juuri8 luku1 teht ratkaisut¤-matematiikka2... · juuri 8 • tehtävien ratkaisut •...

Juuri 8 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 12.12.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

1 Potenssi ja funktion potenssi

Ennakkotehtävät

1. a) Koska 49 = 72, tulee lausekkeen 57

7n jakajan olla 73, koska tällöin

5

3

7 7 777

7 77 7 7

49. Luvun n tulee siis olla 3.

b) Koska 2 4 2 2 2 2 8( )a a a a a a a a a a a a a a , niin n = 8.

c) Koska

4(2a)9 = 9 11 9

9 kpl 9 kpl 9 kpl (2 9) kpl

4(2 2 ... 2 ) (2 2) (2 2 ... 2 ... ) 2 2 ... 2 2a a a a a a a a

niin n = 11.

d) Lauseke a6 − a3 voidaan jakaa tekijöihin: 3 3( 1) ( 1)a a a a a a a aa a a a a aa a a , joten n = 3.

2. a) Piirretään f(x) = x(2x − 3)3 kuvaaja.

Kuvaajan perusteella derivaatan nollakohdat näyttäisivät olevan x ≈ 0,4 ja x ≈ 1,5.


b) Funktiolla näyttäisi kuvaajan perusteella olevan minimiarvo n. −4,2. Tutkitaan funktion kulkua derivaattafunktion avulla.

3 3 3 2

2( ) D (2 3) D(2 3) 1 (2 3) 3 (2 3) 2

(2 3) (8 3)

f x x x x x x x xx x

Derivaattafunktion nollakohdat ovat: (2x − 3)2(8x −3) = 0 2x − 3 = 0 tai 8x −3 = 0

x = 32

x = 38

Laaditaan funktion f kulkukaavio. Derivaatan lausekkeessa (2x − 3)2 saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijän 8x − 3 merkki.

8x − 3 ≥ 0, kun x ≥ 38

, muulloin 8x − 3 < 0.

38

32

f ′ (x) − + + f(x)

Funktiolla on paikallinen minimiarvo

3 33 3 3 3 9 217( ) (2 3) ( ) 4,278 8 8 8 4 512

f .


1.1 Potenssi ja verrannollisuus YDINTEHTÄVÄT

101. a) (5x)2 = 52 ⋅ x2 = 25x2 b) (x2)4 = x2 ⋅ 4 = x8 c) (7x3)2 = 72 ⋅ (x3)2 = 49x3 ⋅ 2 = 49x6

d) (−3x5)2 = (−3)2 ⋅ (x5)2 = 9x5 ⋅ 2 = 9x10

102. a) x3 ⋅ x8 = x3 + 8 = x11

b) 4x7 ⋅ 8x14 = 4 ⋅ 8 ⋅ x7 ⋅ x14 = 32x7 + 14 = 32x21

c) −x6 ⋅ 5x−5 = −5x6 ⋅ x−5 = −5x6 − 5 = −5x1 = −5x d) (3x)2 ⋅ (−2x)3 = 32 ⋅ x2 ⋅ (−2)3 ⋅ x3 = 9 ⋅ (−8) x2 ⋅ x3 = −72x2 + 3 = −72x5

103. a) 4 4 3

4 1 31 1 1 ( 0)3 3 3 3 3x x xx x xx x

b) 7

7 ( 2) 92

18 18 3 ( 0)66

x x x xx

c) 22 2 2 2

2

(5 )5 5 252 4 42

xx x x

d) 2 2 2 2

2 2 2

( 9 ) ( 9) 81 9 ( 0)9 9 9

x x x xx x x


104. a) (2x − 1)2 = (2x)2 − 2 ⋅ 2x ⋅ 1 + 12 = 4x2 − 4x + 1

b) (1 + 4x)(1 − 4x) = 12 − (4x)2 = 1 − 16x2

c)

2 72 7 5 2 2 2 2 2 2 4 2

2 5

( 1)( 1) ( 1) ( ) 2 1 1 2 1

( 1)x x x x x x xx

d)

6

4

6(3 1) 69(3 1)

xx

9

2

6 4

3

2

2

2

(3 1)

2 (3 1)32 (9 6 1)3

2 16 4 ,3 3

x

x

x x

x x x

105. a) 2x−4 = 44 4

1 22 2 ( 0)x xx x

22 2

3 3 1 3 ( 0)5 5 5

x xx x

2 22 2

2

(4 )5 4 16( ) ( ) ( 0)4 5 255

xx x xx

b) 3

33 3

1 1 1 1 ( 0)2 2 22

xx xx x

55

5 52 2 1 2 2 ( 0)

3 3 33xx x

x x


106. a) a2 ⋅ a3 = (a ⋅ a) ⋅ (a ⋅ a ⋅ a), kirjoitetaan potenssit tulona (a ⋅ a) ⋅ (a ⋅ a ⋅ a) = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a, kirjoitetaan tulo ilman sulkeita a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a5, kirjoitetaan tulo potenssina

b) kirjoitetaan potenssit tuloina an ⋅ am = kpl kpl

( ... ) ( ... )n m

a a a a a a

kirjoitetaan tulo ilman sulkeita

kpl kpl kpl kpl

( ... ) ( ... ) ... ...n m n m

a a a a a a a a a a a a

kirjoitetaan tulo potenssina kpl kpl kpl

... ... ... n m

n m n m

a a a a a a a a a a


107. a) 7

3

a a a a a a a aa a aa

, kirjoitetaan potenssit tuloina

a a a a a a a a a a

11

a a a a ,

supistetaan osoittajasta ja nimittäjästä samat tekijät

4

1

a a a a a , kirjoitetaan tulo potenssina (a ≠ 0)

b) kirjoitetaan potenssit tuloina

kpl

kpl

...

...

mm

n

n

a a a aa a aa

supistetaan osoittajasta ja nimittäjästä samat tekijät kpl

... ...

m n

a a a a a a

kpl

...

n

a a a

kpl

kpl

...1

m n

n

a a a

kirjoitetaan tulo potenssina

kpl

...1

m n

m na a a a

(m > n > 0).


VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT

108. a) 53 ⋅ 23 = (5 ⋅ 2)3 = 103 = 1000

b) 4

4 44

18 18( ) 2 1699

c) 76 6 6 6 61 1 1 1 1 1 13 ( ) 3 ( 3) 1

3 3 3 3 3 3 3

d) 2,5 ⋅ 103 ⋅ 4 ⋅ 10−4 = 2,5 ⋅ 4 ⋅ 103 ⋅ 10−4 = 10 ⋅ 10−1 = 101 − 1 = 100 = 1

109. a) 31 + 30 + 3−1 = 1 13 1 43 3

b) 4−2 + 2−1 − 21 = 21 1 1 8 32 232

2 16 16 16 164

c)

22

1 1 110 0,02 0,0210 10 10

1 1 0,0210 1000,1 0,01 0,020,11

d) −3−2 + (−6)−2 = 2 2

1 1 1 1 4 1 3 19 36 36 36 36 123 ( 6)


110. a) 2 2

11

5 4 1 16 1 16 5 215

4 5 25 5 25 25 255

b)

3 33 3 3

3 3 3

3 3

3

1 2( 2 ) ( 2)2 1

2 ( 8)

8 8

16 ( 0)

xx xxx x

x xx x

c)

9 911 11 11

911 11

9

11 9 11 9

2 20

20

7(7 ) 77

77

7

7

49 ( 0)

xx xxxx

xx

x x

111. a) (x2 − 1)(x2 + 1) = (x2)2 − 12 = x4 − 1

b) 2 ( 1)( 11

1x xx

x

)

1x 1x (x ≠ −1)

c) 3( 2) ( 2

2x x

x

2)( 2)( 2

xx

2 2 2( 2) ( 4 4) 4 4)

x x x x x

(x ≠ 2)

d) 4 4

4 2 2 22 2

(7 1) (7 1)(7 1) (7 1) 49 14 1

49 14 1 (7 1)x x x x x x

x x x

(x ≠ 1

7)


112. a) 22 2(7 3) 7 3 49 3 147

b)

3 23 3(2 2) 2 2 8 2 2 8 2 2 16 2

c) 22 2(3 2 1)(3 2 1) (3 2)2 1 3 2 1 9 2 1 18 1 17

d)

3 3 )

2

22

2 3(3 3)2 33 3 (3 3)(3 3)

3 2 3 2 3

3 36 3 2 3

9 36 3 6

66 3 6

6 63 1

113. a) 1,23 ⋅ 10−3 = 3

1,2311,23 0,00123100010

b) −0,0005 44

1 15 0,0001 5 5 5 1010000 10

c) 5 ⋅ 102 + 3 ⋅ 101 + 7 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10−1 + 4 ⋅ 10−2

1 15 100 3 10 7 1 3 410 100

500 30 7 0,3 0,04537,34

d) 75,23 = 70 + 5 + 0,2 + 0,03

= 7 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,01 = 7 ⋅ 101 + 5 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10−1 + 3 ⋅ 10−2


114. Lasketaan maljakon tilavuus litroina. 10−10 mm3 = 10−10 ⋅ 10−6 dm3= 10−16 l. Kun yhdessä litrassa on noin 3 ⋅ 1025 vesimolekyyliä, mahtuu maljakkoon 3 ⋅ 1025 ⋅ 10−16 =3 ⋅ 1025 − 16 = 3 ⋅ 109 vesimolekyyliä.

115. a) 2 + 22a = 2 + (2a)2 = 2 + 32 = 2 + 9 = 11

3 3

3 3 3 22 2 2 3 8 8 8

92 (2 ) 3 3

a a

a a

4a + 1 + a0 = 4a ⋅ 41 + 1 = (22)a ⋅ 4 + 1 = (2a)2 ⋅ 4 + 1 = 32 ⋅ 4 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 = 36 + 1 = 37

b) (xn−1)n−1 ⋅ (xn)2−n

= x(n − 1)(n − 1) ⋅ xn(2 − n) 2 2

2 2

2 1 2

2 1 2

1

n n n n

n n n n

x xxxx


116. I yx = 5 Tulo on vakio, joten suureet ovat kääntäen verrannolliset. Verrannollisuuskerroin on 5.

II 2yx

Suhde on vakio, joten suureet ovat suoraan verrannolliset. Verrannollisuuskerroin on 2. III y = 7x Yhtälö on muotoa y = kx, joten suureet ovat suoraan verrannolliset. Verrannollisuuskerroin on 7.

IV 4 14y x x

Yhtälö on muotoa y = 1k x , joten suureet ovat kääntäen verrannolliset.

Verrannollisuuskerroin on 4. V Kun suureen x arvo kaksinkertaistuu, suureen y arvo puolittuu, joten suureet ovat kääntäen verrannolliset. Kääntäen verrannollisten suureiden x ja y tulo on vakio, eli saadaan yhtälö xy = 60. Verrannollisuuskerroin on 60. VI Kun suureen x arvo kaksinkertaistuu, suureen y arvo myös kaksinkertaistuu. Suureet ovat suoraan verrannolliset. Suoraan verrannollisten suureiden x ja y

suhde on vakio, eli saadaan yhtälö 3yx .

Verrannollisuuskerroin on 3.


117. Koska nopeusmittarin lukema x ja todellinen nopeus y ovat suoraan verrannolliset, niin y = kx. Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k sen tiedon avulla, että y = 76 kun x = 80. 76 = k ⋅ 80 ||: 80

k = 76 1980 20

Kysytty yhtälö on 1920

y x .

Ratkaistaan mittarilukema x, kun y = 100.

19100 || 2020

2000 19 ||:192000 105,26... (km/h)19

xx

x

Mittarilukema on 105 km/h.


118. a) Koska jarrutusmatka s ja nopeuden neliö v2 ovat suoraan verrannolliset, niin s = kv2. Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k sen tiedon avulla, että s = 30 kun v = 80. 30 = k ⋅ 802 ||:802

k = 230 3

64080


s v .

b) Määritetään jarrutusmatka, kun nopeus on 100 km/h.

2100

3 100 46,875 (m)640

s

Jarrutusmatka lyhenee 46,875 m − 30 m = 16,875 m ≈ 17 m. Lasketaan jarrutusmatkat nopeuksilla 50 km/h ja 30 km/h.

250

230

3 50 11,718... (m)640

3 30 4,218... (m)640

s

s

Jarrutusmatka lyhenee 11,718… m − 4,218… m = 7,5 m.


119. Koska kaasun paine p ja tilavuus V ovat kääntäen verrannolliset, niin 1p k V .

Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k sen tiedon avulla, että p = 250 kun V = 2,8.

1250 || 2,82,8

250 2,8 700

k

k

Kysytty yhtälö on 1700p V .

Lasketaan kaasun tilavuus, kun p = 350.

1350 700 ||: 700

350 1700

1 12

2

V

V

VV

Tilavuus on 2 dm3, kun paine on 350 kPa.


120. a) Suorakulmion pinta-ala on x ⋅ y = 50. Suureet x ja y ovat kääntäen verrannolliset.

b) Kolmion pinta-ala on:

15 || 22

30

x y

xy

Suureet x ja y ovat kääntäen verrannolliset.

c) Tuntipalkka on 320 €

40 € / h.8 h

Tällöin palkka saadaan, kun työaika kerrotaan tuntipalkalla. y = 40x Suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset.


