.18
7.82 3.96
H1: Bölümler ile içip içmeme bağımlıdır.
2cet(0.05;1 SD)=3.84
H0 kabul. Bölüm ile içip içmeme
değişmez.
Soru 5.
Bir fabrika 6 saat üzerinden günde 4 vardiya olarak çalışmaktadır.Vardiyalar arasında
verimlilik farkı bulunup bulunmadığını ölçmek için vardiya tesadüfi olarak seçilmiş eşit
sayıda birimler arasından gözlenen kusurlu birim sayısı aşağıdaki gibidir.Vardiyalar arasında
kusurlu ürün oranı bakımından bir fark bulunup bulunmadığını =0.05 anlamlılık düzeyi için
test ediniz.
I.Vardiya II.Vardiya III.Vardiya IV.Vardiya
Kusurlu Ürün Sayısı 6 5 10 12
Cevap 5.
I.Vardiya II.Vardiya III.Vardiya IV.Vardiya
Gözlenen 6 5 10 12
Beklenen 8.25 8.25 8.25 8.25
Beklenen Değer = 25.84
33
nx
BBG 2
2 = 96.325.875.32
H0 kabul.Vardiyalar bağımsızdır.
169
5.99 4.84
Soru 6.
Üç ayrı bölümün aynı dersten yapıldıkları sınav sonuçları aşağıda verilmiştir.
Bölümler/Durum A B C
Geçen 50 47 56 153
Kalan 5 14 8 27
55 61 64 180
Bu üç başarı düzeylerinin farklı olup olmadığını 2 ile kontrol ediniz.(=0.05)
Cevap 6.
H0: Bölümlerle geçme durumu arasında ilişki yoktur.
H1: Bölümlerle geçme durumu arasında ilişki vardır.
Beklenen değerler;
Bölümler/Durum A B C
Geçen 45.75 51.85 54.4
Kalan 8.25 9.15 9.6
BBG 2
2 = 84.46.96.98.......
75.4675.4650 22
2cet [0.05 ; 2 SD]=5.99
H0 kabul. İki durum
birbirinden bağımsızdır.
Soru 7.
Yapılan bir anket sonucunda bir televizyon programını seyredenlerin çoğunluğunun
genç olup olmadığı hakkında bilgi toplanmaktadır.Şansa bağlı olarak seçilen 300 kişi ile
yapılan anket sonuçları aşağıdaki gibidir.Bu sonuçlara dayanarak yaş faktörünün programın
izlenmesinde önemli olduğu hipotezini =0.05 ve 0.01 hata payları test ediniz.
170
3.84 2.77
6.64 2.77
Yaş
Seyir 20 Yaş
Altı 20 Yaş Üstü
İzliyor 75 45 120 İzlemiyor 95 85 180 170 130 300
Cevap 7.
Beklenen değerler;
Yaş
Seyir 20 Yaş
Altı 20 Yaş Üstü
İzliyor 68 52 İzlemiyor 102 78
BBG 2
2 = 77.278
7885...............68
6875 22
H0: Yaş seyretme bağımsızdır.
H1: Yaş ile seyretme ilgilidir.
0.05
H0 kabul.Seyretme ile yaş bağımlı değildir.
Soru 8.
Merinos koyunlardan doğan 50 kuzunun cinsiyetlerine göre yaşama durumları
aşağıdaki gibidir.
Yaşama Cinsiyet Ölü Canlı
Dişi 7 13 20 Erkek 3 27 30
10 40 50 Cinsiyetle yaşama durumu arasında bir ilişki bulunup bulunmadığını araştırınız.
171
6.64 4.68
5.99 1.04
Cevap 8.
Beklenenler ;
Yaşama Cinsiyet Ölü Canlı
Dişi 4 16 Erkek 6 24
BBG 2
2 = 68.424
2427................447 22
H0: Faktörler bağımsızdır.
H1: Faktörler bağımlıdır.
2cet [0.01 ; 1 SD]=6.64
H0 kabul.Cinsiyet ile ölüm bağımsızdır.
Soru 9.
Bir bitki fizyoloğu üç farklı türün %0.2’lik tuz solusyonunda çimlenme özellikleri
hakkında bir deneme yürütmüş ve bu maksatla her türden 100 tohumu test etmiştir.Elde edilen
sonuçlar aşağıda verilmiştir.
Türler Çimlenen Çimlenmeyen A 87 13 100 B 83 17 100 C 82 18 100 252 48 300
Her üç türde çimlenme oranının aynı olup olmadığı yolundaki hipotezi test ediniz.
Cevap 9.
Beklenen Değerler
Türler Çimlenen Çimlenmeyen A 84 16 100 B 84 16 100 C 84 16 100 252 48 300
H0: Çimlenme oranı ile türler bağımsızdır.
H1: Çimlenme oranı ile türler bağımlıdır.
BBG 2
2 = 04.116
1618.................84
8487 22
2cet [0.05 ; 2 SD]=5.99
H0 kabul.Çimlenme oranı ile türler
bağımsızdır.
172
7.82 1.45
Soru 10.
Tatlı bezelyelerde yapılan bir melezlemede elde edilen F2’lerin açılım oranı, 186
kırmızı-uzun, 69 kırmızı-cüce, 60 beyaz-uzun, 25 beyaz-cüce şeklinde olmuştur.Acaba bu
açılım; 9 : 3 : 3 : 1 şeklinde beklenen orana uygun mudur?(=0.05)
Cevap 10.
Kırmızı-Uzun Kırmızı-Cüce Beyaz-Uzun Beyaz-Cüce Gözlenen 186 69 60 25 340 Beklenen (9/16)*340 (3/16)*340 (3/16)*340 (1/16)*340 --
B
BG 2 0.14 0.43 0.22 0.66 1.45
BBG 2
2 =1.45
2cet [0.05 ; 3 SD]=7.82
SD=4-1=3(Sınıf sayısı – 1) H0 kabul.Açılıma uygundur.
Soru 11.
Mendel tarafından yapılan bir denemede iki ayrı genetik yapıya sahip bezelyeler
çaprazlanmıştır.Deneme sonunda yetiştirilen toplam 160 adet bezelye aşağıdaki gibi
bulunmuştur.
Yuvarlak Sarı Yuvarlak Yeşil Buruşuk Sarı Buruşuk Yeşil 75 35 40 10
Elde edilen bu değerlerin 9:3:3:1 oranına uyup uymadığını kontrol ediniz.(=0.01)
Cevap 11.
H0: 9:3:3:1 oranına uyar
H1: 9:3:3:1 oranına uymaz.
Beklenen değerler;
Yuvarlak Sarı Yuvarlak Yeşil Buruşuk Sarı Buruşuk Yeşil 160*(9/16) 160*(3/16) 160*(3/16) 160*(1/16) 90 30 30 10
BBG 2
2 = 76.610
101030
304030
303590
9075 2222
173
11.34 6.76
11.34 8.04
2cet [0.01 ; 3 SD]=11.34
SD=4-1=3
H0 kabul.Orana uygundur.
Soru 12.
Ceviz ibikli horozlar ile tavukların birleştirilmesinden meydana gelen tavukların ibik
şekillerine göre dağılımı aşağıdaki tablonun birinci satırında gösterilmiştir.Aynı tablonun
ikinci satırında ise 9:3:3:1 Mendel açılışına göre beklenen değerler bulunmaktadır.Buna göre
gözlenen değerler ile beklenen değerlerin birbirine uyup uymadığını kontrol ediniz.
Ceviz İbik Gül İbik Bezelye İbik Balta İbik Gözlenen 205 50 50 15 320 Beklenen 180 60 60 20 320
385 110 110 35 640
Cevap 12
H0: Gözlenen değerler 9:3:3:1 açılımına uyar
H1: Gözlenen değerler 9:3:3:1 açılımına uymaz.
BBG 2
2 = 04.820
201560
605060
6050180
180205 2222
2cet [0.01 ; 3 SD]=11.34
H0 kabul.Oran uygundur.
Soru 13.
100 laboratuar hayvanı belli bir hastalık için antibiyotik muamelesine maruz kalmış
200 hayvan ise antibiyotik verilmeden kontrol olarak kullanılması sağlanmıştır. Belli bir süre
sonra sağlığına kavuşanlar ve hastalık belirtisi göstermeye devam edenlerin sayıları aşağıda
verilmiştir. Hastalıklardan iyileşme düzeyi ile antibiyotik muamele şekli arasında ilişkinin
bulunup bulunmadığını (2) testi ile iceleyiniz.
Sonuç Muamele Sağlıklı Hasta Toplam
Antibiyotik Verilenler(+) 88 12 100 Antibiyotik Verilmeyenler(-) 143 57 200 Toplam 231 69 300
174
Soru 14.
Aşağıda farklı gübrelerle muamele edilmiş topraklardan elde edilen patates fidelerinde
bakteri bulaşma sıklığı gösterilmiştir.=0.05 için bulaşma düzeyinin gübre çeşidine göre
değişip değişmediğini belirleyiniz.
Bakteri İle Bulaşık Bakteri Bulaşmayan Gübresiz 16 85 101 Azotlu Gübre 10 85 95 Çiftlik Gübresi 4 109 113 Azotlu Gübre+Çiftlik Gübresi 14 127 141 44 406 450
Soru 15.
Üç farklı ayçiçeği çeşidi tohumunun çimlenme güçlerinin çeşitlere bağlı olup
olmadığını anlamak için bir araştırma yapılmıştır. Aşağıdaki tablo yardımı ile 2 analiz
tekniğine göre hipotez testini yapınız.(=0.01)
Çeşitler Çimlenen Çimlenmeyen TOPLAM A Çeşidi 90 10 100 B Çeşidi 80 20 100 C Çeşidi 95 10 105 TOPLAM 265 40 305
175
12.11. BİNOM DAĞILIŞI
Soru 1.
Bir makinenin imal ettiği parçaların %25’i kusurlu (p=0.25) çıkıyorsa, şansa bağlı
olarak çekilen 5 parçadan her birinin kusurlu olmama ihtimali nedir?
NOT: r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP
Cevap 1.
p = 0.25 ; q = 0.75 ; n = 5 ; r = 0
7.23%237.075.025.0)!05(!0
!5)0( 50
XP
Soru 2.
500 sayfalık bir kitabın 150 sayfasında baskı hataları vardır.Bu kitaptan rast gele
seçilen 5 sayfadan 3 tanesinde baskı hatası olma olasılığı nedir?
Cevap 2.
p = (150/500)=0.30 ; q = 0.70 ; n = 5 ; r = 3
r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 3.1%013.07.03.0)!35(!3
!5 353
Soru 3.
% 60’ının İstanbul iline kayıtlı olduğu bilinen bir taşıt kitlesi içinden tesadüfi olarak 5
taşıt seçsek bunlardan ;
a) Hepsinin İstanbul’a kayıtlı olması ihtimalini
b) 5’den azının İstanbul’a kayıtlı olması ihtimalini hesaplayınız.
Cevap 3.
a) p = 0.6 ; q = 0.4 ; n = 5 ; r = 5
r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 7.7%077.04.06.0!55!5
!5 555
b) 5’den azının İstanbul’a kayıtlı olma ihtimali
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1 – P(X=5)
1 – (0.077) = 0.0923 %92.3
176
330 320 +1.2 0 Z1 +1.2
Soru 4.
Bir tohumun çimlenme gücünün %80 olduğu (q=0.80) bilinmektedir.Ekilen 400
tohumdan (n=400) 330’dan fazlasının çimlenme ihtimalini hesaplayınız.
Not : Binom dağılışa yapılan normal dağılışı kullanınız.Binom dağılışının ortalaması
(µ = n.q) ve varyansı (S2=n.p.q), standar sapması qpnS ..2 ’dur.
Cevap 4.
q = 0.80 ; p = 0.20 ; n = 400 ; µ = n.q ; qpnS ..2
µ = n.q = 400 . (0.80)=320
qpnS ..2 820.0.80.0.400
56.10%25.18
320330..1
qpnXZ
Soru 5.
Bir makinenin imal ettiği imal ettiği parçalardan %10’u hatalı %90’ı sağlamdır.5
tanelik bir örnekte ;
a) Sağlam
b) 3 ve daha fazla hatalı parça bulunma ihtimali nedir?
c) Bu dağılışa ait ortalama ve varyansı hesaplayınız.
Cevap 5.
a) p=0.90 ; q=0.10 ; n=5
0729.010.09.0)!35(!3
!5)( 353
rXP
b) 3 ve daha fazla hatalı
r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP
177
219.0)3(
000009.09.01.0!55!5
!5)5(
00044.09.01.0!45!4
!5)4(
21.09.01.0!35!3
!5)3(
555
454
353
XP
XP
XP
XP
c) µ = n.q=5.(0.10)=0.5
67.090.010.05..2 qpn
Soru 6.
Bir bölgede sonbaharda yapılan çam dikimlerinde tutmama oranının %5 olduğu
söylenmektedir. Bir bahçeye dikilen 4 çamdan;
a) En az birinin tutmama oranı nedir?
b) 3 çam ağacının da tutma ihtimali nedir?
Cevap 6.
p=0.05 ; q=0.95 ; n=4
a) r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 1714.0095.005.0!14!1
4 31
b) r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 1714.0095.005.0!34!3
!4 31
Soru 7.
Bir (A) takımının maç yaptığı zamanlarda kazanma ihtimali 2/3’dür.(A) takımı 4 maç
yaptığında ;
a) 2 maç kazanma
b) En az bir maç kazanma
c) Maçların yarısından fazlasını kazanma ihtimalini hesaplayınız.
Cevap 7.
P(kazanma)=0.66 ; q(kaybetme)=0.33 ; n=4
a) 284.033.066.0!24!2
!4)2( 242
XP
178
1058.0)1()0()1(
094.033.066.0!14!1
!4)1(
0118.033.066.0!04!0
!4)0( b)
)14(1
40
XPXPXP
XP
XP
8533.0432)2(
2846.033.066.0!24!2
!4)2(
379.033.066.0!34!3
!4)3(
1897.033.066.0!44!4
!4)4( )
)24(2
)34(3
)44(4
XPXPXPXP
XP
XP
XPc
Soru 8.
Bir firma yedek aldığı parçaların kabulünde parçalar arasından şansa bağlı olarak
seçilen 15 parçayı inceleyerek karar vermekte ve örnekte 1 veya daha fazla parçanın kusurlu
bulunması halinde yığının tamamı geri yollanmaktadır..Bu şartlat altında;
a) %1 kusurlu içeren bir yığının geri yollanma ihtimali nedir?
b) Aynı yığının kabul edilmesi ihtimali nedir?
Cevap 8.
p = 0.01 ; q = 0.99 ; n = 15 ; r = 1
a) )0(1)1(86.099.001.0!015!0
!15)0( 150
XPXPXP
b) 14.086.0199.001.0!015!0
!151 150
Soru 9.
İmalatta %20 kusurlu çıktığı bilinen bir firmanın ampullerinden 4 tane satın
alındığında bunların hepsinin sağlam olma ihtimalini bulunuz.
Cevap 9.
p = 0.2 ; q = 0.8 ; n = 4 ; r = 4
4096.02.08.0!44!4
!4)4( )44(4
XP
179
Soru 10.
Aşağıdaki cetvelde bir işe başvuran 100 kişinin durumları gösterilmiştir.
Medeni Hali Çalışma Tecrübesi Evli Bekar
3 yıldan fazla 12 24 36 3 yıldan az 18 46 64 30 70 100
Diğer tüm şartlar aynı olduğuna göre;
a) Tecrübe ve medeni hale bakmaksızın yapılacak seçimde herhangi bir şahsın işe alınma
ihtimalini hesaplayınız.
b) Sadece evliler arasında seçim yapılacaksa 3 yıldan az tecrübeli bir şahsın işe alınma
ihtimali nedir?
c) İşe alınan bir şahsın 3 yıldan fazla tecrübesi olduğu bilindiğine göre evli olma ihtimali
nedir?
Cevap 10.
a) 1/100 b) 18/30 c) 12/36
Soru 11.
10 tane doğru-yanlış tipi soru bulunan bir imtihanda iki yanlış cevap bir doğruyu
götürmektedir.Bir öğrencinin 10 soruda 5 puandan fazla alma ihtimali nedir?
Cevap 11.
(7/10)+(8/10)+(9/10)+(10/10)5 puandan fazla alır.
p = ½ ; q = ½ ; n=10 ; r=7-8-9-10
17163.02/12/1!0!10
!102/12/1!1!9
!102/12/1!2!8
!102/12/1!710!7
!10 010192837
Soru 12.
Yapılan bir matematik sınavında her 10 öğrenciden 4’ünün başarılı olduğu
görülmüştür.
Matematik sınavına giren 5 öğrenciden ;
a) Hepsinin başarılı olması
b) Hepsinin başarısız olması
c) Birden fazlasının başarılı olması ihtimallerini hesaplayınız.
180
Cevap 12.
n = 10 ; p=4/10=0.4(Başarılı olanlar) ; q=0.6(Başarısız olanlar)
a) 01.06.04.0!55!5
!5)5( )55(5
XP
b) 01.04.06.0!05!0
!5)0( 50
XP
c) 99.001.01)0([1)1( XPXP
Soru 13.
Bir nişancının hedefi tutturma şansının %80 olduğuna göre üst üste 5 atışta ;
a) Atışların hepsinin boşa gitmesi ihtimali nedir?
b) En az ikisinin tutma ihtimali nedir?
Cevap 13.
p = 0.80(tutturma) ; q = 0.20(ıskalama) ; n = 5
a) r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 3276.08.02.0)!05(!0
!5)0( 50
XP
b) r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP = 0512.02.08.0!25!2
!5)2( )25(2
XP
Soru 14.
Bir tohumun çimlenme gücünün %80 olduğu belirtilmektedir.Ekilen 400 tohumdan ;
a) 300’den fazlasının çimlenmesi ihtimali nedir?
b) 335’den fazlasının çimlenmesi ihtimali nedir?
Cevap 14.
p = 0.80 ; q = 0.20 ; n = 400
qn. = 400 . (0.80) = 320 ; 82.08.0400.. qpn
99.050.0049.0
5.2820
8320300
Alan
Z i
181
320 Zi
0.50 0.49
b)
04.0
87.18
158
320335
Alan
Z i
Soru 15.
Üretim yapılan maddelerin ortalama olarak %8’inin standartlara uymadığı bilinen bir
ana kitleden çekilen 10 hacimli bir örnekte ;
a) Hiç kusurlu ürün bulunmaması ihtimalini hesaplayınız.
b) En az bir kusurlu ürün bulunması ihtimalini hesaplayınız.
c) Bu dağılışın ortalaması ve standart sapmasını hesaplayınız.
Cevap 15.
p = 0.08(kusurlu) ; q = 0.92(kusursuz) ; n = 10
a) 000000012.008.092.0!010!0
!10)0( )010(0
XP
b) 37.092.008.0!110!1
!10)1( )110(1
XP
c) qn. = (10).(0.08)=0.8 ; 85.0)92.0)(08.0)(10(.. qpn
182
Soru 16.
Belli bir dolmakalem fabrikasının ürettiği ürünlerin %40’ının kusurlu olduğu
belirtilmiştir.4’er bireylik 120 tane dolmakalemin seçildiği örnekte kusurlu ürün sayısı
aşağıdaki gibi verilmiştir.
a) Bu dağılışın ortalaması ve varyansını hesaplayınız.
b) Binom dağılışı yaklaşımı ile beklenen frekansları belirleyiniz.
c) Binom dağılışına uygun olup olmadığını 2 ile test ediniz.(=0.05)
Kusurlu Kalem Sayısı 0 1 2 3 4 Gözlenen Örnek Sayısı 32 29 27 13 19 120 Beklenen Örnek Sayısı
Soru 17.
Bir mağazada bulunan 10 üründen (3)’ünde çeşitli imalat kusurları ortaya çıktığı
bilinmektedir. Bu mağazadan alına 4 üründen en az bir tanesinin kusurlu olma ihtimali
nedir?(Binom dağılışı yaklaşımını kullanınız. r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP )
Soru 18.
Bir bölgede sonbaharda yapılan çalışmada ağaçların tutma oranı %95’dir. Buna göre
dikilen 4 ağaçtan 4’ünün de tutma ihtimali nedir?
Not : r)-(nrqpr)!-(nr!
n!)( rxP
Soru 19.
Bir tohumun çimlenme oranının %85 olduğu bilinmektedir. Ekilen 600 tohumdan
450’den fazlasının çimlenme ihtimalini hesaplayınız.
