kata pengantar - · pdf filepengertian program linear adalah teknis suatu matematika yang...

ii

KATA PENGANTAR

Metode Kuantitatif adalah mata kuliah yang mempelajari langkah

pengambilan keputusan secara ilmiah, dimulai dari pendefinisian

masalah, pengembangan model, pengambilan data dan mencari

alternatif dari penyelesaian masalah tersebut untuk mendapatkan nilai

optimal pada sebuah masalah yang kompleks.

Modul Praktikum Metode Kuantitatif edisi 2016 disusun

untuk menunjang proses pembelajaran mengenai materi-materi yang

diajarkan di kelas selama pelaksanaan praktikum. Praktikum ini juga

merupakan salah satu komponen nilai yang dimasukkan dalam

perhitungan nilai akhir mahasiswa untuk mata kuliah Metode

Kuantitatif.

Modul praktikum Metode Kuantitatif edisi 2016 terdiri dari

sembilan bab dan memiliki beberapa konten pelengkap yang berbeda

dibandingkan dengan modul edisi sebelumnya.

Akhir kata, penyusun memohon maaf apabila dalam

penyusunan modul ini masih memiliki banyak kekurangan. Saran dan

kritik yang membangun akan kami terima dengan hati terbuka.

Bandung, Januari 2016

Tim Asisten Praktikum MOLMKF 2015/2016

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................ ii

DAFTAR ISI .............................................................................. iii

BAB I LINEAR PROGRAMMING ........................................... 1

BAB II METODE SIMPLEX ................................................... 10

BAB III SENSITIVITY ANALYSIS ....................................... 26

BAB IV DUAL PROBLEM ..................................................... 35

BAB V INTEGER PROGRAMMING ..................................... 43

BAB VI TRANSPORTASI ...................................................... 51

BAB VII PENUGASAN ........................................................... 66

BAB VIII TEORI ANTRIAN ................................................... 73

BAB IX DYNAMIC PROGRAMMING .................................. 82

1 Teaching Assistant of MOLMKF 2015/2016

BAB I

LINEAR PROGRAMMING

Pengertian

Program linear adalah teknis suatu matematika yang dirancang untuk

membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan

dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai

tujuan perusahaan. dalam menyelesaikan permasalahan dengan

menggunakan program linear dapat dilakukan dengan dua pendekatan,

yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa

digunakan untuk menyelesaikan permasalah dimana variabel

keputusan sama dengan dua.

Karakteristik program linear

1. Mencari kondisi optimum

2. Adanya keterbatasan sumber daya untuk mencapai fungsi tujuan

3. Adanya alternatif dari tindakan yang diambil

4. Fungsi objektif dan kendala harus dinyatakan dalam persamaan

linear

Asumsi program linear

1. Certainty

2. Proportionally

3. Additive


4. Divisibility

Tujuan & Fungsi Program Linear

Tujuan dari pemecahan program linear metode grafik tidak hanya

terbatas pada tujuan memaksimumkan keuntungan, tetapi juga dapat

dilakukan untuk meminimalkan biaya karena adanya keterbatasan

sumber daya.

Terdapat dua fungsi utama dalam program linear, yaitu:

1. Fungsi Tujuan

Fungsi yang menggambarkan tujuan sasaran di dalam

permasalahan program linear yang berkaitan dengan pengaturan

secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh

keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai

yang akan dipotimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi Batasan

Merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan

kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke

berbagai kegiatan.

Model Programisasi linear:

1. Identifikasi variabel (penentuan x1,x2….xn)

2. Penentuan fungsi tujuan (Max ≤ atau Min ≥)

3. Penentuan fungsi kendala

4. Pendefinisian fungsi status (x1,x2……xn ≥ 0


Tahap Pengerjaan Metode Grafik

1. Gambarkan fungsi kendala sebagai persamaan pada grafik,

kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan,

tunjukkan daerah memenuhi kendala

2. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk

memperoleh nilai solusi pada tiap sudut.

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan

kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal.

Ilustrasi Permasalahan :

Perusahaan kayu memproduksi meja dan kursi. Bahan utama yaitu

kayu Untuk membuat satu meja dibutuhkan 6m kayu, Sedangkan

untuk membuat satu kursi diperlukan 3m kayu bahan baku tersedia

untuk kayu adalah 90m. Model Programisasi linear:

1. Identifikasi variabel

X1: meja ; X2: kursi

2. Penentuan fungsi tujuan

Zmemaksimumkan = X1+X2 (≤)

Zmeminimumkan = X1+ X2 (≥)

3. Penentuan fungsi kendala

Kayu: 6X1 + 3X2 = 90

4. Pendefinisian fungsi status

X1,X2 ≥ 0


BENTUK MASALAH PROGRAM LINIER YANG TIDAK

TERATUR (IRREGULER)

• Apabila garis fungsi tujuan menjadi sejajar dengan garis batasan,

sehingga slope atau kemiringannya sama.

• Kertika garis fungsi tujuan tersebut bergerak menuju ke luar dari

daerah fisibel, garis tersebut bukan akan menyentuh satu titik

ektrim, tetapi menyentuh dua titik ekstrim sekaligus yaitu B dan C,

sehingga dua titik ekstrim itu membentuk garis BC.

• Maka garis BC diantara 2 titik ekstrim tersebut sebagai solusi

optimal alternatif, terdiri dari beberapa titik yang mungkin (solusi

majemuk)

Grafik masalah tidak teratur :

A

B

C X 1

X 2


MASALAH YANG TIDAK FISIBEL

• Apabila tidak adanya perpotongan diantara fungsi kendala, maka

tidak ada daerah yang fisibel.

• Hal tersebut dikarenakan kesalahan dalam pembentukan model

matematikanya.

MASALAH YANG TIDAK TERBATAS

• Apabila fungsi kendala tidak tertutup. Dalam hal ini fungsi tujuan

mungkin saja akan terus menerus naik tidak terbatas, sehingga

tidak akan mencapai suatu solusi.

• Masalah tidak terbatas tersebut tidak mungkin terjadi di dunia

nyata, biasanya kesalahan dalam bembentukan model

matematiknya.

Grafik masalah tidak terbatas:

X 1

X 2


SOAL 1

PT Paragon Technology Innovation akan memproduksi dua produk

baru, yaitu lipstik Wardah dan lipstik Emina. Bahan baku yang

dibutuhkan dalam pembuatan lipstik tersebut sebagai berikut:

Bahan Baku Wardah Emina Bahan Baku

Tersedia

Olive Oil 4000 3000 150.000

Shea Butter 8000 4000 200.000

Vitamin E 0 2500 75.000

Jojoba Oil 3000 0 60.000

Jika lipstik Wardah dapat dijual dengan harga Rp 75.000 per buahnya

dan lipstik Emina dengan harga Rp 65.000 per buahnya, berapa

banyak lipstik Wardah dan lipstik Emina yang harus terjual untuk

memaksimalkan profit?

QUESTION 2

Persian Café is one of the most unique ice cream store in Indonesia.

Persian Café wants to launch 2 new variants of its ice cream. There

are sweet corn and lavender flavors. The ingredients needed to make

those new variants are:

Ingredients Sweet Corn Ice

Cream

Lavender Ice

Cream

Minimum

Supply

Heavy 8 cups 5 cups 400 cups


Cream

Sugar 6 cups 12 cups 360 cups

The cost needed to make Sweet Corn Ice Cream is about $ 4.5 and

Lavender Ice Cream is about $ 3. Please help Persian Café to

determine the most optimum quantity for produce both variants, that

leads to most efficient cost. Give also your explanation in graphic!

QUESTION 3

DailyBag.Co produce 2 types of bag, which are laptop bag and sling

bag. There are three main materials needed to produce those bags,

they are fabric, thread, and leather. In starting the production, their

store have a supply of 1200m threads, 2000m fabric, and 800m

leather. The material requirements are shown below:

Materials Laptop Bag Sling Bag

Thread 20m 30m

Fabric 30m 50m

Leather 30m 20m

Price Rp 300.000,00 Rp 400.000,00

How many units of laptop bags and sling bags should be produced to

generate profit? Draw the graph!


SOAL 4

Madame cake akan membuat dua jenis kue yaitu cheese cake dan

blackforest. Untuk memproduksi kue-kue tersebut, dibutuhkan empat

jenis bahan utama yakni terigu, telur, mentega, dan gula. Jumlah

terigu yang tersedia adalah 1.5 kg, telur 32 butir, gula 1 kg dan

mentega 1.8 kg.

Dalam pembuatan satu cheese cake dibutuhkan 250 gram terigu, 200

gram gula, 300 gram mentega dan 4 butir telur. Sedangkan untuk

membuat satu blackforest dibutuhkan 600 gram terigu, 160 gram gula,

225 gram mentega dan 5 butir telur. Biaya yang dikeluarkan untuk

setiap pembuatan satu Cheese cake adalah Rp 25.000 dan biaya untuk

pembuatan satu blackforest adalah Rp 30.000.

Berapa jumlah masing-masing kue yang harus diproduksi Madame

cake sehingga dapat meminimumkan biaya? (gunakan metode grafik)

SOAL 5

Suatu Perusahaan Memproduksi 3 macam barang, kapasitas mesin

adalah sebagai berikut:

Mesin Penggiling 400jam/minggu

Mesin Bubut 200jam/minggu

Mesin Pengasah 100jam/minggu

Mesin Penghalus 150 jam/minggu


Mesin Penggiling dapat membuat barang A dalam waktu 16 jam,

barang B dalam waktu 4 jam, dan barang C dalam waktu 6 jam. Mesin

Bubut dapat membuat barang A dalam waktu 8 jam, barang B dalam

waktu 4 jam dan barang C dalam waktu 8 jam. Mesin Pengasah

membuat A barang dalam waktu 6 jam, barang B dalam waktu 10 jam

dan barang C dalam waktu 4 jam. Mesin penghalus membuat barang

A dalam waktu 4 jam, barang B dalam waktu 6 jam dan barang C

dalam waktu 8 jam.

Keuntungan per unit masing-masing barang A, B dan C adalah $10, $

6 dan $8. Berapa banyak barang produksi tiap-tiap barang agar

keuntungan maksimum?


BAB II

METODE SIMPLEX

Pengertian

Metode simpleks merupakan salah satu teknik untuk menentukan

solusi optimum dalam program linear. Penentuan solusi optimal

dilakukan dengan memeriksa titik ekstrem satu per satu dengan cara

perhitungan iteratif, sehingga penentuan solusi optimal dengan metode

simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi.

Tujuan dan Manfaat

Pada pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan

program linear memiliki lebih dari dua variabel keputusan, oleh

karena itu kita akan menghadapi kesulitan jika melakukan

penyelesaian dengan menggunakan metode grafik yang terbatas hanya

pada dua dimensi. Untuk memecahkan persoalan seperti itu, metode

simpleks dianggap sebagai metode yang paling tepat untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut.

Cara Kerja Metode Simplex

Secara konsep, cara kerja metode simpleks sama seperti pendekatan

dengan menggunakan solusi grafik dimana kita memeriksa setiap titik

sudut yang ada dalam sebuah daerah feasible (layak) dan menentukan

titik yang merupakan solusi optimum bagi sebuah fungsi tujuan.


Dalam metode simpleks, model yang ada diubah menjadi suatu bentuk

tabel kemudian dilakukan beberapa langkah matematis pada tabel

tersebut. Metode simpleks bergerak dari satu solusi ke solusi yang

lebih baik sampai dengan didapatkannya solusi optimal. Langkah-

langkah pengulangan tersebut disebut dengan iterasi. Setiap iterasi

menghasilkan nilai yang lebih baik bagi fungsi tujuan sehingga

membawa kita pada pencapaian solusi optimal.

Persoalan Primal

Dilihat dari bentuknya, persoalan dalam program linear dibagi

menjadi dua yaitu persoalan primal (asli) dan persoalan dual yang

merupakan kebalikan dari primal.

Kasus Maksimasi

Langkah 1: Mengubah batasan-batasan (constraint) model

Langkah 2: Menentukan variabel dasar

Langkah 3: Menentukan variabel masuk (entering variable)

Langkah 4: Menentukan variabel keluar (leaving variable)

Dalam kasus maksimasi, hasil optimum dicapai ketika nilai C-Z

bernilai negatif atau nol.

Kasus Minimasi

Langkah-langkah yang terdapat dalam kasus minimasi secara umum

hampir sama dengan kasus maksimasi, hanya saja terdapat perbedaan

pada langkah ketiga yaitu dimana dalam kasus maksimasi yang


menjadi variabel masuk (entering variable) merupakan variabel non

dasar yang memiliki nilai C-Z terbesar sedangkan dalam kasus

minimasi yang menjadi variabel masuk adalah variabel non dasar yang

memiliki nilai C-Z terkecil. Dalam kasus minimasi, solusi optimum

tercapai ketika nilai C-Z bernilai positif atau nol.

Kasus Khusus Maksimasi

Maximize: Z = $4X1 + $5X2

Constraints: X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja

4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulit sapi

X1, X2 ≥ 0

Diketahui: X1 = jumlah tas yang diproduksi

X2 = jumlah sepatu yang diproduksi

Penyelesaian

Langkah 1: Mengubah Batasan / Constraints dalam Model

Ubahlah batasan – batasan model ke dalam bentuk persamaan

(equation) yang merupakan persyaratan untuk pemecahan masalah.

Bentuk program linear yang standar sebelum diubah ke dalam metode

simpleks memiliki beberapa syarat yaitu:

- Fungsi tujuan adalah maksimasi atau minimasi

- Seluruh variabel non negatif

- Seluruh constraint (kecuali asumsi non negatif) merupakan

persamaan dengan sisi kanan (RHS) non negatif


Metode simpleks memberikan suatu prosedur standar untuk

mentransformasikan batasan pertidaksamaan ke dalam bentuk

persamaan. Transformasi ini dicapai dengan cara nemambahkan suatu

variabel baru, yang dinamakan variabel pengurang (slack variabel)

pada tiap batasan. Secara umum, variabel pengurang (slack)

mencerminkan jumlah sumber-sumber yang tidak terpakai (unused

resource).

