jednaˇcineprvogreda - university of...
TRANSCRIPT
8 jednacine prvog reda
8. Dokazati da je y = eC tan(x/2) opste resenje diferencijalnejednacine
ydx+ (1 + x2)dy = 0,
a zatim odrediti partikularno resenje za koje je: (1) y(π/2) = e,(2) y(π/2) = 1.
9. Data je diferencijalna jednacina
y′ = 3√
(y − x)2 + 1.
(1) Dokazati da je y =
(
x− C3
)3
+ x njeno opste resenje.
(2) Odrediti partikularno resenje za koje je y(1) = 2.(3) Da li postoji resenje date jednacine koje se ne moze dobiti
iz opsteg resenja ?
10. Dokazati da je y = Cx + C2 opste resenje, a y = −x2/4singularno resenje diferencijalne jednacine
xy′ + y′2 − y = 0.
11. Dokazati da je x2 = C(y − C) opste resenje, a y = 2x iy = −2x singularna resenja diferencijalne jednacine
xy′2 − 2yy′ + 4x = 0.
12. Dokazati da je y = Cex + 1/C opste resenje, a y = 2ex/2 iy = −2ex/2 singularna resenja diferencijalne jednacine
y′2 − yy′ + ex = 0.
13. Dokazati da je y = Cx+C lnC opste resenje, a y = e−(x+1)
singularno resenje diferencijalne jednacine
y = xy′ + y′ ln y′.
Jednacine sa razdvojenim promenljivim
U zadacima 14.-21. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
14. x(y + 1)dx− y(x2 + 1)dy = 0.
jednacine prvog reda 9
15. y(1− x2)dy − x(1− y2)dx = 0.
16. xydx+ (1 + y2)√1 + x2dy = 0.
17. y′ + y2 = 1.
18.√
1− y2dx+√1− x2dy = 0.
19. (xy2 + y2)dx+ (x2 − x2y)dy = 0.
20. ex tan ydx = (ex − 1) cos−2 ydy.
21. 2y′ = cos(x− y)− cos(x+ y).
U zadacima 22.-30. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
22. y′ = xy + x+ y + 1.
23. x+ xy + y′(y + xy) = 0.
24. (xy2 + x)dx+ (y − x2y)dy = 0.
25. y′ tan x− y = 1.
26.√
1− y2dx+ y√1− x2dy = 0.
27. x√
1 + y2 + yy′√1 + x2 = 0.
28. e−y(1 + y′) = 1.
29. ey(1 + x2)dy − 2x(1 + ey)dx = 0.
30. ex sin3 y + (1 + e2x) cos yy′ = 0.
U zadacima 31.-41. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
31. y − xy′ = 2(1 + x2y′), y(1) = 1.
10 jednacine prvog reda
32. y′ sin x− y cos x = 0, y(π/2) = 1.
33. y′ + sin(x− y) = sin(x+ y), y(π) = π/2.
34. ydx+ (1 + x2)dy = 0, y(1) = 1.
35. x2(y3 + 5)dx+ (x3 + 5)y2dy = 0, y(0) = 1.
36. x√
1 + y2dx+ y√1 + x2dy = 0, y(
√3) = 0.
37. tan ydx− x ln xdy = 0, x(π/2) = e.
38. (1 + y2)dx+ (1 + x2)dy = 0, y(1) = 2.
39. (1 + ex)yy′ = ex, y(0) = 1.
40. y′ sin x = y ln y, y(π/2) = e.
41. x3y′ sin y = 2, y → π/2 (x→∞).
U zadacima 42.-48., najpre odgovarajucom smenom svesti datudiferencijalnu jednacinu na jednacinu sa razdvojenim promenljivim,a zatim odrediti njeno opste resenje.
42. (x+ y)y′ = 1.
43. (3x+ y)y′ = 1.
44. y′ =√2x+ y − 3.
45. y′ = cos(x+ y).
46. (x+ y)dx+ (x+ y − 1)dy = 0.
47. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0.
48. (x− y + 2)dx+ (x− y + 3)dy = 0.
jednacine prvog reda 11
49. Odrediti jednacinu familije krivih kod kojih tacka dodiratangente i krive deli odsecak tangente izme -du koordinatnih osa nadva podudarna dela.
50. Odrediti jednacinu krive koja sadrzi tacku A(2, 0) i za kojuje odsecak tangente izme -du dodirne tacke i ordinatne ose jednak 2.
Homogene jednacine
U zadacima 51.-54. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
51. xdy = (x+ y)dx.
52. 2x2dy = (x2 + y2)dx.
53. (x+ y)dx+ (x− y)dy = 0.
54. (x2 + y2)dx− 2xydy = 0.
U zadacima 55.-68. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
55. y − xy′ = y lnx
y.
56. xy′ =√
x2 − y2 + y.
57. y − xy′ = x+ yy′.
58. xy′ cosy
x= y cos
y
x− x.
59. y′ +x2 + y2
xy= 0.
60. xydy − y2dx = (x+ y)2e−y/xdx.
61. (x2 − xy)dy + y2dx = 0.
12 jednacine prvog reda
62. y′ = ey/x +y
x+ 1.
63. xy′ = x siny
x+ y.
64. xy′ + x cosy
x− y + x = 0.
65. xy′ − y =√
x2 + y2.
66. xy′ = y lny
x.
67. x2y′ = xy + y2e−x/y.
68. x cosy
x(ydx+ xdy) = y sin
y
x(xdy − ydx).
U zadacima 69.-71. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
69. y′ =ex/y
1 +x
yex/y
, y(0) = −1.
70. y′(x2 − y2) = xy, y(0) = e.
71. (xy′ − y) arctan yx= x, y(1) = 0.
72. Odrediti jednacinu krive za koju je odsecak tangente izme -dukoordinatnih osa jednak proizvodu koordinata dodirne tacke.
Jednacine koje se svode na homogene
U zadacima 73.-79. odgovarajucom smenom svesti datu difer-encijalnu jednacinu na homogenu i zatim odrediti njeno opste resenje.
73. (x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0.
jednacine prvog reda 13
74. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0.
75. y′ = − x− 2y + 5
2x− 5y + 4.
76. y′ =x+ y − 3
x− y − 1.
77. y′ =2x+ y − 1
4x+ 2y + 5.
78. y′ =
(
y + 1
x+ y − 2
)2
.
79. (3y − 7x+ 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0.
U zadacima 80.-81. smenom y = zα svesti datu diferencijalnujednacinu na homogenu, a zatim odrediti njeno opste resenje.
80. (x2y2 − 1)dy + 2xy3dx = 0.
81. 2x4yy′ + y4 = 4x6.
Linearne jednacine
U zadacima 82.-93. resiti datu linearnu diferencijalnu jednaci-nu.
82. y′ + 2xy = 2xe−x2.
83. y′ + sin x = y + cos x.
84. y′ + 2xy = 2x2e−x2.
85. xy′ + 2y = x2.
86. (x3 + y)dx− xdy = 0.
14 jednacine prvog reda
87. y′ +1− 2x
x2y = 1.
88. y′ + y = cos x.
89. ex2y′ + 2xyex
2= x sin x.
90. y′ − 2x+ 1
x2 + x+ 1y = cos x− 2x+ 1
x2 + x+ 1sin x.
91. y′ + y tan x =1
cos x.
92. (1 + x2)y′ − 2xy = (1 + x2)2.
93. (x− x3)y′ + (2x2 − 1)y − x3 = 0.
U zadacima 94.-98. odrediti partikularno resenje date linearnediferencijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
94. (x2 − 1)y′ + 2xy − 4x = 0, y(2) = 2.
95. xy′ − y
x+ 1= x, y(1) = 0.
96. y′ + y cos x = sin x cos x, y(0) = 0.
97. y′ − y tan x =1
cos x, y(0) = 1.
98. x(x− 1)y′ + y = x2(2x− 1), y(2) = 4.
U zadacima 99.-105. resiti datu diferencijalnu jednacinu kojaje linearna po x.
99. (y2 − 6x)y′ + 2y = 0.
100. (x− 2xy − y2)y′ + y2 = 0.
101. y′ =1
2x− y2.
jednacine prvog reda 15
102. (y2 + 1)dx = (xy + y2 + 1)dy.
103. y′ =y
2y ln y + y − x.
104. (1 + y2)dx =(√
1 + y2 sin y − xy)
dy.
105. (1 + y2)dx = (arctan y − x)dy.
106. Odrediti ono resenje diferencijalne jednacine
y′ sin 2x = 2(y + cos x)
koje je ograniceno kad x→ π/2.