NOT: Binom dağılışına yapılan normal dağılış yaklaşımını kullanınız. Binom dağılışının
ortalaması (=n.p) ve varyansı S2 = n.p.q ve standart sapması S= qpn ..
183
12.12. POISSON DAĞILIŞI
Soru 1.
0.005 oranında küsküt tohumu içerdiğini bildiğimiz bir yonca tohumu deposundan
alınan 400 tohumdan hiç küsküt tohumu bulunmama ihtimali nedir?
Cevap 1.
q = 0.05 ; n = 400 ; µ = n.q = 400*0.005=2
136.0!0
2!
)0( 20
eer
XPr
Soru 2.
Bir şehirde 30 yaşın üzerindeki nüfusun %5’inin üniversite mezunu olduğu
bilinmektedir. Tesadüfi olarak seçilen 100 kişi arasından ;
a) 5 üniversite mezunu olma ihtimali
b) Hiç üniversite mezunu olmama ihtimali nedir?
Cevap 2.
q = 0.05 ; n = 100 ; µ = n.q = 100(0.05) = 5
a) r = 5 P(X=5) = 175.0!5
5 55
e
b) 00673.0!0
5)0( 50
eXP
Soru 3.
Belli bir ilacın 0.002 ihtimalle kötü yan etkileri görülmektedir.Bu ilacın 1000 kişi
üzerinde denenmesi halinde ;
a) İki kişinin etkilenmesi ihtimali
b) İki ve ikiden fazla kişinin etkilenme ihtimalini bulunuz.
Cevap 3.
q = 0.002 ; n = 1000 ; µ = n.q = (1000).(0.002) = 2
a) r = 2 27.0!2
2)2( 22
eXP
b) P(X=0) + P(X=1) bulunup 1’den çıkarılmalıdır.
184
r=0 135.0!0
2!0
)0( 200
eeXP
r=1 27.0!1
2)1( 21
eXP
P(X=0) + P(X=1)=(0.135) + (0.27) = 0.405
595.0405.01)2( XP
Soru 4.
500 sayfalık bir kitapta 400 baskı hatası bulunduğu ve hataların sayfalara poısson
dağılışına göre tesadüfi olarak düştüğünü farz ederek kitabın rast gele 10 sayfasında hiçbir
hataya rastlanmama oranı nedir?
Cevap 4.
Orantı kurularak ;
4 ; 4 10
400500
x
xdade
018.0!0
4)0(0 40
eXPr
Soru 5.
Her yıl, her 50.000 kişilik nüfusta ortalama olarak 2 kişi intihar etmektedir.100.000
kişilik bir şehirde belirli bir yılda ;
a) Hiç kimsen intihar etmemesi
b) 1 kişinin intihar etmesi
c) 2 veya daha fazla kişinin intihar etmesi ihtimallerini hesaplayınız.
Cevap 5.
Orantı kurularak ;
4 ; 4 100000
250000
x
xdede
a) 0183.0!0
4)0( 40
eXP
185
b) 074.0!1
4)1( 41
eXP
c) 9077.0)074.0()0183.0(1)2( XP
Soru 6.
Ortalama olarak insanların %2’sinin solak olduğu varsayımı ile 100 kişi arasından 3
veya daha fazla kişinin solak olması ihtimalini hesaplayınız.
Cevap 6.
q = 0.02 ; n = 100 ; µ = n.q = 100.(0.02) = 2
135.0!0
2!0
)0( 200
eeXP
27.0!1
2)1( 21
eXP
27.0!2
2)2( 22
eXP
325.0)2()1()0(1)3( XPXPXPXP
Soru 7.
Renkli bir tavşanla renksiz bir tavşan(albino) çiftleştirildiğinde meydana gelen
yavruların ¾’ü renkli, ¼’ü renksiz olmaktadır.Böyle bir çiftleşme sonunda doğan 4 yavrunun;
a) Hepsinin renksiz
b) En az birinin renkli olma şansı nedir?
Cevap 7.
a) (a+b)4=a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
a = ¾(renkli) ; b = ¼(renksiz)
Hepsinin renksiz olma ihtimali ; b4 = (1/4)4 = 1/16 = 0.06
b) En az birinin renkli olma ihtimali ;
4ab3 = 4(3/4)(1/4)3 = 12/64 = 0.187
Soru 8.
Gumboro hastalığına yakalanan civcivlerin kurtulma olasılığı %80’dir.Bu hastalığa
yakalana 3 civcivden ;
a) 3’ünn de iyileşme olasılığı
186
b) 3 civcivden ikisinin iyileşme olasılığı nedir?
Cevap 8.
P(kurtulma)=P(A)=0.80 ; P(ölme)=P(a)=0.20 ; n=3
(A+a)3=A3 + 3A2a + 3Aa2 + a3
a) A3 = (0.80)3 = 0.512
b) A2a = (0.80)2(0.20)=0.1281
Soru 9.
Bir trafik hastanesinde günde ortalama 4 beyin ameliyatı yapılmaktadır.Bundan fazla
gelen olursa diğer bir hastaneye sevk edilmektedir.
Trafik kazasından beyin ameliyatı için günde gelen hasta sayısı poisson dağılışı
gösterdiğine ve dağılışın parametresi 2 olduğuna göre ;
a) Beyin cerrahına hiç ihtiyaç duyulmama olasılığı,
b) Herhangi bir günde 3 hasta gelme olasılığı,
c) Herhangi bir günde 4 hasta gelme olasılığı nedir?
Cevap 9.
0026.0!4
4)4( )
008.0!3
4)3( )
018.0!0
4)0( 4 )
44
43
40
eXPc
eXPb
expa
Soru 10.
Birbirini takip eden 100 gün içinde belirli bir karayolunda belli bir zaman aralığında
oluşan trafik kazaları poisson dağılışı göstermektedir.
Kaza Sayısı 0 1 2 3 4 5 Gün Sayısı 6 27 40 15 12 23
a) Bu dağılışın ortalaması ve varyansı nedir?
b) Poisson dağılışı varsayımı ile beklenen frekansları belirleyiniz ve dağılışın poisson
dağılışına uyup uymadığını beklenen ve gözlenen frekansları karşılaştırarak 2 ile
uyum testini yapınız(=0.05).Not : Beklenen değerlerin olasılıklarını hesaplarken
]].[!/[)( errXP r formülünü kullanınız.
187
Soru 11.
Marul tohumlarından yapılan her biri 1000 tohum içeren 100 örnekte, her örnekteki
mozaik hastalığı virüsü ile infekte tohum sayısı dağılışı aşağıdaki gibi olmuştur.
37 örnekte (0) hiç infekte tohum yoktur.
37 örnekte (1) infekte tohum bulunmuştur.
18 örnekte (2) infekte tohum bulunmuştur.
6 örnekte (3) infekte tohum bulunmuştur.
2 örnekte (4) infekte tohum bulunmuştur.
Poisson dağılışının ortalamasını () belirleyerek rastgele seçilen 200 tohumluk bir
kutuda 3 infekte tohum bulunma olasılığını hesaplayınız.
NOT: ]].[!/[)( errXP r
Soru 12.
Bir bölgede belli bir ağaç çeşidinin bulunma sıklığı poisson dağılışına uymaktadır.
Örnek alma alanında rastlanan belli bir ağaç çeşidinin dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu bölgeden
5 örnek alınsa 5 örnek alma alanının 5’inde de söz konusu ağaç çeşidine rastlama olasılığı
nedir? Bunun için önce aşağıdaki veriler yardımı ile dağılışın ortalamasını bulunuz ve
]].[!/[)( errXP r kulanın.
Bir örnek alma alanında belli bir
ağaç çeşidinin sayısı(Xi)
Tüm bölgede kaç örnek alma alanının
gözlendiği (fi) 0 6 1 18 2 7 3 13 4 2 5 3 6 3 7 5 8 3 9 1
188
0 Z1
0.35
0.15
A
0 Z2
0.20
0.15
Z1
0.15
B
12.13. TEST DAĞILIŞI SORULARI
Soru 1.
Bir imtihanda ortalama not (70) ve standart sapma 8’dir.
a) Öğrencilerin en yüksek not alan %15’ine (A) puanı
b) En yüksek %15 ile %30 arası (B) puanı
c) En yüksek %30 ile %50 arası (C) puanı alacaktır.A, B, C almak için hangi not
aralıklarında not almak gerektiğini bulunuz.(Notların dağılışının normal dağılış
gösterdiğini varsayınız.)
Cevap 1.
a)
µ=70 ; = 8 ; 0.35 için Z1 değeri 1.04’dür.
XZ1 1.04=
870X
X çekilirse ;
X=(1.04)(8)+70=78.32
b)
0.30 için Z değeri 0.52’dir. 16.748
7052.0
XX
0.15 için Z değeri 1.04’dür. 32.788
7004.1
XX
B puanı almak için 74.16 ile 78.32 arasında puan almak gerekmektedir.
189
0 Z1
0.20
0.30
85000 73000 65000 0 Z1 Z2
0.32
0.40
c)
0.30 için Z değeri(0.20 alanına bakılır.) 0.53’dür.
XZ1 X çekilirse
24.7470)8)(053()(1 ZX O halde 70 ile 74.24 arsı C puanı alır.
Soru 2.
Aşağıdaki hallerde ilgili kritik (t) değerlerini tablodan bulunuz.
a) =0.01 ; n=19 çift taraflı test
b) =0.10 ; n=11 çift taraflı test
c) =0.05 ; n=25 tek taraflı test
d) =0.10 ; n=9 tek taraflı test
e) =0.01 ; n=15 tek taraflı test.
Cevap 2.
a) 2.96 b) 1.79 c) 1.71 d) 1.38 e) 2.60
Soru 3.
Bir işyerinde 600 işçinin aylık ücretlerinin normal dağılıma uyduğu ve aritmetik
ortalamanın 73.000 standart sapmanın 9.000 TL olduğu bilinmektedir.1986 yılı başında
65.000 TL’den az olanlara 10.000 TL ve 65.000-85.000 TL arasında olanlara 12.000 ve
85.000 TL’den çok olanlara ise 15.000 TL ek zam yapılması planlanmıştır.Bu zammın
işverene getirdiği bir aylık ek yük kaç TL’dir.
Cevap 3.
190 75 Xi=?
0.35
0.15
XZ2 = 8.0
90007300065000
;
XZ1 = 33.1
90007300085000
713796015000918.06001200072.06001000018.0600 xxx
Soru 4.
200 kişilik bir sınavda alınan notların dağılışı normal dağılış göstermektedir.Bu
dağılışın ortalaması (75) standart sapması (15) puan olarak belirlenmiştir.Standart normal
dağılış yardımı ile aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 60 ile 65 arasında kaç kişi vardır?
b) En yüksek %15 içindeki en düşük not nedir?
c) 70 puandan yukarı not alan kaç kişi vardır?
Cevap 4.
a) n=200 ; µ=75 ; =15
115
75601
Z ; 6.0
157565
2
Z
0.34 – 0.24 = 0.10 200.(0.10)=20 kişi
b) 6.901504.175XXZ
(0.35 için Z1 1.04 bulunur)
0 -1 -0.6
0.10
0.24
0.34
75 60 65
191
75 70
0.12
0 Z2 Z1
0.47
0.22
0.47
0.22
0 +1 -1
C B A
c) 3.015
515
7570XZ
P(Z>-0.3)=0.12 + 0.50 = 0.62 200(0.612)=125.86
kişi 70 puandan yukarı almıştır.
Soru 5.
Domates salçası ihraç eden bir işletmede birer kg’lık konserve kutuları içine ortalama
850 gr salça doldurulmaktadır.Kutular itibarı ile salça ağırlığının varyansı 100 gr olarak
hesaplanmış olup, ağırlıkların dağılımı normal dağılış konumuna uymaktadır.Salçaların
satıldığı ülke ağırlık standardını 850 20 gr olarak tespit etmiştir.Bu ağırlık limitlerinin
dışında kalan konserveler ihraç edilmeyip iç piyasaya ihraç fiyatına göre kutu başına 2000 TL
zararla satılmaktadır.Günde 5000 kutu kapasiteli bu işletmenin ihraç edemediği
konservelerden günlük zararı ne olur?
Cevap 5.
2
10850870
210
850830
2
1
Z
Z
0.228 x 2 = 0.0456 x 5000 = 228 Kutu
228 x 2000 = 456.000 TL zarar eder.
Soru 6.
Aşağıdaki şekilde bir standart normal dağılış eğrisi verilmiştir.
a) A’nın alanı
b) B’nin alanı
c) C’nin alanı
192
Cevap 6.
a) A nın alanı Z1= +10.50-0.34=0.16
b) B nin alanı Z2= +10.34
c) C nin alanı Z3= - 10.34
Soru 7.
Aşağıdaki dağılışlar için belirtilen alanları ve değerleri hesaplayınız.
a) Standart Normal Dağılıştan c) t dağılışı SD=9
0.05 0 Z1= +1 SD=9 b) 2 dağılışı SD=3 ; =0.01
Cevap 7.
a) 0.50 – 0.34=0.16
b) 11.34
c) 1.83
Soru 8.
Aşağıdaki t ve 2 cetvel değerlerini hesaplayınız.
a) =0.01 ; SD=6 için 2=?
b) =0.05 ; SD=3 için 2=?
c) =0.10 ; SD=60 için 2=?
d) =0.05 ; SD=18 ve çift yönlü test için (t)=?
e) =0.01 ; SD=14 ve tek yönlü test için (t)=?
Cevap 8.
a) 16.81
b) 7.82
c) 10.65
d) 2.10
e) 2.62
193
67 55 65
%10
Xi=?
0 Z1 -1
Z2 -0.16
%10
Xi=?
0.06
0.34
Soru 9.
Aşağıdaki Z değerleri arasındaki alanları hesaplayınız.
a) Z= -1 ile Z= +1 arasındaki alan
b) Z= -2 ile Z= +2 arasındaki alan
c) Z= -3 ile Z= +3 arasındaki alan
d) Z= -1 ‘in solundaki alan
Cevap 9.
a) 0.68 b) 0.94 c) 0.99 d) 0.16
Soru 10.
100 kişilik bir sınavda alınan notların dağılışı normal dağılış göstermektedir.Bu
dağılışın ortalaması (67) puan ve standart sapması (12) puan olarak belirlenmiştir.Standart
normal dağılış yardımı ile aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 55 ile 65 puan arasında olan kaç kişi vardır?
b) En yüksek %10 puan içindeki en yüksek not nedir?
c) 70’den çok alan kaç kişi vardır?
Cevap 10.
a) 16.0
126765Z
112
6755Z
2
1
Alanı = Z1 – Z2=(0.34) – (0.06) = 0.28
Kişi sayısı = (0.28).100 = 28 kişi
194
+15 -25
B A
b) 0.40 için 1.28
36.821228.167X
Çözülürse XXZ1
4241.5100*0.4150.085-0.50
0.4150.25)P(Z ; 25.012
6770Z )c 1
Soru 11.
Aşağıdaki şekilde bir standart normal dağılım eğrisi verilmiştir.
a) (A) ile gösterilen bölgenin oranı nedir?
b) (B) ile gösterilen bölgenin oranı nedir?
Cevap 11.
a) (A) bölgesi %34.13
b) (B) bölgesi %47.72
Soru 12.
Bir çiftlikte 9 haftalık yaştaki piliçlerin ortalama ağırlığı µ=1.6 kg. ve varyansı ise
2=0.04’dür.Bu piliçlerin % kaçı 1.7 kg.dan daha ağırdır.
Cevap 12.
µ = 1.6 kg. ; 2 = 0.04 =0.2
195
0001.0)5Z(P ; 52.0
6.17.1Z1
Soru 13.
Bir istatistik sınavında not ortalaması 74 ve varyansı 64’dür. Alınan notlar normal
dağılış göstermektedir. Dersin hocası en yüksek not alan öğrencilerin %10’una ilave not
vermeyi planlamaktadır. Bir öğrencinin bun dan yararlanabilmesi için en az kaç puan alması
gerekir.?
Soru 14.
Bir mandırada kullanılmakta olan süt şişeleme makinesi şişelere ortalama 1.02 lt ve
varyansı 0.0004 olacak şekilde dolum yapmaktadır. Doldurulan süt miktarı normal dağılış
göstermektedir. Buna göre günde 10.000 şişelik bir partide 1 lt’nin altında süt doldurulmuş
şişe sayısı ne kadar olabilir?
Soru 15.
Hayvan Islahının Genetik Prensipleri Dersi Birinci Ara Sınavının not ortalaması 72 ve
varyansı 50’dir. Alınan notların normal dağılış gösterdiği belirlenmiştir. Dersin hocası en
yüksek %10’a giren öğrencilere ek puan vereceğini söylemiştir.Bir öğrencinin ek puan
alabilmesi için en az kaç alması gerekmektedir.
196
c
2F ;0, 05 19
2
F TABLOSU
Pay SD Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Derecesi
Payda SD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.10 39.90
49.50 53.60
55.80 57.20
58.20 58.90 59.40 59.90 60.00 60.50 60.70 1
0.05 161.0
200.0 216.0
225.0 230.0
234.0
237.0
239.0
241.0
242.0
243.0
244.0 0.10 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.40 9.40 9.41 0.05 18.5
0 19.00 19.20 19.20 19.30 19.30 19.40 19.40 19.40 19.00 19.40 19.40
2
0.01 98.50
99.00 99.20
99.20 99.30
99.30
99.40
99.40
99.40
99.00
99.40
99.40 0.10 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.20 5.22 5.22 0.05 10.1
0 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.80 8.76 8.74 3
0.01 34.1 30.80 29.5 28.70 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.0 27.1 27.10 0.10 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.90 3.91 3.90 0.05 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 6.00 5.94 5.91 4 0.01 21.2
0 18.00 16.70 16.00 15.50 15.20 15.00 14.80 14.70 15.00 14.40 14.40
0.10 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.28 3.27 0.05 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.70 4.71 4.68
5
0.01 16.30
13.30 12.10
11.40 11.00
10.70
10.50
10.30
10.20
10.00
9.96 9.89 0.10 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.90 2.92 2.90 0.05 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.10 4.03 4.00
6
0.01 13.70
10.90 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.90 7.79 7.72 0.10 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.68 2.67 0.05 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.60 3.60 3.57
7
0.01 12.20
9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.64 6.72 6.60 6.54 6.47 0.10 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.50 2.52 2.50 0.05 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.40 3.31 3.28
8
0.01 11.30
8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.80 5.73 5.67 0.10 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.40 2.40 2.38 0.05 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.10 3.10 3.07
9
0.01 10.60
8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.30 5.18 5.11 0.10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.28 0.05 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91
10
0.01 10.00
7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.77 4.71 Payda SD= Küçük kareler ortalaması serbestlik derecesi İki Varyansın oranı şeklinde belirlenen örnek verilerine ilişkin hesaplanan test kriterini (Fh) değerinin yukarıdaki tablodaki ilgili satır ve sütundaki S.D. lerin kesim yerindeki (Fc) değerini aşması halinde örnek verisinin istatistik olarak önemli olduğuna hükmedilir.
197
F TABLOSU (Devam)
PaySD Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Derecesi Payda. SD 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500
0.10 61.20 61.70
62.00
62.30
62.50
62.70
62.80
63.00
63.10
63.20
63.30
63.30
1
0.05 246.0 248.0
249.0
250.0
251.0
252.0
252.0
253.0
253.0
254.0
254.0
254.0 0.10 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.47 9.48 9.49 9.49 9.49 9.49
0.05 19.40 19.40
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50
19.50 2
0.01 99.40 99.40
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50
99.50 0.10 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.15 5.14 5.14 5.14 5.14 5.13
0.05 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.58 8.57 8.55 8.55 8.54 8.53 8.53 3
0.01 26.90 26.70
26.60
26.50
26.40
26.40
26.30
26.20
26.20
26.20
26.10
26.10 0.10 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.80 3.79 3.78 3.78 3.77 3.76 3.76
0.05 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.70 5.69 5.66 5.66 5.65 5.64 5.63 4
0.01 14.20 14.00
13.90
13.80
13.70
13.70
13.70
13.60
13.60
13.50
13.50
13.50 0.10 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.15 3.14 3.13 3.12 3.1
2 3.11 3.10
0.05 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.44 4.43 4.41 4.40 4.39 4.37 4.36 5
0.01 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.24 9.20 9.13 9.11 9.08 9.04 9.02 0.10 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.77 2.76 2.75 2.74 2.73 2.73 2.72 0.05 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.75 3.74 3.71 3.70 3.69 3.68 3.67
6
0.01 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.09 7.06 6.99 6.97 6.93 6.90 6.88 0.10 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.52 2.51 2.50 2.49 2.48 2.48 2.47 0.05 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.32 3.30 3.27 3.27 3.25 3.24 3.23
7
0.01 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.86 5.82 5.75 5.74 5.70 5.67 5.65 0.10 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.35 2.34 2.32 2.32 2.31 2.30 2.29 0.05 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 2.02 3.01 2.97 2.97 2.95 2.94 2.93
8 0.01 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.07 5.03 4.96 4.95 4.91 4.88 4.86 0.10 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.22 2.21 2.19 2.18 2.17 2.17 2.16 0.05 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.80 2.79 2.76 2.75 2.73 2.72 2.71
9
0.01 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.52 4.48 4.42 4.40 4.36 4.33 4.31 0.10 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.12 2.11 2.09 2.08 2.07 2.06 2.06 0.05 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.64 2.62 2.59 2.58 2.56 2.55 2.54
10
0.01 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.12 4.08 4.01 4.00 3.96 3.93 3.91 Payda SD= Küçük Kareler ortalaması serbestlik derecesi
198
F TABLOSU (Devam)
Payda SD= Küçük kareler ortalaması serbestlik derecesi.