121. a) Matkat ovat suoraan verrannolliset. Kun kelkkaa pyörittävän kulkema matka kaksinkertaistuu, myös kelkassa istuvan kulkema matka on kaksinkertaistunut.

b) Molemmilla kestää yhtä kauan kiertää yksi kierros. Ajat ovat suoraan

verrannolliset (verrannollisuuskerroin on 1) c) Vauhti on matka jaettuna ajalla. Yhteen kierrokseen käytetty aika on

molemmilla sama. Kuljetut matkat ovat suoraan verrannolliset, joten vauhditkin ovat suoraan verrannolliset. Kun toisen vauhti kaksinkertaistuu, toisenkin vauhti kaksinkertaistuu.

d) Pyörittäjän yhden kierroksen aikana kulkema matka on

2π ⋅ 1 m = 2π m. Kelkan yhden kierroksen aikana kulkema matka on 2π ⋅ 5 m = 10π m. Matkojen verrannollisuuskerroin on 5. Vauhtien verrannollisuuskerroin on myös 5. Kelkassa istuvan vauhti on 5 ⋅ 3 km/h = 15 km/h.


122. Koska teho P ja tuulen nopeuden kuutio v3 ovat suoraan verrannolliset, niin P = kv3. Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k sen tiedon avulla, että P = 110 kun v = 5. 110 = k ⋅ 53 110 = 125k || : 125

k = 110 0,88125

Kysytty yhtälö on P = 0,88v3. Lasketaan voimalan teho kun tuulen nopeus on 13 m/s. P = 0,88 ⋅ 133 = 1933,36 (kWh). Teho on 1900 kWh. Lasketaan minimiteho, kun tuulen nopeus on 3 m/s. P = 0,88 ⋅ 33 = 23,67 (kWh). Minimiteho on 24 kWh.


SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT

123. Merkitään veden virtausnopeutta kirjaimella v ja putken halkaisijaa kirjaimella d. Koska virtausnopeus v ja halkaisijan neljäs potenssi d4 ovat suoraan verrannolliset, niin v = kd4. Kun virtausnopeus kaksinkertaistuu, uusi nopeus on 2kd4. Ratkaistaan uusi halkaisija D yhtälöstä kD4 = 2kd4 || : k D4 = 2d4

D = 4 4 42 2 1,189d d d Halkaisijaa on suurennettava 19 %.

124. 1 1 01

1 1( ) ( ) 11 1 2

a

1 2 12

1 3 2 23

1 4 3 34

2 2 3( ) ( )2 1 3 2

3 3 4 16( ) ( ) ( )3 1 4 3 9

4 4 5 125( ) ( ) ( )4 1 5 4 64

a

a

a

125. a) 2 2 2

2 (2 1) 12 1 2 1

(2 ) 2 4 4 4 ( 0)n n

n nn n

a a a a a aa a

b) 2

21 1 ( 0)2 2 22 2

n n n n n nn n n

n n n na a a a aa a aa a a a

c) 22

2 2 2

( ) ( 11 ( ) 1

n n n nn n

n na a a aa a

a a

)

( 1na ( 0 ja 1)

1)( 1)

n

nna a a

aa


126. Lausekkeen a2n kuutio on (a2n)3 = a6n ja neliö (a2n)2 = a4n.

6 4 6 46 4 2 2 2

4 4 41 1 ( ) 1 ( 1)( 1)

n n n nn n n n n n

n n na a a a a a a a a

a a a

127. Merkitään stressin määrää kirjaimella y ja kuntoilun määrää kirjaimella x. Koska stressin määrä y ja kuntoilun määrä x ovat kääntäen verrannolliset,

niin 1y k x .

Lasketaan stressin määrä, kun kuntoilun määrää lisätään 20 %. Tällöin kuntoilun määrä on 120 % alkuperäisestä, eli 1,2x.

1 1 1 10,833...1,2 1,2

y k k kx x x

Stressin määrä on n. 83 % alkuperäisestä, eli se vähenee n. 17 %. Lasketaan stressin määrä, kun kuntoilun määrää vähennetään 20 %. Tällöin kuntoilun määrä on 80 % alkuperäisestä, eli 0,8x.

1 1 1 11,250,8 0,8

y k k kx x x

Stressin määrä on 125 % alkuperäisestä, eli se lisääntyy 25 %.


128. Koska valon intensiteetti I ja valonlähteestä mitatun etäisyyden neliö r2

ovat kääntäen verrannolliset, niin 2

1I kr

.

Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k sen tiedon avulla, että I = 600 (W/m2) kun r = 0,05 (m).

22

2

1600 || 0,050,05

600 0,051,5

k

kk


11,5Ir

Kun etäisyys on 10 cm = 0,1 m, Intensiteetti on

211,5 150

0,1I .

Kun etäisyys on 25 cm = 0,25 m, Intensiteetti on

211,5 24

0,25I .

Intensiteetti pienenee 150 24 0,84 84%.150

Jos intensiteetti kasvaa 100 %, tulee intensiteetti kaksinkertaiseksi. Merkitään uutta etäisyyttä kirjaimella R.

2 2

2 2

2 2

22

2

1 11,5 2 1,5 ||:1,5

1 2

2

21 0,707...

2 2 2

R r

R rR r

rR

r rR r r

Uusi etäisyys R on 71 % vanhasta etäisyydestä r. Etäisyyttä on lyhennettävä 29 %.


129. a) Koska suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset, y = kx. Koska suureet y ja z ovat suoraan verrannolliset, z = hy. Kertoimet k ja h ovat verrannollisuuskertoimia. Tällöin z = h ⋅ kx = hk ⋅ x, missä hk on verrannollisuuskerroin. Eli x ja z ovat suoraan verrannolliset.

b) Koska suureet x ja y ovat molemmat suoraan verrannolliset suureeseen z, on x = kz ja y = hz, missä k ja z ovat verrannollisuuskertoimia. Tällöin x + y = kz + hz = (k + h)z, missä k + h on verrannollisuuskerroin. Eli x + y on suoraan verrannollinen suureeseen z.


1.2 Funktion potenssin derivaatta YDINTEHTÄVÄT

130. a) D(3x + 1)5 = 5(3x + 1)4 ⋅ D(3x + 1) = 5(3x + 1)4 ⋅ 3 = 15(3x + 1)4

b) D(x3 − 2x)10 = 10(x3 − 2x)9 ⋅ D(x3 − 2x) = 10(x3 − 2x)9 ⋅ (3x2 − 2)

131. a) f ′ (x) = 6(3 − 2x)5 ⋅ D(3 − 2x) = 6(3 − 2x)5 ⋅ ( − 2) = −12(3 − 2x)5 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat yhtälöstä f ′ (x) = 0. −12(3 − 2x)5 = 0 3 − 2x = 0 −2x = −3 || : (−2)

x = 32

b) f ′ (x) = 3(x2 − 25)2 ⋅ D(x2 − 25) = 3(x2 − 25)2 ⋅ (2x) = 6x(x2 − 25)2

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat yhtälöstä f ′ (x) = 0. 6x(x2 − 25)2 = 0 6x = 0 tai x2 − 25 = 0 x = 0 x2 = 25 x = 5 tai x = −5


132. a) f ′ (x) = 3 ⋅ 4(x3 + 8)3 ⋅ D(x3 + 8) = 12(x3 + 8)3 ⋅ 3x2 = 36x2(x3 + 8)3

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat yhtälöstä f ′ (x) = 0. 36x2(x3 + 8)3 = 0 36x2 = 0 tai x3 + 8 = 0 x = 0 x3 = −8 x = −2

b) f ′ (x) = −6(x3 − 3x)5⋅ D(x3 − 3x) = −6(x3 − 3x)5⋅ (3x2 − 3) Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat yhtälöstä f ′ (x) = 0. −6(x3 − 3x)5⋅ (3x2 − 3) = 0 x3 − 3x = 0 tai 3x2 − 3 = 0 x(x2 − 3) = 0 3x2 = 3 || : 3 x = 0 tai x2 − 3 = 0 x2 = 1 x2 = 3 x = 1 tai x = −1 x = 3 tai x = 3 Nollakohdat ovat x = 3 , x = −1, x = 0, x = 1 tai x = 3 .


