kelas x-sistem-persamaan-lienar
TRANSCRIPT
Muhammad Zainal Abidin Personal BlogSMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel
http://meetabied.wordpress.com
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN
SATU VARIABEL
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan
linear dan pertidaksamaan satu variabel.
Kompetensi Dasar :
Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem
persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua
variabel.
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sisitem persamaan linear
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
penafsirannya.
Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang
melibatkan bentuk pecahan aljabar.
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan pertidaksamaan satu variabel.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan
penafsirannya.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-
linear dua variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat,
Sistem persamaan kuadrat-kuadrat, dan merancang model
matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear,
kuadrat..
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah
menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan
adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi
yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda
menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah
mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka
atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan
pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel,
2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,
3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat
4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat
5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear,kuadrat.
BAB II PEMBELAJARAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear
1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
a1x+b1 y=c1
a2 x+b2 y=c2
x dan y adalah variabel
a1 , a2 , b1 ,b2 , c1 , c2∈ R
Cara menyelesaikannya dengan :
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
d. Metode Grafik
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
x− y=23 x−7 y=−2
1. Eliminasi
x− y=23 x−7 y=−2
x3x1
3 x−3 y=63 x−7 y=−2
4y = 8
y = 2
x− y=23 x−7 y=−2
x7x1
7 x−7 y=143 x−7 y=−2
4x = 16
x = 4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan
(2) diperoleh
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16
x = 4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
4 – y = 2
y = 4 – 2
= 2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
x− y=23 x−7 y=−2
x3x1
3 x−3 y=63 x−7 y=−2
4y = 8
y = 2
y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
x – 2 = 2
x = 4
4. Grafik
3x – 7y = -2
(4,2)
Dengan grafik dapat dilihat :
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
mampunyai anggota tak terhingga)
2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel
a1x+b1 y+c1 z=d1
a2 x+b2 y+c2 y=d2
a3 x+b3 y+c3 z=d3
x, y, z adalah variabel
a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , d1 , d2 , d3∈R
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
x+ y−z=32 x+ y+z=5x+2 y+z=7
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
Misal dimulai dengan mengeliminasi z
(1) dan (2)
x+ y−z=32 x+ y+z=5
3x + 2y = 8 ..............................(4)
(1) dan (3)
x – y = 2-2
2
2 x+ y+z=5x+2 y+z=7
x - y = -2............................(5)
(4) dan (5)
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6
5y = 14
y = 14/5
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4
+
5x = 4
x = 4/5
x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :
x + y – z = 3
4/5 + 14/5 – z = 3
18/5 – z = 3
z = 18/5 – 3
z = 3/5
Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}
Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
a. 2p + 3q = 1
3p + 4q = 1
b. -5m + 3n = 4
6m – 5n = 5
c.
1x
+1y
=5
1x−1y
=1
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
a. 7x = 21
x + 2y = 11
2x – y + z = 7
b. a + b + 2c = 3
4a + 2b + c = 13
2a + b – 2c = 19
c. x + 2y = -7
3y – z = -11
5x + 2z = -25
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Bentuk Umum :
y = px + q
y = ax2 + bx + c
p, q, a, b dan c ∈ R
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c
Diperoleh :
px + q = ax2 + bx + c
ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0
dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)
ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
Ada 3 kemungkinan :
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesian dari :
y = 2 –x
y = x2
jawab :
Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :
x2 = 2 – x D = b2 – 4ac
x2 + x – 2 = 0 D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2
x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
D>0
D=0
D<0
Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
y = x2
y = 2 - x
C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
Bentuk Umum :
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan
D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
Kemungkinan penyelesaiannya :
a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
2. Grafik
(-2,4)
(1,1)
Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem
koordinat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
y = x2
y = 8 – x2
Jawab :
Substitusikan (1) ke (2)
x2 = 8 – x2
2x2 – 8 = 0
x2 – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
x = 2 diperoleh y = 22 = 4
x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4
Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}
Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
y = x2
y = 8 - x2
(-2,4) (2,4)
0
8
a. y = x – 3
y = x2 – 4x + 3
b. y = x + 3
2y = x2 – 2x + 1
c. y – 2x – 3 = 0
y – 2x2 + 4x – 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x2 – 3x – 1
y = 3x2 + 5x + 7
b y = x2 + 1
y = 9 – x2
c. y = 2x2 – 6x
y = x2 – 2x + 6
D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
DENGAN SPL
Contoh :
Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku.
Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku
sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari
kakek. Berapa umur nenek sekarang.
Jawab :
Misal umur kakek sekarang adalah x
Umur adikku sekarang adalah y
Diperoleh persamaan :
a. x – 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50 .............. (1)
b. (x + 5)+(y + 5) = 93
x + y + 10 = 93
x + y = 83...................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x – 6y = -50
x + y = 83
- 7y = -133
y = 19
x + y = 83
x = 83 – 19
= 64
Contoh :
Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-
batas p supaya
a. Berpotongan di 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :
y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12
diperoleh :
2x2 + 5x – 12 = px – 14
2x2 + (5 – p)x + 2 = 0
D = (5 – p)2 – 4.2.2
= 25 – 10p + p2 – 16
= p2 – 10p + 9
a. Berpotongan di dua titik (D > 0)
p2 – 10p + 9 > 0
(p – 1)(p – 9) > 0
p < 1 atau p > 9
b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
p2 – 10p + 9 = 0
(p – 1)(p – 9) = 0
p = 1 atau p = 9
c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)
p2 – 10p + 9 < 0
(p - 1)(p – 9) < 0
1 < p < 9
Tugas III
1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut
2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan
(3, 23)
Tentukan nilai a, b, c
3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga
bilangan tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20
sama dengan jumlah bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga
sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4. Tentukan
bilangan-bilangan itu.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam
modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul
berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,
Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,
Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /
MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.