107. Odrediti ono resenje diferencijalne jednacine
y′ sin x− y cos x = −sin2 x
x2
koje tezi nuli kad x→∞.
Bernulijeva jednacina
U zadacima 108.-129. resiti datu Bernulijevu diferencijalnujednacinu.
108. y′ − xy = −xy3.
109. y′ + 2xy = 2xy2.
110. y′ + 2xy = 2x3y3.
111. xy′ + y = y2 ln x.
112. y′ +y
x+ 1+ y2 = 0.
113. 3xy2y′ − 2y3 = x3.
16 jednacine prvog reda
114. xy′ − 4y − x2√y = 0.
115. y′(x2y3 + xy) = 1.
116. (y ln x− 2)ydx = xdy.
117. (x3 + ey)y′ = 3x2.
118. y′ + 2xy = y2ex2.
119. y′ − 2yex = 2√yex.
120. 2y′ ln x+y
x=cos x
y.
121. 2y′ sin x+ y cos x = y3 sin2 x.
122. (x2 + y2 + 1)dy + xydx = 0.
123. y′ − y cos x = y2 cos x.
124. dy + (xy − xy3)dx = 0.
125. xy′ − y2 ln x+ y = 0.
126. y′ +xy
1− x2= x√y.
127. y′ +2y
x=
2√y
cos2 x.
128. (1 + x2)y′ − 2xy = 4√
y(1 + x2) arctan x.
129. y′x3 sin y + 2y = xy′.
Jednacine sa totalnim diferencijalom
U zadacima 130.-153. resiti datu diferencijalnu jednacinu satotalnim diferencijalom.
130. (y − 3x2)dx+ (x− 4y)dy = 0.
jednacine prvog reda 17
131. x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y′ = 0.
132. (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y + 4y3)dy = 0.
133.
(
x√
x2 + y2+
1
x+
1
y
)
dx =
(
x
y2− y√
x2 + y2+
1
y
)
dy.
134.
(
2x+x2 + y2
x2y
)
dx =x2 + y2
xy2dy.
135.
(
1
x2+
3y2
x4
)
dx =2y
x3dy.
136. xdx+ ydy =ydx− xdyx2 + y2
.
137. eydx+ (xey − 2y)dy = 0.
138. yxy−1dx+ xy ln xdy = 0.
139. (3y2 + 2xy + 2x)dx+ (6xy + x2 + 3)dy = 0.
140. 2x(
1 +√
x2 − y)
dx−√
x2 − ydy = 0.
141.
(
1
x− y2
(x− y)2
)
dx+
(
x2
(x− y)2− 1
y
)
dy = 0.
142.
(
sin 2x
y+ x
)
dx+
(
y − sin2 x
y2
)
dy = 0.
143. (3x2 − 2x− y)dx+ (2y − x+ 3y2)dy = 0.
144.
(
xy√1 + x2
+ 2xy − y
x
)
dx+(√
1 + x2 + x2 − ln x)
dy = 0.
145.xdx+ ydy√
x2 + y2+xdy − ydx
x2= 0.
18 jednacine prvog reda
146.
(
sin y + y sin x+1
x
)
dx+
(
x cos y − cos x+1
y
)
dy = 0.
147. (3x2y + y3)dx+ (x3 + 3xy2)dy = 0.
148. e−ydx+ (1− xe−y)dy = 0.
149.xdx+ (2x+ y)dy
(x+ y)2= 0.
150.
(
y2
(x− y)2− 1
x
)
dx+
(
1
y− x2
(x− y)2
)
dy = 0.
151.
(
x
sin y+ 2
)
dx+(x2 + 1) cos y
cos 2y − 1dy = 0.
152. (sin xy + xy cos xy)dx+ x2 cos xydy = 0.
153.y + sin x cos2 xy
cos2 xydy +
(
x
cos2 xy+ sin y
)
dy = 0.
U zadacima 154.-157. odrediti partikularno resenje date difer-encijalne jednacine sa totalnim diferencijalom koje zadovoljava datiuslov.
154.2x
y3dx+
y2 − 3x2
y4dy = 0, y(1) = 1.
155.(x+ 2)dx+ ydy
(x+ y)2= 0, y(1) = 0.
156. 3x2eydx+ (x3ey − 1)dy = 0, y(0) = 1.
157. 2x cos2 ydx+ (2y − x2 sin 2y)dy = 0, y(0) = 0.
Integracioni faktor
U zadacima 158.-166. odrediti integracioni faktor oblika µ(x)i opste resenje date diferencijalne jednacine.
jednacine prvog reda 19
158. (x2 − y)dx+ xdy = 0.
159. (1− x2y)dx+ x2(y − x)dy = 0.
160.(
1− xy
)
dx+
(
2xy +x
y+x2
y2
)
dy = 0.
161. (x2 − 3y2)dx+ 2xydy = 0.
162. (x4 ln x− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0.
163.(
e2x − y2)
dx+ ydy = 0.
164. (x sin y + y)dx+ (x2 cos y + x ln x)dy = 0.
165. (x+ sin x+ sin y)dx+ cos ydy = 0.
166. (2x2y + 2y + 5)dx+ (2x3 + 2x)dy = 0.
U zadacima 167.-172. odrediti integracioni faktor oblika µ(y)i opste resenje date diferencijalne jednacine.
167. y2dx+ (yx− 1)dy = 0.
168. (2xy2 − 3y3)dx+ (7− 3xy2)dy = 0.
169. 2xy ln ydx+(
x2 + y2√
y2 + 1)
dy = 0.
170. (sin x+ ey)dx+ cos xdy = 0.
171. (3x2 cos y − sin y) cos ydx− xdy = 0.
172. (1 + 3x2 sin y)dx− x cot ydy = 0.
U zadacima 173.-176. odrediti integracioni faktor koji je oblikaµ(x, y) i opste resenje date diferencijalne jednacine.
173. (3y2 − x)dx+ (2y3 − 6xy)dy = 0.
20 jednacine prvog reda
174. (x2 + y2 + 1)dx− 2xydy = 0.
175. xdx+ ydy + x(xdy − ydx) = 0.
176. ydx− (x+ x2 + y2)dy = 0.
U zadacima 177.-181. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
177. y(1 + xy)dx− xdy = 0.
178.y
xdx+ (y3 − ln x)dy = 0.
179. (2x2y + 2y + 5)dx+ (2x3 + 2x)dy = 0.
180. (x4 ln x− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0.
181. (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0.
Razne jednacine
U zadacima 182.-200. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
182. x2dy + (3− 2xy)dx = 0.
183. x(x2 + 1)y′ + y = x(1 + x2)2.
184.xy′ − yx
= tany
x.
185. y′ =1 + y2
xy(1 + x2).
186. y′ = e2x − exy.
187. y′ =1
x cos y + sin 2y.
jednacine prvog reda 21
188. y′ = (x+ y)2.
189. y′ =4x− y + 3
y − x+ 1.
190. y′ =2(y + 2)2
(x+ y − 1)2.
191. y′ =y2 − x
2y(x+ 1).
192. y′ =y3
2(xy2 − x2).
193. yy′ + x =1
2
(
x2 + y2
x
)2
.
194. y′ =y2
2xy + 3.
195. e2x − ex+y(1 + y′) = 0.
196. y′ =y
x(1 + ln y − ln x).
197. (x+ y)dx+ (x− y)dy = 0.
198. y′ + xy2 +y
x= 0.
199. (x+ ln y)dx+
(
1 +x
y+ sin y
)
dy = 0.
200. y′ + sinx+ y
2= sin
x− y2
.
22 jednacine prvog reda
Resenja:
6. y = eπ/4−arctan x.
7. y = 0.
8. (1) y = etan(x/2), (2) y = 1.
9. (2) y = ((x+ 2)/3)3 + x, (3) y = x.
14. Cey = (y + 1)√x2 + 1, y = −1 je s.r.
15. 1− y2 = C(1− x2), (C 6= 0), y = ±1, x = ±1 su s.r.
16.√1 + x2 + ln |y|+ y2/2 = C, y = 0 je s.r.
17. y = tanh(x+ C), y = coth(x+ C), y = ±1 su s.r.
18. x√
1− y2 + y√1− x2 = C, y = ±1 su s.r.
19. ln(x/y) = (x+ y)/(xy) + C, x = 0 i y = 0 su s.r.
20. tan y = (ex − 1)C, x = 0 je s.r.
21. y = 2 arctan(Ce− cos x) + nπ, (C 6= 0), y = kπ.
22. Ce(x+1)2/2 − 1.
23. x+ y = ln |C(x+ 1)(y + 1)|.24. 1 + y2 = C(1− x2).25. y = C sin x− 1.
