JoumalofSignalProcessing,Vb1．5，No.2，pp105-114,March2001

篭

基礎シリーズ MAmLABで学ぶディジタル信号処理の基礎（全6回）

MATLABで学ぶディジタル信号処理の基礎

IntroductiontoDigitalSignalProcessingwithMAjrLABExercises

一第2回離散フーリエ変換と高速フーリエ変換一

－2．DiscreteFourier'nansfbrmsandFastFourier‘nansfbrms-

川又政征＊

MasayukiKawamata＊

壷韓》

》鍵

蕊

JournalorS且gnalProcessmg

●

信号処理

弔

中

ｑ

、

喝

。

●

３

号

’

●

塊

副

、

●

Ｐ

４

別

甘

箔

、

基礎シリーズ MA(ILABで学ぶディジタル信号処理の基礎（全6回）

MATLABで学ぶディジタル信号処理の基礎

IntroductiontoDigitalSignalProcessingwithMA皿LABExercises

-第2回離散フーリエ変換と高速フーリエ変換一

一2．DiscreteFourier1IhfansfbrmsandFastFourier'Iiansfbrms-

川又政征＊

MasayukiKawamata＊

1．はじめに

第2回の基礎講座では，フーリエ解析の一つである

離散フーリエ変換とその高速計算手法について学ぶ。

フーリエ解析は関数の解析や微分方程式の解法のため

の重要な数学的手法であることはよく知られている。

その利用分野は数学や物理学にとどまらず，工学的な

領域では信号処理，画像処理，通信，システム制御，

回路網理論など極めて広い。

離散フーリエ変換は有限長の離散時間信号から有限

長の数列としての変換を求める計算法であり，順変換

も逆変換も乗算と加算によって実行される。このため，

フーリエ積分や離散時間フーリエ変換とは異なり，コ

ンピュータプログラムやディジタルハードウェアとし

て容易に実行可能なものとなっている。

今回は，離散時間フーリエ変換から離散フーリエ変

換を導き，この直接的な計算法は計算量が多く効率的

ではないことを示す。次に，離散フーリエ変換の効率

的計算手法である高速フーリエ変換の導出の考え方を

紹介する。また，離散フーリエ変換の直接的な計算法

と高速フーリエ変換の計算量をMATLABを用いて実

験的に比較することで，高速フーリエ変換では計算量

が激減することを確認する。

*東北大学大学院工学研究科電子工学専攻

〒980-8579仙台市青葉区荒巻字青葉05

，IbhokuUniversity,Sendai980-8579，Japan

E-mail:kawamata◎ecei､tohoku.ac・jp

本講座のMAmLABのプログラムは以下のページから入手できる。

http://ww.nk.ecei.tohoku､ac・jp/jspmatﾕab／

JournalofSignalProcessing,Vol､5，No．2，March2001

2．離散フーリエ変換

2.1順変換

離散フーリエ変換を導出するために，Ⅳ点の信号

鰯(0),z(1),〃(2),…,鰯(Ⅳ－1)の離散時間フーリエ変

換X(e池）をまず考えよう。すなわち

x(e抑）

jV－1

E鰯(")e-”",“＝一派一汀（1）”＝0

（あるいは“＝O～27T）

ここで，周波数⑳の基本区間は－7T～7Tあるいは

0～27rであることを考慮し，27rを1V等分した値の

周波数蝶＝27rMVのみにおいて変換X(e”）を計算するものとすると，上式から次式を得る。

…‐言…･(-糾片＝0,1,2,…,jV－1（2）

上式は離散時間フーリエ変換(1)において周波数のき

ざみ幅を2打/Ⅳとしたことに相当する。上式の記述の簡略化のために以下のような記法を定義する。

X(ん）＝X(ej等偽)，片＝0,1,2,…,IV－1（3）

恥＝・翼,(-'等）“これらを用いると，式(2)から次式が得られる。

jV－1

x(ん)＝E”＝0

鯵(")Wjy‘，k＝0,1,2,…,IV－1（5）

105

上式で示されるような信号〃(､）からx(k）を求

める演算はⅣ点離散フーリエ変換(discreteFourier

transfbrm,DFT）とよばれる。｜X(片)｜は信号〃(､）

の振幅スペクトル(magnitudespectrum)とよばれ，

とX(k）は位相スペクトル(phasespectrum）とよばれる。

以上の説明では，離散時間フーリエ変換の計算を離

散的な周波数上でのみ行うことでDFTを導出してい

る。このため，Ⅳ点信号z(､）に対するDFTX(ん）の物理的な意味は離散時間フーリエ変換と同じもの

となる。すなわち，Ⅳ点信号〃(”）は様々な周波数

