katarzyna weron - instytut fizykikatarzynaweron/students/fiz_mechterm/mechterm... · pluton 0.58 i/...

Dynamika punktu materialnegoKatarzyna Weron

Wykład dla Matematyki Stosowanej

Powtórka

• Kinematyczne równania ruchu Ԧ𝑟 = Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡)

• Otrzymujemy z definicji

Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡, Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

,𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡,𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

Ԧ𝑣 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡, Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡,𝑑𝑦

𝑑𝑡,𝑑𝑧

𝑑𝑡

• Skąd znamy Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎(𝑡)?

• Musimy znać warunki początkowe

Fizycy lubią pytać „Dlaczego”?

• Dlaczego satelita nie spada na Ziemię?

• Dlaczego astronauta na statku kosmicznym znajduje się w stanie nieważkości?

Siła – przyczyna ruchu czy przyśpieszenia?

• Poglądy przez Newtonem

– Stanem naturalnym ciała jest spoczynek

– Aby utrzymać ciało w ruchu ze stałą prędkością należy je jakoś napędzać

– Bez tego oddziaływania ciało po jakimś czasie się zatrzyma

– Bez dodatkowej siły ciało się zatrzyma

• Brzmi rozsądnie?

Bez dodatkowej siły ciało się zatrzyma?

• Pchnijmy krążek …

a) Na stole zatrzyma się szybko

b) Na lodzie zatrzyma się dalej

c) Na stole do cymbergaja pojedzie najdalej

UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Pierwsza zasada dynamiki NewtonaPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, (1726)

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

• Tzn. że ta zasada nie zawsze działa?

• Co to jest układ inercjalny?

• Dlaczego ta zasada nosi nazwę „prawa inercji”?

Pierwsza zasada dynamiki Newtona nie działa we wszystkich układach!


A co się dzieje na karuzeli obracającej się ze stałą v = 10 𝑘𝑚/ℎ?

Co się dzieje w samolocie lecącym ze stałą v = 800 𝑘𝑚/ℎ?

Układ Inercjalny

• Kluczowa koncepcja Newtona

• I zasada dynamiki Newtona definiuje układ inercjalny

• Pierwsza zasada dynamiki - postulat istnienia inercjalnego układu odniesienia

• Jeżeli nie jest spełniona I zasada to układ nie jest inercjalny – jakieś przykłady?

Układ Inercjalny vs. nieinercjalny

• W układzie nieinercjalnym nie są spełnione zasady Newtona!

– Siła bezwładności

– Siła odśrodkowa

– Siła Coriolisa

• Układ poruszający się ruchem jednostajnym względem układu inercjalnego też jest inercjalny!

Efekt Coriolisa

Siła i efekt Coriolisa

• Siłą pozorna, działającą na ciała, poruszające się w wirującym układzie odniesienia

• Efekt Coriolisa — odchylenie danego obiektu z jego toru ruchu (widziane w tym układzie)

• Znany od XVII wieku: ruch obrotowy Ziemi powoduje odchylenie pocisków artyleryjskich od ich torów

• Ważne zjawisko w meteorologii – odpowiedzialne za zmianę kierunków wiatrów, kierunek cyklonów

– na półkuli PN wirują odwrotnie do ruchu wskazówek zegara

– na półkuli PD — zgodnie z ruchem wskazówek zegara

W inercjalnych układach odniesienia nie ma siły odśrodkowej i bezwładności!!!

R . DOUGLAS GREGORY, CLASSICAL MECHANICSClassical_M.pdf

Równowaga

• Ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (tzn. v = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 )

F = 0, ∑𝐹𝑥 = 0,∑𝐹𝑦 = 0,…

• Przykłady:

– Wisząca lampa

– Stojący stół

– Samochód jadący prosto ze stałą prędkością

Równowaga trwała i nietrwała (stabilna i niestabilna)

równowaga stabilna(minimum)

równowaga niestabilna(maksimum)

równowaga metastabilna(minimum lokalne)

Więcej jak poznamy koncepcję energii

Co się dzieje jeśli siła nie równa się zero?

Jak przyśpieszenie zależy od siły?

Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎

Druga zasada dynamiki Newtona

Dlaczego nazywamy tą masę bezwładną?

Masa

bezwładna

A co z masą?

