JoumalofSignalProcessing,Vb1.5,No.6，pp,397-408,November2001

基礎シリーズMAILABで学ぶディジタル信号処理の基礎（全6回）

騨篭

MATLABで学ぶディジタル信号処理の基礎

IntroductiontoDigitalSignalProcessingwithMAlrLAB

-第6回2次元ディジタル信号処理一

一6．Two-DimensionalDigitalSignalProcessing-

川又政征＊

MasayukiKajWamata＊

Joumalor

Exercises

S量gnalProcessmg●

信号処理

基礎シリーズ MATLABで学ぶデイ ジタル信号処理の基礎（全6回） 蕊

MATLABで学ぶディジタル信号処理の基礎

In士roductiontoDigitalSignalProcessingwithMAjrLABExercises

-第6回2次元ディジタル信号処理一

一6．Two-DimensionalDigitalSignalProcessing-

川又政征狼

MasayukiKawamata＊

1．はじめに

第6回のこの講座は,"MAjrLABで学ぶディジタル

信号処理の基礎”の最終回である。今回は2次元ディ

ジタル信号処理の基礎として2次元信号とその変換お

よび2次元FIRディジタルフィルタをとりあげる。

2次元信号とは2変数の関数として表される信号で

ある。その代表は画像である。本講座では，まず，2次

元ディジタル信号の変換として，2次元離散空間フー

リエ変換と2次元離散フーリエ変換を導入する。次に，

2次元z変換，たたみこみ，およびFIRディジタル

フィルタについてとりあげている。2次元の“変換"，

"たたみこみ，》，“フィルタ”の概念と役割は，第1回

～第5回の講座で紹介した1次元の場合と同じもので

あることは言うまでもない。

この講座はディジタル信号処理の基礎の解説を目的

としているため，今回の2次元ディジタル信号処理の

内容は，第1回から第5回までの1次元ディジタル信

号処理の内容のいわば“2変数'，版の範囲にとどめて

いる。実際には，1次元ディジタル信号処理にはない

計算の煩雑さや理論的な難しさが2次元ディジタル信

号処理にはある。2次元ディジタル信号処理に固有の

理論や課題については，多次元信号処理に関する専門

書[11-[7]を参照されたい。

なお，今回の講座のプログラムの実行のために，

MATLABのSignalProcessing‘Ibolboxの他に

*東北大学大学院工学研究科

〒980-8579仙台市青葉区荒巻字青葉O5

mohokuUniversity,Sendaj980-8579，Japan

E-mail:kawamata◎ecei､tohoku.ac,jp

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No．6，November2001

ImageProcessingToolboxが必要であることに注意

してほしい。具体的には，freqz2,fwind2,ftrans2

がImageProcessingToolboxの中の関数である。

2．2次元連続空間信号と離散空間信号

2次元連続空間信号は鰯(t,,t2）のように2変数の

関数であり，実数または複素数の値をとる。ここで，

t，とt2は連続の実数であり，空間変数とよばれる。

t,軸とｵ2軸はそれぞれ水平軸と垂直軸ともよばれる。

2次元連続空間信号〃(t,》t2)は，グラフとして描く

ならば,t,-t2平面上の曲面となる。もし，z(t,,t2)の

値を点(t,,t2）における輝度に対応させ，値が大きいときは高い輝度値を表し，値が小さいときは低い輝度

値を表すものとすると，鯵(t,,t2）は平面上の濃淡の情

報を表すものとなる。2次元連続空間信号として代表

的なものは画像である。

2次元離散空間信号は図6Jのように平面の格子点

上でのみ値をもつ2次元数列鰯(､1,”2）として表され

る。2次元離散空間信号〃(”1,,2）は2次元連続空間

信号駆け,,t2）を次のように標本化して得られることが多い。

､Z(”1Zl，”2過)＝麺(t1，t2)ltl="1四,t2="2唖（1）

ここで，四と遇はそれぞれ水平方向と垂直方向の標

本化周期である。本講座では，簡単のため期＝蝿＝1

として2次元離散空間信号をZ(何1,,2)で表す。以後，

2次元離散空間信号を単に2次元信号あるいは信号と

よぶことにする。

2次元信号を表すために行列あるは配列を用いると

便利なことが多い。たとえば，次のように行列で表示

397

【例題6.1】2次元複素指数関数は二つの周波数

を持っているために，その形がわかりにくい。そ

こで，MATLABを用いて2次元複素指数関数を

描いてみよう。

周波数が((ﾘMﾉ2)＝(7r/5,7r/10)のとき，2次

元複素指数関数の実部COS((J1nl＋uﾉ2,2）と虚部

Sin((J,､,＋(4ﾉ2,2）を計算し，濃淡画像として表示せよ。

n2

398

、1

