Kapita Selekta Matematika

FUNGSI INVERSDISUSUN OLEH :

KELPOMPOK 1

SUPRIYADI 4013001

ELSA OKTAVIA 4013000

FENI WELPITASARI 4013030

FIKI 4011

Fungsi InversA. Pengertian Fungsi Invers

Jika fungsi f : A → B maka inversnya adalah g : B → A. Fungsi f dan g dikatakan saling invers. Invers fungsi f berlambang ( dibaca f invers ) dan invers fungsi g berlambang (dibaca g invers ). Jadi, g = dan f = .

AB

f

g

y x

DefinisiSuatu fungsi f : A → B mempunyai funsi invers : B → A jika f

merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-satu.

contoh

Fungsi f : A → B tampak pada gambar di bawah ini. Tentukan . Apakah merupakan fungsi invers ?

Jawab:

Fungsi f adalah fungsi bijektif. Jadi, invers fungsi f adalah = {(3,1),(4,2),(7,5),(10,8)} merupakan fungsi invers.

A fB

1258

34710

B. Aturan Fungsi Invers

Jika f : A → B merupakan fungsi bijektif dengan f{(x,y)│ y = f (x), x A dan y } maka invers dari f adalah fungsi : B → A dengan = {(y.x ) │ x = (y), A dan y B}

AB

f

adalah invers dari f

x y

Contoh:

1. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f (x) = 4x – 5. Tentukan aturan untuk .

Jawab :

f(x) = 4x – 5

y= 4x – 5

x = ( y + 5 )

(y + 5 )

(x) = (x + 5 )

Jadi, untuk adalah =

Contoh:

1. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f (x) = 4x – 5. Tentukan aturan untuk .

Jawab :

f(x) = 4x – 5

y= 4x – 5

x = ( y + 5 )

(y + 5 )

(x) = (x + 5 )

Jadi, untuk adalah =

2. Fungsi h : R → R ditentukan oleh h(x) = - 2x + 4. Tentukan rumus untuk .

Apakah merupakan fungsi ?

Jawab: h(x) = - 2x + 4

y = - 2x + 4 y = (+ 3( = y – 3x– 1 = X = 1 (y) = 1 1 Jadi, 1 bukan fungsi, karena mempunyai dua nilai yaitu 1 dan 1

C. Menentukan Rumus Fungsi Invers

Misalkan f adalah sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal dan wilayah hasil . Fungsi adalah invers dari f ,jika dan hanya jika:

◦ f)(x) = x I(x) untuk x , dan

◦ )(x) = x = I(x) untuk x

Dengan demikian, untuk memeriksa apakah sebuah fungsi (misalnya fungsi g(x)) adalah invers dari fungsi f maka ditunjukkan dengan :

( g ◦ f )(x) = x = I(x) dan (f ◦ g )(x) = x = I(x)

Contoh:

Diketahui fungsi f(x) = dan fungsi g(x) = . Selidiki apakah g(x) c merupakan fungsi invers bagi f(x) =

Jawab:

( g ◦ f )(x) = g(f(x)) = g = = = x = I(x)

(f ◦ g )(x) = f(g(x)) = f = = = x = I(x)

Karena ( g ◦ f )(x) = x = I(x) dan (f ◦ g )(x) = x = I(x), maka g(x) = adalah fungsi invers dari f(x) =

Catatan : Jika g(x) adalah fungsi invers dari f(x), maka f(x) juga fungsi invers dari g(x) Istilah lain untuk fungsi invers adalah fungsi balikan. 

1. Rumus Fungsi Invers

Misalkan fungsi f adalah fungsi bijektif yang diketahui,akan ditentukan fungsi invers dari f. Anggota y adalah peta dari x ,sehingga rumu untuk fungsi f adalah:

y =f(x)

Jika adalah fungsi invers dari f, maka x adalah peta dari y sehingga rumus untuk fungsi adalah :

x=

Rumus x = diperoleh dengan cara mengubah rumus y = f(x) menjadi x sebagai fungsi y. Misalkan x sebagai fungsi y ini adalah x = = g(y). Sehingga rumus fungsi invers dari fungsi f adalah:

y =

contoh

Tentukan fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = 3x + 6

b. f(x) =

Jawab:

a. F(x) = 3x + 6

y = f(x) = 3x + 6, maka x =

x =

y = =

Jadi, fungsi invers dari f(x) = 3x + 6 adalah = .

b. f(x) =

y= f(x) = = (, maka x =

x=

y=

Jadi, fungsi invers dari f(x) = adalah y =

 

  

D. Menentukan Domain Dan Range Suatu Fungsi

Jika f adalah suatu fungsi bijektif, maka = atau = , dengan adalah domain fungsi f dan adalah range fungsi f.

