E.A. : Théorie de K.A.M.Philippe Moireau

Novembre-Décembre 2002

Table des matières

1 Rappels de mécanique hamiltonienne, Systèmes intégrables 3

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Equation d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Coordonnées symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Système complètement intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Systèmes complètement intégrables . . . . . . . . . . . 41.2.2 Méthode d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Description des systèmes intégrables . . . . . . . . . . 51.2.4 Quantités des systèmes intégrables . . . . . . . . . . . 6

1.3 Perturbation des systèmes complètement intégrables . . . . . 61.3.1 Théorie des formes normales de Birkhoff près d’un

point d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Théorème de Nash-Moser 9

2.1 Espaces de Fréchet et bonnes applications . . . . . . . . . . . 92.2 Bons espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Le théorème de Nash-Moser : énoncé général . . . . . . . . . . 122.4 Le théorème de Nash-Moser dans les espaces de Hölder . . . . 13

2.4.1 Théorie de Littlewood-Paley . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Quelques estimations douces . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Preuve du théorème de Nash-Moser . . . . . . . . . . . 16

3 Théorèmes KAM 23

3.1 Rappels de théorie des équations différentielles et des systèmesdynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Énonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Énoncé d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Énoncé complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Étude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Théorème des formes normales des champs de vecteurs sur Tn 28

3.4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

3.4.3 Démonstration du théorème des formes normales . . . 313.5 Théorème KAM par Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bibliographie 40

2

Chapitre 1

Rappels de mécanique

hamiltonienne, Systèmes

intégrables

1.1 Rappels

1.1.1 Equation d’Hamilton

Les équations de Hamilton sont liées à une fonction H, appelée Hamilto-

nien définies par :R2n → R

(qi, pi) 7→ H(qi, pi)

telles que les équations du mouvement dans l’espace des phases des coordon-nées généralisées soient données par

dpdt = −∂H

∂qdqdt = ∂H

∂p

On introduit aussi le champ de vecteurs associé à cette équation différentielleappelé aussi champ hamiltonien :

XH = (∂H

∂p,−∂H

∂q)

1.1.2 Crochets de PoissonDéfinition 1.1.1On appelle crochet de Poisson la donnée pour f, g deux fonctions sur R2n de

f, g =∑

i

∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f

∂qi

∂g

∂pi

3

1.1.3 Coordonnées symplectiques

Variables en involution

Définition 1.1.2Soit U un ouvert de R2n. On dit que m fonctions fi définies sur U sont eninvolution si les crochets de Poisson fi, fj sont nuls.

Proposition 1.1.3Soit fi, m variables en involution. SoitH une fonction telle queH = h(f1, ..., fm).Alors pour tout i, H, fi = 0.

Variables conjuguées

Définition 1.1.4Soit U un ouvert de R2n. On dit que m fonctions fi définies sur U sont nondégénérées si les formes linéaires dfi sont linéairement indépendantes.

Théorème 1.1.5Soient qi, n variables non dégénérées en involution définies sur U ⊂ R2n. Pourtout x ∈ U, il existe n fonctions pi, appelées variables conjuguées définies auvoisinage de x, et telles que pi, pj = 0, pi, qj = δij .

Coordonnées symplectiques

Définition 1.1.6On dira qu’une famille de fonctions (q1, ..., qn, p1, ...pn) forment des coordon-nées symplectiques au voisinage d’un point x ∈ R2n si et seulement si

∀i, j qi, qj = 0, pi, pj = 0, qi, pj = δij

1.2 Système complètement intégrable

1.2.1 Systèmes complètement intégrables

Définition 1.2.1Soit H un hamiltonien défini sur R2n. On dit qu’il est complètement inté-grable sur un ouvert U s’il possède n intégrales premières non dégénérées eninvolution.Autrement dit, s’il existe n fonctions fi définies sur U telles que :

( i) les formes dfi sont indépendantes ;( ii) les crochets de poissons fi, fj et fi, H sont nuls.

1.2.2 Méthode d’Hamilton-JacobiDéfinition 1.2.2Soit S(q, I)) définie sur R2n muni cette fois de coordonnées (qi, Ii) est unesolution de l’equation de Hamilton associée à H s’il existe une fonction h

4

telle que

H(q,∂S

∂q(q, I)) = h(I)

De plus on dit que S est non dégénérée en (q0, I0) si

det

(∂2S

∂qi∂Ij

)|q0,I0 . 6= 0

Théorème 1.2.3Soit S une solution non dégénérés de l’Equation de Hamilton Jacobi pour H.Il existe alors des coordonnées symplectiques (Ii, ϕi)i définies au voisinagesde (q0,

∂S∂qi

|q0,I0) telles que

Ii = ∂S

∂qi(q, I)

ϕi = − ∂S∂Ii

(q, I)

En particulier H est intégrable, d’intégrable première les Ii.

On parle pour le jeu de coordonnées symplectiques (Ii, ϕi)i de variablesd’action-angle. La méthode de Hamilton-Jacobi permet de voir commentles systèmes intégrables peuvent s’exprimer à partir d’un jeu de coordon-nées symplectiques de telles sorte que l’ensemble des variables d’angle n’in-terviennent pas dans l’expression du hamiltonien. Ce résultat est fort utilepour décrire la forme des trajectoires des systèmes étudiés dans l’espace desphases.

1.2.3 Description des systèmes intégrables

Théorème 1.2.4Soit H un hamiltonien complètement intégrable et I1, ..., In ses intégralespremières en involution. On suppose que MI = f−1I est compact. AlorsMI est un tore. De plus si ϕi sont les flots des gradients hamiltoniens des Iiet si x0 appartient à MI alors l’application

Rn → R

(si, ..., sn) 7→ ϕ1s1

. . . ϕnsn

est un revêtement. Dans ces coordonnées sur MI le mouvement est linéaire.

On peut donner une idée de ce théorème assez simplement en considérantdes hamiltoniens définis par des variables d’angle et d’action tels que :

Tn × V ⊂ Rn → R

(ϕ1, . . . , ϕn, I1, . . . , In) 7→ H(I1, . . . , In)

5

où Tn = Rn\Zn. En effet si le hamiltonien est indépendant des variablesd’angle ϕi. Le flot hamiltonien est particulièrement simple. En effet

XH = (ω1, . . . , ωn, 0, . . . , 0)

ωi = ∂H∂Ii

= ωi(I1, . . . , In)

Ainsi les fréquences ωi ne dépendent que des variables d’action et le flot deXH vaut donc au temps t

XH :

Tn × V → Tn × V

φt(ϕ1, . . . , ϕn, I1, . . . , In) = (ϕ1 + tω1, . . . , ϕn + tωn, I1, . . . , In)

Il laisse ainsi les tores T n × I invariant, et sur chacun d’eux, est quasi

périodique de fréquence ω1(I), . . . , ωn(I).

1.2.4 Quantités des systèmes intégrables

Les systèmes complètement intégrables sont donc des systèmes particu-lièrement réguliers. De plus l’ensemble des systèmes dont nous savons "ré-soudre" les équations indépendantes est par définition un système intégrable.Autant dire qu’ils sont très importants pour notre approche des mouvements.Cependant, les flots complètement intégrables sont exceptionnels parmi lesflots hamiltoniens et peuvent sembler simplement culturels. C’est la théoriedes perturbations qui permet en fait de valider leur étude en tant que caslimite d’une grande partie de systèmes physiques.

1.3 Perturbation des systèmes complètement inté-grables

L’intérêt majeure des systèmes intégrables qui va bientôt nous conduireaux théorèmes KAM réside dans les remarques suivantes. Nous allons donnerun petit aperçu de la théorie des formes normales de Birkhoff qui permet dansbien des cas de décrire un système physique comme une perturbation d’unsystème intégrable.

1.3.1 Théorie des formes normales de Birkhoff près d’unpoint d’équilibre

Supposons que dans l’approximation linéaire une position d’équilibred’un système de n degrés de libertés soit stable et que les n fréquences(ωi)1≤i≤n soient différentes. Alors la partie quadratique du hamiltonien peutêtre réduite à la forme canonique :

H =1

2(±ω1(p

21 + q21) ± ...± ωn(p2

n + q2n))

6

Définition 1.3.1On dit que les fréquences (ωi)1≤i≤n vérifient une relation de resonance d’ordreK s’il existe des entiers (ki)1≤i≤n différents de 0 tels que

k1ω1 + ...+ knωn = 0, |k1| + ...+ |kn| = K

Définition 1.3.2Une forme normale de Birkhoff de degré s pour un hamiltonien est un po-lynôme de degré s dans le système de coordonnées symplectiques (pi, qi) quiest en réalité un polynôme de degré s/2 en les variables τi = (p2

i + q2i ).

