kaos i lorenzov sustav
TRANSCRIPT
Zagreb, srpanj 2011.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KAOS I LORENZOV SUSTAV
STUDENTICA: Helena Vučić
SMJER: Primijenjena kemija – modul : Specifični materijali i napredna tehnologije
MENTOR: prof. dr. sc. Ivica Gusić
Sadržaj
UVOD ........................................................................................................................................ 1 1. TEORIJA DETERMINISTIČKOG KAOSA..................................................................... 2 2. LORENZOV SUSTAV ...................................................................................................... 5
2.1. Lorenzov atraktor – efekt leptirovih krila .................................................................. 6
2.1.1. Lorenzove jednadžbe ........................................................................................ 10
2.2. Lorenzovo vodenično kolo ....................................................................................... 12
3. PRIMJERI KAOTIČNIH SUSTAVA ............................................................................. 15
3.1. Lorenzov atraktor ..................................................................................................... 15 3.2. Vodenično kolo ........................................................................................................ 16
4. PRIMJENA TEORIJE KAOSA ....................................................................................... 25
4.1. U tehnici i inženjerstvu ............................................................................................ 25 4.2. U medicini i biologiji ............................................................................................... 25 4.3. U društvenim znanostima ......................................................................................... 26 4.4. U ekonomiji .............................................................................................................. 27
5. ZAKLJUČAK .................................................................................................................. 28 6. LITERATURA ................................................................................................................. 29
1
UVOD
Znanstvenici su u prošlosti uvijek tražili formule i matematičke modele koji im egzaktno
mogu dati rezultate nekog procesa, tj. predvidjeti slijedeće stanje nekog sustava u budućnosti
– takav sustav je bio determiniran. To je bilo moguće kod sustava s malo varijabli, malo
stupnjeva slobode: znajući početne vrijednosti varijabli koje su potrebne u nekoj jednadžbi
možemo dobiti točno rješenje te jednadžbe. Međutim, većina sustava u prirodi ima jako puno
ulaznih varijabli i velike stupnjeve slobode koje su znanstvenici pojednostavnjivali
(ignorirajući neke faktore i efekte) ili su ih jednostavno izbjegavali zbog kompleksnosti
njihovog računa.
Unatoč velikim naporima znanstvenika u istraživanjima zakonitosti prirode i velikim
uspjesima na tim područjima, mnogi znanstveni problemi, ostajali su gotovo potpuno
nerazjašnjeni. Osobito se to odnosilo na neke aspekte nepravilnih gibanja, kao što su
klimatske pojave, turbulentne pojave u tekućinama, nelinearni učinci u elektroničkim
krugovima, varijacije brojnosti pojedinih biljnih i životinjskih vrsta, nelinearna
epidemiologija nekih zaraznih ili kroničnih nezaraznih bolesti, nelinearni socijalni, ekonomski
ili politički fenomeni. Nepravilna strana prirode, isprekidana i neuređena uvijek je bila
zagonetka za znanost.
Tada se razvija novi dio fizike, tj. kvantne mehanike - teorija (determinističkog) kaosa koja
opisuje ponašanje nekih nelinearnih dinamičkih sustava koji se pod određenim uvjetima
ponašaju na prividno nepredvidljiv način. Cilj teorije kaosa je, pronaći temeljni poredak u,
naizgled, nasumičnim podacima. Teorija kaosa definira nove metodološke granice, istražuje
tajni red prirode u kojem pravilnost (red) i nepravilnost (kaos) postoje jedan pored drugog.
Kaos probija granice između znanstvenih disciplina. Radi se o znanosti o ukupnoj prirodi
sustava koja postavlja snažne tvrdnje o općem ponašanju složenosti.
2
1. TEORIJA DETERMINISTIČKOG KAOSA
Po općeprihvaćenoj definiciji, teorija determinističkog kaosa je kvalitativno proučavanje
nestabilnog neperiodnog ponašanja u determinističkim nelinearnim dinamičkim sustavima.
Nestabilno ponašanje je ono kod kojeg je za prijelaz između periodnog i neperiodnog, pa čak
i između vrsta neperiodnog ponašanja, potrebna vrlo mala promjena u sustavu. Kao primjer
nestabilnosti možemo uzeti atmosferske promjene (leptirov učinak).
Neperiodno ponašanje označava da nijedan parametar sustava ne prolazi kroz periodičke
promjene vlastitih vrijednosti, tj. da se niti jedno stanje sustava ne ponavlja u potpunosti. I
ovdje možemo, primjera radi, spomenuti meteorološke prilike. Na primjer, promatrajući
dnevne temperature tijekom godine, uočavamo da su, općenito, ljetni dani topliji od zimskih,
ali se svejedno temperature nikada potpuno ne ponavljaju. Kaotični sustavi nisu u svim
mogućim stanjima kaotični, samim time teorija kaosa ne proučava samo kaotična stanja
dinamičkih sustava, nego sva stanja sustava koji mogu u određenim uvjetima biti kaotični.
U kaosu postoje pravilnosti, tj. periodična stanja i upravo je to određeno
pojmom “determinističko”. To znači da teorija kaosa proučava samo one sustave koji u svom
kaosu pokazuju neke pravilnosti, koje se mogu matematički i numerički opisati. Primjerice,
Brownovo gibanje je također kaos, ali ne deterministički, jer je to gibanje posve “slučajno”.
Nelinearni sustav je onaj sustav čiji model je opisan nelinearnim jednadžbama. Nelinearnost
zakona koji sustavom vladaju preduvjet je nastanka determinističkog kaosa u njemu, kao i
ostalih pojava vezanih za kaos.
Dinamički sustav je onaj koji doživljava promjene stanja u vremenu.
