jean-maxime doit se rendre au travail. en chemin, il passera au centre dactivités physiques pour...
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Jean-Maxime doit se rendre au travail. En chemin, il passera au centre d’activités physiques pour s’entraîner.
De sa maison, il parcourt une distance de 0,75 km dans la direction [N36oE] et s’arrête au centre.
Après son entraînement, il marche jusqu’à l’arrêt d’autobus situé à 0,50 km au sud du centre.
L’autobus arrive.
Jean-Maxime embarque et débarque à l’entrée de son travail, 2,6 km plus loin dans la direction [S40oE].
Détermine le déplacement total de Jean-Maxime.
Étape 1 : Écris les données et trace un diagramme vectoriel.
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Données :
1
2
3
0,75km [N36°E]
0,50km [S]
2,6km [S40°E]
?total
d
d
d
d
1d
2d
3d
totald
Diagramme vectoriel :
36o
40ox
y
x
y
x
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Le triangle est rectangle et la mesure de l’angle entre l’axe des x positif et le vecteur est donnée. Tu peux alors faire appel au rapport trigonométrique cosinus.
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
90 36 54 54
1xd
1yd
Commence par déterminer la composante dans la direction x.
cosadj
hyp
Pour cela, détermine la longueur du côté adjacent à l’angle
cosadj
hyhyp hyp
p
coshyp adj
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
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Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
La longueur de l’hypoténuse est la longueur du vecteur donné, soit 0,75 km.
1 (0,75km) cos54xd
1 0,4408kmxd
* Note que pour indiquer qu’il s’agit bien d’une composante et non d’une composante vectorielle, il n’y a pas de flèche au-dessus de la lettre.
Une fois que tu as déterminé la composante dans la direction x, calcule la composante dans la direction y.
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Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
1 (0,75km) cos54xd
1 0,4408kmxd
Tu cherches maintenant à déterminer la longueur du côté opposé à l’angle
La longueur du côté opposé à l’angle est la composante dans la direction y.
Fais appel au rapport trigonométrique sinus pour déterminer la composante dans la direction y.
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Note que est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur. 1 0,6068km
yd 1 0,6068km
yd
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
sinopp
hyp
sinopp
hyhyp hyp
p
sinhyp opp
sinopp hyp
1 (0,75km) sin 54yd
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Récapitulation (mi-activité)
Pour déterminer la composante dans la direction x, tu peux utiliser l’équation qui suit :
cosadj hyp
Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.
xiadj d
ihyp d
L’équation devient :
cosxi id d
où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.
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Récapitulation (mi-activité) (suite)
Pour déterminer la composante dans la direction y, tu peux utiliser l’équation qui suit :
sinopp hyp
Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.
yiopp d
ihyp d
L’équation devient :
sinyi id d
où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.
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Détermine maintenant les composantes dans les directions x et y des
deux autres vecteurs.
2dx
y
2 (0,50km) cos 270x
d
2 0kmx
d
2 (0,50km) sin 270y
d
2 0,50kmy
d
cosxi id d
270
sinyi id d
0,50 km
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3 (2,6km) cos310x
d
3 1,6712kmx
d
3 (2,6km) sin 310y
d
3 1,9917 kmy
d
cosxi id d
270 40
sinyi id d
3d
40o
x
y
310
3xd
3yd
3,6 km
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Étape 3 : Additionne les composantes dans chaque direction (x et y).
1 0,4408kmxd
2 0kmx
d 2 0,50kmy
d 1 0,6068kmyd
0,4408km 0km 1,6712kmxd
0,6068km ( 0,50) km ( 1,9917) kmyd
2,112kmxd
1,8849kmyd
3 1,6712kmx
d 3 1,9917 kmy
d
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Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la
longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.
x
y
totald
2,112kmxd
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2,8308kmtotald 2,8308km
Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la
longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.
totald
2,112km
2 2 2c a b 2 2 2(1,8849km) (2,112km)totald
2 28,0134kmtotald 2 28,0134kmtotald
tanopp
adj
2,112kmtan
1,8849km
tan 1,1205 1tan (1,1205)
48 48
1,88
49km
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yN1d
2d
3d
totald
x
Donc, le déplacement total de Jean-Maxime
est de 2,8 km [S48oE].