26.√
1− y2 = arcsin x+ C.
27.√1 + x2 +
√
1 + y2 = C.
28. ex = C(1− e−y).29. 1 + ey = C(1 + x2).
30. arctan ex = 1/(2 sin2 y) + C.
31. y = (2 + x)/(1 + 2x).
32. y = sin x.
33. tan(y/2) = e2 sin x.
34. y = eπ/4−arctan x.
35. (x3 + 5)(y3 + 5) = 30.
36.√1 + x2 +
√
1 + y2 = 3.
37. x = esin y.
jednacine prvog reda 23
38. (x+ y)/(1− xy) = −3.39. y2 = 2 ln(1 + ex) + 1− 2 ln 2.
40. y = etan(x/2).
41. y = arccos(1/x2).
42. y − ln |x+ y + 1| = C.
43. (3x+ y)/3− ln |9x+ 3y + 1|/9 = x+ C.
44. 2√2x+ y − 3− 4 ln(
√2x+ y − 3 + 2) = x+ C.
45. y = −x+ 2 arctan(x+ C) + 2nπ, y = −x+ (2n+ 1)π.
46. (x+ y − 1)2 + 2x = C.
47. x+ 2y + 3 ln |x+ y − 2| = C.
48. ln |2x− 2y + 5| − 2(x+ y − 2) = C.
49. y = C/x.
50. y =√4− x2 + 2 ln |(2−
√4− x2)/x|.
51. y = x(ln |x|+ C), x = 0 je s.r.
52. x = Ce−2x/(y−x), x = 0 i y = x su s.r.
53. x2 + 2xy − y2 = C.
54. x2 − y2 − Cx = 0.
55. y = xeCx.
56. y = x sin lnCx, (e−π/2 ≤ Cx ≤ eπ/2).
57. arctany
x+ ln(C
√
x2 + y2) = 0, C > 0).
58. ln |x|+ siny
x= C.
59. x2(x2 + 2y2) = C.
60. (x+ y) lnCx = xey/x.
61. y = Cey/x.
62. ey/x =Cx
1− Cx.
63. y = 2x arctanCx.
64. tany
2x= ln(C/x).
65. x2 = C2 + 2Cy.
24 jednacine prvog reda
66. y = xe1+Cx.
67. ex/y + ln |x| = C.
68. xy cos(y/x) = C.
69. x− y ln(ln |y| − 1) = 0.
70. (x/y)2 + ln y2 = 2.
71.√
x2 + y2 = e(y/x) arctan(y/x).
72. x = Ce2√y/x ili x = Ce−2
√y/x.
73. x2 + 2xy − y2 − 4x+ 8y = C.
74. x+ 2y + 3 ln |x+ y − 2| = C.
75. y − x− 3 = C(y + x+ 1)3.
76. C√
(x− 2)2 + (y − 1)2 = earctan(y+1/x−3).
77. 10y − 5x+ 7 ln |10x+ 5y + 9| = C.
78. y + 1 = Ce−2 arctan(y+1/x−3).
79. (x+ y − 1)5(x− y − 1)2 = C.
80. 1 + x2y2 = Cy, (α = −1).81. α = 3/2.
82. y = (x2 + C)e−x2.
83. y = Cex + sin x.
84. y = (2x3/3 + C)e−x2.
85. y = x2/4 + C/x2.
86. y = x3/2 + Cx.
87. y = Cx2e1/x + x2.
88. y = Ce−x + (cos x+ sin x)/2.
89. y = Ce−x2+ (sin x− x cos x)e−x2 .
90. y = C(x2 + x+ 1) + sin x.
91. y = C cos x+ sin x.
92. y = (x+ C)(1 + x2).
93. y = x+ Cx√1− x2.
94. y = 2.
jednacine prvog reda 25
95. y = x(x− 1 + ln |x|)/(x+ 1).
96. y = sin x− 1 + e− sin x.
97. y = x/ cos x+ 1.
98. y = x2.
99. x = y2/2 + Cy3.
100. x = y2(1 + Ce1/y).
101. x = Ce2y + y2/2 + y/2 + 1/4.
102. x/√
y2 + 1− ln |y +√
y2 + 1| = C.
103. x = y ln y + C/y.
104. x√
1 + y2 + cos y = C.
105. x = arctan y − 1 + Ce− arctan y.
106. y = tan x− 1/ cos x.
107. y = sin x/x.
108. y2(1 + Ce−x2) = 1.
109. y = 1/(1 + Cex2).
110. 1/y2 = Ce2x2+ x2 + 1/2.
111. y = 1/(1 + Cx+ ln x).
112. y = 1/((1 + x)(C + ln(1 + x))).
113. y3 = x3 + Cx.
114. y = x4 ln2 |Cx|/4.115. y(Cx+ ln x+ 1) = 1.
116. y(Cx2 + ln x2 + 1) = 4.
117. x3e−y = C + y.
118. y = e−x2/(C − x).
119.√y + 1 = Cee
x
.
120. y2 ln x = C + sin x.
121. y2(C − x) sin x = 1.
122. y4 + 2x2y2 + 2y2 = C.
123. y = 1/(Ce− sin x − 1).
26 jednacine prvog reda
124. y2(Cex2+ 1) = 1.
125. 1/y = 1 + ln x+ Cx.
126.√y = C 4
√1− x2 − (1− x2)/3.
127. y = ((C + ln | cos x|)/x+ tan x)2.
128. y = 0 ili y = (1 + x2)(arctan2 x+ C)2.
129. y = 0 ili y = (C − cos y)x2.130. 2y2 − xy + x3 = C.
131. x4 + x2y2 + y4 = C.
132. x3 + 3x2y2 + y4 = C.
133.√
x2 + y2 + ln |xy|+ x/y = C.
134. x3y + x2 − y2 = Cxy.
135. x+ y2 = Cx3.
136. x2 + y2 − 2 arctan(x/y) = C.
137. xey − y2 = C.
138. xy = C.
139. 3xy2 + x2y + 3y + x2 = C.
140. x2 + 2(x2 − y)3/2/3 = C.
141. xy/(x− y) + ln(x/y) = C.
142. sin2 x/y + (x2 + y2)/2 = C.
143. x3 + y3 − x2 − xy + y2 = C.
144. y√1 + x2 + x2y − y ln x = C.
145.√
x2 + y2 + y/x = C.
146. x sin y − y cos x+ ln |xy| = C.
147. xy(x2 + y2) = C.
148. y + xe−y = C.
149. ln(x+ y)− x/(x+ y) = C.
150. ln(y/x)− xy/(x− y) = C.
151. x2 + 1 = 2(C − 2x) sin y.
152. x sin xy = C.
153. tan(xy)− cos x− cos y = C.
jednacine prvog reda 27
154. y = x.
155. ln |x+ y| = y/(x+ y).
156. x3ey − y = −1.157. 2y2 + x2 cos y + x2 = 0.
158. µ = 1/x2, x+ y/x = C.
159. µ = 1/x2, xy2 − 2x2y − 2 = Cx.
160. µ = 1/x, ln |x|+ ln |y|+ y2 − xy = C.
161. µ = 1/x4, y2 = Cx3 + x2.
162. µ = 1/x4, y3 + x3(ln x− 1) = Cx2.
163. µ = e−2x, y2 = (C − 2x)e2x.
164. µ = 1/x, x sin y + y ln x = C.
165. µ = ex, 2ex sin y + 2ex(x− 1) + ex(sin x− cos x) = C.
166. µ = 1/(1 + x2), 5 arctan x+ 2xy = C.
167. µ = 1/y, xy − ln y = 0.
168. µ = 1/y2, x2 − 7/y − 3xy = C.
169. µ = 1/y, x2 ln y + (y2 + 1)3/2/3 = C.
170. µ = e−y, e−y cos x = C + x.
171. µ = 1/ cos2 y, x3 − x tan y = C.
172. µ = 1/ sin y, x/ sin y + x3 = C.
173. µ = 1/(x+ y2)3, (x+ y2)2C = x− y2.174. µ = 1/(1 + y2 − x2)2, 1 + y2 − x2 = Cx.
175. µ = 1/(x2 + y2)3/2, y − 1 = C√
x2 + y2.
176. µ = 1/(x2 + y2), arctan(x/y)− y = C.
177. x2 + 2x/y = C.
178. y2/2 + ln x/y = C.
179. 5 arctan x+ 2xy = C.
180. y3 + x3(ln x− 1) = Cx2.
181. (x sin y + y cos y − sin y)ex = C.
182. y = Cx2 + 1/x.
183. y = C√x2 + 1/x+ (1 + x2)2/(3x).
28 jednacine prvog reda
184. sin(y/x) = Cx.
