JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNATLAR, BUNLARIN BİRBİRLERİNEDÖNÜŞÜMLERİ ve PROJEKSİYON

Ekrem ULSOY(İstanbul)

I — KOORDİNATLAR.

Jeodezide koordinatlar, yer yüzündeki noktaların belirlenmesindekullanılır. Bu amaçla Jeodezide kullanılan koordinat sistemlerini üç gru-ba ayırabiliriz :

1)Uzay koordinat sistemleri2)Yer yüzünde (Küre, elipsoid) alman koordinat sistemleri (tabiikoordinatlar)

3) Projeksiyon koordinatları

1) Uzay koordinat sistemleri

a)Uzay dik koordinatlarıb)Uzay kutupsal koordinatlarıc)Uzay silindrik koordinatlarıd)Uzay küresel koordinatlarolmak üzere 4 kısma ayrılabilir.

la) Uzay dik koordinatlar :

Bir 0 başlangıç noktasından çıkan birbirine dik OX, Oy, OZ ek-senlerinin teşkil ettiği uzay dik koordinat sistemine göre tanım-lanırlar.(Şekil : 1) de P noktasının uzak dik koordinatlarıX = OP", y = OP'", Z = PP'dir. Jeodezide 0 noktası, hesap yüzeyi olarak kullanılan Küreveya elipsoidin merkezinde veya üzerinde alınır.

31

32

Dört ayrı uzay koordinat sistemi dolayısiyie 0 , 6 , V ve ^

açılarını görmüş bulunuyoruz. Küresel üçgenden faydalanarakbu dört açıyı bir şekil içinde gösterebiliriz.

Eksenlerin, merkezi 0 yarı çapı r olan küreyi deldiği noktalar Xo,yo, Zo olsun. Meydana gelen Xo, yo, Zo üçgeni kenarları eşit ve 90° olanbîr küresel üçgendir.

Zo P H yayı da Zo köşesine ait yüksekliktir.P H Xo ve P H yo küresel dik üçgenlerinden

33

Cos A= ^P s6 Cos V = SinS-SinA (5)5ın "S

yazılabilir (5). formülleri, 1b sistemi ile 1c ve İd sistemleri arasındabağlantı kurulabileceğini göstermektedir.

Üç boyutlu (* ) uzay dik koordinatları iki ayrı sisteme göredüşünülür.

1)Sistemin merkezi, elipsoidin merkezinde

2)Sisteminin merkezi, ağın her noktasında P noktasının uzay dikkoordinatları Xp, Yp, Zp ile coğrafi koordinatlar S, X arasında :

münasebetlerinin bulunduğu ispat edilebilir. Eksenlerin merkeziP noktasında alındığı zaman şakul doğrultusu Z', kuzeydoğrultusu Y' ve doğru doğrultusu X' ekseni olarak alınır.(Şekil : 5)P den diğer bir R noktasına bakılarak S mesafesi S düşey açısıve a semti ölçülmüş olsun. X', Y', Z', sisteminde P başlangıçnoktasıdır. R noktasının koordinatları X', Y', Z' ise :

(*) WoM Bie Grîmdgîeicliîuıgeîi der Dreidimensionalen Geodâsie im elemen-tarer Darstelîııng zfv 1963 S. 225

34

X'= S-Sin 'S Sm<X , y'= 5 SınSCosoC , Z/ = 5 CosS (7)

dır.P, R noktalarının X, Y, Z sistemindeki koordinat farkları AX,AY, AZ olsun bu iki sistemin birinden ötekine transformasyonile geçilirse : ;

'X' = - AX Sm X + AYCos AY'= - Ax Sinf CösA - AY Sın f 5mX + AZ Cosf (8)Z'= Ax Cosf CosA + AYCos f 5mX+AZ Sin f

- elde edilir. :

2) Yeryüzünde alınan koordinat sistemlerin : • .• :'

a) Coğrafi koordinatlar■..?-. ;b) Kutupsal koordinatlar

c)Jeodezik dik koordinatlard)Gauss'un eğrisel (Parametrik) koordinatlarışeklinde sıralanabilir. :

' ' P noktasının normalin ekvator düzlemi ile yaptığı açı q> enlem,P noktasının meridyeni ile başlangıç meridyeni arasındaki açıboylamdır. Bilindiği gibi meridyenler, dünyanın ekseninden geçen'düzlemlerin yer yüzü ile arakesitleridir. 1b deki 8 ile ştoplamının 90° dîr. Şu halde - •■ :

35

36.

2a) Coğrafi koordinatlar :

P noktasının normalinin ekvator düzlemi ile yaptığı açı Senlem, P noktasının meridyeni ile başlangıç meridyeniarasındaki

açı boylamdır. Bilindiği gibi meridyenler, dünyanın eksenindengeçer düzlemlerin yer yüzü ile arakesitleridir. 1b deki Sile <p toplam 90° dir. Şu halde :

<¥ = 90°- 5dır. 1c ve id deki X ile buradaki X nın aynı olduğugörülmektedir. Jeodezide coğrafi enlemden başka şuenlemler de kullanılır :Geosantrik enlem (merkez enlemi) : ^£ POP- #Bu açı <p yardımı ile hesaplanırsa :

t g y =(1 - e 2 ) t g f e2 - o**- b2(9)

o*bulunur.

