temat piąty jednorównaniowe modele zmienności
DESCRIPTION
Temat piąty Jednorównaniowe modele zmienności. Analiza szeregów czasowych o wysokiej częstotliwości cechy analizy krótkookresowej podstawowy i uogólniony model ARCH testowanie efektu ARCH/GARCH niestandardowe modele ARCH (in mean, z asymetrią, EGARCH) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Temat piąty
Jednorównaniowe modele zmienności
Analiza szeregów czasowych o wysokiej częstotliwości• cechy analizy krótkookresowej• podstawowy i uogólniony model ARCH• testowanie efektu ARCH/GARCH• niestandardowe modele ARCH (in mean, z asymetrią, EGARCH)• estymacja modeli GARCH, ocena jakości
Cechy analizy krótkookresowej
Do cech procesów losowych (najczęściej procesów finansowych) charakteryzujących się wysoką częstotliwością zaliczą się:
• naprzemienne występowanie okresów o zwiększonej fluktuacji i okresów niskiej zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania• skupiania wariancji w kolejnych jednostkach czasu, tj. dodatniej korelacji w dziedzinie zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania, co przejawia się w wysokiej wariancji zmiennej powodowanej wzrostem tej wariancji w okresie poprzedzającym i analogicznie spadkiem wariancji na skutek niskiej wariancji w okresie poprzedzającym
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Rodzaje nieliniowych procesów stochastycznych
W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów czasowych poszukuje się funkcji f wiążącej dany proces z ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie:
,...),,( 21 tttt fY (5.1)
gdzie jest zmienna losową o średniej zero i jednostkowej wariancji
Powyższa reprezentacja jest nieoperacynja, jest na tyle ogólna, że nie wiadomo jak dobierać postać funkcji f
t
(5.2)
Najczęściej przyjmuje się, że nieliniowy proces ekonomiczny ma postać:
,...),(,...),( 2121 tttttt hgY
Procesy Yt wyrażone (5.1) z nieliniową funkcją g() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wartości średniejProcesy Yt wyrażone (5.2) z nieliniową funkcją h2() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wariancji
Powyższa klasyfikacja ma sens gdyż:
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Kwadrat funkcji h przedstawia zmiany warunkowej wariancji procesu Yt:
(5.4)
)/( 12
ttYD ]/))/([( 12
1 tttt YEYE
]/,...),([ 12122
tttt hE )(,...),( 2
212
ttt Eh ,...),( 21
2 tth
Warunkowa wartość oczekiwana Yt może być zapisana:
,...),()/( 211 tttt gYE (5.3)
funkcja g opisuje zmiany wartości średniej procesu Yt warunkowo względem informacji z przeszłości (zbiór Ωt-1 oznacza zbiór wszystkich informacji dostępnych do momentu t-1)
Do najbardziej znanych modeli nieliniowych w warunkowej wartości średniej należą: procesu dwuliniowe, nieliniowe procesy autoregresji i średniej ruchomej, autoregresyjne modele progowe, przełącznikowe i wygładonego przejścia, procesy autoregresyjne o losowych współczynnikach
Znanymi procesami o zmiennej wariancji warunkowej są:procesy ARCH/GARCH oraz procesy zmienności stochastycznej
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Podstawowym modelem ARCH jest:
tTtt xy (5.5)
gdzie xt jest wektorem zmiennych objaśniających (najczęściej opóźnionych zmiennych endogenicznych – postać modelu AR)β jest wektorem parametrów strukturalnycht jest składnikiem zakłócającym spełniającym warunek
(5.6)
q
iitith
1
20
1/ tt ~ ),0( thNw celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0
Warto zauważyć, że równanie (5.6) jest nieliniowe ze względu na zmienne, równanie to (tj. granica sumy q) wyznacza tzw. stopień modelu ARCH, mówimy o modelu ARCH(q)
Model ARCH(q) opisuje poprawnie proces stacjonarny, lub inaczej model
ARCH(q) generuje proces stacjonarny, jeśli spełniony jest warunek
q
ii
1
1
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Uogólnionym modelem ARCH, czyli modelem GARCH, jest:
tTtt xy (5.7)
gdzie oznaczenia zmiennych i parametrów jak w równaniach (5.5) i (5.6)
(5.8)
p
iiti
q
iitit hh
11
20
w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0 i i≥0
granice sumowania q i p wyznaczają stopień modelu GARCH, mówimy o modelu GARCH(q, p)
stacjonarność procesu (tj. skończoność bezwarunkowej wariancji) opisanego modelem GARCH(q,p) jest zapewniona jeśli spełniony jest warunek
111
p
ii
q
ii
Podstawowy i uogólniony model ARCH
W zastosowaniach finansowych wygodnie jest korzystać z tzw. reprezentacji równoważnej modelu GARCH