(⑳ルー2,rMV,k＝0～jV-1)の複素指数関数WlIy‘の重ね合わせによって構成される。このとき，信号

z(")には周波数蝿の複素指数関数x(k)w1y,が入っ

ていることをDFTX(ん)は意味している。このとき，

複素指数関数x(k)w)Iy，の振幅は|x(k)|であり，位

相はとx(ﾙ)である。

いま，DFTの計算を簡潔に記述するために以下の

ようにベクトル錘,Xと行列Wjvを定義する。

お＝［z(O),錘(1),…,鰯(IV-1)］

X＝［X(O),X(1),…,X(Ⅳ－1)1

1鰯l帆f霧雲川副

(6)

(7)

(8)

このとき，式(5)は以下のように書き換えられる。

X＝”WiV（9）

ここで“t”は行列の転置を表す。

22インデックスkと周波数の対応

Ⅳ点DFTの導出における式(1),(2),(3)から，周

波数を表す整数のインデックスハは周波数⑳ルー帯A，[rad]に対応していることになる。周波数⑳として正

負の範囲の周波数を考えたい場合には，インデックス

kの前半o～[筈｣－1は正の周波数恥＝等A；に対応し,インデックス聡の後半[署｣～Ⅳ－1は負の周波数恥＝－2汀十等舟に対応することになる1．これはe池が周期27rの周期関数であることによる。

lHoor関数回は9cよりも小さくZに最も近い整数値を表す。

106

DFTを利用する場合には，以上のようにインデッ

クスハの大きさが直接には周波数の高低に対応しな

いことに留意する必要がある。このため，インデック

スの後半を負の側にシフトしてDFTを表示し，DFT

のインデックスと物理的な周波数の対応が明確になる

ように表示することがある2。

2.3回転因子

DFTとIDFTにおいて用いられるWﾒｱ，＝

exp(-j2汀加/Ⅳ）は複素平面上の単位円の円周上を

27『/1Vごとに動く点を表し，回転因子(twiddlefac‐

tor)とよばれる。次式のように，回転因子W;；はべきpに関して周期Ⅳで周期的であることに注意して

ほしい。

昭＝w'1;F十mⅣ，任意の整数、とpに対して（'0）

したがって，p＝0～Ⅳ－1の範囲のⅣ個の回転因

子w爵が独立な値である。ハードウェアやソフトウェアによってDFTを計算するときの記憶容量や計算量

を削減するために，この周期性を利用できる。

【例題2.1】式(9)の形式を利用して，入力信号

"(､)に対してDFTX(ん)を求めるMATLABの関数drtを定義し，以下の信号に対してDFTを

求めよ。また，信号と振幅スペクトルを図示せよ。

〃(､)＝巳,1,1,1,0,0,0,0］（11）

【Program2.1】（図2.1）%離散フーリエ変換の計算例

Clear；

x＝［11110000]；

n＝0:1ength(x)－1；

subp1ot(2，2，1）；

steIn(n,x)；grid；

axis（[Oユength(､）min(x）max(x)]）；

xlabel('tiInen'）；yﾕabe1('x(､)，）；X＝dft(x）

magX＝abs(X）

k＝n；

subpﾕot(2，2，2）；

stem(k,magX)；grid；

x1abeﾕ('frequencyk，）；y1abeﾕ(,|X(k)｜，）；

kshift＝k-noor(length(k)/2）；

2MATLABでは，このために関数壬ftshi玉tが用意されている。

JoumalofSignaIProcessing,Vol､5，No.2，March2001

Xshift＝fftshift(X)；

magXshift＝abs(Xshift）；

subp1ot(2，2，3)；

stem(kshift,InagXshift）；grid；xﾕabel(，frequencyk'）；ylabeﾕ(，|X(k）｜，）；

シーク、夕、望

８６４２０

●

。

●

００００

（こ）×

以下ディスプレイの表示

ヘヘへ

107

X＝

Columnslthrough44．00001．0000－2．4142i

Co1umns5through8

(以下省略）0 2 468

time、

(a)信号〃("）

(a)Signalz("）

ｎ．Ｋ

、ノ

●，《

ｘ４Ｌ

〃ｌ

、ノ

ｔＮＮ

《工。．ノ／

換．０．１，△

刻変一一兆一一＊（色

２工幻ａｋ・‐．、Ｊ、，

＊

ｍⅧリｒＬ、、。，ｎ－ｊ

ａ－ｍ噂旧刈狐Ⅷ

ｒフ・１ｅ・．ｋｅ＊

昭散此１０

ｘ

一一一一

凹離皿一一一一

一一

ｒＬ〃ん《工Ｎｎ肋ＷＸ

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No.2，March2001

4

3

２エ）×

2.4逆変換 0

0 2468

frequencyk

（b)振幅スペクトル|X(ん)｜

(b)MagnitudespectrumlX(k)’