185. (1 + x2)(1 + y2) = Cx2.
186. y = Ce−ex
+ ex − 1.
187. x = Cesin y − 2(1 + sin y).
188. arctan(x+ y) = x+ C.
189. (2x− y + 1/3)(2x+ y + 5)3 = C.
190. e−2 arctan((y+2)/(x−3)) = C(y + 2).
191. y2 = x+ (x+ 1) ln(C/(x+ 1)).
192. y2e−y2/x = C.
193. Cx = 1− x/(x2 + y2).
194. x = Cy2 − 1/y.
195. e2x/2− ex+y − ey = C.
196. y/x = eCx.
197. x2 − y2 + 2xy = C.
198. y(x2 + Cx) = 1.
199. x2/2 + x ln y + y cos y = C.
200. ln | tan(y/4)| = C − 2 sin(x/2).
JEDNACINE KOJIMA SE MOZE SNIZITI RED
F (x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0
U zadacima 1.-17. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
1. y′′′ = x+ cos x.
2. y(4) = x.
3. xy′′ + y′ − x2 = 0.
4. x3y′′ + x2y′ = 1.
5. y′′x ln x = y′.
6. xy′′ − y′ = exx2.
7. y(4) =√y′′′.
8. xy′′ = y′.
9. (1 + x2)y′′ + y′2+ 1 = 0.
10. (1 + x2)y′′ + 2xy′ = x3.
11. xy′′ = y′ lny′
x.
12. y′′′ = y′′3.
30 jednacine kojima se moze sniziti red
13. xy′′′ − y′′ = 0.
14. y′′x ln x = y′.
15. xy′′ = (1 + 2x2)y′.
16. y′′ + y′ tan x = sin 2x.
17. y′′ tan x = y′ + 1.
U zadacima 18.-24. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
18. y′′(x+ 2)5 = 1, y(−1) = 1/12, y′(−1) = −1/4.
19. y′′ = xex, y(0) = y′(0) = 0.
20. y′′ + y′ + 2 = 0, y(0) = 0, y′(0) = −2.
21. y′′ = y′ ln y′, y(0) = 0, y′(0) = 1.
22. y′′ = 4 cos 2x, y(0) = y′(0) = 0.
23. y′′ =1
cos2 x, y
(π
4
)
=ln 2
2, y′
(π
4
)
= 1.
24. y′′′ =6
x3, y(1) = 2, y′(1) = y′′(1) = 1.
F (y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
U zadacima 25.-40. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
25. y′2+ yy′′ = 0.
26. yy′′ = y′2 − y′3.
27. yy′′ + y′2= 0.
jednacine kojima se moze sniziti red 31
28. y′′ + y′2= 2e−y.
29. y′′ + 2yy′3= 0.
30. yy′′ + y′2= y2 ln y.
31. y′′ tan y = 2y′2.
32. yy′′ = y2y′ + y′2.
33. y′′y3 = −1.
34. y′′ = 1 + y′2.
35. 2yy′′ = y′2.
36. yy′′ = y′2.
37. 2yy′′ = 1 + y′2.
38. yy′′ = y′ + y′2.
39. 2yy′′ = 1 + y′2.
40. 2yy′′ − 3y′2= 4y2.
U zadacima 41.-44. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
41. y′′ = 2yy′, y(0) = y′(0) = 1.
42. 3y′y′′ = 2y, y(0) = y′(0) = 1.
43. 2y′′ = 3y2, y(−2) = 1, y′(−2) = −1.
44. y′′ = e2y, y(0) = 0, y′(0) = 1.
32 jednacine kojima se moze sniziti red
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0, F - homogena funkcija
U zadacima 45.-50. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
45. x2yy′′ = (y − xy′)2.
46. xyy′′ − xy′2 = yy′.
47. xyy′′ + xy′2= yy′.
48. xyy′′ + xy′2= 3yy′.
49. y′′ +y′
x+
y
x2=y′
2
y.
50. x3y′′ = (y − xy′)(y − xy′ − x).
Resenja:
1. y = x4/24− sin x+ C1x2 + C2x+ C3.
2. y = x5/120 + C1x3 + C2x
2 + C3x+ C4.
3. y = C1 ln |x|+ x3/9 + C2.
4. y = 1/x+ C1 ln x+ C2.
5. y = C1x(ln x− 1) + C2
6. y = ex(x− 1) + C1x2 + C2
7. y = 2(x/2 + C1)5/15 + C2x
2/2 + C3x + C4 i y = D1x2/2 +
D2x+D3.
8. y = C1x2 + C2.
9. y = (1 + C21 ) ln(x+ C1)− C1x+ C2.
10. y = x3/12− x/4 + C1 arctan x+ C2.
11. y = (C1x+ C21 )e
x/C1+1 + C2.
12. y = (C1 − 2x)3/2/3 + C2x+ C3.
13. y = C1x3 + C2x+ C3.
jednacine kojima se moze sniziti red 33
14. y = C1x(ln x− 1) + C2.
15. y = C1ex2 + C2.
16. y = C1 sin x− x− sin 2x/2 + C2.
17. y = C2 − C1 cos x− x.18. y = 1/(12(x+ 2)3).
19. y = (x− 2)ex + x+ 2.
20. y = −2x.21. y = x.
22. y = 1− cos 2x.23. y = − ln(cos x).24. y = 3 ln x+ 2x2 − 6x+ 6.
25. y2 = 2C1x+ C2.
26. ln |y|+ C1y = C1x+ C2 i y = x+ C.
27. y2 = C1x+ C2.
28. ey + C1 = (x+ C2)2.
29. y3 + C1y + C2 = 3x.
30. ln y = C1ex + C2e
−x.
31. cot y = C2 − C1x.
32. y = C1C2eC1x/(1− C2e
C1x) i y = C 6= 0.
33. C1y2 + 1 = (C1x+ C2)
2.
34. y = C2 − ln | cos(C1 + x)|.35. y = (C1x+ C2)
2.
36. y = C2eC1x.
37. 4(C1y − 1) = (C1x+ C2)2.
38. y = (1 + C2eC1x)/C1.
39. y = (1 + (C1x+ C2)2/4)/C1.
40. y cos(x+ C1) = C2.
41. y = 1/(1− x).42. y = (1 + x/3)3.
43. y = 4/(x+ 4)2.
34 jednacine kojima se moze sniziti red
44. y = − ln |x− 1|.45. y = C2xe
−C1/x.
46. y = C1eC2x
2.
47. y2 = C1x2 + C2.
48. y2 = C1x4 + C2.
49. y = C2|x|C1−ln |x|/2.
50. y = −x ln(C2 lnC1x) i y = Cx.
LINEARNE HOMOGENE JEDNACINE
SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
Koreni realni i jednostruki
U zadacima 1.-17. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
1. y′′ − y = 0.
2. y′′ − 9y = 0.
3. y′′ − y′ = 0.
4. 4y′′ − y = 0.
5. y′′ + 4y′ = 0.
6. y′′ + 6y′ + 8y = 0.
7. y′′ + 3y′ − 4y = 0.
8. y′′ − 7y′ + 12y = 0.
9. y′′ + 3y′ + 2y = 0.
10. y′′ − 4y′ + 3y = 0.
11. y′′ + y′ − 2y = 0.
12. 3y′′ − 2y′ − 8y = 0.
36 linearne homogene jednacine
13. y′′′ + 2y′′ − 3y′ = 0.
14. y′′′ − 13y′ − 12y = 0.
15. y′′′ − 13y′′ + 12y′ = 0.
16. y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0.
17. y(4) − 5y′′ + 4y = 0.
U zadacima 18.-22. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
18. y′′ + 4y′ = 0, y(0) = 7, y′(0) = 8.
19. y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = y′(0) = 1.
20. y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10.
21. y′′′ − y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 1.
22. y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4.
Me -du realnim korenima ima visestrukih
U zadacima 23.-42. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
23. y′′ + 2y′ + y = 0.
24. 4y′′ + 4y′ + y = 0.
25. 9y′′ − 6y′ + y = 0.
26. y′′ + 8y′ + 16y = 0.
27. y′′ − 4y′ + 4y = 0.
28. y′′ + 2ay′ + a2y = 0, a ∈ R.
linearne homogene jednacine 37
29. y′′′ + 2y′′ + y′ = 0.
30. y′′′ − 3y′′ + 4y = 0.
31. y′′′ − y′′ − y′ + y = 0.
32. y′′′ − 5y′′ + 8y′ − 4y = 0.
33. y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0.
34. y′′′ − 9y′′ + 15y′ + 25y = 0.
