items prueba tims

Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia.

Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación.

Guía: Ítemes Prueba TIMSS Nombre: Paz Gómez Hernández Aplicaciones de la matemática Fecha de entrega: Lunes, 28 de Noviembre del 2011

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Plantilla de resolución guía: “Ítemes Prueba TIMSS”

Ejercicio: 1.- Los objetos en la balanza se encuentran en equilibrio. En la

bandeja de la izquierda hay un Peso 1 kg y la mitad de un ladrillo.

En el plato de la derecha hay un solo ladrillo. ¿Cuánto pesa el

ladrillo?

Nivel: Aplicación

Eje: Algebra

Unidad: Factores y productos. Sub Unidad: Ecuaciones literales.

CMO: Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

Desarrollo del ejercicio:

Identificamos la incógnita, asignándole la variable x.

Justificación de las alternativas:

A)0.5 kg: Supone que el Kg del ladrillo es uno y se confunde pensando que le preguntan por el de la mitad. B) 1 kg: Despeja mal la ecuación C) 2 kg: Alternativa correcta. D) 3 kg: Supone que la mitad del ladrillo es igual a dos, y sumando los valores obtiene que el ladrillo es de 3 Kg.

Respuesta experta: (Como docente cual sería la forma correcta de resolver el ejercicio)

Primero se debe identificar la incógnita del problema, en este caso es:

Luego planteamos el problema en una ecuación lineal, obteniendo lo siguiente:

Posibles situaciones: (como docente que situaciones o problemas se podrían presentar)

La estrategia más inmediata es probar con las alternativas que tiene la pregunta, planteándola y sustituyendo en cada alternativa. La dificultad que podría tener el alumno, es no poder plantear el problema como una ecuación de primer grado.

Conocimientos previos:

Resolución de ecuaciones literales de primer grado.

Aprendizajes esperados:

Resuelven ecuaciones con coeficientes numéricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones.




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Ejercicio: 2.- En el cuadrado EFGH, ¿Cuál de las afirmaciones es falsa?

Nivel: Aplicación

Eje: Geometría

Unidad: Congruencia de figuras planas.

CMO: Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.


Analizando los triángulos del cuadrado, claramente el triángulo GHI no es congruente con el triángulo GHF


Este tipo de preguntas suelen confundir a los alumnos, ya que en vez de buscar la alternativa falsa, se ponen a buscar la alternativa correcta.


Como la figura es un cuadrado, con las diagonales de este se formarán 4 triángulos congruentes. Esto se puede verificar mediante los tres criterios que existen; LLL, LAL y ALA. -Criterio LLL: Dos triángulos son congruentes, si sus lados correspondientes son congruentes. - Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes, si tiene los lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. - Criterio ALA: Dos triángulos son congruentes si tiene dos ángulos congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.


La posible estrategia que el alumno podría tener, es separar o pintar los diferentes triángulos que están en cada alternativa y verificar con los criterios de congruencia. La dificultar que pueda tener es, no tener claro el concepto de congruencia.


Conocer los Criterios de congruencia. Reconocer elementos secundarios de un triángulo (bisectriz) y propiedades de los cuadrados.


Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos




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Ejercicio: 3.- En la figura, PQ y RS son rectas secantes.

¿Cuál es el valor de x + y?

Nivel: Conocimiento

Eje: Geometría

Unidad: Rectas y ángulos

CMO: Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan en el plano, de los ángulos que se forman al cortar rectas paralelas por una transversal y verificación de las igualdades de medida que se dan en estos casos.


Calculando el suplemento del ángulo se obtiene que x es igual a 30°, además los ángulos opuestos por el vértice son iguales, por lo que x + y = 60°


a) 15°: Pensando que x + y + 150° = 180°. b) 30°: Confundiéndose, y marcando solo el valor de uno de los

ángulos. c) 60°: Alternativa correcta. d) 180°: Pensando que los ángulos miden 90° e) 300°: No sabe


Dos rectas secantes que se intersectan en un punto los ángulos opuestos por el vértice son iguales, por lo tanto sabemos que x=y. Ahora basta calcular el suplemento de cualquiera de los dos ángulos, ya sea x o y, esto es x=180° - 150° X = 30° Entonces y = 30°. Luego se suman los ángulos obteniendo la respuesta.


No saber el concepto de “ángulos suplementarios”.


Ángulos suplementarios y ángulos opuestos por el vértice


Nombrar, clasificar y medir ángulos.




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Ejercicio: 4.- La figura es un hexágono regular. ¿Cuál es el valor de x?

Nivel: Aplicación

Eje: Geometría

Unidad: Ángulos

CMO: Resolución de problemas en situaciones variadas relativas al cálculo de la medida de ángulos interiores y Exteriores en polígonos.


La suma de los polígonos regulares esta dada por la formula siguiente: (n-2)*180°, por lo tanto para el hexágono la suma de sus ángulos es 720°, entonces cada ángulo vale 120° y x=60°.


No hay alternativas.


Para encontrar la suma de los ángulos de un polígono regular, podemos deducir la formula de la siguiente manera:

- Sabemos que el triángulo es un polígono regular de tres lados, y la suma de sus ángulos es de 180°.