Ⅳ点のDFTX(ん)(ん＝0～jV-1)から信号z(､）

を求める変換は離散フーリエ逆変換(inversediscrete

Fburiertransfbrm,IDFT）とよばれ，次式で与えられる。

‘{昨随x岬繍)丁側＝詩(言x…)。側

上式の右辺の括弧の中の計算はx*(ん）をⅣ点の信号と考えたときのDFTを計算を行っていることがわ

4

3

忽(")=癌x(岬諏,"=叩ルル‘ん＝0

（12）

式(9)のDFTに対応するIDFTの形式を求めるため

に，行列Wjv…を以下のように定義する。

２ヱ）×

0

- 4 ‐ 2 0 2 4

frequencyk

W7jv…＝

畷iⅧ（c)インデックスをシフトして表示した振幅

スペクトル|x(k)｜

(c)MagnitudespectrumlX(k)lwithshiftedind

ⅣⅣ

一一脈

噸

××

０１

町脈

lX(k)lwithshiftedindexk

W1v(jv-')×(lv-'）WIvUv-1)×1 図2．1離散フーリエ変換の計算例

Fig.2．1ExampleofDFT(13）

式(12)のIDFTは，ベクトルX,錘と行列Wjv…を用いると，以下のように表される。

”=完xw… （14）

IDFTを実行するために，次のようにして順変換(5)