133. Funktio f(x) = (x2 − 1)3 on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [−2, 1] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Lasketaan funktion f arvot välin päätepisteissä. f(−2) = ((−2)2

− 1)3 = 33

= 27 f(1) = (12

− 1)3 = 03

= 0 Derivoidaan funktio f ketjusäännön avulla. f ′ (x) = 3(x2 − 1)2 ⋅ D(x2 − 1) = 3(x2 − 1)2 ⋅2x = 6x(x2 − 1)2 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. 6x(x2 − 1)2 = 0 6x = 0 tai (x2−1)2 = 0 x = 0 x2 − 1 = 0 x2 = 1 x = 1 tai x = −1 Derivaattafunktion nollakohdista välillä [−2, 1] ovat kaikki kohdat. Lasketaan funktion arvo näissä kohdissa. f(−1) = ((−1)2

− 1)3 = 03

= 0 f(0) = (02

− 1)3 = (−1)3

= −1 Suurin arvo on 27 ja pienin −1.

Kuvaajan perusteella tulos näyttäisi pitävän paikkansa.


134. Tarkastellaan funktion f(x) = (x2 − 9)4 kulkua derivaattafunktion avulla. f ′ (x) = 4(x2 − 9)3 ⋅ D(x2 − 9) = 4(x2 − 9)3 ⋅2x = 8x(x2 − 9)3 Tehdään funktion f kulkukaavio. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. 8x(x2 − 9)3 = 0 8x = 0 tai (x2 − 9)3 =0 x = 0 x2 − 9 = 0 x2 = 9 x = 3 tai x = −3 Tehdään funktion f kulkukaavio. Päätellään derivaattafunktion f ′ merkit testikohtien avulla.

x f ′ (x) Merkki −4 −10976 − −1 4096 + 1 −4096 − 4 10976 +

−3 0 3 f ′ (x) − + − + f(x)

Funktio f on kasvava väleillä −3 ≤ x ≤ 0 ja x ≥ 3 ja vähenevä väleillä x ≤ −3 ja 0 ≤ x ≤ 3.

Kuvaajan perusteella tulos näyttäisi pitävän paikkansa.


135. Etsitään funktion f(x) = 1

5(x2 − 4x)10 paikalliset ääriarvokohdat

derivaattafunktion avulla.

2 9 2 2 91( ) 10( 4 ) D( 4 ) 2( 4 ) (2 4)5

f x x x x x x x x

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat tulon nollasäännön avulla. 2(x2 − 4x)9(2x − 4) = 0 x2 − 4x = 0 tai 2x − 4 = 0 x(x − 4) = 0 2x = 4 || : 2 x = 0 tai x = 4 x = 2 Tehdään funktion f kulkukaavio. Päätellään derivaattafunktion f ′ merkit testikohtien avulla.

x f ′ (x) Merkki −1 −23437500 − 1 78732 + 3 −78732 − 5 23437500 +

0 2 4 f ′ (x) − + − + f(x)

Kohdassa x = 0 funktio saa paikallisen minimiarvon, joka on

f(0) = 1

5(02 − 4 ⋅ 0)10 = 0.

Myös kohdassa x = 4 funktio saa paikallisen minimiarvon, joka on f(4) = 0. Kohdassa x = 2 funktio saa paikallisen maksimiarvon, joka on

f(2) = 10485765

= 209715,2.

Funktion f paikalliset ääriarvot ovat kohdissa x = 0 ja x = 4 oleva minimiarvo 0 ja kohdassa x = 2 oleva maksimiarvo 209715,2.


136. a) 2 3 3

1 1 1( 1)8(( 1) ( 1)) (1 1)

f

b) Muutosnopeus kohdassa x = −1 on f ′ (−1).

2 3 2 4 2

2 3

2 4

2 4

1( ) D D( ) 3( ) D( )( )

3( ) (2 1)3(2 1)

( )

f x x x x x x xx xx x x

xx x

2 4 4

3(2 ( 1) 1) 3 ( 3) 9( 1)16(( 1) ( 1)) 2

f

c) Ratkaistaan yhtälöstä f ′ (x) = 0 kohdat, joissa muutosnopeus on 0.

2 4

3(2 1)0, kun

( )3(2 1) 0

2 1 02 1 ||: 2

12

xx x

xx

xx



137. a) Tutkitaan funktion f(x) = (2x + 3)3 kulkua derivaattafunktion avulla. f ′ (x) = 3(2x + 3)2 ⋅ 2 = 6(2x + 3)2 Koska (2x + 3)2 on aina ei-negatiivinen ja kerroin 6 on positiivinen, saa derivaattafunktio aina positiivisia arvoja paitsi nollakohdassaan arvon 0. Funktio f on kasvava.

b) Funktion terassikohta on derivaatan nollakohta, jossa derivaatta ei vaihda merkkisään. Funktiolla f on terassikohta derivaatan nollakohdassa. f ′ (x) = 0 6(2x + 3)2 = 0 2x + 3 =0 2x = −3

x = 32

Funktion f terassikohta on x = 32

.

138. a) Funktion f kuvaaja on B ja funktion f ′ kuvaaja on A.

b) Funktion f muutosnopeus kohdassa x = 1 on f ′ (1) = 2. c) Funktio f on kasvava välillä x ≥ 0 ja vähenevä välillä x ≤ 0. d) Funktion f minimikohta on x = 0.


139. Kohdassa x = 1 funktion arvo on 2 3

2 2 1(1)8 4(1 1)

f

.

Tangentti kulkee pisteen 1(1, )4

kautta.

Tangentin kulmakerroin on f ′ (1). 2 3 2 4

2 3 2 42 12( ) D( ) D( 2( 1) ) 2 ( 3)( 1) 2

( 1) ( 1)xf x x x x

x x

2 412 1 12 3(1)

16 4(1 1)f

.

Muodostetaan tangentin yhtälö suoran yhtälön kaavalla y − y0 = k(x − x0).