Untuk contoh kasus perusahaan konveksi diatas, batasan-batasan

(contraint) adalah:

X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja

4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulit sapi

Penambahan suatu variabel pengurang (S) pada setiap pertidaksamaan

akan menghasilkan persamaan – persamaan seperti berikut:

X1 + 2X2 = 40

4X1 + 3X2 = 120

Seperti pada variabel X1 dan X2, slack juga hanya dapat memiliki

nilai non negatif karena sumber yang bernilai negatif tidak mungkin

sehingga jumlah variabel menjadi:

X1, X2, S1, S2 ≥ 0

Dengan demikian fungsi tujuannya berubah menjadi:

Z= 4X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2

Pada fungsi tujuan 4X1 + 5X2, memiliki arti bahwa setiap 1 unit tas

yang diproduksi akan menghasilkan keuntungan sebesar $4 dan setiap

unit sepatu yang diproduksi akan menghasilkan keuntungan sebesar

$5.


Langkah 2: Menentukan Variabel Dasar

Sebelum menentukan jumlah variabel dasar terlebih dahulu

menentukan jumlah variabel non dasar dengan rumus n-m, dimana n

adalah banyak variabel dan m adalah banyak batasan (constraint).

Variabel dasarnya adalah variabel yang tidak masuk ke dalam variabel

non dasar.

X1, X2, S1, S2 ≥ 0

n=4 ; m= 2 sehingga variabel non dasarnya adalah X1 dan X2 dan

variabel dasarnya S1 dan S2.

Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio

V. Dasar X1 X2 S1 S2

0

0 S1 1 2 1 0 $40

0 S2 4 3 0 1 $120

Z 0 0 0 0 $0

C-Z 4 5 0 0

Langkah 3: Menentukan Variabel Masuk / Entering Variable

Entering variabel adalah variabel non dasar yang memiliki nilai

positif terbesar pada garis C-Z dalam tabel pada kasus maksimisasi.

Sebelum menentukan entering variabel, masukan terlebih dahulu

angka koefisien pada batasan – batasan ke dalam tabel yang telah


dibuat, sehingga dapat diketahui jika jumlah C-Z. Pada tabel tersebut,

dapat diketahui jumlah C-Z terbesar adalah X dengan jumlah 5,

sehingga X2 menjadi entering variabel kolom yang berkaitan dengan

entering variabel disebut dengan kolom pivot.

Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio


0

0 S1 1 2 1 0 $40

0 S2 4 3 0 1 $120

Z 0 0 0 0 $0

C-Z 4 5 0 0

Langkah 4: Menentukan Variabel Keluar / Leaving Variable

Leaving variabel adalah variabel yang keluar dari variabel dasar dan

diganti oleh variabel yang menjadi entering variabel. Cara

menentukan leaving variabel adalah dengan mencari nilai rasio

positif terkecil dengan cara membagi kolom kuantitas dengan

koefisien kolom entering variabel yang merupakan variabel yang

keluar. Pada contoh soal diatas, jumlah kuantitasdibagi kolom

pivotnya adalah S1 = 20; S2 = 30 sehingga leaving variabelnya adalah

𝑆1 angka pada perpotongan kolom pivot dengan baris pivot disebut

angka pivot. Pada soal tersebut, angka pivotnya adalah 2.


Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio


0

0 S1 1 2* 1 0 $40 (+) 20

0 S2 4 3 0 1 $120 (+) 40

Z 0 0 0 0 $0

C-Z 4 5 0 0

*Angka Pivot

Menghitung Baris Pivot Baru

Pada pengerjaan iterasi 1, koefisien yang berada di dalam tabel tidak

sama dengan iterasi 0. Untuk mengisi baris pivot baru, caranya dengan

membagi angka – angka pada pivot lama dengan angka pivot.

Baris X2 baru = 1 2 1 0 40 (:2) = ½ 1 ½ 0 20

Menghitung Nilai Baris Lainnya

Pada kasus soal tersebut, baris yang belum terdapat angkanya adalah

S2, angka–angka tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan cara:

Nilai Baris Tabel Baru = Nilai Baris Tabel Lama (Koefisien

Entering Variabel x Nilai Baris Pivot Baru)

Setelah semua baris terisi , hitung nilai Z dan C-Z nya seperti pada

langkah 4. Karena fungsi tujuannya adalah memaksimisasi laba.


Maka nilai C-Znya sudah tidak ada yang positif (hanya nilai negatif

atau nol saja) maka berhentilah karena persoalan sudah terselesaikan.

Namun jika tidak, lanjutkanlah ke iterasi selanjutnya dengan cara yang

sama seperti sebelumnya.


Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio


1

5 S1 0,5 1 0,5 0 20

0 S2 2,5 0 -1,5 1 60

Z 0 0 0 0 100

C-Z 1,5 0 2,5 0

Karena pada tabel tersebut baris C-Z masih memiliki nilai positif,

maka iterasi tersebut belum optimal. Jadi, lanjutkanlah ke iterasi

berikutnya:

Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio


1

5 S1 0,5 1 0,5 0 20 (+) 40

0 S2 2,5 0 -1,5 1 60 (+) 24

Z 0 0 0 0 100

C-Z 1,5 0 2,5 0

Entering Variable X1, Leaving Variable S2

Lanjutkanlah tahapan-tahapan tersebut ke iterasi 2 dimana langkah

yang diambil adalah sama dengan iterasi 0 dan iterasi 1.

Iterasi

ke

C $4 $5 0 0 Nilai

Kanan Rasio


1 5 S1 0 1 0,8 -0,4 8


4 S2 1 0 -0,6 0,4 24

Z 4 5 1,6 0,6 $136

C-Z 0 0 -1,6 -0,6

Dari hasil tabel iterasi 2 tersebut, kita dapat melihat bahwa hasil dari

C-Z sudah tidak memiliki nilai positif sehingga didapatlah sebuah

hasil optimum dari iterasi tersebut, yaitu X1=24, X2=8, dan Laba

yang diperoleh yaitu sebesar $136, dimana S1=0 dan S2=0.

Kasus Khusus Minimasi

Min: Z = $4𝑋1+$1𝑋2

Constraint: 3X1 + X2 = 3 unit sweater

4X1 + 3X2 ≥ 60 unit sarung tangan

X1, X2 ≥ 0

Diketahui: X1 = jumlah jam perajutan

X2 = jumlah jam penjahitan

Z = jumlah total pembiayaan pekerjaan

Penyelesaian

Langkah 1: Diubah ke Bentuk Simplex

Fungsi Tujuan Min: Z= $4X1 + $1X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 +MA2

Constraint: 3X1 + X2 + A1 = 3

4X1 + 3X2 – S1 + A2 = 6

M = nilai yang sangat besar

Misal M = 1000


Iterasi

Ke

C $4 $5 0 M M Nilai

Kanan Rasio V.

Dasar X1 X2 S1 A1 A2

0

M A1 3 1 0 1 0 3 (+)1

M A2 4 3 1 0 1 6 (+)1,5

Z 7M 4M M M M 9M

C-Z 4-

7M

1-

4M -M 0 0

Langkah 2: Lanjutkan ke Iterasi 1

Pada kasus minimasi, yang menjadi variabel masuk adalah variabel

yang memiliki nilai C-Z paling kecil (negatif terbesar). Sedangkan

untuk variabel keluar sama dengan kasus maksimasi yaitu variabel

yang memiliki nilai rasio positif terkecil.

Pada kasus ini yang menjadi variabel masuk adalah X1 dan yang

menjadi variabel keluar adalah A1.


Itera

si Ke

C $4 $5 0 M M Nilai

Kanan Rasio

V. Dasar X1 X2 S1 A1 A2

0

4 X1 1 1/3 0 1/3 0 1

M A2 0 5/3 1 -4/3 1 2

Z 4 4/3 + 5/3M M 4/3 – 4/3M M 4+2M

C-Z 0 1/3 – 5/3M M -4/3 – 1/3M 0

Langkah 3:

Hasil dari iterasi tersebut belum optimal karena masih terdapat hasil

C-Z yang bernilai negatif. Untuk itu, lanjutkanlah ke iterasi berikutnya

dengan terlebih dahulu menentukan variabel masuk dan variabel

keluarnya. Pada kasus ini yang menjadi variabel masuk adalah X2 dan

yang menjadi variabel keluar adalah A2.

Iteras

i Ke

C $4 $5 0 M M Nilai

Kanan Rasio

V. Dasar X1 X2 S1 A1 A2

1

4 X1 1 1/3 0 1/3 0 1 (+)3

M A2 0 5/3 1 -4/3 1 2 (+)6/5

Z 4 4/3 + 5/3M M 4/3 – 4/3M M 4+2M

C-Z 0 1/3 – 5/3M M -4/3 – 1/3M 0


Langkah 4: Lanjutkan ke Iterasi Selanjutnya

Iterasi

Ke

C $4 $5 0 M M Nilai

Kanan Rasio V.

Dasar X1 X2 S1 A1 A2

2

4 X1 1 0 1/5 3/5 -3/5 3/5

1 X2 0 1 3/5 -4/5 3/5 6/5

Z 4 1 -

1/5 8/5 9/5 18/5

C-Z 0 0 1/5 M–

8/5 M+9/5

Dari tabel iterasi di atas, dapat dilihat nilai-nilai pada baris C-Z

bernilai positif atau 0, hal ini menunjukan hasil tersebut sudah

optimal, yaitu:

X1: 3/5 jam dan X2: 6/5 jam

Z = $24 (total pembiayaan pekerjaan)


Uranium (kg/unit) White Phosporus (kg/unit)

Bad Boy 2 4

Mad Bird 4 3

Kandungan Explosive MaterialsJenis

SOAL 1

Bad Atittude,Inc merupakan produsen dua jenis rudal bermuatan

nuklir, yaitu Bad Boy dan Mad Bird. Setiap jenis mengandung

campuran bahan uranium dan white phosporus dalam jumlah tertentu.

SEAL Team membutuhkan paling sedikit 16 kg Uranium dan 24 kg

White Phosporus untuk sebuah misi. Harga satu unit rudal nuklir

Badboy dan Madbird masing-masing $3000 dan $6000. SEAL Team

ingin mengetahui berapa unit masing-masing jenis rudal harus dibeli

agar total harga rudal mencapai minimum dan kebutuhan rudal untuk

misinya terpenuhi

SOAL 2

Maximize: 8X1 + 10 X2

Fungsi kendala: X1 ≤ 15

3X2 ≤ 30

6X1 + 10X2 ≤ 120

Fungsi status: X1, X2 ≥ 0

Tentukan kondisi optimum dengan menggunakan metode simplex!


QUESTION 3

Pull & Cats sells bags, shoes, and jeans. Pull & Cats expected margin

$150, $250, and $75. But, because of the minimum workers, so

production for those 3 products is limited. There are only 20 hours

available for designing process, 30 hours available for sewing process,

and 24 hours for final touches.

The making of one bag needs 3 hours of designing, 2 hours of sewing,

and 1 hour for final touches. One pair shoes need 2 hours of designing,

5 hours of sewing, and 3 hours of final touches. One jeans needs 2

hours of designing, 1 hour of sewing, and 2 hours of final touches.

Please help Pull & Cats to determine the best number produced for

each product in order to minimize the processing time!

SOAL 4

Simsalabim Design merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi

baju kostum terkenal di Inggris. Produk yang menjadi unggulan di

Simsalabim Design adalah kostum Harry Potter, kostum Captain

America dan kostum Spiderman. Untuk membuat satu kostum Harry

Potter dibutuhkan 4 meter benang katun dan 6 meter kain. Sedangkan

untuk membuat kostum Captain America dibutuhkan 3 meter benang

dan 7 meter kain. Untuk membuat kostum spiderma dibutuhkan 8

meter benang dan 4 meter kain.

Saat ini bahan baku yang tersedia dalam gudang Simsalabim Design

adalah 72 meter benang dan 48 meter kain. Keuntungan dalam

menjual satu kostum Harry Poter adalah sebesar 6 poundsterling,


kostum Captain America 4 poundsterling dan kostum Spiderman 5

poundsterling.

Tentukanlah persamaannya dan setelah itu bantulah Simsalabim

Design dalam mencari kombinasi produk yang tepat untuk

memaksimalkan keuntungannya.

QUESTION 5

La Bakerie is a famous bakery store at town. They produce cheese

cake in three different type. Blueberry Cheese Cake sales generate $28

while Strawberry Cheese Cake $20 and Oreo Cheese Cake is $24.

Blueberry Cheese Cake is made of 33kg of flour, 18kg butter, 13kg

cheese. While Strawberry Cheese Cake needs, 5kg flour, 27kg butter

and 9kg cheese. Oreo Cheese Cake needs 17kg flour, 11kg butter and

25kg cheese. Currently, there are supply of 800kg flour, 500kg butter

and 400kg cheese. How many units of the products to get the

maximum profit?


BAB III

SENSITIVITY ANALYSIS

Pengertian

Analisis sensitivitas merupakan analisis yang berkaitan dengan

perubahan diskrit parameter untuk melihat seberapa besar perubahan

dapat ditolerir sebelum solusi optimum mulai kehilangan

optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter

menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi

sangat sensitif terhadap nilai parameter tersebut. Sebaliknya, jika

perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi

dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter itu. Analisis

sensitivitas juga biasa disebut interpretasi hasil optimum dari

perhitungan metode simpleks.

Tujuan

a. Mengetahui besarnya perubahan yang terjadi pada kondisi

optimum dari suatu pemecahan masalah pemrograman linear.

Sehingga didapatkan solusi optimum yang sifatnya dinamis.

b. Mengetahui batas-batas perubahan yang diperbolehkan dan

bagaimana dampak perubahan itu terhadap kondisi optimum

semula.