Théorème 1.3.3Supposons que les fréquences (ωi)1≤i≤n ne vérifient pas une relation de re-sonance d’ordre s où plus petite. Alors, il existe un système de coordonnéesdans un voisinage de la position d’équilibre tel que le hamiltonien se réduiseà une forme normale de Birkhoff de degré s au termes d’ordre s+ 1 près :

H(p, q) = Hs(P,Q) +R, R = O((|P | + |Q|)s+1)

Preuve :Ce théorème se démontre en passant en coordonnées complexes.

zk = pk + iqk, wk = pk − iqk

(Il faut alors multiplier le hamiltonien par −2i qui est le jacobien de latransformation) Si les termes de degré < m ne sont pas déjà tués, alors latransformation avec comme fonction génératrice Pq +Sm(P, q) (où Sm est unpolynôme homogène de degré m) va changer seulement les termes de degrésupérieur à m dans le développement de Taylor du hamiltonien. Ainsi lecoefficient d’un monôme de degré m dans le hamiltonien ayant une forme

zα1

1 ...zαnn w1β1 ...wnβn , (α1 + ...+ αn + β1 + ...+b etan)

est changé ensαβ(λ1(β1 − α1) + ...+ λn(βn − αn))

avec λk = iωk et sαβ le coefficient de zαwβ dans la fonction Sn(P, q) dansles variables z, w.Sous la condition de non resonance, le coefficient multiplicatif de sαβ estdifférent sauf si ∀k, αk = βk, c’est à dire que le monôme s’exprime en lescoefficient τk. Alors, on peut tuer tous les termes d’ordre n hormis ceuxdépendants des variables τk. On effectue alors cette transformation pourm = 3, 4, ..., s

Il est intéressant de remarquer qu’un hamiltonien mis sous forme normaleest intégrable. En effet, on considère "les coordonnées polaires" τi, φi aveclesquelles pi, qi peuvent être exprimés sous la forme :

pi =√

2τi cos(φi), qi =√

2τi sin(φi)

7

Alors en effet le hamiltonien ne s’exprime qu’en fonction des variables d’ac-tion τi. Ainsi le système décrit le tore τi = cte avec les fréquences ω = ∂H

∂τ

Ce théorème admet d’autre part des généralisation dans le cas de sys-tèmes non autonomes autour de points stationnaires et des équations à coef-ficients périodiques près d’un point d’équilibre. Ainsi, on peut donc considé-rer de nombreux systèmes comme la perturbation d’un système intégrable.Nous sommes donc amenés à nous demander quelles sont les structures dusystème intégrable dont les systèmes non intégrables voisins héritent. Parexemple qu’advient-il des tores invariants par le flot hamiltonien d’un hamil-tonien H0 complètement intégrable sur Tn×Rn lorsque le flot est perturbé enun hamiltonien proche dans la C∞-topologie, mais quelconque par ailleurs ?C’est à cette question que nous allons tenter de répondre dans la troisièmepartie. Mais d’abord, il nous faut mettre en place le baggage théorique pourétudier la théorie des tore de KAM.

8

Chapitre 2

Théorème de Nash-Moser

D’une manière générale, nous utiliserons la définition de la dérivation ausens de Gateaux. Autrement dit nous dirons que Φ : U ⊂ E → F est declasse C1 s’il existe une application continue, linéaire en la seconde variable,

Φ′ :

U × E → F

(u, v) 7→ Φ′(u).v

telle que

∀ (u, v) ∈ E2, limt→0

Φ(u+ tv) − Φ(u)

t= Φ′(u).v

On peut alors définir les applications de classe Ck pour k ≥ 2 par récurrence.

2.1 Espaces de Fréchet et bonnes applications

Définition 2.1.1On appelle espace de Fréchet échelonné un espace de Fréchet muni d’unesuite croissante de normes qui définisse sa topologie.

L’exemple type d’espace de Fréchet échelonné est l’espace C∞(M) desfonctions C∞ sur une variété C∞ compacte M , muni de la suite de normes‖‖i, telle que ‖‖i définisse la Ci-topologie (i.e. ‖f‖i = supx∈M (f (k)(x))). Uneautre idée est de considéré des espaces As comme les espaces de Hölder Cs

ou les espaces de Sobolev Hs tels que ∩As = C∞.

Définition 2.1.2Soient (E, ‖‖i)i∈N et (F, ‖‖i)i∈N deux espaces de Fréchet échelonnés, et U unouvert de E. Une application f : U → F est appelée bonne application si,pour tout x0 ∈ U , il existe un voisinage V ⊂ U de x0, r ∈ N et Ci ∈ R+ telsque

∀x ∈ V, ∀i ∈ N, ‖f(x)‖i ≤ Ci(1 + ‖x‖i+r) (2.1)

9

Proposition 2.1.3Si f est linéaire alors on au lieu de la relation 2.1 l’inégalité

∀x ∈ V, ∀i ∈ N, ‖f(x)‖i ≤ Ci(‖x‖i+r)

Preuve :Puisque f une bonne application, on a

∀x ∈ V, ∀i ∈ N, ‖f(x)‖i ≤ Ci(1 + ‖x‖i+r)

Nous pouvons supposé qu’il existe ε tel que V soit de la forme x | ‖x‖r ≤ ε.Pour tout y 6= 0 on consider x = εy/ ‖y‖0.Alors ‖x‖0 = ε et ‖f(x)‖i ≤ Ci(1 + ‖x‖i+r).Puisque f est linéaire, f(x) = εf(x)/ ‖y‖0. Alors

‖f(y)‖i ≤ Ci(‖y‖r

ε+ ‖y‖i+r) ≤ C ′

i ‖y‖i + r

♦ Remarques :

Si D est un opérateur différentiel d’ordre r alors c’est une bonne applicationpour l’espace de Fréchet C∞(M) échelonné comme vu plus haut. C’est pourcette raison qu’on parle de perte de différentiabilité pour désigner r.On parle aussi d’applications douces (pour tame mapping) et d’estimationdouces pour la relation 2.1

On peut alors généraliser pour les applications Ck et C∞

Définition 2.1.4On dit que f est une bonne application de classe Ck si elle et toutes sesdérivées jusqu’à l’ordre k sont de bonnes applications.On dit que f est une bonne application de classe C∞ si pour tout k c’estune bonne application de classe Ck.

Proposition 2.1.5Soient E,F , et G trois bons espaces de Fréchet échelonnés, U un ouvert de Eet V un ouvert de F . Si f : U → V et g : V → G sont de bonnes applicationscontinues (resp. Ck ou C∞), alors g f est une bonne application continue(resp. Ck ou C∞).

Preuve :La démonstration est immédiate puisque

‖g f‖i ≤ Ci(1 + ‖f(x)‖i+r

≤ Ci(1 + 1 + ‖x‖i+r+r′)

≤ 2Ci(1 + ‖x‖i+r+r′)

10

2.2 Bons espaces de Fréchet

Définition 2.2.1On dit qu’un espace de Fréchet échelonné (E, ‖‖i) est un bon espace deFréchet s’il existe une famille d’opérateurs linéaires continues

(Sθ)[θ≥0] : E → E

vérifiant :

∃r ∈ N, Cp,q ∈ R+ ((p, q) ∈ N2) | ∀(k, n) ∈ N2 k ≤ n,

∀x ∈ E, ∀θ ≥ 0

‖Sθx‖n ≤ Cn,kt

(n−k) ‖x‖k

‖(Id− Sθ)(x)‖k ≤ Ck,ntk−n ‖x‖n

(2.2)

Les opérateurs (Sθ) sont appelés opérateurs d’approximation ou de lissage.

L’espace de Fréchet C∞(Tn) échelonné que nous avons vu plus haut est unbon espace de Fréchet. En effet, si ψ ∈ D(Rn) vaut 1 au voisinage de 0, si φest sa transformée de Fourier et si φθ = θnφ(θx), on obtient des opérateursd’approximation sur C∞(Tn) en posant Sθf = φθ ∗ f .

On a de plus le résultat d’interpolation suivant.

Proposition 2.2.2 (Inégalités de Hadamard)Pour tout x ∈ E, (k, n) ∈ N2, k < n et k ≤ l ≤ n, l = (1−α)k+αn, il existeC tel que

∀x ∈ E, ‖x‖l ≤ C ‖u‖1−αk ‖x‖α

n

Preuve :On pose ‖x‖l ≤ ‖Sθx‖l + ‖(Id− Sθ)x‖l. Il existe tel que

‖x‖l ≤ C(tn−k ‖x‖k + tk−n ‖x‖n)

‖x‖l ≤ C(tα(n−k) ‖x‖k + t(1−α)(n−k) ‖x‖n)

En choisissant t = ‖x‖1/(l−k)n ‖x‖1/(k−l)

k on obtient donc le résultat demandé.

‖x‖l ≤ 2C ‖u‖1−αk ‖x‖α

n

Un dernier résultat général et d’importance et le fait que les bonnes ap-plications sont plus fréquentes qu’on ne le croit a priori. On a notamment denombreux résultats sur le produit de deux bonnes fonctions, la compositiond’un opérateur où encore l’inversion. Ces résultats dépendent d’estimationsdite douces (tame en anglais) qui dépendent des espaces considérés dans leurformalisme particulier bien que toutes de structures semblables. Nous déve-lopperons plus en détail certaines de ces estimations dans la section 2.4 surles espaces de Hölder. Nous avons cependant le résultat général suivant quenous utiliserons dans le théorème KAM.

11

Proposition 2.2.3l’application

J :

Diff∞(Tn, 0) → Diff∞(Tn, 0)

h 7→ h−1

est une bonne application C∞

2.3 Le théorème de Nash-Moser : énoncé général

Nous donnons tout d’abord un énoncé générale du théorème de Nash-Moser avant d’en donner une preuve dans un cadre plus réduit. Nous avonstout d’abord le théorème d’inversion locale :

Théorème 2.3.1 (Inversion locale)Soient E,F deux bons espaces de Fréchet, U un ouvert de E, f : U → Fune bonne application Cr (2 ≤ r ≤ +∞), x0 ∈ U , y0 = f(x0).Alors x0 et y0 possède des voisinages ouverts, V ⊂ V0 et W ⊂ F , entrelesquels f établit un bon difféomorphisme Cr.