／／9/6/、

図6．12次元離散空間信号z(､,,､2）

Fig.6.12-Ddiscrete-spacesignalz(､1,,2）

11次元，2次元，多次元をそれぞれ1－，，2－，，M－Dと略記することが多い。

●●ロ

ｅ、、０ノｅ、、Ｂノ

諏卸

垂烈

、ロⅡクク

》“”釦

ｕ一

叩、一

〈Ｕｑ今、

砥Ⅲ日″〃

●タ●Ｑク●●夕

ｓ、〃Ｓ・〃

〈岨″目●Ｑク師”釦、日″夕、画■″夕〃ⅡⅡ、〃″０Ⅱ、

《ｈ〉（Ｕ。．（Ｚワーｓ『’一ｓ『’一

“１〈Ｕｎｎ．『’一ｅ・工ｅ

図ノ″〃く＊＊

琴曲遮曲

●『０《、べ”〕●●

参″！、数Ｐ．１２２．，猟．‐弾

ｒＷＷ

関一一ｇ＋＋；、‐ノ．，、‐ノ

・吟皿坐△『日一・旬０－、、■″夕《扉Ｌ》●Ｑク、Ｕ″〃〔言《》●Ｑ〃

、数２ｓｎｎ’一‐、，ノ２，、●ノ

・上日

Ｗｅ＊＊。．《ｚ、″・クワ一、″

》繍捌Ⅶ．，咋州血脈地仙伽脈地仙伽

、・・ワー、△１ワー、△１

頁）元酬脱叩釦唾一・一鈍叩唖聖鋤埜唾函

伽秋肥実１ｎ

ｏダ

ウＩ□”んＣｗんＷ》ＮＦＩ』《一‐）《ごｗんｓｐ今ｘ〃んｓｐ今ｘ

した2次元信号を考える。

－今

i）助ｙ０ｅ－ｈ（

α，ａ０〉

z(､,,､2)＝ (2)

”,↓

下線の引いてある位置を座標軸の原点(0,0）と考え，

縦方向を、，の軸に，横方向を、2の軸と考える。行

列（配列）に表されていない範囲の信号の値は零と考

えるものとする。このような表記を用いると，有限の

領域の2次元信号が簡潔に記述される。

2次元の連続空間信号と離散空間信号と同様に，Ⅳ

次元の連続空間信号z(t,,t2,…,tjV)や離散空間信号

z(”1,,2,…,njv)を考えることは容易である。jV＞2

のとき，このような信号は多次元信号とよばれる'。 3．22次元離散空間フーリエ変換の定義

2次元信号〃(”1,,2）の2次元離散空間フーリエ変

換X(e”',e伽2）は次のように定義される。

3．2次元離散空間フーリエ変換

3．12次元複素指数関数 OCOO

X(eﾙ',eﾙ2)＝EEz(",,"2)e-ﾙ'",e-…，”1＝一○○”2＝一○○

（4ﾉ1シ(4ﾉ2＝二一7r～7r （4）2次元複素指数関数は次式のように表され，二つの

周波数(ﾑﾉ11rad]と‘J2Iradlによって特徴づけられる複素数関数である。

1次元の場合と同様に，X(e”',e池2）は信号z(､,,､2）の周波数スペクトルとよばれ，一般には複素数である。

|X(e”1，e池2)|は信号z(､,,”2）の振幅スペクトルと

よばれ，Ⅸ(e”',eル2)は位相スペクトルとよばれる。

ここで注意しなければならないことは，2次元の場合，

,/E3?~千~[薯によって周波数の高低が決まることである。すなわち,､/E寒~千~E恵が相対的に小さい"剛2の領域

は周波数の低い領域を表し，、/画?~ｴー ［弓が相対的に大きいuﾉ1－LJ2の領域は周波数の高い領域を表す。2次元

離散空間フーリエ変換を求めるために，関数freqz2がMATLABには用意されている。

ej“'”'＋池2”2，78，，，2＝－00～00 （3）

"，と“2をそれぞれ水平方向と垂直方向の周波数と

よぶ。2次元複素指数関数は2次元信号のフーリエ表

現のための核となるものである。また，1次元の場合

と同様に，システムやフィルタの周波数応答を考察す

るための入力信号として用いられる。

JoumaIofSignalProcessing,Vol､5，No.6，November2001

20

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No．6，November2001

識醗誠錨圏蕊

，圏蕊蕊 園蕊 識 圏 感。群麗蕊霞園 睡闘圏露蕊蕊畷 ． , 圏蕊通圃圏認蕊霞蕊蕊園..，．.．露函醗溌．､悶識蕊鰯．鰯圏圏溌..:麗蕊議題‘蕊圃園麗

蕊蕊、:麗圏闘蕊繍溌圏懲鰯圏画蕊鰯函蕊蕊｜圃畷騒 函・’蕊鰯.．適蕊i闘 鰯蕊園

”儲■下

一蕊

蕊．“。。

蕊一一曜

聞溺点罰

す弔

乱掘岬料

0,2

【例題6.2】次の2次元信号鯵(仰,,、2)(図6.3(a)）

の2次元離散空間フーリエ変換X(e”1，ej"2）を求め，その振幅スペクトルを図示せよ。

…六/i黙’”（0’’0ノ

い“畷竺一誼離

》醗醗一一｛群峰

一一志鐸垂

悪鋒ｌ↑」闘

蕊‐磯園騒鰯．“

蕊騨圃鰯

蕊圏鰯蕊、”・翻闘

灘函認蕊‐．．麗遡園蕊

圏露弾蕊溌画蕊

・ど麗函闘繍・

計溌圏園懇蕊

5

０３

１０

Ｎ匡幸↑ご一×

零珂一‐１

…醗睡画画一蕊空

圏一一蕊‐一塁調

園識ｉ！蕊雪一認‐・瀞．

ざulO

詞信一

蕊圃醗鰯Ｉ

騨蕊・“

．．．”翻露

』一一一識部

躍闘繍

識3

５０

、200､，

(a)信号〃(知,’'32）

(a)Signalz(､,1,,2）

蕊

~一瞬

ﾛ lO

n

図U

（a)実部

(a)Realpart

鰯(”,,”2）

＝幸肌亙w"雪)‘…‘…剛…（5）冗1シn'2＝一○○～○○

５０

０

“ｓ『①凸Ｆｇ－①）×’

