jan czernecki - model msm w analizie zmienności cen na rynkach towarowych
TRANSCRIPT
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
1/29
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Wydzia Zarz adzania
Kierunek: Analityka Gospodarcza
JAN C ZERNECKI
MODEL MSM W ANALIZIE ZMIENNOSCI CEN
NA RYNKACH TOWAROWYCH
Praca licencjacka
napisana w Katedrze Ekonometrii i Badan Operacyjnychpod kierunkiem prof. dr hab. Jacka Osiewalskiego
czerwiec 2014
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
2/29
Spis tresci
Wstep 2
1 Rynki towarowe 3
1.1 Podstawowe wiadomosci o rynkach towarowych . . . . . . . . . . . 31.2 Wasnosci szeregw czasowych z rynkw towarowych . . . . . . . 4
1.2.1 Rozkady empiryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Autokorelacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Krtka i duga pamiec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Model MSM 9
2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Model MSM z rozkadem dwupunktowym . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Estymacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Alternatywne modele zmiennosci 13
3.1 Modele klasy GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Model GJR-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Model EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Ukryte modele Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Zastosowanie modeli zmiennosci 16
4.1 Analiza badanego szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Porwnanie modeli zmiennosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Analiza reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Wartosc zagrozona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Podsumowanie 26
1
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
3/29
Wstep
W ci agu ostatnich kilku dziesiecioleci nast api znaczny rozwj zarwno w dzie-
dzinie modeli finansowych szeregw czasowych jak i na polu teorii fraktali, niew at-
pliwie zwi azany w duzej mierze z postepem technicznym i zwiekszeniem mozliwo-
sci obliczeniowych komputerw. Wsrd ciekawych prb po aczenia obu dziedzin
na uwage zasuguje m.in. Fraktalny Model z Prze aczaniem Markowa (ang. Markov
Switching Multifractal Model, MSM) zaproponowany w 2008 roku przez Calveta
i Fishera. Niniejsza praca stanowi prbe prezentacji interesuj acego modelu teore-
tycznego oraz sprawdzenia jego przydatnosci w badaniu zmiennosci przykadowych
szeregw czasowych pochodz acych z rynkw towarowych, jak rwniez skonfron-
towania go z innymi modelami uzywanymi w takich analizach.
Praca zostaa zorganizowana w nastepuj acy sposb. W rozdziale 1 przedsta-
wiono charakterystyke rynkw towarowych oraz szeregw stp zwrotw z nich
pochodz acych. Rozdzia 2 zawiera opis modelu MSM wraz z metodami jego es-
tymacji. Rozdzia 3 poswiecony jest alternatywnym modelom zmiennosci, przede
wszystkim wybranym przykadom z szerokiej klasy GARCH oraz ukrytym mode-lom Markowa, natomiast rozdzia 4 obejmuje praktyczne zastosowania wprowadzo-
nych wczesniej modeli wraz z porwnaniem uzyskanych w ich wyniku rezultatw.
Modelowi MSM poswiecona jest przede wszystkim ksi azka jego autorw [1]
oraz prace Luksa [3], [2]. Pozycje te, a zwaszcza pierwsza z nich, stanowiy pod-
stawe do napisania niniejszej pracy. Niezwykle uzytecznym zrdem informacji, za-
rwno teoretycznych, jak i praktycznych, w szczeglnosci w temacie modeli klasy
GARCH, by podrecznik Domanw [4]. Ukryte modele Markowa szeroko opisuj a
Zucchini i MacDonald [11]. Kwestie odnosz ace sie do rynkw towarowych om-
wione s a np. w pracach Schofielda [10] oraz Gortona i Rouwenhorsta [7], a empi-
ryczne wasnosci finansowych szeregw czasowych - w artykule Conta [8]. Zagad-nienia dotycz ace wartosci zagrozonej przedstawia m.in. podrecznik pod redakcj a
Jajugi [5].
2
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
4/29
Rozdzia 1
Rynki towarowe
1.1 Podstawowe wiadomosci o rynkach towarowych
Rynki towarowe to rynki, na ktrych handluje sie surowcami lub produktami
o niskim stopniu przetworzenia, gwnie kopalinami i produktami rolnymi. Po-
siadaj ac niezwykle dug a historie (sugerowan a nawet na kilka tysiecy lat [12]) od
wiekw zapewniaj a mozliwosc zarz adzania ryzykiem, zwi azanym np. z kleskami
niedoboru i urodzaju. Obecnie wyrznia sie na swiecie okoo 50 gwnych rynkw
towarowych.
Charakterystycznymi cechami rynkw towarowych s a: trwaosc i daj aca sie uj ac
w standardy jednorodnosc wystepuj acych na nich dbr, istnienie masowej podazy
i popytu na nie, rozlege uzycie instrumentw pochodnych, zwaszcza kontraktwterminowych oraz przewaga rozliczen pienieznych nad fizyczn a dostaw a zakupio-
nych produktw.