De ce théorème on déduit comme d’habitude le théorème des fonctions im-plicites :

Théorème 2.3.2 (Fonctions Implicites)Soient E,F et G trois bons espaces de Fréchet, U un ouvert de E × F ,f : U → G une bonne application Cr (2 ≤ r ≤ +∞) et (x0, y0) ∈ U .On suppose qu’il existe un voisinage V de (x0, y0) et une bonne applicationcontinue linéaire en la seconde variable L : V × G → F telle que, ∀(x, y) ∈V, dyf(x, y) soit inversible d’inverse L(x, y).Alors x0 possède un voisinage W sur lequel est défini une bonne applicationCr g : W → F telle que :

– g(x0) = y0

– ∀x ∈ W, (x, g(x)) ∈ U , et f(x, g(x)) = f(x0, y0)

♦ Remarques :

Pour Hamilton [2], les bons espaces de Fréchet E sont les espaces tels qu’ilexiste une bonne injection linéaire entre lui-même et un espace de suites àdécroissance rapide Σ(E). On définit alors la suite de normes pour (xk)k∈N ∈Σ(E) par :

‖xk‖n =

∞∑

k=0

‖xk‖B e−kn

L’intérêt de cette définition dont on peut montrer son équivalence avec notredéfinition est qu’elle permet de se ramener à un travail sur un espace confor-table où les opérateurs d’approximations sont donnés par (Sθx)k = s(θ−k)xk

avec s telle que s(u ≤ 0) = 0, s(u ≥ 1) = 1 et 0 ≤ s(0 ≤ u ≤ 1) ≤ 1.

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Pour notre part, nous allons nous référer à un autre type d’espace pourdonner un cadre au théorème de Nash-Moser. C’est celui décrit par SergeAlinhac et Patrick Gérard dans [3] avec les espaces de Hölder et la théoriede Littlewood-Paley

2.4 Le théorème de Nash-Moser dans les espacesde Hölder

Afin de poser le problème, rappelons la définition classique des espacesde Hölder.

Définition 2.4.1Soit α > 0, α 6∈ N. On définit Cα(Rn) comme l’espace des u ∈ Ck(Rn) aveck = E(α), bornées ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre k, telles que :

∃C, ∀x, ∀y, ∀β, |β| = k,∣∣∣∂βu(x) − ∂βu(y)

∣∣∣ ≤ C |x− y|α−k (2.3)

La norme dans l’espace Cα est définie par ‖u‖α = ‖u‖L∞ + ‖u‖′α où ‖u‖′αdésigne la meilleur constante dans 2.3

♦ Remarque :

On utilise parfois la norme ‖u‖α =∑

|m|≤k ‖∂mu‖L∞+‖u‖′α, mais on peut dé-montrer que ces deux normes sont équivalentes. L’idée est qu’avec un contrôlesur les deux extrêmes du développement de Taylor on peut maîtriser tousles autres termes.

Nous allons faire quelques rappels sur la théorie de Littlewood-Paley afinde définir des opérateurs de lissage.

2.4.1 Théorie de Littlewood-Paley

Définition 2.4.2 (Decomposition de Littlewood-Paley)Soit ψ ∈ C∞

0 (Rn) telle que ψ(ξ) ≤ 1/2, ψ(ξ ≥ 1) = 0.On pose φ(ξ) =ψ(ξ/2) − ψ(ξ).φ est supportée dans la couronne 1/ ≤ |ξ| ≤ 2 et pour tout ξ

1 = ψ(ξ) +∑

p≥0

φ(2−pξ)

(Dans cette série, il n’y a jamais plus de deux termes non nulles)Pour u ∈ S ′(Rn) on pose :

u−1 = Σ0u = ψ(D)u, up = φ(2−pD)u

de sorte que

u = Σ0u+∑

p≥0

up

13

On note Σp =∑

0≤q≤p−1 uq

La théorie de Littlewood-Paley permet de généraliser la définition desespace de Hölder au cas entier par la proposition suivante et la définition quien découle.

Proposition 2.4.3u ∈ Cα(Rn), (α 6∈ N) si et seulement si pour tout p ≥ −1

‖u‖α ≥ C2pα ‖up‖0

Définition 2.4.4 (Espaces de Hölder)Soit r, on désigne par Cr l’ensemble des distributions tempérées qui vérifient

‖u‖α = supp

2pα ‖uq‖0 <∞

Avec cette définition, il est clair qu’on définit une suite d’espace inclus les unsdans les autres. Il faut noter une difficulté : l’espace C0 définit ainsi n’est paségale à L∞ et C1 à l’espace des fonctions lipchitzienne. Ainsi il sera toujoursplus raisonnable de travailler avec des espace non entier.

Proposition 2.4.5 (Opérateurs d’approximations)Il existe une famille Sθ, (θ ≤ 1) d’opérateurs Sθ : ∪Cα → ∩Cβ avec lespropriétés suivantes :

1. ‖Sθu‖α ≤ C ‖u‖β , α ≤ β

2. ‖Sθu‖α ≤ Cθβ−α ‖u‖β , α ≥ β

3. ‖(Id− Sθ)u‖α ≤ Cθβ−α ‖u‖α , α ≤ β

4.∥∥ d

dθSθu∥∥

α≤ Cθβ−α−1 ‖u‖α , pour tout β

Preuve :On pose pour χ ∈ C∞

0 (R), ξ = 1 au voisinage de l’origine,

Sθu =∑

p

χ(2p/θ)up

Ainsi il existe K tel que , (Sθu)p = 0 si 2p ≥ Kθ et ‖(Sθu)p‖0 ≤ C2−pβ ‖u‖β

sinon.En particulier, on obtient 2. avec α ≥ β car,

‖(Sθu)p‖0 ≤ C2p(α−β)2−pα ‖u‖β

De même on a (Sθu− u)p pour 2p ≤ Kθ et ‖(Sθu− u)p‖0 ≤ C2−pβ ‖u‖β

sinon. On obtient donc 3. en écrivant :

‖(Sθu− u)p‖0 ≤ C2p(α−β)2−pα ‖u‖β

14

Enfin ddθSθu = 1/θ

∑p(χ1)(2

p/θ)up avec χ1 = −zχ′(z) et les mêmes rai-sonnements donnent la propriété 4.

De plus le cadre des espaces de Hölder va nous permettre d’établir uncertain nombre de résultats sur les bonnes applications qui sont plus nom-breuses qu’on ne le pense. Évidement ces résultats se généralisent en partiesur les bons espaces de Fréchet.

2.4.2 Quelques estimations douces

Nous renvoyons à [3] pour les preuves de ces premiers résultats issusdirectement de la théorie de Littlewood-Paley

Proposition 2.4.6 (Sensibilité des termes aux dérivations)Il existe des constantes C, indépendantes de p et u pour lesquelles :

1. pour tout α ∈ Nn, p ≥ −1,

‖∂αup‖0 ≤ C2p|α| ‖u‖0 , ‖∂αΣpu‖ ≤ C2p|α| ‖u‖0

2. pour tout k ∈ N et p ≥ 0,

1

C2pk ‖up‖0 ≤

∑

|α|=k

‖∂αup‖0 ≤ C2pk ‖up‖0

Proposition 2.4.7 (Estimation du produit)Soit u, v ∈ Cα, il existe C tel que

‖uv‖α ≤ C(‖u‖L∞ ‖v‖α + ‖v‖L∞ ‖u‖α)

Deux autres cas sont utiles dans le pratique et sont données par les pro-positions suivantes.

Proposition 2.4.8 (estimation de la composition)Si α ≥ 1, α 6∈ N, u, v ∈ Cα, alors u v ∈ Cα et

‖u v‖ ≤ C(‖u‖α

∥∥v′∥∥α

L∞+∥∥u′∥∥

L∞‖v‖α + ‖u‖L∞)

Proposition 2.4.9 (estimation de l’inverse)Soient B1 et B2 deux compacts convexes de Rn et u : B1 → B2, fB2 → Rn

tels que f(u(x)) = x pour tout x ∈ B1.Pour α ≥ 1, α 6∈ N, il existe C tel que

‖u‖α ≤ C ‖f‖α

15

Ces estimations douces donnent un aperçu des modalités d’obtentiond’une bonne application (tame en anglais) dans le cadre des espaces de Höl-der. En fait Hamilton donne dans [2] des résultats généraux sur le produit,la composition où l’inversion de bonnes applications que nous avons déjàévoqué. Ces résultats sont fondamentaux dans l’application du théorème deNash-Moser. Ici notre but est de montrer que nous retrouvons un formalismeéquivalent dans le cas des espaces de Hölder, ce qui va nous permettre deprésenter une démonstration des théorèmes de Nash-Moser dans un cadrestructurel classique.Par la suite nous ne reviendront pas sur les justifications des notions debonnes applications C∞, sachant que la démarche s’inspire des résultats quenous venons de présenter.