İndirgenmiş enlem : ^C POP' = V

İndirgenmiş enlem de 9 nin fonksiyonu olarak bulunabilir ve

:

elde edilir. tg V - \T^~~^T tg\p (10)

İzometrik enlem :

formülü ile hesaplanır.

Uzay dik koordinatlar S, X veya *F ve X ile

hesaplanabilir. Bu taktirde :

2b) Kutupsal koordinatlar:

N O N' bir meridyen,0 noktası da bunun üzerinde alınmış bir nokta olsun.OP = S. <NOP = amiktarlarına kutupsal koordinatlar denir.

S, O ile P arasındaki en kısa mesafedir. Küre için S, bir büyükdaire yayı, elipsoid de ise (jeodezi eğrisi) dir.

2c) Jeodezik dik koordinatiar :

NON meridyenine p den pp, diki indirilmiş olsun, p noktasınınJeodezik dik koordinatları : X = Opı, y = ppı dir.

2d) Gauss'in eğrisei (parametrık) koordinatları :

Gauss'ın eğrisel koordinatları, herhangi bir yüzey üzerinde ta-nımlanabilecek en genel koordinatlardır.

37

38

Herhangi bir yüzeyin noktalarının uzay dikkoordinatlarının u, v gibi iki parametreye bağlı olduklarınıdüşünelim. Bu takdirde :X-= X < u , V ) , y.-="y:(.u,V), Z = Z (u,v) (13)yazabiliriz, u ile v ye p noktasının eğrisel koordinatları denir,u, v den biri sabit tutulursa, yüzey üzerinde bulunan, bir uzayeğrisi meydana gelir.

v = sabit ise, u—eğrileri............................................. :u = sabit ise, v — eğrileri elde edilir, u — eğrileri ile v —eğrilerinin meydana getirdikleri ağ, eğrisel koordinatlar ağıolarak kullanılır. 2â, 2b, 2c deki koordinatlar u, v nin özelhalleridir.

3) Projeksiyon koordinatları: ■ ' . . . ■ • ■ ■ , - . . • ■ ■ " ; ' . "

; . Projeksiyon koordinatları, bir noktanın harita üzerindekiyerini belirtir. Harita yüzeyi, çeşitli projeksiyonlar için yadüzlemdir

veya koni, silindir gibi açınım ile düzlem haline getirilebilenbir yüzeydir. Netice itibariyle daima düzlemde bir birine dikX, y eksenlerine göre koordinatlar bahis konusudur.

Projeksiyon koordinatları coğrafi koordinatlar yardımı ile he-saplanırlar bu sebeple Xp yp projeksiyon koordinatları :

Xp = f, ( V . X ) , Yp = f 2 ( ? t X ) ( 1 4 )

şeklinde gösterilebilir fi f2 fonksiyon projeksiyonun özelliğinegöre değişir.Xp/ yp ile noktanın yer yüzündeki konumu da bilindiği için :

X»X(Xp,Yp} f YcY(Xp»Yp) , ZsZ(XPfYpî (15)yazılabilir. Dolayısiyle Xp/ yp yi Gauss parametreleri gibi kulla-nabiliriz.

Çok çeşitli projeksiyonlar düşünülebildiği için projeksiyon ko-ordinatları da çeşitlidir. Türkiye için aşağıdaki üç projeksiyonönemlidir :

1)Gauss - Krüger projeksiyonu : Bu projeksiyon silindirik trans-versal açı koruyan bir projeksiyondur ve 1931 yılından beriülkemizde yapılan haritalarda kullanılmaktadır.

2)Bonne projeksiyonu : Bu projeksiyon, itibarî konik normal alankoruyan bir projeksiyondur. Türkiye'nin ilk projeksiyonu olup1931 yılma kadar kullanılmıştır.

3)Gassini - Soldner projeksiyonu : Bu projeksiyon silindrik trans-versal uzaklık koruyan bir projeksiyondur.

II _ KOORDİNAT DÖNÜŞTÜRMELERİ

Çeşitli koordinatların birbirine dönüştürülmesi jeodezinin en önemlikonularından birini teşkil eder. Örneğin (1) formülleri uzay kutupsalkoordinatların, uzay dik koordinatlara nasıl dönüştürüleceğini göster-mektedir. (12) formülleri ise, coğrafi koordinatlardan uzay dik koordi-natlara geçişi ifade etmektedir.

Genel olarak, I nci kısımda 1, 2, 3 maddelerinde bahis konusu edi-len bütün koordinatların birbirlerine dönüştürülmesi düşünülebilir* An-

39

cak Jeodezide koordinat dönüştürülmesi, en çok 2 nci madde de açıkla-nanlar arasında ve 1. inci maddenin bazı koordinatları ile 3 ncü maddede de belirtilen bazı koordinatlar arasında yapılır. Bu dönüştürülmelerisıralayalım :

1)Coğrafi koordinatlardan kutupsal koordinatlara, kutupsal koordinatlardan coğrafi koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştürmeye (Jeodezinin temel ödevleri) denir.