Teorija kaosa je veliko matematičko-fizikalno područje složenih jednadžbi kojima se opisuje
neko zbivanje u prirodi i temelji se na proučavanju područja nelinearne. U nelinearnim
sustavima i neznatne promjene parametara vode iznenadnim i dramatičnim promjenama i u
kvalitativnom i kvantitativnom smislu. Nelinearni članovi jedan su od uvjeta da bi sustav
mogao postati kaotičan. To je predvidio još početkom 20. stoljeća Poincaré. Kada tome
dodamo još i ekstremnu osjetljivost na početne uvjete, moguće je da i najjednostavniji sustavi
pokažu nepredvidiva svojstva.
Teoriju kaosa možemo podijeliti na područje determinističkog kaosa i na područje kvantno-
mehaničkog kaosa. Procesi koji spadaju u deterministički kaos mogu se opisati nekom
jednadžbom, dok se oni iz kvantno-mehaničkog mogu opisati, samo vjerojatnosnim izrazom.
3
Primjeri determinističkog kaosa jesu populacijska jednadžba i jednostavno njihalo, a primjeri
stohastičkih procesa, Brownovo gibanje, bacanje igraćih kockica, atmosferske promjene,
ponašanje dima cigarete, difuzija, itd. Brownovo gibanje spada u kvantno-mehanički kaos, tj.
u stohastičke procese, a kod takvih procesa se primjenjuju zakoni vjerojatnosti, što više ne
spada u domenu determinizma. Sva moguća rješenja tih procesa popunjavaju vjerojatnosni
prostor, jer vrijednost sljedećeg broja je potpuno neovisna o vrijednosti prethodnog.
Karakteristika tih procesa je velik broj slučajnih varijabli, čije su veze toliko složene da ih je
nemoguće izraziti analitički.
Teorija kaosa opisuje ponašanje nekog nelinearnog dinamičkog sustava koji pod određenim
uvjetima izvodi fenomen poznat kao kaos.
Karakteristike kaotičnog sustava su:
- osjetljivost na početne uvjete, tzv. efekt leptira (butterfly effect)
- sustav će s vremenom popuniti sav dostupan prostor (trajektorije sustava iscrtaju sav
dostupan prostor i nikad se ne ponavljaju);
- periodne orbite sustava su jako guste (nema prevelikih odstupanja od prethodne putanje).
Bitno je da se takvi sustavi uvijek vraćaju, privlače nekim stabilnim vrijednostima. Krenuvši
od početnih uvjeta, izračun u kaosu se nastavlja postupkom iteracije. To znači da rezultate
koje dobijemo uvrštavanjem početnih vrijednosti u izraz jesu ulazni podaci za novi krug
proračuna tog istog izraza (npr. x1=f(x0), x2=f(x1), x3=f(x2) itd.). Kada vrijednosti koje
dobivamo računom teže nekoj vrijednosti (broju, točki, krivulji...), kažemo da smo dobili
atraktor periode. Atraktor može biti točka, krivulja, ploha... Ponekad te vrijednosti teže prema
više različitih vrijednosti pa govorimo o atraktorima viših perioda. Može se dogoditi i to da
atraktor nema nikakvu periodičnost, da se izračuni ne približavaju nekoj određenoj
vrijednosti, već su naizgled nasumice razbacani u prostoru i nemaju definirani jasan oblik.
Tada govorimo o kaotičnom ili čudnom atraktoru. Najpoznatiji je Lorentzov atraktor.
Kaotične sustave možemo ugrubo podijeliti na kontinuirane i diskontinuirane.
Kontinuiran (“fluidan”, neisprekidan) je onaj sustav koji pokazuju “glatke” promjene kroz
vrijeme, tj. u proizvoljno malenom vremenskom periodu dolazi do promjene parametara
(osim, naravno, u slučaju kada sustav miruje). Svi takvi sustavi su opisani diferencijalnim
jednadžbama, i intuitivno su najbliži stvarnim uvjetima u prirodi.
Diskontinuiran (diskretan, isprekidan, skokovit) je onaj sustav kod kojeg nema glatke
promjene parametara, jer se te promjene ne događaju stalno, nego u diskretnim vremenskim
4
intervalima. Ovakvi sustavi su češći u prirodi nego što bi se to moglo pomisliti, posebice u
biološkom svijetu, a opisuju se iteracijskim jednadžbama.
Razvojem teorije kaosa počelo je preispitivanje fizikalnih modela. Postavilo se pitanje koliko
su sustavi kaotični i postoji li stabilan sustav. Istraživanjem kaosa i njegovih učinaka otkrilo
se da sustavi mogu prelaziti iz kaotičnih u regularne i obrnuto.
U svojem izvornom obliku teorija kaosa bila je utemeljena na zakonitostima fundamentalne
fizike, ali teorija kaosa pokazuje neka univerzalna svojstva, tako da se, uz izvjesne
modifikacije, može primijeniti i na široko područje društvenih znanosti i na mnoga druga
disciplinarna područja. Analizom nelinearnih dinamičkih jednadžbi matematičari su uspjeli
dublje prodrijeti u složenu matematičku strukturu kaotičnih pojava. Fiziolozi su pronašli
začuđujući red u nepravilnim otkucajima ljudskog srca, ekolozi su prepoznali zakonitosti
iznenadnih povećanja i smanjenja raznih bioloških populacija, ekonomisti su uvidjeli da su se
velike ekonomske krize i depresije ipak javljale u nekim logičnim vremenskim razmacima,
politolozi su otkrili velike nepravilnosti i nezakonitosti u klasičnim anketama javnog mnijenja
itd.
5
2. LORENZOV SUSTAV
Prvi pravi istraživač teorije kaosa bio je meteorolog Edward Lorenz, koji je 1960-ih godina na
Tehnološkom institutu u Massachusettsu radio na problemu predviđanja vremena. Bavio se
diferencijalnim modelom oblaka i zračnih struja iz čega je proizašao jedan od najpoznatijih
kaotičnih sustava, Lorenzov sustav poznatiji pod imenom “leptirova krila”.