Niech dany będzie proces vt taki że: ttt hv 2 (5.9)
p
iiti
q
iitit hh
11
20
z formuły (5.8) wyrażającej warunkową wariancję w modelu GARCH wiemy, że ht należy zapisać:
tt h)1( 2
t ~ )1,0(Nttt vh 2
p
iiti
q
iitittt hvh
11
20
2
p
iititi
q
iititt vv
1
2
1
20
2 )(
p
iiti
p
iiti
q
iititt vv
11
2
1
20
2
t
p
iiti
p
iiti
q
iitit vv
11
2
1
20
2
)),(max( qpAR
)(qMA
(5.10)
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Testowanie efektu ARCH/GARCH jest ekwiwalentne, tj. istniejące testy nie pozwalają odróżnić obu procesówWynik testu wskazujący na obecność omawianego efektu pozwala jedynie z określonym prawdopodobieństwem wnioskować o obecności ARCH lub GARCH, bez możliwości rozróżnieniaWnioskowanie o rzędach p i q procesów ARCH/GARCH odbywa się na podstawie miar pojemności informacyjnej
Test Engle’aJest to test „typu” mnożnika Lagrange’a, tzn. do testowania hipotezy zerowej niezbędna jest znajomość jedynie modelu z restrykcjami nałożonymi poprzez testowaną hipotezęPrzypomnijmy, równaniem pomocniczym wariancji warunkowej w modelu ARCH (5.6) jest:
q
iitith
1
20
Engle zaproponował postać modelu AR dla kwadratów reszt uzyskanych z relacji (5.5) jako dobre przybliżenie relacji (5.6), zatem szacowany (MNK, ML) model przyjmuje postać:
t
q
iitit
1
20
2 ˆˆ (5.11)
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Jeśli efekt ARCH/GARCH nie występuje, tzn. nie występuje heteroskedastyczność wariancji warunkowej, wówczas w (5.11) wszystkie parametry i powinny zanikać, tak więc hipotezami są:
Statystyką testową jest:
t
q
iitit
1
20
2 ˆˆ (5.11)
0...: 210 qH
0: iAH 2RTLM
gdzie R2 jest współczynnikiem determinacji wyznaczonym dla modelu (5.11)
Statystyka testowa LM ma rozkład graniczny o q stopniach swobody, wnioskowanie o odrzuceniu H0 lub braku podstaw do odrzucenia jest typowe
2
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Test McLeoda i LiW omawianym teście wykorzystuje się statystykę Boxa-Ljunga do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji kwadratów reszt relacji (5.5), zatem test przebiega następująco:• oszacować relację (5.5)
T
tt
T
ijitt
t
itti
T
jT
D
1
2
1
22
22
22
ˆ1
ˆˆ1
)ˆ(
)ˆ,ˆcov(ˆ
• wyznaczyć kwadraty reszt, , relacji (5.5)2ˆt
(5.12)
• obliczyć współczynniki autokorelacji (rzędu od 1 do q) kwadratów reszt uzyskanych w punkcie poprzednim (Uwaga! Nie zapomnieć o standaryzacji)
• obliczyć statystykę Boxa-Ljunga
q
i
i
iTTTQ
1
2ˆ)2('
• statystyka (5.12) Boxa-Ljunga ma rozkład graniczny o q stopniach swobody
2
• wobec zastosowanej statystyki testowej, zestawem hipotez jest:
0...: 210 qH 0: iAH
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH in MEAN (GARCH-M) przyjmuje postać:
GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka (premii za ryzyko)Jeżeli ocena parametru λ jest dodatnia i parametr może zostać uznany za statystycznie istotny, wówczas wzrost wariancji warunkowej ht (czyli miary ryzyka) powoduje wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej stopy zwrotu z papieru (yt)
ttTtt hxy (5.13)
(5.14)
p
iiti
q
iitit hh
11
20
1/ tt ~ ),0( thN
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH z asymetrią reakcji
Wówczas możliwe jest wyznaczenie vt jako:
Asymetria reakcji na pakietowe zmiany zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania (rt) może być przybliżona prostym modelem GARCH-M
ttt har (5.15)
(5.16)
p
iiti
q
iitit hh
11
20
1/ tt ~ ),0( thN ttt hv tv ~ )1,0(N
t
ttt
h
harv
)( (5.17)
Warto zauważyć, że proces opisany przez (5.17) charakteryzuje się rozkładem normalnym standaryzowanym
Można zaobserwować, że prawdziwa jest następująca nierówność:
)0/()()0/()( tttttt rharrhar Czego konsekwencją jest:
)0/()0/( tttt rErE
Niestandardowe modele GARCH
Model E-GARCH
Funkcją warunkowej wariancji jest:
W modelu EGARCH czyni się typowe założenia odnoszące się do równania opisującego zmienną będącą przedmiotem zainteresowania, czyli:
(5.18)
(5.19)
1/ tt ~ ),0( thNttt hv tv ~ )1,0(Nt
Ttt xy
0 1 1 2 11 1
ln ( ( 2 / )) lnq p
t i t t i t ii i
h v v h
Powyższy model jest modelem typu wykładniczegoZ definicji funkcji wykładniczej wynika, że zapewniona jest nieujemność wariancji warunkowejAsymetria reakcji powodowana jest iloczynem iδ1 przykładowo, jeżeli iδ1<0
wówczas wariancja warunkowa ht maleje w miarę wzrostu t-i i rośnie w
przypadku spadku składnika zakłócającego, jednakże nieliniowy charakter reakcji wymusza różne stopnie reakcji