Na rynkach towarowych szerokie zastosowanie znajduj a instrumenty pochodne,
w szczeglnosci kontrakty terminowe forward and futures. S a to umowy dwu-
stronne, w ktrych jedna strona zobowi azuje sie do sprzedazy, zas druga do nabycia,
okreslonego dobra w wyznaczonym, przyszym terminie po ustalonej w momencie
zawierania transakcji cenie i w uzgodnionej ilosci b adz dokonania rwnowaznego
rozliczenia finansowego. St ad kontrakt terminowy, w swoim historycznym przezna-
czeniu, stanowi dla kupuj acego mozliwosc zabezpieczenia sie przed wzrostem cen
instrumentu bazowego w przyszosci, zas dla sprzedaj acego - przed ich spadkiem.Rznica miedzy kontraktami forward i futures polega na stopniu ich uregulowa-
nia - te pierwsze s a bowiem zawierane indywidualnie pomiedzy zainteresowanymi
stronami i ich szczegy s a ustalane z duz a dowolnosci a, natomiast te drugie stano-
wi a przedmiot obrotu giedowego, st ad ich daleko posunieta standaryzacja. Czyni
to kontrakty futures mniej dostosowanymi do potrzeb konkretnych nabywcw, rw-
noczesnie znacz aco zwiekszaj ac ich pynnosc.
3
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
5/29
ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 4
Obecnie wiekszosc kontraktw terminowych - szczeglnie kontraktw futures -
jest rozliczana bez fizycznej dostawy nabytego dobra przez wypate odpowiedniej
kwoty pieniedzy.
1.2 Wasnosci szeregw czasowych z rynkw towaro-
wych
W literaturze dotycz acej finansowych szeregw czasowych czesto zwraca sie
uwage na fakt,ze posiadaj a one pewne cechy szczeglne, wsplne dla wielu z nich.
Istotnosc stylized facts, jak zwykle okresla sie te wasnosci charakterystyczne, dla
modelowania szeregw stp zwrotu zacheca do zbadania, jak sprawdzaj a sie one w
przypadku notowan z rynkw towarowych.
W tym celu wybrano wszystkie 31 kontraktw futures, dla ktrych dane histo-ryczne dostepne s a w serwisie stooq.pl. Dla szeregu logarytmicznych stp zwrotw
kazdego z nich zbadano wystepowanie typowych faktw empirycznych, ktrych
obszern a liste mozna znalezc m.in. w podreczniku Domanw [4] lub pracy Conta
[8].
1.2.1 Rozkady empiryczne
Rozkady empiryczne, odpowiadaj ace teoretycznym rozkadom bezwarunko-
wym badanych szeregw, charakteryzoway sie bardzo wysok a kurtoz a. We wszyst-
kich przypadkach bya ona wyzsza od 0, czesto dwucyfrowa, zas dla kontraktu Soy-bean Futures wynosia ponad 120. Wyniki ilustruje zamieszczony na nastepnej stro-
nie histogram.
Mimo iz w wiekszosci (okoo 2/3) przypadkw, zgodnie z przewidywaniami,
rozkady charakteryzoway sie lewostronn a skosnosci a, niekiedy dosc mocn a, w
sporej grupie wasnosc ta nie wystepowaa. Oznacza to, ze dla niektrych szere-
gw nad duzymi skokami ujemnymi przewazay duze skoki dodatnie, co nie jest
sytuacj a typow a.
Test Jarque-Bera, podobnie jak inne tradycyjne testy, silnie odrzuci normalnosc
rozkadu zwrotw w kazdym z badanych przypadkw.
Wyniki te s a w wiekszosci zgodne z faktami empirycznymi podawanymi w lite-raturze jako charakterystyczne wasciwosci finansowych szeregw czasowych.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
6/29
ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 5
0 20 40 60 80 100 120
0
2
4
6
8
10
Rysunek 1.1: Histogram kurtozy w prbie 31 badanych szeregw
1.2.2 Autokorelacje
Przy badaniu autokorelacji posuzono sie testem Ljunga-Boxa. Autokorelacje
w kwadratach i w wartosciach bezwzglednych okazay sie istotne w kazdym przy-padku, co jest zgodne z wasnosciami finasowych szeregw czasowych obserwo-
wanymi powszechnie. Zdziwienie moze budzic stosunkowo duza liczba istotnych
autokorelacji prostych wystepuj acych az w 25 z 31 badanych kontraktw futures.
1.2.3 Krtka i duga pamiec
Definicje
Jedn a z istotnych charakterystyk szeregu czasowego jest dugosc jego pamieci
lub inaczej trwaosc zaleznosci miedzy nowymi a przeszymi wartosciami.
Przy zaozeniu,ze badany procesrtjest kowariancyjnie stacjonarny mwimy,zema on krtk a pamiec, jesli spenia dwa warunki:
jego funkcja autokowariancji (h) = cov(rt, rth) jest bezwzglednie sumo-walna tzn.h= |(h)|
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
7/29
ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 6
0 dla [,], gdzie
f(
):
=
1
2
h=
(h
)eih
.
Warunkiem wystarczaj acym na posiadanie krtkiej pamieci jest, dla procesw ko-
wariancyjnie stacjonarnych, wykladnicze zanikanie funkcji autokowariancji.
O dugiej pamieci lub dugookresowej zaleznosci w przypadku kowariancyjnie
stacjonarnego procesurtmwimy, gdy istnieje liczbad (0,12
)taka,ze procesxt=
(1 L)drtma krtk a pamiec. Uzyty w definicji operator okreslony jest nastepuj aco:
(1 L)d =1
j=1
djLj,
gdzied1=d,dj= j1d
j dj1dla j>1, a Ljest operatorem opznienia: Lrt=rt1.
Intuicyjn a wasnosci a procesw z dug a pamieci a jest wolne zanikanie funkcji
autokorelacji, ktra przyh przyjmuje postac:
(h) (h)h(12d),
gdzie jest funkcj a zmieniaj ac a sie powoli w nieskonczonosci:
s>0: limt
(ts)
(t) =1.