Lorenz je ustvrdio da je nemoguće točno predvidjeti vrijeme. On je
opisao atmosferu kao sustav fluida i postavio tri diferencijalne
jednadžbe, koje su trebale opisivati uvjete u atmosferi, a time i
predviđati vrijeme. Iako su mnogi bili skeptični glede te ideje, ona
se pokazala uspješnom, a dokaz za to je mehanička analogija kruga
konvekcije – kružno gibanje vrućeg fluida koji se podiže i okreće
kao vodenično kolo.
Činilo se da ove njegove jednadžbe opisuju potpuno nasumično ponašanje, ali kada bi dao
ispisati graf, krivulja koju bi dobio uvijek je bila dvostruka spirala. Ranije su bile poznate
samo dvije vrste poretka: stalno stanje, u kojem se varijable nisu nikada mijenjale i periodično
ponašanje, u kojem sustav oblikuje krug, beskonačno se ponavljajući. Lorenzove jednadžbe
su definitivno slijedile neki poredak – uvijek su opisivale spiralu.
Lorenz nije bio prvi koji je otkrio ovo neobično ponašanje, ali je bio među prvima koji su ga
krenuli detaljnije proučavati. Osim što je otkrio da jedan savršeno predvidljiv sustav generira
potpuni kaos, Lorenz je napravio i korak više. Ne samo da je stoljećima poznat red u obliku
dobrih starih diferencijalnih jednadžbi generirao kaos nego je unutar kaosa generirao se red.
Taj red je bio sve samo ne deterministički.
Teorijska istraživanja ranijih autora, dakle istraživanja za koja su dovoljni olovka i papir, uka-
zala su na neke važne osobine nelinearnih sustava – primjerice na mogućnost da je ponašanje
tih sustava silno ovisno o početnim uvjetima kojima su izloženi. No nitko od Lorenzovih
prethodnika nije uspio odrediti konkretna neperiodička rješenja nelinearnih diferencijalnih
Slika 1- Edward Norton Lorenz (1917. - 2008.)
meteorolog i matematičar -"otac teorije kaosa"
6
jednadžbi. Lorenzova je zasluga da je iskoristio elektroničko računalo kako bi numeričkim
putem došao do takvih rješenja i, još više, uspio ih grafički prikazati, čime ih je učinio
razumljivima širokom krugu znanstvenika. Tako su, zahvaljujući Lorenzu, neperiodičke
promjene postale procesi kojima su se znanstvenici počeli baviti. Lorenzov članak iz 1963.
odmah je pobudio zanimanje meteorologa te je postupno doveo do izrade tzv. ansambla
prognoza – dakle skupa prognoza koje su dobivene istim modelom uz različite, namjerno
promijenjene početne uvjete. Tako se može vidjeti, prema rasapu prognoza, kolika je njihova
pouzdanost. Nakon desetak godina Lorenzova su otkrića počela privlačiti pozornost i šireg
kruga znanstvenika – matematičara, fizičara, kemičara, biologa, inženjera, ekonomista... Tada
se široko udomaćio termin deterministički kaos koji znači da uzročno posljedične veze u
sustavima mogu biti potpuno matematički, dakle deterministički opisane, a da se sustavi ipak
ponašaju nepredvidivo.
2.1. Lorenzov atraktor – efekt leptirovih krila
Lorenz je bio prvi koji je uočio da male promjene u dinamičnom sustavu, kao što je klima,
"mogu imati velike i često neočekivane posljedice". Shvatio je da mora postojati veza između
nesklonosti ponavljanja vremenskih prilika i nemogućnosti prognostičara da ih predvide –
veza između neperiodičnosti i nepredvidivosti.
Lorenz je kreirao računalni program sa skupom od 12 jednadžbi kako bi modelirao promjene
vremena. Međutim, umjesto dugoročno točne vremenske prognoze, otkrio je uznemirujuću
činjenicu, da gomilanje podataka i varijabli, poput brzine vjetra, tlaka zraka, vlage,
temperature i atmosferskih promjena, neće povećati točnost dugoročne vremenske prognoze.
Shvatio je da će, koliko god on podataka prikupio, dugoročnija vremenska prognoza uvijek
biti netočna. Razlog je, zaključio je, u tome što su dinamički sustavi poput vremena
sastavljeni od previše međusobno povezanih varijabli ili međudjelujućih elemenata koji su
krajnje osjetljivi na početne uvjete.
Jednoga dana 1961. godine želio je ponovno provjeriti određenu vremensku prognozu, te je,
kako bi uštedio vrijeme, započeo račun u sredini simulacije umjesto od početka. Nakon
obrade podataka, prognoza vremena izgledala je drugačije. Umjesto jednakog rezultata kao
prije, sekvenca je značajno divergirala.
7
Slika 2 - Rješenja Lorenzovog programa printana u ovisnosti o vremenu; odskakanju sustava ukazuje
na osjetljivost na početne uvjete
Na kraju je shvatio što se dogodilo. Pri prvoj simulaciji u računalo je pohranio brojeve do šest
decimala, a pri ponovnom pokušaju utipkao je samo prve tri decimale. Prema svim
konvencionalnim idejama toga vremena trebao je dobiti prognozu izrazito blisku prvobitnoj.
Ipak, na kraju je prognoza izgledala izrazito drugačije od originala. Time je dokazao kako
pokretanje računalne simulacije s početnim vrijednostima samo malo promijenjenim od
prvobitnih uzrokuje vremensku prognozu izrazito drukčijom od početne, što znači da u
složenim, nelinearnim sustavima, mala promjena u vrijednosti početnih parametara može
uzrokovati velike promjene u vrijednosti rezultata.
U znanosti, kako i u životu, poznato je da lanac događaja može imati kriznu točku koja će
uvećati sitne promjene. Kaos znači da se takve točke nalaze posvuda, tj. da prevladavaju..