• Użyjmy tej samej siły do trzech różnych mas

• Im większa masa tym większej trzeba użyć siły żeby nadać jej przyśpieszenie (zmienić prędkość)

• Masa – miara bezwładności

• Masa – skalar, jednostka to kilogram [kg]

Druga zasada dynamiki Newtona


Czyli:∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦∑𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

Spełniona tylko w układach inercjalnych!

Jednostki!

• Masa – jednostka to kilogram 𝑘𝑔

• Przyśpieszenie 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑚/𝑠

𝑠=

𝑚

𝑠2

• Siła ∑ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 𝑘𝑔 ∙𝑚

𝑠2≡ 𝑁

• Jednostką siły jest Newton zdefiniowany przy pomocy jednostek podstawowych kilograma, metra i sekundy

Jakie fizyk stawia pytania?

• Dalekozasięgowa siła: 𝐹1 = 𝐹2 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2

• Z drugiej strony masa bezwładna:

Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 → 𝐹𝑦= 𝒎𝑔

• Czy masa grawitacyjna jest równa masie bezwładnej?

Source: http://www.brighthub.com

𝐹𝑦 = 𝐺𝑀𝒎

𝑟2

Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia(inercjalne definiuje I zasada dynamiki)

Jestem w układzie inercjalnym


Ԧ𝑎 = (0, 𝑎𝑦 , 0)

Jestem w układzie nieinercjalnym!

Pomocy!!!

Tu są siły nieczyste!

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.

Ԧ𝐹𝐴𝐵 = − Ԧ𝐹𝐵𝐴

Skąd się bierze opór powietrza?


Przykład: Gdzie są te siły?

Ziemia na jabłko

Stół na jabłko

Siły działające na jabłkoTu równowaga, ale nie musi być.Co wtedy?

Ziemia na jabłko

Jabłko na Ziemię

Para sił akcja-reakcja

Jabłko na stół

Para sił akcja-reakcja

Stół na jabłko

Przykład: Gimnastyczka

• Gimnastyczka o masie 𝑚𝐺 = 50𝑘𝑔 utrzymuje się trzymając dolny koniec liny przymocowanej do sufitu sali gimnastycznej. Masa liny 𝑚𝑙 → 0

– Jaką siłę (wielkość i kierunek) wywiera na nią lina?

– Jakie jest napięcie na szczycie liny?

akcja-reakcja𝑇𝐿𝐺

𝑇𝐺𝐿

𝑇𝑆𝐿

sytuacja diagram dla gimnastyczki diagram dla liny

sufit na linęlina na gimnastyczkę

ciężargimnastyczki

gimnastyczka na linę

Przykład: Gimnastyczka

• Siły działające na gimnastyczkę (w równowadze)

𝐹𝑦 = TLG −WG = 0 → TLG = WG = mGg = 490N

• Siły działające na linę (w równowadze)

𝐹𝑦 = TSL − 𝑇𝐺𝐿 = 0 → TSL = 𝑇𝐺𝐿 = TLG = 490N

III zasada Newtona

akcja-reakcja𝑇𝐿𝐺

𝑇𝐺𝐿

𝑇𝑆𝐿

sytuacja diagram dla gimnastyczki diagram dla liny

sufit na linęlina na gimnastyczkę

ciężargimnastyczki

gimnastyczka na linę

Przykład: lina ma masę

𝑊𝐺 = 𝑚𝐺𝑔Ciężar gimnastyczki

𝑇𝐿𝐺Lina na gimnastyczkę

𝑦

𝑊𝐿 = 𝑚𝐿𝑔Ciężar liny

𝑇𝑆𝐿Sufit na linę

𝑇𝐺𝐿Gimnastyczna na linę

Diagram sił dla gimnastyczki

Diagram sił dla liny przy suficie

• Jakie napięcie liny przy suficie?• Jakie napięcie liny w połowie długości?

Zasady Dynamiki Newtona – skrót (inercjalne układy odniesienia)

1. ∑F = 0 → a = 0 (definicja układu inercjalnego)

2. ∑F = ma

3. Ԧ𝐹𝐴𝐵 = − Ԧ𝐹𝐵𝐴

• Spadającym jabłkiem rządzą te same prawa co ruchem planet!

• Rachunek różniczkowy i całkowy

• Wyznaczamy równania ruchu© 2013 Marcin Weron

Sztuka rozwiązywania zadań

• Pierwsze i drugie prawo Newtona odnoszą się do konkretnego obiektu – ustal, który badasz

• Tylko siły działające na ten obiekt mają znaczenie

• Bardzo wygodny jest tzw. diagram sił (free-body diagram) – narysuj wyłącznie siły działające na obiekt

• Obiekt zaznacz kropką i wszystkie siły powinny być rysowane z tej kropki

• Wybierz mądrze układ współrzędnych

Typowe błędy przy rysowaniu diagramów!