Test Lo
Jednym ze sposobw na badanie, czy dany szereg posiada dug a pamiec, jest test
Lo [9], ktry rozwija idee analizy przeskalowanego zakresu i wykadnik Hursta.
Statystyka testowa dana jest wzorem:
QT(q) = 1
s2T,qT
max
1kT
k
j=1
(rj r) min1kT
k
j=1
(rj r)
,
gdzie r= 1
TT
j=1 rj, a s2
T,qto estymator wariancji dugookresowej procesurtzadanyrwnaniem:
s2T,q= 1
T
T
j=1
(rj r)2 + 2
q
j=1
1
j
q + 1
(j),
w ktrym
(j) = 1
T
Tj
i=1
(rj r)(ri+j r).
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
8/29
ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 7
Przeciwko hipotezie alternatywnej, mwi acej o istnieniu zaleznosci dugookre-
sowych, testujemy hipoteze zerow a o ich braku. W przypadku jej prawdziwosci
oraz przy pewnych technicznych zaozeniach o badanym procesiertznamy asymp-
totyczny (przyq w taki sposb,ze przyT zachodzi qT 0) rozkadstatystyki testowej:
QT(q) UR/S= max0t1
V(t) min0t1
V(t),
gdzie V(t)jest standardowym mostem Browna.Dystrybuante zmiennej UR/Sopisuje wzr:
FUR/S(x) =1 + 2
k=1
(1 4k2x2)e2k2x2.
Ponadto podstawowe kwantyle jej rozkadu mozna znalezc w pracy Lo [9] lub pod-
reczniku Domanw [4], z ktrego korzystano silnie przy pracy nad tym podrozdzia-
em.
Wyniki empiryczne
Omwiony powyzej test Lo przeprowadzono dla badanej prby 31 szeregw
stp zwrotw z kontraktw terminowych przyjmuj ac poziom ufnosci =5%.Rysunek 1.2 pokazuje wartosci statystyki testowej i granice obszaru krytycz-
negoZK= (; 0,809) (1,862;).Jak widac jedynie w trzech przypadkach testLo sugeruje,ze wystepuje duga pamiec. Bior ac pod uwage fakt,ze przy zaozonym
poziomie ufnosci = 5% przyjmujemy, iz wsrednio 1 przypadku na 20 mozemymylnie uznac,ze szereg bez dugiej pamieci tak a pamiec posiada nalezy przypusz-
czac,ze wasnosc ta wystepuje na rynkach towarowych rzadko, jesli w ogle.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
9/29
ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 8
0 5 10 15 20 25 30
0.
8
1.
2
1.
6
2.
0
Rysunek 1.2: Wartosci statystyki testowej Lo dla kolejnych szeregw
1.2.4 Podsumowanie
Z przeprowadzonego badania wynika, ze szeregi stp zwrotw z rynkw towa-
rowych posiadaj a wiele z czestych dla finansowych szeregw czasowych wasno-
sci. Charakteryzuj a sie wiec one rozkadami bezwarunkowymi o wysokiej kurtozie
i grubych ogonach oraz wysokimi autokorelacjami. Przypuszczalne sporadyczne
wystepowanie dugiej pamieci oraz mocna niekiedy skosnosc rozkadu bezwarun-
kowego mog a byc zatem jedynymi zauwazonymi problemami dla najbardziej kla-
sycznych modeli zmiennosci.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
10/29
Rozdzia 2
Model MSM
Modele MSM - Multifraktalne modele z prze aczaniem Markowa, Markov Swit-ching Multifractal - zostay zaproponowane przez Calveta i Fischera jako intere-
suj aca alternatywa dla klasycznych modeli finansowych szeregw czasowych na-
wi azuj aca do teorii fraktali. Opieraj a sie one na idei nieobserwowalnego procesu,
ktrego wartosci wpywaj a na zachowanie rynku, a ktrego dynamike mozemy po-
srednio badac.
2.1 Definicja
Dla szeregu logarytmicznych stp zwrotw w penych punktach procentowych
rt,t= 0,1,2,...,Tmodelowane s a reszty z modelu autoregresyjnegoyt.Kluczowym skadnikiem modelu MSM rzedu K, reprezentuj acym sytuacje na
rynku w danym momencie, jest wektor stanw:
Mt= (M1,t;M2,t; ...;MK,t) RK+.
Jego elementami s a zmienne losowe o tym samym rozkadzie, jednak zmieniaj ace
sie z rzn a szybkosci a z okresu na okres.
Zazmy,ze znamy wartosci wektora stanw do momentu t1. Dla poszczegl-nych k {1,...,K} kolejne Mk,tz prawdopodobienstwemk jest losowane z usta-
lonego rozkadu M. W przeciwnym przypadku, a wiec z prawdopodobienstwem1 kprzyjmuje ono poprzedni a wartosc: Mk,t=Mk,t1. Odnosnie rozkadu M,jednego dla wszystkich k i t, zakadamy,ze ma on jednostkow a wartosc oczekiwan a
i jest okreslony na posi dodatniej:
X M P(X 0) =1,E(X) =1.
9
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
11/29
ROZDZIA 2. MODEL MSM 10
ElementyMk,ts a czynnikami wsplnie tworz acymi zmiennosc:
(Mt):= Ki=1M
k,t,
gdzie jest dodatni a sta a. Z kolei badany szereg reszt modelujemy jako iloczynzmiennosci i losowego szumu gaussowskiego:
yt= (Mt)t,
gdzie {t} s a niezaleznymi zmiennymi losowymi z rozkadu normalnegoN(0,1).Nalezy zauwazyc,ze przy powyzszych zaozeniach czynnikiMk,ts a nieujemne,
niezalezne dla rznychkoraz maj a wszystkie wartosc oczekiwan a rwn a 1. Wzrost
ktregos elementu wektora stanw, przy pozostaych nie zmienionych, powodujewzrost zmiennosci w modelu - st ad czynniki te odpowiadaj a za wahania zmiennosci.