を使うことができる。まず，複素共役を2重に用いる

と，逆変換（'2)が以下のように変形できることに着目する。

ン、＝

夕q夕可 夕、 夕

” L 戸 、 皿 Lへ

↑？

｡｡申■ULU■参

Jl

夕

心｡｡P●①◆七●

1寺●●■●a1

p●●●●◆●1

↑

かる・したがって，上式が教えることは，DFTX(ん）

の逆変換を求めるためには，まずx(A）の複素共役

X*(k)のDFTを求め，その複素共役をとり，これを

1Vで割ればよいということである。複素共役を求め

る計算は複素数の虚数部の符号反転だけを必要とし，

特別な計算を必要としない。そこで，DFTとIDFT

の計算のために共通のソフトウェアやハードウェアが

利用できる。

【例題2.2】式(14）に従って，離散フーリエ逆

変換を実行するMATLABの関数idftを定義せ

よ。また，この関数を用いて，例題2．1で求めら

れたDFTX(k)からIDFTz(〃)を求め，それが

式(11）と一致することを確認せよ。

【Program2.3】%離散時間フーリエ逆変換

function［x］＝idft(X）

N＝ユength(X)；

n＝O:N－1；k＝0:N－1；

kn＝k･》＊n；

WNinv＝exp(-j*2*pi/N).へ(-k､)；x＝X*WNinv/N；

以下ディスプレイの表示

X＝

Co1umnslthrough41．001．00．－0．00i1．00－0．00i1．00－0．00i

Columns5through8－0．00+0．00i0．00＋0．00i0．00+0．00i0．00+0.OOi

【例題2.3】Program2．2で定義された関数dft

を用いて，式(16)に従って実行される離散フー

リエ逆変換の関数idftv2を定義せよ。

【Program2.4】%離散フーリエ変換を利用した逆変換

function［x］＝idftv2(X）

N＝ユength(X)；

x＝conj(dft(conj(X)))/N；

2.5離散フーリエ変換の直接計算法の計算量

Ⅳ点の信号〃(､)に対するDFTX(ん)は次式で与えられていた。

X＝記W1V（17）

ここで，信号のベクトル記は1×Ⅳベクトルであり，

行列WjvはⅣ×Ⅳ行列である。錘は一般には複素

108

数であり，Wjvも複素数である。上式の右辺に基づ

くDFTの計算を直接計算法(directcomputation)とよぶ。

いま，回転因子Wjvは何らかの方法であらかじめ

求められているとして，このための計算量は考慮して

いないことにしよう。このとき，式(17)の右辺から

DFTX(k)を求めるためには

Ⅳ×Ⅳ回の複素乗算

Ⅳ×(Ⅳ－1)回の複素加算

(18）

(19）

を必要するすることが容易にわかる。すなわち，直

接計算法の場合のⅣ点DFTの計算量はO(Ⅳ2）である。

たとえば，Ⅳ＝2'0＝1,024の場合，1,024点

DFTを求めるための複素乗算回数は，Ⅳ2＝220＝

1,048,576であり，複素加算回数はⅣ(Ⅳ－1）＝

2'0(2'0－1）＝1,047,552である。これは，約106

回の計算量であり，極めて大きな値となる。このため，

直接計算法はDFTのための実用的な方法とはいえ

ない。そこで，長い信号のDFTを計算するために，

Program2．2を用いることはすすめられない。

IDFTについても，式（14）に基づいて直接的な計

算を実行でき，この計算量もO(Ⅳ2)であることは容易に理解できる。このため，長い信号のIDFTを計

算するために，Program2．2や2．4を用いることはすすめられない。

3．高速フーリエ変換

3.1高速フーリエ変換の考え方

DFTを求めるための高速のアルゴリズムは高速フー

リエ変換(fastFouriertransfbrm,FFT)をよばれる。FFTのアルゴリズムは長い点数のDFTを短い点数の

DFTへと逐次的に分解することによって得られる。こ

の方法は，たとえばソーティングなどの高速のアルゴ

リズムを見出すときに用いられる分割統治法(divide‐and-conquer)の考え方を利用したものである。分割統

治法は，大きな問題を再帰的に小問題に分け(分割)，

容易に解ける小問題の解を統合して(統治)，もとの問題の解を求める方法である。たとえば，サイズがⅣ

のバブルソートの計算量はO(jV2）であるが，分割統

治法にもとづくマージソートの計算量はO(1V,｡gjV）となることはよく知られている。

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No.2，March2001

ここで紹介するFFTの原理は，信号の長さⅣが

2のべき乗の場合，すなわち整数pに対してⅣ＝2p

の場合のものである。この場合，信号を再帰的に2分

割してゆくため，基数2のFFT(radix-2FFT)とよ

ばれる。以下の基数2のFFTは時間のインデックス

、に着目してⅣ点の信号z(n）を半分ずつに分割し

てゆくことから，基数2の時間間引き形(decimation

intime)FFTとよばれる。

スハは0～Ⅳ－1まで広がり，一方，右辺のxO(ん）

とX,(ん)はⅣ/2点DFTであるため，そのインデッ

クスkは0～Ⅳ/2－1の範囲であることである。

いま，Ⅳ/2点DFTXb(k）とX,(k)に対して次の周期性が成立することに注意しよう。

ｊｊｈｋｉ

０１

ＸＸ

Xo(ん十Ⅳ/2）

Xo(k＋Ⅳ/2）

(27）

(28）

xb(ん）とx,(ん)はkに関して周期Ⅳ/2で周期的で3.2高速フーリエ変換の導出

あることから，式(26)の計算に支障はないことがわ

信号麹(卿)の長さがⅣ=2'(pは正整数)である次琴霊差裁雪関しても以下の周期性が成立式のⅣ点DFTを考えよう。

Wi;ﾅ号＝-W)I；（29）jV－1

X(ん)＝Ez(")WlIy‘,ルー0,1,2,…,jV－1(20）”＝o これらの周期性を系11用すると，式(26）は以下のよ

まず，図2.2のように，信号砥(､)のインデックス呪うに記述される。が偶数であるか奇数であるかによって〃(､)を二つの

X(k）＝Xo(ん)＋WjI;X,(ﾙ）（30）クラスに分ける。このとき，DFTX(k)は次のよう

X(A‘＋1V/2）＝Xo(k)－W｝I;X,(ん）（31）に記述される。

k＝0,1,…,Ⅳ/2－11V/2－1j V / 2 － 1

X(A‘)＝Z懇(2m)WjIi:伽十Z〃(2m＋1)W鳶(2m+'1上式から，Ⅳ点りFTX(ん）は二つのⅣ/2点DFTm＝0 m＝0

N/2－11V/2－l xO(k)とx,(k)に分割され，これらの線形結合によっ

＝E鰯(2m)W縦十WﾒｻE鰯(2m＋1)W脇て求められることが明らかになった｡jV＝8の場合に、＝0 m＝0 ついて，この分害1と統治を表す流れ図を図2．3に示す。