1 3( ) ( 1)4 41 3 34 4 4

3 3 14 4 43 14

y x

y x

y x

y x

Tangentti on vaakasuora, kun kulmakerroin on nolla, eli f ′ (x) =0.

2 412 0, kun

( 1)0

xx

x

Kuvaajalla on vaakasuora tangentti kohdassa x =0. Piirretään kuvaaja.


140. Tutkitaan funktion f(x) = (x3 + 1)5 + 3x kulkua derivaatan avulla. f ′ (x) = 5(x3 + 1)4 ⋅ 3x2 + 3 = 15x2(x3 + 1)4 + 3 Derivaatan lausekkeessa 15x2 ≥ 0 ja (x3 + 1)4 ≥ 0, koska ne ovat parillisia potensseja. Kun ei-negatiivisten lukujen tuloon lisätään luku 3, on tulos aina positiivinen. Tällöin derivaatta on siis kaikkialla positiivinen ja funktio f on kasvava. Kasvavalla funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Funktio f on polynomifunktiona jatkuva funktio. f(0) = 1 f(−1) = −3 Koska funktio f saa välin [−1, 0] päätepisteissä erimerkkiset arvot, on tällä välillä Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta. Funktiolla f on siten täsmälleen yksi nollakohta.

141. a) f ′ (x) = Dx ⋅ (2x + 1)10 + x ⋅ D (2x + 1)10 = 1 ⋅ (2x + 1)10 + x ⋅ 10(2x + 1)9 ⋅ 2 = (2x + 1)10 + 20x(2x + 1)9 = (2x + 1)9((2x + 1) + 20x) = (2x + 1)9(22x + 1)

b) f ′ (x) = D(−6x)(1 − x2)5 − 6x ⋅ D(1 − x2)5

= −6(1 − x2)5 − 6x ⋅ 5(1 − x2)4 ⋅ (−2x) = −6(1 − x2)5 + 60x2(1 − x2)4 = 6(1 − x2)4(−(1 − x2) +10x2) = 6(1 − x2)4(11x2 − 1)


142. a) f ′ (x) = Dx ⋅ (2x − 6)4 + x ⋅ D (2x − 6)4 = 1 ⋅ (2x − 6)4 + x ⋅ 4(2x − 6)3 ⋅ 2 = (2x − 6)4 + 8x(2x − 6)3 = (2x − 6)3((2x − 6) + 8x) = (2x − 6)3(10x − 6) Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. (2x − 6)3(10x − 6) = 0 (2x − 6)3 = 0 tai 10x − 6 = 0 2x − 6 = 0 10x = 6 || : 10

2x = 6 || :2 x = 6 310 5

x = 3 b) f′(x) = D5x ⋅ (1 − x)7 + 5x ⋅ D (1 − x)7

= 5 ⋅ (1 − x)7 + 5x ⋅ 7(1 − x)6 ⋅ (−1) = 5(1 − x)7 − 35x(1 − x)6 = 5(1 − x)6((1 − x) − 7x) = 5(1 − x)6(1 − 8x) Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. 5(1 − x)6(1 − 8x) = 0 (1 − x)6 = 0 ta 1 − 8x = 0 1 − x = 0 −8x = −1

x = 1 x = 18


143. Funktio f(x) = 2x(x − 1)3 on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, 1] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Lasketaan funktion f arvot välin päätepisteissä. f(0) = 2 ⋅ 0(0 − 1)3 = 0 f(1) = 2 ⋅ 1(1 − 1)3 = 0 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f′(x) = D2x ⋅ (x − 1)3 + 2x ⋅ D (x − 1)3 = 2(x − 1)3 + 2x ⋅ 3(x − 1)2 ⋅ 1 = 2(x − 1)3 + 6x(x − 1)2 = 2(x − 1)2((x − 1) + 3x) = 2(x − 1)2(4x − 1) 2(x − 1)2(4x − 1) = 0 (x − 1)2 = 0 tai 4x − 1 = 0 x − 1 = 0 4x = 1 || : 4

x = 1 x = 14

Molemmat nollakohdat ovat välillä [0, 1]

3 31 1 1 1 3 1 27 27( ) 2 ( 1) ( ) ( )4 4 4 2 4 2 64 128

f

Pienin arvo välillä [0, 1] on 27128

ja suurin 0.

Tutkitaan funktion kulkua reaalilukujen joukossa laatimalla kulkukaavio.


Derivaattafunktion lausekkeessa 2(x − 1)2(4x − 1) tekijä 2(x − 1)2 on aina ei-negatiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä 4x − 1.

4x − 1 = 0 4x = 1

x = 14

1

4

1 f ′ (x) − + + f(x)

Reaalilukujen joukossa funktiolla f on pienin arvo 27128

mutta ei suurinta

arvoa.


144. Tutkitaan funktion f(x) = x(x + 4)3 kulkua derivaatan avulla. f ′ (x) = Dx ⋅ (x + 4)3 + x ⋅ D (x + 4)3 = 1 ⋅ (x + 4)3 + x ⋅ 3(x + 4)2 ⋅ 1 = (x + 4)3 + 3x(x + 4)2 = (x + 4)2((x + 4) + 3x) = (x + 4)2(4x + 4) Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. (x + 4)2(4x + 4) = 0 (x + 4)2 = 0 tai 4x + 4 = 0 x + 4 = 0 4x = −4 || : 4 x = −4 x = −1 Laaditaan kulkukaavio. Derivaattafunktion lausekkeessa (x + 4)2(4x + 4) tekijä (x + 4)2 on aina ei-negatiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä 4x + 4. 4x + 4 = 0 4x = −4 || : 4 x = −1 −4 −1 f ′ (x) − − + f(x)

Funktio f on kasvava, kun x ≥ −1. Funktiolla f on paikallinen minimiarvo f(−1) = −1 ⋅ (−1 + 4)3 = −27.


145. Tutkitaan funktion f(x) = x2(6 − x)4 kulkua derivaatan avulla. f ′ (x) = Dx2 ⋅ (6 − x)4 + x2 ⋅ D(6 − x)4 = 2x(6 − x)4 + x2 ⋅ 4(6 − x)3 ⋅ (−1) = 2x(6 − x)4 −4x2(6 − x)3 = 2x(6 − x)3((6 − x) − 2x) = 2x(6 − x)3(6 − 3x) Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. 2x(6 − x)3(6 − 3x) = 0 2x = 0 tai 6 − x = 0 tai 6 − 3x = 0 x = 0 x = 6 x = 2 Laaditaan kulkukaavio. 0 2 6 2x − + + + 6 − x + + + − 6 − 3x + + − − f ′ (x) − + − + f(x)

Funktio f on kasvava väleillä ja 0 ≤ x ≤ 2 ja x ≥ 2 ja vähenevä väleillä x ≤ 0 ja 2 ≤ x ≤ 6. Funktion paikallinen maksimiarvo on f(2) = 22(6 − 2)4 = 1024 ja minimiarvot ovat f(0) = 0 ja f(6) = 0. Funktiolla on pienin arvo 0, mutta ei suurinta arvoa.