20

2次元離散空間フーリエ変換X(ej"',e"2）から信

号鰯(n,’'’2）を求める逆変換は以下の式によって与え

られる。

蕊麗圏園識．蕊園圏騒ぎ

撫鰯罰圃蕊蕊園翻鰯唖

冨蕊磯圃圃圏渉

塵蕊ｉ蕊圃圏鰯盛醗慰

蕊圏詞麗蕊“感露圃蕊

闘蕊隷園睡蕊灘鐸麟瞳画蕊

睦溌一慰識．“騒圃圏蕊

一圏翻岸、・譲蕊蕊圃蕊蕊

認懲“・溌雪‐一！【蕊再製一

41 I

撫串…二一畿Ｉ率簿一一一熱

闘画蕊Ｉ騨圏閏鰯繍‐

繍雲麓蕊圏圏溺誌‐溌

蕊圃感蕊慰瞳騒騒

Ｉ蕊圏圃麗蕊蝶鰯圏圏蕊

蕊一■醗譲“倉》圏圃鰯蕊

閏認・“．誰騨鴎圏蕪

謹鯉函羅蕊、‐‐蕊掴

、露函国蕊蕊一一篭

識欝一一一蕊…蕊閥一驚

一一一蕊．燕謎一一．一．

15

０５０

１副匡

（b)振幅スペクトル|X(e犯1，e”2)｜

（b)MagnitudespectrumlX(ej"1，e”2)｜

図6．32次元信号とその振幅スペクトル

Fig.6．32－Dsignalanditsmagnitudespectrum

蕊

鍵

醗蕊 灘圃.：

0 10

，

20

（b)虚部

（b)Imaginarypart

図622次元複素指数関数

2－Dcomplexexponcntialffmction

【Program6.2】（図6.3）%2次元離散空間フーリエ変換

cユear；

%信号

x＝［0110；

1331；

1331；

0110]／20；

%信号の表示

s＝size(X)－1j

nl＝0:s(1)；n2＝0:s(2)；

subpﾕot(2，2，1）；

Inesh(n1,,2,x)；

axis（[OS(1)0s(2)00．2]）；

xﾕabeﾕ(，n－1)）；ylabeﾕ('n－2j）；

zlabel('x(n-1,,-2），）；

%周波数スペクトルの計算

[X,fl,f2］＝freqz2(x）；

wl＝fl*pi；w2＝f2*Pi；%振幅スペクトルの表示

subpﾕot(2，2，2）；

mesh(w1，W2，abs(X)）；

axis（[一pipi－pipiO1]）；

xﾕabeユ（j、omega-1［rad］,）；

Fig.6．2

399

ylabe1('、omega-2［rad]’）；

zlabel(，|X(e′､{j、omega-1},eへ{j、omega-2}）｜，）；

400

５０

副亡一一こ）×

4．2次元離散フーリエ変換

０５１4．12次元離散フーリエ変換の定義

15

n200，，

(a)信号z(､,,､2）

(a)Signalz(､,,”2）

いま，側，＝0～lVi-1，”2＝0～M－1の有限区

間の2次元信号Z(､1,,2）を考える。これを(Ⅳ1'M）

点信号とよぶ。（IVi,M）点信号z(､1,722）の2次元

離散フーリエ変換（2次元DFT）は次式のように定義

される。

【Program6.3】（図6.4）%2次元離散フーリエ変換の例

c1ear；

%信号

N1＝16；N2＝16；

[n1,,2］＝meshgrid(0:N1-1,0:N2-1）；

15

０５０５

１

１

“エ争一エ）×一

Ⅳ,－1jV2-1

ニヱヱ鰯(",,"2)wlIZ"lwjIi;"2，”1＝on2＝0

ﾙ1＝0～IVi－1，k2＝O～jV2-1(7)

X(ん,’ん2）

15

k200k，

（b)振幅スペクトル|X(ん1,k2)｜

(b)MagnitudespectrumlX(k1，k2)｜

図6．42次元信号と振幅スペクトル

42－Dsignalanditsmagnitudespe’

ここで，WMとWMは次の回転因子である。

WM=抑(-'芸)ルF・叩(－，蓋)(812次元信号z(､1,”2）はX(ん1,k2）から次の2次

元離散フーリエ逆変換（2次元IDFT）により求めら

れる。

…た赤熊x(胤州蝿峨、,＝0～IVi－1，，2＝O～M－1（9）

Fig.6．42－Dsignalanditsmagnitudespectrum

x＝zeros(N1,N2)；

x(1:4，1:4）＝1；

%信号の表示

subp1ot(2，2，1）；

mesh(n1,,2,x)；

axis（[ON1－10N2－101]）；

xlabel('n－1'）；ylabel（'n－2，）；

zlabe1(,x(n-1,,-2）’）；

%離散フーリエ変換

X＝fft2(x)；

%振幅スペクトルの図示

subp1ot(2，2，2)；

mesh(n1,,2,abs(X)）；

axis（[ON1－10N2－1016]）；

xlabe1('k－1'）；ylabeﾕ（'k－2'）；zlabe1（’1X(k－1，k－2）｜，）；

MATLABには2次元DFTと2次元IDFTとして

関数fft2とifft2が用意されている。これらは，後

に述べる高速フーリエ変換のアルゴリズムを用いてい

るものである。

定義式(7)から2次元DFTを求める直接計算法の

計算量は，O(jVfIV;）となる。信号のサイズが大きい場合，2次元DFTのこの計算量は極めて大きな値と

なることに注意が必要である。

式(7)の2次元DFTを求めるために，1次元DFT

を利用すると計算量を減少させることができる。図6．5

【例題6.3】次の（16,16）点の2次元信号

懇(､1,,2）の2次元DFTX(k,,片2）を求め，信

号z(nlln2）と振幅スペクトル|X(k1,k2)|を図示せよ。

｛'，、1,712＝0～3

0，その他4.2行-列分解に基づく高速フーリエ変換〃(仰,,"2） (10）

JournalofSignalProcessing,Vol､5，No.6，November2001

|,0ヤ

妾‘I＝9二才の(0‘O)＝(zu‘ru)手化/W/抄剰甫①聖砿z8

．才〔ﾉl出畢乙A江CO騨園‘到敏1⑦竃二淫平ユェ砿Z

伽（!|か…側（廃)曇(州’