Contoh Soal

a. Persoalan primal

Maksimasi Z = 7X1 + 5X2

Subject to:

2X1 + X2 ≤ 100 (jam tenaga kerja pengecatan)

4X1 + 3 X2 ≤ 240 (jam tenaga kerja perkayuan)

X1, X2 ≥ 0 (syarat non-negatif)

Dimana X1 = jumlah meja yang diproduksi

X2 = jumlah kursi yang diproduksi

b. Bentuk Standar

Fungsi tujuan Z = 7X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2

Fungsi Kendala 2X1 + 1X2 + S1 = 100 (Pengecatan)

7X1 + 5X2 + S2 = 240 (Perkayuan)

X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0 (Non negatif)

Dimana

S1 = Jumlah jam tenaga kerja pengecatan yang menganggur

S2 = Jumlah jam tenaga kerja perkayuan yang menganggur

c. Tabel Optimum


d. Informasi yang Diperoleh

1. Nilai Variabel

Nilai variabel X1 (meja yang diproduksi) = 30 buah meja

Nilai variabel X2 (kursi yang diproduksi) = 40 buah kursi

2. Nilai Fungsi Objective

Nilai fungsi objektif atau nilai solusi optimum (Z) = $ 410

(Asumsi: jumlah yang dibuat sama dengan jumlah yang dijual atau

semua yang diproduksi laku terjual)

3. Status Sumber Daya

Nilai unit sumber daya

Jika 1 jam S1 (jam tenaga kerja pengecatan) ditambah, maka laba

akan meningkat sebesar $0.5. Hal ini merupakan shadow price.

Jika 1 jam S2 (jam tenaga kerja perkayuan) ditambah, maka laba

akan meningkat sebesar $1.5. Hal ini merupakan shadow price.

Nilai fungsi objektif atau nilai solusi optimum (Z) = $410

Shadow Price adalah perubahan nilai dari fungsi objektif ketika

meningkatkan 1 unit sumber daya.


4. Berapa besar nilai koefisien variabel fungsi tujuan non-basic dapat

berubah?

Pada contoh soal, tidak ada variabel keputusan yang merupakan

variabel non-basic. Jika ada, maka untuk menentukan besarnya

perubahan adalah dengan menjaga syarat optimalitas tetap

terpenuhi.

5. Berapa besar nilai koefisien variabel basic dapat berubah agar

solusi optimum tetap dipertahankan atau meningkat (kasus

maksimasi) dan tetap feasible?

Variabel basic adalah variabel yang letaknya pada kolom solution

mix, yaitu variabel X1 dan X2. Pada kondisi optimum saat ini

koefisien dari masing-masing variabel adalah untuk X1 = 7 dan

untuk X2 = 5.

Misalkan perubahan untuk variabel X2 adalah delta, maka tabel

optimum di atas berubah menjadi:


Interpretasinya yaitu harga kursi dapat diubah antara 5-3/2 ≤ harga

kursi ≤ 5+1/4, atau kursi dapat dijual dengan rentang harga $3.5

sampai dengan $5.25 (atau harga tetap dipertahankan $5).

6. Berapa rentang perubahan masing-masing bahan baku?

Misalnya untuk konstrain pertama, kapasitas jam tenaga kerja

pengecatan sebesar 100 ingin ditingkatkan menjadi 110 jam,

berapa dampak perubahannya pada fungsi tujuan Z dan apakah

masih optimum?

Matriks pengali didapatkan dari kolom S1 dan S2. Karena hasil masih

positif, sehingga solusi tetap feasibel. Artinya dengan merubah jam

pengecatan dari 100 menjadi 110 jam, didapatkan jumlah meja (X1)

dari semula sebesar 30 menjadi 45 buah dan jumlah kursi (X2) dari

semula 40 menjadi 20 buah, dengan nilai fungsi tujuan Z = (7x45) +

(5x20) = $415 (meningkat sebesar $5). Bisa juga dilihat dari nilai

shadow price, untuk jam pengecatan bertambah 110-100 = 10 jam

sehingga akan menambah keuntungan sebesar 10 x $0,5 = $5

Mencari rentang batas perubahan ruas kanan (sumber daya)

Pertanyaannya adalah berapakah rentang perubahan jam tenaga kerja

pengecatan? Artinya jika dinaikkan sampai berapa batas maksimalnya


dan jika diturunkan seberapa besar batas minimalnya sehingga solusi

tetap feasible?

Jawab:

Caranya menggunakan rasio antara kolom quantity dengan kolom

slack/surplus. Besar perubahan pada contoh diatas untuk sumber daya

1 adalah sebagai berikut:

Berdasarkan rasio, didapatkan kisarannya adalah –20 ≤ sumber daya 1

≤ 20 atau rentang perubahan Sumber daya 1 adalah 80 unit sampai

dengan 120 unit.

Bagaimana dengan rentang sumber daya 2 (perkayuan)?

Didapatkan kisarannya adalah –40 ≤ sumber daya 2 ≤ 60 atau rentang

perubahan sumber daya 2 adalah 200 unit sampai dengan 300 unit.

(Ratio dibacanya terbalik. Apabila hasilnya (-) berati increase

RHS, sedangkan (+) berarti decrease RHS)


SOAL 1

Perusahaan Omai Jelly merencanakan untuk membuat dua jenis

inovasi jelly yaitu art pudding jelly dan Jelly Candy. Kedua jenis

makanan tersebut menggunakan dua komposisi utama yaitu bubuk

agar dan gula. Pada tabel berikut menunjukkan jumlah bubuk agar dan

gula pada tiap jenis makanan :

Jenis Makanan Bubuk Agar

(gram)

Gula

(gram)

Keuntungan Per

Unit (Rp)

Art Pudding Jelly 250 180 12000

Jelly Candy 100 120 8000

Persediaan 400 360

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar dapat

memaksimalkan profit serta bagaimana status sumberdaya, nilai

shadow price-nya?

QUESTION 2

Heikotolenar.Co is planning to create new and more comfortable

couch product. So they consider to add new ornaments on it. To make

ornament A, they needs 6 kg of leather and 5 kg of wood. While

ornament B, Heikotolenar.Co needs 3 kg of leather and 3 kg of wood.

For now, they have 30 kg of leather and 15 kg of wood available, with

marginal profit of A is 22 euro and B is 46 euro. Please help them to

determine:

a. optimum solution with simplex method

b. total of unit produced


Cj 12 10 0 0 0

Solmix X1 X2 S1 S2 S3 Q

12 X1 1 0 0.2424 -0.0909 0 20

10 X2 0 1 -0.1515 -0.1818 0 0

0 S3 0 0 -0.66667 0 1 10

zj 12 10 1.3939 0.7273 0 240

cj-zj 0 0 -1.3939 -0.7273 0

c. resource status

d. shadow price

e. range basic variable

SOAL 3

Fungsi tujuan: Zmax = 12X1 + 10X2

Fungsi kendala: 6X1 + 3X2 ≤ 120

5X1 + 8X2 ≤ 100

4X1 + 2X2 ≤ 90

Tabel solusi optimum :

a. Berapa unit produk yang harus diproduksi untuk menghasilkan

profit yang optimum? Dan berapakah profit optimumnya?

b. Berapakah nilai shadow pricenya dan bagaimana interpretasinya?

c. Bagaimana status sumberdayanya?

d. Variabel mana yang menjadi basic variable dan berapakah nilai

perubahannya?

e. Variabel mana yang menjadi non basic variable dan berapakah

nilai perubahannya?

f. Berapa rentang perubahan untuk masing-masing sumber daya?


SOAL 4

4Second Boutique merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi

celana dan jaket. Namun kapasitas produksinya dibatasi ketersediaan

bahan baku dan jam kerja. Kebutuhan bahan baku celana adalah 2 unit

dan jam kerjanya 4 jam, sedangkan kebutuhan bahan baku jaket

adalah 1 unit dan jam kerjanya 5 jam. Sedangkan hanya tersedia 25

unit bahan baku dan 10 jam kerja. Biaya untuk membuat sebuah

celana dan jaket berturut-turut adalah $100 dan $85. Hitunglah:

a. Nilai solusi optimum (Z)

b. Unit yang diproduksi

c. Nilai shadow price beserta interpretasinya

d. Status sumber daya

QUESTION 5

Paleyellow Inc. wants to produce Bags (X1) and Suitcase (X2) and

receive maximum profit from this. Paleyellow wants margin for Bags

is $10 and for Suitcase is $25. This is the following data:

Constraints: 6X1 + 2X2 ≤ 200

2X1 + 5X2 ≤ 150

please find:

a. optimum solution and the profit

b. total of unit produced

c. resource status

d. shadow price

e. basic and non basic variable


BAB IV

DUAL PROBLEM

Pengertian

Setiap masalah linear programming memiliki masalah LP

terkait dengan itu, yang disebut dual. Cara pertama menyatakan

masalah linear disebut primal;kita dapat melihat semua masalah yang

dirumuskan sejauh primal. Cara kedua menyatakan masalah yang

sama disebut dual. Solusi optimal untuk primal dan dual setara, tetapi

mereka diperoleh melalui prosedur alternatif.

Kegunaan dual bagi pengambil keputusan adalah bahwa

dengan dual mereka dapat melihat alternatif persamaan dari alternatif

yang berbeda. Primal akan menghasilkan solusi-solusi dalam bentuk

jumlah laba yang di dapat dari memproduksi barang atau dengan kata

lain memaksimalkan fungsi laba, sedangkan dual akan memberikan

informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi

tercapainya laba atau dengan kata lain menjelaskan minimalisasi total

opportunity cost dengan profit yang lebih besar.

Tujuan

Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah

linear programming (LP) yang secara langsung didefinisikan dari

persoalan aslinya atau dari model LP Primal. Dalam kebanyakan

perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dan hal tipe


kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum. Oleh karena itu

dalam kenyataannya teori dualitas secara tegas tidak diharuskan

penggunaannya.

Dual berisi informasi ekonomi yang berguna untuk

manajemen, dan juga mungkin lebih mudah untuk memecahkan,

dalam hal perhitungan yang kurang dari masalah primal. Pada

umumnya, jika LP Primal melibatkan maksimasi fungsi keuntungan

untuk kurang-dari-atau-sama dengan keterbatasan (constrain) sumber

daya, dual akan melibatkan meminimalkan biaya kesempatan untuk

lebih besar-dari-atau-sama dengan keterbatasan (constraint) profit dari

produk.

Hubungan Primal-Dual

Primal-dual menunjukan hubungan secara simetris dengan ketentuan

sebagai berikut :

a. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan dual

b. Konstanta ruas kanan primal menjadi konstanta fungsi tujuan dual

c. Semua kolom primal menjadi kendala dual

d. Semua kendala primal menjadi variabel keputusan dual

e. Koefisien kendala dari variabel primal menjadi koefisien yang

berkorespondensi dengan kendala dual


Cara Pengerjaan

Aturan 1

Umumnya pada model primal “maximize profit function” dengan

subject to ≤resources constraint, dual akan “minimize opportunity

cost” dengan subject to ≥product profit constraints. Contoh:

Maximize: Z = $4X1 + $5X2

Constraints: X1 + 2X2 ≤ 40 jam tenaga kerja

4X1 + 2X2 ≤ 120 kg kulitsapi

X1, X2 ≥ 0

Diketahui: X1 = jumlah tas yang diproduksi

X2 = jumlah sepatu yang diproduksi

Dual dari masalah ini dengan tujuan meminimasi opportunity cost

menggunakan variabel U1 dan U2.

U1 = dual dari jam tenaga kerja

U2 = dual dari kg kulit sapi


Aturan 2

Pada sisi kanan primal, menjadi koefisien fungsi tujuan pada dual.

Minimize: Z = $40U1 + $120U2

Aturan 3

Koefisien fungsi tujuan primal menjadi sisi kanan dual.

Aturan 4

Transpose dari koefisien primal constraint menjadi koefisien dual

constraint.

Aturan 5

Tanda pertidaksamaan dari constraint merupakan kebalikan.

Constraint: U1 + 4X2 ≥ 4

2U1 + 3X2 ≥ 5

Penyelesaian Model Dual

Setelah fungsi persoalan primal diubah ke dalam persoalan dual, maka

penyelesaian dilakukan seperti pada persoalan primal.

Minimize Z = $40U1 +$120U2 +0S1 + 0S2 +MA1 +MA2

Constraints: U1 + 4U2 – S1 + A1 = 4

2U1 + 3U2 – S2 + A2 = 5

U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0


Hasil tersebut sudah optimal melihat pada baris Cj-Zj seluruhnya

bernilai positif. Dengan demikian hasil dari model dual ini adalah:

U1 = 8/5

U2 = 3/5

S1 = 0

S2 = 0

Opportunity cost = $136


SOAL 1

Sally Salon memiliki dua jenis penawaran jasa Body Spa

yang paling digemari oleh konsumen yaitu Chocolate Body Spa dan

Greentea-Strawberry Body Spa dengan profit masing-masing $90 dan

$125. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan jasa Chocolate Body

Spa yaitu 1 jam dan untuk Greentea-Strawberry Body Spa selama 2

jam. Untuk melayani Chocolate Body Spa dibutuhkan 3 karyawan dan

5 komponen kecantikan. Sedangkan untuk melayani Greentea-

Strawberry Body Spa dibutuhkan 4 karyawan dan 6 komponen

kecantikan dengan waktu kerja selama 10 jam. Saat ini Sally Salon

memiliki 24 karyawan dan 40 komponen kecantikan.

Tentukanlah pelayanan jasa yang dapat memaksimalkan profit

Sally salon dilengkapi jumlah profit yang di dapat juga buat dalam

bentuk dual!

SOAL 2

Sebuah usaha furniture sedang mengalami penciutan dalam

usahanya, sehingga saat ini ia hanya memproduksi barang-barang

yang paling laku di pasar yaitu meja dan kursi. Untuk memproduksi

setiap meja membutuhkan 5 unit papan, 2 unit kayu, dan 2 jam

pengerjaan. Sedangkan untuk memproduksi setiap kursi

membutuhkan 2 unit papan, 3 unit kayu, dan 2 jam pengerjaan. Bahan

baku yang tersedia saat ini adalah 150 unit papan dan 100 unit kayu,

sedangkan jam pengerjaan yang tersedia adalah 80 jam. Profit yang

mampu dihasilkan untuk setiap produk meja dan kursi yang dapat


terjual adalah Rp 150.000 dan Rp 80.000. Buatlah formulasi

matematis dari persoalan tersebut dalam bentuk primal dan dual dan

buatlah tabel iterasi 0 untuk masing-masing model tesebut (primal dan

dual)

QUESTION 3

YLI is a company who produce diet snack. There are 2

product that currently been produced, snack bar and dried oat. To

produce snack bar, they need 10gr oat, 4gr sugar. For dried out, they

need 4gr oat, 6gr sugar. Currently company have stock 300gr of oat

and 200gr of sugar. For each snack bar,they earn $10, while dried out

$5.