146. a) Funktion f(x) = x2(4x + 9)4 kohtaan x = −2 asetettu tangetti kulkee sen pisteen kautta, jonka x-koordinaatti on −2 ja y-koordinaatti on f(−2) = (−2)2(4 ⋅ (−2) + 9)4 = 4. Piste on (−2, 4). Tangentin kulmakerroin on f ′ (−2). f ′ (x) = Dx2 ⋅ (4x + 9)4 + x2 ⋅ D(4x + 9)4 = 2x(4x + 9)4 + x2 ⋅ 4(4x + 9)3 ⋅ 4 = 2x(4x + 9)4 + 16x2(4x + 9)3

f ′ (−2) = 60 Muodostetaan tangentin yhtälö. y − 4 = 60(x + 2) y − 4 = 60x + 120 y = 60x +124

b) Tangentti ja normaali ovat kohtisuorassa, joten niiden kulmakertoimien

tulo on −1. Normaalin kulmakerroin on 1 .60

Muodostetaan normaalin yhtälö.

y − 4 = 160

(x + 2)

y − 4 = 160

x − 130

y = 160

x + 29330


147. a) Funktio f(x) = x(x2 − 1)4 on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, 1] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Lasketaan funktion f arvot välin päätepisteissä. f(0) = 0 f(1) = 0 Derivoidaan funktio f ja lasketaan derivaatan nollakohdat. f ′ (x) = Dx ⋅ (x2 − 1)4 + x ⋅ D(x2 − 1)4 = (x2 − 1)4 + x ⋅ 4(x2 − 1)3 ⋅ 2x = (x2 − 1)4 + 8x2(x2 − 1)3 = (x2 − 1)3((x2 − 1) + 8x2) = (x2 − 1)3(9x2 − 1) (x2 − 1)3(9x2 − 1) = 0 (x2 − 1)3 = 0 tai 9x2 − 1 = 0 x2 − 1 = 0 9x2 = 1 || : 9

x2 = 1 x2 = 19

x = 1 tai x = −1 x = 13

tai x = 13

Välillä [0, 1] on derivaatan nollakohdista x = 13

ja x = 0.

1 4096( )3 19683

f

Välillä [0, 1] suurin arvo on 409619683

ja pienin arvo on 0.


b) Lasketaan funktion arvo välin [−2, 1] päätepisteissä. f(−2) = −162 f(1) = 0 Derivaatan nollakohdista välillä [−2, 1] ovat

x = −1, x = 13

, x = 13

ja x = 1.

f(−1) = 0

1 4096( )3 19683

f

1 4096( )3 19683

f

Välillä [−2, 1] pienin arvo on −162 ja suurin arvo on 4096 .19683

148. Tutkitaan funktion f(x) = (1 − x3)3 − x kulkua derivaatan avulla. f ′ ( x) = 3(1 − x3)2 ⋅ (−3x2) − 1 = −9x2 (1 − x3)2 − 1 x2 on aina ei-negatiivinen, samoin (1 − x3)2. Kun ei-negatiivisten lukujen tulo kerrotaan negatiivisella luvulla −9 ja tulosta vähennetään luku −1, on tulos aina negatiivinen. Derivaatta on siis kaikilla muuttujan x arvoilla negatiivinen, joten funktio on vähenevä. Vähenevällä funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta. Huomataan, että f(0) = 1 ja f(1) = −1. Tällöin välillä [0, 1] on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta. Funktiolla f on siis tarkalleen yksi nollakohta. Nollakohta on lukujen 0 ja 1 välissä.


149. Epäyhtälö (1 − x)6 ≥ 1 − 6x on yhtäpitävä epäyhtälön (1 − x)6 − 1 + 6x ≥ 0 kanssa. Tutkitaan funktion f(x) = (1 − x)6 − 1 + 6x saamia arvoja. Laaditaan funktion f kulkukaavio. f ′ (x) = 6(1 − x)5 ⋅ (−1) + 6 = −6(1 − x)5 + 6 Lasketaan derivaatan nollakohdat. −6(1 − x)5 + 6 = 0 (1 − x)5 = 1 1 − x = 1

x = 0 Tutkitaan derivaatan merkkiä testipisteiden luvulla.

x f ′ (x) Merkki −1 −18 − 1 6 +

0 f ′ (x) − + f(x)

Funktion pienin arvo on f(0) = 0. Koska pienin arvo on 0, saa funktio f vain ei-negatiivisia arvoja ja epäyhtälö (1 − x)6 − 1 + 6x ≥ 0 on aina tosi. Tällöin myös epäyhtälö (1 − x)6 ≥ 1 − 6x on aina tosi. Yhtäsuuruus toteutuu arvolla x = 0.


150. Tutkitaan funktion f(x) = x(2 − x)3 kulkua derivaatan avulla. f′(x) = Dx ⋅ (2 − x)3 + x ⋅ D(2 − x)3 = (2 − x)3 + x ⋅ 3(2 − x)2 ⋅ (−1) = (2 − x)3 − 3x (2 − x)2 = (2 − x)2((2 − x) − 3x) = (2 − x)2(2 − 4x) Laaditaan funktion kulkukaavio. Lasketaan derivaatan nollakohdat. (2 − x)2(2 − 4x) = 0 (2 − x)2 = 0 tai 2 − 4x = 0 2 − x = 0 −4x = 2 || : 2

x = 2 x = 12

Tutkitaan derivaatan merkkiä. (2 − x)2 saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijän 2 − 4x merkki.

2 − 4x 1

2

2 f ′ (x) + − − f(x)

Funktion f suurin arvo on f( 12

) = 31 1 27(2 ) 1,692 2 16

.

Koska funktion suurin arvo on pienempi kuin 2, ei funktio f saa arvoa 2.



151. Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [−1, 5] on 3 3(5) ( 1) (1 5) (1 1) 64 8 72 12

5 ( 1) 6 6 6f f

.

Funktion muutosnopeuden tietyssä kohdassa ilmoittaa derivaatta tässä kohdassa. f ′ (x) = 3(1 − x)2 ⋅ (−1) = −3(1 − x)2 Ratkaistaan, milloin f ′ (x) = −12. −3(1 − x)2 = −12 || : (−3) (1 − x)2 = 4 1 − x = 2 tai 1 − x = −2 x = −1 x = 3 Välillä ]−1, 5[ muutosnopeus on yhtä suuri kuin keskimääräinen muutosnopeus kohdassa x = 3.


152. Paineen muutosnopeuden t sekunnin kuluttua alkuhetkestä ilmoittaa derivaatta p′(t).

1

2

2

121800( ) D D(121800 (50 0,2 ) )50 0,2

121800 ( 1)(50 0,2 ) ( 0,2)24360

(50 0,2 )

p t ttt

t

Ratkaistaan yhtälö p′(t) = 20.