DOBRY ZŁY

Pola sił i siły kontaktowe

• Pola sił (siły działające na odległość)

– siła grawitacji, siła elektromagnetyczna

• Siły kontaktowe

– siła nacisku

– siła naprężenia

– siła sprężystości

– …

– siła tarcia

– siła oporu

Jakiej wagi lepiej użyć?


Masa i waga

• W „życiu codziennym” często używane zamiennie

• Waga – siła grawitacyjna działająca na ciało: 𝐹 =𝑚𝑎, 𝑎 = 𝑔 ≈ 9.81𝑚/𝑠2

Obiekt Przyśpieszenie grawitacyjne

Słońce 273.95 𝑚/𝑠2

Mars 3.69 𝑚/𝑠2

Jowisz 20.87 𝑚/𝑠2

Pluton 0.58 𝑚/𝑠2

Ziemia 9.805665 𝑚/𝑠2

Księżyc 1.622 𝑚/𝑠2

Co mierzy waga łazienkowa?

• Siła normalna 𝑛

– ciało wywiera nacisk na powierzchnię, ale z III zasady …

– powierzchnia „popycha” ciało siłą skierowaną prostopadle do powierzchni

– waga sprężynowa mierzy siłę nacisku

𝐹𝑔 = 𝑚𝑔

𝐹𝑔𝑦

𝐹𝑔𝑥

𝐹𝑛 = −𝐹𝑔𝑥

Przeciążenia i nieważkość

Singapore Flyer (2008), 165 m

𝒂𝒚 = 𝒂𝒓𝒂𝒅

𝑭𝒈 = 𝒎𝒈

𝑭𝑵

𝒚

∑𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 → 𝑭𝑵 − 𝑭𝒈 = 𝒎𝒂𝒓𝒂𝒅

𝑭𝑵𝑭𝒈 = 𝒎𝒈

𝒂𝒚 = 𝒈

𝒚 Zumanjaro: Drop of Doom,New Jersey, USA, 126m

∑𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚𝒎𝒈− 𝑭𝑵 = 𝒎𝒈

𝑭𝑵 = 𝟎

Dlaczego księżyc nie spada na Ziemię?

• Dlaczego satelita nie spada na Ziemię?

• Dlaczego astronauta na statku kosmicznym znajduje się w stanie nieważkości?

Oryginalne rozumowanie Newtona

• Jeżeli wystrzelimy kulę z bardzo dużą prędkością z wysokiej góry…

• Im większą prędkość początkową ma kula, tym dalej poleci

• Od prędkości początkowej zależy również krzywizna ruchu

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/newton.html

Oryginalne rozumowanie Newtona

• Zakrzywienie łuku po jakim będzie opadać = zakrzywieniu Ziemi

• Powierzchnia planety będzie "uciekać" kuli z taką samą prędkością,z jaką kula będzie ją "gonić" czyli opadać

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/newton.html

Kula cały czas spada na Ziemię!

• Analogicznie spada satelita!

• Statek kosmiczny też spada!

• To samo dzieje się z astronautą!

• Co znaczy nieważkość?

http://www.astro.virginia.edu/class/oconnell/astr121/guide08.html

Siła oporu

• Siła jaką płyn (gaz lub ciecz) wywiera na ciało w ruchu

• Skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu ciała

– Poruszające się ciało wywiera siłę na płyn – toruje drogę

– Z III zasady Newtona płyn działa na ciało …

– małe prędkości: 𝒇 = 𝒃𝒗

– duże prędkości: 𝒇 = 𝑫𝒗𝟐

𝑫 =𝟏

𝟐𝑪𝝆𝑺

𝑆- przekrój poprzeczny

𝐶 – współczynnik aerodynamiczny (eksperyment)

𝜌 – gęstość ośrodka (powietrza)


Siła oporu aerodynamicznego

Ԧ𝑓 = −𝑓 𝑣 ො𝑣, ො𝑣 =Ԧ𝑣

| Ԧ𝑣|𝑓 𝑣 = 𝑏𝑣 + 𝐷𝑣2

związany z lepkością(tarcie płynu), proporcjonalny do:• lepkości płynu• rozmiaru liniowego

obiektu

związany z przyśpieszaniem cząstek, z którymi się zderza obiektproporcjonalny do:• gęstości ośrodka • przekroju poprzecznego obiektu