・手頃半畢（zu‘IfM

年用⑦星才郭cY鱒（8u‘Iu)鰯厚YZ1（zu‘[u)V

鐸/l〃丘/Y毎忽ル圭聖琢乙①砿【f､9鴎冊】

。受くりq(蝉才。受gIu量幽と

/W＜上珊束鱒(gu‘Iu)v‘Q薄〉/1金。（8u‘Iu)v刺

(zⅧ‘Iu)/1年用‘z二才受_PL才（zu‘Iu)9と/w/抄卿東

畢（gu‘Iu)釘‘剰語。受嘩旦_量幽と/w/<ル叫東①毎/Y

少乙/I崎蕉ル圭聖砿醐(zu‘Iu)り。受gu[F用辱/l(少乙

§α(叩‘Iu)〃‘cIgiu年Y鐸/1〃ムリ(gu‘Iu)〃‘弘二二

°受嘩ｴ岬才等ｲｲﾙこ/1「等察し妾エ理乙‘剰裂蔦娼受坤

軍峯且_(f[)￥靴'1受卑(81)準‘幸い舗与⑦面;mI告ョ

(斑）（gu‘Iu)v＊(zu‘Iu)鰯＝Oc－＝Z3Yoo－＝I3Y

(通ヴー乙州一[")v(雇州)zZZ＝(雇"‘I似)m OOOC

写q(蓮_,皇

。受割丑沓早蜘凹‘9J_/1塀華畢1塁謡⑦（zu‘Iu)勿才

(zu‘Iu)v①竿可‘9Q_《僻z1号雷①エ砿z‘到謝凹才与

笥⑦聖欺1．畳嘩測才才増．篭ユュエ砿乙‘剰蔦提①。

(81）（8u‘Iu)z＊(gu‘叩)V＝○○一＝zvOC－＝1V

(z‘Y-2州一[")鰯(乙州)vZZ＝(z"‘W OCOC

o匡才尊象翠蔦程⑦砿豊頃率孝（gu‘Iu)/1号ヨエ砿zg

〔α(乙叫‘Tu)V才（zu‘Iu)勿昌ヨエ率いGf⑦9．9国

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（剛191剛81p)uO脚nloAuooq-Z9､9.8m

(毎/,〃創崎褒少妾）竜二淫ユュエ砿89．9lx’