224360 20

(50 0,2 )75,50... tai 424,49...

tt t

Säiliön paine on tällöin p(75,50…) = 3489,97… (kPa) ja p(424,49…) = −3489,97…(kPa) Paine ei voi olla negatiivinen, joten vain kohta t = 75,50 … (s) on järkevä. Muutosnopeus on 20 kPa/s 76 s kuluttua. Tällöin paine on 3500 kPa.


153. a) Määritetään funktion 2

33( ) ,2(2 3)

xf x x

x derivaattafunktio.

2

3

2 3

2 3 2 3

3 2 4

2 3) 2

3 4

2

4 4

2 2

4

2

4

( ) D(2 3)

D (2 3)

(D ) (2 3) D(2 3)

2 (2 3) ( 3) (2 3) 2

2 6(2 3) (2 3)

2 (2 3) 6(2 3) (2 3)

4 6 6(2 3)

2 6(2 3)

x

xf xx

x xx x x x

x x x xx x

x xx x x

x xx x x

xx xx

Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat.

2

4

2

2 6 0, kun(2 3)

32 6 0 ja2

2 ( 3) 02 0 tai 3 0

0 3

x xxx x x

x xx xx x


b) Laaditaan funktion f kulkukaavio paikallisten ääriarvojen selvittämiseksi.

Derivaattafunktion 2

42 6

(2 3)x xx

nimittäjä saa vain positiivisia arvoja,

kun x ≠ 32

, joten derivaattafunktion merkkiin vaikuttaa vain osoittajan

−2x2 −6x merkki.

−2x2 − 6x

−3 0

32

f ′ (x) − + − − f(x)

Funktion f paikallinen minimiarvo on f(−3) = 181

ja paikallinen

maksimiarvo on f(0) = 0.


154. Tietojen f ′ (x) > 0, kun x < 3 ja f ′ (x) < 0, kun x > 3 avulla voidaan tehdä funktion kulkukaavio. 3 f ′ (x) + − f(x)

Koska f ′ (3) = 0, eli x = 3 on derivaatan nollakohta, on funktio f määritelty kohdassa x =3, ja kulkukaavion perusteella funktiolla f on suurin arvo kohdassa x = 3. Funktion g ulkofunktio u(x) = x11 on kasvava, joten g saa suurimman arvonsa, kun sisäfunktio f saa suurimman arvonsa. Funktiolla g on siis suurin arvo kohdassa x = 3.

155. Merkitään g(x) = f(x)n.

Tällöin 3 3

( ) (3) ( ) (3)lim lim (3)

3 3

n n

x x

f x f g x g gx x

.

g′(x) = Df(x)n = nf(x)n − 1 f ′ (x)= n(2x − 5)n − 1 ⋅ D(2x − 5) = n(2x − 5)n − 1 ⋅ 2 = 2n(2x − 5)n − 1 g′(3) = 2n(2 ⋅ 3 − 5)n − 1 = 2n ⋅ 1n − 1 = 2n ⋅ 1 = 2n Väite on täten osoitettu.


156. Derivoidaan funktiota f(x)n. Ensimmäinen derivaatta: Df(x)n = n f(x)n − 1 ⋅ f ′ (x) Toinen derivaatta: D(n f(x)n − 1 ⋅ f ′ (x)) = n D(f(x)n − 1 ⋅ f ′ (x)) = n(Df(x)n − 1 ⋅ f ′ (x) + f(x)n − 1 ⋅ Df ′ (x)) = n ((n − 1)f(x)n − 2 ⋅ f ′ (x) ⋅ f ′ (x) + f(x)n − 1 ⋅ f ″ (x)) = n(n − 1)f(x)n − 2f ′ (x)2 + nf(x)n − 1f ″ (x) Derivoidaan jatkossa vain ensimmäistä termiä. Kolmas derivaatta: D(n(n − 1)f(x)n − 2f ′ (x)2 + …) = n(n − 1)(n − 2)f (x)n − 3 f ′ (x)f ′ (x)2 + n(n − 1)f(x)n − 2 ⋅ Df ′ (x)2 = = n(n − 1)(n − 2)f (x)n − 3 f ′ (x)3 + … D(n(n − 1)(n − 2)f (x)n − 3 f ′ (x)3 + …) = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)f (x)n − 4 f ′ (x)f ′ (x)3 + … = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)f (x)n − 4f ′ (x)4 + … Derivoitaessa aina ensimmäistä termiä, kertoimeen tulee jokaisessa derivoinnissa uusi kerroin. Kun on derivoitu n kertaa, kertoimia on n kpl ja ne muodostavat tulon n(n − 1)(n − 2)(n − 3) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1. n:ssä derivaatassa f(x):n eksponentti on n − n = 0 ja f ′ (x):n eksponentti on derivointien määrä n. Derivaatan lauseke on siis n(n − 1)(n − 2)(n − 3) … 2 ⋅ 1 ⋅ f (x)n − nf ′ (x)n = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) … 2 ⋅ 1 ⋅ f ′ (x)n


1.3 Murtopotenssi YDINTEHTÄVÄT

157. a) 1

229 9 3 3

b) 1

3 333125 125 5 5

c) 14

1 44

1 1666

d) 13

1 3 3 33

1 1 1 127327 327

158. a) 125 5

b) 1

3 37 7

c) 17

177

1 1 55 5

d) 1

10110

10

1 1 1010 10


159. a) 2

3 2 337 7 49

b) 3

7 3 772 2 8

c) 35

3 55 35

1 1 146444

d) 47

4 77 47

1 1 110100001010

160. a) 1 1 522 2 2 2 2x x x x x x

b) 1 112 2

12

x x x xx x

c) 43

1 1 43 13 3 3

1 1 1 1 xx x x x x x

d) 1

1 32 22 2

2 2x x x x

x x

161. a) 3

5 35x x

b) 7 1 1 13 3 3 32 2 2 2x x x x x x x

c) 12

12

1 1xxx

d) 83

8 2 32 223 3

1 1 1xx xx x



162. a) 12

12

2 2 2xx x

b) 1 32 2 2 22 2

12

1 1 1 13 3 3 33

x x x x xx x x

c) 32

1 112 2

3 3 1 3 1 3 1 34 4 4 44

xx x x x x x x

d) 1

1 12 12 22 2 2 2 2

5 5 5 5 5x x x x xx x x

163. a) 1

332 23 3a a

b) 5 1 1 12 2 2 22 2 2 26 6 6 6 6a a a a a a a

c) 45

4 5 45

1 77 7aaa

d) 9

955

9 4 4 5 41 15 5 5

1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 4 4

a aa aa a a


164. a) 3

1,5 324 4 4 64 8

b) 3 3 3 3 12 140,75 3 24 4 4 2 24 4 4 (2 ) 2 2 2 2 2

c) 2 2 233 2 3 23 3 327 27 (3 ) 3 3 9

d) 32

3 1 13 1 12 2 2

1 1 1 1 1 1 12525 5 12525 252525 25 25

165. a) Epätosi. Murtopotenssi on määritelty vain kun kantaluku on positiivinen.

b) Epätosi. Murtopotenssi on määritelty vain kun kantaluku on

positiivinen. Kantaluku on positiivinen, kun −a > 0, eli a < 0.