Jej sredni poziom ustala z kolei parametr , ktry odpowiada bezwarunkowemuodchyleniu standardowemuyt.
Dla oszczednej parametryzacji prawdopodobienstwa przejscia zadane s a wzo-
rem:
k= 1 (1 1)(bk1),
gdzie1 (0,1), b (1,). Wartoscikrosn a wraz ze wzrostem indeksu k, po-zostaj ac jednak w przedziale (0,1). Wynika st ad, ze czynniki Mk,t dla maych kzmieniaj a sie najwolniej, wywieraj ac dugotrway wpyw na poziom zmiennosci,
zas za nieustanne jej wahania, poza czynnikiem losowym, odpowiadaj a elementywektora stanw o duzym indeksie k.
Przedstawion a konstrukcje nazywamy Multifraktalnym modelem z prze acza-
niem Markowa (ang. Markov Switching Multifractal) i oznaczamy MSM(K), gdzie
K jest ilosci a elementw w wektorze stanw, wielkosci a wybieran a, a nie szacowan a
na podstawie danych. Parametry w modelu MSM(K) stanowi a:
parametry rozkaduM,
(0,)- bezwarunkowe odchylenie standardowe zwrotw,
b (1,) i K (0,1) - parametry opisuj ace zestaw prawdopodobienstwprzejscia.
2.2 Model MSM z rozkadem dwupunktowym
Drugim, obok ilosci stanw, elementem determinuj acym wybr konkretnego
modelu z rodziny MSM jest rozkad M.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
12/29
ROZDZIA 2. MODEL MSM 11
Szczeglnie prost a postac model przyjmuje w przypadku rozkadu dwupunk-
towego z rwnymi prawdopodobienstwami obu zdarzen. Wwczas, pamietaj ac o
zaozonym dodatnim nosniku i jednostkowejsredniej, mamy:
XM P(X=m0) =P(X=m1) =1
2
orazm1= 2 m0 im0,m1 0. St ad jako parametr opisuj acy rozkadMwystarczybracm0.
2.2.1 Estymacja
W przypadku, gdy rozkad Mjest dyskretny - wiec w szczeglnosci takze, gdy
jest rozkadem dwupunktowym - mozliwa i stosunkowo prosta jest estymacja para-
metrw metod a najwiekszej wiarygodnosci.
Niech M bedzie rozkadem dyskretnym i w konsekwencji niech wektor sta-
nw Mt przyjmuje skonczenie wiele wartosci m1,...,md RK+. Dodatkowo okre-
slamy jego macierz przejscia A = [ai j]1i,jd, ktrej elementy dane s a wzoremai j =P(Mt+1= j|Mt=i). Wartosci wektora stanw s a nieobserwowalne, jednakinformacji potrzebnych do budowy funkcji wiarygodnosci dostarczaj a m.in. praw-
dopodobienstwa warunkowe
jt =P(Mt= m
j|r1,...,rt),
ktre gromadzimy w wektorze wierszowym
t= (1t, ...,
dt) R
d+.
Modelowane reszty z autoregresji maj a, warunkowo ze wzgledu na stan, rozkad
normalny o gestosci fyt(y|Mt=mi) =n(y;2(mi)),gdzie n(.;2) oznacza gestosc
rozkadu normalnego o zerowejsredniej i wariancji rwnej 2. Wartosc 2(mi), od-powiadaj aca zmiennosci w danym stanie, musi byc wyliczana w zaleznosci od przy-
jetego rozkaduM. Dla zaozonego przypadku dwumianowego z rwnymi prawdo-
podobienstwami mozna zastosowac wzr:
2(mi) = 2ml0mKl1 = 2ml0(2 m0)Kl,
gdziel jest ilosci a wyst apienm0w staniemi.
Zapisuj ac(yt) = (n(yt;2(m1)),...,n(yt;
2(md)))mozemy wyliczyctreku-rencyjnie ze wzoru:
t= (yt) (t1A)
[(rt) (t1A)]1 ,
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
13/29
ROZDZIA 2. MODEL MSM 12
gdzie1 = (1,...,1) Rd orazx z = (x1z1,...,xdzd)dlax,z Rd. W zastosowaniach
przyjmuje sie za wartosc pocz atkow a0rozkad ergodyczny procesu Markowa, coprzy zaozonej niezaleznosci i przyjetym rozkadzie daje nam:
j0=
K
i=1
P(M= mji) =
1
2K.
Ostatecznie pozwala nam to podac wzr na logarytm funkcji wiarygodnosci:
lnL(y1,...,yT;) =T
t=1
ln((yt) (t1A)),
gdziex zoznacza iloczyn skalarny, zasjest wektorem parametrw, ktry w roz-
wazanym szczeglnym przypadku jest rwny(m0,,b,K).Przy ustalonym K estymator najwiekszej wiarygodnosci jest zgodny i asymp-
totycznie efektywny. Gwn a wad a tej metody jest duza zozonosc obliczeniowa,
ktra skutkuje niepraktycznie dugim i szybko rosn acym wraz zKczasem wylicza-
nia ocen parametrw.