PaySD Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Derecesi Payda SD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.10 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.23 2.21 0.05 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79
11
0.01 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.46 4.40 0.10 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.17 2.15 0.05 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69
12 0.01 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.22 4.16
0.10 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 2.12 2.10 0.05 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.63 2.60
13
0.01 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 4.02 3.96 0.10 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.08 2.05 0.05 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.57 2.53
14 0.01 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.86 3.80
0.10 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.04 2.02 0.05 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48
15
0.01 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.73 3.67 0.10 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 1.99 0.05 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42
16 0.01 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.62 3.55
0.10 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 0.05 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.41 2.38
17 0.01 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.52 3.46
0.10 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.96 1.93 0.05 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.37 2.34
18
0.01 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.43 3.37 0.10 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.94 1.91 0.05 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31
19
0.01 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.36 3.30 0.10 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.92 1.89 0.05 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.31 2.28
20
0.01 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.29 3.23
199
F Tablosu (Devam)
PaySD Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Derecesi
Payda SD 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500
0.10 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.04 2.03 2.00 2.00 1.99 1.98 1.97 0.05 2.72 2.65 2.61 2.6/ 2.53 2.51 2.49 2.46 2.45 2.43 2.42 2.40
11
0.01 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.81 3.78 3.71 3.69 3.66 3.62 3.60 0.10 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 0.05 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.40 2.38 2.35 2.34 2.32 2.31 2.30 12 0.01 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.57 3.54 3.47 3.45 3.41 3.38 3.36 0.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.92 1.90 1.88 1.88 1.86 1.85 1.85 0.05 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.31 2.30 2.26 2.25 2.23 2.20 2.21 13 0.01 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.38 3.34 3.27 3.25 3.22 3.19 3.17 0.10 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.86 1.83 1.83 1.82 1.80 1.80 0.05 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.24 2.22 2.19 2.18 2.16 2.14 2.13
14
0.01 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.22 3.18 3.11 3.09 3.06 3.03 3.00 0.10 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.83 1.82 1.79 1.79 1.77 1.76 1.76 0.05 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.18 2.16 2.12 2.11 2.10 2.08 2.07
15
0.01 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.08 3.05 2.98 2.96 2.92 2.89 2.87 0.10 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.79 1.78 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 0.05 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.12 2.11 2.07 2.06 2.04 2.02 2.01
16
0.01 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.97 2.93 2.86 2.84 2.81 2.78 2.75 0.10 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.69 1.69 0.05 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.08 2.06 2.02 2.01 1.99 1.97 1.96
17
0.01 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.87 2.83 2.76 2.75 2.71 2.68 2.65 0.10 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.74 1.72 1.70 1.69 1.68 1.67 1.66 0.05 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.04 2.02 1.98 1.97 1.95 1.93 1.92
18
0.01 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.78 2.75 2.68 2.66 2.62 2.59 2.57 0.10 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.71 1.70 1.67 1.67 1.65 1.64 1.63 0.05 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 2.00 1.98 1.94 1.93 1.91 1.89 1.88
19
0.01 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.71 2.67 2.60 2.58 2.55 2.51 2.49 0.10 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.69 1.68 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 0.05 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.97 1.95 1.91 1.90 1.88 1.86 1.84
20
0.01 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.64 2.61 2.54 2.52 2.48 2.44 2.42 Payda SD= Küçük Kareler ortalaması serbestlik derecesi.
200
F TABLOSU (Devam)
PaySD Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Dereecesi
Payda SD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.10 2.95 2.56 2.40 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.88 1.86 0.05 4.30 3.44 3.10 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.26 2.23 22 0.01 7.95 5.72 4.80 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.18 3.12 0.10 2.93 2.54 2.30 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 0.05 4.26 3.40 3.00 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.21 2.18 24 0.01 7.82 5.61 4.70 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.09 3.03 0.10 2.91 2.52 2.30 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.84 1.81 0.05 4.23 3.37 3.00 2.74 2>59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.18 2.15 26 0.01 7.72 5.53 4.60 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 3.02 2.96 0.10 2.89 2.50 2.30 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 0.05 4.20 3.34 3.00 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.12 28 0.01 7.64 5.45 4.60 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.96 2.90 0.10 2.88 2.49 2.30 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 0.05 4.17 3.32 2.90 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.13 2.09
30
0.01 7.56 5.39 4.50 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.91 2.84 0.10 2.84 2.44 2.20 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 0.05 4.08 3.23 2.80 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.04 2.00
40
0.01 7.31 5.18 4.30 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.73 2.66 0.10 2.79 2.39 2.20 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.68 1.66 0.05 4.00 3.15 2.80 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92
60
0.01 7.08 4.98 4.10 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.56 2.50 0.10 2.75 2.35 2.10 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.62 1.60 0.05 3.92 3.07 2.70 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.87 1.83
120
0.01 6.85 4.79 4.00 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.40 2.34 0.10 2.73 2.33 2.10 1.97 1.88 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 1.60 1.57 0.05 3.89 3.04 2.70 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88 1.84 1.80
200
0.01 6.76 4.71 3.90 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 2.34 2.27 0.10 2.71 2.30 2.10 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.57 1.55 0.05 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.79 1.75
0.01 6.63 4.61 3.80 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.25 2.18
Payda SD= Küçük kareler ortalaması serbestlik derecesi
201
F TABLOSU (Devam)
PaySD
Büyük Kareler Ortalaması Serbestlik Derecesi
Payda SD 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500
0.10 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.65 1.64 1.61 1.60 1.59 1.58 1.60 0.05 2.15 2.07 2.03 2.00 1.94 1.91 1.89 1.85 1.84 1.82 1.80 1.80
22
0.01 2.98 2.83 2.75 2.70 2.58 2.53 2.50 2.42 2.40 2.36 2.33 2.30 0.10 1.78 1.73 1.70 1.70 1.64 1.62 1.61 1.58 1.57 1.56 1.54 1.50 0.05 2.11 2.03 1.98 1.90 1.89 1.86 1.84 1.80 1.79 1.77 1.75 1.70
24
0.01 2.89 2.74 2.66 2.60 2.49 2.44 2.40 2.33 2.31 2.27 2.24 2.20 0.10 1.76 1.71 1.68 1.70 1.61 1.59 1.58 1.55 1.54 1.53 1.51 1.50 0.05 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.82 1.80 1.76 1.75 1.73 1.71 1.70
26
0.01 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.36 2.33 2.25 2.23 2.19 2.16 2.10 0.10 1.74 1.69 1.66 1.60 1.59 1.57 1.56 1.53 1.52 1.50 1.49 1.50 0.05 2.04 1.96 1.91 1.90 1.82 1.79 1.77 1.73 1.71 1.69 1.67 1.70
28
0.01 2.75 2.60 2.52 2.40 2.35 2.30 2.26 2.19 2.17 2.13 2.09 2.10 0.10 1.72 1.67 1.64 1.60 1.57 1.55 1.54 1.51 1.50 1.48 1.47 1.50 0.05 2.01 1.93 1.89 1.80 1.79 1.76 1.74 1.70 1.68 1.66 1.64 1.60
30
0.01 2.70 2.55 2.47 2.40 2.30 2.25 2.21 2.13 2.11 2.07 2.03 2.00 0.10 1.66 1.61 1.57 1.50 1.51 1.48 1.47 1.43 1.42 1.41 1.39 1.40 0.05 1.92 1.84 1.79 1.70 1.69 1.66 1.64 1.59 1.58 1.55 1.53 1.50
40
0.01 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.06 2.02 1.94 1.92 1.87 1.83 1.80 0.10 1.60 1.54 1.51 1.50 1.44 1.41 1.40 1.36 1.35 1.33 1.31 1.30 0.05 1.84 1.75 1.70 1.70 1.59 1.56 1.53 1.48 1.47 1.44 1.41 1.40
60
0.01 2.35 2.20 2.12 2.00 1.94 1.88 1.84 1.75 1.73 1.68 1.63 1.60 0.10 1.55 1.48 1.45 1.40 1.37 1.34 1.32 1.27 1.26 1.24 1.21 1.20 0.05 1.75 1.66 1.61 1.60 1.50 1.46 1.43 1.37 1.35 1.32 1.28 1.30
120
0.01 2.19 2.03 1.95 1.90 1.76 1.70 1.66 1.56 1.53 1.48 1.42 1.40 0.10 1.52 1.46 1.42 1.40 1.34 1.31 1.28 1.24 1.22 1.20 1.17 1.10 0.05 1.72 1.62 1.57 1.50 1.46 1.41 1.39 1.32 1.29 1.26 1.22 1.20
200
0.01 2.13 1.97 1.89 1.80 1.69 1.63 1.58 1.48 1.44 1.39 1.33 1.30 0.10 1.49 1.42 1.38 1.30 1.30 1.26 1.24 1.18 1.17 1.13 1.08 1.00 0.05 1.67 1.57 1.52 1.50 1.39 1.35 1.32 1.24 1.22 1.17 1.11 1.00
0.01 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.52 1.47 1.36 1.32 1.25 1.15 1.00 Payda SD=Küçük Kareler ortalaması serbestlik derecesi
202
ÖRNEK KORELASYON KATSAYISININ ÖNEMLİ OLUP OLMADIĞINA İLİŞKİN (R) KRİTİK DEĞERLER TABLOSU
İki Yönlü Test Tek Yönlü Test S.D. 0.05 0.01 0.001 0.05 0.01 0.001
1 0.997 - - 0.988 0.999 - 2 0.950 0.990 0.999 0.900 0.980 0.998 3 0.878 0.959 0.991 0.805 0.934 0.986 4 0.811 0.917 0.974 0.729 0.882 0.963 5 0.754 0.875 0.951 0.669 0.833 0.935 6 0.707 0.834 0.925 0.621 0.789 0.905 7 0.660 0.798 0.898 0.582 0.750 0.875 8 0.632 0.765 0.872 0.549 0.715 0.847 9 0.602 0.735 0.847 0.521 0.685 0.820 10 0.576 0.708 0.823 0.497 0.658 0.795 11 0.553 0.684 0.801 0.476 0.634 0.772 12 0.532 0.661 0.780 0.457 0.612 0.750 13 0.514 0.641 0.760 0.441 0.592 0.730 14 0.497 0.623 0.742 0.426 0.574 0.711 15 0.482 0.606 0.725 0.412 0.558 0.694 16 0.468 0.590 0.708 0.400 0.543 0.678 17 0.456 0.575 0.693 0.389 0.529 0.662 18 0.444 0.561 0.679 0.378 0.516 0.648 19 0.433 0.549 0.665 0.369 0.503 0.635 20 0.432 0.537 0.652 0.360 0.492 0.622 21 0.413 0.526 0.640 0.352 0.482 0.610 22 0.404 0.515 0.629 0.344 0.472 0.599 23 0.396 0.505 0.618 0.337 0.462 0.588 24 0.388 0.496 0.607 0.330 0.453 0.578 25 0.381 0.487 0.597 0.323 0.445 0.568
26 0.374 0.478 0.588 0.317 0.437 0.559
27 0.367 0.470 0.579 0.311 0.430 0.550
28 0.361 0.463 0.570 0.306 0.423 0.541
29 0.355 0.456 0.562 0.301 0.416 0.533
30 0.349 0.449 0.554 0.296 0.409 0.526
35 0.325 0.418 0.519 0.275 0.381 0.492
40 0.304 0.393 0.490 0.257 0.358 0.463
50 0.273 0.354 0.443 0.231 0.322 0.419
60 0.250 0.325 0.408 0.211 0.295 0.385
70 0.232 0.302 0.380 0.195 0.274 0.358
80 0.217 0.283 0.357 0.183 0.257 0.336
90 0.205 0.267 0.338 0.173 0.242 0.318
203
ÖRNEK KORELASYON KATSAYISININ ÖNEMLİ OLUP OLMADIĞINA İLİŞKİN
(R) KRİTİK DEĞERLER TABLOSU (Devam)
İki Yönlü Test Tek Yönlü Test S. D. 0.05 0.01 0.001 0.05 0.01 0.001
100 0.195 0.254 0.321 0.164 0.230 0.302 150 0.159 0.208 0.263 0.134 0.189 0.249 200 0.138 0.181 0.230 0.116 0.164 0.216 300 0.113 0.146 0.188 0.095 0.134 0.177 400 0.098 0.128 0.164 0.082 0.116 0.154 500 0.088 0.115 0.146 0.074 0.104 0.138 1000 0.062 0.081 0.104 0.052 0.075 0.098 1500 0.051 0.066 0.085 0.042 0.060 0.080 2000 0.044 0.058 0.073 0.037 0.052 0.069
Daha ziyade (n<100) olan örnekler için kullanılanbu tabloda eleman sayısının iki eksiği düzeyinde serbestlik derecesinde elimizdeki istatistik olarak öneml, olup olmadığı incelenen korelasyon katsayısına en yakın (r) değerinin yeraldığı sütunun başındaki olasılık değeri ( ) 0,05 yada daha küçük ise bağıntının önemli olduğuna hükmedilir.
204
e!r
)rx(Pr
POISSON İHTİMALLERİ TABLOSU
r \ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679 2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839 3 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613 4 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153 5 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031 6 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 7 0.0001
r \
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353
1 0.3662 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707 2 0.2014 0.2169 0.2303 0.2417 0.2510 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707 3 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 0.1804 4 0.0203 0.0260 0.0324 0.0395 0.0471 0.0551 0.0636 0.0723 0.0812 0.0902 5 0.0045 0.0062 0.0084 0.0111 0.0141 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 0.0361 6 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 0.0120 7 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0020 0.0027 0.0034 8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 9 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002
r \ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
0 0.1225 0.1108 0.1003 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498 1 0.2572 0.2438 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1815 0.1703 0.1596 0.1494 2 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240 3 0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2176 0.2205 0.2225 0.2237 0.2240 4 0.0992 0.1082 0.1169 0.1254 0.1336 0.1414 0.1488 0.1557 0.1622 0.1680 5 0.0417 0.0476 0.0538 0.0602 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 0.1008 6 0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0455 0.0504 7 0.0044 0.0055 0.0068 0.0083 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 0.0216 8 0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 0.0081 9 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 0.0027
10 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0008 11 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 12 0.0001
Bu tablo poisson dağılışı ortalaması ( =n.p) bilindiğinde (n) adet denemede (r) defa incelenen ve poisson dağılışı gösteren nadir olayın ( r) defa elde edilme olasılğını belirler. söz gelimi bu populasyonda nadir olayın olasılığuı (p=0,01) ise populasyondan çekilen (1000) bireylik fertleri [( =n.p=(0,01)(100)=1] şeklinde bir bireyde sözü edilen olayın görülme olasılığı en üstte ilk sıfır satırı ise 1. sütunun kesim noktasında 0,3679 elde ederek belirlenir. Bu değer 3679,0e)!0/1()ox(p 10 ile aynıdır.
205
e!r
)rx(Pr
POISSON İHTİMALLERİ TABLOSU (Devam)
r \ .1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0
0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183 1 0.1397 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733 2 0.2165 0.2087 0.2008 0.1929 0.1850 0.1771 0.1692 0.1615 0.1539 0.1465 3 0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 0.1954 4 0.1734 0.1781 0.1823 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1944 0.1951 0.1954 5 0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 0.1563 6 0.0555 0.0608 0.0662 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0936 0.0989 0.1042 7 0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 0.0595 8 0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 0.0298. 9 0.0033 0.0040 0.0047 0.0056 0.0066 0.0076 0.0089 0.0102 0,0116 0.0132
10 0.0010 0.0013 0.0016 0.0019 0.0023 0.0028 0.0033 0.0039 0.0045 0.0053 11 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019 12 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 13 0.0001 0.000 1 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 14 0.0001
r \ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
0 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123 0.01 11
0.0101 0.0091 0.0082 0.0074 0.0067 1 0.0679 0.0630 0.0583 0.0540 0.0500 0.0462 0.0427 0.0395 0.0365 0.0337 2 0.1393 0.1323 0.1254 0.1188 0.1125 0.1063 0.1005 0.0948 0.0894 0.0842 3 0.1904 0.1852 0.1798 0.1743 0.1687 0.1631 0.1574 0.1517 0.1460 0.1404 4 0.1951 0.1944 0.1933 0.1917 0.1898 0.1875 0.1849 0.1820 0.1789 0.1755 5 0.1600 0.1633 0.1662 0.1687 0.1708 0.1725 0.1738 0.1747 0.1753 0.1755 6 0.1093 0.1143 0.1191 0.1237 0.1281 0.1323 0.1362 0.1398 0.1432 0.1462 7 0.0640 0.0686 0.0732 0.0778 0.0824 0.0869 0.0914 0.0959 0.1002 0.1044 8 0.0328 0.0360 0.0393 0.0428 0.0463 0.0500 0.0537 0.0575 0.0614 0.0653 9 0.0150 0.0168 0.0188 0.0209 0.0232 0.0255 0.0280 0.0307 0.0334 0.0363
10 0.0061 0.0071 0.0081 0.0092 0.0104 0.0118 0.0132 0.0147 0.0164 0.0181 11 0.0023 0.0027 0.0032 0.0037 0.0043 0.0049 0.0056 0.0064 0.0073 0.0082 12 0.0008 0.0009 0.0011 0.0014 0.0016 0.0019 0.0022 0.0026 0.0030 0.0034 13 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 14 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 15 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0004 0.0002
206
İSTATİSTİK KALİTE KONTROLÜ İÇİN KÜMÜLATİF POISSON DAĞILIMI OLASILIKLARI TABLOSU
(Partinin kabulü için öngörülen örnkteki fazla kusurlu sayısı) c
c' veya np'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.02 0.980 1.000 0.04 .961 .999 1.00 0.06 .942 .998 1.00 . 0.08 .923 .997 1.00 0.10 .905 .995 1.00 0.15 .861 .990 .999 1.000 0.20 .819 .982 .999 1.000 0.25 .779 .974 .998 1.000 0.30 .741 .963 .996 1.000
0.35 .705 .951 .994 1.000 0.40 .670 .938 .992 .999 1.000 0.45 .638 .925 .989 .999 1.000 0.50 .607 .910 .986 .998 1.000 0.55 .577 .894 .982 .998 1.000 0.60 .549 .878 .977 .997 1.000 0.65 .522 .861 .972 .996 .999 1.000 0.70 .497 .844 .966 .994 .999 1.000 0.75 .472 .827 .959 .993 .999 1.000 0.80 .449 .809 .953 .991 .999 1,000 0.85 .427 .791 .945 .989 .998 1,000 0.90 .407 .772 .937 .987 .998 1.000 0.95 .387 .754 .929 .984 .997 1.000 l.00 .368 .736 .920 .981 .996 .999 1.000
1.1 .333 .699 .900 .974 .995 .999 1.000 1.2 .301 .663 .879 .966 .992 .998 1.000
1.3 .273 .627 .857 .957 .989 .998 1.000 1.4 .247 .592 .833 .946 .986 .997 .999 1000
1.5 .223 .558 .809 .934 .981 .996 .999 1.000 1.6 .202 .525 .783 .921 .976 .994 .999 1.000
1.7 .183 .493 .757 .907 .970 .992 .998 1.000 1.8 .165 .463 .731 .891 .964 .990 .997 .999 1.000
1.9 .150 .434 .704 .875 .956 .987 .997 .999 1.000 2.0 .135 .406 .677 .857 .947 .983 .995 .999 1.000
Burada n:örnek hacmi, p’:kusurlu parça oranı, np’:ana kütle için tahmin edilen nadir o kusurlu parça sayısı(c’) ve c:örnek grubundan çıkan kusurlu parça sayısını gösterir.(N) elemanlık populasyondan (n) elemanlık örnek çekilerek bu örnek içinde (c ) adet belirlenmiş sınırın üstünde sayıda kusurlu parça çıkarsa parti iade edilir, altında is parti kabul edilir. Bu şekilde tek örnekleme planı için (x) ekseninde gelen parti kalitesi (p') ve (y) ekseninde parti kabul olasılığı çizilerek elde edilen çalışma karakteristiği )Ç.K.) belirlenerek eğri çiziminde parti kabul olasılığı bu tablo yardımı ile belirlenir. mesela P'=0,01 için (150)lik örnekde =n.p=150(0,01)=1,5 değerine karşın (c) adetten az kusurlu çıkma olasılığı P(x= c)= yukarıdaki tablodan okunur. mesela yukarıdaki dğerler söz konusu olduğunda c=4 için P(x 3)=0,981'dir.