Esimerkiksi kun a = −2, niin −a = −(−2) = 2 ja 122 2.

c) Tosi. 3

1,5 3210 10 10 1000

166. a) 5

5 232 2 2

b) 4

5 45 516 2 2

c) 2 2 2 1 11

3 23 3 3 3 2 324 2 2 (2 ) 2 2

d) 4

4 1 8 3 53 43 33 2 6 6 6

12

16 2 2 2 2 22 2 2


167. a) 4 44 81 3 3

b) 3 1

6 36 6 227 3 3 3 3

c) 2 1

6 26 36 39 3 3 3 3

d) 2

2 1 4 3 13 23 363 2 6 6 6

12

9 3 3 3 3 3 33 3 3

168. a) 1 1

1 3 4 3 12 282 8 8 8 8

38 8 38

10 10 10 10 10 10 101000 10 10

b) 1 1 2 1 1 1 1

4 2 14 2 2 4 2 2 2 22 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c) 2 4 2 4 6

3 32 4 23 3 3 3 3 3 34 16 2 2 2 2 2 2 2 4

d) 1 3 13 3 1333 3 3 2 32 2 28 2 2 (2 ) 2 2 2

169. a) 4

4 4 144 44

1 1 12 2 216 22

b) 3 3 34 3 33 3 381 3 3 3 3 3 3 3 c) 4 4 45 4 4 4 44 32 2 2 2 2 2 2 2

d) 1 1 1 1 2 1 3 1

3 6 3 6 3 6 6 6 6 27 7 7 7 7 7 7 7 7


170. a) 1 3 11 1 3 3 113 3 33 3 2 32 2 2 2 2( )a a a a a a a a a a

b)

3 32 53

1 2 53 3 3

1 2 1 53 3 3 3

( )

( )

a a a

a a a

a a a a

1 2 1 53 3 3 3

3 63 3

2

a a

a aa a

171. Epäyhtälön a b a b molemmat puolet ovat positiivisia, kun a > 0 ja b > 0. Korotetaan epäyhtälö neliöön.

2 2

2 2

( )

22

20 2

2 0

a b a ba b a b

a b a a b ba b a ab ba b a b ab

abab

Koska a ja b ovat positiivisia lukuja 2 ab on positiivinen, joten väite pitää paikkansa.


172. a) Jos positiiviset luvut a ja b ovat toistensa käänteislukuja, niin niiden tulo on 1, eli ab = 1.

Lukujen a ja b keskiarvo on 2, joten 22

a b , eli a + b = 4.

2 22( ) 2

2

2

4 2 1

4 2

6

a b a ab b

a ab b

a b ab

b) 1 1 2 1 1 23 3 3 3 3 3( ) ( )x y x x y y

1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 32 1 1 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3

x x x x y x y y x y x y y y

x x y x y y x x y yx y



173. 1/ 27,yx 2

( ) 3.3

yx

Ratkaistaan x yhtälöstä 1/ 27.yx 1/

3

3

27

2727(3 )3

y

y

y

y

y

xxxxx

Sijoitetaan 33 yx yhtälöön 2

( ) 3.3

yx

2

2

2

3 2

6

6

6 1

2

2

( ) 33

(3 )( ) 3

33( ) 333 33

3 3

6 1

6 1 01 1tai3 2

y

yy

yy

y

y

y y

x

y yy y

y y

13 ( ) 13 13 33

x tai

1 332 23 3 3 3x

Yhtälöparin ratkaisu on x = 13

ja y = 13

tai x = 3 3 ja y = 12

.


174. Lineaarinen funktio on muotoa ax + b.

4 4

4 4

2 24

2 2 24

22 2 4

2 2

2 2 2

2

( ) 2 2

2 2

( 2 ) ( )

(2 ) ( )

(2 )

(2 )

2

2

2 ( 0)

2

f x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x xx x x x

x x x xx x x x

x x x x xxx x

x

Funktio f on muotoa ax + b, missä a = 2 ja b = 0, joten se on lineaarinen. Piirretään kuvaaja.


175. a) Merkitään kahden peräkkäisen sävelen suhdetta kertoimella a. Oktaavissa on 12 puolisävelaskelta ja oktaavissa taajuus kaksinkertaistuu, joten tulee olla

12 kpl

... 2a a a , mistä saadaan

a12 = 2 a = 12 2 .

b) Siirryttäessä sävelestä C säveleen E siirrytään neljä puolisävelaskelta. E-sävelen taajuuden suhde C-sävelen taajuuteen on siis

144 312 3122 2 2 2. c) Yksiviivaisen A:n taajuus on 440 Hz. Siirryttäessä yksiviivaisesta A:sta

kaksiviivaiseen C:hen, siirrytään kolme puolisävelaskelta. Kaksiviivaisen C:n taajuus on

312( 2) 440 Hz = 523,25... Hz 523 Hz


176. a) Lukujen 1, 5, 25, 125 ja 625 geometrinen keskiarvo on 5 0 1 2 3 45

5 0 1 2 3 4

5 10

105

2

1 5 25 125 625 5 5 5 5 5

5

5

5525

b) Lukujen a1, a2, a3, … an geometrinen keskiarvo on

1 2 3 1 2 3 ......n nn na a a a a . Eksponentissa oleva summa 1 + 2 + 3 + … + n on aritmeettinen summa, jossa on n kpl yhteenlaskettavia.

11 2 3 ...2

nn n

1

2

11 1

1 2 3 ... 2 2

nnn nnnnn na a a a

12

n on lukujen 1 ja n keskiarvo.

Jos n on pariton, on 1 + n parillinen ja 12

n on kokonaisluku. Tällöin

12n

a

on keskimmäinen luvuista a1, a2, a3, … an.

Jos n on parillinen, 12

n ei ole kokonaisluku.

1 1 (1 )2 2

n n

Tällöin 1 1 1(1 ) 1 12 2 2( )

n n n na a a a a .


177. Määritelmän mukaan m mn m nna a a .

am ⋅ an = p r q sp rq sa a a a x

Korotetaan kokonaislukupotenssiin qs.

1

( )

( )

p rqs qsq s

ps qr qs

ps qr qs

qs ps qr

ps qr qs

ps qr ps qr p rm nqs qs qs q s

a a xa a x

a xx a

x a

x a a a a

juuri8 luku1 teht ratkaisut¤-matematiikka2... · juuri 8 • tehtävien ratkaisut •...

Documents