35. y′′′ + 3ay′′ + 3a2y′ + a3y = 0, a ∈ R.
36. y(4) + 2y′′′ + y′′ = 0.
37. y(4) − 2y′′′ + y = 0.
38. y(4) − 8y′′ + 16y = 0.
39. y(4) − 6y′′ + 9y = 0.
40. y(4) + 2y′′′ − 2y′ − y = 0.
41. y(4) + 4y′′′ + 3y′′ − 4y′ − 4y = 0.
42. y(4) − 2y′′′ + 2y′′ − 8y′ + 16y = 0.
U zadacima 43.-50. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
43. y′′ − 2y′ + y = 0, y(2) = 1, y′(2) = −2.
44. y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 3, y′(0) = −1.
45. y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.
46. 9y′′ − 24y′ + 16y = 0, y(0) = y′(0) = 1.
LINEARNE NEHOMOGENE JEDNACINE
SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
f(x) = Pn(x)
U zadacima 1.-12. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
1. y′′ + 2y′ + y = −2.
2. y′′ + 2y′ + 2y = x.
3. y′′ + 2y′ + 2y = 1 + x.
4. y′′ + y′ − 2y = 6x2.
5. y′′ − 2y′ = x2 − x.
6. 2y′′ + 7y′ + 3y = 9x2 + 42x.
7. 4y′′ − y = x3.
8. y′′ + 4y′ + 5y = 5x2 − 32x+ 5.
9. y′′ − 4y = 8x3.
10. y′′′ − y′′ = 12x2 + 6x.
11. y′′′ − y′′ + y′ − y = x2 + x.
12. y(4) + y′′ = x2 + x.
linearne nehomogene jednacine 43
f(x) = eaxPn(x)
U zadacima 13.-21. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
13. y′′ − 9y = −6e3x.
14. y′′ + 8y′ + 20y = 29ex.
15. y′′ + 4y′ + 5y = 81xe−2x.
16. y′′ + y′ = 4x2ex.
17. y′′ − 3y′ + 2y = (x2 + x)e3x.
18. y′′ − 6y′ + 13y = ex(x2 − 5x+ 2).
19. y′′′ − 2y′′ + y′ = ex.
20. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex.
21. y(4) − 2y′′′ − y′′ = ex.
f(x) = eax [Pn(x) cos bx+Qm(x) sin bx]
U zadacima 22.-30. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
22. y′′ + y = 4x cos x.
23. y′′ + 3y′ + 2y = x sin x.
24. y′′ + y = x2 sin x.
25. y′′ − y′ = ex sin x.
26. y′′ + 2y′ + 5y = e−x sin 2x.
27. y′′ + 3y′ − 4y = e−4x sin x.
44 linearne nehomogene jednacine
28. y′′ + 2y′ + y = e−xx2 cos x.
29. y′′ + 3y′ + 2y = 4 sin 3x+ 2 cos 3x.
30. y′′ − 2y′ + 2y = ex(2 cos x− 4x sin x).
Princip superpozicije
U zadacima 31.-49. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
31. y′′ − y′ − 2y = 4x− 2e−x.
32. y′′ − 3y′ + 2y = ex + 6e−x.
33. y′′ − 3y′ = 18x− 10 cos x.
34. y′′ − 2y′ + y = 2 + ex sin x.
35. y′′ − 2y′ + y = sin x+ e−x.
36. y′′ − 2y′ + y = e−x sin x+ 4ex.
37. 2y′′ + 7y′ + 3y = 9x2 + 42x− 50 sin x.
38. y′′ − y′ = 15x2 − 32 + 30 sin 3x+ 12e3x.
39. y′′ + 2y′ − 3y = 2xe−3x + (x+ 1)ex.
40. y′′ + y′ = x2 − e−x + ex.
41. y′′ − 4y′ + 5y = 1 + 8 cos x+ e2x.
42. y′′ + y′ + y + 1 = sin x+ x+ x2.
43. y′′ − 3y′ = 1 + ex + cos x+ sin x.
44. y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 1 + 2e2x.
linearne nehomogene jednacine 45
45. y′′′ − y′′ − y′ + y = x2 − e2x.
46. y′′′ − 3y′′ + 4y′ − 2y = ex + cos x.
47. y′′′ − y′′ + y′ − y = cos x+ 2ex.
48. y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 3e2x − 4 sin 2x.
49. y′′′ − 4y′ = xe2x + sin x+ x2.
Metoda varijacije konstanti
U zadacima 50.-64. metodom varijacije konstante resiti datudiferencijalnu jednacinu.
50. y′′ − 2y′ + y =ex
x.
51. y′′ − 6y′ + 9y =e3x
x2.
52. y′′ − y′ = 1
ex + 1.
53. y′′ + y =1
cos3 x.
54. y′′ + y =2
sin3 x.
55. y′′ + 2y′ + 2y =1
ex sin x.
56. y′′′ + y′′ =x− 1
x2.
57. y′′ + y =1
cos x.
58. y′′ + 4y =1
sin2 x.
46 linearne nehomogene jednacine
59. y′′ + y =1
cos 2x√cos 2x
.
60. y′′ − y′ = e2x cos ex.
61. y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln x.
62. y′′ + y = ln cos x.
63. y′′ − 2y′ + y =ex√4− x2
.
64. y′′ − 5y′ + 6y =6x2 + 17x+ 13
(x+ 1)3.
Resenja:
1. y = (C1 + C2x)e−x − 2.
2. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−x + (x− 1)/2.
3. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−x + x/2.
4. y = C1ex + C2e
−2x − 3(x2 + x+ 1/2).
5. y = C1 + C2e2x − x3/6.
6. y = C1e−x/2 + C2e
−x + 3x2 − 4.
7. y = C1ex/2 + C2e
−x/2 − x3 − 24x.
8. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−2x + x2 − 8x+ 7.
9. y = C1e2x + C2e
−2x − 2x3 − 3x.
10. y = C1 + C2x+ C3ex − x4 − 5x3 − 15x2.
11. y = C1ex + C2 cos x+ C3 sin x− x2 + 3x− 1.
12. y = C1 + C2x+ C3 cos x+ C4 sin x+ x4/12 + x3/6− x2.13. y = C1e
3x + C2e−3x − xe3x.
14. y = e−4x(cos 2x+ C2 sin 2x) + ex.
15. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−2x + (3x+ 16/9)e−2x.
16. y = C1 + C2e−x + (2x2 − 6x+ 7)ex.
linearne nehomogene jednacine 47
17. y = C1ex + C2e
2x + (x2/2− x+ 1)e3x.
18. y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x)e3x + (x2/8− x/2− 1/32)ex.
19. y = C1 + (C2 + C3x+ x2/2)ex.
20. y = (C1 + C2x+ C3x2 + x3/6)ex.
21. y = C1 + C2x+ (C3 + C4x)ex + x2ex/4.
22. y = C1 cos x+ C2 sin x+ x cos x+ x2 sin x.
23. y = C1e−x + C2e
−2x − (3x/10 − 17/50) cos x + (x/10 +3/25) sin x.
24. y = (C1 + x/4− x3/6) cos x+ (C2 + x2/4) sin x.
25. y = C1 + C2ex − (cos x+ sin x)ex/2.
26. y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x)e−x + xe−x cos 2x/4.
27. y = C1ex + C2e
−4x + (5 sin x/26− cos x/26)e−4x.28. y = (C1 + C2x)e
−x + ((6− x2) cos x+ 4x sin x)e−x.
29. y = C1e−x + C2e
−2x − sin 3x/13− 5 cos 3x/13.
30. y = ex(C1 cos x+ C2 sin x) + x2ex cos x.
31. y = C1e−x + C2e
2x − 2x+ 1 + 2xe−x/3.
32. y = C1ex + C2e
2x + e−x − xex.33. y = C1 + C2e
3x − 3x2 − 2x+ cos x+ 3 sin x.
34. y = 2 + ex(C1 + C2x− sin x).35. y = C1e
x + C2xex + cos x/2 + e−x/4.
36. y = (C1 + C2x+ 2x2)ex + (3 sin x+ 4 cos x)e−x/25.
37. y = C1e−x/2 + C2e
−3x + 3x2 − 4 + 7 cos x− sin x.38. y = C1 +C2e
x − 5x3 − 15x2 +2x+ cos 3x− 3 sin 3x+2e3x.
39. y = C1e−3x + C2e
x − (2x2 + x)e−3x/8 + (2x2 + 3x)ex/16.
40. y = C1 + C2e−x + xe−x + ex/2 + x3/3− x2 + 2x.
41. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e2x + cos x− sin x+ e2x + 1/5.
