PERMUTASI DAN KOMBINASI 1. Sebuah showroom mobil menyediakan 4 merk mobil. Tiap merk menyediakan 3 jenis kapasitas silinder dan untuk tiap mobil tersedia 2 macam warna. Jika anda akan membeli sebuah mobil ditempat itu, banyak pilihan untuk anda adalah . . . Jawab : Banyak cara untuk memilih merk mobil : 4 Banyak cara untuk memilih kapasitas silinder : 3 Banyak cara untuk memilih warna : 2 Menurut kaidah dasar membilang, banyak pilihan : 4x3x2 =24 2. Ada 6 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang duduk dikursi tertentu. Banyak cara duduk di kursi tersebut adalah . . . Jawab:

Untuk 1 orang yang telah duduk dari 6 orang yang ada, maka : Banyak orang yang belum duduk : 5 Banyak orang yang akan duduk : 3

3. Dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Jawab: Peluang huruf vokal untuk selalu berdampingan adalah .

Mi l

:

A adalah kejadian tersusun kata-kata dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K dengan huruf vokal selalu berdampingan (Banyak huruf: Konsonan = 3, Vokal = 2)

(Terdiri dari 3 unsur konsonan dan dianggap dulu 1 unsur vokal, karena selalu berdampingan). Karena huruf Vokal ada 2, maka:

sehingga:

Jadi kejadian tersusun kata-kata dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K dengan huruf vokal selalu berdampingan adalah

4. Ada 12 buku yang berlainan dibagikan kepada torres dan anelka. Akan tetapi torres harus memperoleh 9 buku dan budi memperoleh 3 buku. Ada berapa banyaknya cara pembagian . . . Jawab : Ini masalah kombinasi, karena yang diperhitungkan hanyalah tentang banyak buku. Banyak kombinasi yang terjadi mengacu pada salah satu pihak saja. Dengan mengacu kepada torres, maka banyaknya cara pembagian adalah:

5. Dalam botol pertama terdapat 2 tablet merah dan 3 tablet putih. Dalam botol kedua terdapat 3 tablet merah dan 4 tablet putih. Dari masing-masing otol diambil satu tablet. Peluang kedua tablet yang terambil berwarna merah adalah . . . Jawab :

6. Peluang lulusan SMK dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan SMK mendaftar pada 24 perusahaan, maka ada harapan dia dapat diterima oleh berapa perusahaan . . . Jawab :

7. Seorang siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia. Jika soal nomor 1, 2, 3, 4 harus dikerjakan, maka banyaknya cara siswa untuk memilih soal adalah .

Jawab : Karena 4 nomor soal harus dikerjakan maka:Banyak soal yang akan dipilih = 10 4 = 6Banyak soal yang dipilih = 8 4 = 4Ini adalah masalah kombinasi karena urutan nomor soal pada jawaban tidaklah diharuskan. Banyaknya cara siswa untuk memilih soal adalah banyak cara memilih 4 soal dari 6 soal yang akan dipilih, yaitu:

8. Dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Peluang huruf vokal untuk selalu berdampingan adalah . Jawab :

Misalkan: A adalah kejadian tersusun kata-kata dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K dengan huruf vokal selalu berdampingan(Banyak huruf: Konsonan = 3, Vokal = 2)

(Terdiri dari 3 unsur konsonan dan dianggap dulu 1 unsur vokal, karena selalu berdampingan) Karena huruf Vokal ada 2, maka:

sehingga:

Jadi kejadian tersusun kata-kata dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K dengan huruf vokal selalu berdampingan adalah

9.

Misalkan S = {p, q,

r}. Berapa cara yang mungkin dalam

penyusunanpada S sehingga tidak ada urutan yang sama ? Jawab : Susunan dua huruf yang mungkin adalah : pq, pr, qr, qp, rp, rq. Jadi penyusunan tersebut dapat dilakukan dengan enam buah cara. Dalam penyusunan ini, dapat menggunakan definisi permutasi, yaitu : P(3,2) =

= =6 10. Misalkan kita mempunyai lima buah bola dengan warna yang berbeda satu sama lain dan 3 buah kotak. Kita akan memasukan bola tersebut kedalam kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan bola dengan warna

berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Jawab : kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 3 bola (ada 3 pilihan). Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (5)(4)(3) = 60

Jika menggunakan definisi permutasi maka : P(5,3) =

= = 60

Induksi Matematika1. Diketahui +3 =n, dimana x dan y bilangan bulat.

a. Jika n < 20, bilangan berapa sajakan n tersebut, dan diperoleh dari pasanagan (x,y) apa saja?[pe tunjuk:coba gunakan tabel semua kemungkinan]. b. Buktikan tidak mungkin ada x dan y yang memenuhi Jawab : a. Gunakan tabel untuk x dan y yang mungkinX Y 0 1 2 0 1 2 3 4

+3

=8.

