Números enteros.

Integrantes: Massiel QuirogaLorena Aguayo

Índice.

Introducción………………………………………..……………………..3Historia…………………………………………….……………..............4Números enteros………………………………………….…………......5Introducción a los números enteros………….....……………………..5Representación de los númerosenteros sobre una recta…………………………..……………………..7Orden de los números enteros……………….…………………...……8Valor absoluto de un número entero……….……………………...…..8Suma de números enteros………………….………………................9Suma de un entero en la recta numérica…………………………….10Resta de números enteros…………………………………………….11Multiplicación de números enteros……………………………………12División de números enteros…………………………………….........13Operaciones compuestas…………………………………………......13Actividades didácticas………………………………………………….14Conclusión…………………………………………………………........16Bibliografía…………………………………………………………........17

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Introducción.

En algún momento los números naturales no sirvieron para el calculo de lagunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 100 peroso o para el medir las temperaturas bajo cero, fue por eso que nacieron los números enteros, los cuales son una generalización del conjunto de los números naturales, que incluye números negativos.A continuación se presentara una breve historia, de el porque aparecieron, se definirá el conjunto de los números enteros, también se presentaran una serie de situaciones de la vida diaria donde están presente los números enteros. Luego conoceremos como representarlos en una línea recta, como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor. También conoceremos el valor absoluto de un número entero y además las cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.

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Números enteros.

Historia

Los números históricos encontraron por primera vez una aplicación en los balances contables. A veces cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30" podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban idealmente una cantidad de unidades no divididas (debidas o poseídas pero siempre cantidades indivisibles).Tal vez por el hecho de que los números negativos podían ser representados como naturales, aunque escritos con tinta de color diferente, históricamente fueron rechazados como entidades "no existentes" realmente, sino sólo como artificios contables. No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. [http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero#Historia].

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Números enteros

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural). [http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero#Historia].

Introducción a los números enterosCon los números naturales podemos contar todo cuanto nos rodea: una caravana de 5 coches, una pandilla de 11 amigos, una bandada formada por 47 pájaros..., pero no manejamos el número 0, ni podemos representar situaciones como estas:Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Debo $100: -$100

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La temperatura alcanzo los 10 grados bajo cero: -10º

El ancla esta a 811 metros bajo el nivel del mar: -811Y así en muchas otras situaciones que vivimos cotidianamente.

En estos casos estamos usando números enteros negativos, números precedidos por el signo menos (-).

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Representación de los números enteros sobre una rectaLos números enteros son:

Los enteros positivos (o números naturales): +1, +2, +3, +4, +5...

El 0, que no es ni positivo ni negativo. Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...

Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

¿Cómo construir una recta numérica?

Trazar una línea recta Pintar el cero en el centro Dividir la recta en segmentos iguales Coloca los números positivos a partir del cero y hacia la

derecha Coloca los números negativos a partir del cero y hacia la

izquierda

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ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Un número entero es mayor que otro si está situado más a la derecha sobre la recta numérica.

Por ejemplo,  5 > 3;  5 > -1; -1 > -3:

De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está situado a la izquierda sobre la recta numérica.

Por ejemplo,  2 < 4;  -7 < -1; -3 < 0:

Valor absoluto de un número entero

Observar la recta numérica y contestar las siguientes preguntas.

¿Qué distancia separa el -3 del cero? ¿Qué distancia separa el +5 del cero? ¿Qué distancia separa el -6 del cero?

El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica y se escribe entre barras tal como se indica en los siguientes ejemplos:

El valor absoluto de -5 es 5 y se escribe: |-5| = 5 El valor absoluto de +3 es 3 y se escribe: |+3| = 3

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SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Valor absoluto de un númeroYa sabemos que el signo que lleva delante un número lo caracteriza como positivo o negativo. Pero hay ocasiones en las que nos va a interesar trabajar solo con el valor numérico del número, sin tener en cuenta su signo. Cuando hacemos esto se dice que estamos trabajando con el valor absoluto del número, y para expresarlo se escribe el número entre dos barras verticales.