42. y = (C1 cos(√3x/2)+C2 sin(
√3x/2)e−x/2−cos x+x2−x−2.
43. y = C1 + C2e3x + (cos x− 2 sin x)/5− ex/2− x/3.
44. y = (C1 + C2x+ C3x2)e2x + x3e2x/3− 1/8.
45. y = C1ex + C2xe
x + C3e−x + x2 + 2x+ 4− e2x.
48 linearne nehomogene jednacine
46. y = ex(x+C1+C2 cos x+C3 sin x)+ cos x/10+3 sin x/10.
47. y = C1ex + C2 cos x+ C3 sin x− x(cos x+ sin x)/4 + xex.
48. y = C1ex + C2 cos 2x + C3 sin 2x + 3e2x/8 − x cos 2x/5 +
2x sin 2x/5.
49. y = C1+C2e2x+C3e
−2x+ cos x/5−x3/12−x8+e2x(2x2−3x)/32.
50. y = ex(x ln |x|+ C1x+ C2).
51. y = (C1 + C2x)e3x + (ln(1/x)− 1)e3x.
52. y = C1ex + C2 + (ex + 1) ln(1 + e−x).
53. y = C1 cos x+ C2 sin x− cos 2x/(2 cos x).54. y = C1 cos x+ C2 sin x+ cos 2x/ sin x.
55. y = (C1 − x)e−x cos x+ (C2 + ln | sin x|)e−x sin x.56. y = C1 + C2x+ C3e
−x + 1− x+ x ln |x|.57. y = C1 cos x+ C2 sin x+ x sin x+ cos x ln(cos x).
58. y = (C1 − ln | sin x|) cos 2x+ (C2 − x− cot /2) sin 2x.59. y = C ′1 cos x+ C2 sin x−
√cos 2x.
60. y = C1ex + C2 − cos ex.
61. y = (x2 ln x/2− 3x2/4 + C1 + C2x)e−2x.
62. y = C1 cos x+C2 sin x+ln cos x+sin x ln((1+sin x)/ cos x)−1.
63. y = (C1 +√4− x2 + x arcsin(x/2) + C2x)e
x.
64. y = C1e2x + C2e
3x + 1/(x+ 1).
LINEARNI SISTEMI
Homogen sistem - koreni realni i razliciti
U zadacima 1.-6. odrediti opste resenje datog sistema diferen-cijalnih jednacina.
1.
{
x′ =2x− 3y
y′ =− 2x+ 3y.
2.
{
x′ =4x+ y
y′ =− 2x+ y.
3.
{
x′ =2x− yy′ =3x− 2y.
4.
{
x′ =3x+ 2y
y′ =2x.
5.
x′ =x− y + z
y′ =x+ y − zz′ =2x− y.
6.
x′ =x− 2y − zy′ =− x+ y + z
z′ =x− z.
U zadacima 7.-8. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
62 linearni sistemi
7.
{
x′ =x+ 2y
y′ =9x+ 4y,
x(0) =3
y(0) =0,
8.
x′ =− x+ y + z
y′ =x− y + z
z′ =x+ y + z,
x(0) =1
y(0) =0
z(0) =0.
Homogen sistem - realni visestruki koreni
U zadacima 9.-17. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
9.
{
x′ =2x− yy′ =4x− 2y.
10.
{
x′ =x− 2y
y′ =2x− 3y.
11.
{
x′ =4x− yy′ =x+ 2y.
12.
{
x′ =− x− yy′ =x− 3y.
13.
{
x′ =3x− yy′ =4x− y.
14.
x′ =4x− y − zy′ =x+ 2y − zz′ =x− y + 2z.
15.
x′ =y + z
y′ =x+ y
z′ =− x+ z.
linearni sistemi 63
16.
x′ =4x+ 2y − 2z
y′ =x+ 3y − zz′ =3x+ 3y − z.
17.
x′ =2x− zy′ =x− yz′ =3x− y − z.
U zadacima 18.-19. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
18.
{
x′ =x− 2y
y′ =2x− 3y,
x(0) =2
y(0) =− 1.
19.
x′ =x− y + z
y′ =x+ y − zz′ =2x− y,
x(0) =0
y(0) =0
z(0) =1.
20.
x′ =2x− y − zy′ =2x− y − 2z
z′ =− x+ y + 2z,
x(0) =1
y(0) =− 1
z(0) =2.
Homogen sistem - koreni kompleksni
U zadacima 21.-26. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
21.
{
x′ =− 7x+ y
y′ =− 2x− 5y.
22.
{
x′ =x− 3y
y′ =3x+ y.
23.
{
x′ =− x− 5y
y′ =x+ y.
64 linearni sistemi
24.
{
x′ =x+ y
y′ =− 2x+ 3y.
25.
x′ =2x+ y
y′ =x+ 3y − zz′ =− x+ 2y + 3z.
26.
x′ =2x− y + 2z
y′ =x+ 2z
z′ =− 2x+ y − z.
U zadacima 27.-28. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
27.
{
x′ =x+ y
y′ =− 2x+ 3y,
x(π/2) =1
y(0) =0.
28.
x′ =x− y − zy′ =x+ y
z′ =3x+ z,
x(π/4) =eπ/4
y(π/4) =eπ/4
z(π/4) =eπ/4.
Nehomogen sistem
U zadacima 29.-32. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina ako je data jedna od njegovih fundamentalnihmatrica.
29.
x′ =x+y
t+t
2(et + e−t)
y′ =x
t+ y +
t
2(et − e−t),
, F (t) =
(
tet te−t
tet −te−t)
30.
{
x′ =tx+ y + t
y′ =x+ ty + 1,, F (t) =
(
e(t+1)2/2 e(t−1)2/2
e(t+1)2/2 e(t−1)2/2
)
linearni sistemi 65
31.
{
x′ =(2 sin t− cos t)x+ (sin t− cos t)y − cos ty′ =2(cos t− sin t)x+ (2 cos t− sin t)y + 2 cos t,
F (t) =
(
e− cos t −esin t−e− cos t 2esin t.
)
32.
t2x′ =(t+ 1)x+ y − tz + t− t ln tt2y′ =− x+ (t− 1)y + tz − t
(t2 ln t)z′ =− x− y + tz − ln2 t,
F (t) =
1 + ln t t 0−1− ln t 0 tln t 1 1.
U zadacima 33.-40. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
33.
{
x′ =− 5x+ 2y + et
y′ =x− 6y + e−2t.
34.
{
x′ =− x+ 2y + 1
y′ =− 2x+ 3y.
35.
{
x′ =4x− 3y + sin t
y′ =2x− y − 2 cos t.
36.
{
x′ =2x+ y + et
y′ =− 2x+ 2t.
37.
{
x′ =2x− yy′ =− 2x+ y + 18t.
38.
{
x′ =x+ 2y + 16tet
y′ =2x− 2y.
66 linearni sistemi
39.
{
x′ =y
y′ =x+ et + e−t.
40.
x′ =− 2x+ 3y + 4z − 3t
y′ =− 6x+ 7y + 6z + 1− 7t
z′ =x− y + z + t.
U zadacima 41.-43. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
41.
{
x′ =x− 2y − e2t
y′ =x+ 4y,
x(0) =2
y(0) =0.
42.
{
x′ =y + et
y′ =− x− sin 2t,x(0) =
1
2y(0) =1.
43.
x′ =y − z − t+ 3
y′ =− 2z + 7
z′ =2y − 2t,
x(π) =2
y(π) =π + 2
z(π) =2.
Sistemi koji nisu dati u normalnom obliku
U zadacima 44.-48. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
44.
{
4x′ =− y + cos t
4x′ − y′ =− 3x+ sin t.
45.
{
x′′ =y
y′′ =x.
46.
{
x′′ =3x+ 4y
y′′ =− x− y.
linearni sistemi 67
47.
{
x′′ − 2y′ =− 2x
3x′ + y′′ =8y.
48.
{
x′′ + y′ =− x+ et
x′ + y′′ =1.
Resenja:
1. x = 2C1 + C2e5t, y = 3C1 − C2e
5t.
2. x = 2C1e2t + C2e
3t, y = −2C1e2t − C2e
3t.
3. x = C1et + C2e
−t, y = C1et + 3C2e
−t.
4. x = 2C1e4t + C2e
−t, y = C1e4t − 2C2e
−t.
5. x = C1et + C2e
2t + C3e−t, y = C1e
t − 3C3e−t, z = C1e
t +C2e
2t − 5C3e−t.
6. x = C1 + 3C2e2t, y = −2C2e
2t + C3e−t, z = C1 + C2e
2t −2C3e
−t.
7. x = e7t + 2e−2t, y = 3e7t − 3e−2t.
