Kalman滤波在信号跟踪预测中的应用

成员：石燕辉 柴延泽

闫洪吉 郑强

Kalman滤波在雷达数据处理中的应用 雷达数据处理就是雷达探测到目标后，提取目标位置信息所形成的点迹数据，经预处理后，新的点迹与已存在的航迹进行数据关联，关联上的点迹用来更新航迹信息，并形成对目标下一位置的预测波门，没有关联上的点迹进行新航迹起始。雷达数据处理的关键技术是航迹的起始与终止、跟踪滤波、数据关联。 跟踪滤波的目的是根据已获得的目标观测数据对目标的状态进行精确估计，跟踪滤波的关键是对机动目标的跟踪能力，机动目标跟踪的主要困难在于跟踪设定的目标模型与实际的目标动力学模型的匹配问题。 主要讨论内容：雷达数据处理中的跟踪滤波

目标模型— CV模型 若目标以恒定的速度在运动，则可得其状态方程

式中

是零均值、协方差阵为 的高斯随机序列，且

kGWkXkX 1

kW

)()()()(

)(

kykykxkx

kX

10001000010001

T

T

102/00102/

T

T

G

2

1

ww

W

Q kjQjWkWE

目标模型— CV模型 观测方程

式中

为零均值、协方差为 的白噪声，且与 不相关

kVkHXkZ

01000001

H

V R W

目标模型— CA模型 若目标一恒定的加速度在运动，则其状态方程 式中

是零均值、方差阵为 的高斯随机序列，且

)()()1( kkk WGXX mmmmm

yxyyxx

X

m

m

m

m

m

m

m

100000010000

010002/0100

0001002/001

2

2

TT

TT

T

T

m

10012/04/0

02/02/

2

2

2

2

TT

TT

Gm

kW Q kjQjWkWE

目标模型— CA模型 观测方程

式中

为零均值、协方差为 的白噪声，且与 不相关

kVkXHkZ mmmm

000000100001mH

mV R mW

Kalman滤波基础 预测 预测协方差 Kalman 增益 滤波 滤波协方差

)1/1(ˆ)1/(ˆ kkXkkX

)()1/1()1/( kQkkPkkP T

)()1/()1/()(1

kRHkkHPHkkPkK TT

)1/(ˆ)()()1/(ˆ)/(ˆ kkXHkZkKkkXkkX

1 kkPHkKIkkP

非机动模型的 Kalman滤波 当目标做非机动运动，即匀速直线运动时，采用基本的滤波与预测方法，如： Kalman 滤波，即

可 j 较好的跟踪目标。

Kalman滤波算法原理 基本思想： Kalman 滤波是根据前一次的估计值和当前的观测值，用状态方程和递推方法来估计非平稳随机信号的波形，其解以估计值的形式给出。假设， 观测模型： 状态模型： 非机动模型的初始化：在应用 Kalman 滤波算法时，需要制定滤波的初始条件，理论上初始条件是根据目标的初始状态来建立的。而在实际中，通常目标的初始状态是未知的，但我们可以利用前几个观测值建立状态的初始估计。非机动模型只需考虑目标位置和速度的状态估计，利用其前两个观测值建立初始估计，即

进而得到初始估计的估计误差：和初始估计的估计误差协方差：

kkk VHXZ

kkk ΓWΦXX 1

12

21222|2ˆ yyy

xxx

zzzzzzX

2|2ˆ22|2~ XXX

2|2~2|2~2|2 XXP

Kalman滤波递推过程与流图1. 根据前一次状态估计值，计算预测值根据新的观测值得新息2. 根据前一次得到的滤波误差协方差，计算预测误差方差3. 计算滤波增益

4. 得到当前时刻状态最佳估计5. 得到当前时刻滤波误差协方差

6. 将 4 ， 5 得到的结果作为初始估计，开始下一轮递推。

1| kkP kK kk |P 1|1 kkP

kQ kR

1 kk

1|

kkX kk |

X 1|1

kkX kV

1 kk

1|11|

kkkk XX

1|

kkkk XHZv

11,11| kkkkk QPP

kkkk v11| PHPK

11|1| kkkkk RHHPHP

kkkkkk vKXX 1|ˆ|ˆ

1|| kkkkk PHKIP

Kalman 滤波递推流图

Monte Carlo 仿真 Monte Carlo 仿真方法又称统计试验法，其基本思想是

首先建立与描述该问题有相似性的概率模型，然后对模型进行随机模拟或统计抽样，再利用所得的结果求出特征量的统计估计值作为原问题的近似解，并对解的精度做出某些估计。其主要理论基础是概率论中的大数定理。 对于目标跟踪系统， Monte Carlo 仿真方法借助大量的计算机模拟来检验目标信号的统计特性，然后归纳出统计结果—目标轨迹估计，并对其精度做出估计—目标跟踪误差的均值（或标准差）。因此，它可以作为评价跟踪系统性能的基本方法。

