jövő heti gyakorlat
DESCRIPTION
Jövő heti gyakorlat. Nov. 16, péntek , 10:15, QBF10 Előadó : Szabó Márton ( iwiw ) Katalógus → házi feladatnak beszámít. Komplex hálózatok modellezése. Miért vizsgálunk hálózatokat ?. Hogyan keresed meg a kulcsod ? Hogyan fedezed föl a vidámparkot ? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
GráfmodellekHosszu Éva
1/10
• Nov. 16, péntek, 10:15, QBF10
• Előadó: Szabó Márton (iwiw)• Katalógus → házi feladatnak beszámít
Jövő heti gyakorlat
High Speed Networks Laboratory
Komplex hálózatok modellezése
GráfmodellekHosszu Éva
3/10
• Hogyan keresed meg a kulcsod?
• Hogyan fedezed föl a vidámparkot?
• Hogyan terjednek a járványok?
Miért vizsgálunk hálózatokat?
GráfmodellekHosszu Éva
4/10
•
Ismétlés: átmérő
GráfmodellekHosszu Éva
5/10
• Két tetszőleges pont közötti átlagos távolság a hálózat átmérőjéhez képest kicsi
• Másképp: a hálózat pontjainak számához (N) képest a pontok közötti átlagos távolság (L) logaritmikusan nő: • Szociális hálózatok• Internet
• A komplex hálózatokra igaz a kisvilág-tulajdonság
Ismétlés: kisvilág-tulajdonság
GráfmodellekHosszu Éva
6/10
•
Ismétlés: fokszámeloszlás
GráfmodellekHosszu Éva
7/10
• A fokszámeloszlás hatványfüggvényt követ
Ismétlés: skálafüggetlenség
GráfmodellekHosszu Éva
8/10
• Globális klaszterzettség:
• Lokális: i csúcsra vonatkozóan (ki: i fokszáma, Ni: a szomszédai közt hány él megy)
• nem pont ugyanaz a kettő!
alacsony klaszterezettség magas klaszterezettség
Ismétlés: klaszterezettség
GráfmodellekHosszu Éva
9/10
Olyan modellt találni, ami rendelkezik a komplex hálózatok tulajdonságaival.
Kis átmérő Kisvilág Skálafüggetlen Nagy klaszterezettség Növekedés
Mit jelentenek ezek pl. az WWW-ben?
Mi a cél?
GráfmodellekHosszu Éva
10/10
Erdős-Rényi modell
• Az első próbálkozás: minden hálózat véletlen
• Kialakulás: 1950-es évek vége• Erdős Pál, Rényi Alfréd: On random graphs (1959)
• Probabilistic method megalapozása• Egy n csúcs teljes gráfban nincs egyszínű r-klikk
GráfmodellekHosszu Éva
11/10
A G(n,p) gráf generálása
•
GráfmodellekHosszu Éva
12/10
• A videókat frame-enként lejátszva látható, hogy a G(40,p) gráf hogyan alakul a p paraméter függvényében
• Figyeljük meg két kritikus pontot: megjelenik az óriáskomponens, majd összefüggő lesz a hálózat
1. Óriáskomponens: nagyjából ahol , azaz környékén2. Hirtelen összefüggő lesz a hálózat: nagyjából környékén várhatjuk
• Lásd a határfüggvényekről szóló részt
Az ER modell
GráfmodellekHosszu Éva
13/10
ÁTLAGOS FOKSZÁM• Élek számának várható értéke: • Egy pont fokszámának várható értéke: • Átlagos fokszám :
KLASZTEREZETTSÉG
• Nincs magas lokális klaszterezettség
Az ER tulajdonságai
GráfmodellekHosszu Éva
14/10
•
Az ER modell tulajdonságai
GráfmodellekHosszu Éva
15/10
•
Az ER tulajdonságai
n=100, p=0.005
n=100, p=0.025
n=100, p=0.01
GráfmodellekHosszu Éva
16/10
• Az ER tulajdonságai
összefüggő
nem öf.