Lorenz je dokazao da su dinamički sustavi doista određeni svojim uzrocima. Kad bismo
uistinu bili u mogućnosti znati apsolutno točno sve uzroke, mogli bismo predvidjeti
budućnost tih sustava. No broj utjecaja koji utječu na neki dinamičan sustav, i koje je otkrio
Lorenz, zapravo je vrlo velik, tj. takvi su sustavi osjetljivi toliko da na njih može utjecati i
nešto naoko sasvim beznačajno.
Lorenz je smatrao da sustav od 12 jednadžbi koje je koristio za modeliranje promjene
vremena. treba pojednostaviti i učiniti razumljivijim. Nadahnuće je pronašao u posebnoj vrsti
kretanja fluida – podizanju vrućeg plina ili tekućine, poznatog kao konvekcija. Lorenzova
konvekcija bio je prvi kaotični sustav koji je sustavno istraživan upotrebom pomoću računala.
Model konvekcije predstavlja nelinearan sustav koji je teško zbrajati i uglavnom je nerješljiv.
8
U dinamici fluida sve se do tada svodilo na jednu jednadžbu, Navier-Stokesovu, koja
povezuje brzinu, tlak, gustoću i viskozitet fluida.
Model se sastojao od fluida u zatvorenoj kutiji sa glatkim unutarnjim stranicama, čije se dno
konstantno grije (tako da se održi na istoj temperaturi), i čiji se vrh isto tako hladi. Razlika u
temperaturi između vrućeg dna i hladnog vrha upravlja tokom. Pri malim temperaturnim
razlikama, sustav ostaje miran i stabilan pri čemu se toplina kreće prema vrhu, ne
prevladavajući prirodnu sklonost fluida da ostane miran. U kutiji se formiraju dva strujna
valjka, koji rotiraju u suprotnim smjerovima, tako da se jedan dio fluida uzgonom uzdiže (to
je onaj dio bliže unutrašnjosti, dakle topliji dio), a drugi dio pada (hladniji dio uz stranice
posude). Bilo koje kretanje koje se pojavljuje nasumce, prestat će i sustav će se vratiti u
stabilno stanje.
Međutim, kada se razlika temperature poveća, stvorit će se novi oblik ponašanja. Kako fluid
na dnu postaje vrući, počinje se širiti pri čemu postaje rjeđi. Zbog toga postaje lakši dovoljno
da nadvlada trenje, te se počinje gibati prema površini. U kutiji se stvara valjkasto kotrljanje
kod kojeg se vrući fluid uspinje uz jednu stranicu, dok se hladni fluid spušta uz drugu,
opisujući krug. Takvo ponašanje fluida može se susresti i u prirodi. Takve konvekcijske ćelije
nastaju npr. prilikom zagrijavanja pustinjskog tla kad kotrljajući zrak formira stjenovite
oblike, gore u oblacima ili dolje u pijesku.
Ukoliko se još više poveća razlika u temperaturi, ponašanje postaje sve složenije. Dolazi do
nestabilnosti i lelujanja strujnih valjaka, pri čemu se valjci fluida gube, i zamjenjuju ih
nepravilnosti i turbulencije, tj. kaos.
Slika 3 - konvekcijski valjci u fluidu. Lijeva slika prikazuje pravilno ponašanje, desna pak lelujanje
valjaka, odnosno kaos. (strelice označavaju dovod topline)
9
Na temelju takve prirode ponašanja konvekcije fluida, Lorenz je postavio sustav od 3
diferencijalne jednadžbe:
bzxydt
dz
xzyrxdt
dy
xydt
dx
)(
gdje je σ Prandtlov broj i ρ Rayleighjev broj. Svi su σ, ρ, β> 0, ali je obično σ = 10, β = 8/3
dok ρ varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za ρ = 28, a za druge vrijednosti od ρ
prikazuje čvoraste periodičke orbite.
Iako Lorenzove jednadžbe, zbog jednostavnosti, nisu opisale potpunu složene konvekciju
fluida (opisan je samo jedan oblik konvekcije, kružno gibanje vrućeg fluida koje se podiže i
okreće kao vodenično kolo, poglavlje 2.2), ukazale su na postojanje parnjake u stvarnim
sustavima.
Zamislimo da se cijelo stanje Lorenzovog modela u jednom trenutku može reprezentirati
jednom jedinom točkom u 3D Kartezijevom sustavu. Ako bismo sada promatrali kroz vrijeme
kako sustav evoluira i svake sekunde bilježili po jednu točku, te točke bi se počele pojavljivati
potpuno slučajno u prostoru. Međutim, ako bismo to radili duže vrijeme počela bi se
oblikovati do tada neviđena i neobična krivulja koja izgleda kao na sl. 4.
Slika 4 – Lorenzov atraktor nalik krilima leptira
10
Krivulja je danas poznata kao Lorenzov atraktor. Jedna je od mnogih kasnije otkrivenih
kaotičnih atraktora. Beskonačno je dugačka, ekstremno složena; iako se čini da teži tome da
se zgusne u jednu jedinu crtu, zapravo nikada samu sebe ne presijeca. Teško bi je bilo moguće
vidjeti bez generiranja računalom. Ona ima fraktalna svojstva, to je fraktal Hausdorffove
dimenzije između 2 i 3. Grassberger je 1983. procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na
2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.
Tu finu ovisnost o početnim uvjetima istraživači kaosa nazvali su efekt leptirovih krila
(butterfly effect). Razlika među početnim točkama dviju krivulja toliko je malena da se može
usporediti sa zamahom leptirovih krila. Ovaj fenomen temelji se na ideji da beskonačno male
promjene, kao što je lepet krila insekta, mogu voditi do ogromnih posljedica. Zamah krila
jednog leptira danas može napraviti neznatnu promjenu u atmosferi, ali ono što će atmosfera
s tim učiniti tokom vremena, razlikuje se od onoga što bi bila napravila da tog zamaha nije
bilo. Možda se katastrofalan potres u Indoneziji, koji se trebao dogoditi, ne dogodi, a odigra
se nešto što se nije trebalo dogoditi. Ovaj fenomen, čest u teoriji kaosa, nazivamo i osjetna
ovisnost o početnim uvjetima. Takvu malu količinu razlika u mjerenjima možemo smatrati
eksperimentalnom bukom, pozadinskom bukom ili netočnošću opreme.
