jst - 筆記競技...筆記競技 平成30年3月16日 注意事項...
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筆記競技
平成30年３月16日
注意事項
１．競技開始の合図があるまでは，問題冊子を開いてはいけません。
２．問題冊子はこの表紙以外に２ページから55ページまであります。競技開始の合図で全ページ印刷されている
ことを確認してください。競技中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁，解答用紙の汚れ等に気付
いた場合は，手を挙げて監督者に知らせてください。
３．競技開始の合図があったら，解答用紙の表紙の所定の欄に，学校名，チーム番号，学年，氏名を記入してく
ださい。また，すべての解答用紙の所定の欄に学校名，番号を記入してください。
４．競技においては，チームのメンバーと話し合って解答して構いません。一人あたりの解答数などの決まりは
ありませんので，チームで作戦を立てて問題に取り組んでください。
５．解答はすべて解答用紙に記入してください。解答用紙以外は採点しません。
６．問題冊子は競技終了後回収します。
７．問題は第１問から第12問まであります。問題用紙はばらしても，どの問題から取り組んでも構いません。
８．直定規，電卓については机の上に用意されたものだけを使用してください。
９．図書や携帯電話等外部と接続可能な電子機器の持ち込みを禁止します。
10．問題用紙，計算用紙は持ち帰ることはできません。
11．終了の合図があるまで，監督者の許可なしに，会場の外に出ることはできません。気分が悪くなったとき，
トイレに行きたくなったときは，手を挙げて監督者に知らせてください。
12．競技終了の合図で，すぐに筆記用具を置いてください。その後，指示にしたがい表紙を一番上に，次に解答
用紙をページの順に重ねてクリップ留めしてください。
13．本競技の合計得点第１位と第２位の学校には協賛企業から表彰があります。得点が同じチームが複数ある場
合は，満点の問題の数の多いチームを上位として，第１位と第２位を決定します。満点の問題の数も一致す
る場合は，満点に一番近い得点の問題の数の多い学校を上位とします。
― 2 ―
多くの昆虫や小さなハチドリは翅はね
や翼を素早く羽ばたくことにより，空中の１点に留まる
ホバリングができる。このとき翅や翼は重力に抗する上昇力を発生させるだけでなく，横方
向にも一定位置に留まるための力を発生させる必要がある。ここでは，上下方向についての
み考えることとする。上昇力は翅や翼の振り下ろしによって発生する。翅や翼が周囲の空気
を押し下げることによって，空気からの反作用力が翅や翼に加わり，これによって昆虫やハ
チドリは押し上げられる。この翅や翼は振り上げの際にかかる力が小さくなるようにできて
いる。運動時に翅や翼に作用する力を図１に示す。
ハチドリ ミツバチ
図１ 飛行中に翅や翼等に作用する力
翅や翼に作用する力
時間
上向き
力
下向き
振り下ろし
振り上げ
第１問
― 3 ―
以下，昆虫を例にして考えてみよう。昆虫が翅を振り上げる際には，重力によって落下す
る。その後，翅を振り下ろすことで上向きの力が発生し，昆虫はもとの位置に戻る。したがっ
て，昆虫の鉛直方向の位置は羽ばたきの周波数に合わせて上下に動いている。昆虫が羽ばた
きの合間に落ちる距離は，その翅がどのくらい速く羽ばたいているのかによる。もし，昆虫
がゆっくり羽ばたいているなら，上昇力がゼロとなる時間は長くなるので，昆虫が落ちる距
離は，速く羽ばたいている場合に比べて大きくなる。
昆虫が空中に安定して留まるのに必要な羽ばたきの周波数を単純な模型で計算してみよう。
上昇力は翅が振り下ろされる間は有限の一定値を取り，振り上げる際にはゼロであると仮定
する。翅の振り下ろしと振り上げに要する時間は等しいとする。以下の問１～問７に答えよ。
問１ 翅を振り上げている時間Δt の間に昆虫が自由落下する距離 h を求めよ。
ただし，重力加速度の大きさを ˝ とする。
問２ 翅の振り下ろしにより昆虫はもとの位置に戻る。鉛直方向の昆虫の位置の変動を
0.10 mm，重力加速度の大きさを 10 m/s2 として，昆虫が自由落下する時間（翅を振り
上げている時間）Δt の数値を求めよ。
問３ ホバリングをするのに必要な羽ばたきの周波数を求めよ。
問４ ホバリングをする昆虫の質量が変化した場合，ホバリングをするのに必要な羽ばたき
の周波数はどのようになるか求めよ。
問５ ホバリングをしている昆虫が，翅を振り下ろし鉛直方向の位置をもとに戻すために必
要な上向きの力を求めよ。ただし，昆虫の質量を m，重力加速度の大きさを ˝ とする。
― 4 ―
次にホバリングをするのに必要な仕事率を計算してみよう。
昆虫の質量は 0.10 g であると仮定し，重力加速度の大きさを 10 m/s2 とする。翅を振り下
ろす際に翅に発生する圧力は，翅全面に均等に加わるとする。このとき，翅により発生する
力は翅の中央の 1 点に作用すると考えてよい。
図２ ハチの翅の羽ばたき
d 70°
問６ 翅の長さを 1.0 cm，羽ばたき角は 70 °であるとして，左右 2 つの翅が毎回の振り下ろ
しでする仕事を求めよ。
問７ ホバリングをしているとき，翅の仕事率を求めよ。
― 5 ―
三角関数表
― 6 ―
「だるま落とし」は，いちばん上にだるまを置き，その下に胴体を模した複数の円柱を数
段重ね，横から１段ずつ木槌で勢いよくたたいて抜く玩具である。だるま落としを成功させ
るコツは，だるまの胴である円柱を素速くたたくことにある。この玩具は，「慣性の法則」
の実例としてよく使われている。
だるま落としは，胴を素速く打ち抜くと上にあるだるまや円柱は，慣性によってその場に
居続けようとするために木槌でたたかれたところだけが抜けるのである。
図１ だるま落とし
これと似た現象に「テーブルクロス引き」がある。これは机にテーブルクロスを敷き，そ
の上にコップを置いた状態で，テーブルクロスを素速く引くと，コップが机に残されるとい
うものである。
図２ テーブルクロス引き
第２問
― 7 ―
だるま落としもテーブルクロス引きも，実際には水平方向にわずかに動いている。これは，
だるまの胴体やテーブルクロスが動くときに，動摩擦力が胴体やコップにはたらくからであ
る。この動摩擦力を受けている時間が短ければ，胴体やコップはほとんど動かず，だるま落
としやテーブルクロス引きは成功する。では，テーブルクロス引きを成功させるための条件
を考えてみよう。
図３のように，一辺の長さが x，質量が M のテーブルクロスが机の上に敷いてあり，そ
の中央に質量 m，半径 r の円筒形の皿が置いてあるとする。なお，皿は引き抜かれるまで
底面がテーブルクロスに接しているとする。この状態で，テーブルクロスを一定の力 F で
引きテーブルクロス引きをしてみよう。
重力加速度の大きさを ˝，皿とテーブルクロスの間の静止摩擦係数をμ，動摩擦係数をμ′
とし，机とテーブルクロスの間には摩擦はないものとする。また，テーブルクロスは平面を
保ったまま引かれるものとする。
皿x
x
テーブルクロス
一定の力一定の力皿
x2
x
r
図３ テーブルクロス引きモデル
問１ テーブルクロスを引いたときに，皿がテーブルクロスの上を滑るために必要な力 F
の条件を求めなさい。
問２ テーブルクロスを問１の力 F の条件を満たした大きさで引く。皿が，机上のもとの
位置から r だけ動いたときにテーブルクロスが抜けるために必要な力の大きさを m，M，
x，r，μ′，および ˝ を用いて表しなさい。
問３ m ＝ 200 g，M ＝ 200 g，動摩擦係数μ′ ＝ 0.10，x ＝ 1.0 m，r ＝ 0.025 m， ̋ ＝ 9.8 m/s2，
としたとき，テーブルクロスを引き抜く力の大きさの最小値と，テーブルクロスが皿か
ら抜けたときのテーブルクロスの速さを求めなさい。
― 8 ―
問４ 次に，図４のように一辺が10 m四方の巨大なテーブルクロス（問３と同じ素材のもの）
に皿を置いたもので，テーブルクロス引きをすることを考える。皿はテーブルクロスの
中央に置いてあるとする。このとき，テーブルクロスが抜けるために必要な力の大きさ
を求めなさい。
10 m
引き抜く
10 m 皿
図４
問５ 問４の結果より，このテーブルクロス引きを人が手で引いて成功させるのはとても困
難であることがわかる。そこで，このテーブルクロスにひもをつけて，自動車に結び，
自動車を加速させて，速さ v に達したときにテーブルクロスを引くようにした（図５）。
この場合，皿が，机上のもとの位置から r だけ動いたときにテーブルクロスが抜ける
ために必要な v を求めなさい。
ただし，自動車は速さ v に達した後は，加速することなくその速さのまま引き続ける
とする。また，テーブルクロスを引いている最中に，テーブルクロスは引かれている方
向にまっすぐに動くとする。
10 m
10 m 皿 ひも
図５
― 9 ―
― 10 ―
「酸と塩基」の定義については様々なモデルが考えられてきたが，溶液中での水素イオン
（H＋）のやり取り（移動）に対しては，ブレンステッドとローリーによる定義が適している。