From the condition above, please make:

a. Mathematics formulation in primal and dual form

b. Iteration table of 0 or each form (primal and dual)

SOAL 4

MOLMkf Wedding Cake memproduksi dua jenis produk yaitu

kue tart dan cupcake. Keuntungan yang dihasilkan dari penjualan satu

buah kue tart adalah Rp 10.000,00 sedangkan dari penjualan cupcake

adalah sebesar Rp 7.500,00. Bahan-bahan yang dibutuhkan untuk

membuat kedua kue tersebut adalah tepung terigu dan gula. Untuk

membuat satu buah kue tart dibutuhkan 50 gram tepung terigu dan 100

gram gula, sedangkan untuk membuat satu buah cupcakes dibutuhkan

25 gram tepung terigu dan 30 gram gula. Persediaan bahan yang


dimiliki MolMkf Wedding Cake di gudang adalah sebanyak 1000

gram tepung terigu dan 1500 gram gula. Berapa banyak jumlah kue

tart dan cupcake yang harus diproduksi agar keuntungan yang

diperoleh MolMkf Wedding Cake maksimal! Buatlah dalam bentuk

primal dan dual!

QUESTION 5

Coppa Inc. wants to sell new canned food and snack for cats.

For new canned food, Coppa Inc. needs 9X1, 12X2, and 3X3

materials. On the other hand, for new snack, Coppa Inc. needs 1/3 all

materials from new canned food materials. Each of the products are

sold US$ 6.5 and US$ 7.3 each. There are only 50 kg of X1, 65 kg of

X2, and 30 kg of X3 available. Please help the manager of Coppa Inc.

to determine the numbers of the products that should be produced to

maximize the profit using simplex method! Please also calculate both

primal and dual problem!


BAB V

INTEGER PROGRAMMING

Pengertian

Integer Programming adalah suatu program Linear dengan tambahan

persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non

negative, tetapi tidak perlu parameter model juga bernilai bulat. Satu-

satunya perbedaan adalah bahwa satu atau lebih dari variable

keputusan harus mengambil nilai integer dalam solusi akhir.

Tujuan dan Manfaat

Integer Programming dimaksudkan agar pengambilan keputusan dari

suatu masalah semakin realistis dan layak solusinya. Ketika dalam

pengerjaan soal ditemukan perhitungan jumlah barang lalu adanya

koma seperti 102,3 buah , maka nilai tersebut harus dibulatkan. Untuk

mengetahui solusi pembulatan yang optimum maka harus

diperhitungkan dengan menggunakan Integer Programming.

Jenis Integer

Terdapat tiga jenis masalah integer programming :

1. Pure Integer Programming adalah kasus-kasus di mana semua

variabel wajib memiliki nilai integer. Contoh dalam pembelian

mesin-mesin, karena tidak mungkin membeli mesin dalam bentuk

pecahan ( X1 ≥ 0 dan Integer).


2. Mixed Integer Programming adalah kasus-kasus dimana

beberapa, tapi tidak semua dari keputusan variabel wajib memiliki

nilai integer. Contoh pembelian rumah dan tanah, untuk rumah

diharuskan integer namun untuk pembelian tanah tidak harus

integer (X1 ≥ 0 dan Integer ; X2 ≥ 0).

3. Zero-One Integer Programming adalah kasus khusus dimana

semua keputusan variabel harus memiliki nilai solusi integer 0 atau

1. Contoh pembangunan fasilitas kolam renang di sebuah hotel,

bernilai 1 jika fasilitas tersebut dibanggun, dan bernilai 0 jika

fasilitas tersebut tidak dibangun ( X1=0 atau 1).

Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound telah menjadi kode computer standar

untuk integer programming. Teknik ini dapat diterapkan untuk

masalah pure maupun mixed integer programming.

Langkah-langkah metode Branch and Bound untuk masalah

maksimalisasi adalah sebagai berikut :

1. Selesaikan masalah dengan menggunakan program linar, apabila

hasilnya merupakan bilangan integer, maka permasalahan selesai,

apabila tidak maka nilai Z yang diperoleh menjadi upper bound.

2. Lakukan program linear kembali sehingga diperoleh nilai Z yang

baru untuk dijadikan lower bound.

3. Branch salah satu variabel yang tidak memiliki nilai yang integer

berdasarkan hasil pada langkah 1. Bagilah permasalahan tersebut

menjadi 2 submasalah yang baru berdasar nilai integer yang berada


di atas dan di bawah nilai yang non integer, misal X1 = 3,75 maka

buat atasa yang pertama X1 ≥ 4 pada submasalah 1 dan batasan X1

≤ 3 pada submasalah 2.

4. Buat formulasi masalah dari setiap submasalah yang baru, lalu

selesaikan program linear (LP) tersebut :

Apabila hasil dari LP submasalah ternyara tidak feasible maka

abaikanlah

Apabila hasil LP submasalah feasible, tetapi tidak memberikan

hasil yang integer, maka lanjutkan pada langkah ke 6

5. Apabila hasil dari LP submasalah feasible dan integer maka lihat

nilai Z nya apabila nilainya sama dengan upper bound maka solusi

optimal tercapai. Tetapi apabila tidak sama dengan upper bound

dan lebih besar dari lower bound maka jadikanlah lower bound

yang baru. Apabila hasilnya lebih kecil dari lower bound maka

abaikanlah.

6. Lakukan perhitungan kembali submaslah yang telah ditentukan,

diman upperbound sama dengan nilai maksimum dari fungsi

tujuan. Apabila upper bound sama dengan lower bound maka

proses berhenti.

Contoh Soal Integer

Maksimum Z = $7X1 + $6X2

Batasan : 2X1 + 3X2 ≤ 12

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1, X2 ≥ 0 dan integer


Penyelesaian dengan metode grafik, akan diperoleh X1 = 3,75 ; X2 =

1,5 dengan Z = $35,25. Hasil Z = 35,25 menjadi Upper Bound, untuk

mencari Lower Bound X1 = 3 dan X2 = 1 maka diperoleh Z=27.

Karena hasilnya bukan integer maka kita membagi X1 menjadi 2

submaslah dengan batasan X1 ≥ 4 dan X1 ≤ 3.


Proses berhenti apabila hasil yang diperoleh integer semua dengan

nilai Z ≤ Upper bound.


QUESTION 1

Broowns.Id is wondering how to make the right combination

of product sales to make the maximum profit. Help Broowns.Id to

solve the integer program function using “Branch and Bound”

method.

Objectives : Zmax = 500X1 + 300X2

Constraint : 8X1 + 4X2 ≤ 36 , 5X1 + 7X2 ≤ 35

QUESTION 2

MKF Furniture wants to make garden table and chair sets. The

expected margin for one table is $7 and for one garden chair is $6. But

MKF Furniture has limited working time. To design 1 table, need 3

working hours. To design 1 chair need 2 working hours. To assembly

1 table and 1 chair need 4 working hours each. MKF Furniture has 15

working hours left for design and 30 working hours left for assembly.

How many garden table and chair that MKF Furniture should make

for increase their profit?

SOAL 3

Parambidam Company ingin menemukan kombinasi yang

tepat dari produksi bantal lukis yang memberikan profit maksimal.

Bantulah Parambidam Company untuk memecahkan masalahnya

menggunakan integer dengan metode Branch and Bound!

Fungsi Tujuan : Zmax : 35X1 + 30X2

Fungsi Kendala : 10X1 + 15X2 ≤ 60 dan 30X1 + 25X2 ≤ 150


SOAL 4

Maksimumkan Z= 5X1 + 7X2 + 4X3

Dengan syarat 3X1 + 4X2 ≤ 28

X3 ≤ 8

2X2 + 3X3 ≤ 12

X1;X2 = non negative integer

Buatlah solusi optimumnya dengan menggunakan integer metode

zero-one!

SOAL 5

Akira Bakery berencana membeli peralatan baru untuk

kelangsungan produksinya antara lain oven, mixer, dan food

processor. Biaya penggunaan oven, mixer dan food processor sebesar

$400, $350, dan $200. Harga beli oven adalah $6 dan menghabiskan 4

meter2 ruangan. Sedangkan harga beli mixer sebesar $8 dan

menghabiskan 3,5 meter2. Sementara untuk food processor harga

belinya $10 dan menghabiskan 3 meter2. Pemilik perusahaan hanya

memiliki anggaran sebesar $100 dan kapasitas ruang sebesar 50

meter2. Buatlah solusi optimumnya dengan menggunakan integer

metode branch & bound!


BAB VI

TRANSPORTASI

Pengertian

Permodelan transportasi adalah suatu prosedur berulang untuk

memecahkan permasalahan meminimasi biaya pengiriman produk dari

beberapa sumber ke beberapa tujuan. (Heizer: 2009). Model

transportasi merupakan salah satu tehnik network flow problem dalam

program linier yang prosedur perhitungannya lebih effisien dari pada

menggunakan model simplex. Masalah dalam model transportasi

digunkanan untuk mendistribusikan barang yang sejenis dari berbagai

sumber (supply) ke lokasi-lokasi yang membutuhkan (demand)

dengan tingkat kapasistas dan jumlah yang dibutuhkan

berbeda-beda antar sumber dan lokasi. Schedule pemindahan dari

sumber ke lokasi akan memperoleh total biaya pengiriman yang

terendah.

Data yang dibutuhkan dalam model transportasi:

1. Titik asal dan kapasitas atau pasokan pada setiap periode.

2. Titik tujuan dan permintaan pada setiap periode.

3. Biaya pengiriman satu unit dari setiap titik asal ke setiap titik

tujuan

Asumsi Model Transportasi: ∑Demand = Supply


Bentuk Umum Matriks Transportasi:

Keterangan:

Ai = Daerah asal i

Tj = Daerah tujuan j

Si = Ketersediaan Barang di daerah asal Ai (supply)

Dj = Permintaan Barang di daerah tujuan Tj (demand)

Cij = Biaya transportasi dari Ai ke Tj

Xij = Jumlah barang yang didistribusikan dari Ai ke Tj


Tahap Pengerjaan:

1. Diagnosis masalah dengan menganalisis sumber, tujuan,

parameter, dan variabel. Lalu tuangkan ke dalam matriks

transportasi. Jika kapasistas seluruh sumber tidak sama dengan

seluruh permintaan tujuan. Maka tambahkan kolom atau baris

dummy yaitu kolom atau baris tambahan yang berbiaya nol.

2. Susun tabel solusi awaluntuk menentukan alokasi distribusi yang

bersifat sementara.


3. Lakukan pengujian optimalisasi tabel (tabel solusi akhir) untuk

mengetahui apakah biaya distribusi total pada tabel solusi awal

telah minimum.

4. Jika tabel solusi akhir belum optimal atau biaya distribusi total

masih mungkin diturunkan lagi, maka perbaiki lagi tabel solusi

akhir ini.

Metode Solusi Awal

a. North West Corner Method (NWCR)

North West Corner Method(NWCR) adalah salah satu metode untuk

menyusun tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan distribusi

barang mulai dari kotak yang terletak pada sudut paling kiri atas.

Metode ini merupakan metode yang paling mudah dan cepat untuk

digunakan, namun kemungkinannya kecil untuk mendapatkan hasil

yang optimum karena metode NWCR ini mengabaikan biaya dari

pendistribusian sumber daya. Tahapan NWCR adalah sebagai berikut:

1. Pastikan jumlah permintaan (demand) sama dengan jumlah

penawaran (supply).

2. Habiskan seluruh supply dari setiap baris sebelum pindah ke baris

di bawahnya.

3. Habiskan seluruh demand dari setiap kolom sebelum pindah ke

kolom disamping kanannya.

4. Apabila m+n– 1 telah terpenuhi, dapat dilanjutkan pada solusi

akhir, apabila tidak terpenuhi masukan nilai 0 pada kotak yang

belum terisi sebelum masuk pada solusi akhir.


5. Hitung total biaya transportasi Σ(Xij x Cij)

b. Least Cost Method (LCM)

Least Cost Method (LCM) adalah salah satu metode untuk menyusun

tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang dari

sumber tujuan mulai dari kotak yang memiliki biaya distribusi

terkecil.Tahapan dari metode LCM adalah sebagai berikut:


penawaran (supply).

2. Alokasikan terlebih dahulu pada kotak yang berbiaya distribusi

terkecil dalam tabel solusi awal, jika terdapat dua kotak yang

memiliki biaya terkecil yang sama, maka pilih salah satu kotak

saja.

3. Apabila kapasitas pada biaya terkecil sudah terpenuhi maka

abaikan kolom sisanya.

4. Apabila terdapat dummy, otomatis kolom dummy yang diisi

terlebih dahulu karena kolom dummy memiliki biaya distribusinya

0.






C. Vogel’s Aproximation Method (VAM)

Vogell’s Aproximation Method (VAM) adalah salah satu metode

untuk menyusun tabel solusi awal dengan cara mengalokasikan

distribusi barang dari daerah asal ke daerah tujuan dimulai dari kolom

atau baris yang memiliki peluang (opprtunity cost) paling besar dan

kotak yang memiliki biaya distribusi terkecil. Tahapan dari VAM

adalah sebagai berikut:


penawaran (supply).

2. Tentukan selisih dari dua biaya terkecil pada setiap baris dan

kolom untuk mengisi kotak peluang.

3. Pilih nilai peluang yang terbesar. Setelah memilih nilai peluang

terbesar, maka kotak yang harus diisi terlebih dahulu adalah kotak

pada baris atau kolom tersebut yang memiliki biaya terkecil.

4. Apabila supply dan demand telah habis, maka kolom atau baris

sisanya diabaikan atau tidak diikutsertakan lagi dalam perhitungan

peluang.






Metode Solusi Akhir

a. Stepping Stones Method

Stepping Stone Method adalah salah satu metode untuk menyusun

tabel solusi akhir dengan cara menguji tabel solusi awal apakah

improvement indexnya sudah optimal atau belum. Kemudian

melakukan perubahan terhadap tabel solusi awal apabila improvement

indexnya belum optimal (masih terdapat improvement index yang

bernilai negatif) dengan cara melakukan looping pada setiap kotak

kosong. Tahapan dari Stepping Stone Method adalah sebagai berikut:

1. Pilih salah satu metode solusi awal.

2. Buatlah improvement index yang dimulai dari kotak kosong non

basic variable dengan cara looping yaitu:

• Arah dari looping bisa searah atau berlawanan dengan arah

jarum jam.