2.4.3 Preuve du théorème de Nash-Moser

On se place donc dans l’espace C∞(M) avec M une variété compacte,la famille d’espaces considérée étant celle des espaces de Hölder non entieret les opérateurs les Sθ. O Nous reprenons le texte de [3], avant de faire lesanalogies entre les deux versions du théorème.

♦ Remarque :

Il est important de souligner que nous ne chercherons pas à entrer dans ledétail du formalisme sur les variétés sachant que nous utiliserons tous nosthéorèmes sur le tore Tn qui permet de se ramener tout simplement auxfonctions périodiques.

Théorème 2.4.10Soient u0 ∈ C∞, et Φ définie dans un µ-voisinage de u0 dans C∞(M,Rp) àvaleurs dans C∞(M,Rp). vérifiant les deux hypothèses suivantes :

1. Φ est de classe C2 au sens de Gateaux et satisfait l’estimation douce

∥∥Φ′′(u)(v1, v2)∥∥

α≤ C(‖v1‖a ‖v2‖a (1+‖u‖α+β)+‖v1‖a ‖v2‖α+c+‖v1‖α+c ‖v2‖a

pour certains a, b, c ≥ 0 et α ≥ 0

2. Pour u dans un µ′-voisinage de u0, il existe une application linéaireψ(u)(u) : C∞(M,Rq) → C∞(M,Rp) telle que Φ′(u)ψ(u) = id, satis-faisant à l’estimation douce

‖ψ(u)g‖α ≤ (‖g‖α+λ + ‖g‖λ (1 + ‖u‖α+d)

pour des nombres λ, d ≥ 0 et tout α ≥ 0

Supposons maintenant α tel que α ≥ µ α ≥ µ′, α ≥ d, α > λ + a + c,α ≥ a+ 1/2 sup(λ+ b, 2a) et α 6∈ N alors

1. Il existe un (α + λ)-voisinage W de l’origine tel que pour f ∈ Wl’équation

Φ(u) = Φ(u0) + f

16

possède une solution u = u(f) ∈ Cα telle que

‖u(f) − u0‖α ≤ C ‖f‖α+λ

2. S’il existe α′ ≥ α non entier tel que f ∈ W ∩ Cα′+λ, alors la solutionu(f) ∈ Cα′

avec l’estimation correspondante. En particulier sif ∈ W ∩ C∞, alors u(f) ∈ C∞

Preuve :Nous allons utiliser un schéma de Newton combiné à une régularisation desfonctions considérées.

Schéma de Newton classique

Un schéma classique consisterait à supposer déterminés u0, ..., un et àconstruire un+1 = un + ∆un. Pour k ≤ n, on écrit

Φ(uk+1) = Φ(uk) + Φ′(uk)∆uk + εk

εk est alors l’erreur quadratique. On pose alors ∆un tel que Φ′(un)∆un = γn,γn étant déterminé de sorte que εn mesure l’écart entre φ(un+1) et le butrecherché φ(u0) + f .On obtient donc en sommant les équations ci-dessus :

Φ(un+1) = Φ(u0) +n∑

0

γk +n∑

0

εk

f =n∑

0

γk + En

avec En =∑n−1

0 ek. Ainsi γn est donné par

φ(un+1) = φ(u0) + f + εn et γn = f + Φ(u0) − Φ(un)

Formellement, on s’attend donc à

φ(u) = φ(u0) + f

Schéma de Newton et régularisation

En fait ici, un schéma de ce type est impraticable car les estimations surles ∆un sont de plus en plus faibles. Ainsi l’intervalle de confiance pour∆un est de plus en plus petit. Nous développerons cette notion dans lesremarques. On utilise donc les opérateurs de lissage pour compenser cetteperte d’information. On pose donc les opérateurs Sθn

pour θn = (θ1/ε0 + n)ε

17

avec θ0 et ε à déterminer. On obtient donc une décomposition pour f plusfine que la décomposition de Littlewood-Paley :

f = Sθ0f +

∑

k≥0

∆kfk

fk =1

∆k(Sθk+1

− Sθk)(f)

∆k = θk+1 − θk

On a alors∥∥∥fk

∥∥∥s

=

∥∥∥∥1

∆k

∫ θk+1

θk

d

dθSθfdθ

∥∥∥∥s

≤ Cθs−α−1k ‖f‖α (2.4)

Maintenant au lieu de chercher à approcher Φ(u0)+f tout de suite, on vad’abord approcher Φ(uo)+Sθ0

f avec u0 puis Φ(uo)+Sθ1f par u1, etc...Ainsi

à chaque étape on résout cette fois Φ′(vn)∆un = γn avec vn = Sθnun.

Le schéma est donc le suivant :On suppose définis u0, ..., un et on veut définir un+1 = un + ∆un et ∆un =Ψ(vn)γn. On pose de même pour k ≤ n− 1

uk+1 − uk = ∆uk = Ψ(vk)γk

Ainsi on peut écrire cette fois

Φ(uk+1) − Φ(uk) = γk + εk

avec

εk = ε′k + ε′′k

ε′k = (Φ′(uk) − Φ′(vk))∆uk

ε′′k = Φ(uk+1) − Φ(uk) − Φ′(uk)∆uk

L’erreur ε′′k est l’erreur quadratique du schéma de Newton classique. Parcontre ε′k représente l’erreur de substitution entre un et vn dans Φ′. En posantencore En =

∑n−10 εk, on détermine γn par récurrence selon la formule

n∑

0

γk + SθnEn = Sθn

f (2.5)

Enfin, pour éviter de faire apparaître le pas ∆n, on pose

∆un = ∆nun, γn = ∆ngn, εn = ∆nen, ε′n = ∆ne

′n, ε

′′n = ∆ne

′′n

de sorte que

e′k = (Φ′(uk) − Φ′(vk))uk

e′′k =1

∆nΦ(uk+1) − Φ(uk) − Φ′(uk)∆nuk

18

Structure de la recurrence

Il faut donc prouver l’existence de la suite un et sa convergence, sous l’hy-pothèse ‖f‖β assez petit (β = α+ λ).Nous faisons alors l’hypothèse de récurence pour δ ≥ 0 et un r ≥ α fixé plusloin :

(Hn) Pour 0 ≤ k ≤ n et s ∈ [0, r], ‖un‖s ≤ δθs−α−1k

Nous avons trois commentaires à faire sur cette hypothèse de recurrence.

a. Tout d’abord si (Hn) est vraie pour tout n, la suite un converge dansCα−ε pour tout ε > 0 vers une fonction u ∈ Cα en vertu du lemme suivant :

lemme 2.4.11Soit (uθ)θ≥θ0

une famille de fonctions C∞ telle que

‖uθ‖aj≤Mθbj−1, j = 1, 2, avec b1 < 0 < b2, a1 < a2

Si on pose ν tel que νb1 + (1 − ν)b2 = 0 et a = νa1 + (1 − ν)a2 alors

si a 6∈ N, u =

∫ ∞

θ0

uθdθ ∈ Ca et ‖u‖a ≤ CM

Preuve du lemme :Calculons pour simplifier ‖u‖a grace aux inégalités d’interpolations.

‖u‖a ≤ C ‖u‖νa1

‖u‖1−νa2

≤ CMθν(b1−1)θ(1−ν)(b2−1)

≤ CMθ−1

Ainsi pour tout a′ < a on a convergence normale de l’intégrale définissant u.

b. La deuxième remarque sur (Hn) concerne sa signification. On obtientu = u0 +

∑∞k=0 ∆ku de sorte que u est construit par un procédé inverse de

la décomposition de f . C’est pourquoi on s’attend à une estimation du typede 2.4.

c. Enfin on montre que si α ≥ µ, α ≥ µ′, 0 < δ ≥ δ0, δ0 assez petit et θ0assez grand, (Hn) implique que un+1 et un+1 sont dans des voisinages de u0

assez petit pour appliquer les 2 hypothèses sur Φ. En effet

lemme 2.4.12On note x+ = sup(x, 0). L’hypothèse (Hn) implique :

1. ‖un+1 − u0‖α ≤ Cδ

2.∥∥Sθn+1

(un+1 − u0)∥∥

a≤ Cδθ

(a−α)+n+1 , a dans un intervalle fini

3.∥∥(Id− Sθn+1

)(un+1 − u0)∥∥

a≤ Cδθa−α

n+1 pour 0 ≤ a ≤ r

19

4. ‖un+1 − vn+1‖a ≤ Cθa−αn+1 , pour 0 ≤ a ≤ r

5. ‖vn+1‖a ≤ Cθ(a−α)+n+1 , a dans un intervalle fini.

Preuve de l’hypothèse de récurrence

Nous pouvons maintenant utiliser les hypothèses sur un+1 et vn+1 afin deprouver (Hn+1). Ce travail consiste en une évaluation des différents termesd’erreur en faisant attention aux intervalles d’information sur les normes.

a. Estimation de e′k

lemme 2.4.13Pour 0 ≤ k ≤ n s ∈ [0, r − sup(b, c)], on a

∥∥e′k∥∥

s≤ Cδθ

L(s)−1k (2.6)

où L(s) = sup(s+ a+ c− 2α, (s+ b− α)+ + 2a− 2α)

Preuve du lemme :On a

e′k = Φ′(uk) − Φ′(vk)uk =

∫ 1

0Φ′′(vk + t(uk − vk))(uk, uk − vk)dt

donc grâce à l’hypothèse 1 sur Φ

∥∥e′k∥∥

s≤ C ‖uk‖a ‖uk − vk‖ (1 + sup

t‖vk + t(uk − vk)‖s+b)

+C ‖uk‖a ‖uk − vk‖c+s + C ‖uk‖c+s ‖uk − vk‖a

≤ CδθL(s)−1k

b. Estimation de e′′kOn a

e′′k = ∆k

∫ 1

0(1 − t)Φ′′(uk + t(uk − t∆kuk))(uk, uk)dt

avec pour l’intégrale un estimation de la même forme que pour e′k sur lemême intervalle de normes. Il est clair alors qu’un choix convenable de εrend e′′k négligeable devant e′k car ∆k ∼ εθ

1−1/εk . L’erreur ek est donc estimée

par 2.6.

c. Estimation de gn+1.