非机动模型 Kalman滤波实例未采用 Monte Carlo 仿真 采用 Monte Carlo 仿真

目标运动轨迹与其估计值

目标位置估计误差

目标运动轨迹与其估计值

目标位置估计误差均值

Kalman滤波的发散现象 发散现象及原因 一般的讲，按照 Kalman 滤波理论，随着观测次数的增加， Kalman 滤波的均方误差应该逐渐减小而最终趋于一个稳态值。但在实际应用中，有时状态滤波的均方误差会随着观测次数的增加而增大，即滤波发散。

引起滤波发散的主要原因可归纳为以下两点：1. 系统模型不精确，即模型误差；2. 计算误差，如有限字长效应。

克服发散现象的措施和方法1. 选择合适的信号模型；2. 自适应滤波方法；3. 渐消记忆滤波法和限定记忆滤波法；4. 限定增益下限法；5. 限制误差协方差法。

基于蒙特卡洛仿真的变维 (VD)滤波算法VD 算法基本思想 非机动时采用低阶

的 Kalman 滤波器，而机动时采用高阶模型的Kalman 滤波器，用机动检测器来监视机动。一旦监测到机动，模型立即由低阶转至高阶，其关键是机动检测器的设计及模型由低阶向高阶转换时，滤波器的重新初始化问题。

初值的设定k=1

非机动模型跟踪Ч(k)<T1

k=k+1

Y

j=k-Δ-1N

初值的重设定机动模型跟踪

<T2a

k=k+1

NY

机动检测过程 滤波器开始工作于正常模式，其输出的新息序列为 , 令

是 的协方差矩阵，取 作为检测机动的有效窗口长度，如果 则认为目标在 开始有一恒定的加速度加入，这时目标模型由非机动模型转向机动模型。 由机动模型退回到低阶非机动模型的检测方法是检测加速度估计值是否有统计显著 性意义。令

其中 是加速度分量的估计值， 是协方差矩阵的子矩阵块， 如果 则加速度估计无显著意义，滤波器退出机动模型。

kka^

jjajjpjjak ma

k

pkja

^1

1

^

( / )maP k k

)()()()1()( 1 kvkSkvkak

hTk )(

aa Tk )(

kS kv 11

kv

1k

模型重新初始化 在 k-Δ的加速 度估计为 在 k-Δ的位置估计为

在 k-Δ的速度估计为

12 ^

2

^

kkzkzkka xxmx

kzkkykzkkx ym

xm

^^

,

12 ^

2

^

kkzkzkka yymy

kkakkvkkv mx

mx

mx

^^^

11

kkakkvkkv my

my

my

^^^

11

VD算法仿真分析

跟踪结果及误差标准差分析

基于蒙特卡洛仿真的交互多模 (IMM)算法 假定有 r 个模型 其中， 是均值为零、协方差矩阵为 的白噪声序列。用一个马尔可夫链来控制这些模型之间的转换，马尔可夫链的转移概率矩阵为

测量模型为

rjkWGkXkX jjj ,,1,1 kW j jQ

rrr

r

pp

ppP

1

111

kVkXHkZ jjj

基于蒙特卡洛仿真的交互多模 (IMM)算法

2MX

模型初始化输入交互

各模型及其它的计算

k<=N? YN

输出交互

End

1MX rMX…

…

IMM 算法的基本思想 在每一时刻，假设某个模型在现在时刻有效的条件下，通过混合前一时刻所有滤波器的状态估计值来获得与这个特定模型匹配的滤波器的初始条件；然后对每个模型并行实现正规滤波 (预测与修正 )步骤；最后，以模型匹配似然函数为基础更新模型概率，并组合所有滤波器修正后的状态估计值 (加权和 )以得到状态估计

交互多模 (IMM)算法的递推步骤 1 模型条件初始化

混合概率

其中

混合估计 (输入交互 )

rjkkkkXkkX ij

r

i

ij ,,1,1111111

^^0

11111111111111

^0

^^0

^

1

0 kkXkkXkkXkkXkkPkkkkP jijiir

iij

j

jiijk

jiij ckpZkMkMpkk 1,111 1

r

iiijj kpc

1

1

交互多模 (IMM)算法的递推步骤 2 模型条件滤波 状态预测

量测预测残差及其协方差阵计算

似然函数 滤波更新

111^0

^

kkXkkX jj

j jjjjj

jj GQGkkPkkP 111 0

1^

kkXHkZkv j RHkkHPkS jj 1

jjjjk

j vSvkSZkMkZPk 121

1

21exp2,

111 RHkkHPHkkPkK jj

j

11

^^^

kkXHkZkKkkXkkX jj

jj

1 kkPkKIkkP jj

j

交互多模 (IMM)算法的递推步骤 3 模型概率更新 其中

4 估计融合 (输出交互 )

cckk jjj

jr

jj ckc

1

r

iiijj kpc

1

1

kkkXkkX j

r

j

j

1

^^

kkXkkXkkXkkXkkkP jjr

jj

^^^^

1

IMM算法与 VD算法仿真结果对比分析

跟踪结果对比分析IMM 算法 VD算法

IMM算法与 VD算法仿真结果对比分析

误差标准差对比分析IMM 算法 VD算法

小结 1 kalman 滤波理论基础 2 CV 与 CA 模型的建立 3 Monte Carlo 的仿真分析 4 VD 算法 5 IMM 算法