• Setiap jalur harus berujung pada kotak yang berisi (basic

variable).

• Berilah tanda positif (+) pada titik awal kotak berisi, kemudian

tanda negatif (-) pada titik selanjutnya dengan tanda yang

bergantian.

• Hitunglah biaya berdasarkan tanda pada looping yang telah

dibuat, apakah positif (sebagai penambah) atau negatif (sebagai

pengurang).

3. Ulangi langkah 2 hingga semua kotak kosong dibuat improvement

indexnya.


4. Untuk menguji optimalitasnya, lihat hasil dari improvement index,

apabila hasil dari improvement index masih ada yang bernilai

negatif maka ulangi langkah 2 dengan memindahkan tatanan dari

masing-masing kotak berisi yang terlibat dalam improvement index

yang bernilai negatif tersebut. Apabila terdapat improvement index

yang bernilai negatif lebih dari satu, maka pilihlah nilai negatif

terbesar.Keadaan optimum tercapai hingga keseluruhan nilai

improvement indexnya bernilai positif.


b. Modified Distribution Method (MODI)

Modified Distribution Method (MODI) adalah salah satu metode

untuk menyusun tabel solusi akhir dengan menguji tabel solusi awal

apakah improvement indexnya sudah optimal atau belum serta

melakukan perubahan terhadap tabel solusi awal yang improvement

indexnya belum optimal dengan cara menghitung secara matematis

dari variabel non basic (kotak kosong) apakah bernilai positif atau

negatif. Tahapan metode MODI adalah sebagai berikut:

1. Pilih salah satu metode solusi awal (NWCR, LCM, atau VAM).

2. Cari nilai Ri dan Kj dengan rumus Ri + Kj = Cij, dimana Ri adalah

baris ke i, Kj adalah kolom ke j, dan Cij adalah biaya transportasi

per unit.

3. Tentukan nilai improvement index dari kotak kosong dengan rumus

Iij = Cij – Ri – Kj.


4. Jika nilai dari improvement index masih masih terdapat nilai yang

negatif, maka selesaikan kembali dengan memindahkan nilai kotak

berisi yang memiliki biaya terkecil. Apabila terdapat improvement

index yang bernilai negatif lebih dari satu, maka pilihlah nilai

negatif terbesar.

5. Lalu ulangi dari tahap 2. Keadaan optimum tercapai jika seluruh

improvement indexnya bernilai positif.


Kondisi Khusus dalam Model Transportasi

a. Unbalanced Transportation Problems

Terjadi ketika kapasitas seluruh sumber tidak sama dengan seluruh

permintaan tujuan.

b. Degeneracy in Transportation Problems

Terjadi ketika jumlah basic variable (kotak berisi) tidak memenuhi

syarat m+n-1. Maka tempatkan angka nol pada salah satu kotak

yang kosong dengan mengutamakan kotak yang memiliki biaya

terkecil.

c. More Than One Optimal Solutions

Terjadi ketika nilai dari improvement index bernilai 0. Maka harus

dilakukan desain ulang terhadap alternatif jalur looping yang akan

menghasilkan biaya transportasi yang sama. Alternatif jalur ini

dapat dicari dengan menggunakan metode stepping stone

d. Maximization Transportation Problems


Terjadi ketika fungsi tujuan dari masalah transportasi adalah

maximization, maka kondisi optimum adalah saat semua

improvement index bernilai negatif atau nol. Pemindahan kotak

berisi pada kasus ini dilakukan pada improvement index yang

bernilai positif terbesar, dan selanjutnya dilakukan looping dengan

menggunakan kotak berisi yang baru.

e. Unacceptable or Prohibited Routes

Terjadi ketika terdapatnya sumber yang tidak bisa didistribusikan

ke satu atau lebih tujuan. Maka untuk menghindari sumber

tersebut, letakan biaya transportasi terbesar pada matriks

transportasi dan lakukan perhitungan seperti biasa.


SOAL 1

PT. Go-Jack merupakan perusahaan yang bergerak di bidang

transportasi dan antar jemput makanan. Perusahaan tersebut berpartner

dengan 3 kedai kopi yang berbeda lokasi, yaitu Setarbak DU,

Setarbak PVJ, dan Setarbak BIP dengan kapasitas produksi masing-

masing 240 cup, 400 cup, dan 640 cup per hari. Hari itu PT. Go-Jack

mendapat pesanan kopi ke tiga tempat berbeda yaitu Dago Atas, Buah

Batu, dan Soekarno Hatta dengan tingkat permintaan masing-masing

sebesar 600 cup, 300 cup, dan 500 cup.

Berikut ini tabel biaya pengiriman per-cup (dalam Rp) ke

setiap tempat tujuannya:

Tentukanlah jalur pengiriman paling efisien serta hitunglah

berapa total biaya pengiriman yang harus dibayarkan PT Go-Jack

menggunakan 3 solusi awal dan solusi akhir menggunakan Stepping

Stone!

To

Dago Atas Buah Batu Soekarno-

Hatta

From

Setarbak DU 360 260 400

Setarbak PVJ 240 300 360

Setarbak BIP 300 240 200


QUESTION 2

Russian Blue Corp wants to distribute its product. Russian

Blue Corp has 3 main distributors which are Persian, Sphynx, and

Bengal. They distribute the products across 4 countries, which are UK,

Japan, Australia, and South Korea. Those countries has demand of

5000, 8500, 6000, and 7500. And those distributors can only supply in

limited number of 9500, 8500, and 9000. And the delivery costs

needed are shown below:

(in USD)

Distributor/Country UK Japan Australia South

Korea

Persian 100 150 300 100

Sphynx 200 100 150 200

Bengal 100 300 200 250

Using the given information, please calculate the minimum

cost using the correct allocation for its product distribution! (Initial

solution using NWCR, LCM, and VAM. Final solution using MODI)


SOAL 3

Afifa Boutique memiliki tiga gudang konveksi yang terletak

di Bogor, Bandung, dan Jakarta dengan kapasitas masaing-masing 180

unit, 100 unit, dan 220 unit. Barang yang diproduksi adalah baju-baju

muslim yang sedang tren di Malaysia. Afifa boutique sudah

mempunyai tiga toko yang terletak di Kuala Lumpur, Kinabalu, dan

Johor Bahru dengan jumlah permintaan masing-masing 200 unit, 140

unit, dan 160 unit. Biaya transportasi per unit dapat dilihat pada tabel

berikut (dalam US $)

Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru

Bogor 8 6 10

Bandung 12 10 9

Jakarta 4 16 5

Hitunglah total cost yang dikeluarkan dengan menggunakan solusi

awal NWCR, LCM, dan VAM, dan solusi akhir Stepping Stone!

QUESTION 4

Anjani Corporation producing leather product, they have 3

producing factory. The capacity for each factory respectively are 500

units in Bogor, 1200 units in Bandung and 800 units in Jakarta. The

products will be exported to Semarang with demand of 400 units,


Palembang with 600 units, and Jogjakarta 750 units. The delivery cost

per unit from each factory to the destination, are:

Factory/Store Semarang Palembang Jogjakarta

Bogor $100 $150 $125

Bandung $75 $50 $75

Jakarta $150 $50 $125

Using the given information, calculate the minimum cost,

using the correct allocation for its product distribution! (Initial

solution using NWCR, LCM and VAM, Final Solution using MODI?

SOAL 5

PT. Permata Agro adalah perusahaan pemasok kentang di

Lampung. Perusahaan memasok produk kentangnya ke berbagai

wilayah di pulau Jawa diantaranya Bandung, Solo, Malang dan

Surabaya dengan permintaan masing-masing sebanyak 2500 kg, 1600

kg, 1250 kg, dan 2100 kg. Selain dari lahan yang di Lampung, PT.

Permata Agro juga mendapatkan tambahan pasokan dari lahan di

daerah Banten dan Bogor. Berikut merupakan data persediaan dan

keuntungan yang diperoleh masing-masing daerah pengiriman (dalam

Rp. 000) :


Tujuan

Letak

Lahan

Bandung Solo Malang Surabaya Persediaan

Lampung 30 18 24 36 2800

Banten 45 64 11 30 1850

Bogor 25 15 22 21 2250

Buatlah komposisi pendistribusian optimal dengan

menggunakan metode solusi awal NWCR, LCM, dan VAM serta

metode solusi akhir stepping stone, kemudian hitunglah jumlah laba

yang diperoleh!


BAB VII

PENUGASAN

Pengertian

Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam

mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) bagi setiap

SDM yang dimilikinya secara optimal, dalam arti apabila penugasan

tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas

atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntungan yang

maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya, bagaimana

penugasan yang optimal yang memiliki biaya paling minimum.

Masalah penugasan dapat diartikan sebagai masalah transportasi

dimana hanya ada satu kapasitas dari setiap sumber dan hanya ada

satu permintaan di setiap tujuan.

Model Penugasan digunakan sebagai berikut:

Untuk memutuskan penugasan pekerjaan untuk orang atau mesin,

model penugasan yang dilakukan

untuk menentukan urutan kegiatan yang berbeda dilakukan pada

satu dan fasilitas yang sama


Tujuan

Metode penugasan bertujuan untuk mengalokasikan tugas secara

optimal sehingga dapat mencapai tujuan perusahaan, yaitu

memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.

Dalam penyelesaian masalah penugasan biasanya dilakukan dengan

menggunakan metode Hungarian yang pada tahun 1916

dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Hungaria

bernama D. Konig

Langkah-langkah Metode Penugasan menggunakan Hungarian

Method:

1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel

penugasan.

2. Untuk kasus minimalisasi, mencari biaya terkecil untuk setiap

baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk

mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama.

Sedangkan untuk kasus maksimalisasi, mencari nilai tertinggi

untuk setiap baris yang kemudian nilai tertinggi tersebut dikurangi

dengan semua nilai yang ada dalam baris tersebut.

3. Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol.

Apabila masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka

dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya

digunakan untuk mengunrangi semua nilai yang ada pada kolom

tersebut.


4. Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai nol, maka langkah

selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel

penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak

sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber

daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya.

Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka

harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris

dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya

memiliki 1 nilai nol. Langkah ini menganduk arti bahwa setiap

karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja.

5. Apabila belum, maka langkah selanjutnya adalah menarik garis

yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel

penugasan tersebut.

6. Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih

nilai yang paling kecil, kemudian pergunakan untuk mengurangi

nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk

menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali.

7. Dari hasil lagkah ke-6 tersebut, apakah sekarang telah berhasil

ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa

karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang

juga tercermin dengan jumlah barisnya.

8. Jika sudah, maka masalah penugasan telah optimal, dan apabila

belum maka perlu diulangi langkah penyelesaian ke-5 di atas.


SOAL 1

Di bawah ini merupakan keuntungan dari honor seminar yang

akan diterima oleh para trainer SDM (dalam Rp 000.000) yang bekerja

untuk PT Indo Human Capital ketika akan men-training beberapa

kampus :

Tentukan penugasan yang paling optimal dan berapa total

profit yang didapatkan PT Indo Human Capital!

QUESTION 2

Anjani.Co is a company that produce premium quality of

leather product. To expand their business, they recruit 4 new

salesman. After work trial those people managed to sell different

quantity of product in different region. The further information about

cost for each region is describe bellow:

Nama Trainer

SDM

Kampus

Unpad Harvard Boston Barkeley Imperial

College

Mario Teguh 6 8 4,5 5,5 7

Setia Furqon 8 4 5,5 5 6,5

Andrie Wongso 5,5 7 6 6,5 4

Jaya Suprana 7 5 6,5 4,5 6

Hermawan

Kertajaya 4,5 5,5 5 7 8


Employee /

Region A B C D E

Hendro 40 24 36 50 30

Yanda 35 28 38 55 28

Aden 40 29 37 46 29

Elvira 55 38 30 58 32

Determine the assignment!

QUESTION 3

Orange Group has 4 sales promotion girls that can deliver

profit higher than the other. But now, salesperson should be placed in

a city that can maximize profit even more. Below is the profit data that

each person can get:

Salesperson

City

Seoul Busan Daegu Icheon

Alexa 1000 2500 1600 1200

Britney 1000 1700 1750 1750

Clara 2000 1800 1550 1800

Daisy 1800 1000 2100 2000


Please help Orange Group to assign its best sales promotion

girls in the right city to gain more profit. Please use Hungarian

Method!

SOAL 4

PT. Surya Kencana berencana untuk mengerjakan 4 buah proyek,

yaitu proyek I, Proyek II, Proyek III, dan proyek IV. Berikut table

yang menjelaskan biaya yang dikeluarkan dari tiap proyek dari grup-

grup yang ada di perusahaan tersebut. (Dalam $ 000)

Grup Proyek

I II III IV

A 18 14 36 30

B 27 25 22 29

C 28 30 29 14

D 28 21 21 17

Tentukan penugasan yang paling optimal agar perusahaan

mengeluarkan biaya yang paling kecil!

SOAL 5

PT. Go Food Indonesia saat ini membuka lowongan sebagai

Business Development yang akan bekerja untuk mengembangkan

pelayanan jasa dari Go Food Indonesia. Lowongan diperuntukkan

untuk karyawan Internal PT. Go Food Indonesia. Terdapat enam calon


terkuat yang akan ditempatkan di lima daerah tujuan pengembangan

bisnis yaitu Medan, Palembang, Semarang, Yogyakarta, dan

Balikpapan. Adapun daftar nama calon karyawan tersebut dengan

estimasi keuntungan (dalam Rp. 000) sebagai berikut :

Nama

Calon/Wilayah Medan Palembang Semarang Yogyakarta Balikpapan

Aurora 40.000 25.000 19.000 34.000 29.000

Belle 38.000 41.000 22.000 33.000 18.500

Woody 26.000 39.000 24.500 36.000 19.000

Jasmine 47.000 20.000 23.000 14.000 21.000

Ken 30.000 14.500 35.000 17.500 22.000

Anna 31.000 27.000 29.000 31.500 23.000

Bantulah PT. Go Food Indonesia untuk memilih calon

karyawan untuk posisi Business Development dan daerah

penempatannta masing-masing dan hitung total pendapatan yang akan

didapatkan!