- También sabemos que el cuadrado es un polígono regular, y la suma de sus ángulos es 360°.

Siguiendo con esta lógica, podemos hacer lo siguiente: Triángulo: 1 * 180° = 180° Cuadrado: 2 * 180° = 360° Pentágono: 3 * 180° = 540° Hexágono: 4 * 180° = 720° Ahora ¿que relación podemos encontrar con respecto a los lados de cada polígono? Triangulo: (3 lados –x ) * 180° = 180° Cuadrado: (4 lados – x ) * 180° = 360° Pentágono: (5 lados – x) * 180° = 540° De esta manera encontramos la formula para calcular la suma de los ángulos : (n – 2) * 180 Siendo polígonos regulares, entonces podemos dividir por n y encontrar el valor de cada ángulo interior. En este caso los ángulos interiores valen 120° y haciendo el suplemento del ángulo, encontramos que X = 60°.

Posibles situaciones: (como docente que situaciones o problemas se podrían

Deducir mal la formula y no tener claro el concepto de suplemento del ángulo.




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presentar)


Suma de los ángulos interiores de un polígono, polígonos regulares


Determinar las relaciones entre la medida de los ángulos interiores y exteriores de polígonos y aplicarlas a la resolución de problemas.

Ejercicio: 5.- En la figura, cada uno de los triángulos más pequeños tiene la

misma área. ¿Cuál es la relación entre el área sombreada a la zona

sin sombra?

Nivel: Comprensión

Eje: Números

Unidad: Números fraccionarios, razones y porcentajes.

CMO: Establecimiento de la relación entre porcentaje y su expresión como fracción o número decimal. Resolución de problemas que involucren razones y porcentajes en diferentes contextos.


Los triángulos tiene la misma área, por lo tanto los triángulos son iguales, entonces basta solo con sumar la cantidad de triángulos de cada color, obteniendo así 10 triángulos negros y 6 triángulos blancos Luego hacemos la relación triángulos negros : triángulos blancos 10: 6 ; si se divide por dos, obtenemos 5:3.


a) 5 : 3 = alternativa correcta. b) 8 : 5 = confunde la suma total de los triángulos sobre los negros. c) 5 : 8 = confunde la suma de los triángulos negros sobre la suma

total de triángulos. d) 3 : 5= confunde el orden de la relación.


Posibles situaciones: (como docente que situaciones o problemas se podrían

No tener claro los conceptos, de razones, proporciones y porcentajes.




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presentar)


Multiplicación de fracciones y simplificación. Expresión de dos cantidades mediante una razón.


Interpretar una razón como comparación entre dos magnitudes utilizando su cociente.

Problemas Matemáticos

Ejercicio: 1.- ¿Cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez de 8x8 casillas?

Nivel: Análisis

Eje: Números

Unidad: Nivel 5

CMO: Regularidades numéricas


Contando los cuadrados del tablero de ajedrez se tiene: 1 de 8x8 25 de 4x4 4 de 7x7 36 de 3x3 9 de 6x6 49 de 2x2 16 de 5x5 64 de 1x1 Por lo tanto hay 204 cuadrados en el tablero de ajedrez. Como ejemplo podemos ver qué sucede con un cuadrado de 3x3, vemos que ha un cuadrado de 3x3, cuatro de 2x2, y nueve de 1x1, esto es:

Ahora reemplazando tenemos que:

Por lo tanto hay 204 cuadrados en un tablero de ajedrez.


No hay alternativas



Que el estudiante solo cuente los cuadraditos más pequeños, dejando de lado la posibilidad de obtener cuadrados más grandes a partir de los pequeños y más aun, segándose a la posibilidad de sumar unos sobre otros. No conocer una forma segura de contar, provocando inseguridad y confusión




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Sumar,


Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas

Ejercicio: 2.- Se dispone de un tablero de 64 casillas, cada una de 3 cm. de

lado, y de fichas de damas de 3 cm. de diámetro. ¿Cuántas fichas

pueden ponerse en el tablero sin colocar una encima de otra y sin

sobrepasar sus bordes?

Nivel: Aplicación

Eje: Geometría

Unidad: Nivel 1

CMO: Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos. Construcción de teselaciones regulares.


Podemos observar que el diámetro de la ficha de dama tiene la misma medida que los lados de las casillas. También debemos tener en cuenta que en el problema no se especifica que las fichas tiene que estar sobre las casillas determinadas, solo indica que estas no se salgan del tablero ni tampoco se sobreponga una en sima de la otra. Por lo tanto acomodándolas bien obtenemos filas de 8 fichas y filas de 7 fichas, ya que van quedando unos espacios que pueden ser rellenados por las fichas .En total se pueden poner 68 fichas en un tablero de ajedrez.


No tiene alternativas.





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No tener claro el concepto de diámetro de una circunferencia. Que el estudiante solo mantenga la posibilidad de tener una ficha por cada casilla del tablero.