この定義によれば，「酸とは相手に水素イオン（H＋）を与える物質であり，塩基とは相手か
ら水素イオン（H＋）を受け取る物質」となる。
酸を HAで表すと，水溶液中では水分子と次のような酸塩基反応を経て平衡状態となる。
HA ＋ H2O H3O＋ ＋ A－ ⑴
K＝［H3O＋］［A－］［HA］［H2O］
式 ⑴の右向きの反応において，HAは H2Oに H＋を与えているので酸として，H2Oは HA
から H＋を受け取っているので塩基としてはたらいている。左向きの反応では酸 HAから生
じた A－は逆に H＋を受け取るので塩基となり，オキソニウムイオン（H3O＋）は H＋を与え
ているので酸となる。「HAと A－」および「H2Oと H3O＋」の関係を「共役酸塩基対」と呼ぶ。
水溶液中における「酸の強弱」は，水分子に H＋を与える力として式 ⑴の平衡のかたより
（平衡定数 K の大小）で評価できるが，溶媒である水分子の濃度の変化量は無視できる程小
さく，［H2O］は一定とみなせるので，次の酸の電離定数 Ka あるいは酸解離指数 pKa を酸
の強さの指標として用いる。
Ka＝K［H2O］＝［H3O＋］［A－］
［HA］ ， pKa＝－log10 Ka ⑵
酸として強いほど Ka の値は大きく，pKa は小さくなる。水溶液中で完全に電離する酸は
強酸であり，Ka はいずれも無限大となる（水溶液中では強酸同士の比較はできない）。一方，
酢酸などの弱酸は Ka の値が小さい。
また，次の反応では，BHは B－の ① であり，OH－は H2Oの ② となる。
B－ ＋ H2O BH ＋ OH－ ⑶
K＝［BH］［OH－］［B－］［H2O］
水溶液中における「塩基の強弱」は，水分子から H＋を受け取る力として式 ⑷の塩基の電
離定数 Kb あるいは塩基解離指数 pKb の大小で評価する。
酸 塩基→←
共役酸 共役塩基
→←
第３問
― 11 ―
Kb＝K［H2O］＝［BH］［OH－］
［B－］ ， pKb＝－log10 Kb ⑷
なお，式 ⑶における塩基 B－は CH3COO－のような陰イオンであるが，NH3のような電気
的に中性な物質の塩基性についても同様に考えることができる。
B ＋ H2O BH＋ ＋ OH－ ⑸
ここで 式 ⑴と式 ⑶（または式 ⑴と式 ⑸）を見比べると，溶媒である水分子は酸として
も塩基としてもはたらいていることになる。水が酸としてはたらくのは「水よりも強
い ③ との反応」の場合であり，水が塩基としてはたらくのは「水よりも強い ④ と
の反応」の場合であるが，溶質をまったく含まない純水（すなわち水分子同士の間）でもわ
ずかではあるが式 ⑹のような平衡状態にある。これを水の「電離平衡」と呼ぶ。
H2O ＋ H2O H3O＋ ＋ OH－ ⑹
K＝［H3O＋］［OH－］
［H2O］2
K［H2O］2＝Kw＝［H3O＋］［OH－］＝1.0×10－14 mol2/L2（25 ℃） ⑺
⑺式で表される Kw を水のイオン積と呼ぶ。Kw の値は，酸や塩基や塩類などの電解質が
溶解している水溶液でも，イオン間の相互作用が無視できる濃度範囲で温度が一定であれば
変わらない。
純水や中性の水溶液では H3O＋と OH－の数は等しいので，25 ℃における pH（水素イオン
指数）は pH＝－log10［H3O＋］＝－log10［OH－］＝－log10 Kw ＝ 7.00 となる。
また，互いに共役な関係にある酸と塩基の間では，Ka×Kb＝Kw の関係が成立するので，
強酸の共役塩基は ⑤ であり，弱酸の共役塩基は ⑥ となる。
以上のように，水溶液中における酸と塩基とは「溶媒である水分子に水素イオン（H＋）
を与えてオキソニウムイオン（H3O＋）の濃度を増大させる物質が酸であり，H3O＋から H＋
を受け取って H3O＋の濃度を減少させる物質が塩基である」ということになり，OH－の量よ
りも H3O＋の量が多いと，その水溶液は酸性，H3O＋の量よりも OH－の量が多いとその水溶
液は塩基性（アルカリ性）となる。（25 ℃では，［H3O＋］ ＞ 1×10－7 mol/L，pH ＜ 7 が「酸性」
で，［H3O＋］ ＜ 1×10－7 mol/L，pH ＞ 7 が「塩基性（アルカリ性）」となる。）
問１ 文中の ① から ⑥ に最もよくあてはまる語を次の ア～クの中から選び，記
号で記せ。
ア 酸 イ 塩基 ウ 共役酸 エ 共役塩基
オ 強酸 カ 弱酸 キ 強塩基 ク 弱塩基
→←
→←
― 12 ―
問２ 表 1の Ka の値をもとに，HF，CH3COOH，NH4＋について，それぞれの酸の共役塩
基の化学式を，塩基としての強さが強い順に並べて示せ。
表１ 酸および塩基の共役酸の水溶液中における酸の電離定数Ka〔mol/L〕と酸解離指数 pKa（25 ℃）
Ka1（pKa1） Ka2（pKa2） Ka3（pKa3）
フッ化水素酸 HF 3.5×10－4 （3.45）
酢酸 CH3COOH 1.8×10－5 （4.74）
炭酸 H2CO3 4.3×10－7 （6.37） 4.7×10－11（10.32）
リン酸 H3PO4 7.4×10－2 （1.13） 6.3×10－8 （ 7.20） 4.2×10－13（12.38）
アンモニウムイオン NH4＋ 5.6×10－10（9.25）
ピリジニウムイオン NH＋
6.6×10－6 （5.18）
問３ 水のイオン積 Kw を 1.00×10－14 mol2/L2（25 ℃）としたときの純水の電離度を有効数
字 3 桁で求めよ。ただし，純水の密度は 1.00 g/cm3，酸素の原子量は 16.0，水素の原子
量は 1.00 とする。
問４ 1.00×10－6 mol/L の塩酸を 100 倍に希釈したときの水素イオン濃度〔mol/L〕を有効
数字 3 桁で求めよ。ただし Kw＝1.00×10－14 mol2/L2 とする。
問５ 酸や塩基の強さの指標として電離度を用いることができない主な理由を記せ。
問６ マラリアの特効薬として知られているキニーネ（図 1 ）は塩基性の物質であり，1 分
子のキニーネは 2 個の水素イオン H＋を受け取ることができる（Kb1＝2×10－5 mol/L,
Kb2＝1×10－9 mol/L）。キニーネの「水素イオン H＋を受け取ることのできる原子」を○
印で囲み，その横に H＋を受け取る順序を 1，2 の数字で示せ。また，表１を参考にし
てその順序になる理由を記せ。
図 1 キニーネの分子構造
H
NHO
O
N
H3C
－CH3 以外の C原子と一部のH原子は省略している。 は幅が広い方が紙面手前に突き出していることを示している。
― 13 ―
気体の二酸化炭素は水に比較的よく溶け，CO2 の圧力（分圧）が 1.00×105 Pa のとき，
25 ℃の水 1 L には 3.39×10－2 mol の CO2が溶解する。
水に溶解した二酸化炭素の大半（99.8 % 以上）は水分子が弱く水和（溶媒和）しただけの
状態であるが，ごく一部は式 ⑻に示した反応により炭酸 H2CO3として存在している。
CO2 ＋ H2O H2CO3 ⑻
注：表 1の炭酸の一段目の電離定数 Ka1 が酢酸やリン酸の Ka1 に比べて小さいのは，式 ⑵において，
［HA］に相当する［H2CO3］の値が H2CO3 だけの濃度ではなく，式 ⑻の水和しているだけの CO2の濃度も含んでいるからである。このため，表 1の炭酸の Ka1 の値は見かけの値ということができる。
生成した炭酸は酸としてはたらき，式 ⑼や式 ⑽のように電離するが，中性付近から酸性
の希薄水溶液中では二段目の電離（式 ⑽）はほとんど起こらない。
H2CO3 ＋ H2O H3O＋ ＋ HCO3－ ⑼
Ka1＝［H3O＋］［HCO3－］
［H2CO3］
HCO3－ ＋ H2O H3O＋ ＋ CO32－ ⑽
Ka2＝［H3O＋］［CO32－］
［HCO3－］
また，水素イオンの電離によって生成した炭酸水素イオン（HCO3－）や炭酸イオン（CO32－）
は，式 ⑾や式 ⑿のように塩基としてもはたらく。
HCO3－ ＋ H2O H2CO3 ＋ OH－ ⑾
Kb2＝［H2CO3］［OH－］
［HCO3－］
CO32－ ＋ H2O HCO3－ ＋ OH－ ⑿
Kb1＝［HCO3－］［OH－］
［CO32－］
問７ 2015 年の大気中における二酸化炭素の平均濃度は 400 ppm と報告されている。水に
溶解した二酸化炭素はすべて CO2の形で存在する（式 ⑻の反応は無視できる）と仮定し，
ヘンリーの法則が成立するとした場合，大気中の二酸化炭素が飽和した水（25 ℃）中
の二酸化炭素のモル濃度〔mol/L〕を有効数字 3 桁で求めよ。なお，ppm は体積比で
106 分の 1 を表す。ただし，大気圧は 1.00×105 Pa とする。
→←
→←
→←
→←
→←
― 14 ―
問８ 問７で求めた水に溶解した二酸化炭素がすべて H2CO3の形で存在する（式 ⑻の反応
が完全に右にかたよっている）と仮定した場合，水溶液中の水素イオン濃度〔mol/L〕
を有効数字 2 桁で求めよ。ただし，水溶液中では式 ⑼の一段目の電離平衡のみが起こ
るものとし，炭酸の電離度は 0.19 とする。
問９ 式 ⑻の水和反応の平衡状態における水中の二酸化炭素濃度と炭酸濃度の比
［CO2］