207
KÜMÜLATİF POISSON DAĞILIMI OLASILIKLARI TABLOSU (Devam)
c c' veya np' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.2 0.111 .355 .623 .819 .928 .975 .993 .998 1.000 2.4 .091 .308 .570 .779 .904 .964 .983 .997 .999 1.000 2.6 .074 .267 .518 .736 .877 .951 .983 .995 .999 1.000
2.8 .061 .231 .469 .632 .848 .935 .976 .992 .998 .999 3.0 .050 .199 .423 .047 .815 .916 .966 .988 .996 .999 3.2 .041 .171 .330 .603 .781 .895 .955 .983 .994 .998 3.4 .033 .147 .340 .553 .744 .871 .942 .977 .992 .997 3.6 .027 .126 .303 .515 .706 .844 .927 969 .988 .996 3.8 .022 .107 .269 .473 .668 .816 .909 .960 .984 .994 4.0 .013 .092 .238 .433 .629 .755 889 .949 .979 ..992 4.2 .015 .078 .210 .395 .590 .753 .867 .936 .972 .989 4.4 .012 .066 .185 .359 .551 .720 .844 .921 .964 .985 4.6 .010 .056 .163 .326 .513 .686 .818 .905 .955 .980 4.8 .008 .048 .143 .294 .476 .615 .791 .887 .944 .975 5.0 .007 .040 .125 .265 .440 .616 .762 .867 .932 .968 5.2 .006 .034 .109 .238 .406 .531 .732 .845 .918 .960 5.4 .005 .029 .095 .213 .373 .456 .702 .822 903 .951 5.8 .004 .024 .082 .191 342 .512 .670 .797 .886 .941
5.8 .003 .021 .072 .170 .313 .478 .638 .771 .867 .929 6.0 .002 .017 .062 .151 .285 .446 .606 .744 .847 .916 10 11 12 13 14 15 16
2.8 1.000 3.0 1.000 3.2 1.000 3.4 .999 1.000 3.6 .999 1.000
3.8 .998 .999 1.000 4.0 .997 .999 1.000
4.2 .996 .999 1.000 4.4 .994 .998 .999 1.000
4.6 .992 .997 .999 1.000 4.8 .990 .996 .999 1.000 5.0 .986 .995 .998 .999 1.000 5.2 .982 .993 .997 .999 1.000 5.4 .977 .990 .996 .999 1.000 5.6 .972 .988 .995 .998 .999 1.000 5.8 .965 .980 .993 .997 .999 1.000
6.0 .957 .980 .991 .996 .999 .999 1.000
208
KÜMÜLATİF POISSON DAĞILIMI OLASILIKLARI TABLOSU (Devam)
c c' veya
np' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6.2 0.002 .015 .054 .134 .259 .414 .574 .716 .826 .902
6.4 .002 .012 .046 .119 .235 .384 .542 .687 .803 .886 6.6 .001 .010 .040 .105 .213 .355 .511 .658 .780 .869 6.8 .001 .009 .034 .093 .192 .327 .480 .623 .755 .850 7.0 .001 .007 .030: .082 .173 .301 .450 .599 .729 .830 7.2 .001 .006 .025 .072 .156 .276 .420 .569 .703 .810 7.4 .001 .005 .022 .063 .140 .253 .392 .539 .676 .788 7.6 .001 .004 .019 .055 .125 .231 .365 .510 .648 .765 7.8 .000 .004 .016 .048 .112 .210 .338
.^ .481 .620 .741
8.0 .000 .003 .014 .042 .100 .191 .313 .453 .593 .717 8.5 .000 .002 .009 .030 .074 .150 .256 .386 .523 .653 9.0 .000 .001 .006 .021 .055 .116 .207 .324 .456 .587 9.5 .000 .001 .004 .015 .040 .089 .165 .269 .392 .522 10.0 .000 .000 .003 .010 .029 .067 .130 .220 .333 .458
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.2 .949 .957 .989 .995 .998 .999 1.000 6.4 .939 .969 .986 .994 .997 .999 1.000
6.6 .927 .963 .982 .992 .997 .999 .999 1.000 6.8 .915 .955 .978 .990 .996 .998 .999 1,000 7.0 .901 .947 .973 .987 .994 .998 .999 1.000
7.2 .887 .937 .967 .984 .993 .997 .999 .999 1 .000 7.4 .871 .926 .961 .980 .991 .996 .998 .999 1.000 7.6 .854 .915 .954 .976 .989 .995 .998 .999 1.000 7.8 .835 .902 .945 .971 .986 .993 .997 .999 1.000
8.0 .816 .888 .936 .966 .983 .992 .996 .998 .999 1.000 8,5 .763 .849 .909 .949 .973 .986 .993 .997 .999 .999 9.0 .706 .803 .876 .926 .959 .978 .989 .995 .998 .999 9.5 .645 .752 .836 .898 .940 .967 .982 .991 .996 .998 10.0 .583 .697 .792 .864 .917 .951 .973 .986 .993 .997
20 21 22
8.5 1.000 9.0 1.000
9.5 .999 1.000
10.0 .998 .999 1.000
209
KÜMÜLATİF POISSON DAĞILIMI OLASILIKLARI TABLOSU (Devam)
c
c' veya np' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.5 0.000 000 002 007 021 050 102 179 279 397 11.0 000 000 001 005 015 038 079 143 232 341 11..5 000 000 001 003 011 028 060 114 191 289 12.0 000 000 001 002 008
••: 020 046 090 155 242
12.5 000 000 000 002 005 015 035 070 : 125 201 13.0 000 000 000 001 004 011 026 054 100 166 13.5 000 000 000 001 003 008 019 041 079 135 14.6 000 000 000 000 002 006 014 032 062 109
14.5 000 000 000 000 001 004 010 024 048 088 15.0 000 000 000 000 001 003 008 018 037 070
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10.5 521 639 742 825 888 932 960 978 988 994
11.0 460 579 689 781 854 907 944 968 982 991 11.5 402 520 633 733 815 878 924. 954 974 986 12.0 347 462 576 682 772 844 899 937 .963 979 12.5 297 406 519 628. 725 806 869 916 948 969 13.0 252 353 463 573 675 764 835 890 930 957
: 13.5 211 304 409 518 623 718 798 861. 908 942 14.0 176 200 358 464 570 669 756 827 883 : 923 14.5 145 220 311 413 518 619 711 790 853 90İ 15.0 118 185 268 363 466 568 664 749 819 875
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
10.5 997 999 999 1.000 11.0 995 998 999 1.000
11.5 992 996 998 999 1.000 12.0 988 994. 997 999 999 1.000 12.5 983 991 995 998 999 .999 1.000 13.0 975 986 992 996 998 999 1.000 13.5 965 980 989 994 997 998 999 1.000 14.0 952 971 983 991 995 997 999 999 1.000 14.5 936 960 976 986' 992 996 998
••'. 999 999 1.000
15.0 917 947 967 981 898 994 997 998 .999 1.000
210
KÜMÜLATİF POISSON DAĞILIMI OLASILIKLARI TABLOSU (Devam)
c
c' veya np' 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
16 0.000 001 004 010 022 043 077 127 193 275 17 000 001 002 005 013 026 049 085 135 201 18 000 000 001 003 007 015 030 055 092 143 19 000 000 001 002 004 009 018 035 061 098 20 000 000 000 001 002 005
; 011 '"••
021 039 066 21 000 000 000 000 001 003 006 013 025 043 22 000 000 000 000 001 002 004 008 015 028 23 000 000 000 000 000 001 002 004 009 017 24 000 000 000 000 000 000 001 003 005 011 25 000 000 000 000 000 000 001 001 003 006
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 368 467 566 659 742 812 868 911 942 963 17 281 371 468 564 655 736 805 861 905 937 18 208 287 375 469 562 65l 731 799 855 899 19 150 215 292 378 469 561 647 725 793 849 20 105 157 221 297 381 470 559 644 721 707 21 072 111 163 227 302 384 471 558 640 716 22 048 077 117 169 232 306 387 472 556 637 23 031 052 082 123 175 238 310 389 472 655 24 020 034
. : 056 087 128 180 243 314 392 473
25 012 022 038 060 : 092 134 185 247 318 394
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
16 978 987 993 996 998 999 999 1.000
17 959 975 985 991 995 997 999 999 1.000
18 932 955 972 983 990 994 997 998 999 1.000 19 893 927 951 969 980 988 993 996 998 999 20 843 888 922 948 966 978 987 992 995 997 21 782 838 883 917 944 963 976 985 991 994 22 712 777 832 877 913 940 959 973 983 989 23 635 708 772 827 873 903 936 956 971 981 24 554 632 704 768 823 868 904 932 953 969 25 473 553 629 700 763 818 863 900 929 950
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 19 999 1.000 20 999 999 1.000
21 997 998 999 999 1.000
22 994 996 998 999 999 1.000
23 988 993 996 997 999 999 ı • .'
1.000
24 979 987 992 995 997 998 999 999 1.000
25 966 978 985 991 994 997 998 999 999 1.000
211
KONTROL DİYAGRAMI KATSAYILARI (2n 15 için)
X Diyagramı x Diyagramı R Diyagramı
AKL ve ÜKL için Katsayılar
OÇ için Katsayılar
AKL ve ÜKL için Katsayılar
OÇ için Katsayılar
AKL ve ÜKL için Katsayılar
Örnek Hacmi
(n)
A A1 A2 C2 B1 B2 B3 B4 d2 D1 D2 D3 D4
2 2.121 3.760 1.680 0.5642 0 1.843 0 3.267 1.128 0 3.686 0 3.267
3 1.732 2.394 1.023 0.7238 0 1.858 0 2.568 1.693 0 4.358 0 2.575 4 1.500 1.880 0.729 0.7979 0 1.808 0 2.266 2.059 0 4.693 0 2.282 5 1.342 1.535 0.577 0.8407 0 1.756 0 2.089 2.326 0 4.918 0 2.115 6 1.225 1.410 0.483 0.8686 0.026 1.711 0.030 1.970 2.534 0 5.078 0 2.004 7 1.134 1.277 0.419 0.8832 0.105 1.672 0.118 1.882 2.704 0.205 5.203 0.076 1.924 8 1.051 1.175 0.373 0.9027 0.167 1533 0.185 1.815 2.847 0.387 5.307 0.136 1.864 9 1.000 1.094 0.337 0.9139 0.219 1.609 0.239 1.761 2.970 0.546 5.394 0.184 1.816
10 0.949 1.028 0.303 0.9227 0.262 1.584 0.234 1.716 3.078 0.687 5.463 0.223 1.777 11 0.905 0.973 0.285 0.9300 0.293 1.561 0.321 1.679 3.173 0.812 5.534 0.256 1.744 12 0.866 0.925 0.266 0.9359 0.331 1.541 0.354 1.646 3.258 0.924 5.592 0284 1.718 13 0.832 0.884 0.249 0.9410 0.359 1.523 0.302 1.618 3.336 : 1.026 5.646 0.308 1.682 14 0.602 0.848 0.235 0.9453 0.384 1.507 0.405 1.594 3.407 1.121 5.693 0.329 1.671
15 0.775 0.616 0.223 0.9493 0.406 1.492 0.428 1.572 3.472 1.207 5.737 0.348 1.652
KULLANILAN FORMÜLLER
Standardlar verildiğine göre Geçmiş bilgilerin analizi İstatistik Ölçüler
OÇ Limitler OÇ Limitler
Ortalama( X )…………………….. X xX A X 1 x
2
X A veya
X A R
Standard sapma; ( x )………… 2 xc 1 x 2 xB ;B X 3 x 4 xB ;B
Dağılma aralığı;(R)……………….. 2 xd 1 X 2 XD ;D R 3 4D R;D R
Değişken;(X)………………… (Az kullanılır) X XX 3 X
2
x 2
X 3R / d veya
X 3 / c
212
KONTROL DİYAGRAMI KATSAYILARI (Devam)
(16n 100 için)
X Diyagramı x Diyagramı
Örnek Hacmi (n)
AKL ve ÜKL için
katsayılar
OÇ için katsayılar
AKL ve ÜKL için katsayılar
A A1 c2 B1 B2 B3 B4 16 0.75 0.79 0.95 0.43 1.48 0.45 1.55 17 73 76 96 44 1.47 47 1.53 18 71 74 96 46 1.45 48 1,52 19 69 72 96 48 1.44 50 1.50 20 67 70 96 49 1,43 51 1.49 21 65 68 96 50 1.42 52 1.48 22 64 66 97 52 1.41 53 1.47 23 63 65 97 53 1.41 54 1.46' 24 61 63 97 54 1.40 55 1.45 25 60 62 97 55 1.39 56 144 30 55 56 97 59 1.36 60 1.40 35 51 52 98 62 1,33 63 1.37 40 47 48 98 65 1.31 66 1,34 45 45 45 98 67 1.30 68 1.32 50 42 43 98 68 1.28 70 1,30 55 40 41 99 70 1.27 71 1.29 60 39 39 99 71 1.26 72 1.28 65 37 38 99 72 1.25 73 1.27 70 36 36 99 74 1.24 74 1.26 75 35 35 99 75 1.23 75 1.25 60 34 34 99 75 1.23 76 1,24 85 33 33 99 76 1.22 77 1.23 90 32 32 99 77 1.22 77 1.23 95 31 31 .99 77 1,21 78 1,22
100 30 30 99 78 1.20 79 1,21 KULLANILAN FORMÜLLLER
Standardlar verildiğine
göre
Geçmiş bilgilerin
analizi
İstatistik Ölçüler
Limitler OC Limitler
Ortalama; X ………... X xX A X xX A Standard sapma; x .....
2 xc 1 2;x xB B x 3 4;x xB B
213
KONTROL GRAFİKLERİNDE KULLANILAN FAKTÖRLER
n A A2 A3 B3 B4 B5 B6 D1 D2 D3 D4 C4 d2
2 2. 121 1.880 2.659 0.000 3.267 0.000 2.606 0.000 3.686 0.000 3.267 0.7979 1.128
3 1.732 1.023 1.954 0.000 2.568 0.000 2.276 0.000 4.358 0.000 2.575 0.8862 1.693
4 1.500 0.729 1.628 0.000 2.266 0.000 2.088 0.000 4.698 0.000 2.282 0.9213 2.059
5 1.342 0.577 1.427 0.000 2.089 0.000 1.964 0.000 4.918 0.000 2.115 0.9400 2.326
6 1.225 0.483 1.287 0.030 1.970 0.029 1.874 0.000 5.078 0.000 2.004 0.9515 2.534
7 1.134 0.419 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806 0.204 5.204 0.076 1.924 0.9594 2.704
8 1.061 0.373 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751 0.388 5.306 0.136 1.864 0.9650 2.847
9 1.000 0.337 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707 0.547 5.393 0.184 1.816 0.9693 2.970
10 0.949 0.308 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669 0.687 5.469 0.223 1.777 0.9727 3.078
11 0.905 0.285 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637 0.811 5.535 0.256 1.744 0.9754 3.173
12 0.866 0.266 0.886 0.354 1.646 0.346 1.610 0.922 5.594 0.283 1.717 0.9776 3.258
13 0.832 0.249 0.850 0.382 1.618 0.374 1.585 1.025 5.647 0.307 1.693 0.9794 3.336
14 0.802 0.235 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563 1.118 5.696 0.328 1.672 0.9810 3.407
15 0.775 0.223 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544 1.203 5.741 0.347 1.653 0.9823 3.472
16 0.750 0.212 0.763 0.448 1.552 0.440 1.526 1.282 5.782 0.363 1.637 0.9835 3.532
17 0.728 0.203 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511 1.356 5.820 0.378 1.622 0.9845 3.588
18 0.707 0.194 0.718 0.482 1.518 0.475 1.496 1.424 5.856 0.391 1.608 0.9854 3.640
19 0.688 0.187 0.698 0.497 1.503 0.490 1.483 1.487 5.891 0.403 1.597 0.9862 3.689
20 0.671 0.180 0.680 0.510 1.490 0.504 1.470 1.549 5.921 0.415 1.585 0.9869 3.735
21 0.655 0.173 0.663 0.523 1.477 0.516 1.459 1.605 5.951 0.425 1.575 0.9876 3.778
22 0.640 0.167 0.647 0.534 1.466 0.528 1.448 1.659 5.979 0.434 1.566 0.9882 3.819
23 0.626 0.162 0.633 0.545 1.455 0.539 1.438 1.710 6.006 0.443 1.557 0.9887 3.858
24 0.612 0.157 0.619 0.555 1.445 0.549 1.429 1.759 6.031 0.451 1.548 0.9892 3.895
25 0.600 0.153 0.606 0.565 1.435 0.559 1.420 1.806 6.056 0.459 1.541 0.9896 3.931
214
BİNOM DAĞILIŞI İÇİN (%99) GÜVEN ARALIĞI
Örnek Büyüklüğü Gözlenen Kısım Örnek Büyüklüğü Gözlem
Sayısı 10 15 20 30 50 100 Fn 250 1000
0 0 38 0 28 0 21 0 15 0 10 0 5 0.00 0 2 0 1 1 0 52 0 38 0 30 0 21 0 14 0 7 0.01 0 5 0 2 2 1 63 1 47 0 38 0 26 0 17 0 9 0.02 1 6 1 3 3 4 71 3 54 2 43 1 31 1 20 0 10 0.03 1 7 2 4 4 9 79 5 63 4 50 2 35 1 23 1 12 0.04 2 9 3 6 5 15 85 9 68 6 58 4 39 2 25 1 13 0.05 2 10 3 7 6 21 91 13 73 9 61 6 43 3 29 2 14 0.06 3 11 4 8 7 29 96 17 78 12 64 8 47 4 31 2 16 0.07 3 13 5 9 8 37 99 22 83 16 71 10 51 6 33 3 17 0.08 4 14 6 10 9 48 100 27 87 20 73 12 54 7 36 3 18 0.09 5 15 7 12 10 52 100 32 91 20 80 15 57 8 38 4 19 0.10 6 16 8 13 11 37 95 27 80 15 62 10 40 4 20 0.11 6 17 9 14 12 46 97 29 84 19 66 11 43 5 21 0.12 7 18 9 15 13 53 99 36 88 20 68 12 45 6 23 0.13 8 19 10 16 14 62 100 39 91 24 70 14 47 6 24 0.14 9 20 11 17 15 72 100 42 94 25 75 15 49 7 26 0.15 9 22 12 18 16 50 96 30 76 17 51 8 27 0.16 10 23 13 19 17 57 98 32 80 18 53 9 29 0.17 11 24 14 20 18 62 100 34 81 20 55 9 30 0.18 12 25 15 21 19 70 100 38 85 21 57 10 31 0.19 13 26 16 22 20 79 100 43 85 23 59 11 32 0.20 14 27 17 23 21 46 88 24 61 12 33 0.21 15 28 18 24 22 49 90 26 63 12 34 0.22 16 30 19 26 23 53 92 28 65 13 35 0.23 17 31 20 27 24 57 94 29 67 14 36 0.24 18 32 21 28 25 61 98 31 69 15 38 0.25 18 33 22 29 26 65 98 33 71 15 39 0.26 19 34 22 30 27 69 99 35 72 16 40 0.27 20 35 23 31 28 74 100 37 74 17 41 0.28 21 36 24 32 29 79 100 39 76 18 42 0.29 22 37 25 33 30 84 100 41 77 19 43 0.30 23 38 26 34 31 43 79 20 44 0.31 24 39 27 35 32 45 80 21 45 0.32 25 40 28 36 33 47 82 21 46 0.33 26 41 29 37 34 49 83 22 47 0.34 26 42 30 38 35 51 85 23 48 0.35 27 43 31 39 36 53 85 24 49 0.36 28 44 32 40 37 55 88 25 50 0.37 29 45 33 41 38 57 89 26 51 0.38 30 46 34 42 39 60 90 27 52 0.39 31 47 35 43 40 62 92 28 53 0.40 32 48 36 44 41 64 93 29 54 0.41 33 50 37 45 42 67 94 29 55 0.42 34 51 38 46 43 69 96 30 56 0.43 35 52 39 47 44 71 97 31 57 0.44 36 53 40 48 45 74 98 32 58 0.45 37 54 41 49 46 77 99 33 59 0.46 38 55 42 50 47 80 99 34 60 0.47 39 55 43 51 48 83 100 35 61 0.48 40 56 44 52 49 85 100 36 62 0.49 41 57 45 53 50 90 100 37 63 0.50 42 58 46 54
Eğer (fn) 50’yi aşarsa (1 – fn) okur ve her güven aralığı 100’den çıkarılır. Bu tablo en sağdaki iki sütun gözlenen oranlar cinsinden soldakiler ise gözlenen sayılar cinsinden örnek büyüklüğünde örnekde belli bir sonuç mesela 3 kere gözlenmiş ise örnek oranı 3/20=0,15'dir. Ancak populasyonda bu değerin %99 olasılıkla bulunacağı aralık %2 ile %43 arasındadır şeklinde yorumlanır. Örnek oranlarının örnekleme dağılışın normal dağılış olması varsayımı ile aşırı eğiklik söz konusu olduğunda n)P1(P96,1
1p şeklinde işlem geçerli olmaz. Bu nedenle yukarıdaki değerler eğiklik nedeniyle altsınırın orta nokta (örnek oranında) uzaklığı ve üst sınırın örnek oranın uzaklığı eşit değildir. Bu durum eğiklik gösterir. Bu durum eğikliği gösterir. (n) büyük q=0,5 ise yaklaşırsa sözü edilen orta noktadan uzaklıklar eşitlenir.