Circunferencias, diámetros, rectángulos y cuadrados


Construyen, en el plano cartesiano, traslaciones, reflexiones y rotaciones en forma manual o utilizando un procesador geométrico y construyen composición de reflexiones.

Ejercicio: 3.-

En el tablero de ajedrez, ¿Cómo se pueden acomodar 8 reinas sin que se ataquen entre sí?

Nivel: Análisis

Eje: Razonamiento lógico

Unidad: Nivel 1

CMO: Estimación y medición de longitudes de objetos o distancias entre dos puntos utilizando unidades de medida informales tales como la medida de manos o pies o unidades estandarizadas como el metro, centímetro y milímetro, e interpretación de información referida a longitudes.


El tablero de ajedrez tiene 64 casillas, donde 32 de ellas son casillas blancas y las otras son negras. La reina en el juego de ajedrez es la única pieza que tiene a libertad de moverse hacia donde quiera y en los espacios que ella desea, es por eso la complejidad del problema. Si tenemos 8 reinas, entonces están deben estar dispuestas de la siguiente manera: 4 reinas en las casillas negras, y las otras cuatro en las casillas blancas, ocupando así




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todas las direcciones del tablero.


No hay alternativa



Una de las dificultades que se pueden encontrar en este problema es no saber cómo se mueve la reina en el juego de ajedrez. Poca motivación para encontrar la solución.


Conocer las reglas del ajedrez.





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Ejercicio: 4.- Un peregrino se presenta a la puerta de un monasterio para pedir hospitalidad. El monje encargado le dice: ¿sabes? en este monasterio hay imágenes milagrosas que doblan el dinero que se lleva en el bolsillo, sin embargo, las súplicas que se necesitan para que la imagen doble el dinero se deben comprar, valen 6 monedas cada una. ¿Te interesa?- El peregrino quiere probar y pide conocer la súplica, así que, recita la oración y milagrosamente el dinero que lleva en el bolsillo se dobla. Después de probar que si funciona, paga la suma de 6 monedas al monje y le pide la segunda súplica, luego recita la oración a la segunda imagen y de nuevo se duplica el dinero de su bolsillo. Paga otras 6 monedas y pide la nueva súplica, también la tercera imagen le concede la gracia de duplicar su dinero. Así, el peregrino paga al monje otras 6 monedas, pero se queda sin nada. ¿Cómo es posible?, ¿cuánto dinero tenía al llegar al monasterio?

Nivel: Aplicación

Eje:

Unidad:

CMO: Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado


Sabemos que el peregrino llega con una cantidad x al monasterio, y que luego de la primera súplica este se le duplica 2x y que luego paga 6

Al hacer la segunda súplica, se duplica nuevamente el dinero y luego paga 6 monedas nuevamente.

Al hacer la tercera suplica, vuelve a duplicarse su dinero y este vuelve a cancelar 6 monedas

Por lo tanto el peregrino llega con 5,25 monedas al monasterio. Ahora si pensamos en la posibilidad de que el peregrino fuera sacando monedas de su bolsillo para no doblarlas y pensar, él, en tratar de quedarse con dinero. Pensemos lo siguiente: que tal si el peregrino llegara con 6 monedas en su bolsillo, y las dobla, queda entonces con 12 monedas de las cuales paga 6 quedando finalmente con 6. Si de esas 6 solo doblara 3 monedas, quedando con 9, de las cuales paga 6 quedándose con 3 monedas. Finalmente hace la tercera suplica, doblándole su dinero en 6 y pagando por última vez. De esta manera no se quedaría con monedas en su bolsillo.


No tiene alternativas.




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Ejercicio: 5.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres personas, dispuestos en fila india, se ponen un sombrero al azar, cada uno y sin mirar el color. El tercero de la fila puede ver el color del sombrero del segundo y el primero. Se le pregunta si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde que no lo sabe. El segundo solo puede ver el sombrero del primero. Se le pregunta si puede decir el color de su sombrero, y también responde que no lo sabe. Por último, el primero de la fila que no ve ningún sombrero, responde acertadamente de qué color es el sombrero que tiene puesto. ¿Cuál es este color y cuál es la lógica que usó para saberlo?

Nivel: Análisis

Eje: Datos

Unidad: Nivel 1

CMO: Resolución de problemas en diversos contextos.


La ultima persona puede ver solo los dos sombreros anteriores, por lo tanto si fueran los dos blancos, el sabría de que color es su sombrero, por lo tanto como responde que no sabe, se tiene dos opciones: los dos sombreros son negros o uno es blanco y el otro es negro. Al preguntarle a la persona del medio el tampoco responde, ya que el puede ver solo el sombreo del primero, entonces si el sombreo fuera blanco, el sabría que su sombrero es negro, pero como no responde es por que el sombrero del primero en negro




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Esto fue lo que razonó la primera persona, la cual responde que su color de sombrero es negro.


No tiene alternativas



No deducir lo que piensa cada integrante de la fila.


Probabilidades.


Resolver problemas que ponen en juego los contenidos del eje Números y profundizar aspectos relacionados con la comprensión del problema, la toma de decisiones respecto de una estrategia de resolución y la interpretación de los resultados.

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