Contoh :

Untuk setiap fungsi bijektif berikut, tentukan rumus , kemudian tentukan domain f ( f dan range (.

a.f(x) = 3x – 4

b.f(x) =

c.f(x) =

Jawab :

a. f(x) = 3x – 4 (x) =

Jadi, = {x| x } dan = = {y | y

b. f(x) = (x) =

Fungsi f terdefinisi bila x + 5 ⇔ x dan fungsi terdefinisi bila –x + 2 ⇔ x + 5 ⇔ x dan fungsi

terdefinisi bila –x + 2 ⇔ x Jadi, = {x| x , x } dan = {y | y , y f(x) = (x) = + 4

c. Fungsi f terdefinisi bila x – 4 dan fungsi terdefinisi untuk setiap x . Jadi, = {x | x 4, x } dan

Diketahui (x) = (x – 3).Tentukan f(x).Tunjukkan bahwa ◦ f)(x) = (f ◦

jawab

(x) = (x – 3).

(y) = (y – 3).

(y – 3).

2x = y -3

Y = 2x + 3

Jadi, f(x) = 2x + 3

◦ f)(x) = ) (f ◦

= = 2 + 3

= = x – 3 + 3

= = x

= x

Jadi, ◦ f)(x) = (f ◦

Dari contoh diatas diperoleh sifat berikut.)-1 = f(f ◦ ◦ f ) = IDari sifat f ◦ I dan I◦ f = f dan f ◦ = ◦ f = I dapat diperoleh sifat yang lain yaitu :F = f ◦ g ◦ = ◦ g ◦ f.

E. Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Grafik Fungsi Asalnya.

Jika grafik fungsi y = f(x) dan grafik fungsi y = digambar dalam satu sistem koordinat . berikut ini adalah contohnya.

Contoh:

Fungsi f : R→ R ditentukan oleh f(x) = 2x – 6. Tentukan kemudian gambarlah grafik fungsi y = f(x) dan y = dalam satu sistem koordinat.

Jawab:

F(x) = 2x – 6

y = 2x – 6

2x = y + 6

x =y + 3

y + 3

+ 3

Tampak pada gambar tersebut bahwa grafik y = f(x) = 2x – 6 dan grafik y = f -1(x) = simetris terhadap garis y = xjadi, grafik fungsi invers f -1(x) dapat digambar dengan mencerminkan grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x 

F. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

Hubungan antara A,B dan C dapat dinyatak sebagai f : x → y , g : y → z dan h : x → z , maka : z → x. Fungsi h = g ◦ f adalah fungsi komposisi, maka = (g ◦ f) -1 adalah fungsi invers dari fungsi komposisi.

Lihat pada gambar berikut , bahwa :

: y → x atau x = : z → y atau y = : z → x atau x = Karena x = (y) dan y = maka x = ◦ ..(1)Padahal x = (z) = (g ◦ f ) -1(z) ............(2)Dari (1) dan (2) dapat diperoleh : ◦ = (g ◦ f ) -1(z)Karena z sembarang maka dapat disimpulkan bahwa :(g ◦ f ) -1(x) = ◦ atau (f ◦ g ) -1(x) = (g -1 ◦

Contoh:Diketahui fungsi-fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x – 1, tentukan : a) (g ◦ f ) -1 (x)

b) (g ◦ f ) -1 (3)

a) (g ◦ f ) -1 (x)

Cara 1 Cara 2

f(x) = x + 3 → (x) = x – 3 (g ◦ f )(x)= g(f(x)

g(x) = 2x – 1 → (x) = = g(x + 3 )

(g ◦ f ) -1 (x) = ◦ = 2(x + 3) - 1

= = 2x + 5

= – 3 (g ◦ f ) -1(x) =

=

Jadi, (g ◦ f ) -1 (x) =

b) (g ◦ f ) -1 (3)

g ◦ f ) -1 (x) =

(g ◦ f ) -1 (3) =

=

= -

= -1

Jadi, diperoleh (g ◦ f ) -1 (3) = -1

 

THANK YOU