（21）Ⅳ＝2pの場合，このような分割はp＝log21V回だた＝O～Ⅳ－1

ただし け再帰的に行うことができる。すなわち，Ⅳ点DFT

は二つのⅣ/2点DFTから構成され,それぞれのⅣ/2

WjI;;2m＝WiI恥（22）点DFTはⅣ/4点DFTから構成され，…,それぞ噸(2m+'）＝WjI；.W縦（23）れの2点DFTは二つの1点DFTから構成される。

DFTの定義から1点DFTを求めるために演算は不となることを利用している。ここで

要であり，信号の値そのものがDFTとなる。

jV/2－1 以上の分割統治法の考え方に基づくFFTのアルゴ

XO(k)＝Z〃(2m)W)IﾘM＝0－Ⅳ（24）ﾘズﾑは再帰的構造を持ち,図24のように図示され、＝0

る。FFTの再帰的計算は以下のようにまとめられる3．JV/2－1

X,(ん)＝E鰯(2m＋1)W縦,肉＝0－N(25）FFTの再帰的計算：m＝O jvを2のべき乗の整数とする。1V点の信号〃(､）

とおけば，Xb(ん）とX,(ん)は双方とも1V/2点DFTのDFTX(ん)は次のように再帰的に求められる。であり，これらを用いて式(21）は以下のように記述 olV＝1のときできる。

(32）x(0)＝〃(0）X(ん)＝Xo(ん)十W；;X,(k),ルー0～Ⅳ－1（26）

109

3本講座では原理の理解のためにFFTを再帰的に記述して説明している。再帰的な関数の呼び出しは，ディジタル信号処理においては効率的とはいえない。そこで，実際の応用においては，FFTを再帰的関数呼び出しで実現することはすすめられない。

上式(26)において留意しなければならないことは，

左辺のX(k)はⅣ点DFTであるため，インデック

JoumaIofSignaIProcessing,Vol,5，No.2，March2001

0 2 3 4

，

(a)信号‘‘(､）

5 6 7

(a)Signalz(､）

へ

（仁）×

言十Ｆこ“）減

一上“）×

0 2 3

m

(b)偶数インデックスの信号懇(27,）

0 2 3

m

(c)奇数インデックスの信号2,(2m＋1）

(c)Signalz(2m＋1)ofoddindices(b)Signalz(2m)ofevenindices

図2．2時間間引き

Fig.2．2Decimationintimeofasignal

（

x(0）

x(2)

x(4)

x(6)

X(0）

X(1)

X(2)

X(3)