Izraz "efekt leptira" udomaćio se nakon Lorenzovog znanstvenog rada iz 1972. godine pod
naslovom ''Predvidljivost: Može li zamah leptirovih krila u Brazilu pokrenuti tornado u
Teksasu?''.
2.1.1. Lorenzove jednadžbe
U sustavu Lorenzovih jednadžbi koje opisuje konvekciju fluida
bzxydt
dz
xzyrxdt
dy
xydt
dx
)(
varijabla x je proporcionalan intenzitetu konvekcije, y razlici temperature, a z razlici linearnog
i stvarnog vertikalnog temperaturnog profila.
Prandtlov broj je σ, ρ predstavlja Rayleighlijev, a b je geometrijski faktor.
11
U Lorenzovim jednadžbama očituje se svojstvo simetrije. Ukoliko se u tim jednadžbama
zamijeni (x, y) sa (-x, -y), jednadžbe ostaju iste. Stoga, ako su (x (t) , y(t), z(t)) rješenja, onda
su rješenja isto i (-x(t),- y(t), z (t)). Drugim riječima, sva su rješenja, također simetrična ili
imaju svog simetričnog para.
Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. Sistem
pronalazi primjenu u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama.
Rješenje Lorenzovog sustava se može prikazati i u dvije (y(t), z(t)) ili tri dimenzije (x(t), y(t),
z(t)). U oba dva slučaja dobiva se slika koja prikazuje kako se rješenje mijenja u vremenu,
prikazujući ga za svaki trenutak kao točku u trodimenzijskom koordinatnom sustavu. Na slikama
su vidljiva dva područja gdje se trajektorije približavaju zamišljenim rupama, međutim dolazi do
toga da se tu trajektorije međusobno udaljavaju počevši od najmanjeg radijusa prema većem na
jednom krilu i prelazi se na drugo krilo te se tako to ponavlja u beskonačnost ali nikada po istom
putu samih trajektorija.
Slika 5 - Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, b = 8/3
Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i završava u jednu od dvije fiksne točke atraktora
(slika a, b, c) Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije
na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
12
ρ=14, σ=10, β=8/3 ρ=13, σ=10, β=8/3
ρ=15, σ=10, β=8/3 ρ=28, σ=10, β=8/3
2.2. Lorenzovo vodenično kolo
Prvi znameniti sustav kaosa koji je otkrio Edward Lorenz odgovara mehaničkom uređaju,
vodeničnom kolu koji pokazuje izuzetno složeno djelovanje. Ovaj sustav točno opisuju
Lorenzove jednadžbe.
Vrtnja vodeničnog kola ima ponešto zajedničkog s rotirajućim valjcima fluida u procesu
konvekcije. Oba sustava stalno se pokreću – vodom ili toplinom i oba rasipaju energiju. Fluid
gubi toplinu, a vjedra gube vodu. U oba sustava dugoročno ponašanje ovisi o snazi pokretačke
energije.
Slika 6 - Ovisnost Lorenzovog atraktora o različitim vrijednostima Rayleighjevog broja
13
a) b) c)
Slika 7 - Prikaz vodeničnog kola
Na vrhu voda stalno kapa u spremnike obješene na rubu kola. Svaki spremnik ima rupicu, pa
voda iz njega istječe. Ako je tok vode polagan, spremnik na vrhu nikad se ne puni dovoljno
brzo da nadvlada trenje kola, pa se kolo ne pokreće. Ako je, pak, tok brži, težina najvišeg
vjedra počinje okretati kolo (slika 7 a). Vrtnja može postati stalna, odnosno vodenično kolo
prelazi u stanje jednolike vrtnje (slika 7 b). Kod još bržeg toka (slika 7 c), okretanje može
postati kaotično zbog nelinearnih učinaka ugrađenih u sustav. Kod jako brzog toka teški se
spremnici kreću do dna i uspinju na drugoj strani, pa kolo može početi usporavati, zaustaviti
se i promijeniti smjer vrtnje, krećući se najprije u jednom, a potom u drugom smjeru. Za
određeni tok ovo kretanja postaje još kaotičnije, te nije moguće predvidjeti gibanja kola.
Dok vjedra prolaze ispod mlaza vode, o brzini okretanja ovisi koliko će se napuniti. Ako se
kolo brzo okreće, malo je vremena za punjenje. Također, ako se kolo brzo okreće, vjedra
mogu krenuti na drugu stranu prije negoli se dospiju isprazniti. Kao rezultat, teška vjedra na
strani koja se okreće prema gore mogu uzrokovati usporavanje okretanja, a potom i gibanje u
suprotnom smjeru. Lorenz je na kraju ustanovio da tijekom dugog razdoblja, okretanje
mijenja smjer mnogo puta, a da pri tome nikad ne postane ravnomjerno niti se ponovi u bilo
kojem predvidljivom obliku.
Vodeničko kolo predstavlja grubo pojednostavljeni model rotacije zraka u stupcu. Kontakt s
tlom zagrijava zrak, te ga diže. Zrak se na određenoj visini u atmosferi polako hladi, postaje
gušći i pada. Te dvije struje zraka trebaju kružiti jedna oko druge, te klizanjem izazvati
rotaciju. Vodeničko kolo je obrnuti model tog procesa. Voda u svakom vjedru označava
toplinu u tom zračnom džepu. Vjedro pokupi vodu kada je zrak u blizini tla (vrha kotača), i
14
sve kante stalno, ali polako, gube vodu, što odgovara gubitku topline zraka kroz zračenje.
Topliji zrak, se gura prema gore, što odgovara kanti s vodom koja ide prema dolje.