BAB VIII

TEORI ANTRIAN

Pengertian

Teori antrian merupakan suatu model perhitungan yang

menguntungkan dari sisi penyedia pelayanan dan sekaligus

mengurangi atau menghilangkan antrian (waktu menunggu) bagi

pihak yang dilayani atau customer. Kasus antrian timbul karena

adanya keterbatasan kapasitas pelayanan, contohnya ketika

penumpang kereta api menunggu pelayanan loket penjualan karcis,

pengendara kendaraan menunggu pengisian bahan bakar, beberapa

produk atau komponen menunggu untuk di selesaikan, dsb.

Tujuan

Untuk meminimumkan sekaligus dua jenis biaya yaitu biaya

langsung untuk menyediakan pelayanan (biaya pelayanan) dan biaya

individu yang menunggu untuk memperoleh pelayanan (biaya

tunggu).

Komponen Proses Antrian

Terdapat tiga komponen proses antrian yaitu (1) Sumber

Kedatangan, (2) Antrian, dan (3) Fasilitas


Struktur Antrian

Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda,

akan digunakan suatu notasi yang disebut dengan Kendall’s Notation.

Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama

karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk

mengidentifikasi tiak hanya model-model antrian tetapi juga asumsi

asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku yang

membahas teori antrian menggunakan notasi ini.

Notasi yang sering dipakai adalah :

M : Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Poisson

D : Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Deterministik

(diketahui konstan)

K : Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayanan

S : Jumlah fasilitas pelayanan

I : Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak terbatas

F : Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh

sistem antrian :

1. Single Channel – Single Phase

Artinya hanya ada 1 jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada 1

fasilitas pelayanan.


2. Single Channel – Multi Phase

Artinya ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara

berurutan.

3. Multi Channel – Single Phase

Artinya ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian

tunggal.

4. Multi Channel- Multi Phase

Artinya sistem ini memiliki fasilitas pelayanan pada setiap

tahapannya.


SINGLE CHANNEL MODEL

Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem

M/M/1

1. Populasi input tak terbatas

2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti

distribusi poisson

3. Disipliln pelayanan mengikuti FCFS

4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal

5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi poisson

6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas

7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

RUMUS

𝞴 = rata-rata kedatangan dalam periode waktu

µ = rata-rata jumlah orang atau barang yang dilayani dalam periode

waktu

Ls = rata-rata jumlah unit (pelanggan) dalam suatu system (sedang

menunggu dan akan dilayani)

= λ

µ− λ

Ws = rata-rata waktu yang dihabiskan satu unit dalam suatu system

(waktu tunggu dijumlah dengan waktu pelayanan)

= 1

µ− λ

Lq = rata-rata jumlah unit yang menunggu dalam antrian

= λ2

µ(µ− λ)


Wq = rata-rata waktu yang dihabiskan satu unit menunggu dalam

antrian

= λ

µ(µ− λ)

ρ = tingkat utilisasi di dalam system

= λ

µ

P0 = probabilitas 0 unit dalam suatu system

= 1 −λ

µ

Pn>k = probabilitas lebih dari k unit dalam suatu system, dimana n

merupakan jumlah unit dalam system

= (λ

µ)

𝑘+1

MULTIPLE CHANNEL MODEL

Dalam Multiple-Channel Model, fasilitas yang dimiliki lebih dari satu.

Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan (M/M/S).


SOAL 1

Hijabers Community Bandung sedang mengadakan Hijab

Festival 2016 di Sasana Budaya Ganesha. Pengunjung yang akan

masuk ke area Hijab Festival harus membeli tiket terlebih dahulu.

Namun hanya ada satu loket yang melayani pembelian tiket. Karena

antusiasme masyarakat Bandung akan acara Hijab Festival 2016 ini

maka antrianpun menjadi panjang. Pengunjung yang datang rata-rata

30 orang per jam. Sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk melayani

seseorang pelanggan di loket rata-rata adalah 360 detik. Jika laju

kedatangan berdistribusi poisson, maka bantulah Project Officer Hijab

Festival 2016 untuk mengetahui informasi :

a. Jumlah pengunjung yang ada dalam sistem antrian

b. Jumlah pengunjung yang ada dalam baris antrian

c. Waktu menunggu dalam sistem antrian

d. Waktu menunggu dalam baris antrian

e. Probabilitas ada 5 orang pengunjung di depan loket

QUESTION 2

RAK BURGER is a company that produce all variant best burger in

town. Due to the high demand, the company has 5 service center with

the average arrival rate is 70 people/hour and average service level is

3 minutes/ppl. Please help RAK BURGER to determine:

a. Average number of people in the system

b. Average number of people in the queue

c. Waiting time in the system


d. Waiting time in the queue

e. Utilization rate if the stand is busy

SOAL 3

Nasabah Harris Imperial Bank mengantri mengikuti distribusi

Poisson dengan tingkat rata-rata 20 per jam. Hanya terdapat satu meja

teller yang secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit per

penumpang. Kepala Cabang di Bank tersebut mengetahui bahwa

dengan mengganti teller yang ada dengan teller yang lebih terampil,

waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang

menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namun

upah teller yang terampil adalah Rp1.200,00 per jam, yang berarti dua

kali upah teller yang ada. Kepala Cabang juga memperkirakan biaya

menunggu tiap nasabah sebelum dilayani adalah adalah Rp 50,00 per

menit. Haruskah Kepala Cabang mengganti penjaga yang ada dengan

penjaga yang lebih terampil?

SOAL 4

Bioskop XXI Ciwalk memiliki 5 teller yang dapat melayani

pembelian tiket. Rata-rata kedatangan konsumen adalah 50 orang per

jam, sementara pelayanan yang diberikan oleh masing-masing teller

adalah 2 menit per orang. Dari data yang diberikan, hitunglah:

a. Jumlah rata-rata dalam sistem antrian

b. Jumlah rata-rata dalam baris antrian

c. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem antrian


d. Waktu menunggu rata-rata dalam baris antrian

e. Tingkat utilitas kesibukan dari customer service

QUESTION 5

One of the famous pet shop have a busy head office in Jakarta.

It had 5 different customer services with average arrival rate is 2

animals/hour. And average service level is 15 minutes/animal.

Determine:

a) Average number of people in the system

b) Average number of people in the queue

c) Waiting time in the system

d) Waiting time in the queue

e) Utilization rate if the stand is busy


BAB IX

DYNAMIC PROGRAMMING

Definisi

Menurut Dimayati (1992), program dinamis adalah suatu teknik

matematis yang baisanya digunakan untuk membuat suatu

keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

Menurut Siagian (2003), program dinamis adalah suatu teknik

matematis yang digunakan untuk mengoptimalkan proses

pengambilan keputusan secara bertahap-tahap.

Jadi, program dinamis adalah metode pemecahan masalah dengan

cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau

tahapan (stage) sedemikian rupa sehingga solusi (alternatives) dari

persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling

berkaitan.

Karakteristik Program Dinamis

1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada

setiap tahap hanya diambil satu keputusan.

2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang

berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status

merupakan bermacam kemungkinan masukan yan ada pada tahap

tersebut.


3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap

ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status

berikutnya pada tahap berikutnya.

4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily)

dengan bertambahnya jumlah tahapan.

5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap

yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap

keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

7. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan

terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan

terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Pendekatan Program Dinamis

Keputusan program dinamis dapat dilakukan dengan dua pendekatan

yaitu :

1. Pendekatan Maju (Forward atau Up-Down)

Pendekatan ini bergerak mulai dari tahap 1 lalu menuju tahap 2,3,

hingga tahap n.

2. Pendekatan Mundur (Backward atau Bottom-Up)

Pendekatan in bergerak mulai dari tahap n terus mundur menuju

tahap n-1, n-2, dan seterusnya hingga tahap awal yaitu tahap 1.


Langkah Pemecahan Masalah Program Dinamis

Pemecahan masalah dalam Program Dinamis memiliki beberapa

tahapan yaitu :

1. Membagi masalah asli (Original Problem) kedalam beberapa tahap

permasalahan (subproblem) yang biasa disebut stage.

2. Memecahkan tahapan terakhir dari masalah untuk semua kondisi

yang mungkin.

3. Bekerja mundur dari tahap terakhir dan memecahkan tiap tahap.

Hal ini dilakukan untuk menentukan kebijakan yang optimal dari

tahap itu sampai akhir masalah (tahap terakhir).

4. Solusi optimal didapatkan apabila telah memecahkan semua

permasalahan dari tiap tahap.

Metode Program Dinamis

Dalam mata kuliah metode kuantitatif, terdapat tiga metode program

dinamis yang akan dipelajari :

1. General Case

2. Stage Coach

3. Knapsack

General Case

General Case bertujuan untuk mendapatkan jumlah pekerja yang

optimal untuk ditempatkan di suatu wilayah operasi. Di dalam General

Case, stage biasanya merupakan kombinasi-kombinasi terbaik


berdasarkan biaya (cost) yang dikeluarkan apabila pekerja

ditempatkan di suatu wilayah tertentu.

General Case : Menentukan jumlah pekerja

Assignment : Menentukan pekerja yang akan ditempatkan

di wilayah operasional tertentu.

Stage Coach

Stage Coach adalah pengarahan perjalanan untuk menentukan rute

tercepat berdasarkan alternatif-alternatif rute yang tersedia.

Stagecoach dikembangkan oleh Profesor Harvey M. Wagner ketika ia

berada di Stanford University. Di dalam stagecoach, stage biasanya

merupakan kombinasi dua rute yang berhubungan, untuk selanjutnya

dipilih alternatif terbaik dan seterusnya sampai rute paling akhir.

Knapsack

Program dinamis Knapsack adalah permasalahan mengenai berapa

jumlah jenis barang yang berbeda yang dapat dimasukkan ke dalam

sebuah wadah atau tempat yang dapat menampung guna

memaksimumkan pengembalian dari barang-barang tersebut.

General Case ≠ Assignment


QUESTION 1

Sonee Inc. wants to deliver VOIA from New York to 6

different cities in USA. Below is the given data:

Choose the shortest route so Sonee Inc. could deliver it on

time!

SOAL 2

Morgan Euy merupakan wisatawan asal Indonesia yang

sedang mengikuti program field trip ke Korea Selatan. Saat sedang

berjalan-jalan di Namdaemun Market salah satu pusat perbelanjaan di

Korea Selatan, Morgan Euy melihat banyak barang-barang fashion ala

K-Pop dengan harga yang miring. Morgan Euy berniat untuk membeli

sejumlah barang dari tempat tersebut dan lalu dijual kembali saat

sampai di Indonesia. Namun, ransel yang dibawa oleh Morgan Euy

1 7

6

5

3

4

2

14

20

15

18

21

30

10

22

26


hanya dapat memuat barang sebanyak 7 kg. Morgan Euy pun harus

memilah barang yang akan dibelinya. Berikut merupakan tiga jenis

barang yang akan dibeli Morgan Euy :

NO Jenis Barang Berat (kg) Profit (Rp.000)

1. Sepatu 2 80

2. Denim Jeans 4 150

3. Sweater 1 30

Tentukan kombinasi barang yang Morgan Euy beli agar dapat

memaksimumkan keuntungan?

SOAL 3

Hortimart merupakan eksportir bibit buah terkenal yang

terkenal dengan kualitasnya. Saat ini, perusahaan sedang berencana

mengekspor 3 jenis bibit buah, yaitu nanas madu, pir xiang lie, dan

durian monthong. Perusahaan berencana mengekspor sesuai dengan

Economics Lot Size (ELS) seperti pada tabel di bawah ini:

Jenis Bibit Berat Estimasi Profit (per Kg)

Nanas Madu 0,03 kuintal Rp 10.000,00

Pir Xiang Lie 0,04 kuintal Rp 11.500,00

Durian Monthong 0,06 kuintal Rp 13.000,00

Hortimart telah menyewa sebuah peti kemas dengan kapasitas

0,15 kuintal. Bantulah Hortimart dalam menyusun rencana ekspor


baru agar sesuai dengan kapasitas dan mendapatkan keuntungan yang

maksimum!

QUESTION 4

Burj Khalifa Hotel has a new branch in 4 different city, which

are, Harisy, Umary, Firdausy, Anjany and Afify considering to

relocate its marketing personnels from existing stores to the new ones.

There are currently 8 marketing personnel that are available for

relocation. Help manager to determine how many personnels would be

relocated to which stores!

Harisy Umary Firdausy Anjany Afify

0 450 450 450 500 500

1 600 650 650 600 600

2 800 800 800 800 800

3 1000 1050 1000 1000 1050

4 1100 1100 1150 1150 1100

5 1300 1300 1250 1250 1200

6 1450 1400 1400 1350 1400

7 1550 1550 1500 1500 1550

8 1700 1650 1700 1600 1650

Amount of

Marketers

profi t that can be earned from each new branches with

di fferent amount of marketing personels


SOAL 5

Afifa Company merupakan perusahaan retail terkenal yang

berdiri di Sigapura. Perusahaan berencana membuka cabang baru di

Indonesia, tepatnya di Jakarta, Bandung, Jogjakarta, dan Bali. Dengan

bertambahnya jumlah cabang, perusahaan sudah mempersiapkan 7

orang manager yang dapat mengelola keempat lokasi tersebut.

Jumlah

Manager

Cabang Baru

Jakarta Bandung Jogja Bali

0 28 16 22 20

1 26 26 34 34

2 18 17 29 33

3 32 27 26 21

4 20 29 10 29

5 38 22 27 30

6 44 28 17 37

7 21 36 19 21

Bantulah perusahaan untuk menyelesaikan masalah tersebut!


STANDAR NORMAL (Z) TABEL


TEACHING ASSISTANT OF MOLMKF 2015/2016

FACULTY OF ECONOMICS AND BUSINESS, PADJADJARAN UNIVERSITY

Salsabila Firdausia / 085669963814 / line : salsabilafirdausia

Nabila Nur Afifa / 08568814590 / line : nabilanafifa

Abdul Haris Asri / 081321037083 / line : abdulharisasri

Rachmatika Anjani / 085229708285 / line : ranisudirgo

Shima Umari / 081318168068 / line : shimaumr

Sabil Nabila Haris Rani Shima


KUNCI JAWABAN

BAB I

LINEAR PROGRAMMING

1. (Nabila)


Kesimpulan: Untuk memaksimalkan profit, Paragon harus

memproduksi lipstik Wardah sebanyak 10 buah dan lipstik

Emina sebanyak 30 buah dengan total profit Rp 2.700.000.