卜

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

図2．3二つのⅣ/2点DFTによるⅣ点DFTの計算(Ⅳ＝8の場合）

Flow-graphofthejV-pointDFTimplementedwithtwojV/2-pointDFTIFig.2．3 DFTsfbrjV＝8

110 JoumaIofSignaIProcessing,Vo1.5,No.2，Ma｢℃h2001

）

I IIUI，

↑ ↑ I7 I

夕

4

。Ⅳ≠1のとき

z0(、）

",(、）

(33）

(34）

XO(ん）

x,(ん）

x(k）

X(k＋Ⅳ/2）

"(2m）

"(2m＋1）

m＝0～Ⅳ/2－1

z0(、)のⅣ/2点DFT

z,(、)のⅣ/2点DFT

xb(ん)＋WjIix,(ﾙ）

XO(k)－W)I;X,(k）

k＝0,1,…,Ⅳ/2－1

(35）

(36）

(37）

(38）

【例題2.4】マニュアルではあまり述べられてい

ないようであるが，MATLABでは再帰的に関数

を定義することができる。そこで，前述のFFT

を実行するMATLABの関数recfftを再帰的に

定義せよ。また，次の信号に対して，プログラム

が正しく動作していることを確認せよ。

z(")＝巳,1,1,1,0,0,0,0］（39）

【Program2.5】%再帰的に記述される高速フーリエ変換の計算例

Clear；

x＝［11110000］；

X＝recfft(x）

以下ディスプレイの表示

X＝

COﾕuInnslthrough44．00001．0000－2．4142i

Columns5through8

(以下省略）

【Program2.6】%再帰的に定義される高速フーリエ変換

function［X］＝recfft(x）

N＝ユength(x)；

if2へfix(ﾕog2(N)）~＝N

error('Nisnotapowerof2'）；

end；

ifN＝＝1

X＝x；

e1se

In＝0:N/2-1；

xO＝x(2*m＋1）；

xl＝x(2*m+1＋1）；

XO＝recfft(xO)；

X1＝recfft(xl）；

JoumalofSignalPmcessing,Vol､5，No．2，Ma『℃h2001

end

k＝0:N/2-1；

Ⅶk＝exp(-j*2*pi*k/N)；

WNkX1＝WNk．＊X1；

X＝［XO+WNkX1，XO-WNkX1］；

3.3高速フーリエ変換の計算量

FFTが実際に効率的なアルゴリズムとなっている

ことを確認するために，計算量を求めてみよう。Ⅳ点

FFTの複素乗算回数を似(Ⅳ)とし，複素加算回数（減

算回数も含む）をα(Ⅳ）とおく。このとき，式(32）～式(38)から，複素乗算回数に対して次の差分方程

式が成立することがわかる。

“(Ⅳ'=2×似(筈)+署Jv≧，（‘01ただし，jv＝1のとき,〃(Ⅳ)＝0である。同様に，複素加算回数に対して次の差分方程式が成立すること

がわかる。

．(Ⅳ)=2xα(筈)+2×筈,Ⅳ≧，（411ただし，Ⅳ＝1のとき,α(Ⅳ)＝oである。

式(40）と式(41）は単純な1次の差分方程式であ

るから，容易に解くことができ，複素乗算回数〃(Ⅳ）

と複素加算回数α(Ⅳ)はそれぞれ次のようになることがわかる。

“(Ⅳ)＝吾logzⅣ（42）α(Ⅳ）＝Ⅳlog2jV（43）

したがって，FFTの複素乗算回数と複素加算回数は

ともにO(jVlog2jV)である。jVが実用的な大きさの

場合，この計算量は直接計算法の複素乗算回数と複素

加算回数のO(Ⅳ2）に比べて十分小さい値となる。

たとえば，Ⅳ＝2'0＝1,024のとき，1，024点FFT

の複素乗算回数は号log2jV＝512×10＝5,120である。この計算回数は前述のⅣ点DFTの直接計算の

計算回数の約1/200である。FFTの複素加算回数も

直接計算法の場合と比べて激減することが容易に確認

できる。したがって，FFTを用いると計算量が極め

て少なくなるため，実用的な処理時間でDFTの実行

が可能となるがわかる。

【例題2.5】DFTの二つの計算法の計算量を

MATLABで実測し，比較をしてみよう。Ⅳ＝

111

N点DFT

112

血馴や淵I《）x(2m）x(､） N/2点DFT X(k）

十十wIiW；1

－岸

X'(k）

＋

N/2点DFTX(k+N/2）x(2m+1）

図2．4FFTの再帰的構造

Fig.2．4RecursivestructureofFFT

1,2,4,...,29の信号〃(､)に対して,Program2.2

のdft，Program2．6のrecfftの計算量を求め，

比較せよ。ここで，信号として正規白色乱数を用

いよ。MATLABでは，計算量を求めるために関

数flOpSが準備されている4。

て，FFTの計算量が極めて少ないことがMATLABに

よっても確認された。

3.4JVが2のべき乗ではない場合のFFT

信号の長さⅣが2のべき乗ではない場合において

も，Ⅳが合成数ならば，分割統治法を適用すること

ができ，計算量の少ないアルゴリズムを求めることが

できる。ここでは，その考え方の概略を説明しよう。

いま，Ⅳが合成数5であり，Ⅳ＝L×Mのように

分解できるとしよう。たとえば，Ⅳ＝15は2のべき

乗ではないが合成数であり，15＝3×5のように分解

できる。このとき，Ⅳ点DFTは以下のような手順で

計算できることが知られている[3,41.

1.JV点の信号を長さLのM個の信号に分割する。

2．M個のL点DFTを計算する。

3．L個のM点DFTを利用して，2．のDFTを

結合し，Ⅳ点DFTを求める。

51を除く複数の整数の積として表される自然数を合成数という。

【Program2.7】（図2.5）%dft.mとrecfft.mの計算量の測定

Clear；

pmax＝9；

N＝2.会(O:pmax)；

x＝randn(1，N(end)）；

%dft.mの計算量

form＝1:(pmax+1）

fﾕops(O）；

X＝dft(x(1:N(､)））；

dft-flops(､）＝nops；end

%recfft.mの計算量

form＝1：(pInax+1）

nops(O)；

X＝recfft(x(1:N(､)））；

recfft-fﾕOPS(､）＝nops；end

%計算量の図示

logﾕog(N,dft-fﾕOPS,，o''11，recfft-f1ops，'＊'）；xlabel('LengthofsignaﾕsN'）；yﾕabel('Numberofoperations'）；