• Siła działają tylko w kierunku Y

• Na początku 𝑣𝑦 0 = 0 oraz 𝑎𝑦 0 = 𝑔

• Wraz ze wzrostem prędkości rośnie opór

• W końcu układ osiąga równowagę:

Przykład: kulka w oleju (mała prędkość)

𝐹𝑦(𝑡) = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑏(𝑡) = 𝑚𝑎𝑦(𝑡)

∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑏 = 0

𝑣𝑡 = 𝑚𝑔/𝑏


prędkość graniczna (terminal speed)

Przykład: Spadające koty

• Badania z 1987r. – dane z pogotowia weterynaryjnego w Nowym Yorku

– 132 koty, 90% kotów przeżyło

– rekordzista spadł z 32 piętra na beton

– Prędkość graniczna 97km/h a potem?

𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔

Przykład: Powietrzny skoczek

• Dla ciała ludzkiego spadającego w powietrzu w pozycji jak na zdjęciu wartość współczynnika

𝐷 ≈ 0.25𝑘𝑔

𝑚. Znajdź graniczną prędkość

skoczka o masie 50𝑘𝑔. A co jeśli masa będzie większa?

∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝐷𝑣𝑦2 = 0

𝑣𝑦 =𝑚𝑔

𝐷= 44

𝑚

𝑠≈ 160

𝑘𝑚

ℎ!


Rzut ukośny z oporem liniowym

𝐹𝑔 = (0,−𝑚𝑔, 0)

𝐹𝑜𝑦 = (0,−𝑏𝑣𝑦(𝑡1), 0)

𝐹𝑜𝑦 = (0, −𝑏𝑣𝑦(𝑡2), 0)

𝐹𝑔 = (0,−𝑚𝑔, 0)

𝑣𝑦 > 0

𝑣𝑥 > 0

Ԧ𝑣 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 0)

𝑣𝑥 = (𝑣𝑥, 0,0)𝑣𝒚 = (0, 𝑣𝑦, 0)

Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝒚 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 0)

𝑣𝑦 < 0𝑣𝑥 > 0

Ԧ𝑣Ԧ𝑣

Co liczycie z definicji? Współrzędne wektora czy wartości?

Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡, Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

,𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡,𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

Ԧ𝑣 =𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡, Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡,𝑑𝑦

𝑑𝑡,𝑑𝑧

𝑑𝑡

Rzut ukośny z oporem liniowym

• Ruch poziomy:

𝑚𝑎𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 →𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

= −𝑏

𝑚𝑣𝑥

𝑥 𝑡 = 𝑣0𝑥𝜏 1 − exp(−𝑡/𝜏) ,

Gdzie 𝜏 =𝑚

𝑏czas charakterystyczny (relaksacji)

• Ruch pionowy:

𝑚𝑎𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣𝑦 →𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= 𝑔 −

𝑏

𝑚𝑣𝑦

𝑦 𝑡 = (𝑣0𝑦+𝑣𝑔)𝜏 1 − exp(−𝑡/𝜏) − 𝑣𝑔𝑡

Tor ruchu i zasięg (jak policzyć?)

𝑥 𝑡 = 𝑣0𝑥𝜏 1 − exp(−𝑡/𝜏) ,𝑦 𝑡 = (𝑣0𝑦+𝑣𝑔)𝜏 1 − exp(−𝑡/𝜏) − 𝑣𝑔𝑡

𝑦 𝑥 =𝑣0𝑦 − 𝑣𝑔

𝑣0𝑥𝑥 + 𝑣𝑔𝜏𝑙𝑛 1 −

𝑥

𝑣0𝑥𝜏

Zasięg 𝑦 𝑡𝑅 = 0 → 𝑅 = 𝑥(𝑡𝑅)𝑣0𝑦 − 𝑣𝑔

𝑣0𝑥𝑅 + 𝑣𝑔𝜏𝑙𝑛 1 −

𝑅

𝑣0𝑥𝜏= 0

Komputer lub rozwiązanie przybliżone

𝑣0𝑦 − 𝑣𝑔

𝑣0𝑥𝑅 + 𝑣𝑔𝜏𝑙𝑛 1 −

𝑅

𝑣0𝑥𝜏= 0

ln 1 − 𝜖 = −(𝜖 +1

2𝜖2 +

1

3𝜖3 +⋯)

• Fizycy zawsze szukają czegoś małego lub dużego!