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年①調号11丘一旦星裂享受－2草提畢Lmエ平匝IGf⑦

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剰mq聖琢E‘ユc§*Q、。受禦弘Ⅲq聖歌I⑦

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錫911空一身9．9園

1-1N・・・101-1N・・・10

【）OOC

r）（）【）（』

I【nIE

J【）【）【】

I【nlE

1-1N・・・10

一zN

0

1

'一zN

u

１５７２

402

【Program6.4】%2次元たたみこみ

%インパルス応答と入力

h＝［12；

24]；

x＝［010；

111；

010］；

%出力

y＝conv2(h,x）

n2

00 nlnl

図6．72次元FIRフィルタの入出力関係

Fig.6．71nput-outputrelationof2-DFIRfilter

以下ディスプレイの表示

Y(zllz2）＝H(z1,z2)X(z1,z2）（20）

1

7．2次元FIRフィルタy

０１２０

JournalofSignalProcessing,Vol､5，No．6，November2001

２７８４

０２４０

7.1FIRフィルタのアルゴリズム

2次元単位インパルス応答〃('31,”2）を有する2次

元ディジタルフィルタのたたみこみの表現を以下のよ

うに記述する。6．2次元z変換

2次元信号z(､1,,2）の2次元z変換X(z1,z2）は次式で定義される。

X(z,,z2)＝EZ麺(",,蝿2)Zr"'zす"’（17）”1＝一OOn2＝一○○

これに対して，逆z変換は

…)=赤克上rM重f‘-1z芽-'伽，（18）

と表せる。ここで，C，およびのはz，平面および

z2平面の原点を囲む適当な閉曲線である。

2次元信号鰯(､,,､2）のz変換X(z,,z2）において，z,＝e”’およびz2＝e池2とおくと，複素関数

X(z,,z2ル,=e池,,z2=e”2は信号〃(､',”2)の周波数ス

ペクトルを表す。このことは式(4)と式(17)の比較から理解される。

2次元z変換の最も重要な性質は，次式の推移とた

たみこみに関するものである。

，(",,"2)＝EE順,k2)鰯(町一k,,"2－k2）（ん1，k2）ES

（21）

ここで，sはインデックス(ん,,k2）の範囲であり，こ

の範囲の外ではん(k,,k2）はすべてOであるものとす

る。sはん(ん,,k2）のサポート領域とよばれる。

サポート領域sが(､,,､2）の有限の領域であるとき，この単位インパルス応答は有限区間の単位インパ

ルス応答である。有限区間の単位インパルス応答をも

つ2次元ディジタルフィルタは2次元FIRフィルタ

とよばれる。

たとえば，〃(､,,､2）のサポート領域が次の領域であるとする。

s＝{(”1,,2)|〃1＝0,1,,2＝0,1｝（22）

このとき，2次元FIRフィルタは以下のたたみこみに

よって入力から出力をつくりだす。

Wllln2)＝ﾉZ(O'0)〃(､1,,2)＋ﾉﾙ(1,0)z(､1-1,,2）

＋ﾉZ(0,1)z(nMl2-1)＋ﾉZ(1,1)〃(､1-1,,2-1)(23）

・推移

〃(､l－ん1,,2-k2)〈->zrk'z蚕k2X(z1,z2）（19）

。たたみこみ

〃(”11,2）＝ノZ(nlln2)＊〃(､1,”2）

したがって，この2次元FIRフィルタの入出力関係

は図6.7のように表される。

サポート領域sが(､,,､2）の無限の領域に広がっ

ているとき，この単位インパルス応答は無限区間の単

位インパルス応答である。無限区間の単位インパルス

応答をもつ2次元ディジタルフィルタは2次元IIR

フィルタとよばれる。2次元IIRフィルタは2次元の

差分方程式によって記述され，入力信号から出力信号

を再帰的につくりだす。

【例題6.5】次の2次元FIRフィルタ〃(､1,,2）

の周波数応答を求めて図示することで，このフィ

ルタが低域フィルタであることを示せ。

I 1１’２１

１３１

１２１

7.2伝達関数と周波数応答 １｜喝

h,(､,,､2） (29）

z変換のたたみこみの性質を利用し，式(21）の両

辺の2次元z変換を求めると次式が得られる。 周波数応答を求めるために，関数freqZ2を用

いよ。

Y(zl'z2)＝H(zl,Z2)X(Z1,Z2）（24）

403

上式から，出力のz変換Y(z,,z2）と入力のz変換

X(zllz2）の比Y(z1,Z2)/X(z1,z2）を求めると

H(zl，z2)＝EE向(A1,片2)Zr臆'z可胸。（25）（ん',k2）ES

となる。このz変換H(Z1,Z2）は2次元ディジタル

フィルタの単位インパルス応答h(孔,,､2）のz変換で

あり，このディジタルフィルタの伝達関数とよばれる。

たとえば，式(23)で表される2次元FIRフィルタの伝達関数は以下のようになる。

と表される。上式から，H(ej"1，e"2）は，この2次元

FIRフィルタの周波数応答を表すことがわかる。また，

式(27)と式(25)の比較から，伝達関数H(zl,z2）にz＝ej"’とz＝e”2を代入したものが周波数応答で

あることになる。

周波数応答H(e”1，e”2）は，向(､,,”2）によって決

定されるため，九(凡,,､,2）を適切に選ぶことによって

低域フィルタ，高域フィルタ，帯域フィルタなどの周

波数選択性フィルタを実現することができる。

0,2

１０

吋仁Ｐ一こ）丘

０２

2

、2 00､，

(a)単位インパルス応答

(a)Unitimpulseresponse

h(0,0)＋h(1,0)zr1＋〃(0,1)z5’