0 3 12

1 4 13

4 7 16

9 12 21

16 19 28

Jadi yang mungkin hanyalah n = 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 19. Pasangan x, y mana saja yang bersesuaian, dapat dilihat pada tabel. Jangan lupa untuk bilangan negatifnya. Mis: n = 7 dihasilkan oleh pasangan (2,1), ( 2,1), (2,-1) dan (-2,-1). b. Andaikan ada x dan y yang memenuhi untuk x hanyalah 0, 1, 2 dan y = 0, +3 1, =8. Nilai yang mungkin 2. Selain dari nilai x dan

y ini maka nilai tidak ada nilai dengan + 3

+3 +3

melebihi 8. Berdasarkan Tabel sebelumnya yang bernilai 8. Dua pernyataan ada x dan y + 3 8

=8 dan setiap x dan y berlaku

merupakan kontradiksi. Pengandaian salah. Jadi terbukti tidak ada x dan y dst

2. Sebuah kompetisi matematika diikuti oleh 90 peserta. Setiap peserta berkenalan dengan paling sedikit 60 peserta lainnya. Salah seorang peserta bernama Amin menyatakan bahwa setidaknya terdapat 4 orang peserta yang banyak teman barunya sama. Buktikan apakah pernyataan Amin tersebut benar Jawab :PEFRNYATAAN AMIN TERSEBUT TIDAK BENAR. BUKTI (KONSTRUKTIF): Misalkan ke 90 peserta tersebut nytakan dengan x1, x2, . . . , x90. Peserta tidak dapat dapat berkenalan dengan dirinya sendiri dan karena setiap orang berkenalan dengan paling sedikit 60 peserta laiinya maka kemungkinan banyak teman baru seorang peserta adalah 60, 61, 62, . . . , 89. Disusun kelompok sbb: KEL I: X1 berkenalan dengan 60 orang. X2 berkenalan dengan 61 orang. X3 berkenalan dengan 62 orang. . . . X30 berkenalan dengan 89 orang. KEL II: X31 X32 X33 . . . X60 berkenalan dengan 60 orang. berkenalan dengan 61 orang. berkenalan dengan 62 orang.

berkenalan dengan 89 orang.

KEL III: X61 X62 X63 . . . X90 berkenalan dengan 60 orang. berkenalan dengan 61 orang. berkenalan dengan 62 orang.

berkenalan dengan 89 orang.

Dari konstruksi ini hanya 3 orang yang mempunyai banyak teman baru yang sama, misalnya saja x3, x33 dan x63 ketiganya mempunyai 62 orang kenalan baru. Ini cukup untuk mengingkari pernyataan Amin. Bukti ini dikenal dengan bukti contoh pengingkaran (counter example).3. Buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n -1)= n 2, untuk setiap n bilangan asli.

Penyelesaian:Sn : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n -1)= n2 Harus dibuktikan benar untuk n = 1 S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1) Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n= k+1. Anggap n =k berlaku, berarti S k: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . + (2k 1) = k2 Untuk n= k+1, berlaku 1 3 5 7 9 11 ... 2 k 1 ( 2( k 1) 1 = k 2 + 2(k+1) -1= k2+ 2k+2 1= k 2+ 2k+1= (k+1) 2, ternyata benar untuk n=k+1 Sehingga S n berlaku untuk setiap n bilangan asli. 4. Buktikan 1 2 4 ....... 2 n 1 ! 2n 1 , berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti :

S n : 1 2 4 ....... 2 n 1 ! 2 n 1

Untuk membuktikan Sn benar untuk setiap bilangan asli n, langkah pertama apakah Sn benar untuk n=1, ternyata S1 : 211

! 21 1 benar.

Andaikan benar untuk n=k, berati S k : 1 2 4 ....... 2 k 1 ! 2 k 1 adalah benar. Harus dibuktikan benar juga untuk n=k+1. Karena 1 2 4 ....... 2 k 1 ! 2 k 1 ,berarti

1 2 4 ....... 2 k 1 2 k 11 ! 2 k 1 2k 11 ! 2 k 1 2 k ! 2.2 k 1 ! 2 k 1 1Dapat diperoleh

1 2 4 ....... 2 k 1 2k 11 ! 2 k 1 1Kesimpulan untuk n=k+1 benar. Sehingga terbukti S n berlaku untuk setiap n bilangan asli.

. 5. Buktikan 1 + 3 + 6 + 10 + . . . + asli. Jawab:

n( n 1) n( n 1)(n 2) = berlaku untuk setiap n bilangan 2 6

S n : 1 3 6 10 ....... Untuk n=1

n( n 1) n( n 1)(n 2) ! 2 6

S 1: 1 !

1(1 1)(1 2) ...............(benar) 6

Andaikan n=k benar

S k : 1 3 6 10 .......

k ( k 1) k ( k 1)( k 2) ! 2 6

Untuk n=k+1

1 3 6 10 .......

k ( k 1) k 1k 2 k ( k 1)( k 2) ( k 1)(k 2) ! 2 2 6 2=

(k 1)(k 2)( k 3) 6

Terbukti S n berlaku untuk setiap n bilangan asli.

GRAPH dan TREE (POHON)