GráfmodellekHosszu Éva
17/10
Hol tartunk eddig
• Az ER egyszerűen leírható• Szép tulajdonságok• Analitikusan könnyen számolható
Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság
Nincs: Lokális klaszterezettség és lezárt háromszögek• Bármely két csúcs egymástól függetlenül u.a. valséggel létezik • -> alacson klaszterezettség
Nem magyarázzák meg a hubok képződését• A fokszámeloszlás a Poissonhoz tart, a hatványeloszlás helyett• Nem skálafüggetlen
Növekedés
GráfmodellekHosszu Éva
18/10
• Az ER modell hiányosságai:1. Kis lokális klaszterezettség, kevés háromszög
• Az éleket egymástól függetlenül, konstans valószínűségel húzzuk be → alacsony klaszterezettségi
2. A hubok képződését nem magyarázza meg• A fokszámeloszlás Poissonhoz tart – a hatványfüggvény helyett
• Watts-Strogatz: • A legegyszerűbb modell, ami az 1. hiányosságot kiküszöböli• Megmagyarázza a klaszterezettséget, miközben megtartja az ER-ből a rövid
utakat• Részben megmagyarázza a kisvilág jelenséget
A Watts-Strogatz modell
GráfmodellekHosszu Éva
19/10
• Alapötlet: ismerősök hálózata Közeli ismerősök, akik jellemzően egymást is ismerik Néhány távoli ismerős
• A WS(N,p,K) gráf N a csúcsok száma K-reguláris a kiinduló gráf
o N >> K >> ln(N) >> 1 p az élek újrahúzásának (rewiring) valószínűsége
A Watts-Strogatz modell
GráfmodellekHosszu Éva
20/10
ALGORITMUS:1. Kiindulás: egy K-reguláris ring
lattice N csúcson
2. Sorban minden élet egymástól függetlenül p valószínűséggel áthúzunk máshova egyenletesen választunk a szabad
helyekből ne legyen párhuzamos él és
hurokél
A Watts-Strogatz modell
GráfmodellekHosszu Éva
21/10
• n=30, k=6 gráfból kiindulva:
P=0.2
P=0.4
A WS modell
p=0.7
p=1
GráfmodellekHosszu Éva
22/10
Finomhangolás p-vel
p = 0 p ~ 1
GráfmodellekHosszu Éva
23/10
1. FOKSZÁMELOSZLÁSWatts-Strogatz
Átl. k = K, P(k) ~ Poisson(k)
A WS modell hátulütői
Valós hálózatP(k) ~ k -γ
GráfmodellekHosszu Éva
24/10
2. MECHANIZMUS
A WS feltevései:• Fix N db pont
Pedig hálózatok folyton nőnek vagy elfogynak
• Minden élet egyforma p valószínűséggel cserélünk ki egy újra Ez sem hangzik túl jól, a gazdag egyre gazdagabb lesz??
A WS modell hátulütői
GráfmodellekHosszu Éva
25/10
Hol tartunk eddig
• A WS jól megmagyarázza a klaszterezettséget
Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Klaszterezettség
Nem magyarázzák meg a hubok képződését• Még mindig nem skálafüggetlen
Növekedés
+ Preferenciális kapcsolódás
GráfmodellekHosszu Éva
26/10
Preferenciális kapcsolódás
Egy nemzetségen (nem) belül a fajok számának növekedése• Canis
sujtásos sakál (Canis adustus) aranysakál (Canis aureus) prérifarkas (Canis latrans) szürke farkas (Canis lupus) panyókás sakál (Canis mesomelas) vörös farkas vagy rőt farkas (Canis rufus) abesszin farkas más néven kaber, etióp róka vagy etióp sakál (Canis
simensis) óriásfarkas (Canis dirus) - kihalt.
• A gazdag egyre gazdagabb lesz
GráfmodellekHosszu Éva
27/10
1. KIINDULÁS• Egy néhány (≥2) csúcsból álló gráf, amiben nincs izolált pont
2. ÉPÍTKEZÉS• Minden lépésben egy új csúcsot veszünk hozzá + m új élet
• Egy már meglévő csúcshoz valószínűséggel kapcsolódik Arányos a fokszámmal Nagyobb fokszámú csúcshoz nagyobb eséllyel kapcsolódik
(preferenciális kapcsolódás)
Barabási-Albert modell
GráfmodellekHosszu Éva
28/10
BA modell
20 csomópontig növekedik
Preferenciális kapcsolódás
GráfmodellekHosszu Éva
29/10
A MODELL: CSAK NÖVEKEDÉS Elindulunk egy néhány csúcsból álló gráfból Minden lépésben beveszünk egy új csúcsot + m élet Minden új élnek egyenletesen választjuk a végpontját a meglevő csúcsok
között
Exponenciális lecsengésű fokszámeloszlásNem skálafüggetlen
B MODELL: CSAK PREFERENCIÁLIS KAPCSOLÓDÁS Indulás: N izolált csúcs, behúzunk 1 élet Minden lépésben vál. egy csúcsot, a már meglévő fokszámmal arányos
valsózínűséggel hozzákötjük valamelyik másikhoz ()
Kezdetben skálafüggetlennek tűnő eloszlás, egyre több él behúzásával normálishoz tart
Nem elég-e kevesebb?
GráfmodellekHosszu Éva
30/10
• Fokszámeloszlás• P(k) ~ k-3
• Valóban hatványfüggvény
http://discopal.ispras.ru/images/c/c9/Barabasi-Albert_model.pdf
A BA modell tulajdonságai
SkálafüggetlenKisvilág-tulajdonságú
GráfmodellekHosszu Éva
31/10
KLASZTEREZETTSÉG• Analitikusan nem lehet számolni• Szimuláció: <k>=4 véletlen gráfokkal összehasonlítva
• Véletlen gráfokban: • BA-ban:
• A hálózat méretével csökken• Megfigyelt hálózatok: független a hálózat méretétől
A BA modell tulajdonságai
GráfmodellekHosszu Éva
32/10
Hol tartunk eddig
• A BA modell az eddigi legjobb próbálkozás
Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Skálafüggetlenség Növekedés Preferenciális kapcsolódás
A klaszterezettség a hálózat méretével csökken• Nem független
GráfmodellekHosszu Éva
33/10
Összefoglalás
Tulajdonság Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási-Albert
Kis átmérő OK OK OK
Kisvilág OK OK OK
Klaszterezettség
Nem OK Nem
Preferenciális kapcsolódás
Nem Nem OK
Növekedés Nem Nem OK
Skálafüggetlen Nem Nem OK
nov. 16.gyakorlat!