［H2CO3］を 600 とした場合，炭酸の真の Ka1 を式 ⑻の注の記述を参考にして有効数字
2 桁で求めよ。
パンや焼菓子をつくるときに使うベーキングパウダー（ふくらし粉）は，炭酸水素ナトリウ
ム（NaHCO3）とリン酸二水素ナトリウム（NaH2PO4）などをデンプンと混合したものであり，
デンプンはNaHCO3とNaH2PO4が粉末状態で反応しないようにするために加えられている。
NaHCO3が水に溶けると式 ⒀のように，完全に電離する。
NaHCO3 → Na＋ ＋ HCO3－ ⒀
生じた HCO3－は酸および塩基として式 ⑽や式 ⑾の反応を起こす。
NaH2PO4も水中では NaHCO3と同じように挙動する。
問10 炭酸水素ナトリウムを水に溶かした水溶液が弱い塩基性を示す理由を記せ。なお，
式 ⑽の Ka2＝4.7×10－11 mol/L，式 ⑾の Kb2＝2.2×10－8 mol/L とする。
問11 ベーキングパウダーを水に加えると，どのような反応を起こすか。表１の値をもとに，
各 Ka の大小関係なども交えて，反応式を示しながら説明せよ。
血液の pH は 7.40 付近に保たれている。この調節機能（緩衝作用）には血液中の炭酸
（H2CO3）と炭酸水素イオン（HCO3－）の平衡が重要な役割をしている。
血液中では，次の式 ⒁のような平衡系となっている。
CO2 ＋ H2O H2CO3 H＋ ＋ HCO3－ ⒁
糖質の代謝では二酸化炭素と水の他に乳酸などの有機酸が生成し，タンパク質の代謝では
リン酸や硫酸が生成する。これらの酸は H＋を放出するので，もしも血液が純粋な水と同じ
であるなら，水素イオン濃度が増加（pH が低下）して血液は酸性となるはずである。
しかし，血液中には HCO3－が多く存在しているので，H＋と ⑦ が反応して ⑧ を
経て ⑨ と ⑩ になり，最終的には肺で ⑨ が放出される。この機構によって血
液の pH は一定に保たれている。呼吸機能が低下すると⒁式の反応は ⑪ 向きに進み，
血液の pH が ⑫ して重篤な状態になる。
→← →←
― 15 ―
問12 文中の ⑦ ～ ⑫ に適切な化学式または語句を入れよ。
問13 pH 7.40 の水溶液の水素イオン濃度は 4.0×10－8 mol/L である。血液中の［HCO3－］
と［H2CO3］の比［HCO3－］［H2CO3］
を有効数字 2 桁で求めよ。ただし，H2CO3 の Ka1 は 5.0×
10－7 mol/L（37 ℃）とする。
― 16 ―
炭素原子に同じ原子が４つ結合すると，その４原子は正四面体の各頂点に位置し，炭素原
子は正四面体の中心に位置する構造をとる。例えば，メタンは図１のような正四面体構造で
ある。図１のような立体構造の表記法を透視式といい，実線で示した結合は紙面上にあり，
実線のくさび形で示した結合は紙面手前に突き出しており，破線のくさび形で示した結合は
紙面後方に伸びている。
H
H H
H
C
図1 メタンの透視式
炭素原子に４種の異なる原子または原子団が結合している場合，この炭素原子を不斉炭素
原子という。不斉炭素原子を持つ化合物は互いに重ね合わせることのできない２種の異性体
が存在し，これらの分子は互いに鏡に対する実像と鏡像の関係にあるので，鏡像異性体と呼
ばれる。鏡像異性体は，ほとんどの物理的性質や化学的性質は同じであるが，偏光面を同じ
角度だけ互いに逆方向へ回転させるという性質があり，この現象を「光学活性」と呼ぶ。偏
光面とは，光を偏向板に通すことによって得られる一方向のみで振動する偏光の振動面のこ
とであり，通過してくる光に向かって時計回りに回転させる鏡像異性体は「右旋性（＋）」，
反時計回りに回転させる鏡像異性体は「左旋性（－）」であるという。旋光性の大きさは旋
光度αで表される（図２）。
光学活性の物質が入った試料セル偏光フィルター
平面偏光通常の光
光源
偏光面が回転するα
A
D BC
C
図２ 偏光面を回転させる現象の説明図
例えば，グリセルアルデヒドの中央の炭素原子は不斉炭素原子であるので，一対の鏡像異
性体が存在する（図３）。四角で囲った左の構造は D ‒グリセルアルデヒド，右の構造は L‒グ
リセルアルデヒドと，D ‒，L‒の記号をつけて区別される。D ‒グリセルアルデヒドは右旋性
を示し，L‒グリセルアルデヒドは左旋性を示す。D，L の記号と右旋性，左旋性の性質には
相関関係はない。
第４問
― 17 ―
グリセルアルデヒド D－グリセルアルデヒド L－グリセルアルデヒド
CH2OHCH2OH
HOH2C
CHO CHO
C COH HO
H
H OH
H
鏡CHO
C
図３ グリセルアルデヒドの鏡像異性体
鏡像異性体の簡略した表記法として Fischer 投影式と呼ばれるものがある（図４）。炭素‒
炭素結合を垂直の後ろ向きに，水平の結合は手前に配置したときの４つの結合を単純な実線
で表記するものである。D ‒グリセルアルデヒドの Fischer 投影式ではヒドロキシ基（－OH）
は右側を，L‒グリセルアルデヒドでは左側を向く。
D－グリセルアルデヒド L－グリセルアルデヒドCH2OHCH2OH
HH C OH
CHO
OH=
CHO
CH2OH
HO H
CHO鏡
図４ グリセルアルデヒドの Fischer 投影式
問１ 次の化合物を Fischer 投影式で描きなさい。
⒜
H3C
COOH
CNH2
H
⒝
H3C
Br
CCH2CH3
H
⒞
HO
H
CCH2OH
CH2CH3
１つの分子に 2 つ以上の不斉炭素原子が存在すると異性体の数はさらに多くなる。n 個の
不斉炭素原子が存在する分子には最大２n 個の異性体が存在する。例えば，不斉炭素原子を
２つ持つ酒石酸を見てみよう（図５）。左の Fischer 投影式から順に不斉炭素原子に結合して
いる－OHの向きを見ると，左－右，右－左，右－右，左－左となっており，22 なので４種
類の異性体が存在しているように見える。左の２つの Fischer 投影式は互いに鏡像異性体の
関係であり，光学活性な D ‒酒石酸（左旋性）と L‒酒石酸（右旋性）である。右の２つの
Fischer 投影式も一見すると鏡像異性体の関係にあるように見えるが，実はこの２つの構造
は同一である。Fischer 投影式では，分子の中心を軸にして 180°回転させた構造はもとの立
体構造と同一になるので，この２つの投影式は同一分子だとわかる。このように不斉炭素原
― 18 ―
子が存在するにもかかわらず，その鏡像と重ね合わせられる異性体は「メソ化合物」と呼ば
れる。メソ化合物は分子内に対称面を持っており，対称面に対して互いに鏡像の関係になっ
ている（図６）。対称面は結合間に存在することもあれば，原子を横切る場合もある。対称面
に対して分子の半分が右旋性を示すとすると残りの半分は同じ度合いで左旋性を示すので，
それらは互いに打ち消し合うためメソ化合物は光学不活性である。このように２つの不斉炭
素原子を持っていても一対の鏡像異性体と光学不活性なメソ化合物の３つの立体異性体しか
持たない分子も存在する。
D－酒石酸左旋性
L－酒石酸右旋性
メソ－酒石酸光学不活性
H
OH
HO
H
COOH
COOH
OH
H
H
HO
COOH
COOH
OH
OH=
H
H
COOH
COOH
H
H
HO
HO
COOH
COOH
図５ 酒石酸の立体異性体
対称面 対称面
メソ－酒石酸光学不活性
OH
OH=
H
H
COOH
COOH
COOH
COOH
H OH
OHH
C
C
図６ メソ化合物は分子内に対称面を持つ
問２ 次の化合物のうちメソ化合物はどれか，記号で答えよ。（ヒント：それぞれの透視式
を Fischer 投影式に書き直してみると，判別しやすい。）
H3C
CH3
H
H
HO
OHC C
⒜ ⒝
CH3
OH
HC
H3C
H
HO
C
⒞
H3C
CH3
OH
HOH
H
C
― 19 ―
1891 年に Emil Fischer によってグルコースの立体構造が解明された。現在のような分析
機器が存在していなかった時代，彼は化学反応とその生成物から得られる情報をもとに帰納
法を用いてその謎を解いていった。彼のこの偉業に対して 1902 年にノーベル化学賞が授与
された。では，Fischer がどのようにグルコースの構造を解明したのかを再現してみよう。
グルコースはホルミル基（－CHO，アルデヒド基ともいう）を持つ炭素数６個のアルドヘ
キソース注）に属する単糖である（図７）。アルドヘキソースが鎖状構造をとった場合，
－CHOの炭素原子を１位とし順に番号をつけたとき，２位から６位にはすべて－OHが１
つ結合しており，－CHOから最も遠い不斉炭素原子（５位）の－OHが右向きにあるものを
D 型，左向きにあるものを L 型と呼ぶ。グルコースの鎖状構造には２，３，４，５位に不斉炭
素原子が４つ存在するので，合計 16 個の異性体が存在するが，D 型はそのうち５位の－OH
は右向きと決まっているので，D ‒グルコースの構造を知るためには残りの２，３，４位の
－OHの向きがわかればよいことになる。 注） ホルミル基（－CHO）を持つ単糖を一般にアルドースと呼び，炭素数６個からなるアルドース
をアルドヘキソース，炭素数５個をアルドペントースという。
1
2
3
4
5
6
? ?
? ?
? ?