2. (Shima)


Conclusion: must produce 45.5 sweetcorn and 7.3 lavender with

the most minimum cost $226.3638

3. (Rani)


4. (Sabil)


5. (Haris)


BAB II

METODE SIMPLEKS

1. (Haris)

Kesimpulan :

Jumlah Rudal Madbird yang dibutuhkan adalah 1,6 unit

sedangkan Badboy 4,8 unit dengan biaya paling minimum

sebesar $24.000


2. (Nabila)


3. (Shima)

CONCLUSION : must produce 3.6 bags, 4.5 shoes, and 0 jeans

with total profit $1681.818


4. (Sabil)

Bentuk Standard :

F. Tujuan: Z Max = 6X1 + 4X2 + 5X3

F. Kendala: 6X1 + 7X2 + 4X3 + S1 = 48

4X1 + 3X2 + 8X3 + S2 = 72

F. Status: X1, X2, X3, S1, S2 ≥ 0


Jadi, Kombinasi yang harus dibuat agar memaksimalkan

keuntungan adalah membuat 3 kostum Harry Potter dan 7.5 atau

dibulatkan 8 kostum Spiderman.

5. (Rani)


BAB III

SENSITIVITY ANALYSIS

1. (Sabil)


Jumlah Art Pudding yang harus dibuat sebanyak 1 unit dan 1,5

atau 2 unit Jelly Candy dengan total profit yang dapat dicapai

adalah Rp 24.000. Status sumberdaya S1 dan S2 adalah 0 yang

artinya seluruhnya telah habis terpakai. Sedangkan nilai shadow

price untuk masing-masing sumberdaya adalah S2 = -66,6667

yang artinya setiap penambahan satu unit sumberdaya 2 maka

akan meningkatkan keuntungan sebesar Rp 66,67.

2. (Rani)

a.


b.

5 Ornamen B

c. Status Sumber Daya

S1 (Sumber Daya 1) = 15

Artinya sumber daya 1 berlebih 15 unit (tidak semuanya

terpakai)

S2 (Sumber Daya 2) = 0

Artinya sumber daya 2 semuanya habis terpakai

d. Shadow Price

S2 = |-15,33|

Artinya tiap penambahan satu unit S2 akan memperoleh

tambahan laba sebesar 15,33

e. Range Basic Variable

Basic Variable: S1 dan Ornamen B


Rentang Perubahan S1

S1 (ORNA) = -54,67 - 1Δ ≤ 0

-1Δ ≤ 54,67

Δ ≥ -54,67

S1 (S2) = -15,33 + 1Δ ≤ 0

Δ ≤ 15,33

-54,67 ≤ Δ ≤ 15,33

Rentang Perubahan Ornamen B

ORNB (ORNA) = -54,67 -1,67Δ ≤ 0

-1,67Δ ≤ 54,67

Δ ≥ -32,74

ORNB (S2) = -15,33 -0,33Δ ≤ 0

-0,33 Δ ≤ 15,33

Δ ≥ -46,46

-46,46 ≤ Δ atau -32,74 ≤ Δ

3. (Haris)

a. Produk X1 sebanyak 20 unit danproduk X2 sebanyak 0

unit dengan total profit yang optimum sebanyak 240

b. Shadow price S1 adalah -1.3939 artinya setiap

penambahan satu sumber daya S1 akan menambah keuntungan

sebesar 1.3939. Sedangkan shadow price S2 adalah -0.7273


artinya setiap penambahan satu sumber daya S2 akan menambah

keuntungan sebesar 0.7273.

c. S1 dan S2 habis terpakai sementara S3 tidak habis

terpakai

d. Basic variable adalah X1dan X2

X1 : S1 : -1.3939 – (0.2424) ∆ ≤ 0

-0.2424 ∆ ≤ 1.3939

∆≤ -5.7504

X1 : S2 : -0.7273 – (-0.0909) ∆ ≤ 0

0.0909 ∆ ≤ 0.7273

∆ ≥ 8.0011

X2 : S1 : -1.3939 – (-0.1515) ∆ ≤ 0

0.1515 ∆ ≤ 1.3939

∆≤9.2007

X2 : S2 : -0.7273 – (-0.1818) ∆ ≤ 0

0.1818 ∆ ≤ 0.7273

∆≤4.00056

e. Non Basic Var (tidak ada di solution mix)

Sumber Daya 1 danSumber Daya 2


4. (Nabila)

a. Biaya yang dikeluarkan $1250

b. X1 = 12,5 dan tidak memproduksi X2

c.


SumberDaya Dual Price Artinya

1 Y1=U1=|−50|=50 Setiap penambahan

1 unit S1, maka

akan meningkatkan

keuntungan sebesar

$50

2 Y2=U2=0 Setiap penambahan

1 unit S2, maka

tidak akan

meningkatkan profit

perusahaan

d.

SumberDaya Slack

Variable

Status SumberDaya

1 0 Habis terpakai / terbatas

2 40 Tidak habis terpakai / tidak

terbatas


5. (Shima)

a. profit $750

b. Bags = 0 Unit and Suitcase = 30 Units

c. Status SumberDaya

SumberDay

a

Slack

Variabl

e

Status SumberDaya

1 140 Tidakhabisterpakai/tidakterbata

s

2 0 Habisterpakai/terbatas

d. Dual Price/Shadow Price

Sumber

Daya

Dual Price Artinya

1 Y1=U1=0 Setiappenambahan 1 unit


Bagsmakaakanmeningkatkan

$0 keuntungan

2 Y2=U2=

|−5|=5

Setiappenambahan 1 unit

Suitcaseakanmeningkatkankeun

tungansebesar $5

e. Basic Variable : X2

X2 : S1 : 0 – (0) ∆ ≤ 0

0 ∆ ≤ 0

X2 : S2 : -5 – (0.2) ∆ ≤ 0

-0.2 ∆ ≤ 5

∆ ≥ -25

f. Non Basic Var (tidakada di solution mix)

SumberDaya 2

Q S1 Ratio Mean

0 -0.4 0 Batas penambahan max S2 adalah

0

30 0.2 150 Batas pengurangan max S2 adalah

150


BAB IV

DUAL PROBLEM

1. (Sabil)

Solusi saat berbentuk Primal :

Zmax= 90X1 + 125X2

F. Kendala: 1X1 + 2X2 ≤ 10

3X2 + 4X2 ≤ 24

5X1 + 6X2 ≤ 40

Bentuk Standard :

Zmax = 90X1 + 125X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

F. Kendala: 1X1 + 2X2 +S1 + 0S2 + 0S3 = 10

3X2 + 4X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 24

5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40

F. Status : X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0


Solusi dari Dual :


2. (Haris)

X=meja, y=kursi

Primal

Z= 150.000X + 80.000Y

Subject to :

5X + 2Y <= 150


2X + 3Y <= 100

2X + 2Y <= 80

Kesimpulan :

Jumlah ang harus diproduksi adalah 23 meja dan 17 kursi

dengan keuntungan 4.833.334

Dual

Z min = 150U1 + 100 U2 + 80 U3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Subject to = 5U1 + 2U2 + 2U3 – S1 + A1 ≥ 150.000

= 2U1 + 3U2 + 2U3 – S2 + A2 ≥ 80.000

U1,U2,U3,S1,S2,A1,A2 ≥ 0


3. (Rani)

a. Primal Form

Fungsi Tujuan Zmax = 10X1 + 5X2

Fungsi Kendala 10X1 + 4X2 ≤ 300

4X1 + 6X2 ≤ 200

X1, X2 ≥ 0

Dual Form Z = 300U1 + 200U2

10U1 + 4U2 ≥ 10

2U1 + 3U2 ≥ 5


U1, U2 ≥ 0

Dual Form Standard Z = 300U1 + 200U2 + 0S1 + 0S2

+ mA1 + mA2

10U1 + 4U2 – S1 + A1 = 10

2U1 + 3U2 – S2 + A2 = 5

U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

Iteration table of 0


4. (Nabila)

PRIMAL

Fungsi Tujuan: Zmax = 10.000X1 + 7500 X2

Fungsi Kendala:

50X1 + 25X2 ≤ 1000

100X1 + 30X2 ≤ 1500

X1, X2 ≥ 0

Bentuk Standar:

Fungsi Tujuan: Zmax = 10.000X1 + 7500X2 + 0S1 + 0S2

Fungsi Kendala:

50X1 + 25X2 + S1 = 1000

100X1 + 30X2 + S2 = 1500

X1, X2, S1, S2 ≥ 0


DUAL

Fungsi Tujuan: Zmin = 1000U1 + 1500U2

Fungsi Kendala:

50U1 + 100U2 ≥ 10.000

25U1 + 30U2 ≥ 7.500

U1, U2 ≥ 0

Bentuk Standar:

Fungsi Tujuan: Z min = 1000U1 + 1500U2 +0S1 + 0S2 + MA1 +

MA2

Fungsi Kendala:

50U1 + 100U2 – S1 + A1 = 10.000

25U1 + 30U2 – S2 + A2 = 7.500


U1, U2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0


5. (Shima)

Primal Problem

Z max = 6.5 Y1 + 7.3 Y2

Subject to = 9Y1 + 3Y2 ≤ 50

= 12Y1 + 4Y2 ≤ 65

= 3Y1 + 1Y2 ≤ 30

Conclusion = 16.25 snack and 0 canned. Total profit = $118.625

Dual problem

Z min = 50U1 + 65 U2 + 30 U3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Subject to = 9U1 + 12U2 + 3U3 – S1 + A1 ≥ 6.5

= 3U1 + 4U2 + U3 – S2 + A2 ≥ 7.3

U1,U2,U3,S1,S2,A1,A2 ≥ 0


Conclusion = 1.825 U2 dan 15.4 S1 dengan profit $118.625


BAB V

INTEGER PROGRAMMING

1. (Nabila)

Upper Bound


Lower Bound


Masalah A


Sub Masalah B


Sub Masalah C


Sub Masalah D


Sub Masalah E

NOT FEASIBLE

Sub Masalah F


Proses berhenti di sini karena 2071,43 lebih kecil dari Lower

Bound yaitu 2100

Gambar Branch and Bound


X1= 3,11X2= 2,78

Z= 2388,89

X1= 4X2= 1

Z= 2300

X1= 3X2= 2,86

Z= 2357,14

X1= 2,8X2= 3

Z= 2300

X1= 3X2= 2

Z= 2100

Not Feasible

X1= 2X2= 3,57

Z= 2071,43

Upper Bound= 2388,89Lower Bound= 2100

Upper Bound= 2357,14Lower Bound= 2300

Upper Bound= 2300Lower Bound= 2100

Upper Bound= 2300Lower Bound= 2071,43

Sub Masalah B

Sub Masalah A

Sub Masalah C

Sub Masalah D

Sub Masalah E

Sub Masalah F

Kesimpulan:

Jadi, untuk memaksimumkan profit, Broowns.Id harus

memproduksi X1 sebanyak 4 dan X2 sebanyak 1 dengan Profit

2300


2. (Shima)

So, the most optimum quantity is to make 1 table and 6 chair so

MKF Furniture reach profit as much as $43

3. (Sabil)


4. (Haris)


5. (Rani)


BAB VI

TRANSPORTASI

1. (Haris)

Langkah 1 :

Cek apakah total supply sama dengan total demand ?

Supply : 240 + 400 + 640 = 1280

Demand : 600 + 300 + 500 = 1400

Ternyata supply lebih kecil dari demand. Maka di kolom

‘From’ ditambah lagi satu kolom dummy berbiaya 0 !

To

Dago Atas Buah Batu Soekarno-

Hatta

From

Setarbak DU 360 260 400

Setarbak PVJ 240 300 360

Setarbak BIP 300 240 200


SOLUSI AWAL


SOLUSI AKHIR

Stepping Stone

BIP-Dago improvement index nya masih negative, maka :


Setelah itu hitung lagi improvement index nya untuk

memastikan keoptimalannya.

Jadi biaya pengiriman paling effisien yang dapat dicapai adalah

Rp. 296.800 dengan rute pengiriman seperti pada table di atas

Pembuktian dengan POMQM :


2. (Shima)

1. NWCR (TC = USD 3,975,000)


UTK SEL TERISI

I12 = R1 + K2 = C12

= 0 + K2 = 150

= K2 = 150

I14 = R1 + K4 = C14

= 0 + K4 = 100

= K4 = 100

I22 = R2 + K2 = C22

= R2 + 150 = 100

= R2 = -50

I23 = R2 + K3 = C23

= -50 + K3 = 150

= K3 = 200

I31 = R3 + K1 = C31

= 0 + K1 = 100

= K1 = 100

I33 = R3 + K3 = C33

= R3 + 200 = 200

= R3 = 0

UTK SEL KOSONG

I11 = C11-R1-K1

= 100-0-100


= 0

I13 = C13-R1-K3

= 300-0-200

= 100

I21 = C21-R2-K1

= 200-(-50)-100

= 150

I24 = C24-R2-K4

= 200-(-50)-100

= 150

I32 = C32-R3-K2

= 300-0-150

= 150

I34 = C34-R3-K4

= 250-0-100

= 150


3. (Nabila)

Solusi Awal

1. NWCR

Dari/ke Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru Supply (Qs)

Bogor 8 6 10

180 180 - -

Bandung 12 10 9

100 20 80 -

Jakarta 4 16 5

220 - 60 160

Demand

(Qd) 200 140 160

500

Total Cost = (180x8) + (20x12) + (80x10) + (60x16) + (160x5)

= $ 4240


2. LCM

Dari/ke Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru Supply (Qs)

Bogor 8 6 10

180 - 140 40

Bandung 12 10 9

100 - - 100

Jakarta 4 16 5

220 200 - 20

Demand

(Qd) 200 140 160

500

Total Cost = (200x4) + (140x6) + (40x10) + (100x9) + (20x5) =

$ 3040


3. VAM

Dari/ke Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru Supply (Qs)

Bogor 8 6 10

180 - 140 40

Bandung 12 10 9

100 - - 100

Jakarta 4 16 5

220 200 - 20

Demand

(Qd) 200 140 160

500

Total Cost = (200x4) + (140x6) + (40x10) + (100x9) + (20x5) =

$ 3040


Solusi Akhir

Menggunakan LCM atau VAM

1. Stepping Stone

Dari/ke Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru Supply (Qs)

Bogor 8 6 10

180 - 140 40

Bandung 12 10 9

100 - - 100

Jakarta 4 16 5

220 200 - 20

Demand

(Qd) 200 140 160

500


Dari/ke Kuala

Lumpur Kinabalu

Johor

Bahru Supply (Qs)

Bogor 8 6 10

180 40 140 -

Bandung 12 10 9

100 - - 100

Jakarta 4 16 5

220 160 - 60

Demand

(Qd) 200 140 160

500


Total Cost = (40x8) + (140x6) + (100x9) + (160x4) + (60x5) =

3000

4. (Rani)

NWCR


LCM

VAM

FINAL SOLUTION (MODI)


5. (Sabil)

Solusi Awal :

Metode NWCR

From/To Bandung Solo Malang Surabaya Supply

Lampung 2500 300 - - 2800

Banten - 1300 550 - 1850

Bogor - - 700 1550 2250

Dummy - - - 550 550

Demand 2500 1600 1250 2100 7450

Total Profit = Rp 217.600

Metode LCM


Lampung 2500 300 - - 2800

Banten - 1300 550 - 1850

Bogor - - 700 1550 2250

Dummy - - - 550 550

Demand 2500 1600 1250 2100 7450

Total Profit = 264.400


Metode VAM


Lampung 2500 300 - - 2800

Banten - 1300 550 - 1850

Bogor - - 700 1550 2250

Dummy - - - 550 550

Demand 2500 1600 1250 2100 7450

Total Profit = Rp 249.450

Solusi Akhir :

Menggunakan Metode LCM :


Stepping Stone :


BAB VII

PENUGASAN

1. (Haris)

Langkah 1 : Karena kasus maksimasi, maka cari angka terbesar

di tiap baris lalu kurangkan dengan angka-angka lain di baris

tersebut.