8. x = e−t/3+ e2t/6+ e−2t/2, y = e−t/3+ e2t/6− e−2t/2, z =−e−t/3 + e2t/3.
9. x = 2C1(1 + 2t) + C2, y = 2C1t+ C2.
10. x = e−t(C1 + C22C1t), y = e−t(C2 + 2C1t).
11. x = e3t(C1 − C2 + C1t), y = e3t(C2 + C1t).
12. x = e−2t(C1 − C2 + C1t), y = e−2t(C2 + C1t).
13. x = et(C2 + C1et), y = et(2C2 − C1 + 2C1t).
14. x = C1e2t + (C2 + C3)e
3t, y = C1e2t + C3e
3t, z = C1e2t +
C2e3t.
15. x = C1 + C3et, y = −C1e
t(C2 + C3 + C3t), z = C1 +et(−C2 − C3t).
16. x = e2t(C1 + C2 + C3 + 2C3t), y = e2t(−C1 + C3t), z =e2t(C2 + 3C3t).
17. x = C1+C2t+C3t2, y = C1+C2(t−1)+C3(t
2−2t+2), z =2C1 + C2(2t− 1) + C3(2t
2 − 2t).
68 linearni sistemi
18. x = e−t(2 + 6t), y = e−t(−1 + 6t).
19. x = (2 + t)et − 2e2t, y = tet, z = (1 + t)et − 2e2t.
20. x = et, y = −et, z = 2et.
21. x = e−6t(C1 cos t + C2 sin t), y = e−6t((C1 + C2) cos t +(C2 − C1) sin t).
22. x = et(C1 cos 3t+ C2 sin 3t), y = et(C1 sin 3t− C2 cos 3t).
23. x = (2C2 − C1) cos 2t − (2C1 + C2) sin 2t, y = C1 cos 2t +C2 sin 2t.
24. x = e2t(C1 cos t+C2 sin t), y = e2t((C1 +C2) cos t+ (C2 −C1) sin t).
25. x = C1e2t+e3t(C2 cos t+C3 sin t), y = e3t((C2+C3) cos t+
(C3−C2) sin t), z = C1e2t+ e3t((2C2−C3) cos t+(C2+2C3) sin t).
26. x = C2 cos t+(C2+2C3) sin t, y = 2C1et+C2 cos t+(C2+
2C3) sin t, z = C1et + C3 cos t− (C2 + C3) sin t.
27. x = e2t−π(cos t+ sin t), y = −2e2t−π sin t.28. x = et(sin 2t+cos 2t), y = et(1/2−cos 2t/2+sin 2t/2), z =
et(−1/2− 3 cos 2t/2 + 3 sin 2t/2).
29. x = C1tet + C2te
−t + t2(et + e−t)/2, y = C1tet − C2te
−t +t2(et + e−t)/2.
30. x = C1e(t+1)2/2 + C2e
(t−1)2/2 − 1, y = C1e(t+1)2/2+
+C2e(t−1)2/2.
31. x = C1e− cos t−C2e
sin t+1, y = −C1e− cos t+2C2e
sin t−2.
32. x = C1(1+ln t)+C2t+ln t, y = −C1(1+ln t)+C3t+1, z =C1 ln t+ C2 + C3 + (1 + ln t)/t.
33. x = C1e−4t + C2e
−7t + 7et/40 + e−2t/5, y = C1e−4t/2 −
C2e−7t + et/40 + 3e−2t/10.
34. x = (C1 + 2C2t)et − 3, y = (C1 + C2 + 2C2t)e
t − 2.
35. x = C1et + 3C2e
2t + cos t − 2 sin t, y = C1et + 2C2e
2t +2 cos t− 2 sin t.
36. x = C1et cos t + C2e
t sin t + et + t + 1, y = C1et(− cos t −
sin t) + C2et(cos t− sin t)− 2et − 2t− 1.
37. x = C1e3t+3t2 +2t+C2, y = −C1e
3t+6t2− 2t+2C2− 2.
linearni sistemi 69
38. x = 2C1e2t +C2e
−3t − (12t+ 13)et, y = C1e2t − 2C2e
−3t −(8t+ 6)et.
39. x = C1et + C2e
−t + t sinh t, y = C1et − C2e
−t + sinh t +t cosh t.
40. x = C1et + C2e
2t + C3e3t, y = C1e
t + 3C3e3t + t, z =
C2e2t − C3e
3t.
41. x = 3e2t − e3t − 2te2t, y = −e2t + e3t + te2t.
42. x = C1 cos t+C2 sin t+ sin 2t/3+ et(sin 2t− cos 2t)/2, y =
C2 cos t− C1 sin t+ 2 cos 2t/3 + et(sin 2t+ cos 2t)/2.
43. x = sin 2t+2, y = t+cos 2t+sin 2t, z = 3+sin 2t−cos 2t.44. x = C1e
−t + C2e−3t, y = −C1e
−t + 3C2e−3t + cos t.
45. x = C1et +C2e
−t +C3 cos t+C4 sin t, y = C1et +C2e
−t −C3 cos t− C4 sin t.
46. x = −2et(C1 + C2 + C2t) − 2e−t(C3 − C4 + C4t), y =et(C1 + C2t) + e−t(C3 + C4t).
47. x = 2C1e2t+2C2e
−2t+2C3 cos 2t+2C4 sin 2t, y = 3C1e2t−
3C2e−2t − C3 sin 2t+ C4 cos 2t.
48. x = C1 +C2t+C3t2− t3/6+ et, y = −(C1 +2C3)t− (C2−
1)t2/2− C3t3/3 + t4/24− et + C4.
PRVI KOLOKVIJUM
Primer 1
1. Odrediti resenje jednacine
(1 + x2)y′ − 4√
y(1 + x2) arctan x = 2xy
koje zadovoljava uslov y(0) = 0.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′ − 2y′ + y = −2x2 + 4ex + 2 sin x.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x2y + tx
dy
dt=xy2 − ty
Resenja
1. Jedno resenje date jednacine je funkcija y : x 7→ 0. Ako je y 6= 0,
jednacina je ekvivalentna Bernulijevoj jednacini
y′ − 2x
1 + x2y =
4√y arctan x√1 + x2
,
koja se smenom z =√y svodi na linearnu jednacinu
z′ − x
1 + x2z =
2 arctan x√1 + x2
Prvi kolokvijum 71
cije je resenje familija funkcija
z : x 7→√1 + x2(arctan2 x + C), C ∈ R.
Prema tome, opste resenje date jednacine je familija funkcija
y : x 7→ (1 + x2)(arctan2 x + C)2, C ∈ R,
a trazeno partikularno resenje je funkcija
y : x 7→ (1 + x2) arctan4 x.
Data jednacina, dakle, ima dva resenja.
2. Neka je L[y] izraz na levoj strani date jednacine. Karakteristicna
jednacina je k2 − 2k + 1 = 0, pa je opste resenje yh odgovarajuce ho-
mogene jednacine, L[y] = 0, dvoparametarska familija funkcija definisana
jednakoscu
yh(x;C,D) = Cex +Dxex.
Partikularno resenje yp date jednacine je zbir yp1 + yp2 + yp3 , gde su yp1 ,
yp2 i yp3 partikularna resenja jednacina
L[y] = −2x2, L[y] = 4ex, L[y] = 2 sin x. (∗)
Kako je
yp1(x) = ax2 + bx + c, yp2(x) = dx2ex, yp3(x) = e cos x + f sin x,
iz jednacina (∗) dobijamo da je a = −2, b = −8, c = −12, d = 2,
e = 1 i f = 0. Opste resenje date jednacine je zbir yh + yp, odnosno
dvoparametarska familija funkcija
y : x 7→ (C +Dx)ex − 2x2 − 8x− 12 + 2x2ex + cos x, C,D ∈ R.
3. Ako je x = 0, onda je y(t) = Ae−t2/2 (A ∈ R), a ako je y = 0,
onda je x(t) = Be−t2/2, B ∈ R. Za xy 6= 0 iz simetricnog oblika sistema
dx
x2y + tx=
dy
xy2 − ty=dt
1,
dobijamo da jed(xy)
2(xy)2=dt
1,
dx
x(xy + t)=dt
1,
odakle sledi da je
1
xy+ 2t = C,
x
ye−t
2
= D, C,D ∈ R.
72 Prvi kolokvijum
Ako su ϕ i ψ funkcije definisane jednakostima
ϕ(x, y) =1
xy+ 2t, ψ(x, y) =
x
ye−t
2
,
onda je J [ϕ, ψ] =2e−t
2
xy36= 0 za xy 6= 0, pa je sistemom
ϕ(x, y) = C, ψ(x, y) = D, C,D ∈ R
definisano resenje datog sistema.