CH2OH
CHO
OHH
H，OH
H，OH
H，OH
図７ D ‒グルコースの骨格
ここで，Fischer が D ‒グルコースの構造を決定するために利用した化学反応について解
説する。まず，Kiliani－Fischer（キリアニ・フィッシャー）反応では－CHOにシアン化物イ
オン（CN－）を付加し，還元，加水分解することにより，もとのアルドースより炭素が１つ
増えた２位の－OHの向きが異なる２種類のアルドースが合成される。
・Kiliani-Fischer 反応
アルドース シアノヒドリン 一炭素増炭したアルドース
CHO
CHO
OH
NaCN
CN CN
H OH＋＋
1. H2/Pd, BaSO42. H3O＋OHH H
OH
OH
OHHO HOH H
H
H
CHO
OHH
H
― 20 ―
また，アルドースを硝酸で処理すると，－CHOと第一級アルコール（－CH2OH）部分が酸
化されて両末端がカルボン酸となったジカルボン酸が生成する。
・硝酸酸化反応
COOH
COOH
CH2OH
HNO3
CHO
OH
OH
H
H
OH
OH
H
H
以上で準備は完了である。それでは D ‒グルコースの構造を解明するために Fischer が行
った実験結果を以下に示す。
実験結果１： 当時構造不明であったアルドペントースの一つである D ‒アラビノースに
Kiliani－Fischer 反応を行ったところ，D ‒グルコースと D ‒マンノースが得ら
れた。
実験結果２：D ‒アラビノースを硝酸で酸化したところ光学活性なジカルボン酸が得られた。
実験結果３：D ‒グルコースと D ‒マンノースを硝酸で酸化すると，どちらからも光学活性な
ジカルボン酸が得られた。
問３ 実験結果１から，D ‒グルコースと D ‒マンノースの構造の関係についてわかることは
何か，説明せよ。
問４ D 型のアルドペントースとして考えられる４種類の Fischer 投影式は A～ Dである。
この中で，硝酸で酸化して生成するジカルボン酸がメソ化合物となるのはどれか。A～
Dの記号ですべて答えよ。
A
CH2OH
CHO
OHH
OHH
OHH
C
CH2OH
CHO
OHH
HHO
OHH
D
CH2OH
CHO
HHO
HHO
OHH
B
CH2OH
CHO
HHO
OHH
OHH
問５ 実験結果２，３から D ‒アラビノースを特定し，A～ Dの記号で答えよ。
― 21 ―
D ‒アラビノースの鎖状構造が判明したので D ‒グルコースと D ‒マンノースの構造の候補
を２つに絞り込むことができたが，どちらが D ‒グルコースの構造に該当するのかを決定す
るにはさらに情報が必要である。Fischer は L‒グロースという別のアルドヘキソースを硝酸
で酸化すると D ‒グルコースを硝酸で酸化したときとまったく同じジカルボン酸が得られる
ことを見出した。一方，D ‒マンノースを硝酸酸化して得られるジカルボン酸には，他の 15
種のアルドヘキソースを硝酸酸化して得られるジカルボン酸と一致するものはなかった。
問６ 以上の事実をもとに，D ‒グルコース，D ‒マンノース，L‒グロースの Fischer 投影式
を描け。
Wohl（ウォール）分解は Kiliani-Fischer 反応の逆の過程であり，アルドースの炭素鎖が１
つ短縮されたアルドースを得ることができる。この反応を用いてアルドースを順次分解して
いき，既知の D ‒または L‒グリセルアルデヒドへ導くことで，もとのアルドースの構造を解
明することも可能である。
・Wohl 分解反応
NH2OH
CHO
CHOOH
H
H
HO
C
－＝
OH
H
NOH
H
H
HO HHO
1.（CH3CO）2O
2. CH3ONa
問７ アルドヘキソース E，Fを Wohl 分解すると，ともに同一のアルドペントース Gが生
じる。Eを硝酸で酸化すると光学活性なジカルボン酸を生じ，Fを硝酸で酸化すると光
学不活性なジカルボン酸を生じた。Gの硝酸による酸化では光学活性なジカルボン酸が
生じた。Gを Wohl 分解すると炭素数４個のアルドース Hが生じ，Hを硝酸で酸化す
ると光学活性なジカルボン酸が生成した。Hを Wohl 分解すると D ‒グリセルアルデヒ
ドが生成した。E～ Hの Fischer 投影式を描け。
― 22 ―
炭素と窒素の循環に関して，次の文章を読み，以下の問１～問８に答えよ。
大気中に二酸化炭素（CO2）として存在する炭素（C）は，光合成によって生産者に取り込ま
れる。そして，食物網にしたがって生態系内を移動し，生産者・消費者・分解者の呼吸によ
り CO2に戻り，大気中に放出される。また，火山活動，化石燃料の燃焼，岩石に含まれる
炭酸カルシウム（CaCO3）の分解などによっても CO2は放出される。このように Cは，収支
のバランスを保ちながら自然界を循環しているが，地球上での存在形態はダイナミックに変
動している。①その変動には人類の活動が大きな影響を与えている（図１）。
問１ 下線部①について，人類は Cの循環以外にも自然界に大きな影響を与えている。図
１は様々な環境指標のうち，CO2の大気中の濃度，海洋による CO2の吸収，メタン（CH4）
の大気中の濃度，南極オゾンホールの最大面積，オホーツク最大海氷域の面積の経年変
化を示している。それぞれの環境指標の経年変化に当たるものを図１のグラフア～オの
うちから１つずつ選べ。ア イ
ウ
オ
オ
ウ
ア イ
エ
エ
00
図１ 環境指標の経年変化（気象庁ホームページのデータより作成）
第５問
― 23 ―
②生物体の窒素（N）は，タンパク質や核酸の構成成分として，生物体の構築や生命活動に
重要な役割を果たしている。乾燥した大気の体積の 78 %は分子状の窒素（N2）であるが，生
態系内での主要な生産者である植物は，直接にはこれを利用できない。植物は土壌中の水に
溶けている硝酸イオン（NO3－）やアンモニウムイオン（NH4＋）を根から吸収し，Nを同化して
取り込む。そして，Nは食物網にしたがって各栄養段階を移動する。生物体の遺体や排泄物
に含まれる窒素化合物は，土壌や水の中の分解者のはたらきで分解され，NH4＋となり，さ
らには硝化細菌のはたらきで NO3－となるなどで，再び植物に利用される。
生態系内には，NO3－を植物が利用できない N2に変えて大気中に放出する脱窒素細菌や，
逆に N2をアンモニア（NH3）に還元して窒素固定する窒素固定細菌のクロストリジウム，ア
ゾトバクター，根粒菌，シアノバクテリアなども生息している。自然界での窒素固定は，落
雷による放電や紫外線による光化学反応などの自然現象によっても起こるが，実は人類によ
る人工肥料などの窒素化合物の自然界への放出によるところが最も大きい。ここでも，人類
の活動が自然界における窒素の循環に大きな影響を与えている。
問２ 下線部②について，次のア～カのうちから Nを含むものをすべて選べ。
ア グルコース イ ATP ウ リボース
エ グアニン オ インスリン カ クエン酸
― 24 ―
窒素固定細菌は，酵素ニトロゲナーゼを持っている。ニトロゲナーゼは，大量のエネルギー
（ATP）を消費し，電子伝達体から電子（e－）を受け取りながら，次の反応で N2を NH3に変
える。
N2 ＋ 8H＋ ＋ 8e－ ＋ 16ATP → 2NH3 ＋ H2 ＋ 16ADP ＋ 16Pi （式 1）
ニトロゲナーゼは，酸素（O2）に非常に弱く，O2の作用で不可逆的に不活性化される。窒
素固定細菌のうち，クロストリジウムは嫌気性の細菌であって，酸素を消費することなくエ
ネルギーを獲得できるが，アゾトバクター，根粒菌，シアノバクテリアは，いずれも好気性
の細菌で，O2を消費して有機物を分解しエネルギーを得ている。これらの好気性窒素固定
細菌は，どのようにして O2からニトロゲナーゼを守っているのだろうか。
アゾトバクターは，自由生活性細菌であり，土壌中あるいは水中の酸素濃度の低いところ
で，呼吸と窒素固定を行っている。呼吸によって酸素を消費することでニトロゲナーゼを
O2から守っているという側面があるが，これだけでは不十分で，酸素濃度の急激な上昇な
どに対しては，特別の保護タンパク質を持っており，このタンパク質がニトロゲナーゼの
O2作用部を覆い隠すように結合することで，ニトロゲナーゼを不活性化から保護している。
自由生活をしている根粒菌は，マメ科植物などが放出するフラボノイドを感知して根粒形
成因子というシグナル伝達分子を放出して，宿主となる植物を刺激し根粒を形成させて，宿
主の細胞内に感染して共生を開始する。宿主は③レグヘモグロビンというタンパク質を合成
して根粒菌を包み込む。脊椎動物の筋肉細胞中には，血中のヘモグロビンよりも酸素親和性
の高いミオグロビンというヘムタンパク質がある。レグヘモグロビンは，このミオグロビン
に似ており酸素親和性が極めて高い。
問３ 下線部③のレグヘモグロビンについて，マメ科植物と根粒菌の共生における役割につ
いて述べよ。
根粒菌の生成した NH3（水溶液中では NH4＋として存在する）は，宿主の細胞質に入り，図
２の反応によって，グルタミンに取り込まれ，さらにクエン酸回路の中間体のα－ケトグル
タル酸に渡されて，グルタミン酸を生じる。このグルタミン酸は，様々なアミノ酸や他の窒
素化合物の合成にも役立てられる。一方，根粒菌は宿主から，これもクエン酸回路の中間体
である，リンゴ酸を栄養源として得ている。いずれの場合においても，クエン酸回路では中
間体が消費されるので，これによってオキサロ酢酸が不足すると，回路がうまく回らなくな
る。これを補うように，図２のアやイなどの補充反応がはたらいており，実際には，クエン
酸回路は安定して回ることができる。
― 25 ―
問４ 図２の反応ア～サのうちから Cの出る反応と入る反応をすべて選べ。
ア
イ
ウ
エ
オ
カ
キ
ク
サ
コ
ケ
図２ クエン酸回路とその補充反応および窒素同化補充反応アは植物と細菌で，補充反応イは動物で見られる。
右図において，（ ）内の数値は１分子内のアミノ基の数を示す。