Reglas del cálculo:La suma de dos enteros de igual signo es un entero con ese mismo signo y cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de cada uno de los sumandos.(+7) + (+2) = +9, porque |+7|+|+2|=9 Y como ambos son positivos, el resultado es +9.(-4) + (- 6) = -10, porque |-4|+|-6|=10 Y como ambos son negativos, el resultado es -10.

La suma de dos enteros de distinto signo se realiza restamos sus valores absolutos, poniendo como minuendo al de mayor valor absoluto y como sustraendo al de menor valor absoluto. El signo del resultado será el signo del número de mayor valor absoluto.

Caso particular: la suma de un número con su opuesto es igual a 0. Por ejemplo, (-7) + (+7) = 0. Recuerda que el opuesto de un número es el mismo número en valor absoluto pero cambiado de signo. Por ejemplo: el opuesto de 3 es -3 y el opuesto de -5 es +5.

(+9) + (-4) = +5. De los números +9 y -4, el +9 es el que tiene mayor valor absoluto y por ello es el que aportará el signo “+” al resultado final. Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos: |+9|-|-4|=5Por lo tanto, el resultado es +5.

(+2) + (-8) = -6. En este segundo ejemplo es el -8 el número que tiene mayor valor absoluto, por lo que aportará su signo “–” al resultado. Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos: |-8|-|+2|= -6Por lo tanto, el resultado es -6.

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SUMA DE UN ENTERO POSITIVO SOBRE LA RECTA NUMÉRICA

Para sumarle a cualquier número entero otro entero positivo, nos situamos sobre el punto que representa el primer sumando y avanzamos hacia la derecha tantas unidades como nos indique el segundo sumando.Por ejemplo, para efectuar la suma -5 + 3:

1. Nos situamos en el punto de la recta que representa – 5:

2. Avanzamos desde ese punto tres unidades hacia la derecha:

3. Hemos alcanzado el punto –2. Así pues: -5 + 3 = -2.

Para sumarle a cualquier número entero otro entero negativo, nos situamos sobre el punto que representa el primer sumando y avanzamos hacia la izquierda tantas unidades como nos indique el segundo sumando.Por ejemplo, para efectuar la suma 5 – 6:

1. Nos situamos en el punto de la recta que representa 5:

2. Avanzamos desde ese punto seis unidades hacia la izquierda:

3. Hemos alcanzado el punto –1. Así pues: 5 - 6 = -1.

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RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Regla de cálculoRestar un número de otro es lo mismo que sumarle su opuesto. Recuerda que el opuesto de un número es el mismo número en valor absoluto pero cambiado de signo. Por ejemplo: el opuesto de 3 es -3 y el opuesto de -5 es +5.

EjemplosPara restar +5, lo que hacemos es sumar -5. De este modo: (- 4) - (+5) = (- 4) + (- 5); entonces calculamos el resultado de acuerdo con las reglas que ya hemos visto; por lo tanto: (- 4) - (+5) = (- 4) + (- 5) = - 9.

Para restar - 3, lo que hacemos es sumar +3, ya que el opuesto de -3 es +3. De modo que: (- 8) - (- 3) = (-8) + (+3) = - 5.

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

En una multiplicación se pueden identificar los siguientes términos.

a · b = c

Factores producto

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ · + = ++ · - = -

- · + = - - · - = +

Resumiendo:Si dos números tienen el mismo signo al multiplicarlos el resultado es POSITIVO.Si dos números son de signos contrarios al multiplicarlos el resultado es NEGATIVO.

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DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La división es la operación inversa de la multiplicación.En una división se pueden identificar los siguientes términos:

a : b = c,

Donde a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.

Para conocer el signo del cociente de dos números enteros, también podemos aplicar la regla de los signos: REGLA DE LOS SIGNOS:

+  :  +  =  +                        -   :  -   =  +                        +  :  -   =  -                        -   : +   =  -

Resumiendo:Si los dos números tienen el mismo signo al dividirlos el resultado es POSITIVO.Si los dos números son de signos contrarios al dividirlos el resultado será NEGATIVO.