Slika 8 – Različite realne izvedbe Lorenzovog
vodeničnog kola
15
3. PRIMJERI KAOTIČNIH SUSTAVA
3.1. Lorenzov atraktor
Rješenje Lorenzovog sustava tri navedenih diferencijalnih jednadžbi izvedeno je pomoću
Matlaba.
bzxydt
dz
xzyrxdt
dy
xydt
dx
)(
Sustav jednadžbi se numerički integrira, te se rezultat ispisuje u trodimenzionalnom obliku.
global SIGMA R B SIGMA=10.; R=28.; B=8./3.; % početni uvjeti x0=[10 10 10]; % vrijeme t0=0; tf=40; % integracija ode45 funkcijom [tout, xout] = ode45('lorenzf', [t0, tf], x0); % plotanje odaziva figure(1); hp=plot3(xout(:,1), xout(:,2), xout(:,3),'LineWidth',1.5); set(hp,'LineWidth',0.1); box on; xlabel('x','FontSize',14); ylabel('y','FontSize',14); zlabel('z','FontSize',14); axis([-20 20 -40 40 0 60]); set(gca,'CameraPosition',[200 -200 200],'FontSize',14);
Lorenzova funkcija:
function u = lorenzf(t,x) global SIGMA R B u = [SIGMA*(x(2)-x(1)), x(1)*(R - x(3)) - x(2), x(1)*x(2) - B*x(3)]';
16
Slika 9 – Dobiveni Lorenzov atraktor
3.2. Vodenično kolo
Izrađen je matematički model vodeničnog kola s četiri kante prikazan na slici 10.
Slika 10 – Shematski prikaz Lorenzovog vodeničnog kola
Matematički model sustava možemo rastaviti na tri dijela koja se odnose na dinamiku
rotacije, trenje vodeničnog kola i razinu tekućine u posudama.
17
Slika 11 – Djelovanje momenata na vodeničko kolo
Dinamika rotacije opisana je jednadžbom ravnoteže momenata oko točke rotacije.
Moment koji uzrokuje težina posude jednak je vektorskom umnošku kraka i sile koje djeluju
na zadanu točku rotacije. Za momente vodeničnog kola slijede izrazi:
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ cos2
∙ ∙ ∙ cos
∙ ∙ ∙ cos2
gdje je:
L – duljina kraka vodeničkog kola
mi – masa i-te posude
g – akceleracija sile teže
θ – kut zakreta vodeničnog kola prema referentnom koordinatnom sustavu
18
Mtr označava moment trenja kojeg možemo podijeliti na suho i viskozno trenje. Suho trenje se
javlja između osovine i vodeničkog kola, a ovisi o koeficijentu trenje i sili pritiska. Sila
pritiska jednaka je zbroju masa svih posuda na kolu. Iz čega slijedi sila suhog trenja:
∙ ∙
Gdje je µ koeficijent trenja u rasponu [0 1], a g akceleracija sile teže. Moment koje uzrokuje
suho trenje ovisi o polumjeru osovine Ds, a njegov smjer suprotan je od smjera rotacije kola.
Moment suhog trenja jednak je:
∙ ∙ ∙ ∙2
Moment trenja koji se javlja uslijed djelovanja viskoznog trenja jednak je:
∙
2 ∙
Gdje je ζ koeficijent viskoznog trenja u rasponu [0 1]. Ukupno moment uslijed djelovanja
trenja jednak je zbroju momenata suhog i viskoznog trenja.
Za sustav potrebno je još opisati model posude na vodeničnom kolu. Iz jednadžbe ravnoteže
tekućina u posudi slijedi da je promjena tekućine u posudi jednaka razlici ulaznih i izlaznih
tokova. Za jednu posudu vrijedi jednadžba:
Posuda se puni kada se nalazi na vrhu vodeničnog kola, a punjenje posude ovisi o ulaznom
toku i položaju posude. Slika 12 prikazuje položaj posude i ulaznog toga gdje je:
Du – širina ulaznog toka
Dp – širini posude
19
Slika 12 – Model punjenja posuda
Iz slike su postavljeni uvjeti za punjenje posude. Posuda se puni kada je y koordinata
pozitivna i nalazi se ispod ulaznog toka. Tok kojim se puni posuda proporcionalan je
poklapanju ulaznog toka i otvora posude. Priliko modeliranja obuhvaćene su dvije
mogućnosti, kada je posuda djelomično ispod ulaznog toka, te kada je posuda potpuno ispod
ulaznog toka. Iz razmatranja sustava postavljeni su sljedeću uvjeti:
if((yi> 0)&&(|xi|<(Dul+Dp)/2)) if(|xi|)>((Dul-Dk)/2)) qui = qu*(0.5*(Dul+Dp)-|xi|)/Dul; else qui = qu*Dk/Dul; end else qui = 0; end
Iz Bernollijeve jednadžbe
1
2.
određen je izraz za izlazni tok i glasi:
2
Gdje je:
ρ – gustoća tekućine u posudi
Ai – površina poprečnog presjeka izlazne pukotine na posudi
20
Na temelju prethodnih jednadžbi izrađen je simulacijski model koristeći Matlab Simulink
programski paket.
Slika 13 – Simulink model vodeničnog kola
Slika 14 – Modeliranje Simulink bloka ''Punjenje kanti''
21
Slika 15 – Modeliranje Simulink bloka ''Kante''
Slika 16 – Modeliranje Simulink bloka ''Vodeničko kolo''
22
Parametri sustava su:
ρ = 1000 [kg/m3]
g = 9.81 [m/s2]
L = 0.1 [m]
DS = 0.01 [m]
µ = 0.2
ζ = 0.04
Dul= 0.02 [m]
Dp = 0.01 [m]
mp = 0.2 [kg]
Početni uvjeti sustava su prazne posude, a kut zakreta i kutna brzina je jednaka:
θ(0) = 2°
ω(0) = 0.