On rappelle que d’après 2.5

gn+1 =∆n

∆n+1

(fn − (En)n + Sθn+1

en

)

20

avec d’une manière générale wn = 1∆n

(Sθn+1−Sθn

)w. Ainsi on a grâce à 2.4,on a les estimations : ∥∥∥fn

∥∥∥s≤ Cθs−β−1

n ‖f‖β

avec β = α+ λ et, ∥∥∥(En)n

∥∥∥s≤ Cθs−t−1

n ‖En‖t

On choisit alors t le plus grand possible, c’est à dire t = r− sup(b, c) et r

assez grand pour que∑

∆jθL(t)−1j diverge (L(t)>0) et que L ait pour pente

1 à droite de t. On a alors ‖En‖t ≤ CδθL(t)n et donc

∥∥∥(En)n

∥∥∥s≤ Cδθs−t−1+L(t)

n ≤ CδL(s)−1n (2.7)

car L(t) ≤ L(s) + t − s si s ≤ t tandis que L(t) = L(s) + t − s si s ≥ t parchoix de r.De même pour tout s,

∥∥Sθn+1en∥∥

s≤ CδθL(s)−1

n

C’est précisément en vue d’obtenir des estimations de gn+1 sur un intervalled’indice quelconque qu’on a fait intervenir les Sθn

. On trouve finalement pours dans un intervalle borné,

‖gn+1‖s ≤ C(δθL(s)−1n+1 + θs−β−1

n+1 ‖f‖β)

d.Estimation de un+1

Par définition un+1 = Ψ(vn+1)gn+1 d’où, pour s in[0, r],

‖un+1‖ ≤ C(‖gn+1‖s+λ + ‖gn+1‖λ (1 + ‖vn+1‖s+d

Soit

‖un+1‖s ≤ CδθL(s+λ)−1n+1 +C ‖f‖β θ

s−α−1n+1 +C(δθ

L(λ)−1n+1 +‖f‖β θ

−α−1n+1 )θ

(s+d−α)+n+1

On remarque que la substitution entre un+1 et vn+1 permet d’éviter lerétrécissement d’intervalle d’information sur les normes.On obtiendra (Hn+1) si pour s ∈ [0, r] si

1. L(s+ λ) < s− α,

2. ‖f‖β /δ est petit,

3. L(λ) + (s+ d− α)+ < s− α

4. (s+ d− α)+ − α ≤ s− α

5. θ0 est assez grand

21

Analysons ces conditions : pour satisfaire 4., on doit nécessairement prendreα ≥ d ; 3. est équivalent alors à L(λ) < −α tandis que 1. est impliqué parL(λ) < −α. Finalement, L(λ) < −α signifie que

λ+ a+ c− 2α < −α⇔ α > λ+ a+ c

(λ+ b− α)+ + 2a− 2α < −α⇔ a > a+ 1/2 sup(λ+ b, 2a)

L’idée principale est là : le caractère quadratique du schéma de Newtondonné par le −2α permet de contenir les estimations douces impliquant|L′| > 1. Ainsi on peut choisir α assez grand pour boucler la récurrence.

e. Choix de (H0)θ0 est fixé. Comme g0 = 1

∆0Sθ0

f ,

u0 =1

∆0Ψ(Sθ0

u0)Sθ0f

‖u0‖s =C

∆0(‖Sθ0

f‖s+λ + ‖Sθ0f‖λ + ‖Sθ0

u0‖s+d)

On obtient donc (H0) si f/δ est petit pour une certaine norme. Comptetenu de la condition 2. du d. on choisit ‖f‖δ assez petit et l’assertion 1. duthéorème est prouvé.

Régularité additionnelle de la solution

On prouve maintenant l’assertion 2. du théorème. On suppose f ∈ W ∩Cα′+λ pour α′ > α et choisissons r > α′ Cette fois l’hypothèse de récurrenceest

(H ′n) Pour 0 ≤ k ≤ n et s ∈ [0, r], ‖un‖s ≤ δθs−α′−1

k

L’idée est que les estimations faites sur (Hn) peuvent être moduler poursatisfaire cette fois (H ′

n), puisque tout venait des estimations sur ‖f‖β . Lelemme 2.4.11 ne change pas et permet toujours de conclure sur l’existencede la limite.

♦ Remarques :

Ce qu’il faut bien comprendre dans le théorème de Nash-Moser, c’est qu’onessaye de luter contre des pertes d’informations sur la régularité due auxestimations douces du type : pour Φ′(u).v = g

‖v‖s ≤ C ‖g‖s+r

. En effet si on part d’un intervalle d’information en norme tu type s ∈ [0, s+]on obtient, de manière heuristique, pour un schéma itératif de type Newtonuk ∈ [0, s−kr]. Or comme nous l’avons vu les opérateurs de lissage per-mettent de récupérer de moins bonnes estimations mais sur les mêmes inter-valles d’information en normes. Au final c’est la convergence suffisammentforte du schéma de Newton qui permet de palier ces nouvelles estimations.

22

Chapitre 3

Théorèmes KAM

3.1 Rappels de théorie des équations différentielleset des systèmes dynamiques

Définition 3.1.1Soit h un difféomorphisme, X(t, x) un système dynamique. on note h∗X lechamp de vecteur Y défini par :

Y = dh(h−1(x))X(t, h−1(x))

Proposition 3.1.2Si φt est le flot de X et ψt celui de Y = h∗X, on a

ψt = h φt h

En particulier si X est un champ de vecteur, h envoie les orbites de X surcelles de Y .

3.2 Énonces

Pour reprendre le cours du chapitre 1, nous essayons ici de comprendrequelles structures sont conservées dans les systèmes hamiltoniens non inté-grables. Notamment, un système non intégrable peut-il se ramener à l’étuded’un système intégrable proche au sens du hamiltonien : H = H0 + εH1 :

ϕ = H ′(I)

I = 0=⇒

ϕ = H ′(I) + ε∂H1

∂I (ϕ, I)

I = −ε∂H1

∂φ

et conserver la structure du premier, en particulier une structure de quasi-périodicité ?

23

3.2.1 Énoncé d’Arnold

L’énoncé le plus intéressant est peut-être un des premiers énoncés deA.N. Kolmogorov du fait de sa grande généralité (voir aussi [4].

Théorème 3.2.1Si un système est non dégénéré, alors des perturbations conservatives suf-fisamment petites du hamiltonien, beaucoup des tores invariants ne dispa-raissent pas, mais sont légèrement déformés, tels qu’ils soient dans l’espacedes phases recouverts de façon dense par des trajectoires quasi-périodiquesavec un nombre de fréquences indépendantes égal au nombre de degrés deliberté.Ces tores invariants constituent une majorité en ce sens que le complémen-taire de leur union est petit quand la perturbation est petite.

3.2.2 Énoncé complet

Il nous faut maintenant formaliser les conditions nécessaires sur le hamil-tonien pour réaliser un énoncé complet. A partir de cette énoncé nous seronsen mesure de comprendre ses conditions puis d’en étudier une démonstra-tion.Tout d’abord une notation :

Notation 3.2.2Dn

R désigne la boule unité fermée dans Rn

Théorème 3.2.3 (KAM)Soient H0 un hamiltonien complètement intégrable sur T N×DN

R . et I0 ∈Dn

R.Supposons que H0 et I0 vérifient les hypothèses suivantes :

1. le vecteur α = ( ∂H∂I1

(I0), ...,∂H∂I1

(I0)) formé des n premières composantesde XH0

sur le tore T n × I0 satisfait à une condition diophantienne3.2,

2. la matrice(

∂2H0

∂Ii∂Ij

)1≤i,j≤n

est inversible.

Alors H0 possède un voisinage W ⊂ C∞(Tn ×DnR) tel que pour tout hamil-

tonien H ∈ W, on puisse trouver un tore TH de dimension n plongé dans

Tn×Dn

R invariant par le flot hamiltonien de H de sorte que

– TH soit le graphe d’une application uH dans C∞(Tn,Dn

R),– le flot de H restreint à TH soit conjugué au flot de H0 restreint à

Tn × I0, i.e. au flot constant α sur Tn.