OPERACIONES COMPUESTASLas preferencias en el orden de la realización de operaciones compuestas de números naturales son también validas para los enteros.

Paréntesis, si los hubiese (si aparecen varios, uno dentro de otros, se comienzan efectuando los de adentro).

Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas

Actividades didácticas.

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ACTIVIDAD Nº 1 Imagínate que hay una recta numérica que está dibujada en el suelo y que tú estás parado sobre el punto cero. Sigue las instrucciones y luego responde las preguntas.

Moverse uno o más pasos hacia atrás, o retroceder, significa moverse en el sentido de los números negativos. Cada paso representa una unidad.

Moverse uno o más pasos hacia delante, o avanzar, significa moverse en el sentido de los números positivos. Cada paso representa una unidad.

Para cada una de las siguientes preguntas imagina que partes en el punto cero.

Retrocede 5 pasos y avanza 3 pasos. ¿En que punto te encuentras?

Avanza 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¿En qué punto te encuentras?

Retrocede 3 pasos y avanza 4 pasos. ¿En qué punto te encuentras?

Avanzas 15 pasos y retrocedes 15 pasos. ¿En qué punto te encuentras?

Si avanzas 13 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto -5?

Si retrocedes 7 pasos, ¿Cuántos pasos debes avanzar para terminar en el punto -2?

Actividad Nº 2

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1) Organizados en grupos, desarrollan diversas acciones que llevan al análisis de la adición de números positivos y negativos. Juegan con naipes a sacar parejas de cartas siguiendo las instrucciones que a continuación se detallan: Materiales por grupo: 1 set de naipe inglés, con las cartas del 1 al 13 de pintas

rojas y negras y los comodines (4 cartas). Las cartas rojas indicarán puntos positivos, las negras negativas y a los comodines se les asignará el valor del cero.

1 set de tarjetas con números desde +13 a -13, incluyendo el cero.

Instrucciones: - Se reparten las cartas del naipe inglés entre los 4 integrantes del grupo. - Después se da vuelta una de las tarjetas que indica el número de puntos que se debe obtener. - Todos los jugadores al mismo tiempo seleccionan entre las cartas recibidas dos naipes con los cuales se pueda obtener, en total, el número indicado en la tarjeta. Este total se obtiene al compensar los puntos de ambas cartas, por ejemplo, si la tarjeta indica -2 puede obtenerse con dos naipes negros (de valor 1); con un naipe rojo y otro negro (5 negro y 3 rojo) o con el naipe que representa el cero y un naipe negro (negro 2). Esta acción es contra el tiempo y el que encuentra las dos cartas que cumplan la condición las presenta al centro de la mesa y obtiene un punto. - Se revisan las parejas de cartas encontradas para ese valor y se registran en una tabla. - En cada vuelta del juego se muestra una nueva tarjeta que indica el número a obtener y se repiten los dos pasos anteriores. Meta Gana el jugador que ha logrado obtener más cantidad de cartas.

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Conclusión.

El análisis de los datos obtenidos tiene como foco detenerse en la caracterización de la adición como operación usando estos números con signo (enteros, en este caso), ya que los estudiantes conocen la adición en los números naturales y la tienen asociada a diferentes acciones, significados y cómo se opera con ellos. Entonces, teniendo como base ese aprendizaje ponen a prueba el comportamiento de esta operación con números con signo. De ahí la importancia del análisis de ejercicios en los cuales se destaquen las propiedades de la adición de números negativos. ¿Qué papel tiene el cero en este nuevo contexto?, ¿para qué sirve? ¿Es posible seguir sumando los mismos números, no importando el orden en el cual se realice? Es un buen momento para abordar el opuesto de un número, las preguntas orientadas al análisis del cero como resultado tienen esta finalidad. Apoyarse en la idea de compensación sirve para reforzar la idea de números opuestos.

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Bibliografía.

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[http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero#Historia].

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