215
BİNOM DAĞILIŞI İÇİN (%95) GÜVEN ARALIĞI
Örnek Büyüklüğü Gözlenen Kısım Örnek Büyüklüğü Gözlem
Sayısı 10 15 20 30 50 100 Fn 250 1000
0 0 27 0 20 0 15 0 10 0 7 0 4 0.00 0 1 0 0 1 0 40 0 31 0 23 0 17 0 11 0 5 0.01 0 4 0 2 2 3 61 2 37 1 30 1 21 0 14 0 7 0.02 1 5 1 3 3 8 62 5 45 4 36 2 25 1 17 1 8 0.03 1 6 2 4 4 15 74 9 56 7 42 4 30 2 19 1 10 0.04 2 7 3 5 5 22 78 14 64 10 47 6 33 3 22 2 11 0.05 3 9 4 7 6 26 85 19 67 14 54 9 37 5 24 2 12 0.06 3 10 5 8 7 38 92 19 71 14 59 10 41 6 27 3 14 0.07 4 11 6 9 8 39 97 20 81 20 65 13 44 7 29 4 15 0.08 5 12 6 10 9 60 100 33 81 22 71 16 48 9 31 4 16 0.09 6 13 7 11 10 73 100 36 86 29 71 17 53 10 34 5 18 0.10 7 14 8 12 11 44 91 29 78 20 56 12 36 5 19 0.11 7 16 9 13 12 55 95 35 80 23 60 13 38 6 20 0.12 8 17 10 14 13 63 98 41 86 24 64 15 41 7 21 0.13 9 18 11 15 14 69 100 47 86 29 68 16 43 8 22 0.14 10 19 12 16 15 80 100 53 90 32 68 18 44 9 24 0.15 10 20 13 17 16 58 93 32 71 20 46 9 25 0.16 11 21 14 18 17 64 96 36 76 21 48 10 26 0.17 12 22 15 19 18 70 99 40 77 23 50 11 27 0.18 13 23 16 21 19 77 100 44 80 25 53 12 28 0.19 14 24 17 22 20 85 100 47 83 27 55 13 29 0.20 15 26 18 23 21 52 84 28 57 14 30 0.21 16 27 19 24 22 56 87 30 59 14 31 0.22 17 28 19 25 23 59 90 32 61 15 32 0.23 18 29 20 26 24 63 91 34 63 16 33 0.24 19 30 21 27 25 67 94 35 64 17 35 0.25 20 31 22 28 26 70 96 37 66 18 36 0.26 20 32 23 29 27 75 98 39 68 19 37 0.27 21 33 24 30 28 79 99 41 70 19 38 0.28 22 34 25 31 29 83 100 43 72 20 39 0.29 23 35 26 32 30 90 100 45 73 21 40 0.30 24 36 27 33 31 47 75 22 41 0.31 25 37 28 34 32 50 77 23 42 0.32 26 38 29 35 33 52 79 24 43 0.33 27 39 30 36 34 54 80 25 44 0.34 28 40 31 37 35 56 82 26 45 0.35 29 41 32 38 36 57 84 27 46 0.36 30 42 33 39 37 59 85 28 47 0.37 31 43 34 40 38 62 87 28 48 0.38 32 44 35 41 39 64 88 29 49 0.39 33 45 36 42 40 66 90 30 50 0.40 34 46 37 43 41 69 91 31 51 0.41 35 47 38 44 42 71 93 32 52 0.42 36 48 39 45 43 73 96 33 53 0.43 37 49 40 46 44 76 95 34 54 0.44 38 50 41 47 45 78 97 35 55 0.45 39 51 42 48 46 81 98 36 56 0.46 40 52 43 49 47 83 99 37 57 0.47 41 53 44 50 48 86 100 38 58 0.48 42 54 45 51 49 89 100 39 59 0.49 43 55 46 52 50 93 100 40 60 0.50 44 56 47 53
Eğer (fn) 50’yi aşarsa (1 – fn) okur ve her güven aralığı 100’den çıkarılır.
216
PARAMETRİK OLMAYAN YÖNTEMLERİN KULLANILIŞI VE
PARAMETRİK KARŞILIKLARI
Parametrik Olmayan Yöntemler Kullanılışı Parametrik Karşılıkları
İşaret Testi Wilcoxon işaretli rank testinin basitleştirilmiş
şeklidir Eşleştirilmiş t testi
Wilcoxon işaretli-rank test
Eşleştirilmiş gözlemler arasındaki farklılıkları
test eder
Eşleştirilmiş t testi
Mann-Whitney U testi Bağımsız iki grubu karşılaştırır
iki bağımsız örnek için t testi
Kruskal-Wallis'in bir yönlü varyans analizi
Birkaç grubu karşılaştırır Bir yönlü varyans analizi
Friedman'ın iki yönlü varyans analizi
İki değişken değerleri ile tanımlı, grupları
karşılaştırır
İki yönlü varyans analizi
Spearman'ın rank korelasyon katsayısı
İki değişken arasındaki ilişkiyi verir
Pearson'ın momentler çarpımı korelasyon
katsayısı KendaH'ın rank
korelasyon katsayısı Spearman'ın rank
korelasyon katsayısının alternatifidir
Pearson'ın momentler çarpımı korelasyon
katsayısı
Ki-Kare uyum iyiliği testi
Gözlenen frekans dağılışlarını, beklenen değerlerle karşılaştırır
Kolmogorov-Simirnov tek örnek testi
Khi-Kare uyum iyiliği testi karşılığıdır
Kolmogorov-Simirnov çift örnek testi
İki frekans dağılışını karşılaştırır.
217
KRUSKAL - WALLIS TEST İSTATİSTİĞİNİN KRİTİK DEĞERLERİ
5 den küçük birey içeren gruplar için üç gruba kadar non parametrik grup ya da kritik değerler.
Örnek hacimleri
Örnek hacimleri
n1 n2 n3 Kritik değer Hata
Düzeyi
n1 n2 n3 Kritik değer Hata Düzeyi
2 1 1 2.7000 0.500 4.7000 0.101 2 2 1 3.6000 0.200 4 4 1 6.5567 0.010 2 2 2 4.5714 0.067 6.1667 0.022 3.7143 0.200 4.9667 0.043 3 3.2000 0.300 4.8667 0.054 3 2 1 4.2857 0.100 4.1667 0.082 3.8571 0.133 4.0657 0.102 3 2 2 5.3572 0.029 4 4 2 7.0364 0.006 4 7143 0.045 6.8727 0.011 4.5000 0.067 5.4545 0.046 4.4643 0.105 5.2364 0.052 3 3 1 5.1429 0.043 4 5545 0.098 4 5714 0.100 4.4455 0.103 4.0000 0.129 4 4 3 7.1433 0.010 3 3 2 6.2500 0.011 7.1364 0.011 5.3811 0.032 5.5985 0.049 5.1389 0.061 5.5753 0.051 4.5556 0 100 4.5455 0.099 4.2500 0.121 4 4773 0 102 3 3 3 7.2000 0.004 4 4 4 75535 0.008 6.4889 0.011 7.53Ğ5 0.011 5 6539 0.029 5.5323 0.049 5.6000 0.050 5.6533 0.054 5.0667 0.056 4.5539 0.097 4.6222 0.100 4.5001 0.104 4 1 1 3.5714 0.200 5 1 1 3.8571 0.143 4 2 1 4.3214 0.057 5 2 1 5.2500 0.036 4.5000 0.076 5.0000 0048 4.0175 0.114 4.4500 0.071 4 2 2 6.0000 0.014 4.2000 0.095 5.3333 0.033 4.0500 0.119 5.1250 0.052 5 2 2 6.5333 0.008 4.4583 0.100 6.1333 0.013 4.1667 0.105 5.1500 0.034 4 3 1 5.8333 0.021 5.0400 0.055 5.20S3 0.050 4.3733 0.090 5.0000 0.057 4.2923 0.122 4.0556 0.093 5 3 1 6.4000 0.012 3.8889 0.129 4.9600 0.048 4 3 2 6.4444 0.008 4.8711 0.052 6.3000 0.011 4.0178 0.095 5.4444 0.046 3.8400 0.123 5.4000 0.051 5 3 2 6.9091 0.009 4.5111 0.098 6.8218 0.010 4.4444 0.102 5.2509 0.049 4 3 3 6.7455 0.010 5.1055 0.052 6.7091 0.013 4.6509 0.091 5.7909 0.046 4.4945 0.101 5.7273 0.050 5 3 3 7.0733 0.009 4.7091 0.092 6.3313 0.011
218
KRUSKAL - WALLİS TEST İSTATİSTİĞİNİN KRİTİK DEĞERLERİ (Devam)
Örnek hacimleri Örnek hacimleri
n1 n2 n3 Kritik Değer
Hata Düzeyi n1 n2 n3 Kritik Değer
Hata Düzeyi
5 3 3 5.5425 0.049 5 5 1 6.8364 0.011 5.5152 0.051 5.1273 0.046 4.5333 0.097 4.9091 0.053 4.4121 0.109 4.1091 0.086
5 4 1 6.9545 0.008 4.0364 0.105 6.5400 0.011 5 5 2 7.3385 0.010 4.9855 0.044 7.2692 0.010 4.8600 0.056 5.3385 0.047 3.9873 0.098 5.2462 0.051 3.9600 0.102 4.6231 0.097
5 4 2 7.2045 0.009 4.5077 0.100 7.1182 0.010 5 5 3 7.5780 0.010 5.2727 0.049 7.5429 0.010 5.2562 0.050 5.7055 0.046 4.5409 0.098 5.6264 0.051 4.5182 0.101 4.5451 0.100
5 4 3 7.4449 0.010 45363 0.102 7.3949 0.011 5 5 4 7.3229 0.010 5.6564 0.049 7.7914 0.010 5.6303 0.050 5.6657 0.049 4.5487 0.059 5.6429 0.050 4.5231 0.103 4.5229 0 099
5 4 4 7.7504 0.009 4.5200 0.101 7.7440 0.011 5 5 5 8.0000 0.009 5.6571 0.049 7.9800 0.010 5.6175 0.050 5.7800 0.049 4.6187 0.100 5.6600 0.051 4.5527 0.102 4.5600 0.100
5 5 1 7.3091 0.009 4.5000 0.102 Kaynak: W. H. Kruskal and W. A. Wallis. "Use of Ranks in One-Criterion Analysis of Variance," J. Amer. Statistic. Assoc.. 47 (1952). 583-621. Addendum.Ibid. 48 (1953). 907-911. İncelenen örnek için elde edilen (H) değeri tablodaki kritik değer ile karşılaştırılır. Eğer Hn>Hkritik red olunur. Seçilen ( ) hata seviyesi için tabloda yok ise buna en yakın komşu değer alınır.
219
1nnd61r 22is ŞEKLİNDE HESAPLANAN SPEARMAN SIRA
KORELASYON KATSAYISININ ÖNEM KONTROLÜNE İLİŞKİN KRİTİK DEĞERLER TABLOSU
(2): 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001
0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005
n
4 0.600 1.000 1.000 5 0.500 0.500 0.900 1.000 1.000 6 0.371 0.557 0.829 0.856 0.943 1.000 1.000 7 0.221 0.571 0.714 0.786 0.893 0.929 0.954 1.000 1.000 8 0.310 0.524 0.643 0.738 0.833 0.881 0.905 0.952 0.975 9 0.267 0.483 0.600 0.700 0.783 0.833 0.857 0.917 0.933
10 0.243 0.455 0.564 0.648 0.745 0.794 0.830 0.879 0.903 11 0.236 0.427 0.535 0.518 0.709 0.755 0.800 0.845 0.873 12 0.217 0.406 0.503 0.537 0.678 0.727 0.769 0.818 0.846 13 0.209 0.335 0.484 0.550 0.648 0.703 0.747 0.791 0.824 14 0200 0.357 0.464 0.538 0.526 0.679 0.723 0.771 0.802 15 0.189 0.354 0.445 0.521 0.604 0.654 0.700 0.750 0.779 16 0.182 0.341 0.429 0.503 0.582 0.635 0.579 0.729 0.762 17 0.175 0.328 0.414 0.485 0.565 0.615 0.652 0.713 0.748 18 0.170 0.317 0.401 0.472 0.550 0.600 0.643 0.695 0.728 15 0.165 0.309 0.391 0.450 0.535 0.584 0.62S 0.677 0.712 20 0.161 0.299 0.330 0.447 0.520 0.570 0.612 0.662 0.596 21 0.156 0.292 0.370 0.435 0.508 0.555 0.599 0.548 0.681 22 0.152 0.284 0.361 0.425 0.496 0.544 0.585 0.634 0.657 23 0.148 0.278 0.353 0.415 0.486 0.532 0.573 0.622 0.654 24 0 144 0.271 0.344 0.406 0.475 0.521 0.552 0.510 0.642 25 0.142 0.255 0.337 0.398 0.466 0.511 0.551 0.598 0.630 26 0.138 0.259 0.331 0.390 0.457 0.501 0.541 0.537 0.619 27 0 136 0.255 0.324 0.382 0.448 0.491 0.531 0.577 0.608 28 0 133 0.250 0.317 0.375 0.440 0.483 0.522 0.557 0.598 29 0 130 0.245 0.312 0.358 0.433 0.475 0.513 0.558 0.589 30 0 128 0.240 0.305 0.352 0.425 0.467 0.504 0.549 0.580 31 0 126 0.235 0.301 0.356 0.418 0.459 0.496 0.541 0.571 32 0.124 0.232 0.296 0.350 0.412 0.452 0.489 0.533 0.563 33 0.121 0.229 0.291 0.345 0.405 0.446 0.482 0.525 0.554 34 0.120 0.225 0.287 0.340 0.399 0.439 0.475 0.517 0.547 35 0.118 0.222 0.283 0.335 0.394 0.433 0.468 0.510 0.539 36 0.116 0.219 0.279 0.330 0.388 0.427 0.452 0.504 0.533 37 0.114 0.216 0.275 0.325 0.383 0.421 0.455 0.497 0.526 38 0.113 0.212 0.271 0.321 0.378 0.415 0.450 0.491 0.519 39 0.111 0.210 0.257 0.317 0.373 0.410 0.444 0.485 0.513 40 0.110 0 207 0.264 0.313 0.358 0.405 0.439 0.479 0.507 41 0.108 0.204 0.261 0.309 0.364 0.400 0.433 0.473 0.501 42 0.107 0.202 0.257 0.305 0.359 0.395 0.428 0.468 0.495 43 0.105 0.199 0.254 0.301 0.355 0.391 0.423 0.463 0.490 44 0.104 0.197 0.251 0.298 0.351 0.385 0.419 0.458 0.484 45 0.103 0.194 0.248 0.294 0.347 0.382 0.414 0.453 0.479 46 0.102 0.192 0.245 0.291 0.343 0.378 0.410 0.448 0.474 47 0.101 0.190 0.243 0.288 0.340 0.374 0.405 0.443 0.469 48 0.100 0.183 0.240 0.285 0.336 0.370 0.401 0.439 0.465 43 0.098 0 186 0.238 0.282 0.333 0.366 0.397 0.434 0.460 50 0.097 0.154 0.235 0.279 0.329 0.363 0.393 0.430 0.456
Eğer örnekte bulunan (rs) değeri bir yönlü 1 ise iki yönlü 2 test için bir teste kritik değer 0,464 dür.
220
SPEARMAN SIRA KORELASYON KATSAYISININ ÖNEM KONTROLÜNE İLİŞKİN KRİTİK DEĞERLER TABLOSU (Devam)
Kaynak: Jerrold H. Zar. Biostatistical Analysis, 2e. © 1984, pp.577-578. Reprinted by permission of Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, New Jersey.