24

Fig. 3.1 – Déformation du tore

3.3 Étude de cas

Afin de donner un aperçu des conditions de l’énoncé, nous allons étudierle cas d’un système autonome à deux degrés de libertés.En variable d’action-angle il s’écrit alors

H0(I1, I2) = E = cte (3.1)

Fig. 3.2 – Tore du système intégrable à deux degrés de liberté

Les solutions comme nous l’avons vu sont alors données par :

ϕi = ωi(I1, I2)t+ ϕ(0), Ii = cte, i = 1, 2

25

Les trajectoires sont donc sur un tore T2 et périodique de période q siα(I1, I2) = ω1(Ii)/ω2(Ii) = p/q et dense sur le tore si α(I1, I2) est irra-tionnel. De plus la relation 3.1 permet de calculer I2 en fonction de I1.Ainsi pour simplifier les notations on ne considerera que les variables I = I1ϕ = ϕ1.On effectue alors une coupe de Poincaré Σ = ϕ2 = 0 et on considèrel’application de premier retour et ses itérées. Elle est du type

P0 :

Σ → ΣIn 7→ In+1 = Inϕn → ϕn+1 = ϕn + 2πα(In+1)

Supposons maintenant que le hamiltonien intégrable subisse une perturba-tion dépendante de I, ϕ de la forme donnée au cahpitre 1 :

H(ϕ, I) = H0(I) + εH1(ϕ, I)

l’application P0 donne alors une application perturbée Pε telle que

Pε :

Σ → ΣIn 7→ In+1 = In + εf(ϕn, In+1)ϕn → ϕn+1 = ϕn + 2πα(In+1) + εg(ϕn, In+1)

où les fonctions f et g sont supposées périodiques en ϕ (autrement dit desfonctions de T2.

Fig. 3.3 – Application de retour de Poincaré et trajectoire perturbée

De plus l’application de retour de Poincaré pour un système hamiltonienconserve les aires donc on a

∣∣∣∣∂(In+1, ϕn+1)

∂(In, ϕn)

∣∣∣∣ = 1

26

En première approximation on obtient la condition sur f et g :

∂f

∂I+∂g

∂ϕ= 0

Pour simplifier, on suppose f(I, ϕ) = f(ϕ) et g = 0 afin de satisfaire lacondition. Ce qui nous donne :

In+1 = In + εf(ϕn)ϕn+1 = ϕn + 2πα(In+1)

On cherche alors une courbe invariante I = I(ϕ) pour cette application cequi nous donne

I(ϕ+ 2πα) = I(ϕ) + εf(ϕ)

Si f et I sont suffisamment régulière on peut utiliser leur décomposition ensérie de Fourier :

f(ϕ) =+∞∑

−∞

akeikϕ, J(ϕ) =

+∞∑

−∞

bkeikϕ

On obtient+∞∑

−∞

bkeik(ϕ+2πα) =

+∞∑

−∞

bkeikϕ + ε

+∞∑

−∞

akeikϕ

ce qui donne en identifiant les coefficients,

bk =εak

ei2πkα−1

Ce qui nous donne déjà α irrationnel. Il faut alors chercher un critère deconvergence pour cette série de Fourier. On suppose alors f ∈ Cn, on a alors|ak| ≤M/ |k|n. De plus si α est irrationnel , il existe des constantes c > 0 etm > 1 tel que pour tout k ∈ Z+ et l ∈ Z

|kα− l| ≥ c

km−1

On a alors∣∣∣ei2πkα − 1

∣∣∣ = 2 |sin(πkα)| = 2 |sin(kα− l)| ≥ 4 |4α− l| ≥ 4c

km−1

Tout ceci nous donne la condition

|bk| ≤Mε

4c |k|N−m+1, k 6= 1

Ainsi on a une série convergente pour N −m > 0

27

On comprends ainsi comment des tores peuvent se conserver malgré unedéformation suivant des conditions sur α et des conditions de régularités deH (qui en impose sur l’application de premier retour). Les éléments ei2πkα−1

sont appelés les petits diviseurs. Ils sont en fait la clé de tous les théorèmesKAM et sont à l’origine des premières démonstrations. Nous les révérons plusloin. On peut faire une remarque supplémentaire. A priori, un tore est d’au-tant mieux conserver que le réel α est mal approché par des rationnels. Ainsidans de nombreux systèmes les derniers tores qui survivent sont associés aunombre d’or.

Fig. 3.4 – Exemple de Coupe de Poincare

3.4 Théorème des formes normales des champs devecteurs sur Tn

Nous allons continuer cette étude des formulations des théorèmes KAMpar un version qui peut faire figure de dernier "banc d’essai" pour la démons-tration complète du théorème KAM. En effet la plupart des éléments de la dé-monstration du théorème des tores invariants y apparaissent sous une formesimplifiée. Ce théorème permet l’étude des trajectoires quasi-périodiques de

28

systèmes dynamiques et prend la forme suivante.

3.4.1 ÉnoncéThéorème 3.4.1Soit α ∈ Rn vérifiant la condition diophantienne suivante :

∃c > 0, τ ≥ n− 1 | ∀k ∈ Zn\0,∣∣∣∣∣

n∑

i=1

kiαi

∣∣∣∣∣ ≥ c

(n∑

i=1

|ki|)−τ

(3.2)

Alors le champ constant α possède un voisinage dans X∞(Tn) tels que pourtout élément v de celui-ci, il existe λ ∈ Rn et h ∈ Diff∞(Tn, 0) tels que

v = λ+ h∗α

3.4.2 Préliminaires

Prouver le théorème 3.4.1, c’est résoudre lorsque v est voisin de α l’équa-tion d’inconnues h et λ :

v = λ+ h∗α

Un premier pas est alors d’étudié l’équation linéarisée associée, obtenue ensubstituant à l’application (λ, h) 7→ λ + h∗α son application tangente en(0, Id). Or on a

limt→0

1

t((Id+ tη)∗α− α) = lim

t→0

1

t(d(Id+ tη) (Id+ tη)−1.α− α)

= limt→0

dη (Id+ tη)−1.α = dη.α

donc l’équation linéarisée est l’équation d’inconnues λ ∈ Rn et η ∈ C∞(Tn,Rn, 0) :

v = λ+ α+ dη.α

Nous allons alors comprendre l’importance de la condition diophantienne parla définition et les propriétés suivantes :

Définition 3.4.2Soit α ∈ Rn. On définit l’opérateur Lα tel que pour tout u ∈ C(Tn,Rp),

Lαu = du.α =n∑

i=1

αi∂u

∂θi

On définit alors l’application

Lα :

C∞(Tn,Rp, 0) → C∞

0 (Tn,Rp)u 7→ Lαu

29

On a alors les propriétés suivantes :

Proposition 3.4.31. L’opérateur prend ses valeurs dans

C∞0 (Tn,Rp) =

v ∈ C∞(Tn,Rp)

∣∣∣∣∫

Tn

v(θ)dθ = 0

2. lorsque la famille (α1, ..., αn) est linéairement indépendantes sur Q, Lα

restreint à C∞(Tn,Rp, 0) est injectif ;

3. Lα est bijective si et seulement si α vérifie la condition diophantienne3.2 ; on dispose alors des majorations suivantes

∃Ai > 0, r ∈ N | ∀v ∈ C∞0 (Tn,Rp), ∀i ∈ N,

∥∥λ−1α v∥∥ ≤ Ai ‖v‖i+r (3.3)

avec ‖‖i définissant la C i-topologie sur C∞(Tn,Rp)

Preuve :Pour démontrer l’assertion 1, il suffit de calculer pour u ∈ C∞(Tn,Rp) l’in-tégrale

∫

Tn

Lαu dθ =n∑

i=1

∫

Tn−1

(∫

θi∈[0,2π]αi∂u

∂θidθi

)dθ

=n∑

i=1

αi

∫

Tn−1

(u(θ1, ..., θi−1, 0, ...θn) − u(θ1, ..., θi−1, 2π, ...θn)) dθ = 0

Pour les assertion 2 et 3, on utilise la décomposition en série de Fourier.Rappelons qu’elle établit un isomorphisme entre l’espace C∞(Tn,Rp) et l’es-pace des suites à décroissantes rapides de Zn, à valeurs dans Rp, et que pourtout fonction f ∈ C∞(Tn,Rp), ses coefficients de Fourier sont les

f(k) =

∫

Tn

exp−2πi < k, θ >f(θ)dθ

Puisque la dérivation de f par rapport à la i-ème variable correspond à unemultiplication du coefficient de Fourier par ki on à les inégalités :

‖f‖i ≤ Bi supk∈Zn

((1 +

∑ni=1 |ki|)i+n+1||f(k)||

)

supk∈Zn

((1 +

∑ni=1 |ki|)i+n+1||f(k)||

)≤ Ci ‖f‖i

(3.4)

On obtient pour notre problème, toujours en utilisant les propriétés de déri-vation pour les séries de Fourier

(Lαu)(k) = 2πi < k, α > u(k) (3.5)

30

Cette relation montre que que si la famille (α1, ..., αn) est libre sur Q et siLαu = 0, on a ∀k, u(k) = 0 donc u est constant sur Tn ce qui prouve le 2..De plus, il découle de 3.5 puisque (Lαu)(k) et u(k) sont à décroissance rapideque la famille (< k, α >−1)k∈Zn\0 ne croit pas plus vite qu’une puissancede∑n

i=1 |ki|, ce qui signifie que α vérifie la condition diophantienne 3.2.Réciproquement, si la condition 3.2 est satisfaite, alors pour tout v ∈ C∞

0 (Tn,Rp),on peut définir par les conditions suivantes

u(k) = (2πi < k, α >)−1v(k) k ∈ Zn\0u(0) = 0

une application u ∈ C∞0 (Tn,Rp) qui vérifie Lαu = v.