Slika 17 – Odaziv kutne brzine vrtnje
23
Slika 17 prikazuje odaziv kutne brzine vrtnje iz kojeg možemo uočiti kaotično ponašanje
sustava. Naime, promjene brzine nisu pravilne, te nije moguće predvidjeti njezino buduće
ponašanja. Za razliku od ovakvog kaotičnog ponašanja, slika 18 prikazuje odaziv kutne brzine
vrtnje kod malog ulaznog protoka. Iz odaziva možemo uočiti početno ustaljivanje koje prelazi
u pravilan i periodični odaziv brzine. Usporedbom ova dva odaziva možemo zaključiti da se
sustav vodeničnog kola kaotično ponaša za određene vrijednosti ulaznog toka.
Slika 18 – Odaziv kutne brzine vrtnje pri malom ulaznom toku
Slika 19 prikazuje odazive brzine vrtnje za različite početne uvjete vrijednosti kuta. Razlika
početnih uvjeta iznosi 1˚, te možemo uočiti da, iako sustav kreće iz početnih točaka, jako
male razlike odstupanja u odazivu vrlo brzo nastupaju. Nakon 25 s promatrana dva odaziva su
sasvim drugačija i ne poklapaju se.
24
Slika 19 – Odaziv kutne brzine vrtnje za različite početne kuteve
25
4. PRIMJENA TEORIJE KAOSA
Lorenzova pretpostavka da dugoročna prognoza nema budućnosti pokazala se točnom. S
obzirom na složenost sila i procesa koji utječu na oblikovanje vremena, i danas je nemoguće
predvidjeti atmosferske prilike dalje od kratkog vremenskog razdoblja. Najsnažnije računalo
za prognoziranje vremena na svijetu procesira 400 milijuna operacija svake sekunde (podaci
od 2004. godine). Ako se u njega svakoga dana unese 100 milijuna različitih vremenskih
mjera iz raznih krajeva svijeta, i takvo snažno računalo može izvesti prognozu samo za deset
dana. Pa ipak, nakon dva do tri dana te prognoze postaju upitne, a nakon šest ili sedam dana
postaju potpuno neodgovarajuće.
Teorijom kaosa povezana su sva polja znanosti i života. U biologiji se prati populacija vrsta, u
društvu kretanje dionica na burzi, ponašanje masa, utjecaj pojedinca na svjetska zbivanja, u
meteorologiji opisivanje atmosferskih pojava, turbulencija fluida...
4.1. U tehnici i inženjerstvu
U tehnici se teorija kaosa koristi i poznatija je kao teorija katastrofa. Njome se na taj način
istražuju i opisuju, s ciljem otklanjanja, neželjene vibracije avionskih krila, opasna ljuljanja
brodova, vibracije mostova, itd. Fraktali su također i osnova računalne grafike.
4.2. U medicini i biologiji
Ljudsko tijelo je primjer složenog dinamičkog sustava i stoga je kamen kušnje svake
složenosti. Nijedan predmet proučavanja ne nudi takva kontraritmička gibanja u mjerilima od
makroskopskih do mikroskopskih. Nijedan fizikalni sustav nije podložan tako čudesnoj vrsti
redukcionizma gdje svaki organ ima vlastiti mikroustroj.
Teorija kaosa se uspješno primjenjuje u medicini. To se može vidjeti na prikazu rada srca i
prijelazu iz kaotičnog u regularni sustav i obrnuto. Istraživači sve više proučavaju ljudski
organizam kao mjesto gibanja i oscilacija, razvijajući novi način promatranja njegovih
raznolikih ritmova. Također je dokazano da je kaos u mozgu bitan u procesu mišljenja.
Naime, pojavu shizofrenije karakterizira smanjenje razine kaosa u nervnim procesima.
Vjeruje se da upravo zahvaljujući kaosu organizam može prilagodljivije i učinkovitije
26
reagirati na poremećaje. Također se, zbog fraktalne građe unutarnjih organa, razmišlja o tome
mogu li se pomoću fraktalne dimenzije pojedinih organa dijagnosticirati bolesti. Fraktalnost
se također smatra općim svojstvom morfogeneze.
Također se proučava kaos u respiracijskom sustavu, mehanizmi povratne veze u nadzoru
staničnih krvnih elemenata, onkolozi traže periodičnost u nepravilnosti staničnog rasta.
Teorije kaosa, također, daje rješenje problema koji se javlja u ekologiji u predviđanju biološke
populacije. Jednadžba koja prati rast populacije vrste bi bila jednostavna kad bi populacija
rasla linearno, ali utjecaj grabežljivaca i ograničeni izvori hrane utječu na netočnost same
jednadžbe. Moguće je smjestiti varijable unutar određenog raspona, ali nemoguće ih je
kontrolirati u tolikoj mjeri da sa sigurnošću možemo predvidjeti konačan rezultat.
4.3. U društvenim znanostima
Teorija determinističkog kaosa u društvenim znanostima isprva se počela primjenjivati u
politologiji i to u sklopu ispitivanja senzibiliteta javnog mnijenja u tijeku predizbornih
kampanja u SAD-u. Danas su izbori izvrstan primjer kaosa odnosno efekta leptirovih krila
gdje su razlozi zbog kojih birač glasuje za neku stranku ili pojedinca vrlo osjetljivi i
promjenjivi. Teorijom kaosa bave se i sociolozi koji proučavaju anomalije koje izazivaju
znanstvene revolucije. Teoretičari kaosa tvrde da se te anomalije mogu protumačiti kao
deterministički kaotični transferi koje dovode u fokus novu paradigmu.