Alternatywnie do wyznaczania ocen parametrw mozna posuzyc sie estymato-
rem uoglnionej metody momentw, ktry przy nieco gorszych wasnosciach em-
pirycznych jest obliczany sprawniej. Tematyke t a porusza artyku Luksa [2].
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
14/29
Rozdzia 3
Alternatywne modele zmiennosci
Dla porwnania wynikw empirycznych uzyskanych z przedstawionego w po-przednim rozdziale modelu MSM przydatne bed a modele alternatywne, szeroko sto-
sowane w analizie finansowych szeregw czasowych. W tym celu wybrane zostay
klasy GARCH oraz HMM.
Jak poprzednio opisujemy resztyytz modelu autoregresyjnego.
3.1 Modele klasy GARCH
Jednym z najczesciej stosowanych do analizy finansowych szeregw czasowych
modeli jest wprowadzony w 1986 roku przez Bollersleva GARCH. Stanowi on pod-
stawe do licznych rozszerzen i modyfikacji, ktrych dwa przykady bed a prezento-wane w nastepnych podrozdziaach.
Model GARCH(p,q) dany jest ukadem rwnan:yt= tt
2t = +qi=1iy
2ti+
pj=1j
2tj
gdzietjest ci agiem niezaleznych zmiennych losowych maj acych ten sam rozkado zerowej wartosci oczekiwanej i jednostkowym odchyleniu standardowym (co za-
pisujemy krtko: t iid(0,1)), >0, i 0 i j 0.
3.1.1 Model GJR-GARCH
GJR-GARCH jest rozszerzeniem powyzszego modelu uwzgledniaj acym asyme-
tryczny wpyw na zmiennosc dodatnich i ujemnych zwrotw. Jest on zadany uka-
dem: yt= tt
2t = +qi=1(
+i I(,0](rti) +
i I(0,)(yti))y
2ti+
pj=1j
2tj
13
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
15/29
ROZDZIA 3. ALTERNATYWNE MODELE ZMIENNOSCI 14
w ktorym+i ,i 0, Ijest funkcj a charakterystyczn a, zas pozostae zaozenia s a
identyczne jak w modelu GARCH.
3.1.2 Model EGARCH
Inn a prb aujecia asymetrii jest GARCH wykladniczy (EGARCH), opisany uka-
dem rwnan: yt= tt
ln(2t) = + [1 (L)]1[1 +(L)]g(t1)
gdzieL jest operatorem opznienia (ang. lag operator) ,(L) = 1L +2L2 + ...+
qLq, 1 (L) =1 1L 2L
2 ...pLp jest wielomianem, ktrego wszystkie
pierwiastki maj a moduy dodatnie, ag(t) = 1t+ 2(|t| E|t|).Problematyczny niekiedy elementE|t| dla popularnych rozkadw bedu zosta
wyznaczony analitycznie, przykadowe wzory mozna znalezc np. w podreczniku
Domanw [4], gdzie ponadto znajduje sie obszerne omwienie klasy modeli typu
GARCH wraz z opisem metod estymacji.
3.2 Ukryte modele Markowa
Bardzo ciekaw a klase modeli, znajduj ac a zastosowanie znacznie szersze niz je-
dynie w analizie finansowych szeregw, stanowi a ukryte modele Markowa (Hidden
Markov Models, HMM), ktrych matematyczne podstawy zostay opracowane w
latach 60-tych przez Bauma. Zakadaj a one istnienie nieobserwowalnego procesu,
ktry wpywa na zmienny w czasie rozkad obserwacji. Ideowo s a wiec podobne do
modeli MSM, jednak analiza procesu stanw jest w nich o wiele dalej posunieta.
Rozpatrujemy zbir stanwS= {S1,...,SN},N N oraz odpowiadaj acy za nie-obserwowalne zmiany w zachowaniu rynku proces stochastyczny qt o wartosciach
wS. Jego dynamike opisuje macierz prawdopodobienstw przejsciaA = [ai j], gdzieai j= P(qt+1= Sj|qt=Si) i wektor wartosci startowych = [i],i= P(q1= Si).Wartosci modelowanego szereguyts a losowane z rozkaduQqt zaleznego od stanu
aktualnie przyjetego przez rynek. Rwnania streszczaj ace powyzsz a konstrukcje
mozna zapisac w nastepuj acy sposb:
yt QqtP(q1= Si) = i
P(qt+1=Sj|qt= Si) =ai j
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
16/29
ROZDZIA 3. ALTERNATYWNE MODELE ZMIENNOSCI 15
Liczba stanwNoraz klasy rozkadwQS1,...,QSNs a ustalane arbitralnie i trak-towane jako wybr modelu, natomiast parametrami podlegaj acymi estymacji s a:
ai j in[0,1], [0,1]oraz parametry rozkadwQSi .Estymacja parametrw modelu HMM i zrealizowanej trajektorii procesu stanw
przebiegaj a metod a najwiekszej wiarygodnosci - w pierwszym przypadku przez al-
gorytm Bauma-Welcha, w drugim przez algorytm Viterbiego.
Podstawy teoretyczne i praktyczne aspekty ukrytych modeli Markowa opisane
s a np. w ksi azce Zucchiniego i MacDonalda [11].
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
17/29
Rozdzia 4
Zastosowanie modeli zmiennosci
4.1 Analiza badanego szeregu
Do modelowania wybrano szereg dziennych notowan kontraktu terminowego
Wheat Futurena przestrzeni ponad 54 lat - od 1.07.1959 do 27.12.2013. Uzyskany
z niego szereg logarytmicznych zwrotw w penych punktach procentowych liczy
13718 obserwacji. Jego statystyki opisowe przedstawia ponizsza tabela.
srednia minimum maksimum odchylenie standardowe skosnosc kurtoza
0,00824 -31,9 23,5 1,78 -0,629 23,45
Tablica 4.1: Statystyki opisowe szeregu stp zwrotwWheat Future
Nie wyrznia sie on na tle pozostaych szeregw analizowanych w rozdziale 1.