多くの種類のシアノバクテリアは，植物の葉緑体と同様の酸素発生型の光合成を行ってい
る。それらのシアノバクテリアには，光のエネルギーを吸収して e－を移動させながら H2O
を分解し，これに伴って O2を放出するとともに，ATP の生成に使われる H＋をチラコイド
内に取り込む光化学系Ⅱと，光化学系Ⅱから e－を受け取って光のエネルギーを吸収して e－
を移動させていき，それを NADP＋に与えて NADPH を生じる光化学系Ⅰとがある。
シアノバクテリアの細胞質には，葉緑体のストロマにあるのと同様のカルビン・ベンソン
回路があり，ATP と NADPH を消費しながら CO2を固定して炭水化物を生成している。
シアノバクテリアには，単細胞で生活するものと群体を作って生活するものがある。単細
胞で生活するものでは，昼間に光合成を行い夜間に窒素固定を行うなどで，ニトロゲナーゼ
を酸素にさらす危険を減らす適応が行われている。
群体を作って生活するものには，光合成を行って生活している栄養細胞から窒素固定を専
門に行う異質細胞（heterocyst）を分化させて，光合成と窒素固定を空間的に分離するものが
ある。栄養細胞は，光合成産物と異質細胞から受け取った NH3を使って成長し，細胞分裂
を行って群体を伸長させる。一方，異質細胞は，窒素固定に専念して細胞分裂で増えること
もなく古くなり損傷すると死滅して群体から取り除かれる。
― 26 ―
異質細胞では，光化学系Ⅱは退化するが，光化学系Ⅰは発現が促進されて栄養細胞でのも
のより活発に活動する。ただし，④異質細胞の光化学系Ⅰは，光化学系Ⅱから e－を受け取る
ことはできないので，光のエネルギーを吸収して移動させていった e－を NADP＋に与える
ことなく，移動のはじめに戻して循環させる。この循環過程で H＋をチラコイド内に取り込
み ATP を生成する。
光合成産物が⑤スクロースの形で，栄養細胞から異質細胞へと輸送されてくる。異質細胞
は，酸素を透過させにくい細胞壁を発達させているので，細胞内は無酸素状態であり，この
スクロースを呼吸によって異化することはほとんどないが，嫌気的に分解して電子伝達体に
e－を与える。
問５ 下線部④の光化学系Ⅰと下線部⑤のスクロースのそれぞれについて，異質細胞の窒素
固定での役割を述べよ。
群体を作るシアノバクテリアの一種であるアナベナは，NO3－を加えた培養液中では，栄
養細胞において光合成と窒素同化を行って生活しており，群体中には異質細胞が見当たらな
いが，NO3－を除去すると，栄養細胞から異質細胞を分化させる（図３）。
NO3－が除去されると，栄養細胞内の NH4＋の濃度が減少し，窒素同化にとっては，NH4＋
の供給が絶たれたことになる。この変化は， ⑥ の濃度上昇をもたらし， ⑥ に対する
受容体を持つ転写因子の NtcA を活性化する。NtcA は DNA 結合タンパク質であり，活性
化されると遺伝子 hetR の ⑦ に結合して hetR の転写を促進し，その遺伝子産物である
HetR の濃度を上昇させる。HetR は，hetR を含む様々な遺伝子の転写因子であり，hetR の
転写を促進するので，hetR の転写については，正のフィードバックをかけて HetR の濃度
を上昇させるといえる。HetR の濃度が閾値（いきち）を超えると，栄養細胞は異質細胞へと
分化する。
問６ 空欄⑥に入る語句を，次のア～ケから１つ選べ。
ア ピルビン酸 イ アセチル CoA ウ クエン酸
エ イソクエン酸 オ α－ケトグルタル酸 カ コハク酸
キ フマル酸 ク リンゴ酸 ケ オキサロ酢酸
― 27 ―
問７ 空欄⑦に入る語句を，次のア～オから１つ選べ。
ア 上流 イ 先頭 ウ 中央 エ 末端 オ 下流
図３ アナベナNO3－を加えた培養液中で異質細胞の分化が抑制されているもの（A）と NO3－を除去してから１日後に異質細胞（ ）を分化させたもの（B）
（Zhang 他（2006）. Mol. Microbiol. 59（2）: 367-375より）
HetR は，栄養細胞内で遺伝子 patS の転写を促進する。patS の遺伝子産物の PatS は，
HetR に結合してそのはたらきを阻害し，hetR の転写に負のフィードバックをかける。これ
によって HetR の濃度上昇はある程度抑えられるが，群体中の栄養細胞のいくつかでは，閾
値を超えるものもあるので，多くの栄養細胞の中には異質細胞へと分化するものも現れる。
異質細胞内では，PatS と同様に HetR に結合してそのはたらきを阻害する HetN の合成が開
始される。HetN は，細胞間連絡を通って隣接する細胞に拡散していき，近接する栄養細胞
内の HetR に結合して作用する。PatS も細胞間連絡を通過できるが，HetR は通過できずに
それが合成された栄養細胞内に留まる。
このようにして，hetR，patS，hetN が関わって，HetR の濃度が調節される結果，群体中
での異質細胞の発現は飛び飛びとなって光合成と窒素同化のバランスが維持される。
実際，patS と hetN をともに欠損する変異体では hetR の転写が抑制されないので，NO3－
を除去すると，どの栄養細胞でも，HetR の濃度は閾値を超えて，群体は異質細胞ばかりと
なり，やがて死滅する。NO3－を除去すると，⑧patS あるいは hetN を欠損する変異体では，
野生型とは異なる異質細胞の分布パターンが出現する（図４）。
― 28 ―
⒜
⒝
⒞
図４ アナベナの NO3－を除去後の栄養細胞と異質細胞の分布のパターン緑色の明るさは HetR の濃度を表し，黄色の円で縁取られたものは異質細胞を表す。
（Muñoz-García と Saúl Ares （2016）. PNAS 113（22）: 6218-6223より）
問８ 下線部⑧について，アナベナの野生株，patS 欠損株，hetN 欠損株のそれぞれで，
NO3－を除去後に，栄養細胞と異質細胞の分布がどのようになるかを示したものとして
最も適当なものを，図４の⒜～⒞を組み合わせた次のア～カから１つ選べ。
野生株 patS 欠損株 hetN 欠損株
ア ⒜ ⒝ ⒞
イ ⒜ ⒞ ⒝
ウ ⒝ ⒜ ⒞
エ ⒝ ⒞ ⒜
オ ⒞ ⒜ ⒝
カ ⒞ ⒝ ⒜
― 29 ―
― 30 ―
次の文章１～文章４を読み，以下の問いに答えよ。
文章１
骨格筋は ① で骨とつながった筋繊維（筋細胞）が束になってできた組織である。筋繊維
の断面を見ると筋原繊維と呼ばれる繊維状の構造がやはり束になっていることがわかる。筋
原繊維には周期的な縞模様があり，それが束ねられた構造を持つ骨格筋にも縞模様があり，
横紋筋と呼ばれる（図１）。横紋筋としては他に ② が知られている。
筋原繊維に縞模様がみられるのは，サルコメアと呼ばれる基本単位が規則的に並んでいる
からで，それを拡大した模式図が図２である。サルコメアは Z 膜と呼ばれる仕切に両端を
挟まれた，筋収縮における基本構造である。Z 膜からは多数の細い繊維（アクチンフィラメ
ント）が伸びている。そして両方から伸びるアクチンフィラメントに架け橋を渡すようにし
て存在する太い繊維がミオシンフィラメントである。ミオシンは 2 個の頭部と細長い尾部を
持つ分子で，図３に示されるような構造をしている。多数のミオシン分子の尾部は束ねられ
て太い繊維が形成されるが，その際，ミオシン分子はミオシンフィラメントの中央部で対称
的に配列するので，いわば鉄アレーのような形をしている。ミオシンフィラメントの両側で
は，ミオシン分子の頭部がアクチンフィラメントと相互作用をすることによって，サルコメ
アが短縮するための収縮力を発生する。しかし中央部は頭部がなく，束ねられた尾部だけに
なっている。筋肉
筋原繊維束
サルコメアZ 膜Z 膜
サルコメア
ミオシンフィラメント
ミオシン分子アクチン分子
アクチンフィラメント
筋原繊維
筋繊維
筋繊維束
骨
図１ 骨格筋の構造
第６問
― 31 ―
図２ サルコメアの構造（＋，－はアクチンフィラメントの方向を示す）
Z 膜 ミオシンフィラメントミオシン頭部（－） （－） （＋）（＋）
アクチンフィラメント
図３ ミオシン分子の形態
頭部 尾部
ミオシン分子はその頭部で ATP を分解しながら，そのエネルギーを使ってアクチンフィ
ラメントをあたかも紐を手でたぐり寄せるように引っ張る。反対方向に押し出すような反応
はしない。この過程を示したのが図４である。
図４ ATP分解に伴うミオシン頭部 1 つの動き 図の左から右（①→⑤）の順に，アクチンフィラメントとミオシン分子の関係を表している。⑤の次は①に戻る。 はミオシン頭部の動きを示している。 はミオシン頭部から ADP とリン酸が解離すること（④），ミオシン頭部に ATP が結合すること（⑤）をそれぞれ示している。点線で表したミオシンは，1 つ前のステップにおける形態を示している。
ミオシン頭部
ミオシンにATP が結合した状態
① ② ③
③
⑤
④
④
ATP が ADP とリン酸に加水分解され，ミオシン頭部が動く
ATP が再び結合してミオシン頭部がアクチンフィラメントから離れ， ①の状態に戻る
ミオシンはアクチンに結合し首振り運動をするこのとき ADP が，次いでリン酸が解離する
ATP
尾部 ADP
ATP の結合
リン酸
アクチンフィラメントの動き
― 32 ―
文章２
筋肉長の違いによって，それが発生する収縮力（張力）がどのように変化するかを調べるた
めに，骨格筋から取り出した筋繊維を様々な長さに引き伸ばし，その長さを一定に保ちなが
ら刺激に応じて発生する張力（等尺性張力）を測定する装置を作成した。そして等尺性張力が
サルコメアの長さによってどのように変化するか，以下のような仮説を立て，それを検証す
ることとした。なお，実験に用いたウサギの骨格筋では，ミオシンフィラメントの長さは
1.7 µm（1.7×10－6 m），アクチンフィラメントの長さは 1 µm である。そしてミオシンフィラ
メントの両端から繊維中央に向かって 0.7 µm まではミオシン分子の頭部が均一に存在して