1egend('d壬t・In'，'recfft.m'’2)；grid；

このような分割統治法を利用した場合，複素乗算回

数〃(ML)は

"(ML)＝ML2＋ML＋LM2 （44）

となることが知られており，これは直接計算法のlV2

より小さくなる。たとえば，Ⅳ＝15＝3×5のとき，

"('5)＝135＜225＝,52である。もし，MとLが

合成数ならば，このような分割統治法をさらに適用す

ることで，計算量をいっそう削減することができる。

一つの整数7．に対して，Ⅳ＝rsと表せるとき，分

割はs段階行うことができる。このようなFFTは基

数γのFFTとよばれる。最も単純で効率的なプログ

図2．5の実験結果から明らかなように'直接計算法の

場合，信号の長さⅣに対して，計算量がO(Ⅳ2)で急激に増加している。一方，FFTの場合には，計算量の

増加はO(lVlog2jV)であり，緩やかである。したがつ

4f1opsは浮動小数点演算量の累積数を出力する。flops(0）は累積数を0にリセットする。

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No.2，March2001

8

10

113

7

10

6

10

５

４

３

ｈＵｎＵ《Ｕ

ｑｌ

ｄｌ

１０

のこ◎一馬』のＱ◎｝。』のｐＥ．Ｚ

10

10

0

1020

10 10 10 10

LengthofsignaIsN

図2．5離散時間フーリエ変換の直接法とFFTの計算量の実験による比較

Fig.2．5ComparisonofthenumberofoperationsofdirectcomputationandFFT

対して，関数fftで高速フーリエ変換を実行し

て，Ⅳとfftの計算量の関係を実験的に求めよ。

なお，信号として正規白色乱数を利用せよ。

ラムを組むことができるFFTは，前述の基数2の

FFTである。Ⅳが合成数の場合には，素因数分解に

より，Ⅳ＝pi1p;2…のように分解できることが知られている。この分解に基づくFFTは混合基数FFT

とよばれる。

もし，Ⅳが素数のときには，1Vは分解できない。

この場合には分割統治法は適用できないため，Ⅳ点

DFTのために直接計算法を用いざるを得ない。

6同様にIFFTのために関数i迂tが用意されている。

【Program2.8】（図2.6）%fft.mの計算量の測定

Clear；

Nmax＝512；

N＝1：NInax；

x＝randn(1，Mnax)；

fft-flops＝zeros(1，Nmax)；%fft.mの計算量

forM＝N

fﾕOPS(0）；

fft(x(1:M)）；

fft-f1ops(M）＝fﾕOPS；end

%計算量の図示

ﾕoglog(N,fft-nops，,．’）；grid；

xﾕabel（'LengthofsignaﾕsN'）；

yﾕabel('Numberofoperations'）；

3.5MATLABの関数fft

MATLABでは様々な長さNに対して適用できる

FFTとして関数fftが用意されている6．信号の長

さNに適したFFTのアルゴリズムをfftは選択す

る。Ⅳが素数の場合には直接計算法が選択され，Ⅳが

2のべき乗の場合には最も効率のよい基数2のFFT

が選択され，1Vがその他の合成数の場合には混合基

数FFTが選択される。fftは機械語で書かれており，

極めて高速である。そこで，MATLABでDFTを実

行する場合には，関数fftを利用することを強くす

すめる。

計算量を図示した図2．6から，fftの計算量につい

て以下のことがわかる。

【例題2.6】1V＝1～512のそれぞれの長さに 1.2のべき乗のⅣ(1,2,4,8,…)に対しては，fft

の計算量は極めて少なく，O(jVlog2jV)である。

JoumaIofSignalProcessing,Vol､5，No.2，March2001

7

0

114

Z.'B凸aC●■■?毛■■■･と

、4■●●●pず③■●gg

pef■■■･■ず■▼e2.