Wszystkie badane autokorelacje - takze w kwadratach i wartosciach bezwzglednych
s a nieistotne, typowe testy silnie odrzucaj a normalnosc rozkadu bezwarunkowego,
a test Lo wskazuje na wystepowanie dugiej pamieci (jednak wartosc statystyki te-
stowej znajduje sie stosunkowo blisko granicy obszaru krytycznego).
16
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
18/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 17
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
30
10
10
Rysunek 4.1: Logarytmiczne stopy zwrotuWheat Future
4.2 Porwnanie modeli zmiennosci
Na pierwszym etapie oszacowano model AR(4), a do analizy uzyskanych w jego
wyniku reszt uzyto omawianych wczesniej modeli zmiennosci typu MSM, Garch i
HMM. MSM przyjeto w omawianej wczesniej wersji z rozkadem dwumianowym,
zas HMM - z rozkadem normalnym. Dla modeli klasy GARCH zaozony rozkad
oznaczony zosta odpowiednim skrtem w ponizszej tabeli, prezentuj acej wartosci
logarytmu funkcji wiarygodnosci oraz kryteriw informacyjnych Akaikego (AIC),
Schwarza (BIC) i Hannana-Quinna (HQIC) dla wybranych przypadkw wraz z ran-
gami szereguj acymi modele od najlepszego (1) do najgorszego (7) wzgledem tych
kryteriw.
model liczba par. logL AIC BIC HQIC
MSM(7) 4 -23 813 47 634 3 47 664 2 47 644 3
GARCH(1,1) norm 3 -25 591 51 188 7 51 210 7 51 195 7
GARCH(1,1) t 4 -23 949 47 906 6 47 936 4 47 916 5
GARCH(1,1) skosny t 5 -23 945 47 901 4 47 939 5 47 914 4GJR-GARCH(1,1) t 5 -23 947 47 905 5 47 943 6 47 918 6
EGARCH(1,1) t 5 -23 767 47 544 2 47 582 1 47 556 2
HMM(7) 63 -23 547 47 220 1 47 694 3 47 378 1
Tablica 4.2: Porwnanie modeli zmiennosci
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
19/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 18
Analiza powyzszej tabeli prowadzi do nastepuj acych wnioskw. Po pierwsze,
mimo iz HMM(7) ma zdecydowanie najmniejsz a wartosc funkcji wiarygodnosci,
kryteria informacyjne nie wskazuj a jednoznacznie na niego, jako na model naj-
lepszy. Co prawda kryteria Akaikego i Hannana-Quinna zgodnie ustalaj a ranking
trzech najlepszych modeli w kolejnosci: HMM(7), EGARCH(1,1) z rozkladem t-
Studenta1 i MSM(7), jednak wedug kryterium Schwarza, ze wzgledu na siln a pe-
nalizacje nieoszczednej parametryzacji, porz adek ksztatuje sie inaczej: EGARCH,
MSM, HMM. Po drugie pozostae analizowane modele znacznie odbiegaj a warto-
sciami funkcji wiarygodnosci i kryteriw informacyjnych od najlepszych.
W zwi azku z tym do dalszego badania zostay wybrane HMM, EGARCH i
MSM, dla ktrych przeprowadzono analize reszt oraz wyznaczono zmiennosc wa-
runkow a.
4.3 Analiza reszt
Analiza reszt miaa na celu sprawdzenie, w jakim stopniu reszty z wybranych
modeli speniaj a zaozenia teoretyczne o przyjetej klasie rozkadu i nieskorelowa-
niu.
Przedstawione na rysunkach 4.3 i 4.4 histogramy reszt oraz wykresy kwantyl-
kwantyl pokazuj a, ze najlepiej zaozenia o teoretycznym rozkadzie bedu spenia
model HMM, dla ktrego analiza nie wykazuje powaznych odstepstw od normalno-
sci, natomiast w dwch pozostaych przypadkach mamy do czynienia z dosc silnymi
odchyleniami. Test Jarque-Bera zastosowany do reszt z modeli MSM i HMM sil-
nie odrzuca normalnosc (p-value rzedu 1011 i 106, odpowiednio), natomiast test
Komogorowa-Smirnowa zaprzecza zgodnosci z rozkadem teoretycznym w przy-
padku modeli MSM i EGARCH (p-value ponizej 1016, ale nie pozwala na odrzu-
cenie tezy o zgodnosci przy badaniu reszt HMM (p-value rwne 0,356).