• Rozwijamy w szereg potęgowy i zaniedbujemy wyrazy wyższego rzędu

Jeśli opór nie jest duży to ten czynnik mały

Siła tarcia

• Bardzo ważna („złe i dobre” aspekty):

– Olej w silniku samochodowym minimalizuje tarcie pomiędzy ruchomymi częściami

– Bez tarcia między oponami a drogą nie mogliśmy jechać ani skręcić

– Jak odkręcałoby się żarówkę?

– Dziewczyny pewnie znają ten trik?


Co się dzieje z tarciem?


Wybrane współczynniki tarcia

powierzchnie 𝝁𝒔 𝝁𝒌

stal-stal 0.74 0.57

aluminium na stali 0.61 0.47

szkło-szkło 0.94 0.40

teflon-teflon 0.04 0.04

teflon na stali 0.04 0.04

guma na betonie (suchym) 1.0 0.8

guma na betonie (mokrym) 0.30 0.25

lód-lód 0.1 0.03

nawoskowane drewno na mokrym śniegu 0.14 0.1

nawoskowane drewno na suchym śniegu - 0.04

Tarcie kinetyczne i statyczne

• Tarcie statyczne

– działa kiedy nie ma względnego ruchu powierzchni

– próbujesz przesunąć pudło po podłodze a ono się nie rusza

– podłoga wywiera przeciwnie skierowaną siłę na pudło


𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑠𝑛

Tarcie kinetyczne i statyczne

• Trudniej poruszyć ciało niż utrzymać je w ruchu!

• Tarcie kinetyczne

– działa gdy ciało ślizga się po powierzchni

– dwie powierzchnie poruszają się względem siebie

– siła tarcia wzrasta, gdy rośnie siła normalna

– Empiryczne!

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑛

współczynnik tarcia kinetycznego


Przykład: Jazda na sankach z tarciem


• Jaki kąt, żeby sanki jechały ze stałą prędkością? Znajdź ten kąt w zależności od wagi 𝑤 i współczynnika tarcia 𝜇𝑘 .

𝐹𝑥 = 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑓𝑘 = 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜇𝑘𝑛 = 0

→ 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝜇𝑘𝑛

𝐹𝑦 = 𝑛 − 𝑤𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 0

→ 𝑛 = 𝑤𝑐𝑜𝑠(𝛼)

Równowaga!

Przykład: Jazda na sankach z tarciem


𝐹𝑥 = 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑓𝑘 = 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜇𝑘𝑛 = 0

→ 𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝜇𝑘𝑛

∑𝐹𝑦 = 𝑛 − 𝑤𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 0 → 𝑛 = 𝑤𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝑤𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝜇𝑘𝑤𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝜇𝑘 =sin(𝛼)

cos(𝛼)= 𝑡𝑔(𝛼)

Przykład: przesuwanie skrzyni (tarcie)

Chcesz przesunąć skrzynię o wadze 𝑤 = 500𝑁 po poziomej podłodze. Aby ruszyć skrzynię musisz ciągnąć z siłą 230N, ale gdy już ruszy wystarczy 200N aby utrzymać stałą prędkość. Jakie są współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego?


Diagram tuż przed ruszeniem

Diagram dla ruchu o stałej prędkości

Przykład: przesuwanie skrzyni (tarcie)przed ruszeniem

𝐹𝑥 = 𝑇 + −𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0 → 𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝑇

𝐹𝑦 = 𝑛 + −𝑤 = 0 → 𝑛 = 𝑤

𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠𝑛 → 𝜇𝑠 =𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥

𝑛=𝑇

𝑤= 0.46


Równowaga!

Przykład: przesuwanie skrzyni (tarcie)po ruszeniu stała prędkość

𝐹𝑥 = 𝑇 + (−𝑓𝑘) = 0 → 𝑓𝑘 = 𝑇

𝐹𝑦 = 𝑛 + −𝑤 = 0 → 𝑛 = 𝑤

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑛 → 𝜇𝑘 =𝑓𝑘𝑛=𝑇

𝑤= 0.40


Równowaga!

Do czytania – ten wykład

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007), Tom 1, Rozdziały 1-4

katarzyna weron - instytut fizykikatarzynaweron/students/fiz_mechterm/mechterm... · pluton 0.58 i/...

Documents