(2): 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001
(1): 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 n
51 0.095 0.182 0.233 0.276 0.225 0.359 0.390 0.426 0.451
52 0.095 0.180 0.231 0.274 0.323 0.356 0.386 0.422 0.447 53 0.095 0.179 0.228 0.271 0.320 0.352 0.382 0.418 0.443 54 0.094 0.177 0.226 0.268 0.317 0.349 0.379 0.414 0.439 55 0.093 0.175 0.224 0.265 0.314 0.346 0.375 0.411 0.435 56 0.092 0.174 0.222 0.264 0.311 0.343 0.372 0.407 0.432 57 0.091 0.172 0.220 0.261 0.308 0.340 0.369 0.404 0.428 58 0.090 0 171 0.218 0.259 0.306 0.337 0.366 0.400 0.424 59 0.089 0.169 0.216 0.257 0.303 0.334 0.363 0.397 0.421 60 0.089 0.168 0.214 0.255 0.300 0.331 0.360 0.394 0.418 61 0.088 0.166 0.213 0.252 0.298 0.329 0.357 0.391 0.414 62 0.087 0.165 0.211 0.250 0.296 0.326 0.354 0.388 0.411 63 0.085 0.163 0.209 0.248 0.293 0.323 0.351 0.385 0.408 64 0.085 0.162 0.207 0.246 0.291 0.321 0.348 0.382 0.405 65 0.085 0.161 0.206 0.244 0.289 0.318 0.346 0.379 0.400 66 0.084 0.160 0.204 0.243 0.287 0.316 0.343 0.376 0.399 67 0.084 0 158 0.203 0.241 0284 0.314 0.341 0.373 0.396 68 0.083 0 157 0.201 0.239 0.282 0.311 0.338 0.370 0.393 69 0.082 0.156 0.200 0.237 0.250 0.309 0.336 0.368 0 390 70 0.082 0 155 0.198 0.235 0.278 0.307 0.333 0.355 0.388 71 0.081 0.154 0.197 0.234 0.275 0.305 0.331 0.363 0.385 72 0.081 0.153 0.195 0.232 0.274 0.303 0.329 0.350 0.382 73 0.080 0 152 0.194 0.230 0.272 0.301 0.327 0.358 0.380 74 0.080 0.151 0.193 0.229 0.271 0.299 0.324 0.355 0.377 75 0.079 0.150 0.191 0.227 0.269 0.297 0.322 0.253 0.375 76 0 078 0.149 0.190 0.225 0.267 0.295 0.320 0.351 0.372 77 0.078 0.148 0.189 0.224 0.255 0.293 0.318 0.349 0.370 78 0.077 0.147 0.183 0.223 0.254 0.291 0.316 0.346 0.368 79 0.077 0 146 0.186 0.221 0.262 0.289 0.314 0.344 0.365 80 0.075 0.145 0.185 0.220 0.250 0.287 0.312 0.342 0.363 81 0.075 0.144 0.184 0.219 0.259 0.285 0.310 0.340 0.361 82 0.075 0 143 0.183 0.217 0.257 0.284 0.308 0.333 0.359 83 0.075 0 142 0.182 0.216 0255 0.282 0.305 0.336 0.357 84 0.074 0.141 0.181 0.215 0.254 0.280 0.305 0.334 0.355 85 0.074 0 140 0.180 0.213 0.252 0.279 0.303 0.332 0.353 86 0.074 0.139 0 179 0.212 0.251 0.277 0.301 0.330 0.351 87 0.073 0.139 0.177 0.211 0.250 0.276 0.299 0.328 0.349 88 0.072 0.138 0.176 0.210 0.248 0.274 0.298 0.327 0.347 89 0.072 0 137 0.175 0.209 0.247 0.272 0.296 0.325 0.345 90 0.072 0.136 0.174 0.207 0.245 0.271 0.294 0.323 0.343 91 0.072 0 135 0.173 0.206 0.244 0.269 0.293 0.321 0.341 92 0.071 0.135 0.173 0.205 0.243 0.268 0.291 0.319 0.339 93 0.071 0.134 0.172 0.204 0.241 0.257 0.290 0.318 0.338 94 0.070 0.133 0.171 0.203 0.240 0.265 0.288 0.316 0.336 95 0.070 0.133 0.170 0.202 0.239 0.264 0.287 0.314 0.334 96 0.070 0.132
i 0.169 0.201 0.238 0.262 0.235 0.313 0.332
97 0.069 0.131 0.168 0.200 0.236 0.261 0.284 0.311 0.331 98 0.063 0.130 0.167 0.199 0.235 0.260 0.282 0.310 0.329 99 0.053 0.130 0.166 0.198 0.234 0.258 0.281 0.308 0.327 100 0.063 0.129 0.165 0.197 0.233 0.257 0.279 0.307 0.325
221
MANN-WHITNEY U TESTİ TABLOSU
n1 P n1=2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 .001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 D 0 0 0 0 0 .005 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 .01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 .025 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 7 2 3 3 3 3 .05 0 0 0 1 1 1 2 2 3 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 .10 0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 .001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 t 1 1 .005 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 3 .01 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 S 5 6 .025 0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 .05 0 1 1 2 3 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 .10 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 .001 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 .005 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8 9 4 .01 0 0 0 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 9 8 9 10 10 11 .025 0 0 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 14 15 .05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 .10 1 2 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 23 .001 0 0 0 0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8 .005 0 0 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 11 12 13 14 5 .01 0 0 1 2 3 4 5 1 7 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 .025 0 1 2 3 4 6 7 | 9 10 12 13 14 15 16 18 19 20 21 .05 1 2 3 5 6 7 9 11 12 13 14 16 17 19 20 21 23 24 26 .10 2 3 5 6 8 9 11 13 14 16 18 19 21 23 24 26 26 29 31 .001 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 .005 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 16 17 18 19 6 .01 0 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14 16 17 19 20 21 23 .025 0 2 3 4 6 7 9 11 12 14 15 17 18 20 22 23 25 26 28 .05 1 3 4 6 8 9 11 13 15 17 18 20 22 24 26 27 29 31 33 .10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 35 37 39 .001 0 0 0 0 2 3 4 6 7 6 9 10 11 12 14 IS 16 17 .005 0 0 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 22 23 25 7 .01 0 1 2 4 5 7 8 10 12 13 15 17 18 20 22 24 25 27 29 .025 0 2 4 6 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 .05 1 3 5 7 9 12 14 16 18 20 22 25 27 29 31 34 36 38 40 .10 2 5 7 9 12 14 1 19 22 24 27 29 32 34 37 39 42 44 47 .001 0 0 0 1 2 3 5 6 7 9 10 12 13 15 16 18 19 21 22 .005 0 0 2 3 5 7 8 10 12 14 16 18 19 21 23 25 27 29 31 8 .01 0 1 3 5 7 8 10 12 14 16 18 21 23 25 27 29 31 33 35 .025 1 3 5 7 9 11 14 16 18 20 23 25 27 30 32 35 37 39 42 .05 2 4 6 9 11 14 16 19 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 48 .10 3 6 8 11 14 17 20 23 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 .001 0 0 0 2 3 4 6 8 9 11 13 15 IS 18 20 22 24 26 27 .005 0 1 2 4 6 8 10 12 14 17 19 21 23 25 28 30 32 34 37 9 .01 0 2 4 6 8 10 12 15 17 19 22 24 27 29 32 34 37 39 41 .025 1 3 5 8 11 13 10 18 21 24 27 29 32 35 30 40 43 46 49 .05 2 5 7 10 13 16 19 22 25 26 31 34 37 40 43 46 49 52 55 .10 3 5 10 13 16 19 23 26 29 32 36 39 42 46 49 53 56 59 63
222
MANN-WHITNEY U TESTİ TABLOSU (Devam)
n2 P n2=2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 I5 16 17 18 19 20
001 0 0 1 2 4 6 7 9 11 13 15 18 20 22 24 26 28 30 33 .005 0 1 3 5 7 10 12 14 17 19 22 25 27 30 32 35 38 40 43 10 .01 0 2 4 7 9 12 14 17 20 23 25 28 31 34 37 39 42 45 48 .025 1 4 6 9 12 15 18 21 24 27 30 34 37 40 43 46 49 53 56 .05 2 5 8 12 15 18 21 25 28 32 35 38 42 45 49 52 56 59 63 10 4 7 11 14 18 22 25 29 33 37 40 44 48 52 55 59 63 67 71 .001 0 0 1 3 5 7 9 11 13 16 18 21 23 25 28 30 33 35 38 .005 0 1 3 6 8 11 14 17 19 22 25 26 31 34 37 40 43 46 49 11 .01 0 2 5 8 10 13 16 19 23 28 29 32 35 38 42 45 48 51 54
.025 1 4 7 10 14 17 20 24 27 31 34 38 41 45 48 52 56 59 63
.05 2 6 9 13 17 20 24 28 32 35 39 43 47 51 55 58 62 66 70 .10 4 8 12 16 20 24 28 32 37 41 45 49 53 58 62 66 70 74 79 001 0 0 1 3 5 8 10 13 15 18 21 24 26 29 32 35 36 41 43 005 0 2 4 7 10 13 16 19 22 25 28 32 35 38 42 45 48 52 55 12 .01 0 3 6 9 12 15 18 22 25 29 32 38 39 43 47 50 54 57 61 .025 2 5 8 12 15 19 23 27 30 34 38 42 48 50 54 58 62 66 70
.05 3 6 10 14 18 22 27 31 35 39 43 48 52 56 61 65 69 73 78 .10 5 9 13 18 22 27 31 36 40 45 50 54 59 64 68 73 78 82 87 .001 0 0 2 4 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 43 46 49 .005 0 2 4 8 11 14 18 21 25 28 32 35 39 43 46 50 54 58 61 13 .01 1 3 6 10 13 17 21 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 .025 2 5 9 13 17 21 25 29 34 38 42 46 51 55 60 64 68 73 77 .05 3 7 11 18 20 25 29 34 38 43 48 52 57 62 66 71 76 81 85 .10 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 69 75 80 85 90 95 .001 0 0 2 4 7 10 13 16 20 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 .005 0 2 5 8 12 16 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 64 68 14 .01 1 3 7 11 14 18 23 27 31 35 39 44 48 52 57 61 66 70 74 .025 2 6 10 14 18 23 27 32 37 41 46 51 56 60 65 70 75 79 84 .05 4 8 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 78 63 88 93 .10 5 11 16 21 26 32 37 42 48 53 59 64 70 75 81 86 92 98 103 .001 0 0 2 5 8 11 15 18 22 25 29 33 37 41 44 48 52 56 60 .005 0 3 6 9 13 17 21 25 30 34 36 43 47 52 56 61 65 70 74 15 .01 1 4 8 İ2 16 20 25 29 34 38 43 48 52 57 62 67 71 76 81 .025 2 6 11 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 71 76 81 86 91
.05 4 8 13 19 24 29 34 40 45 51 56 62 67 73 78 84 89 95 101 .10 6 11 17 23 28 34 40 46 52 58 64 69 75 61 87 93 99 105 111 .001 0 0 3 6 9 12 16 20 24 26 32 36 40 44 49 53 57 61 66
.005 0 3 6 10 14 19 23 28 32 37 42 46 51 58 61 66 71 75. 10 16 .01 1 4 8 13 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 83 88 .025 2 7 12 16 22 27 32 38 43 48 54 60 65 71 78 82 87 93 99 .05 4 9 15 20 26 31 37 43 49 55 61 66 72 78 84 90 96 102 108 .10 6 12 18 24 30 37 43 49 55 62 68 75 81 87 94 100 107 113 120 .001 0 1 3 6 10 14 18 22 26 30 35 39 44 48 53 58 62 87 71 .005 0 3 7 11 16 20 25 30 35 40 45 50 55 61 66 71 76 82 87 17 .01 1 5 9 14 19 24 29 34 39 45 50 56 61 67 72 78 83 89 94 .025 3 7 12 18 23 29 35 40 48 52 58 54 70 76 62 88 94 100 106 .05 4 10 18 21 27 34 40 48 52 58 65 71 78 84 90 97 103 110 116 10 7 13 19 26 32 39 46 53 59 66 73 80 86 93 100 107 114 121 128 .001 0 1 4 7 11 15 19 24 28 33 38 43 47 52 57 62 67 72 77 005 0 3 7 12 17 22 27 32 38 43 48 54 59 65 71 76 82 88 93 18 .01 1 5 10 15 20 25 31 37 42 48 54 60 68 72 77 83 89 95 101
.025 3 8 13 19 25 31 37 43 44 56 62 68 75 81 87 94 100 107 113 .05 5 10 17 23 29 38 42 49 56 62 69 76 83 89 96 103 110 117 124
.10 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 78 85 92 99 107 114 121 129 136
223
MANN WHITNEY U TESTİ TABLOSU (Devam)
n2 P n2= 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
.001 0 1 4 8 12 16 21 26 30 35 41 46 51 56 61 67 72 78 83
.005 1 4 8 13 18 23 29 34 40 46 52 58 64 70 75 82 38 94 100 19 .01 2 5 10 16 21 27 33 39 45 51 57 64 70 76 83 89 95 102 108 .025 3 8 14 20 26 33 39 46 53 59 66 73 79 86 93 100 107 114 120 .05 5 11 18 24 31 38 45 52 59 66 73 81 88 95 102 110 117 124 131 .10 8 15 22 29 37 44 52 59 67 74 82 90 98 105 113 121 129 136 144 .001 0 1 4 3 13 17 22 27 33 38 43 49 55 60 66 71 77 83 89 .005 1 4 9 14 19 25 31 37 43 49 55 61 68 74 80 87 93 100 106 20 .01 2 6 11 17 23 29 35 41 48 54 61 68 74 81 88 94 101 108 115 .025 3 9 15 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 99 106 113 120 128 .05 5 11 19 26 33 40 48 55 63 70 78 85 93 101 108 116 124 131 139 .10 8 16
• 23 31 39 47 55 63 71 79 87 95 103 111 120 128 136 144 152
Kaynak: L.R. Verdogren “ Extended Tables of Critical Values for Wilcoxon’s Test Statistic” Biometrika. 50 (1963). 177-186;by permission of the Biometrika Trustees The adaptation is due to W.J. Conover. Practical Nonparametric Statistics. New York, 1971, 384-388.
224
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ
T P T P T P T P T P T P n = 5 n = 8 n= 10 n = 11 n = 12 n = 13 *0 .0313 0 .0039 0 .0010 0 .0005 0 .0002 0 .0001 1 .0625 1 .0078 1 .0020 1 .0010 1 .0005 1 .0002 2 .0938 2 .0117 2 .0029 2 .0015 2 .0007 2 .0004 3 .1553 3 .0195 3 .0049 3 .0024 3 .0012 3 .0006 4 .2188. 4 .0273 4 .0068 4 .0034 4 .0017 4 .0009 5 .3125 *5 .0391 5 .0098 5 .00-19 5 .0024 5 .0012 6 .4063 6 .0547 6 .0137 6 .0068 6 .0034 6 .0017 7 .5000 7 .0742 7 .0186 7 .0093 7 .0046 7 .0023 8 .0977 8 .0244 8 .0122 8 .0061 8 .0031 n = 6 9 .1250 9 .0322 9 .0161 9 .0081 9 .0040 0 .0156 10 .1563 *10 .0420 10 .0210 10 .0105 10 .0052 1 .0313 11 .1914 11 .0527 11 .0269 11 .0134 11 . 0067 *2 .0469 13 .2305 12 .0654 12 .0337 12 .0171 12 .0085 3 .0781 13 .2734 13 .0801 *13 .0415 13 .0212 13, .0107 4 .1094 14 .3203 14 .0967 14 .0508 14 0261 14 .0133 5 .1563 15 .3711 15 .1162 15 .0615 15 .0320 15 .0154 6 2188 16 .4219 l 6 .1377 16 .0737 15 .0306 16 .0199 7 .2813 17 .4727 17 .1611 17 .0874 *17 .0461 17 .0239 8 .3438 18 ; .5273 18 .1875 18 .1030 18 .0549 18 .0287 9 .4219 n = 9 19 .2158 19 .1201 19 .0647 19 .0341 10 .5000 0 .0020 20 .2461 20 .1332 20 .0757 20 .0402 1 .0039 21 .2783 21 .1602 21 .0831 *21 .0471 n = 7 2 .0059 22 .3125 22 .1826 22 .1018 22 .0549 0 .0078 3 .0098 23 .3477 23 .2065 23 .1167 23 .0636 1 .0156 4 .0137 24 .3848 24 .2324 24 .1331 24 .0032 2 .0234 5 . .0195 25 .4229 25 .2598 25 .1506 25 .0839 *3 .0391 6 .0273 26 .4609 26 .2886 26 .1697 26 .0955 4 .0547 7 .0371 27 .5000 27 .3188 27 .1902 27 .1082 5 .0781 *8 .0488 28 .3501 28 .2119 28 .1219 6 .1094 9 .0645 29 .3823 29 .2349 29 .1357 7 .1484 10 .0820 30 4155 30 .2593 30 1527 8 .1875 11 .1016 31 .4492 31 .2847 31 1598 9 .2344 12 .1250 32 4829 32 .3110 32 .1579 10 .2891 13 .1504 33 .5171 33 .3386 33 .2072 11 .3438 14 .1797 34 .3667 34 .2274 12 .4063 15 .2129 35 .3955 35 .2467 13 .4688 16 .2480 36 .4250 36 .2709 14 .5313 17 .2852 37 .4548 37 .2939 18 .3262 33 4849 38 .3177 19 .3672 39 .5151 39 .3424 20 .4102 40 .3577 21 .4551 41 .3934 22 .5000 42 .4197 43 4453 44 .4730 45 .5000 * Verilen bir n değeri için, ihtimal seviyesinin 0.05'e eşit veya küçük olduğu en küçük sıra toplamı.
225
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam) 10 P T P T P T P T P T P
n= 14 n = 14 n = 15 n = 16 n =17 n =17 0 .0001 50 .4516 47 .2444 39 .0719 25 .0064 74 .4633 2 .0002 51 .4758 48 .2622 40 .0795 26 .0075 75 .4816 3 .0005 52 .5000 49 .2807 41 .0877 27 .0087 76 .5000 4 .0004 50 .2997 42 .0964 28 .0101 5 .0006 n = 15 51 .3193 43 .1057 29 .0116 n = 18 6 .0009 1 .0001 52 .3394 44 1156 30 .0133 6 .0001 7 .0012 3 .0002 53 .3599 45 .1261 31 .0153 10 .0002 8 .0015 5 .0003 54 .3808 46 .1372 32 .0174 12 .0003 9 .0020 6 .0004 55 .4020 47 .1489 33 .0198 14 .0004
10 .0026 7 .0006 56 .4235 48 .1613 34 .0224 15 .0005 11 .0034 8 .0006 57 .4452 49 .1742 35 .0253 16 .0006 12 .0043 9 .0010 58 .4670 50 .1877 36 .0284 17 .0008 13 .0054 10 .0013 59 .4890 51 .2019 37 .0319 18 .0010 14 .0067 11 .0017 60 .5110 52 .2166 38 .0357 19 .0012 15 .0083 12 .0021 n = 16 53 .2319 39 .0398 20 .0014 16 .0101 13 .0027 3 .0001 54 .2477 40 .0443 21 .0017 17 .0123 14 .0004 5 .0002 55 .2641 41 .0492 22 .0020 18 .0148 15 .0042 7 .0003 56 .2809 42 .0544 23 .0024 19 .0176 16 0051 8 .0004 57 .2983 43 .0601 24 .0028 20 .0209 17 .0062 9 .0005 58 .3161 44 .0662 25 .0033 21 .0247 18 .0075 10 .0007 59 .3343 45 .0727 25 .0038 22 .0290 19 .0090 11 .0003 60 .3529 46 .0797 27 .0045 23 .0338 20 .0103 12 .0011 61 .3718 47 .0871 28 .0052 24 .0392 21 .0128 13 .0013 62 .3910 48 .0950 29 .0060
*25 .0453 22 .0151 14 .0017 63 .4104 49 .1034 30 .0069 25 .0520 23 .0177 15 .0021 64 4301 50 .1123 31 .0080 27 .0594 24 .0206 16 .0026 65 .4500 51 .1218 32 .0091 28 .0675 25 .0240 17 .0031 66 .4699 52 .1317 33 .0104 29 .0765 26 .0277 18 .0038 67 .4900 53 .1421 34 .0118 30 .0853 27 .0319 19 .0046 63 .5100 54 .1530 35 .0134 31 .0969 28 .0365 20 .0055 55 .1645 36 0152 32 .1083 29 .0416 21 .0065 n =17 56 .1764 37 .0171 33 .1206 30 .0473 22 .0078 t .0001 57 .1889 38 .0192 34 .1338 31 .0535 23 .0091 8 .0002 58 .2019 39 .0216 35 .1479 32 .0603 24 .0107 9 .0003 59 .2153 40 .0241 36 .1629 33 .0677 25 .0125 11 .0004 50 .2293 41 .0269 37 .1788 34 .0757 26 .0145 12 .0005 61 .2437 42 .0300 38 .1955 35 .0844 27 .0168 13 .0007 62 .2585 43 .0333 39 .2131 36 .0938 28 .0193 14 .0008 63 .2738 44 .0368 40 .2316 37 .1039 29 .0222 15 .0010 64 .2895 45 .0407 41 .2508 38 .1147 30 .0253 16 .0013 65 .3056 46 .0449 42 .2T08 39 .1262 31 .0288 l / .0016 66 .3221 *47 .0494 43 .2915 40 .1384 32 .0327 18 .0019 67 .3389 48 .0542 44 .3129 41 .1514 33 .0370 19 .0023 68 .3559 49 .0594 45 .3349 42 .1651 34 .0416 20 .0028 69 .3733 50 .0649 46 .3574 43 .1796 *35 .0467 21 .0033 70 .3910 51 .0708 47 .3804 44 .1947 36 .0523 22 .0040 71 .4088 52 .0770 48 .4039 45 .2106 37 .0583 23 .0047 72 .4258 53 .0837 49 .4276 46 .2271 38 .0649 24 .0055 73 .4450 54 .0907
Örnekteki eşler arasındaki farklar sıralanır. Farkların işaretleri dikkate alınarak elde edilen sıra muamelelerde hangi işaret daha az ise bu işarete ait sıra no’ları toplanarak karar kriteri olan (T) elde edilir. Mesela n=8 için T=0 ilgili kritik değer 0,0039’dur. İşte bu değer 0,05’den küçük ise farksızlık hipotezi reddedilir. Yani eşleştirilen iki muamelenin istatistik olarak farklı olduğuna hükmedilir. Yani kısaca ilgili (P) değeri 0,05Den küçükse H0 reddedilir.