Badanie nieskorelowania reszt, ktrego czesciowe wyniki zaprezentowano na
rysunkach 4.5 i 4.6 pokazuje, ze postulowana niezaleznosc skadnika losowego nie
wystepuje dla modeli MSM i HMM, zas dla modelu EGARCH jest w atpliwa. Mimo
wczesniejszego zastosowania modelu AR(4) reszty w kazdym przypadku wykazuj a
istotn a autokorelacje dla pierwszych opznien. Test Ljunga-Boxa nie odrzuca hipo-
tezy zerowej na poziomie ufnosci 0,05 jedynie dla EGARCH i to tylko przy sporej
liczbie opznien.Podsumowuj ac, w badanym przypadku empiryczne wasnosci standaryzowa-
nych reszt z wybranych modeli odbiegaj a od teoretycznych. Mimo iz w przypadku
HMM istniej a podstawy do uznania zgodnosci rozkadu reszt z teoretycznym, zas
1Ocena liczby stopni swobody wyniosa 4,219 z asymptotycznym bedem standardowym rwnym
0,179.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
20/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 19
dla EGARCHa nie wykazalismy jednoznacznie ich zaleznosci, jednakzaden model
nie zapewnia spenienia obu zaozen rwnoczesnie.
reszty MSM
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
4
0
2
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
20
5
5
reszty EGARCH
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
4
0
2
4
reszty HMM
Rysunek 4.2: Standaryzowane reszty z modeli MSM(7), EGARCH(1,1) z rozka-
dem t-Studenta i HMM(7)
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
21/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 20
histogram reszt MSM
4 2 0 2
0
400
1000
histogram reszt EGARCH
20 10 0 10
0
2000
5000
histogram reszt HMM
4 2 0 2 4
0
400
1000
Rysunek 4.3: Histogramy reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM wraz z liniami
odpowiadaj acymi przeskalowanej gestosci standardowego rozkadu normalnego (w
przypdaku MSM i HMM) oraz rozkadu t-Studenta o liczbie stopni swobody osza-
cowanej w modelu EGARCH (w jego przypadku)
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
22/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 21
4 2 0 2
4
0
4
reszty MSM a rozklad normalny
20 15 10 5 0 5 10
15
0
reszty EGARCH a rozklad tStudenta
4 2 0 2 4
4
0
4
reszty HMM a rozklad normalny
Rysunek 4.4: Wykresy kwantyl-kwantyl dla reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
23/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 22
0.0
2
0.0
4
0.0
8
reszty MSM funkcja autokorelacji
0 50 100 150 200
0.0
2
0.
01
0.0
4
reszty EGARCH funkcja autokorelacji
0 50 100 150 200
0.0
4
0
.02
reszty HMM funkcja autokorelacji
0 50 100 150 200
Rysunek 4.5: Funkcje autokorelacji dla reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM
(zerowe opznienie zostao pominiete)
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
24/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 23
0 10 20 30 400e+00
4e10
8e
10
pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt MSM
0 10 20 30 400.
00
0.
15
0.3
0
pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt EGARCH
0 10 20 30 400e+00
4e
09
pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt HMM
Rysunek 4.6: P-value w tescie Ljunga-Boxa dla reszt z modeli MSM, EGARCH,
HMM dla kolejnych rzedw opznien od 11 do 40; w przypadku modelu EGARCH
zaznaczono standardowy poziom ufnosci =0,05
4.4 Wartosc zagrozona
Jedn a z wazniejszych i czesciej stosowanych miar ryzyka pozostaje w ostatnim
czasie wartosc zagrozona (Value at Risk, VaR). Za K. Jajug a "wartosc zagrozona jest
to strata wartosci, takaze prawdopodobienstwo jej osi agniecia lub przekroczenia w
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
25/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 24
zadanym okresie rwne jest zadanemu poziomowi tolerancji".
PrzezWt oznaczmy cene badanego aktywa, przy czym zakadamy, ze znamy
wartosciWtdo chwili obecnej, to jest dla t= 1,...,T. Jednookresow a stope zwrotuwyliczamy ze wzoru: Rt= Wt+1WtWt , zas jej prognoze na najblizszy okres oznaczamy
przezRT+1. Przyjmuj ac jako T historie procesu(Wt), a wiec obecn a i przeszeceny, oraz poziom tolerancji, jednookresowa wartosc zagrozon aVaR zadajemyrwnaniem:
P(WT+1 WT VaR|T) =
ktre mozna doprowadzic do postaci:
P(RT+1VaR
WT|T) = .
Ostatni wzr prowadzi do pojecia wzglednej wartosci zagrozonej (ang. relative
VaR), a wiec procentowej straty wartosci, ktrej prawdopodobienstwo osi agniecia
lub przekroczenia jest rwne przyjetemu poziomowi tolerancji . Dla ci agych roz-kadw zwrotw moze byc ona wyliczona jako bezwzgledna wartosc -kwantylarozkadu warunkowego odpowiednich przyszych stp zwrotw przy danej historii
procesu T.Jakoze w praktyce czestsze zastosowanie znajduj a logarytmiczne stopy zwrotu,
zachodzi potrzeba dostosowania do nich metod obliczania wartosci zagrozonej. W
tym celu stosuje sie zwykle przyblizenie:
RT+1=erT+1 1 rT+1
pozwalaj ace na proste zast apienie zwykych stp zwrotw zwrotami logarytmicz-
nymi za cene bedu, ktry moze w istotny sposb wpyn ac na wartosc VaRu.
Uoglnienie przedstawionej wyzej teorii dla portfela aktyww i duzszego ho-
ryzontu czasowego wraz z uwagami na temat niedokadnosci zwi azanych z przybli-
zaniem VaRu przedstawiaj a dokadnie Osiewalski i Pajor [6].