おり，アクチンフィラメントと反応することができるとする。
仮説 1 ） ミオシン分子の頭部がアクチンと相互作用するのだから，図２でミオシン分子
の頭部とアクチンフィラメントが重なっている部分のみで張力が発生する。
仮説 2 ） ミオシン分子当たり発生する力は一定とすれば，ミオシン分子の頭部とアクチ
ンフィラメントが重なっている長さに比例した張力が発生する。
仮説 3 ） 両端の Z 膜から伸びているアクチンフィラメント同士がぶつかり合うとそれ
は抵抗としてはたらく。
仮説 4 ） 両端の Z 膜にミオシンフィラメントの先端がぶつかると大きな抵抗としては
たらく。
問１ 文章 1の ① と ② にあてはまる語句を記せ。
問２ サルコメアの長さを 1 µm から 5 µm に変化させて，それぞれの長さでの等尺性張力
を測定した。仮説 1 ）～ 4 ）が成立するとすれば，サルコメア長と張力にはどのような関
係が予測されるか。サルコメア長を横軸に，張力の相対値（最大値を 100 とする）を縦軸
にとったグラフで示せ。また，サルコメア長と張力の関係が変化する点に，そのサルコ
メア長の数値を記せ。なお，サルコメアは長軸に沿って対称に伸縮するとする。
文章３
骨格筋を特殊な溶液で処理すると，アクチン分子を抽出することができる。そこからアク
チン分子を精製した。アクチン分子は直径がおよそ 4 nm（4×10－9 m）のほぼ球形のサブユニッ
ト 2 つからなる。アクチンフィラメントはそれが数珠のように並び，さらにそれらが 2 本
撚り合わされてできる。抽出したアクチン分子を適当な溶液に加えて観察すると，アクチン
フィラメントが形成され，それが条件によって伸長したり，短縮したりすることがわかった。
アクチン分子の濃度が高い場合，繊維の端にアクチン分子が結合して（重合して）伸長してい
く。一方，アクチン分子濃度が低いと，端からアクチン分子が外れて（脱重合して）アクチン
― 33 ―
フィラメントは短くなっていく。この，重合，脱重合のしやすさはアクチンフィラメントの
両端で異なる。そのため，伸長速度は片端が速く，反対側は遅い。早い方の端を＋端，遅い
方の端を－端と呼ぶ（図 2 ）。また，サルコメアでは，アクチンフィラメントの Z 膜側が＋
端であること，またアクチンフィラメントの長さが変動しないように，先端に重合脱重合を
阻害するタンパク質が結合していることがわかっている。
アクチンフィラメントからアクチンが脱重合してアクチンフィラメントが短縮する速度は
一定で，＋端側の速度を V＋，－端側のそれを V－とすると V＋＜V－である。また重合によ
りアクチンフィラメントが伸長する速度はアクチン分子の濃度に比例し，その速度定数は＋
端側が k＋，－端側が k－で，k＋＞k－の関係がある。それぞれの末端での伸長（もしくは短縮）
速度は脱重合と重合によって決まることになる。
問３ アクチン分子の濃度によって，アクチンフィラメントの長さがどのようになるかを考
えてみよう。次の⑴～⑶の文中の ③ ～ ⑤ にあてはまる式を記し，⑷では最も適
当な文章を 1 つ選べ。
⑴ アクチン分子の濃度が X〔mmol/L（10－3 mol/L）〕のとき，＋端側のアクチンフィラ
メントの重合による伸長速度は X・k＋で，脱重合による短縮速度は V＋である。よって，
アクチンフィラメントの＋端側の伸長速度は ③ となる。
⑵ 同様に－端側での伸長速度は ④ となる。
⑶ 溶液中のあるアクチンフィラメントについて考える。そのもとの長さを L〔µm〕と
すると，時間とともに L が減少するのは， ⑤ ＜0 となったときである。そして L
が増大するのは， ⑤ ＞0 のときであり， ⑤ ＝0 のときには L は変化しないと考
えられる。
⑷ L が一定のとき，アクチンフィラメントの中央を標識しておくと，その標識はどのよ
うな振る舞いを示すか，次のうちから最も適当なものを 1 つ選べ。
ア）中央の位置を動かない。
イ）アクチンフィラメントの＋端の方に動いていく。
ウ）アクチンフィラメントの－端の方に動いていく。
エ）アクチンフィラメントの＋端と－端の間を行ったり来たりする。
オ）標識が 2 つに分裂し両端に向かって動いていく。
文章４
筋肉からミオシン分子を抽出することもできる。得られたミオシン分子（図３）の尾部をス
ライドグラスに固定させ，頭部は自由に動けて ATP による力の発生が可能なようにした。
また，文章３で調製したアクチンフィラメントを安定化して長さが変化しないようにし，さ
らに－端に顕微鏡で識別できる標識を結合させたものを準備した。このアクチンフィラメン
― 34 ―
トをミオシン分子の付着したスライドグラスの上に加え，カバーグラスをかけて高感度の観
察装置を使ってアクチンフィラメントの振る舞いを観察した。
問４ ATP のない状態でこの実験を行うと，スライドグラス近傍のアクチンフィラメント
はスライドグラス上に張り付いたように見えて，動かなかった。その理由を図４を参考
にして簡潔に述べよ。
問５ 問４の状態に ATP を加えるとアクチンフィラメントがスライドグラス上を繊維の長
軸方向に滑るように動いていくのが観察された。このとき，動いていく方向は＋端方向，
－端方向のどちらか，その理由とともに述べよ。
ここで，ATP 濃度を変えてアクチンフィラメントの運動速度を測定したところ次表のよ
うな結果を得た。
ATP 濃度〔mmol/L〕 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0
アクチンフィラメントの速度〔µm/s〕 4.5 7.0 10 12 13
この結果をもとに次の①～⑥の考察をした。
① ミオシンを酵素，ATP を基質，ADP を生成物として考えると，ATP とミオシンから
形成した ATP・ミオシン（ATP ミオシン複合体）を経て ADP が生成する反応は⑴式で表
すことができる。なお，⑴式でリン酸が生成する逆反応は無視できるものとする。また，
ミオシンの濃度は ATP の濃度に比べ無視できるほど低く，そのために反応が起こってい
る間の ATP 濃度は一定で変化しないとする。
ア ＋ イ ⇄ ウ → エ ＋ イ ＋リン酸 ⑴
⑴式中の k1，k－1，k2 はそれぞれ各反応の反応速度定数を表し， ウ が生成する速度は，ア ， イ の濃度をそれぞれ［ ア ］，［ イ ］とするとk1×［ ア ］×［ イ ］
と表される。また ウ が分解される場合は， ア と イ および エ と イ にな
るので，その分解速度は k－1×［ ウ ］＋k2×［ ウ ］となると考えられる。
② ⑴式で， エ の生成速度をこの反応の反応速度と呼び，反応速度 V は⑵式のように
表せる。
V＝ オ ⑵
k1
k－1
k2
― 35 ―
③ この反応では，反応液中のミオシン全体の濃度［全ミオシン］は，
［ イ ］＋［ ウ ］となると考えられる。
問６ ア ～ エ にあてはまる最も適当な物質名を記せ。
問７ オ にあてはまる式を記せ。
問８ V の最大値を最大反応速度 Vm と呼ぶ。Vm が達成される条件を記せ。
④ ここで，Km＝k－1＋k2
k1 とおいて，反応速度 V を［ATP］，Vm，Km で表すと⑶式のよう
に表せる。
V＝ カ ⑶
⑤ ⑶式の逆数をとると⑷式が得られる。
1V＝ キ ⑷
⑥ ADP の生成速度は図４のミオシン分子頭部の首振り運動の頻度に比例すると考えられ
る。すなわち，文章４の実験で求めたアクチンフィラメントの運動速度に比例すると考え
られる。
問９ カ にあてはまる式を記せ。
問 10 キ にあてはまる式を記せ。
問 11 V をアクチンフィラメントの滑り速度とみなして，1V〔s・µm－1〕と
1［ATP］
〔（mmol/L）－1〕
の関係を表すグラフを描け。
問 12 問 11のグラフからアクチンフィラメントの最大運動速度が推定できる。アクチンフィ
ラメントの最大運動速度の推定値を有効数字２桁で記せ。
問 13 ⑷式または問 11のグラフから考察して，アクチンフィラメントの運動速度が最大運
動速度の 12 となるときの ATP 濃度を有効数字２桁で答え，その求め方を説明せよ。
― 36 ―
海水には，塩化ナトリウム（NaCl）や塩化マグネシウム（MgCl2）などの塩（えん）が溶
けている。海水 1 kg に溶けている塩の質量〔g〕を塩分として定義する。単位としてはパーミ
ル〔‰〕（千分率）が用いられてきた。
塩分は一般に深さ 1000 m 付近よりは 4000 m 以深の方が多い。海水の塩分は有効数字１
桁で 30 ‰くらいであるが，その下の桁は深さや場所によって変わっている。北太平洋では，
1000 m で 34.4 ‰，3000 m で 34.8 ‰くらいとなっている。
図１ 大海原
さて，海面の塩分は河川や（ ① ）による淡水の供給と，海面からの（ ② ）との差で決
まる。黒潮と親潮ではあきらかに（ ③ ）の塩分の方が多い。なぜなら（ ③ ）は海面から
の（ ② ）量が海面への（ ① ）量を上回る亜熱帯からやってくるからである。大西洋と太
平洋では大西洋の方が塩分が濃いが，これのいちばんの原因は大西洋より太平洋の方が
（ ① ）が多いことにあるといわれている。
海水の密度は塩分だけでなく，水温にも依存する。淡水では（ ④ ）℃の水の密度がいち
ばん大きいが，海水は低温になるほど密度が高くなる。なお，海水は塩分を含むため，（ ⑤ ）
効果により0 ℃になっても凍らない。そして海水はおよそ－1.5 ℃までは密度が増大し続ける。
真水の密度はほぼ 1000 kg/m3 であり，海水の密度は 1020 ～ 1040 kg/m3 である。海水の
密度は， 真水と比べてせいぜい 3 ％ 程度の差しかない。 このため，海洋物理学では， 密度
〔kg/m3〕の値から 1000 を差し引いた値をσ（シグマ）と呼んで，密度の指標としている。例
えば，1025 kg/m3 であれば，σ＝25 であり，単位をつけない。
第７問
― 37 ―
地球上で海水の運動（海流）を考える際に，自転の影響を考慮して導入されるのが「コリオ