Il vient alors Lα(u− u(0)) = v ce qui assure la surjectivité de Lα.Enfin les majorations 3.3 découlent immédiatement de l’expression de v, desinégalités 3.4 et de la condition 3.2.

Les quantités < k, α >−1 dans l’expression 3.5 sont les petits diviseursque nous avions déjà rencontrés dans l’étude de cas. On peut faire de plusquelques remarques sur l’assertion 3 et le choix de r. en effet en appliquantaux majorations 3.3 la fonction v : x 7→ exp (2πi < k, x >) on obtient unecondition diophantienne avec r comme exposant. Donc r > N − 1. L’opé-rateur L−1

α bien que l’inverse d’un opérateur différentielle entraîne donc une

perte de différentiabilité. C’est cette perte qui intervenait à moindre échelledans les démonstration analytique du théorème KAM qui vont rendre difficileles démonstrations générales.

3.4.3 Démonstration du théorème des formes normales

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème des formes normales3.4.1 sur les champs de vecteur. En fait nous avons même les outils pourdémontrer une forme plus précise :

Théorème 3.4.41. Pour tout α ∈ Rn, l’application

Φα :

Diff∞(Tn, 0) × Rn → X∞(Tn)

(h, λ) 7→ λ+ h∗α

est une bonne application C∞.

2. Soit α ∈ Rn vérifiant la condition diophantienne 3.2, alors Φα établitun bon difféomorphisme C∞ entre un voisinage ouvert de(Id, 0) ∈ Diff∞(Tn, 0) × Rn et un voisinage ouvert de α ∈ X∞(Tn)

Dans cet énoncé on peut munir Rn de la structure d’espace de Fréchetéchelonné évidente définie par une suite constante de norme. D’autre partDiff∞(Tn, 0) est un ouvert de C∞(Tn,Rn, 0) donc on peut désigner Φα à la

31

fois de bonne application et de bon difféomorphisme.

Preuve :L’assertion 1 découle directement des théorèmes de composition et d’inver-sion des bonnes applications.

De plus on peut calculer dΦα :

Φα(h+ δh, λ, λ+ δλ) − Φα(h, λ) = δλ+ d(h+ δh) (h+ δh)−1.α− dh h−1.α

= δλ+ dh (h+ δh)−1.α+ d(δh) (h+ δh)−1.α

−dh h−1.α

Or on ad(δh) (h+ δh)−1 = d(δh) h−1 +O(δh)

Et

dh (h+ δh)−1 = dh h−1.α+ d(dh (h+ δh)−1) +O(δh)

d(dh (h+ δh)−1) = d(dh h−1) (Id+ δd h−1)

= d(dh h−1).(δh h−1)

= d2h h−1.(dh−1.δh h−1)

d’où l’expression de la différentielle dΦα

dΦα(h, λ)(δh, δλ) = δλ+ d(δh) h−1 + d2h h−1.(d(h−1).(δh h−1), α)

On pose alors δh = dh.E, on a alors

d(h−1 h).E = d(h−1) h.dh.E = E

donc de mêmed(h−1).(dh.E h−1) = E h−1

et l’expression de la différentielle se simplifie en

dΦα(h, λ)(δh, δλ) = δλ+ (d(dh.E).α− d2h.(E,α)) h−1

= δλ+ (dh.dE.α) h−1 (3.6)

Pour démontrer l’assertion 2, nous allons appliquer le théorème d’inver-sion locale 2.3.1 à f = Φα, x0 = (Id, 0), y0 = α. Il nous faut donc inverserdΦα(h, λ) pour tout (h, λ) dans un voisinage de (Id, 0) dans Diff∞(Tn, 0) ×Rn.Or d’après 3.6 nous sommes ramener à résoudre pour η ∈ X∞(Tn) l’équationd’inconnu (λ,E)

δλ+ (dh.dE.α) h−1 = η (3.7)

(dh)−1.δλ+ LαE = (dh)−1.(η h) (3.8)

32

avec, comme pour la définition 3.4.2,

LαE = dE.α

D’après l’assertion 3 de la proposition 3.4.3, on a∫

Tn

(LαE)(θ)dθ = 0

il découle de 3.7 :(∫

Tn

(dh)−1(θ)dθ

)δλ =

∫

Tn

((dh)−1.η h)(θ)dθ

Lorsque h appartient à un voisinage ouvert V ∈ Diff∞(Tn, 0) de Id, suf-fisamment petit alors

(∫Tn(dh)−1(θ)dθ

)6= 0 et l’équation précédente admet

une solution δλ unique. De plus, l’application

L2 :

V × C∞(Tn,Rn) → Rn

(h, η) 7→ δλ

est linéaire en η et continue (c’est donc une bonne application à valeur dansRn)

Ainsi, pour h ∈ V, l’équation dΦα(h, λ)(δh, δλ) = η est équivalente à

δλ = L2(h, η)Lα((dh)−1.dh) = (dh)−1.η h− (dh)−1.L2(h, η)

Or d’après la proposition 3.4.3 Lα est inversible ce qui nous donne la solu-tion :

(δh, δλ) =(dh.L−1

α

(((dh)−1η h− (dh)−1.L2(h, η)

), L2(h, η)

)

De plus, les inégalité de la proposition 3.4.3 et les théorèmes de composi-tion des bonnes applications montrent que (δh, δλ) est une bonne applicationcontinue de (h, λ, η) sur V × Rn × C∞(Tn,Rn).Par conséquent on peut appliquer le théorème de Nash-Moser pour l’appli-cation Φα au point (Id, 0) ce qui démontre le théorème des formes normales.

3.5 Théorème KAM par Nash-Moser

Le but de cette section est d’offrir une démonstration au théorème KAMpar les théorèmes de Nash-Moser. En fait nous allons démontrer le théorème3.5.1, qui est une version plus précise des énoncés précédents.

Théorème 3.5.1Soient H0 ∈ C∞(Dn

R) et I0 ∈Dn

R vérifiant les hypothèses suivantes

33

1. le vecteur α = ( ∂H∂I1

(I0), ...,∂H∂I1

(I0)) formé des n premières composantesde XH0

sur le tore T n × I0 satisfait à une condition diophantienne3.2,

2. la matrice(

∂2H0

∂Ii∂Ij

)1≤i,j≤n

est inversible.

Il existe alors un voisinage ouvert W de H0 dans C∞(Tn×DnR) et une bonne

application C∞ :

W → C∞(Tn ×Dn

R, 0) × Rn × Diff(Tn, 0)H 7→ (fH , tH , gH)

tels que

1. pour tout H ∈ W, si l’on pose uH = dfH + tH alors :

(a) uH(Tn) ⊂Dn

R,

(b) H (Id, uH) est constant sur T n,

(c) ∂H∂I (Id, uH) = gH∗α (∈ C∞(Tn,Rn) ' X∞(Tn)

2. fH0= 0, tH0

= I0, gH0= Id

Preuve :

Dans une première étape, nous allons paramétrer les u ∈ C∞(Tn,Dn

R) tellesque ∂H

∂I (Id, u) soit conjugué au champ constant α. Nous avons en effet lelemme suivante

lemme 3.5.2Soit

U = (u, t) ∈ C∞(Tn,Rn) × Rn | ∀θ ∈ Tn, u(θ) + t ∈

DnR

et

X :

C∞(Tn ×Dn

R, 0) × U → X∞(Tn)

(H,u, t) 7→ ∂H∂I (Id, u+ t)

Alors

1. U est un voisinage ouvert de (I0, 0) dans C∞(Tn ×Rn) × Rn et X estune bonne application C∞,

2. Il existe un voisinage ouvert V ∈ C∞(Tn × DnR, 0) × C∞(Tn × Rn, 0)

de (H0, I0) et deux bonnes applications :

T : V → Rn et φ : V → Diff∞(Tn, 0)

telles que pour tout couple (H,u) ∈ V– (u, T (H,u)) ∈ U– X(H,u, T (H,u)) = φ(H,u)∗α– T (H0, I0) = 0, φ(H0, I0) = Id.

34

Fig. 3.5 – Redressement du champ de vecteur sur le tore

35

L’idée portée par ce lemme est très proche du théorème des formes nor-males et peut résumé par le schéma 3.5.

Dans la seconde étape du théorème nous démontrerons le lemme 3.5.3.

lemme 3.5.3Soient

V ′ = (H, f) ∈ C∞(Tn, DnR) × C∞(Tn,R, 0)|(H, df + I0) ∈ V

et

G :

V ′ → C∞(Tn)

(H, f) 7→ H0(Id, df + I0 + T (H, df + I0)

1. V ′ est un voisinage ouvert de (H0, 0) dans C∞(Tn, DnR)×C∞(Tn,R, 0)

et G est une bonne application C∞.

2. Il existe un bon voisinage W de H0 dans C∞(Tn ×DnR) est une bonne

application C∞ F : W → C∞(Tn,R, 0) tels que– pour tout H ∈ W, (H,F (H)) appartient à V ′ et G(H,F (H)) soit

une fonction constante,– F (H0) = 0

Le théorème 3.5.1 est une conséquence directe de ce lemme, en posant :

fH = F (H)

tH = I0 + T (H, dF (H) + I0)

gH = φ(H, dfH + tH)

Preuve du lemme 3.5.2 :On pose

X :

C∞(Tn, Dn

r ) × U × Diff(Tn, 0) → X∞(Tn)

(H,u, t, g) 7→ X(H,u, t) − g∗α = ∂H∂I (Id, u+ t) − dg g−1.α

C’est une bonne application C∞ qui s’annule en (H0, i0, 0, Id). Le lemme3.5.2 découlera donc du théorème de Nash-Moser une fois que nous auronsmontré que la différentielle par rapport à t et g est inversible par une bonneapplication sur un voisinage de (H0, I0, 0, Id).Un calcul similaire à celui d u théorème 3.4.4 fournit l’expression de cettedifférentielle.