W modelu MSM z rozkadem dwupunktowym odpowiedni kwantyl w przy-
padku jednodniowego VaRu mozna wyznaczyc analitycznie. Przy znanym stanie
w chwiliT+ 1 prognozayT+1 ma rozkad normalny o zerowej wartosci oczekiwa-nej i odchyleniu standardowym danym wzorem:
(mi) =
K
k=1
mik
W zwi azku z tym rozkad warunkowyyT+1 wzgledem przeszosci jest mieszanin a
rozkadw normalnych o wagach bed acych prawdopodobienstwami przejscia do
poszczeglnych stanw, ktre uzyskujemy wyliczaj ac rekurencyjnie wektor T+1
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
26/29
ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 25
(patrz: sekcja 2.2.1), zas po przesunieciu o poprawke wynikaj ac a z modelu autore-
gresyjnego otrzymujemy rozkad logarytmicznych stp zwrotw rT+1. Obliczaj ac
odpowiedni kwantyl otrzymujemy przyblizenie wartosci zagrozonej w powyzszym
rozumieniu.
W przypadku okresu duzszego niz jeden dzien VaRu nie mozna oszacowac po-
danym sposobem, natomiast da sie go przyblizyc metod a symulacyjn a.
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
1.
5
2.
5
Rysunek 4.7: VaR w penych punktach procentowych w modelu MSM dla pozio-
mw tolerancji [0,005;0,1]
Dla badanego szeregu wyznaczono analitycznie przyblizone wzgledne wartosci
zagrozone przyjmuj ac rzne poziomy ufnosci, co przedstawia powyzszy wykres.
Przykadowo VaR na poziomie tolerancji 0,01 wynis 2,74.
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
27/29
Podsumowanie
W pracy przedstawiono model MSM i sprawdzono jego uzytecznosc przy ana-
lizie zmiennosci na rynkach towarowych, przy czym za punkt odniesienia posu-
zyy wyniki klasycznych i popularnych modeli klasy GARCH, w szczeglnosci
EGARCH, i modelu HMM. W porwnaniu tym MSM nie wypad szczeglnie ko-
rzystnie. Mimo oszczednej parametryzacji jego estymacja jest bardzo kosztowna
obliczeniowo i trwa znacznie duzej niz w przypadku pozostaych badanych mo-
deli, zas kryteria informacyjne ustawiaj a go dopiero na trzecim miejscu, po mode-
lach HMM i EGARCH. Ponadto reszty MSM nie speniaj a zaozen teoretycznych
o normalnosci rozkadu i nieskorelowaniu (wiec i o niezaleznosci). Trzeba jednak
uwzglednic fakt,ze wybrano najprostszy model z tej klasy przyjmuj ac za M rozkad
dwupunktowy, co mogo znacz aco wpyn ac na jakosc wynikw.
W ramach przygotowan w pierwszym rozdziale pracy omwiono rynki towa-
rowe oraz przeanalizowano zachowanie szeregw zwrotw z nich pochodz acych.
Badanie pokazao,ze wykazuj a one w wiekszosci wasnosci postulowane jako cha-
rakterystyczne dla ogu finansowych szeregw czasowych. Odstepstwem od normybya spora ilosc rozkadw empirycznych o dodatniej skosnosci. Test dugiej pa-
mieci nie da jednoznacznych rezultatw, jednak przypuszczalnie wystepuje ona na
rynkach towarowych rzadko, jesli w ogle. Byc moze jest to przyczyn a, dla ktrej
model MSM, przeznaczony do analizy szeregw o dugookresowych zaleznosciach,
sabo sprawdzi sie w zastosowaniu.
W pracy przedstawiono rwniez metody szacowania VaRu w przypadku mo-
delu MSM z rozkadem dwupunktowym, ktrych uzyto do wyznaczenia wartosci
zagrozonej w przypadku analizowango szeregu notowan kontraktu termionowego
na zbozeWheat Futures.
26
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
28/29
Bibliografia
[1] Calvet L., Fisher A., Multifractal Volatility: Theory, Forcasting and Pricing,
Academic Press - Elsevier, Amsterdam 2008.
[2] Lux T., The Markov-Switching Multifractal Model of Asset Returns: GMM
Estimation and Linear Forecasting of Volatility, "Journal of Business & Eco-nomic Statistics", vol. 26, (2008), 194-210.
[3] Liu R., Lux T., di Matteo T., Multifractality and Long-Range Dependence of
Asset Returns: The Scaling Behaviour of the Markov-Switching Multifractal
Model with Lognormal Volatility Component, Advances in Complex Systems",
vol. 11 (2008), 1-16.
[4] Doman M., Doman R.,Modelowanie zmiennosci i ryzykaWolters Kluwer Pol-
ska, Krakw 2009.
[5] Jajuga K. (red.),Zarz adzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, War-szawa 2009.
[6] Osiewalski J., Pajor A., Bayesian Value-at-Risk for a Portfolio, Multi- and
Univariate Approaches Using MSF-SBEKK Models, Central European Journal
of Economic Modelling and Econometrics, vol. 2 (2010), 253-277
[7] Gorton G.,Rouwenhorst K., Facts and Fantasies about Commodity Futures,
NBER Working Paper Series, vol. 10595 (2004).
[8] Cont R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical
issues, Quantitative Finance, vol. 1 (2001), 223236.
[9] Lo A.W.,Long-Term Memory in Stock Market Prices, Econometrica, vol. 59
(1991), 1279-1313.
[10] Schofield N.C.,Commodity Derivatives: Markets and Applications, John Wi-
ley and Sons, London 2007.
27
-
5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych
29/29
BIBLIOGRAFIA 28
[11] Zucchini W. MacDonald I.,Hidden Markov Models for Time Series: An Intro-
duction Using R, CRC Press, Boca Raton 2009.
[12] Sinha R.P., Bhuniya A., Risk Transfer Through Commodity Derivatives: AStudy of Soyabean Oil, Social Science Research Network, Kolkata 2011.