リ力」である。北半球では，海水の流れの方向に対して右向きの力として作用する。その大
きさは海流の速さに比例し，海水の単位体積あたりの質量（密度）をρ，速度を V とすると，
ρfV として表される。ここで f をコリオリパラメータと呼び，日本付近では 10－4 /s である。
なお，重力加速度 ˝ の大きさは 10.0 m/s2 とし，圧力の単位〔Pa〕については，
〔Pa〕＝〔N/m2〕＝〔kg/（m･s2）〕の関係がある。
以下の問１～問３に答えよ。なお，答えだけでなく，式等計算過程も書くこと。計算結果
は，指示のないものについては，小数点以下第２位までとする。
問１ 上記文中の（ ① ）～（ ⑤ ）に適切な用語や数字を入れよ。ただし，同じ数字の（ ）
には同じ用語が入る。
問２ 図２をもとに，σ＝ 30 とし，次の⑴～⑶に答えよ。
観測点 A
観測点 B
海面
北
東
H [ｍ]
100 [km]
等重力面
H＋1 [m]
図２
⑴ 水深 1000 m における水圧は何 Pa か，求めよ。
⑵ 海洋での観測点 A とその真東の観測点 B の距離が 100 km 離れている。観測点 B の
海面が観測点 A の海面より，等重力面（˝ ＝ 10.0 m/s2 の面）に対して 1 m 高いとする。
等重力面での圧力の差は何 Pa か，求めよ。
⑶ この２点間の圧力傾度と，海流によるコリオリ力がつり合っている（地衡流）とすると，
海流は東西南北，どの向きに何 m/s で流れていることになるか，有効数字 2 桁で答えよ。
― 38 ―
問３ 海水の平均密度が異なっている場合を考えてみよう。図３では，観測点 A と真東に
100 km の観測点 B では，海水の平均密度が異なっており，観測点 A の上層 1000 m の
平均のσが 31.0，観測点 B のσが 30.0 である。次の⑴～⑸に答えよ。なお，海水の流れ
は地衡流で近似できるものとする。
観測点 A
観測点 B
海面
北
東
1000 [ｍ]
100 [km]
等重力面
? [ｍ]
σ＝ 31.0
σ＝ 30.0
図３
⑴ 観測点 A での海面から 1000 m の深さの 1 m2 上に乗っている海水の重さは何 kg か，
また，それは何 Pa か，小数点以下第３位まで答えよ。
⑵ 観測点Ｂで観測点 A の 1000 m 分と同じ圧力を得るために必要な水柱の厚さ（深さ）は
何 m か，答えよ。
⑶ ⑴での圧力の深さで海流が流れていないと仮定したとき，海面での観測点 A Ｂ間の
高度差は何 m となるか，またそれは圧力に直すと何 Pa か，σ＝ 31.0 で計算せよ。
⑷ ⑴での圧力の深さで海流が流れていないと仮定したときの，海面の地衡流はどの向き
に，何 m/s で流れているか答えよ。⑶の結果を用いて有効数字２桁で計算せよ。
― 39 ―
⑸ 図４は 2014 年の 4 月 1 日と 5 月 6 日の黒潮の流路を表している。図５はその期間の
八丈島の潮位（潮汐の影響を除いたもの）を表している。４月１日と５月６日で潮位に差
ができた理由を説明せよ。
八丈島
緑：4 月 1 日黒潮流路赤：5 月 6 日黒潮流路
図４ 黒潮の流路（海上保安庁HPをもとに作成）
3/263/26 3/293/29 4/14/1 4/44/4 4/74/7 4/104/10 4/134/13 4/164/16 4/194/19 4/224/22 4/254/25 4/284/28 5/15/1 5/45/4 5/75/7 5/105/10
150150
200200
250250
潮位潮位
〔cm〕〔cm〕
図５ 八丈島の潮位（海上保安庁HPをもとに作成）
― 40 ―
身近な自然現象も，視点を変え，より大きな規模の現象と結び付けて考えると新たな理解
に至ることができる。身の回りの自然や天体に関する次の問１～問５に答えよ。
なお，必要であれば以下の数値を用いよ。
太陽―地球の距離 1.50×108 km，地球―月の距離 3.84×105 km，太陽―火星の平均距離
2.28×108 km，太陽の半径 6.96×105 km，地球の半径 6.38×103 km
問１ 図１（左）は，ある日の木こ
漏も
れ日を撮影した写真で，丸い木漏れ日が見られる。ところ
が図１（右）のような三日月形の木漏れ日が撮影される場合がある。図１（右）のような木
漏れ日が見られるとき，どのような天体現象が生じているか。その名称を答えよ。また，
その天体現象が起きた日の地球から見た月の形として最も適当なものを解答欄から選び，
○で囲め。
図１ 木漏れ日の写真（左：名古屋市科学館プラネタリウム）
問２ 同じ時刻に木漏れ日を撮影しても，木漏れ日の
形が大きくなる場合と小さくなる場合がある。こ
れは，木漏れ日をつくる葉の位置が高いほど，大
きな形の木漏れ日となるからである。これを図２
のように模式化して考えてみよう。すなわち，葉
のすき間であるピンホールによってできる木漏れ
日が太陽光線に垂直に置かれたスクリーンに映る
とする。測定すると，木漏れ日の半径 d は，ピン
ホールからスクリーンまでの距離 h の約 1
216 と
なった。次の⑴～⑵に答えよ。ただし，ピンホー
ルの大きさは無視できるものとする。
太陽光線
ピンホールピンホール
スクリーンスクリーン
2d
h
図２ 木漏れ日（模式化）
第８問
― 41 ―
⑴ dh が約
1216
となる理由を説明せよ。
⑵ 同じ測定を，月面と火星表面で行うことができたとすると，dh の値はどうなるか。
解答欄の最も適当なものを○で囲め。また，その理由を簡潔に述べよ。
問３ 太陽の放射について考えてみよう。
次の⑴～⑸に答えよ。
⑴ 図３のように，太陽（半径 rS の球）と，太陽を中心
として地球の軌道（半径 R の円軌道）を含む球面 S を
考える。S 上で，単位面積あたりに太陽から受け取る
放射エネルギー Fi は，太陽表面で単位面積あたりに
放射されるエネルギー FS の何倍か。Fi を FS，R，rS
を用いて表せ。ただし，太陽表面から S 面の間ではエ
ネルギーの損失はないものとする。
⑵ 地球は太陽から十分遠いため，太陽から見た地球は半径 re の円形に見え，その円の
範囲に太陽放射エネルギーが入射する（図４）。単位面積あたりに入射する太陽放射エ
ネルギーは前問の Fi とする。一方，地球表面の温度が一定であるとすると，地球表面
のどこからも均一に地表面の温度に応じたエネルギーが放射される（図５）。地球から
放射されるエネルギーを単位面積あたり Fo とする。太陽から地球に入射する太陽放射
エネルギーのうち割合 B（0 ＜ B ＜ 1）だけが地球に吸収されたとし，太陽からの入射と
地球からの放射のエネルギーがつり合っている場合に，Fi，Fo，B の間に成り立つ関係
式を求めよ。
太陽
地球
S
図４ 地球に入射する太陽放射エネルギー
地球
図５ 地球から放射するエネルギー
R
rS
S
図３ 太陽と地球軌道を含む球面
― 42 ―
⑶ 地球では，太陽から受け取る放射エネルギーのうち，およそ７割が吸収されるため，
B＝0.70 とおくことができる。単位面積あたりの放射エネルギー強度は，太陽表面でも，
地球表面でも温度の４乗に比例する。このことと，上記の⑴⑵を用いて地球表面温度（放
射平衡温度）を推定せよ。なお，太陽表面温度を 5800 K，dh＝
1216
とし，有効数字２桁
で求めよ。
⑷ ここで求めた放射平衡温度は，実際の地球表面の平均温度よりも低い。それはなぜだ
ろうか。地球表面の平均温度を上げて温暖に保つ効果の名称と，その原因として考えら
れる物質を１つあげよ。
⑸ 上記の⑷と同じ現象は，太陽系の他の惑星にも見られる。その効果が顕著に現れてい
る惑星の名称を答えよ。
問４ 夜空には，様々な色の星があり，恒星の色はその表面温度と関係があることがわかっ
ている。もし，太陽系の中心の恒星が太陽より赤い主系列星であった場合，地球の表面
温度（放射平衡温度）は，問３⑶に比べてどのようになると予測されるか，放射エネル
ギーの観点に着目して説明せよ。ただし，問３⑵⑶の条件が成り立つとする。
問５ 太陽系の惑星も様々な色を持つ。例えば，火星は赤く，海王星は青く見える。一方，
問３⑴に基づくと，各惑星の軌道に応じて太陽から受け取る放射エネルギー強度は変わ
ることがわかる。惑星の色は，恒星と同様に表面温度と関係があるのだろうか。上記を
踏まえて，火星と海王星を例に惑星と太陽の距離，太陽から受け取る放射エネルギー，
表面温度などに着目して考察せよ。
― 43 ―
― 44 ―
平らなテーブルの上に球体 A，B，C が互いに接するように置かれている。球体 A，B の
半径はそれぞれ 1，2 である。球体 C の半径 r の値の範囲を考える。
⑴ テーブルを xy 平面とし，球体 A，B とテーブルの接点をそれぞれ（0，0，0），（a，0，0）
とするとき，a の値を求めよ。ただし a＞0 とする。
⑵ 球体 C の半径 r の値の範囲を求めよ。
第９問
― 45 ―
― 46 ―
回転する丸いテーブルがあり，テーブルの上には番号札が順番に等間隔に置かれている。
⑴ 図のように１番から６番までの生徒がテーブルを囲んで着席した場合，時計回りに何人
分テーブルを回せば，同時に２人以上の生徒の前に自分の番号札が来るようにできるか。
11
22
3355
66
44 1111
33
66
22
55
44
⑵ 改めて，１番から６番までの生徒がテーブルを囲んで着席したが，誰も自分の番号札が
置かれている席には座っていなかったとする。このときに，テーブルを回して，同時に２
人以上の生徒の前に自分の番号札が来るようにできることを示しなさい。
⑶ 今度は，図のようにテーブルの上には１番から７番までの番号札が置かれており，１番
から７番までの生徒がテーブルを囲んで着席し，特に１番の生徒は１番の札の置かれた席
に座った。さらに，どのようにテーブルを回しても，自分の前に自分の番号札がある生徒
は常に１人しかいなかったとする。そのような 7 人の生徒の着席の仕方を見つけなさい。
1177
55
33
11
?? ??