Teorija determinističkog kaosa sve se više rabi i u mnogim drugim aplikativnim sociološkim
znanostima. Primjenom specijalnih analitičkih postupaka za mjerenje kaosa istraživači su
dokazali prisutnost kaotičnih režima i u okviru obiteljskog sustavnog pristupa u tijeku
liječenja alkoholizma pojedinih članova obitelji. U posljednje vrijeme brojna se istraživanja
vrše i u primjeni teorije determinističkog kaosa u kompleksnom metodskom pristupu u
proučavanju ponašanja neke zajednice u tijeku kriznih ili katastrofičnih događaja koji mogu
pokrenuti kaotičnu dinamiku (npr. poznata zbivanja 11. rujna 2001. u New Yorku). Cilj
znanstvenika je bolje pružanje stručne pomoći zajednici kako cijeli sustav te zajednice ne bi
došao do stanja potpune reorganizacije i anarhije. Mnogi teoretičari iz društvenih i
politoloških znanosti drže da je teorija kaosa pogodna za istraživanje i evaluaciju prakse u tim
disciplinama jer nudi brojne mogućnosti dubljeg razumijevanja načina na koji se socijalni i
politički sustavi mijenjaju i razvijaju u skladu s kaotičnim okruženjem. Teorija kaosa također
27
ima veliku vrijednost za istraživače i praktičare, jer se pomoću specifičnih metoda i tehnika
kvantifikacije kaosa u društvenim i politološkim znanostima te u mnogim aplikativnim
disciplinama, mogu s većom točnošću predvidjeti kretanja sustava te ublažiti njegove
negativne učinke.
4.4. U ekonomiji
Do sada su različite nepravilnosti varijabli, kao što su BDP, zapošljavanje, kamate, devizni
tečajevi ili burzovni indeksi općenito bile pripisivane nasumičnim šokovima. Mogućnost
objašnjenja takvih događanja i determiniranja, makar jednostavnih determinističkih kaotičnih
modela, kako bi se mogle predvidjeti takve pojave, privukla je pažnju brojnih ekonomskih
teoretičara.
Posebno zanimljiv aspekt primjene teorije kaosa jesu financije: istovjetni modeli primjenjuju
se u fizici i ekonomskom prognoziranju. Burzu dionica možemo definirati kao dinamički
sustav socio-ekonomskog ponašanja: to je visokodimenzijski kaos s velikim brojem različitih
parametara, a zbog činjenice da burzovne transakcije nisu dovoljno dugo stacionarne, još
nitko nije uspio identificirati pripadni kaotični atraktor.
Tržišta vrijednosnih papira također se mogu opisati kao nelinearni, dinamički sustavi. Efekt
leptirovih krila snažno i brzo djeluje i na globalnom tržištu vrijednosnih papira. Internet je
omogućio da svaka i mala promjena burzovnih indeksa na tokijskoj burzi gotovo istodobno
izaziva promjene na burzi u New Yorku.
28
5. ZAKLJUČAK
Kaos se rabi u opisivanju prividno kompleksnog ponašanja sustava za koje pretpostavljamo
da su jednostavni. Kaos se javlja kada je neki sustav vrlo osjetljiv na početna stanja. Početna
stanja predstavljaju determinirane vrijednosti mjera pri nekom zadanom početnom vremenu.
Kaos je ne samo teorija već i metoda, ne samo skup uvjerenja već i način provođenja
znanosti.
Posebno značenje teorije kaosa je u njezinoj interdisciplinarnosti. Svojom univerzalnošću
kaos prožima raznorodne discipline i polja ljudskog djelovanja: od dinamike fluida i prognoze
vremena, preko anatomije, proučavanja srčanih aritmija, biljnih i životinjskih populacija, sve
do fluktuacija cijena dionica na burzama. Teorija kaosa otvorila je nove filozofske vidike,
tjerajući nas na preispitivanje stavova o determinizmu zbivanja, odnosu znanstvenih i
religijskih spoznaja, o evoluciji i slobodi volje, društvenim i političkim revolucijama, te ulozi
pojedinca u povijesti. Često naoko nevažne činjenice iz jednog područja predstavljaju ključ
rješenja u nekom drugom području.
Kaos nam daje jedan novi pogled na svijet koji nas okružuje. Međutim iz te iste teorije
proizlazi i konačno ograničenje naše spoznaje. Naime, što god učinili i kako god preciznim
učinimo naša računala, ona će uvijek biti ograničena određenom memorijom. Na taj način
početni uvjeti nikada neće biti apsolutno točno uneseni, a time niti zbivanja biti predvidiva.
Uvijek će postojati mjesto za kaos. Iz toga proizlazi da će budućnost zauvijek ostati skrivena i
nepredvidiva. Ona će uvijek nepoznata čekati dolazeće generacije da je otkrivaju i svojom
težnjom napretku i novim znanstvenim spoznajama učine boljom no što je to ona sada.
29
6. LITERATURA
1. M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER, Zagreb,2005.
(5. poglavlje)
2. James Gleick, Kaos-stvaranje nove znanosti, 1991
3. M.W.Hirsch, S.Smale, R.L.Deveney, Diferential equations, Dynamical Systemsand an
Introduction to Chaos (14. poglavlje)
4. Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and Chaos, Perseus Books Publishing, New
York, 1994
5. M. Kolaković, I. Vrankić, Teorija kaosa, Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu,
godina 2, broj 1, 2004
6. Mirko Orlić, Edward N. Lorenz – znanstvenik koji je zbunio Nobelove komitete,
Priroda, vol 98, 2008
7. J.Mendelson, E. Blumenthal, Chaos Theory and Fractals,
8. J. Louis Tylee, Chaos in a Real System, Simulation, 64: 3, 176-183, 1995
9. Hendrik Richter, Controling the Lorenz system: combining global and local schemes,
Chaos, Solitions and Fractals 12 (2001) 2375 – 2380
10. GoranKrstačić, Nelinearna dinamika i “teorija kaosa” u kardiologiji, Medix, godina
10, dvobroj 54/55,2004
11. Neki internet linkovi:
a. http://www.tnellen.com/alt/chaos.html
b. http://www.ace.gatech.edu/experiments2/2413/lorenz/fall02/
c. http://www.hypertextbook.com/chaos/
d. http://www.math.cornell.edu/
e. http://ib.cnea.gov.ar/thelerg/melon/doc/
f. http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/index.htm
g. http://www.zvjezdarnica.com
h. http://elgrunon.wordpress.com