5GJq■●●■JOC●rq

r■｡■●b中OG｡』今

。r・■｡｡｡刀■・・・fロ･＄．･0．，

0凸｡■自伊●●④"●●l●らqqq

D■■■■■自陣｡①■■■■■己●“q

■■■①●●③■●1①■qq

理●①

廿●■

“。Ｊ●５町。

Ｊ１Ｇ酢ｊ

Ｊ・叩』■①ロ

さげ■毎■凸

阜Ｑ毎」？●ロ

6

0g■画q、､，･U■①geﾛ4も、

Q■■■■●ゅ●●Q①GBザ●d

gC･①旬■fP旬3句凸DDfJ

●凸ら●｡■4･■1③●■､4"ざ

.．．．．．．．I．．:.．，』

〉．．．．．．母やUざ。■

視●0心09

自由f■ざ■凸｡

IEEESeniorMember(1992)．

5

0、甲ザウむら■■

、今Ｆ夕■Ｑｒ

Ｌ●ク伊垂■■■

い草ＦＦ』ｂＯＢ

４

３

ｎＵ（Ｕ

寺Ｉ

４１

吻匡ロ一一ｍ」①巳○一○』のＤＥコヱ

！＄qP

■●■

■●

ＪＪ‐‐Ⅱ。‐‐‐‐

Ｐｑ令牌淋》》曲り

●●

酔一咽邪心叩・巳・口

ｑお魂鵡叩・・叩

“・●且↓？”

●？。αＱ塵。。

。：恥《●。②Ｊ〃。

４。。。。●。・

毎■■■■ｅ由■●■■

やＪ亜誰》唖心的・叩

■■■■■●■①●■

■Ｑ●凸甲●■旬■

ＤＰ０℃”す少も”●

凸●争寺●●？■●

■●■●凸■凸●■

，①●■①●甲qG,、■■ Uel

■早早勺

･ ･･ 甲･ P･ ㎡● ･･ ･~ ･･ ．‐ ｡｡ ｡

●●6凸●

｡画■●■＄■●■b●、｡■■DP●』

P●.■.■●

、■■ワ』由

2

0●。■。■字卓国

》●＄■■■

町■凸ｄ◇■。●

》』●。ｂ』やや

色色Ⅱ ＆■■■■■昭

画I

109 ２

（Ｕ

，１

3

1010 10

LengthofsignaIsN

図2．6MATLABの関数fftの計算量

Fig.2．6NumberofoperationsofMATLABfImctionfft

2.素数のⅣ(3,5,7,11,…)に対しては，fftの計

算量は極めて多く，O(ZV2)である。

3．その他のⅣについては，fftの計算量は2の

べき乗と素数の場合の間にあり，o(Iv,Ogjv)～

O(IV2）である。

参考文献

[1］A､V・OppenheimandR､WShafbr(伊達玄訳):ディジ

タル信号処理，（上），（下）コロナ社,1978．

[2］佐川雅彦，貴家仁志:高速フーリエ変換とその応用,昭晃堂，1992．

[3］L､B,Jackson:DigitalFiltersandSignalProcessingwith

MAJrLABExercise，ThirdEdition，KluwerAcademic

Publishers，1996．

[4]V・KIngleandJ.G・Proakis:DigitalSignalProcessing

UsingMATLAB，PWSPublishingCompany,1996．

[5］樋口龍雄，川又政征:MATLAB対応ディジタル信号処理昭晃堂，2000．

[6]http://www.mk・ecei・tohokuac.』p/dsptext／東北大学大学院工学研究科電子工学専攻，2000.

4．おわりに

第2回の講座では，紙幅の都合上，離散フーリエ

変換の性質と信号処理への応用については述べること

なく，おもに離散フーリエ変換と高速フーリエ変換の

計算手法について説明した。離散フーリエ変換の性質

と信号処理への応答については文献[1]-[51などを参考にしていただきたい。また，本講座では高速フーリ

エ変換のアルゴリズムの詳細な流れ図を与えることな

く，高速フーリエ変換の導出の考え方と計算量を求め

た。高速フーリエ変換の流れ図は極めて規則正しい構

造をもっており，この中にバタフライ回路やビット逆

順などの重要な特徴が現れる。これら特徴についても

前述の文献などを参照していただきたい。

なお，文献[5],[6]には，本講座で与えられたもの

とは異なる直接計算法と基数2の高速フーリエ変換

のためのMATLABのプログラム(mydft，my笠t)が掲載されているので，ご覧いただきたい。

、

川又政征1982年東北大学大学

院工学研究科電子工学専攻博士課程修

了，1995年同通信工学科教授，1997年東北大学大学院工学研究科電子工

学専攻教授．この間，1次元および多

次元ディジタルフィルタの設計，知的信号処理，画像・映像処理などに関す

る研究に従事．1984年度計測自動制

御学会論文賞，1996年度計測自動制

御学会著述賞，1997年第11回日本

IBM科学賞を受賞．電子'情報通信学

会，計測自動制御学会，情報処理学会，映像メディア学会，IEEEなどの会員．

唾

JoumalofSignalProcessing,Vol､5，No.2，March2001