??
????
??66
44
22
第10問
― 47 ―
― 48 ―
じゃんけんの勝負を次々とする機械がある。１回の勝負の結果は“勝ち”か“負け”か“あ
いこ”であり，それぞれ 1 点，－1 点，0 点が与えられる。この機械は，最初の勝負では，
グー，チョキ，パーを 13 ずつの確率で出す。
勝負に負けると，次の勝負では，相手の出した手（例えばパー）に勝つ手（チョキ）を 0.5 の
確率で出し，相手と同じ手（パー）を 0.3 の確率で，自分の出した手（グー）を 0.2 の確率で出す。
勝負に勝つと，次の勝負ではグー，チョキ，パーを 13 ずつの確率で出す。あいこの場合，
次の勝負では，あいこだった手以外の手を 12 ずつの確率で出す。以下では，この機械とプ
レーするときに，与えられる合計点をなるべく大きくする戦略について考察する。
問１ 勝負を全部で３回行う場合を考える。最初の勝負で，機械はグー，こちら側はパーで
機械が負けたとする。この場合２回目の勝負では，機械は 0.5 の確率でチョキ，0.3 の
確率でパー，0.2 の確率でグーを出す。そこで，こちら側は２回目の勝負でグーを出す
ことにした。
⑴ ２回目の勝負で，機械がチョキを出したとする。すると，機械は再び負けたので，上
の規則にしたがって３回目の手を出し，こちら側は機械に勝つ確率の最も高い手でそれ
に応えた。こうして３回の勝負がすべて終わったときに，こちら側が得る合計点の期待
値（合計点の見込まれる平均）を答えよ。
⑵ ２回目の勝負で，機械がパーを出したとする。このときに，３回の勝負でこちら側が
得る合計点の期待値を答えよ。
⑶ ２回目の勝負で，機械がグーを出したとする。このときに，３回の勝負でこちら側が
得る合計点の期待値を答えよ。
⑷ 上記の⑴～⑶の結果を１つにまとめてみよう。２回目の勝負でこちら側がグーを出す
ことにした場合，３回の勝負がすべて終わったときに，こちら側が得る合計点の期待値
を答えよ。
第11問
― 49 ―
⑸ ２回目の勝負で，こちら側がグーではなくチョキを出したと仮定してみよう。このと
き，機械の出す手のすべての場合を考慮に入れると，３回の勝負が終わったときに，こ
ちら側が得る合計点の期待値を答えよ。
⑹ 結局，２回目の勝負でこちら側は何を出せばよいか答えよ。
問２ 問１の計算を一般化しよう。表記を簡潔にするため，グーを 1，チョキを 2，パーを
3 と表すことにし，配列 P［i, j, k］には，直前の勝負において機械が i，こちら側が j を
出したとき，その次の勝負で機械が k を出す確率をあらかじめ入力しておく。例えば，
P［1, 3, 1］＝0.2，P［1, 3, 2］＝0.5，P［1, 3, 3］＝0.3 である。
同様に，配列 R［i, j］には，機械が i，こちら側が j を出したときに，こちら側に与え
られる点をあらかじめ入力しておく。例えば R［1, 1］＝0，R［1, 2］＝－1，R［1, 3］＝1 で
ある。
図１のプログラムは，全部で N 回の勝負を行うことを想定して，配列 Q［n, i, j, k］を
計算する。Q［n, i, j, k］は，n－1 回目の勝負における機械の手が i，こちら側の手が j
であり，かつ n 回目の勝負においてこちら側が k を出したときに，n 回目以降に得られ
る合計点の期待値を表す（ただし，n≧2 とする）。n＝N＋1 のときには，便宜的に
Q［n, i, j, k］＝0 と設定する。
⑴ 問１では N＝3 の場合について考察した。問１⑴の期待値には，Q［3, 2, 1, 2］の計算
結果が反映されている。Q［n, i, j, k］が n 回目以降に得られる合計点の期待値であるこ
とに注意して，Q［3, 2, 1, 2］の値を答えよ。
⑵ 問１⑷の期待値には，Q［2, 1, 3, 1］の計算結果が反映されている。Q［2, 1, 3, 1］の値を
答えよ。
⑶ 1≦i′≦3，1≦j′≦3，1≦k′≦3 となる任意の i′, j′, k′の組み合わせに対して，
Q［n＋1, i′, j′, k′］の値がわかっているものとする。問１⑷の計算を一般化して，これら
の値から Q［n, i, j, k］を求める方法について述べよ。
⑷ 図１の の部分には，Q［n, i, j, k］を設定するためのコードが入る。この部分の
コードを補って，プログラムを完成させよ。
⑸ 配列 Q［n, i, j, k］の値が，n≧2 となるすべての場合について求まったとする。このとき，
配列 Q を参照しながら，どのように機械とじゃんけんを行えばよいか述べよ。
― 50 ―
図１ プログラム（こちら側が得る合計点の期待値を計算するプログラム）
i を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
j を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
k を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
Q［N＋1, i, j, k］ ← 0
を繰り返す
を繰り返す
を繰り返す
n を N から 2 まで 1 ずつ減らしながら
i を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
j を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
k を 1 から 3 まで 1 ずつ増やしながら
x ← 0
Q［n, i, j, k］ ← x
を繰り返す
を繰り返す
を繰り返す
を繰り返す
― 51 ―
― 52 ―
左右に無限に部屋が並んでおり，その一つが黒く塗られている。他の部屋は白である。黒
い部屋に一機のロボットが置かれている。ロボットは各時刻 t＝0, 1, 2, …（秒）に自分のい
る部屋の色（黒か白か）を見ることができ，現在や過去に見た色に応じて次の１秒間で左か
右に（一部屋だけ）進むことができる。
つまり，ロボットのプログラムは命令の列であり，各命令は
条件 → 行動
の形をしている。条件としては「j 秒前にいた部屋の色が 色 だった」を表す「j 色 」と
いう式を 0 個以上書くことができる。複数の式を書いたときにはそれらがすべて満たされた
ときに行動を取るという意味になり，式を一つも書かなかったときには常にその行動を取る
という意味になる。行動は
・右 （右に行く）
・左 （左に行く）
のいずれかである。
各時刻 t＝0, 1, 2, …（秒）において，ロボットはプログラム全体を先頭から読み，条件に
あてはまる命令を実行する。ただし複数の条件にあてはまるときは最も早く書いてある命令
のみが実行される。また「j 秒前」が動作開始（時刻 0）以前を指すときは（開始前ははじ
めの部屋にずっといたので）黒だったことになる。
例えば，
0 黒 → 右
0 白 1 黒 → 右
→ 左
というプログラムは，
・現在（0 秒前）の部屋が黒ならば，右へ動く
・現在の部屋が白で，1 秒前の部屋が黒だったならば，右へ動く
・そうでなければ，左へ動く
という意味であるので，毎秒このプログラムを実行すると，ロボットははじめの部屋から右
へ 2 秒進んで左へ 2 秒進むことを繰り返すことになる。
第12問
― 53 ―
問１ 次のプログラムでは，ロボットは一定の時刻以降には「右に n 秒進み，左に n 秒進む」
という動きを繰り返すようになる。n はいくつか。
1 黒 → 左
5 黒 → 右
4 黒 → 右
→ 左
以下ではそのような動きを片道 n 秒の往復運動と呼ぶことにしよう。片道 n 秒の往復運
動では，n＋1 個の連続する部屋を訪れることになる。
問２ 片道 8 秒の往復運動をするプログラムを書け。（黒い部屋との位置関係は問わない。）
次の問３～問６では，このロボットは忘れっぽく，3 秒前までしか記憶がないとする。つ
まり式「j 色 」の j には 0, 1, 2, 3 しか書けない。
問３ この制限の下で，問１と同じ位置を往復運動するプログラムを書け。
問４ このように記憶が限られていると，問２のような片道 8 秒の往復運動は不可能である。
次の文章はこの理由を述べたものである。下線部が成り立つのは何故か，理由を述べよ。
片道 8 秒の往復運動には，四つの白い部屋を訪れた後で左に行くべき時刻と，四つ
の白い部屋を訪れた後で右に行くべき時刻が両方ある。したがって，3 秒前までの
記憶からこの両者を正しく区別して行動することはできない。
問５ 各時刻で，動いた後に（移動先の）部屋を黒く塗ることができるとする（これを行っ
た次の時刻には「0 黒」が成り立つことになる）。つまり行動は以下の四種類となる。
・右 （右に行くだけ）
・左 （左に行くだけ）
・右黒 （右に行き，部屋を黒く塗る）
・左黒 （左に行き，部屋を黒く塗る）
もともと黒い部屋は塗っても黒いままである。
次のプログラムで問１と同じ位置の往復運動が実現されるよう， ？ に条件を入れ
よ。（そのような往復運動さえするのであれば色はいつどこに塗っても良い。）
― 54 ―
1 黒 → 左？ → 右黒
→ 右
問６ 片道 8 秒の往復運動をするプログラムを書け。（往復運動さえするのであれば色はい
つどこに塗っても良い。）
― 55 ―