十月(1,1)zrlz訂1（26）

H(z,,z2）

【Program6.5】（図6.8）X2次元FIRフィルタの周波数応答

%インパルス応答

h＝［111；

232；

111]／13；

Xインパルス応答の図示

s＝size(h)－1；

nl＝0:s(1)；n2＝0:s(2)；

subp1ot(2，2，1）；

mesh(n1,,2,h)；

aXis（[OS(1)0s(2)00．25]）；

xﾕabe1（'n-1'）；yﾕabeユ（jn－2'）；

５０

０

Ｗａ「の二Ｆｇ『の）工一さて，2次元FIRフィルタの単位インパルス応

答h(”1,?32）の2次元離散空間フーリエ変換を

H(ej"1，e”2）とおく。すなわち，

H(e”1，e池2)＝ZEb(ん,,A2)e-池血e-池曾胸．（ん,’ん2）ES

（27）

このとき，2次元ディジタルフィルタに周波数“，と

〔J2の複素指数関数鰯('z,,､2）＝e"'"'+j"2"2を入力

したときの出力は式(21)から

（b)振幅特性

（b)Magnituderesponse

図6．82次元FIRフイルタの振幅特性

Fig.6．8Magnituderesponseof2-DFIRfilter

〃(”1,,,2)＝H(e”1，e"2)e"'"'+”2"2（28）

JoumalofSignalProcessing,Vo1.5,No．6，November2001

zﾕabeﾕ（'h(n－1，，－2),）；

%振幅特性の図示

[H,fl,f2］＝freqz2(h)；

wl＝fl*Pi；w2＝だ2*Pi；

sUbp1ot(2，2，2)；

mesh(w1,W2,abs(H)）；

axis（[-pipi－pipiO1]）；

nabel(，、omega-1［rad]，）；

yﾕabel('、omega-2［rad]，）；

zlabel(,|H(eﾍ{j、oInega-1},e会{j、oInega-2))｜，）；

8．2次元FIRフィルタの設計

2次元ディジタルフィルタの零位相または線形位相

特性は多くの信号処理において望ましい特性である。

とくに画像や映像処理において必要とされる位相特性

である。2次元の場合においても，FIRフィルタは零

位相または線形位相特性を容易に実現することができ

る。ここでは零位相特性を有するFIRフィルタの設

計のための代表的な方法である窓関数法とマクレラン

変換法を紹介する。

8.1零位相特性と線形位相特性

2次元ディジタルフィルタHz(Z1,z2）の周波数応答

Hz(z,,z2ル,=ej‘‘,,,z2=ej"2が実数であるとき，この位相特性を零位相特性という。実数の単位インパルス応

答んz(､,,､2)が次のような対称性

肱(nlln2)＝し(-,1,-n2） (30）

を有するとき，フィルタは零位相特‘性をもつ。

零位相の伝達関数L(z,,z2）に適当なzrlV，とz五Mをかければ，その振幅特性を変えずに線形位相

の伝達関数剛Z,,Z2）

駒(z1,z2)＝zrjv'z訂jv2Hz(z1,z2）（31）

が得られる。実際，このフィルタの位相特性8(‘‘ﾉ,,"2）は

ル1,(』ﾉ2)＝－(jVi(4ﾉ1＋雌吻）（32）

であり，線形位相となっている。

線形位相フィルタH2(z,,z2）の単位インパルス応答

Mn,,､2）は，式(31)の空間領域表現から

Mn1,,2)＝此(nl-jVi,､2－M）（33）

と表され，肱(､,’'22）を水平方向と垂直方向にそれぞ

れjviと脇だけ遅延させて得られるものである。

404

8.2窓関数法による設計

この方法は，1次元FIRフィルタの窓関数法による

設計（第5回,第3章）を2次元の場合に直接的に拡張

したものである。まず，所望のフィルタの周波数応答

Ha(e”',e”2）とその単位インパルス応答Mn,,n2）が次の様な2次元離散空間逆フーリエ表現によって結

びつけられていることに注意してほしい。

Mn,,"2）

＝幸ﾉMHIIにﾙ1,‘”雪)‘……書…、lシ、2＝－CO～○○ （34）

上式を用いれば,与えられた零位相の理想的周波数応答

Ha(e”',e山2)から，この周波数応答を有するフィルタ

の単位インパルス応答Mn,,n2）を求められる。ただ

し，単位インパルス応答ﾉzd(､,,､2)が実数かつ零位相

となるためには，Ha(e”',e池2）＝Hti(e-”',e-”2）でなければならない。このようにして得られる単位イ

ンパルス応答は’Mnll"2)＝ん.(一n1,-,2）となり，零位相となる。

この単位インパルス応答〃d(､,,､2）のサポート領

域Sは，多くの場合，泥,,n2＝一○○～＋COの範囲

に広がるので，Mn1,,2）に次のように2次元窓関数

1"2(､1,,2）をかけて，サポートが有限になるようにす

れば，零位相のFIRフイルタノル(､1,,2)が得られる。

h(､1，，2)＝ﾉld(､1,,2)f"2(､1,,2）（35）

2次元窓関数iU2('’1,九2）は，対称性I"2(､1,〃2)＝

⑩2(-側1,-"2)を持つことが必要であり，｜”11と｜”21が大きくなるにしたがって滑らかに減少する有限のサ

ポート領域の信号である。通常よく用いられる1次元

窓関数を⑩,(､）とすれば，以下のような分離形と対称形の2次元窓関数が得られる。

分離形f"2(､1,,2）

対称形切2("1,,2）

”,(",)uﾉ,(､2)，

|”,'三jVi,|､21≦jV2(36）

肋(,応這)，,/房~君君≦Ⅳ（37）

MATLABでは窓関数を用いた2次元FIRフィルタ

の設計法の関数として，分離形窓を用いるfwindlと

対称形窓を用いるfwind2が用意されている。

JoumalofSignaIProcessing,Vol､5，No．6，November2001

【例題6.6】図6.9(a）に示されるような遮断周

波数Ucの円対称の通過域をもつ2次元低域FIR

フィルタを設計しよう。望ましい周波数応答を式

で表せば

職洲-{;:鮮雪蝿"“となる。

関数fwind2を用いて，遮断周波数がLJc＝7r/2

の2次元FIRフィルタを設計し，その単位インパ

ルス応答と振幅特性を求めて図示せよ。ただし，円

対称のハミング窓関数(窓のサイズvn3＋､;≦20）を用いるものとする。

405

１

５０

０

－（侭Ｓ『の阜戸３－の）℃工一

- 2 － 2

の2[｢ad】①，［rad］

（a)設計仕様Ha(ej"',eﾙ'2）

(a)DesignspecificationHd(e池,,e"2）

２１０

００１０

（Ｎ匡幸帝匡）二

マクレラン変換法は，設計が容易な1次元FIRフィ

ルタの周波数変数“に2変数の周波数“1と“2の関

数岬,,U2）を代入することで，2次元FIRフィルタの周波数応答を得るものである。

8.3マクレラン変換による設計

【Program6.6】（図6.9）X窓関数法による2次元F工Rフィルタの設計

Clear；

M＝64；

