juro composto
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Matemática FinanceiraMatemática Financeira
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Capitalização Composta
Taxas de Juros
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Juro Composto
Cálculo do rendimento a Juros Compostos: Montante; Juros; Capital; Tempo; Taxa de juros; Equivalência em juros composto.
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Juro Composto
O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros. Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa
de 10% ao ano.
Ano (n) 0 1 2 3 4
Juro (j) 0,00 100,00 110,00 121,00 133,10
Montante (S) 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10
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Juro Composto
Montante (taxa 10%a.a.)
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0 2 4 6 8 10
tempo (anos)
Va
lore
s e
m r
ea
is
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Juro Composto
Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial.
j1 = P . i j2 = S1 . i j3 = S2 . i jn-1 = Sn-2 .i jn = Sn-1 . i
0 1 2 3 n-1 n
S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i)
S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2
S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3
Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n
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Juro Composto
Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados
0 1 2 3 n-1 n
S = P(1+i)n
P+J = P(1+i)n
J = P(1+i)n – PJ = P[(1+i)n – 1]
P = S(1+i)-n
S -J= S(1+i)-n
J = S – S(1+i)-n
J = S[1- (1+i)-n]
Valor Inicialou
Principal
Valor Futuroou
Montante
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Juro Composto
O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de: Principal Valor atual Investimento, etc.
0 1 2 3 n-1 nP S
S = P(1+i)n P = S(1+i)-n
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Juro Composto
A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo.
Podendo ser constante ou variável ao longo dos período.
0 1 2 3 n-1 nP
S = P(1+i)n
S/P = (1+i)n
i = (S/P)1/n -1
1P
Si n
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Juro Composto
Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: Meses; Bimestres; Semestres; Anos, etc
S = P(1+i)n
S/P = (1+i)n
ln(S/P) = ln(1+i)n
ln(S/P) = n.ln(1+i)
i)(1P
S
n
ln
ln
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Juro Composto
Capitalização Contínua Quando a taxa é expressa em um determinado período de
tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua.
Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico.
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Taxas de Juros
Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em: Proporcionais; Nominais Equivalentes, e Efetivas, real ou capitalizada.
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Taxas de Juros
Proporcionais A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns
casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear.
0 1 2 3 4 5 P S
3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s.
3 x 2 = 6% a.a.
Semestres
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Taxas de Juros
Nominais Corresponde a taxa de um período inteiro como
por exemplo:
A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional)
Ano 12%
Semestre 6%
Mês 1%
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Taxas de Juros
Equivalentes Na capitalização composta, todos os valores ao
longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa.
A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo:
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Taxas de Juros
Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual.
0 1 2 3 4 5 P S
5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s.
10,25% a.a.
Semestres
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Taxas de Juros
Equivalentes No exemplo anterior a diferença de valor e justamente
pela acumulação dos juros na forma composta. Quando o período da taxa é maior que o período se
deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula: iq = (1+it)q - 1
Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula: iq = (1 + it)1/q – 1
iq = taxa que quero
it = taxa que tenho
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Taxas de Juros
Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: iq = taxa para o prazo que eu quero it = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho
1)1( t
q
tq ii
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Taxas de Juros
Vejamos alguns exemplos: Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a
65% ao ano: i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99%
Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23%
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Taxas de Juros
Pontos importantes Observar o enunciado da questão a ser resolvida.
Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear.
Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente.
Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização.
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Bibliografia
FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000.