2)Coğrafi koordinatlardan Jeodezik dik koordinatlara, Jeodezikdik koordinatlardan coğrafi koordinatlara dönüştürme.

3)Jeodezik dik koordinatlardan kutupsal koordinatlara, kutupsalkoordinatlardan Jeodezik dik koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştürmeye (Jeodezik dik koordinatların temel ödevleri) denir.

4)Coğrafi koordinatlardan Gauss - Krüger koordinatlarına, GaussKrüger koordinatlarından coğrafi koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştürme Harita Genel Müdürlüğü tarafından en çok yapılan dönüştürmedir. Bu sayede Nirengi ağının noktalarının (memleket projeksiyon koordinatları) elde edilmiş olur.

5)Kutupsal koordinatlardan Gauss - Krüger koordinatlarına, Gauss - Krüger koordinatlarından kutupsal koordinatlara dönüştürme. Budönüştürme (Gauss - Krüger koordinatlarının temel ödevleri) dir.

6)Coğrafi koordinatlardan Bonne koordinatlarına dönüştürme.Bu dönüştürme ile, 1931 yılına kadar, Bonne projeksiyon koordinatlarıhesaplanmıştır.

7)Hiç uygulanmamış olmakla beraber, Gauss - Krügerden Bonnekoordinatlarına ve karşıtı dönüştürme de düşünülebilir. Nitekim bu konu Dr. Ahmet Aksoy tarafından incelenmiştir. (* )

Koordinat dönüştürmesinin genel olarak incelenmesi :

2d maddesinde herhangi bir yüzeyin u, v eğrisel koordinatları ilebelirtilebileceği ve coğrafi koordinatlar, kutupsal koordinatlar, Jeodezikdik koordinatlar ile projeksiyon koordinatlarının eğrisel koordinatlarınınözel hali oldukları açıklanmıştı. Şu halde koordinat transformasyonunu

(*) Dr. Müh. Ataıet Aksoy, Bonne projeksiyonu ve Memleket ölçüsünde uy-gulanmağı 1961.

40

(dönüştürme), gene! olarak, u, v gibi, İki parametrelerden u', v' gibi yeniiki parametreyi (eğrisel koordinat) geçiş olarak ifade edebiliriz. Bu işlem,iki sistem arasındaki ilişki ile sağlanır. Formül olarak :

u = u (u', v'), v = v (u', v') (16)yazabiliriz. (16). formülleri u ile v nin u', v' cinsinden hesaplanabile-cekleri™ belirtmektedir.

Ancak aynı formüller ile u', v' nin de u, v cinsinden hesaplanmasımümkün olmalıdır. Bu şart. Matematiksel olarak :

şeklinde ifade edilir. (17) deki determinanta (fonksiyonel determinant)denir, u, v sisteminin koordinat eğrileri, genel olarak, u', v' sistemininkoordinat eğrileri ile karşılaşmazlar. Eğer (16) transformasyon formül-leri basitleşir ve her parametre Öteki sistemin yalnız bir parametresininfonksiyonu olursa bu takdirde bir sistemin koordinat eğrileri ile diğerininkoordinat eğrileri karşılaşırlar. Bu duruma göre basitleşmiş transfor-masyon formülleri :

u = u (u ' ) , v = v (v ' ) (18a)u = u (v ' ) , v = v (u ' ) (18b)

şeklinde olurlar. (18a) halinde u ile u' v ile v', (18b) halinde ise u ilev', v ile u' eğrileri karşılaşırlar. (18a) da koordinat eğrilerinin aynenkalacağı, yalnız bunlar üzerindeki koordinat birimlerinin değişeceği gö-rülmektedir. Eğrisel koordinatlar ile hesap yapılırken Gauss'ın 1. ncimertebe büyüklükleri olan E, F, G den yararlanılır. Bilindiği gibi :

41

■münasebetlerinin1 mevcut olduğu isbat edilebilir.

Projeksiyon :

1) F yüzeyi üzerindeki noktaların F' gibi başka bîr yüzey üzerindeki noktalarla karşılaştrnlmasına projeksiyon denir. Bu işlem bîr matematik formülü ile sağlanır. 2d de açıklandığı üzere, her yüzey iki parametre ile belirleneceğinden, F için U, V ve F' için İT, V parametrelerikullanılıyorsa : . .

u' = f, (u ,v ) , . y' = f2 ( u , v ) (25)

münasebetleri, F in F' ye iz düşürüleceğini ifade ederler. HaritacılıktaF, elipsoit yüzeyini F' ise ekseriya düzlem yüzeyini gösterir. Parametre-lere gelince, u ile v coğrafi koordinatları, u', v' xp, yp yi gösterirler. Şuhalde projeksiyon da bir koordinat dönüştürmesinden ibarettir.

■ 43