[fl,f2］＝rreqspace(M,'meshgrﾕd，）；

wl＝fl*Pi；w2＝f2*Pi；

X理想的振幅特性

Hd＝Zeros(M,M)；

Hd(sqrt(w1．へ2十W2．ー2）〈pi/2）＝1；

subpﾕot(2，2，1）；Inesh(W1，W2,Hd)；

aXiS（[-PユPi－PiPiO1]）；

xﾕabeﾕ()、Omega-1［rad]〉）；

ylabeﾕ(>、Omega-2［rad]》）；

zlabeﾕ(》|H-d(e~{j、omega-1},eへ{j、oInega-2}）｜’）；%円対称ハミング窓

[n1,,2］＝meshgrid(-M/2:M/2）；

r＝sq工t(n1．へ2十,2．へ2）；N＝20；

R＝sqrt(n1．へ2+n2.'､2）〈N；

win＝（0．54＋0．46*COS(pi*r,／N)）．*R；

%窓関数によるFIRフィルタ

h＝fwmd2(Hd,win）；

subpﾕot(2，2，2）；

Inesh(n1,,2,h)；

axis（[-M/2M/2－M/2M/2－0．10．2]）；

xﾕabeﾕ('n-1'）；ylabeユ（'n-2'）；zﾕabel（,h(n-1,,-2），）；

%設計されたF工Rフィルタの振幅特性

[H,fl,f2］＝freqz2(h)；

wl＝fl＊Pi；w2＝f2*Pi；

subpﾕot(2，2，3）；Inesh(W1，W2,abs(H)）；

axis（[‐pipユーpipiO1]）；xlabeユ（'、omega-1［rad]’）；

yﾕabel（'、olnega-2［rad]，）；zﾕabeﾕ(，|H(e令{j、omega-1｝,e今{j、olnega-2}）｜，）；

、2 ，，

（b)設計されたFIRフィルタの

単位インパルス応答h,(n,,n2）

(b)Unitimpulseresponse月(､1,,,2）

ofthedesignedFIRfilter

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No．6，November2001

５０

０

例ｓ『①卓亭ｇ『①）工一

－2

⑩2[radl‐2の，［rad｝

（c)設計されたFIRフィルタの

振幅特性H(e”1，e”2）

(c)MagnituderesponseH(e"',ej"2）

ofthedesignedFIRfilter

窓関数法によるFIRフィルタの設計

Designof2-DFIRfilterbywindowing

method

図6．9

Fig.6．9

1次元零位相FIRフィルタの伝達関数H,(z)は高

次の場合でも，計算機を用いれば容易に求められる。

適当な方法で設計された1次元零位相FIRフィルタ

の単位インパルス応答を月,(k)(た＝－1V～Ⅳ）とすれば，その周波数応答は

Hi(e”）

IV

E向,(ん)e-伽ルー－IV

jV

向,(O)＋E2M’)cCs(k"）ん＝1

N

α(0)＋Eα(k)(COS")臆（39）ん＝1

のように，cOSUの多項式の形に変形できることが知

られている。

一方，2次元零位相FIRフィルタの単位インパルス

応答h2(､1,,2）(､1,,2＝－Ⅳ～Ⅳ)の周波数応答は

jVjV

H2(eﾙ1，eﾙ2)＝EE九2(",,"2)e-j"'"1－…”,＝－JV”2＝－N

＝ん2(0,0)＋EE2ん2(",,"2)cCs(",",+伽2)(40）（",,n2)ES

と書ける。ただし

S {(､,,､2)｜、,＝O～Ⅳ,､2＝－1V～Ⅳ，

ただし(､,,､2)＝(0,0)を除く｝（41）

ここで，1次元周波数応答H,(e”)から2次元周波数

応答H2(e”',e池2）を得るために，1次元周波数⑳と

2次元周波数((JMﾉ2）の間の変換cCs(』ノー抑1,(4ﾉ2）

を導入し，H2(e”',e池2）を得る。すなわち

H2(eJ"',e”2)＝H,(e”)|c…=抑,,"2）（42）

ただし

9((』’11(4ﾉ2)＝A＋BCOS"1＋CCOS"2

＋Dcos(LJ1-(4ﾉ2)＋ECOS("1＋LJ2)(43）

ここで，A,B,C,D,Eは2次元周波数の特性を制御

するためのパラメータである。上式のような変換をマ

クレラン変換という。例えば

A=-妾B=c=;,D=E=；（44）とおけば，円対称に近い2次元の低域フィルタを1次

元の低域フィルタから導くことができる。

406

式(42)を満足するH2(e”1，e”2）の単位インパル

ス応答〃2(”,,､2）を求めるために，式(42)の右辺を

変形すれば，H,(e”）は次のように書き換えられる。

IV

H,(e'")|…=卯,,"2)=α(0)＋Eα(k)[卯,,"2)]＆k＝1

＝62(0,0)＋EE2b2(",,"2)cCs(",",+"2"2)(45）（72,,732)ES

したがって，上式と式(40)を等しいとおけば，ん,(k）

からﾉ12(､,伽)が求められることになる。MATLABでは，マクレラン変換による2次元FIR

フィルタの設計法として，ftrans2がある。

【例題6.7】図6.10(a)，（b）に示される1次元FIRフィルタは，カイザー窓により設計された

FIRフィルタ（長さ39，第4回の第3章の例題

4.3を参照）である。この1次元FIRフィルタに

マクレラン変換(式(43）と式(44))を適用して2

次元FIRフィルタを設計し，その単位インパル

ス応答と振幅特’性を図示せよ。

【Program6.7】（6.10,6.11）%マクレラン変換による2次元FIRフィルタの設計

Clear；

%カイザー窓による1次元FIRフィルタhl

wp＝0．4*pi；WS＝0．6*pi；

a1pha＝6．0；N=39；

wc＝（wP+WS)/2；

hl＝firl(N－1，Wc/pi,kaiser(N,a1pha)）；%インパルス応答hlと振幅特性H1の表示

、＝0:N－1；

subplot(2，2，1）；steIn(n,hl）；

axis（[ON－1－0．10．6]）；grid；

x1abel('TiInen'）；ylabeﾕ('h－1(､)，）；

w＝ユinspace(-pi,pi-pi/512,512)；

H1＝freqz(h1,1,W)；

subplot(2，2，2)；

p1ot(w,abs(H1)）；

axis（[-PiPi01．2]）；grid；

xlabe1('Frequency、omega［rad]，）；

y1abel(，|H-1(e~{j、omega}）｜，）；%マクレラン変換

h2＝ftrans2(hl）；

%2次元インパルス応答h2と振幅特‘性H2の表示

nl＝0:N－1；n2＝0:N－1；

subp1ot(2，2，3)；mesh(n1,,2,h2）；

axis（[ON－10N－1－0．10．25]）；

JournaIofSignalProcessing,Vol､5，No．6，November2001

１５０

０

（ザ一の↑』９－①）図工’