226
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam)
T P T P T P T P T P T P n = 18 n = 19 n = 19 n = 20 n =20 N =21
55 .0982 30 .0036 79 .2706 43 .0164 97 .3921 61 .0298 56 .1061 31 .0041 80 .2839 49 .0181 98 .4062 62 .0323 57 .1144 32 .0047 81 .2974 50 .0200 59 4204 53 .0351 58 .1231 33 .0054 82 .3113 51 .0220 100 4347 64 .0330 59 .1323 34 .0062 83 .3254 52 .0242 101 4492 65 .0411 60 .1419 35 .0070 64 .3397 53 .0266 102 4636 66 .0444 61 .1519 36 .0080 85 .3543 54 .0291 103 .4782 *67 .0479 62 .1624 37 .0090 86 .3690 55 .0319 104 .4927 68 0516 63 .1733 38 .0102 87 .3840 56 .0343 105 .5073 69 0555 54 .1846 39 .0115 88 .3991 57 .0379 n = 21 70 0597 55 .1964 40 .0129 89 .4144 58 .0413 14 .0001 71 0640 66 .2086 41 .0145 90 .4298 59 .0443 20 .0002 72 .0686 57 .2211 42 .0162 91 .4453 60 .0487 22 .0003 13 0735 58 .2341 43 .0180 92 .4609 61 .0527 24 .0004 74 .0786 69 .2475 44 .0201 93 .4755 52 .0570 26 .0005 75 .0839 70 .2613 45 .0223 94 .4922 63 .0615 27 .0006 70 .0395
71 .2754 46 .0247 95 5078 64 .0664 28 .0007 77 .0953 72 .2899 47 .0273 55 .0715 29 .0008 78 .1015 73 .3047 48 .0301 n = 20
_ 66 .0763 30 .0009 79 .1078
74 .3198 49 .0331 11 .0001 67 .0825 31 .0011 80 .1145 75 .3353 50 .0364 16 .0002 68 .0884 32 .0012 81 .1214 76 .3509 51 .0399 19 .0003 69 .0947 33 .0014 82 .1286 77 .3669 52 .0437 20 .0004 70 .1012 34 .0016 83 .1361 78 .3830 *53 .0478 22 .0005 71 .1081 35 .0019 84 .1439
79 .3994 54 .0521 23 .0006 72 .1153 36 .0021 85 .1519 50 .4159 55 .0567 24 .0007 73 .1227 37 .0024 86 .1602 81 .4325 56 .0616 25 .0008 74 .1305 38 .0028 87 .1663 82 .4493 57 .0668 26 .0010 75 .1387 39 .0031 88 .0516 83 .4661 58 .0723 27 .0012 76 .1471 40 .0036 89 .0555 84 .4831 59 .0782 28 .0014 77 .1559 41 .0040 90 .1963 85 .5000 60 .0844 29 .0016 78 .1650 42 .0045 91 .2060
61 .0909 30 .0018 79 .1744 43 .0051 92 .2160 n = 19 62 .0978 31 .0021 80 .1841 44 .0057 93 2262
9 .0001 63 .1051 32 .0024 81 .1942 45 .0063 94 .2367 13 .0002 64 .1127 33 0028 82 .2045 46 .0071 95 .2474 15 .0003 55 .1206 34 0032 83 .2152 47 .0079 96 .2584 17 .0004 66 .1290 35 0035 84 .2262 48 .0088 97 2656 18 .0005 67 .1377 35 .0042 85 .2375 49 .0097 93 .2810 19 .0006 63 .1467 37 0047 86 .2490 50 .0108 59 .2927 20 .0007 69 .1562 38 .0053 87 .2508 51 .0119 100 3046 21 .0008 70 .1660 39 .0060 88 2729 52 .0132 101 .3166 22 .0010 71 1762 40 .0068 89 .2553 53 .0145 102 .3239 23 .0012 72 .1868 41 .0077 90 .2379 54 .0160 103 .3414 24 .0014 73 .1977 42 .0036 91 .3108 55 .0175 104 .3540 25 .0017 74 .2090 43 .0096 92 .3238 56 .0192 105 .3657 26 .0020 75 .2207 44 .0107 93 .3371 57 .0210 106 .3796 27 .0023 76 .2327 45 .0120 94 .3506 58 .0230 107 .3927
28 .0027 77 .2450 40 .0133 95 .3643 59 .0251 108 4053 29 .0031 78 .2575 47 .0148 96 .J781 60 .0273 109 .4191
227
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam)
T P T P T P T P T P T P
n = 21 n =22 n =22 n =23 n =23 n =24 110 110
.4324 67 .0271 116 .3751 68 .0163 117 .2700 62 .0053 111 .4459 63 .0293 117 .3373 69 .0177 118 .2800 63 .0058 112 .4593 69 .0317 118 .3995 70 .0192 119 .2902 64 .0063 113 4729 70 .0342 119 .4119 71 .0208 120 .3005 65 .0069 114 4864 71 .0396 120 .4243 72 .0224 121 .3110 66 .0075 115 .5000 72 .0397 121 .4363 73 .0242 122 .3217 67 .0082 73 .0427 122 .4494 74 .0261 123 .3325 63 .0089 _ 74 .0459 123 .4620 75 .0281 124 .3434 69 .0097 n =22 *75 .0492 124 .4746 76 .0303 125 .3545 70 .0106
18 .0001 76 .0527 125 .4373 77 .0325 126 .3657 71 0115 23 .0002 77 .0564 126 .5000 78 .0349 127 .3770 72 .0124 26 .0003 78 .0603 79 0274 128 .3334 73 .0135 29 .0004 79 .0644 n = 23 80 .0401 Î29 .3999 74 0146 30 .0005 80 .0687 21 .0001 81 .0429 130 .4115 75 .0157 32 .0006 81 .0733 23 .0003 82 .0459 131 .4231 76 .0170 33 .0007 82 .0780 31 .0003 *83 .0490 132 .4343 77 .0183 34 .0008 83 .0829 33 .0004 84 .0523 133 .4466 78 0197 35 .0010 84 .0881 35 .0005 85 .0557 134 .4534 79 C212 36 .0011 85 .0935 36 .0006 86 .0593 135 .4703 80 C228 37 .0013 86 .0991 38 .0007 87 .0631 136 .4322 81 C245 38 .0014 87 .1050 39 .0003 83 .0671 137 .4941 82 .0263 39 .0016 83 .1111 40 .0009 89 .0712 133 .5060 83 C2S2 40 .0018 89 .1174 41 .0011 90 .0755 84 .0302 41 .0021 90 .1240 42 .0012 91 .0301 n = 24 85 0323 42 .0023 91 .1306 43 .0014 92 .0343 25 .0001 86 .0346
43 .0026 92 .1375 44 .0015 93 .0397 32 0002 87 .0369 44 .0030 93 1451 45 .0017 94 .0943 36 0003 88 .0394 45 .0033 94 .1527 46 .0019 95 .1001 33 0004 89 .0420
46 .0037 95 .1604 47 .0022 96 .1056 40 0005 90 0447 47 .0042 96 .1635 43 .0024 97 .1113 42 .0006 91 .0475
48 .0046 97 .1767 49 .0027 98 .1172 43 0007 92 .0505 49 .0052 93 .1353 50 .0030 99 1234 44 .0008 93 .0537 50 .0057 99 1940 51 .0034 100 1297 45 0009 94 0570 51 .0064 100 .2030 52 .0037 101 1363 46 0010 95 .0604 52 .0070 101 .2122 53 .0041 102 .1431 47 .0011 96 .0640 53 .0078 102 .2217 54 .0046 103 .1501 43 .0013 97 .0678 54 .0036 103 .2314 55 .0051 104 .1573 49 .0014 98 .0717 55 .0095 104 .2413 56 .0056 105 1647 50 .0016 99 .0758 56 .0104 105 .2514 57 .0061 106 .1723 51 .0018 100 .0300 57 .0115 106 .2518 53 .0066 107 1802 52 .0020 101 .0344 58 .0125 107 .2723 59 .0074 105 .1883 53 .0022 102 .0390 59 .0138 103 .2330 60 .0032 109 .1965 54 .0024 103 .0933 60 .0151 109 .2940 61 .0039 110 .2050 55 .0027 104 0987 61 .0164 110 .3051 62 .0098 111 .2137 56 .0029 105 .1033 62 .0179 111 .3164 53 .0107 112 .2226 57 .0033 106 .1091 63 .0195 112 .3275 64 .0117 113 .2317 58 .0036 107 .1146 64 .0212 113 .3394 65 .0127 114 .2410 59 .0040 108 .1203 65 .0231 114 .3512 56 .0133 115 .2505 60 .0044 109 .1261 66 .0250 115 .3631 67 .0150 116 .2601 61 .0043 110 .1322
228
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam)
T P T P T P T P T P T p n = 24 n = 25
n = 25
n =25 n = 26
n =26
111 .1364 50 .0008 99 .0452 148 3556 81 .0076 130 .1289
112 1448 51 .0009 *100 .0479 149 3655 82 .0082 131 .1344
113 1515 52 .0010 101 .0507 150 .3755 83 .0068 132 .1399 114 1563 53 0011 102 0537 151 .3856 84 .0095 133 1457
115 1653 54 .0013 103 .0567 152 .3957 85 .0102 134 .1516 116 .1724 55 .0014 104 .0600 153 .4060 86 .0110 135 .1576 117 .1796 56 .0015 105 .0633 1 54 .4163 87 .0118
.1638 0007 118 .1874 57 .0017 106 .0668 155 .4266 88 .0127 137 1702
64 119 .1951 58 .0019 107 .0705 156 .4370 89 .0136 138 .1767 120 .2031 59 .0021 108 .0742 157 .4474 90 .0146 139 .1833
66 İ21 .2112 60 .0023 109 .0782 158 4579 91 .0156 140 .1901 67 122 .2195 61 .0025 110 0822 159 .4684 92 .0167 141 .1970 68 123 .2279 62 .0028 111 0865 160 .4789 93 .0179 142 2041 69 124 2366 63 .0031 112 .0909 161 .4895 94 .0191 143 .2114
125 2454 64 .0034 113 .0954 162 .5000 95 .0204 144 .2187 126 .2544 65 .0037 114 .1001 96 .0217 145 2262
72 127 2635 66 .0040 115 .1050 n = 26 97 .0232 146 .2339 73 128 .2726 67 .0044 116 .1100 34 .0001 98 .0247 147 .2417 74 129 .2823 68 .0048 117 .1152 42 .0002 99 .0263 148 .2496
130 2919 69 .0053 118 .1205 46 .0003 100 .0279 149 .2577 76 131 .3017 70 0057 119 .1261 49 .0004 101 .0297 150 .2658 77 132 3115 71 .0062 120 .1317 51 .0005 102 .0315 151 .2741 78 133 .3216 72 .0068 121 .1376 53 .0006 103 .0334 152 .2826 79 134 3317 73 .0074 122 .1436 55 .0007 104 .0355 153 .2911
135 .3420 74 .0080 123 .1498 56 .0008 105 .0376 154 155
.2998
.3085 136 .3524 75 .0087 124 .1562 57 .0009 106 .0398 155
.3085 0041 137 3629 76 .0094 125 .1627 58 .0010 107 .0421 156 .3174
83 136 3735 77 0101 126 .1694 59 .0011 108 .0445 157 .3264 84 139 3841 78 .0110 127 .1763 60 .0012 109 .0470 158 3355 85 140 .3949 79 .0118 128 .1833 61 .0013 *110 .0497 159 .3447 86 141 .4056 80 .0128 129 .1905 62 .0015 111 .0524 160 .3539 87 142 4167 81 .0137 130 .1979 63 .0016 112 .0553 161 .3633 88 143 4277 82 .0148 131 .2054 64 .0018 113 .0582 162 3727
"\HT) 144 4367 63 .0159 132 .2131 65 .0020 114 .0613 163 .3822 145 4498 64 .0171 133 .2209 •66 .0021 115 .0646 164 .3918
.4014 146 4609 65 .0183 134 .2289 67 .0023 116 .0679 165 .4014 92 147 4721 66 .0197 135 .2371 68 .0026 117 .0714 166 .4111
148 4632 67 .0211 136 .2454 69 .0028 118 .0750 167 .4208 4306 149 4944 88 .0226 137 .2539 70 .0031 119 .0787 168 .4306
95 150 5056 69 .0241 138 2625 71 .0033 120 .0825 169 4405 96 90 .0258 139 .2M2 72 .0036 121 .0865 170 4503 97 n= 25 91 .0275 140 2601 73 .0040 122 .0907 171 4602
4702 29 0001 92 .0294 141 2891 74 .0043 123 .0950 172 .4702 37 .0002 93 0313 142 2983 75 .0047 124 .0994 173 4801 41 0003 94 .0334 143 .3075 76 0051 125 .1039 174 .4900 43 0004 95 .0355 144 3169 77 0055 126 .1086 175 .5000
102 45 0005 96 .0377 145 .3264 76 0060 127 .1135 103 47 0006 97 .0401 146 .3360 79 .0065 128 .1185
48 0007 96 .0426 147 .3458 80 .0070 129 .1236
229
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam)
T P T P T P T P T P T P n = 27 n = 27 n = 27 n = 28 n = 28 n = 28
39 .0001 105 .0218 154 .2066 74 .0012 123 .0349 172 .2466 47 .0002 106 .0231 155 .2135 75 .0013 124 .0368 173 .2538 52 .0003 107 .0246 156 .2205 76 .0015 125 .0387 174 .2611 55 .0004 108 .0250 157 .2277 77 .0016 125 .0407 175 .2685 57 .0005 109 .0276 158 .2349 78 .0017 127 .0428 176 .2759 59 .0006 110 .0292 159 .2423 79 .0019 128 .0450 177 .2835 61 .0007 111 .0309 160 .2498 80 .0020 129 .0473 178 .2912 62 .0008 112 .0327 161 .2574 81 .0022 *130 .0496 179 .2990 64 .0009 113 .0346 162 .2652 82 .0024 131 .0521 180 .3068 65 .0010 114 .0356 163 .2730 83 .0026 132 .0546 181 .3148 66 .0011 115 .0386 164 .2810 84 .0028 123 .0573 182 .3228 67 .0012 116 .0407 155 .2890 85 .0030 134 .0600 183 .3309 68 .0014 117 .0430 166 .2972 86 .0033 135 .0628 184 .3391 69 .0015 118 .0453 167 .3055 87 0035 136 .0657 185 .3474 70 .0015 •119 .0477 168 .3138 88 0038 137 .0688 186 .3557 71 .0018 120 .0502 169 .3223 89 0041 138 .0719 187 .3641 72 .0019 121 .0528 170 .3308 90 0044 139 .0751 188 .3725 73 .0021 122 .0555 171 .3395 91 0048 140 .0785 189 .3811 74 .0023 -.23 .0583 172 .3482 92 0051 141 .0819 190 .3896 75 .0025 124 .0613 173 .3570 93 0055 142 .0855 191 .3983 76 .0027 125 .0643 174 3659 S4 .0059 U3 .0891 192 .4070 77 .0030 126 .0574 175 .3748 95 0064 .144 .0929 193 .4157 73 .0032 127 .0707 176 .3838 95 0063 J45 .0968 194 .4245 79 .0035 128 .0741 177 .3929 97 0073 146 .1008 195 .4333 80 0038 129 .0776 178 .4020 98 .0078 '147 .1049 196 .4421 81 .0041 130 .0812 179 .4112 99 0084 148 .1091 197 .4510 82 .0044 131 .0849 180 .4204 100 0089 149 .1135 198 .4598 83 .0048 132 .0888 181 .4297 101 0096 150 .1180 199 .4687 84 0052 133 .0927 182 .4390 102 0102 151 .1225 200 .4777 85 . .0056 134 .0968 183 .4483 103 0109 152 .1273 201 .4866 86 .0060 ' 135 .1010 184 .4577 104 .0116 153 .1321 202 .4955 87 .0065 136 .1054 185 .4670 105 .0124 154 .1370 203 .5045 86 .0070 137 .1099 186 .4764 106 0132 155 .1421 89 .0075 138 .1145 187 .4859 107 .0140 156 .1473 n =29 90 .0081 139 .1193 188 .4953 108 .0149 157 .1526 50 .0001 91 .0087 140 .1242 189 .5047 109 .0159 158 .1580 59 .0002 92 .0093 141 .1292 110 .0168 159 .1636 65 .0003 93 .0100 142 .1343 n =28 111 .0179 ;160 .1693 68 .0004 S4 .0107 143 .1396 44 .0001 112 .0190 161 .1751 71 .0005 95 .0115 144 .1450 53 .0002 113 .0201 162 .1810 73 .0006 95 .0123 145 .1506 58 .0003 114 .0213 153 .1870 75 .0007 97 .0131 146 .1563 61 .0004 115 .0226 164 .1932 76 .0008 98 .0140 147 .1621 64 .0005 116 .0239 165 .1995 78 .0009 99 .0150 148 .1631 66 .0006 117 .0252 166 .2059 79 .0010 100 .0159 149 .1742 68 .0007 118 .0267 167 .2124 80 .0011 101 .0170 150 .1804 53 .0008 119 .0282 168 .2190 81 _P012 102 .0181 151 .1868 70 .0009 '.20 .0298 169 .2257 82 .0013 103 .0193 152 .1932 72 .0010 121 .0314 170 .2326 83 .0014 104 .0205 153 .1999 73 .0011 122 .0331 171 .2395 84 .0015
230
NON PARAMETRİK EŞLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TESTİ WILCOXON TESTİ İŞARETLİ SIRA TESTİ İÇİN İHTİMAL SEVİYELERİ (Devam)
T P T P T P T P T P T P n = 29 n = 29 n =29 n = 30 n = 30 n = 30 85 .0016 134- .0362 183 2340 90 .0013 139 .0275 188 .1854 86 .0018 135 .0380 184 2406 91 .0014 140 .0288 189 .1909 87 .0019 136 .0399 185 2473 92 .0015 141 .0303 190 .1965 88 .0021 137 .0418 186 2541 93 .0016 142 .0318 191 .2022 89 .0022 138 .0439 187 .2611 94 .0017 143 .0333. 192 .2081 90 .0024 139 .0460 188 .2681 95 .0019 144 .0349 193 .2140 91 .0026 *140 .0482 189 .2752 96 .0020 145 .0366 194 .2200 92 .0028 141 .0504 190 .2824 97 .0022 146 .0384 195 .2261 93 .0030 142 .0528 191 .2896 98 .0023 147 .0402 196 .2323 94 .0032 143 .0552 192 .2970 99 .0025 148 .0420 197 .2386
. 95 .0035 144 .0577 193 .3044 100 .0027 149 .0440 198 .2449 96 .0037 145 .0603 194 .3120 101 .0029 150 .0460 199 .2514 97 .0040 146 .0630 195 .3196 102 .0031 *151 .0481 200 .2579 98 .0043 147 .0658 196 .3272 103 .0033 152 .0502 201 .2646 99 .0046 148 0687 197 .3350 104 .0036 153 .0524 202 .2713
100 .0049 149 .0716 198 .3428 105 .0038 154 .0547 203 .2781 101 .0053 150 .0747 199 .3507 106 .0041 155 .0571 204 .2849 102 .0057 151 .0778 200 .3586 107 .0044 156 .0595 205 .2919 103 .0061 152 .0811 201 .3666 108 .0047 157 .0621. 206 .2989 104 .0065 153 .0844 202 .3747 109 .0050 158 .0647 207 .3060 105 .0069 154 .0879 203 .3828 110 .0053 159 .0674 208 .3132 106 .0074 155 .0914 204 .3909 111 .0057 160 .0701 209 .3204 107 .0079 156 .0951 205 .3991 112 .0060 161 .0730 210 .3277 108 .0084 157 .0988 206 .4074 113 .0064 162 .0759 211 .3351 109 .0089 158 .1027 207 .4157 114 .0068 163 .0790 212 .3425 110 .0095 159 .1066 208 .4240 115 .0073 164 .0821 213 .3500 111 .0101 160 .1107 209 .4324 116 .0077 165 .0853 214 .3576 112 .0108 161 .1149 210 .4408 117 .0082 166 .0886 215 .3652 113 .0115 162 .1191 211 .4492 118 .0087 167 .0920 216 .3728 114 .0122 163 .1235 212 .4576 119 .0093 168 .0955 217 .3805 115 .0129 164 .1280 213 .4661 120 .0098 169 .0990 218 .3883 116 .0137 165 .1326 214 .4745 121 .0104 170 .1027 219 .3961 117 .0145 166 .1373 215 .4830 122 .0110 171 .1065 220 .4039 118 .0154 167 .1421 216 .4915 123 .0117 172 .1103 221 .4118 119 .0163 168 .1471 217 .5000 124 .0124 173 .1143 222 .4197 120 .0173 169 .1521 125 .0131 174 .1183 223 .4276 121 .0183 170 .1572 n = 30 126 .0139 175 .1225 224 .4356 122 .0193 171 .1625 55 .0001 127 .0147 176 .1267 225 .4436 123 .0204 172 .1679 66 .0002 128 .0155 177 .1311 226 .4516 124 .0216 173 .1733 71 .0003 129 .0164 178 .1355 227 .4596 125 .0228 174 .1789 75 .0004 130 .0173 179 .1400 228 .4677 126 .0240 175 .1846 78 .0005 131 .0182. 180 .1447 229 .4758 127 .0253 176 .1904 80 .0006 132 .0192 181 .1494 230 .4838 128 .0267 177 .1963 82 .0007 133 .0202 182 .1543 231 .4919 129 .0281 178 .2023 84 .0008 134 .0213 183 .1592 232 .5000
130 .0296 179 .2085 85 .0009 135 .0225 184 .1642 131 .0311 180 .2147 87 .0010 136 .0236 185 .1694
132 .0328 181 .2210 88 .0011 137 .0249 186 .1746 133 .0344 182 .2274 89 .0012 138 .0261 187 .1799
231
DUNCAN TESTİ STANDART VARYASYON GENİŞLİKLERİ (P = 0.01)
GRUP SAYILARI
SD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 14 15
1 99.03 90.03 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030 90.030
2 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040 14.040
3 8.262 10.832 10.833 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832 10.832
4 6.512 6.677 6.740 6.756 6.756 6.756 6.756 6.756 6.754 6.756 6.756 6.756 6.756 6.756
5 5.703 5.893 6.040 6.065 6.074 6 074 6.074 6.074 6.074 6.074 6 074 6.074 6.074 6.074
6 5.243 5.439 5.549 5.614 5.655 5.680 5.964 5.701 5.703 5.703 5.703 5.703 5.703 5.703
7 4.949 5.145 5.260 5.334 5.383 5.416 5.439 5.454 5.464 5.470 5.472 5.472 5.472 5.472
8 4.746 4.939 5.057 5.135 5.189 5.227 5.256 5.276 5.191 5 302 5.309 5.314 5.916 5.917
9 4.596 4.787 4.906 4.986 5.043 5.086 5.118 5.142 5.160 5.174 5.185 5.193 5.199 5.203
10 4.482 4.671 4.790 4.971 4.931 4.975 5.011 5.037 5.058 5.074 3 088 5.098 5.106 5.112
11 4.392 4.579 4.697 4.780 4.841 4.887 4.924 4.952 4.975 4.994 5.009 5.021 5.031 5.039
12 4.320 4.504 4.622 4.706 4.767 4.815 4.852 4.883 4.907 4.917 4.944 4.958 4.969 4.978
13 4.260 4.442 4.560 4.644 4.706 4.755 4.793 4.824 4.850 4.872 4.889 4.904 4.917 4.928
14 4.210 4.391 4.508 4.591 4.654 4.704 4.743 4.775 4.802 4.824 4.843 4.859 4.873 4.884
15 4.168 4.347 4.463 4.547 4.610 4.660 4.700 4.733 4.760 4.783 4.803 4.820 4.834 4.846
16 4.168 4.309 4.425 4.509 4.572 4.692 4.663 4.696 4.724 4.748 4.768 4.786 4.800 4.813
17 4.151 4.275 4.391 4.475 4.539 4.589 4.630 4.664 4.693 4.717 4.738 4.756 4.771 4.785
18 4.071 4.246 4.362 4.445 4.509 4.560 4.601 4.635 4.664 4.689 4.711 4.729 4.745 4.759
19 4.046 4.220 4.335 4.419 4 483 4.534 4.575 4.610 4.639 4.665 4.686 4.705 4.722 4.736
20 4.024 4.197 4.312 4.395 4.459 4.510 4.552 4.587 4.617 4.642 4.664 4.684 4.701 4.716
24 3.956 4.126 4.239 4.322 4.386 4.437 4.480 4.516 4.546 4.573 4.596 4.616 4.634 4.651
30 3.889 4.056 4.168 4.250 4.314 4.366 4.409 4.445 4.477 4.504 4.528 4.550 4.569 4.586
40 3.825 3.988 4.098 4 180 4 244 4.276 4.339 4.376 4.408 4.436 4.461 4.483 4.503 4.521
60 3.762 3.922 4.031 4.111 4.174 4 226 4.270 4.307 4.340 4.368 4.394 4.417 4.438 4.456
120 3.702 3.858 3.965 4.044 4.107 4.138 4.202 1.239 4.272 4.301 4.327 4.351 4.372 4.392
3.643 3.796 3.900 3.978 4.040 4.091 4.135 4.172 4 205 4.235 4.261 4.285 4.307 4.327
Bu tablo karşılaştırma testlerinde karşılaştırılan büyüklük sırasına göre diziliş ortalamalar için karşılaştırılan ortalamalar arasında kademe sayısı (uzaklık) ilk satırda hata kareler ortalamasının serbestlik derecesi ilk sütunda olmak üzere kesişim yerindeki değer önemli olabilecek asgari önemli fark (OÖAF) değerini elde etmekte kullanılan tablo değerini Dc belirler. Bilindiği gibi OÖAF= nHKOD c şeklinde belirler. Tablonun ilk sütunun (grup sayısı) yaklaşık olarak ct2
değerine eşitler. Bilindiği gibi AÖF= nHKOt2 c şeklinde belirlenir.