D3,4X(H,u, t, g) :

Rn × C∞(Tn,Rn, 0) → X∞(Tn)

(δt, δg) 7→ ∂2H∂I2 (Id, u+ t).δt−[(dδg) g−1.α− d2g g−1(d(g−1).(δg g−1), α)

Étant donné η ∈ C∞(Tn,Rn), on doit donc résoudre l’equation en (δt, δg) :

D3,4X(U, u, t, g)(δt, δg) = η

36

On opère le même changement de variable :

δg = dg.E

ce qui donne en posant M = ∂2H∂I2 (Id, u+ t)

M g.δt− dg.dE.alpha = η g

ou encoredE.α = −(dg)−1.(η g) + (dg)−1.(M g)δt (3.9)

On pose alors

A(H,u, t, g) =

∫

T n

((dg)−1.M g)(θ)dθ

et

B(g)η =

∫

T n

((dg)−1.(η g))(θ)dθ

A etB ainsi définis sont de bonnes applications continues. Comme∫

Tn(Lα.E)(θ)dθ =0, on a alors :

A(H,u, t, g)δt = B(g)η

Lorsque (H,u, t, g) est dans un voisinage suffisamment petit de (H0, u0, 0, id),A(H,u, t, g) est une matrice inversible ; en effet A(H0, u0, 0, Id) = ∂2H

∂I2 (I0)et on a donc

δt = A(H,u, t, g)−1.B(g).η

Le second membre de l’équation 3.9 est maintenant déterminé. Par construc-tion c’est un élément de C∞(Tn,Rn), bonne fonction continue de (H,u, t, g, η) ∈V × C∞(Tn,Rn) dont l’intégrale sur Tn est nulle.D’après la proposition 3.4.3, l’équation 3.9 possède une unique solution Edans C∞(Tn,Rn, 0) et les majorations de la condition 3. montrent que Eest aussi une bonne application continue de (H,u, t, g, η). Il en est de mêmepour δg = dg.E ce qui achève la démonstration par application du théorèmede Nash-Moser.

Au prochain paragraphe, il nous faudra connaître l’expression de la diffé-rentielle en la seconde variable de T , en (H0, I0). Pour l’obtenir, différencionsl’identité :

X(H,u, T (H,u), φ(H,u)) = 0

par rapport à u au point (H,u) = (H0, I0) ; On obtient

∂2H0

∂I2 (id, I0).(∆u+D2T (H0, I0)∆u) − d(D2φ(H0, I0).∆u).α = 0

puis en prenant l’intégrale de Lebesque sur le tore :

D2T (H0, I0)∆u = −∫

Tn

∆u(θ)dθ

37

Preuve du lemme 3.5.3 :On pose

G :

V ′ × R → C∞(Tn)

(H, f,E) 7→ G(H, f) − E = H0(Id, df + I0 + T (H, df + I0)) − E

C’est une bonne application C∞ qui s’annule en (H0, 0, H0(I0)) ; CommeG(H, f) est une fonction constante si et seulement si’l existe E tel queG(H, f,E) = 0, le lemme découlera du théorème de Nash-Moser lorsquenous aurons montré l’inversibilité de la différentielle de G par rapport à f etE sur un voisinage de (H0, 0, H0(I0)).Un calcul donne l’expression de la de la différentielle

D2,3G(H, f, e) :

C∞(Tn,Rn, 0) × R → C∞(Tn)

(δf, δE) 7→ D2,3G(H, f, e)(δf, δE) +K(H, f,E)(δf, δE)

où

D2,3G(H, f, e)(δf, δE) = <∂H

∂I (Id, df + I0 + T (H, df + I0)), d∆f > −∆EK(H, f,E)(δf, δE)

= <∂H

∂I (Id, df + I0 + T (H, df + I0)), D2T (H, df + I0)d∆f >

Pour inverser nous allons appliquer le lemme 3.5.6 avec :– E = C∞(Tn, DN

R ) × C∞(Tn,R, 0) × R,– F = C∞(Tn,R, 0) × R,– G = C∞(Tn),– Ω = V ′ × R

– L = D2,3G et l = K– x0 = (H0, 0, H0(I0))

La conclusion du lemme 3.5.6 sera exactement l’inversibilité cherchée. Mon-trons donc que les hypothèses de ce lemme sont vérifiées :

a. L = D2,3G est inversible sur Ω = V ′ × R par une bonne applicationC1.

En effet pour tout (H, f) ∈ V ′, on a

∂H

∂I (Id, df + I0 + T (H, df + I0)) = φ(H, df + I0) ∗ α

et donc en posant g = φ(H, df + I0) :

D2,3G(H, f, e)(δf, δE) =< gα, d∆f > −∆E = d(∆f g).α− δE) g−1

Par conséquent, pour η ∈ C∞(Tn), l’équation d’inconnue (δf, δE) :

D2,3G(H, f, e)(δf, δE) = η

38

est équivalente à :d(∆f g).α− ∆E = η g

b.Pour établir que l’application possède la propriétés (P ), on factorisede la manière suivante :

K(H, f,E) = A(H, f,E).K ′(H, f,E)

où

K ′(H, f, e) :

C∞(Tn,Rn, 0) × R → Rn

(δf, δE) 7→ D2T (H, df + I0)d∆f

et

A(H, f, e) :

Rn → Rn

J 7→ < ∂H∂I (Id, df + I0 + T (H, df + I0)), J >

K ′ = (X,∆f,∆E) 7→ K ′(x)(∆f,∆E) et A = ((x, J) 7→ A(x)J) sontde bonnes applications C∞ sur, respectivement V ′ × R × C∞(Tn,R, 0) etV ′ × R × Rn. Comme K ′ prend ses valeurs dans un espace de dimensionfinie, K ′ vérifie donc la propriété (P ) sur un voisinage de (H0, 0, H0(I0)). Lelemme 3.5.4 montre qu’il en va de même pour K = AK ′.

c. l(x0) = K(H0, 0, H0(I0)) est nul. En effet :

K0(H0, 0, H0(I0)).(∆f,∆E) =< α,D2T (H0, I0)d∆f >

et d’après le calcul de la différentielle au paragraphe précédent :

D2T (H0, I0).d∆f = 0

Appendice de la preuve

Soient (E, ‖‖n), (F, ‖‖n), et (G, ‖‖n) trois espaces de Fréchet échelonnés,ω un ouvert de E, et k une application linéaire en la seconde variable :

k :

Ω × F → G(x, y) 7→ k(x)y

Nous dirons que k vérifie la propriété (P ) sur Ω s’il existe s, l ∈ N et unesuite (An)n∈N de constantes positives telles que :

∀n ∈ N, ∀(x, y) ∈ Ω2, ∀z ∈ F

‖k(x)z‖n ≤ An(1 + ‖x‖n+s) ‖y‖l (3.10)

‖k(x)z − k(y)z‖n ≤ Anx− yn+s + ‖x‖n+s ‖x− y‖s) ‖y‖l (3.11)

39

♦ Remarque :

Si k est une bonne application C1 sur Ω × F et si k(Ω)F est dans un sousespace de dimension finie de G, alors k vérifie la propriété (P ) au voisinagede tout point de Ω (En effet toutes les normes ‖‖n sont alors équivalentessur k(Ω)F )

lemme 3.5.4On conserve les mêmes notations. Si (H, ‖‖n) désigne un quatrième espacesde Fréchet échelonné et si A est une bonne application C1 linéaire en laseconde variable :

A :

Ω ×G → H(x, z) 7→ A(x)z

Alors l’application

k :

Ω × F → H(x, y) 7→ A(x)k(x)y

vérifie la propriété (P ) au voisinage de tout point de Ω.

lemme 3.5.5Soient Ω un ouvert de E et k : Ω × F → F une application linéaire en laseconde variable vérifiant (P ) sur Ω.Soit x0 ∈ Ω. Si k(x0) = 0, alors x0 possède un voisinage ouvert U ⊂ Ω telque, pour tout x ∈ U , IdF + k(x) soit inversible et que

(Id+ k)−1 :

U × F → F(x, y) 7→ (Id+ k)−1.y

soit une bonne application continue.

lemme 3.5.6Avec les mêmes notations, soient L et l deux applications linéaires en laseconde variable de Ω× F → G. Si les conditions suivantes sont satisfaites :

– En tout point x ∈ Ω, L(x) est inversible, et l’application

L−1 :

Ω ×G → F(x, y) 7→ (L(x))−1.y

est une bonne application C1,– l’application l vérifie (P ) au voisinage de x0,– l(x0) = 0.

Alors x0 admet un voisinage ouvert U dans Ω, tel que, en tout point x ∈ U ,L(x) + l(x) soit inversible et que :

(L+ l)−1 :

Ω′ ×G → F

(x, z) 7→ (L(x) + l(x))−1.z

soit une bonne application C1

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