Nama Trainer

SDM

Kampus


College

Mario Teguh 2 0 3.5 2.5 1

Setia Furqon 0 4 2.5 3 1.5

Andrie Wongso 1.5 0 1 0.5 3

Jaya Suprana 0 2 0.5 2.5 1

Hermawan

Kertajaya 3.5 2.5 3 1 0


Langkah 2 : Memastikan semua kolom dan baris telah memiliki

angka nol. Ternyata dari table di atas masih ada kolom yang

belum memiliki angka nol. Maka dari kolom tersebut dicari

angka terkecil untuk mengurangkan angka-angka lain di kolom

tersebut.

Setelah dilakukan langkah 2 ternyata semua baris dan semua

kolom telah memiliki angka 0, sehingga proses perhitungan

cukup sampai disini karena kita telah menemukan pembagian

tugas paling optimal dengan TOTAL PROFIT :

8+8+6.5+6.5+8 = 37 juta rupiah

Nama Trainer SDM

Kampus


College

Mario Teguh 2 0 3 2 1

Setia Furqon 0 4 2 2.5 1.5

Andrie Wongso 1.5 0 0.5 0 3

Jaya Suprana 0 2 0 2 1

Hermawan Kertajaya 3.5 2.5 2.5 0.5 0


2. (Rani)


3. (Shima)

4. (Nabila)


Kesimpulan:

Jadi untuk meminimalkan biaya yang dikeluarkan PT Surya

Kencana, maka penugasan yang optimal adalah grup A

mengerjakan proyek I, grup B mengerjakan proyek III, grup

mengerjakan proyek IV, dan grup D mengerjakan proyek II.

Total biaya minimum yang dikeluarkan perusahaan sebesar

$75.000


5. (Sabil)


BAB VIII

TEORI ANTRIAN

1. (Sabil)

𝝀 =15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑗𝑎𝑚⁄ =1

4𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡⁄

𝜇 = 360 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔⁄ = 3 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔⁄ =1

3𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡⁄

a. 𝐿𝑠 =𝜆

𝜇−𝜆=

14⁄

1

3−

1

4

= 3

b. 𝐿𝑞 =𝜆2

𝜇(𝜇−𝜆)=

1

4

2

13⁄ (1

3⁄ −14⁄ )

= 94⁄ = 2,25

c. 𝑊𝑠 =𝐿𝑠

𝜆=

31

4⁄= 12 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

d. 𝑊𝑞 =𝐿𝑞

𝜆=

94⁄

14⁄

= 9 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

e. 𝑝5 = (𝜆

𝜇)

5+1

=0,1779

2. (Rani)


3. (Haris)

Kunci : Komparasikan total biaya per jam (total biaya tunggu

per jam + biaya gaji teller per jam) antara teller lama dan teller

baru yang lebih terampil.

𝞴 = 𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒈/𝒋𝒂𝒎

𝜇1 = 30 𝑜𝑟𝑔/𝑗𝑎𝑚

Biaya penjaga 1 = 600/jam

Biaya Tunggu tiap pengantri =

3000 / jam

𝞴 = 𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒈/𝒋𝒂𝒎

𝜇2 = 40 𝑜𝑟𝑔/𝑗𝑎𝑚

Biaya penjaga 2 = 1200/jam

Biaya Tunggu tiap pengantri =

3000 / jam

𝐿𝑞1 = 𝞴𝟐

𝜇 (𝜇 − 𝞴)=

400

300

= 1,3333

𝐿𝑞1 = 𝞴𝟐

𝜇 (𝜇 − 𝞴)=

400

800

= 0,5

Biaya Penjaga = Rp 600/jam

Biaya Tunggu = (1,3333 x

3000) = Rp 4000/jam

Total Biaya = Rp 4600 / jam

Biaya Penjaga = Rp 1200/jam

Biaya Tunggu = (0,5 x 3000) =

Rp 1500/jam

Total Biaya = Rp 2700 / jam

KESIMPULAN :

Jadi, Kepala Cabang sebaiknya mengganti teller lama dengan

teller baru yang lebih terampil, karena walaupun gajinya lebih

mahal tetapi dapat menghemat biaya tunggu sehingga total biaya

per jam yang harus dikeluarkan menjadi lebih kecil.


4. (Nabila)

5. (Shima)

a. µ = 15minutes/animal = 4 animal/hour

Ls = 2 / (4-2) = 1 animal

b. Lq = 22/ 4(4-2) = 0,5 animal

c. Ws = 1 / (4-2) = 0,5 hour = 30 minutes

d. Wq = 2 / 4(4-2) = 0,25 hour = 15 minutes

e. P0= 1 – (2/4) = 0,5 = 50%


BAB IX

DYNAMIC PROGRAMMING

1. (Shima)

Stage 1

Lokasi Rute (D1) Jarak (R1)

5 5-7 26

6 6-7 22

Stage 2

Lokasi Rute

(D2)

Jarak

(R2)

Lokasi

Skrng

D1 R1 Total

(R1+R2)

2 2-5 10 5 2-

5-7

26 36*

4 4-5 30 5 4-

5-7

26 56

4 4-6 21 6 4-

6-7

22 43*

3 3-6 18 6 3-

6-7

22 40*


Stage 3

So, the shortest route is 1-2-5-7 with 50 km only.

2. (Sabil)

Tahap 1 – Sepatu

Berat item : 2 kg

Keuntungan : Rp 80.000

Tahap I (S1)

Berat yang

tersedia

Keputusan jumlah

item (D1) Berat Total (W1) Profit (Rp.000) (R1)

7 3 6 240

6 3 6 240

5 2 4 160

4 2 4 160

3 1 2 80

2 1 2 80

1 - - -

0 - - -


Tahap 2 – Denim Jeans

Berat item : 4 kg


Tahap 2

(S2) Berat

yang

tersedia

Keput

usan

Jumla

h Item

(D2)

Total

Berat

Item

(W2)

Profit

(Rp.000)

(R2)

Tahap

1 (S1)

Berat

sisa

D1

terb

aik

R1

terb

aik

Total

Profit

(R1+R2)

7 1 4 150 3 1 80 230

0 0 0 7 3 240 240*

6 1 4 150 2 1 80 230

0 0 0 6 3 240 240*

5 1 4 150 1 0 0 150

0 0 0 5 2 160 160*

4 1 4 150 0 0 0 150

0 0 0 4 2 160 160*

3 0 0 0 3 1 80 80*

2 0 0 0 2 1 80 80*

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


Tahap 3 – Sweater

Berat Item : 1 kg


Tahap

3 (S3)

Berat

yang

tersedia

Keputu

san

Jumlah

Item

(D3)

Total

Berat

Item

(W3)

Profit

(Rp.000

) (R3)

Taha

p 2

(S2)

Sisa

Berat

D2

terb

aik

R1+

R2

Ter

baik

Total Profit

(R1+R2+R3)

7

7 7 210 0 0 0 210

6 6 180 1 0 0 180

5 5 150 2 1 80 230

4 4 120 3 1 80 200

3 3 90 4 2 160 250

2 2 60 5 2 160 220

1 1 30 6 3 240 270*

0 0 0 7 3 240 240

Kesimpulan :

Jenis

Barang

Keputusan Jumlah

Item

Total Berat Keuntungan

Sepatu 3 pasang sepatu 6 kg Rp 240.000

Denim

Jeans

0 buah - -

Sweater 1 buah 1 kg Rp 30.000

Jumlah Total 7 kg Rp 270.000


Jadi sebaiknya Morgan Euy membeli 3 pasang sepatu dan 1

buah sweater dan tidak membeli Denim Jeans, dengan begitu

akan menghasilkan keuntungan Rp 270.000,00.

3. (Rani)

Tahap 1 (Durian, 6 kg, Rp 13.000/kg)

Tersedia

dalam Kg (S1) Item (D1) Berat (W1) Profit

15 2 12 156000

14 2 12 156000

13 2 12 156000

12 2 12 156000

11 1 6 78000

10 1 6 78000

9 1 6 78000

8 1 6 78000

7 1 6 78000

6 1 6 78000

5 sampai 0 0 0 0


Tahap 2 (Pir, 4 kg, Rp 11.500/kg)

Tersedia

dalam Kg

(S2)

Item

(D2)

Berat

(W2)

Profit

(R2)

Berat

Sisa

D1

terbaik

R1

terbaik R1 + R2

15 3 12 138000 3 0 0 13800000

2 8 92000 7 1 7800000 17000000

1 4 46000 11 1 7800000 12400000

0 0 0 15 2 15600000 15600000

14 3 12 138000 2 0 0 13800000

2 8 92000 6 1 7800000 17000000

1 4 46000 10 1 7800000 12400000

0 0 0 14 2 15600000 15600000

13 3 12 138000 1 0 0 13800000

2 8 92000 5 0 0 9200000

1 4 46000 9 1 7800000 12400000

0 0 0 13 2 15600000 15600000

12 3 12 138000 0 0 0 13800000

2 8 92000 4 0 0 9200000

1 4 46000 8 1 7800000 12400000

0 0 0 12 2 15600000 15600000

11 2 8 92000 3 0 0 9200000

1 4 46000 7 1 7800000 12400000

0 0 0 11 1 7800000 7800000

10 2 8 92000 2 0 0 9200000

1 4 46000 6 1 7800000 12400000

0 0 0 10 1 7800000 7800000

9 2 8 92000 1 0 0 9200000

1 4 46000 5 0 0 4600000

0 0 0 9 1 7800000 7800000


8 2 8 92000 0 0 0 9200000

1 4 46000 4 0 0 4600000

0 0 0 8 1 7800000 7800000

7 1 4 46000 3 0 0 4600000

0 0 0 7 1 7800000 7800000

6 1 4 46000 2 0 0 4600000

0 0 0 6 1 7800000 7800000

5 1 4 46000 1 0 0 4600000

0 0 0 5 0 0 0

4 1 4 46000 0 0 0 4600000

0 0 0 0 0 0 0

3 sampai 0 0 0 0 0 0 0 0


Tahap 3 (Nanas, 3 kg, Rp

10.000/kg)

Tersedia

dalam Kg

(S3)

Item

(D3)

Berat

(W3)

Profit

(R3)

Berat

Sisa

D2

terbaik

R2

terbaik

R1 + R2

+R3

15

5 15 150000 0 0 0 150000

4 12 120000 3 0 0 120000

3 9 90000 6 1D 78000 168000

2 6 60000 9 2P 92000 152000

1 3 30000 12 3P 138000 168000

0 0 0 15 2P +

1D 170000 170000

Jadi, sebaiknya Hortimart mengimpor 8 kg (2x4kg) buah pir dan

6 kg (1x6kg) buah durian agar mendapatkan keuntungan yang

maksimum yaitu sebesar Rp 170.000,- dengan memanfaatkan

kapasitas maksimum karung yang ada.


4. (Haris)

*Angka-angka terbesar dari setiap diagonal dimasukkan ke

kolom ‘profit’ perhitungan selanjutnya antara Afify+Anjani dan

Firdausy


5. (Nabila)

JAKARTA

Mana

ger 0 1 2 3 4 5 6 7

Mana

ger

Retur

n 28 26 18 32 20 38 44 21

BA

ND

UN

G

0 16 44 42 34 48 20 54 60 37

1 26 54 52 44 58 46 64 70

2 17 45 43 35 49 37 55

3 27 55 53 45 59 47

4 29 57 55 47 61

5 22 50 48 40

6 28 56 54

7 36 64


JAKARTA + BANDUNG

Man

ager 0 1 2 3 4 5 6 7

Mana

ger

Retu

rn 44 54 52 55 58 55 64 70

JOG

JAK

AR

TA

0 22 66 76 74 77 58 77 86 92

1 34 78 88 86 89 92 89 98

2 29 73 83 81 84 87 84

3 26 70 80 78 81 84

4 10 54 64 62 65

5 27 71 81 79

6 17 61 71

7 19 63


JAKARTA + BANDUNG + JOGJAKARTA

Manager 0 1 2 3 4 5 6 7

Manager Return 64 78 88 86 89 92 89 98

BA

LI

0 20 84 98 108 106 89 112 109 118

1 34 98 112 122 120 123 126 123

2 33 97 111 121 119 122 125

3 21 85 99 109 107 110

4 29 93 107 117 115

5 30 94 108 118

6 37 101 115

7 21 85

Kesimpulan:

Alternatif Jakarta Bandung Jogjakarta Bali Total

M R M R M R M R M R

1 3 32 1 26 1 34 2 33 7 125

kata pengantar - · pdf filepengertian program linear adalah teknis suatu matematika yang...

Documents