232
DUNCAN TESTİ STANDART VARYASYON GENİŞLİKLERİ (P=0.05)
GRUP SAYILARI SD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 17.97 17.97 17.97 17.9 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.9 17. 97 17.97 17.97 2 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 3 4. 50 4.52 4.S2 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4.52 4 3.93 4.01 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 5 3.64 3.75 3.80 3.81 3.81 3.81 3.01 3.81 3.81 3.81 3.81 3.81 3.81 3.81 6 3.46 3.59 3.65 3.68 3.69 3.70 3.70 .1.70 3.70 3.70 3.70 3.70 3.70 3.70 7 3.34 3. 48 3.55 3.59 3.61 3.62 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 8 3.26 3.40 3.47 3 52 3.55 3.57 3.57 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3. 58 9 3.20 3.34 3.42 3.47 3.50 3.52 3.54 3.54 3.55 3.55 3.55 3.55 3.55 3.55 10 3.15 3.29 3.38 3.43 3.47 3 49 3.51 3.52 3.52 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 11 3.11 3.26 3.34 3.40 3.43 3.46 3.48 3.49 3.50 3.51 3.51 3.51 3.51 3.51 12 3.08 3.22 3.31 3.37 3.41 3.44 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50 3.50 3.50 3.50 13 3.05 3.20 3.29 3.35 3.39 3.42 3 44 3.46 3.47 3.48 3.48 3.49 3.49 3.49 14 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.40 3.43 3.44 3.46 3.47 3.47 3.48 3.48 3.48 15 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.39 3.41 3.43 3.45 3.46 3.47 3.47 3.48 3.48 16 3.00 3.14 3.24 3.30 3.34 3.38 3.40 3 42 3.44 3.45 3.46 3.47 3.47 3.47 17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.37 3.39 3.41 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.47 18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.36 3.38 3.41 3.42 3.43 3.45 3.45 3.46 3.47 19 2.96 3.11 3.20 3.26 3.31 3.35 3.38 3.40 3 41 3.43 3.44 3.45 3.45 3.46 20 2.95 3.10 3.19 3.26 3.30 3.34 3.37 3 39 3.41 .3.42 3.44 3.45 3.45 3.46 24 2.92 3.07 3.16 3.23 3.28 3.32 3.34 3.37 3.39 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 30 2.89 3.03 3.13 3.23 3.25 3.30 3.39 3.35 3.37 3.39 3.41 3.42 3.43 3.44 40 2.86 3.01 3.10 3. 17 3.22 3.27 3.30 3.33 3.35 3.37 3.39 3.41 3.42 3.43 60 2.83 2.98 3.07 3.14 3.20 3.24 3.28 3.31 3.33 3.36 3.37 3.39 3.41 3.42
120 2.80 2.95 3.05 3.12 3.17 3.22 3.25 3.29 3.31 3.34 3.36 3.38 3.39 3.41 2.77 2.92 3.02 3.09 3.15 3.19 3.23 3.26 3.29 3.32 3.34 3.36 3.38 3.40
233
MUAMELE KARELER TOPLAMININ ORTOGONAL PARÇALANMASI (KARŞILAŞTIRMASI)
Burada özellikle muamelelerin seviyeler tarzında belirlendiği denemelerde muamele kareler toplamı muamele serbestlik derecesi kadar bir serbestlik dereceli kısımlara bölmek biçimde yapılır. Bir serbestlik dereceli parçalanmanın ortogonal olabilmesi için her bir karşılaştırma grubunu oluştururken veriler katsayıların bağımsız olması gerekir. Katsayılar ilgili cetvellerden temin edilir. Bir serbestlik dereceli kareler toplamı değeri ise (Ti) = Muamele halleri toplamı, ni= tekerrür ya da blok sayısı, Li=Ortogonal karşılaştırma katsayıları olmak üzere KT=
2
i2
ii LnTL şeklinde belirlenir. Özellikle muamele hallerinin doz
biçiminde olduğu denemelerde dozlar ile buna karşılık elde edilen sonuçlar (veriler) arasında ilişkileri anlamak için regresyon analizi yapılır. Bu analiz sonucu muamele halleri (dozlar) ile elde edilen sonuçlar (veriler) arasındaki linear (doğrusal) ya da ikinci derecede (kuadratik) ilişkiler belirlenir. Ortogonal Polinom Katsayıları Polinom Derecesi Karşılaştırma
1 2
Doz 3
Sayıları 4
5
6
Bölen iL
1 Linear +1 -1 2 Linear -1 0 +1 2 2 Quadratik +1 -2 +1 6 Linear -3 -1 +1 +3 20
Quadratik +1 -1 -1 +1 4 3 Kübik -1 +3 -3 +1 20 Linear -2 -1 0 +1 +2 10
Quadratik +2 -1 -2 -1 +2 14 Kübik -1 +2 0 -2 +1 10 4
Quartik +1 -4 0 -4 +1 70 Linear -5 -3 -1 +1 +3 +5 70
Quadratik +5 -1 -4 -4 -1 +5 84 Kübik -5 +7 +4 -4 -7 +5 180
Quartik +1 -3 +2 +2 -3 +1 28 5
Quandik -1 +5 0 +10 -5 +1 252 Not: 0L i ve 0LL ii , i i olmalıdır.
234
ANLAMLI SONUÇ ELDE ETMEK İÇİN VERİLEN BİR İHTİMAL SEVİYESİNDEKİ GEREKLİ TEKERRÜR SAYISI
Yukarıdaki rakam; %80 ihtimal:%5 düzeyde önem test Ortadaki rakam %90 ihtimal:%5
düzeyde önem test Alttaki rakam %5 ihtimal:%l düzeyde önem test iki kuyruklu test Ortalamanın yüzdesi gerçek farklılık ( ) Ortalamanın yüzdesi olarak her ünitede gerçek standart hata ( )
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20
5 4 7 11 17 24 32 41
5 9 15 22 31 42
7 14 24 38
10 2 3 4 5 7 9 11 14 17 20 24 32 41
2 3 5 7 9 12 15 18 22 27 31 42
3 5 7 n 14 19 24 30 37 45
15 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 15 19 24 29
2 2 3 4 5 6 7 9 11 13 15 19 25 31 39
3 3 4 6 7 9 12 14 17 21 24 33 42
20 2 2 2 3 3 3 4 5 5 6 7 9 11 14 17
2 2 2 3 3 4 5 6 7 8 9 12 15 18 22
2 3 3 4 5 6 7 9 11 12 14 19 24 30 37
2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 7 9 11
25 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 8 10 12 15
2 2 3 3 4 5 5 6 7 9 10 13 16 20 24
2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 7 8
30 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 7 8 11
2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 9 12 14 17
Not: Tablolar düzenlenirken hata için serbestlik derecesi 3 (r-1) varsayılmıştır. Bu 4 muameleli tesadüf blokları denemelerine tatbik edilebilir. 50 tekerrür yada daha fazlasının gerektirdiği durumlar için değerler yazılmamıştır.
235
İstatistik Yöntemler(Özet)
Genel olarak kitleye ilişkin parametrelerin bilinmesi ana kitleye ilişkin çeşitli varyansların sağladığı hallerde parametrik testler (Parametrik test), ana kitle parametrelerinin bilinmediği ana kitleye ilişkin çeşitli varsayımların sağlanmaması halinde bu ana kitleden elde edilen örneklerinin örnekleme dağılışına ilişkin ölçüler bilinmediğinde parametresiz (non parametrik) testler kullanılır. Bu yüzden az gözlemli deneylerde bu test kullanılabilir. Parametresiz testler bir bakıma grupların ortancalarını karşılaştırır. Nonparametrik yöntemler normal dağılış gösteren diğer olasılık dağılışı gösteren populasyonlarda uygulanabilir. Hatta uygulama kolaylığı bakımından tercih de edilir. Ancak parametrik yöntemlerden daha az etkindir. Bu sakınca büyük örnek (u > 100) alınarak giderilebilir.
Verinin Niteliği
Nicel-Kantitatif (Ölçülerek elde
edilen) Gözlemler
Nitel-Kalitatif (Sayılarak elde
edilen) Gözlemler
Karşılaştırılacak Gruplar
Karşılaştırılacak Gruplar
Bağımlı Bağımlı Bağımsız Bağımsız
İki Üç+
n=? n=?
<30 >30 <30 >30
(t) testi İki bağımsız grup arasındaki farklılığın önemini belirleyen test. İki örneğin olup olmadığının belirlenmesi (Parametrik Test)
Mann-Whitney U Testi: İki bağımsız grup arasında farklılığın öenemini belirleyen test = (Nonparametrik test)
İki Ortalama Arasındaki Farkın Önemlilik Testi=(Z) Testi Ana kitle varyansı biliniyorsa (n)’nin düzeyine bakılmaksızın grup karşılaştırma testleri uygulanır. İki örneğin aynı ana kitleden çekilen örnek olup olmadığının belirlemesi = (Parametrik Test)
Kruskal Wallis Varyans Analizi=H Tesit (Nonparametrik Test)
Varyans Analizi=F Tesit (Parametrik Test)
Kantitatif Gözlemler Bağımsız Gruplarda
Karşılaştırılacak Grup Sayısı
236
Ya da
Kantitatif Gözlemler Bağımlı Gruplarda Karşılaştırılacak
Grup Sayısı
İki Üç+
n=?
<30 >30
İki ölçümde de tüm denekler incelendi mi?
İki ölçümde de tüm denekler incelendi mi?
Varyans Analizi Tekerrürlü Ölçümlerde
Varyans Aanlizi
Evet Hayır Hayır Evet
Wilcoxon İşaretlenmiş Sıra Testi Eşleştirilmiş iki örnek testi= (Nonparametrik test)
İşaret Testi (Nonparametrik Test)
Eşleştirilmiş Gözlemler. İki eş arasındaki farkın önemli olup olmadığının (Z) testi ile belirlenmesi (Nonparametrik test)
Ana kitle Ortalaması Önemlilik Testi: Bir örnek oratalamsının (X) parametresi bilinen (µ) bir ana kitleye dahil olup olmadığının Z testi ile belirlenmesi (Parametrik Test)
Kalitatif Gözlemler Bağımsız Gruplarda Karşılaştırılacak
Grup Sayısı
İki Üç+
1.) Beklenen değerler 5^den küçük değilse 2*2 kontinjensi Tablosu Ki-kare Testi sayısı( nonparametrik test) yada 2.) İki örnek oranı arasındaki farkın önemli olup olmadığının Z testi ile belirlenmesi = İki örnek oranının aynı kitleden çekilen örnekler ait olup olmadığının belirlenmesi (Nonparametrik test)
Beklenen değerler 5’den küçükse Fisher’in kesin Ki-kare Testi= Fisher’in Doğrudan olasılık Hesaplama Metodu (Nonparametrik test)
Ki-kare testi=R=Sıra, C=sütun olmak üzere R*C Tabloları= Kontijensi Tabloları=İki yönlü Tabloları= (Nonparametrik Test)
Kolmogrov Smirnow (a)Sıra x 2 sütıun 2 sıra x m sütun Özellikle küçük örneklerde herhangi bir frekans dağılımının belirli bir hipotezle öngörülen dağılıma uygunluğunu test için kullanılabilir. (Nonparametrik Test)
237
Ya da
Normal dağılış gösteren populasyonların Ortalamaları bunlardan çekildikleri kabul
edilen örnek yardımı ile karşılaştırılır. Böylece çeşitli örnek ortalamalarının aynı ana
kitleye ait olup olmadıkları belirlenir.
Kalitatif Gözlemler Bağımlı Gruplarda Karşılaştırılacak
Grup Sayısı
İki
İki gözlemde de tüm deneklerde incelendi mi?
Evet Hayır
Bağımlı gruplarda Kikare testi= İlişkili örnekler Ki-kare testi
(Nonparametrik test)
Ana Kitle Oranı Önemlilik Testi Bir örnek oranının anakitle oranına karşı testi=
Belli bir ana kitleye dahil olup olmadığının Z testi ile belirlenmesi (Parametrik Test)
Bağımlı gruplarda iki oran arasındaki farkın Z testi ile önemlilik testi . İki örnek oranının aynı ana kitleden çekilen iki örnek olup olmadığının Z testi ile belirlenmesi (Parametrik Test)
Varyans Analizi
Tamamiyle Şansa bağlı Deneme Planı
Tamamiyle Şansa bağlı Deneme Planı
Latin Kare Deneme Planı
Homojen deneme materyalinde k sayıda muamelesini her birinin denenmesi
(b) sayıda kendi içinde homojen ancak kendi aralarında heterojen deneme materyalinin (Blokların) her birinde (k) sayıda muamelesinin her birinin denenmesi
Deneme materyalinin homojenliği sıra ve sütun olarak bilinen iki türlü farklılık gösteriyorsa (m) muamele (r) sayıda sütun ve (c) sayıda sütunda denenir. Sıra, sütun ve muamele sayısı eşit olup her muamele her sütun ve sırada 1 kez yer alır. (4 ayrı yerde, her yerin 4 ayrı alt yerinde 4 muamelenin bir kez denenmesi gibi.
238
Bölünen Bölünmüş Üniteler (Parseller) Üç faktörün hallerinin oluşturduğu kombinasyonlarının deneme materyalinin homojenlik niteliğine göre önemli olan faktörün fazla tekerrürle en alt ünitede (parselde), orta derecede önemli faktörün daha az tekerrürle alt ünitede (parselde) en az önemli faktörün ise en az tekerrürle ana ünitede (parselde) yer aldığı faktöriyel düzenlemedir.
İç içe Sınıflama (Hiyararşik Sınıflar) Bir faktörün çeşitli hallerinin diğer faktörün çeşitli hallerinin hepsinde yer almaması halinde elde edilen interaksiyon şeklinin ölçülemediği deneme planıdır. (A) faktörünün a0 ve a1 hali ve (B) faktörünün b0 ve b1 hallerinin oluşturduğu a0b0 , a0b1 , a1b0 ve a1b1 gibi 4 kombinasyondan tümünün değilde sadece 2 veya 3’ünün alınması iç içe sınıflamaya örnek oluşturur.
Tekerrürlü Ölçümlerde Varyans Analizi Tekerrürlü Deneyler: Bir Deneme planının çeşitli yer zaman ve koşulda tekrarlanması.
a. ) Tekrarlanan tamamiyle şansa bağlı deneme planı, b. ) Tekrarlanan tesadüf blokları deneme planı, c. ) Tekrarlanan Latin kare deneme planı, d. ) Tekrarlanan bölünmüş parseller deneme planı, e. ) Çeşitli yıl ve yerde tekrarlanan tesadüf blokları, f. ) Çeşitli zamanlarda tekrarlanan tesadüf blokları.
Faktöriyel Düzenleme İki ya da daha çok faktörün hallerinin kombinasyonlarının deneme materyalinin niteliğine göre çeşitli sayıda (her faktör için aynı sayıda) tekerrürle denenmesi. Özellikle bir faktörün halleri arasındaki farkın diğer faktör ya da faktölerin hallerine göre değişip değişmediğinin yani interaksiyonunun ölçümünü mümkün kıldığı için kullanılır.
Tesadüf Blokları Deneme Planı Tertibinde Faktöriyel Düzenleme
Tamamiyle Şansa Bağlı Deneme Planı Tertibinde Faktöriyel Düzenleme
Latin Kare Deneme Planı Tertibinde Faktöriyel
Düzenleme
Bölünmüş Üniteler (Parseller) Deneme Planı İki faktörün hallerinin kombinasyınlarının deneme materyalinin homojenik niteliğine göre ana parselde yer alan faktörün daha çok tekerrürle, alt parselde yer alan faktörün daha az tekerrürle denendiği faktöriyel düzenlemedir.
Tamamiyle Şansa Bağlı Deneme Planında Bölünmüş Üniteler (Parseller)
Tesadüf Bloklarında Bölünmüş Üniteler
(Parseller)
Latin Karede Bölünmüş Üniteler
(Parseller)