Primer 2
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x(y − t)t(x− y)
dy
dt=y(t− x)t(x− y)
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln x.
3. Odrediti resenje jednacine
(2xy + 3)dy − y2dx = 0
koje zadovoljava uslov: y(2) = 1/2.
Resenja
1. Ako dati sistem napisemo u simetricnom obliku
dx
x(y − t)=
dy
y(t− x)=
dt
t(x− y),
lako se uocava da je
dx + dy + dt = 0
Prvi kolokvijum 73
i
ytdx + xtdy + xydt = 0,
odnosno d(xyt) = 0. Prvi integrali sistema su
x + y + t = C1, xyz = C2.
Obzirom da je
D(ϕ1, ϕ2)
D(x, y)=
∣
∣
∣
∣
1 1
yt xt
∣
∣
∣
∣
= t(x− y) 6= 0
u oblasti u kojoj je sistem zadat, prvi integrali su nezavisni i odre -duju
resenje sistema.
2. Jednacina moze da se resi metodom varijacije konstanti. Linearno
nezavisna resenja odgovarajuce homogene jednacine su y1(x) = e−2x i
y2(x) = xe−2x. Za odre -divanje funkcija C′1(x) i C′2(x) dobija se sistem
C′1(x) + xC′2(x) = 0
C′1(x) + (1− 2x)C′2(x) = ln x
cije je resenje C′1(x) = −x ln x, C′2(x) = ln x. Integracijom dobijamo da
je
C1(x) = −∫
x ln xdx = −x2
2ln x +
x2
4+D1,
C2(x) =
∫
ln xdx = x ln x− x +D2.
Prema tome, opste resenje date jednacine je
y = (D1 +D2x)e−2x +
x2
2e−2x
(
ln x− 3
2
)
.
3. Ocigledno je y = 0 integralna kriva. Za y 6= 0 data jednacina se
moze napisati u oblikudx
dy=
2xy + 3
y2,
odnosno u obliku
x′y −2
yx =
3
y2.
Dobijena jednacina je linearna po x. Njenim resavanjem dobijamo opste
resenje date jednacine:
x = Cy2 − 1
y.
74 Prvi kolokvijum
Primer 3
1. Odrediti opste resenje sistema diferencijalnih jednacina
x′ − y′ = 2x+ t− 1
y′ + x = y.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′ =(x+ y + 1)ex − ey
(x+ y + 1)ey − ex.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
xy=
dy√
y2 − 1=
dz
(x2 − z)y.
Primer 4
1. Odrediti opste resenje sistema diferencijalnih jednacina
x′ + y′ = − 2y
y′ + 2x′ + 5x = t+ 2.
2. Odrediti partikularno resenje jednacine
yy′′ = (y′)2 − (y′)3
koje zadovoljava uslove y(1) = 1 i y′(1) = −1.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
x+ y − xy2=
dy
x2y − x− y=
dz
y2 − x2.
Prvi kolokvijum 75
Primer 5
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
(2y − x+ 1)dx+ (2x− 4y + 1)dy = 0
koje zadovoljava uslov y(2) = 1.
2. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′ + y′(y′ + 2e−y/2√
y′) = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = y + t, y′ = −x.
Primer 6
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
(4x− 2y + 1)dx+ (y − 2x− 3)dy = 0
koje zadovoljava uslov y(1) = 2.
2. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′ − y′ = 2ex/2√
y′.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 3x− 2y + et, y′ = 2x− y.
Primer 7
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′ =y + 2
x+ 1+ tan
y − 2x
x+ 1.
76 Prvi kolokvijum
2. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′′ + 6y′ + 9y = 6xe3x + 18
koje zadovoljava uslove y(0) = 2 i y′(0) = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
xz=
dy
yz − x=dz
z2.
Primer 8
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
2y − x3
x3y′ =
3y2 + 2x
x4.
2. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′′ − 4y′ + 5y = e2x + 5x2 + x− 2
koje zadovoljava uslove y(0) = 0 i y′(0) = 3.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
x√y=
dy
−2(xy + 2y√y)
=dz
x.
Primer 9
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
y′ +x
1− x2y = x
√y.
2. Resiti diferencijalnu jednacinu
u′′′ + u′′2
= 0.
Prvi kolokvijum 77
3. Odrediti partikularno resenje sistema
x′ + y′ = 3x+ 16tet
x′ − y′ = − x+ 4y + 16tet
koje zadovoljava uslove x(0) = 0 i y(0) = 1.
Primer 10
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
z′ +x
1 + x2z = −x
√z.
2. Resiti diferencijalnu jednacinu
u′′′ − u′′2
= 0.
3. Odrediti partikularno resenje sistema
y′ − x′ = 3x− 5y + t
x′ + y′ = x+ 3y
koje zadovoljava uslove x(0) = 1 i y(0) = 0.
Primer 11
1. Odrediti partikularno resenje jednacine
y′ = − x2 + y2 + y
2xy + x+ ey
koje zadovoljava uslov y(0) = 0.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′′ − 2y′′ + 5y′ = 2et + 3t− 1.
78 Prvi kolokvijum
3. Resiti sistemdx
x=dy
y=
dz
z + u=du
xy.
Primer 12
1. Odrediti partikularno resenje jednacine
(2x2 − y2)dx+ 2xydy = 0
koje zadovoljava uslov y(1) = 1.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′′ − y′′ + y′ + y = sin x+ 3xex.
3. Resiti sistem
dx
x2z=
dy
y2z=
dz
x+ y=
du
x+ y.
Primer 13
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 2xex.
2. Dat je sistem diferencijalnih jednacina
u′ = −v + 8t, v′ = 5u− v.
(1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema.
(2) Odrediti opste resenje sistema.
3. Odrediti resenje sistema diferencijalnih jednacina
dx
x− y=
dy
x− z=
dz
z − y
Prvi kolokvijum 79
koje zadovoljava uslov x(1) =√2, z(1) = 1.
Primer 14
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′′ − 2y′′ + y′ = xe2x.
2. Dat je sistem diferencijalnih jednacina
u′ = 2u− 4v + 2, v′ = 5u− 2v − 8t.
(1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema.
(2) Odrediti opste resenje sistema.
3. Odrediti resenje sistema diferencijalnih jednacina
dx
xz=
dy
z − y=
dz
y + z
koje zadovoljava uslov x(1) = 1, z(1) =√2.
Primer 15
1. Odrediti resenje jednacine
y′ =y
x2 ln y − x
koje zadovoljava uslov: y(1/2) = 1.
2. (1) Dokazati da su resenja y1(x) i y2(x) jednacine
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,
gde su p(x) i q(x) neprekidne funkcije, linearno nezavisnana (a, b) ako i samo ako jeW (y1(x), y2(x)) 6= 0 za x ∈ (a, b).
80 Prvi kolokvijum
(2) Ispitati da li je y(x) = C1x+C+2/x3 opste resenje jednacinex2y′′ + 3xyp − 3y = 0 za x ∈ (0,+∞).
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
y − x=
dy
x+ y + z=
dz
x− y.
Primer 16
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dy
dx=
2x− 3z
5z − 2y,
dz
dx=
3y − 5x
5z − 2y.
2. Resiti jednacinu
xdx+ ydy√
x2 + y2+dy
x=ydx
x2.
3. (1) Metodom varijacije konstanti izvesti opste resenje jednaciney′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x).
(2) Resiti jednacinu y′′ + y = sin x+1
sin x.
Primer 17
1. Resiti jednacinu yy′′ = 1 + y′2.
2. (1) Ako su parcijalni izvodi funkcija P : R2 → R i Q : R2 →R neprekidni, dokazati da je izraz P (x, y)dx + Q(x, y)dytotalni diferencijal ako i samo ako je P ′y = Q′x.
(2) Resiti jednacinu y′(ey + x+ sin x) + ex + y + y cos x = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dy
z + u=
dz
u+ y=
du
y + z=dx
x.
Prvi kolokvijum 81
Primer 18
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x(y − t)t(x+ t)
,dy
dt=t2 + xy
t(x+ t).
2. Resiti jednacinu y′(y2 − x2 − 2xy) + y2 − x2 + 2xy = 0.
3. (1) Dokazati da je y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x) opsteresenje jednacine
y′′ + a(x)y′ + b(x)y = c(x),
gde su y1 i y2 dva linearno nezavisna resenja odgovarajucehomogene jednacine, yp partikularno resenje date jednaci-ne, a C1 i C2 proizvoljne realne konstante.
(2) Resiti jednacinu y′′ + y = π cos x.