｡；

JoumalofSignalProcessing,Vol,5，No．6，November2001

２１０

００１０

（Ｎ匡邑戸匡）Ｎ垂

0.4

の|①

三一

二0．2

"…i割jtfⅡW|…、０］

、2 00n，

(a)単位インパルス応答

(a)Unitimpulseresponse

0102030

Time、

(a)1次元FIRフィルタの単位インパルス応答

(a)Unitimpulseresponseofal-DFIRfilter

本基礎シリーズの第1回～第5回については主に拙

著I8lを参考にして構成し，第6回については主に拙著

[5]を参考にして構成したものである。ただし，書籍とは異なり，本シリーズの紙幅の制約の都合上，ディ

ジタル信号処理の基礎的な概念と方程式を与えること

にとどめざるを得ないため，実際に多数のMAjrLAB

のプログラムを実行することで内容が理解できるよう

に執筆するようにつとめた。

9．おわりに

407

βｊＪｌｌｌｌ垢・ｑ。

。ｏｌＩｊＩｊⅡＩｊＩＩＩｌｂ

』。。ｌｉ剤Ｊｌｊ，ｊ’ＪＪ

１１

８６４

０００

－垂二①）一工一

0.2

0

‐ 2O2

Frequencyの[rad］

（b)1次元FIRフィルタの振1幅特性

(b)Magnituderesponseofal-DFIRfilter

図6．101次元FIRフィルタ

Fig.6．101－DFIRfilter

（b)設計された2次元FIRフィルタの

振幅特性

（b)Magnituderesponse

図6．11マクレラン変換による2次元FIRフィルタ

の設計

Fig.6．11Designof2-DFIRfilterbyMcClellan

transfbrmation

ｊ

ｊ

２１２

．，．，

、．ｊｊ

，．，ｊ；

１，ｊ

くＪ２．１１１

１，ｈＰＯｄｄ

ｅｊく＊ａａ

ｂ２２２Ｊ・１ｒｒ

ａ一ＺｆｊｐＥＥ

１，ｑ２

ｙ，ｅ一一Ｈ１１２

１工；くＰ一一

◇，一ｆ２ＪＳ一ａａ

ｊｎＷ４ｂｇｇ

，く一一，ａ・１ｅｅ

ｌ２．，２，Ｐ、ｍ

’－１．１－２ＯＯ

ｎｈ２Ｐ２Ｗ・１、、

，，ｆ＊く，Ｐ，，

くく，１ｔ１一くく

工１１ｆＯＷに１１

ｅｅｆ１くくｅｅ

ｂｂ，一一ＰｈＳｂｂ

ａａ２ｂＳ・工ａａ

鯉型阻刺釦咋郵狸虹

MAjrLABは極めて強力で便利な道具である。この

ため，ともするとディジタル信号処理において重要な

たたみこみ，フィルタリング；変換などのアルゴリズ

ムが見えにくくなってくる。そこで，重要なアルゴリ

ズムがMATLABのプログラム中に現われるように配

慮したつもりである。読者の方々のご意見。ご批判を

いただければ幸いである。

なお，本基礎シリーズで示したMATLABのプログ

ラムは以下のページからダウンロードできる。この

プログラム中には，本文中のプログラムでは記載でき

なかった注釈も十分にはいっており，記述がよりわか

りやすくなっているので，ご利用いただければ幸いで

ある。

http://www､1,k.ecei・tohoku・ac.』p/jspmatlab／

zlabeﾕ(，lH-2(eﾍ{j、omega-1｝,eへ{j、omega-2}）｜》）；

10．謝辞

信号処理学会会長谷萩隆嗣先生には，一年間にわ

たる基礎シリーズの連載をすすめていただき，シリー

ズの執筆に関して有益なご助言をいただきました。こ

こに心から感謝いたします。また，萩原瑞木君と橋本

敬太郎君（東北大学大学院工学研究科電子工学専攻）

には，原稿を読んでいただき，式や表現の誤りを訂正

したいただきました。ここに深く感謝いたします。

参考文献

[1］、E・DudgeonandR･MMersereau:Multidimensional

DigitalSignalProcessing，Prentice-Hall，1984．

[21A・KJain:nmdamentalsofDigitallmageProcessmg，

Prentice-Hall，1989．

[3］J・SLim:Two-DimensionalSignalandlmageProcess‐

ing，Prentice-Hall，1990．

[4]W-S､LuandA・Antoniou：Two-DimensionalDigital

Filters，MarcelDecker，1992・

[5］川又政征，樋口龍雄:多次元ディジタル信号処理,朝倉書店，1995．

16］雛元孝夫，浜田望，川又政征，田口亮,村岡輝雄:2次元信号と画像処理,計測自動制御学会,1996．

[7]H・Schr6derandH・Blume:One-andMultidimensional

SignalProcessing，Wiley,2000．

[8］樋口龍雄，川又政征:MAjrLAB対応ディジタル信号処理，昭晃堂，2000.

408

川又政征1982年東北大学大学

院工学研究科電子工学専攻博士課程修

了，1995年同通信工学科教授，1997

年東北大学大学院工学研究科電子工学専攻教授。この間，1次元および多

次元ディジタルフィルタの設計，知的

信号処理，画像・映像処理などに関す

る研究に従事。1984年度計測自動制

御学会論文賞，1996年度計測自動制

御学会著述賞，1997年第11回日

本IBM科学賞を受賞。電子情報通信

学会，計測自動制御学会，情報処理学

会，映像メディア学会，IEEEなどの

会員。IEEESeniorMember(1992)。

郡

《》舗聴・ぃ岬。

督霞が側

畏

、為爵．

JoumaIofSignalProcessing,Vol5，No．6，Novembe｢2001