MATEMATIKA

MODUL 3

LIMIT FUNGSI

KELAS : XI IPS

SEMESTER : 2 (DUA)

Muhammad Zainal Abidin Personal BlogSMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

LIMIT FUNGSI

PENGANTAR :

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga. 6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui

perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui

grafik dan perhitungan.3. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu

titik.4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan

limit. 5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.6. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan

menggunakan sifat-sifat limit.

KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :

1. Pengertian Limit Fungsi2. Sifat-sifat limit fungsi3. Limit Fungsi bentuk tak tentu4. Limit Fungsi Trigonometri

II. Uraian materi dan contoh

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batasLimit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A x→aLangkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….

Subtitusi langsung. Faktorisasi. Mengalikan dengan bilangan sekawan. Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSIBerapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x → a x →a

Maka 1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x) x→a x→a

= k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x) x→a x→a x→a

= A + B

3. Lim [f(x) x g(x)] x→a

= Lim f(x) x Lim g(x) x→a x→a = A x B 4. Lim f(x) Lim f(x) x→a g(x) = x → a . = A Lim g(x) B x→a n n n5. Lim f(x). = Lim f(x) = A x→a x→a n n n6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A x→a x→a

Soal latihan:1. Nilai dari Lim 3x adalah…. x→2

a. 1b. 2c. 3d. 4

e. 6Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6 x→2Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6 x→2 x→2

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x→2

a. -2b. 2c. 4d. 6e. 8

Pembahasan: Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 x→2 3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….

x → 3a. -6b. 8c. 12d. 14e. 16

Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12 x→3 x→3

Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x x→3 x→3 x→3

= 6(3) – 2(3) = 18 – 6 = 12

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTULimit fungsi bentuk 0 0Jika f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)

Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a) x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)

Limit Fungsi Bentuk ~ ~Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut: Lim ax n + bx n-1 + cx n-2 + …+ d = R x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + sMaka:

1. R= 0 jika n<m2. R= a jika n=m p3. R= ~ jika n>m

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a. Lim √ ax +b - √ px +q = R x→~

Maka: 1. R= ~ jika a>p 2. R= 0 jika a=p 3. R= -~ jika a<p

b. . Lim √ ax2 + bx + c - √ px 2 + qx + r = R x→~ Maka: 1. R= ~ jika a>p

2. R = b-q jika a=p 2√a

3. R= -~ jika a<p

Contoh Soal 1. Nilai dari Lim x 4 – 3x 2 + 4x adalah…. x→0 2x3 – x2 - 2x

Pembahasan: Lim x 4 – 3x 2 + 4x = 0 4 – 3.0 2 + 4.0 = 0 x→0 2x3 – x2 - 2x 203 – 02 – 2.0 0Jika 0 didistribusikan menghasilkan (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi .Maka: Lim x 4 – 3x 2 + 4x = Lim x x 3 – 3x + 4 x→0 2x3 – x2 - 2x x→0 x 2x2 – x – 2 = Lim x 3 – 3x + 4 x→0 2x2 – x – 2 = 0 – 0 + 4 0 – 0 – 2 = -22. Nilai dari Lim x 2 – 4 adalah…. x→2 x2 + x - 6 Pembahasan: Lim x 2 – 4 = Lim (x – 2) ( x + 2 ) x→2 x2 + x – 6 x→2 (x – 2) ( x + 3) = Lim (x + 2) x→2 (x + 3 ) = 2 + 2 2 + 3 = 4 53. Nilai dari Lim 4x 2 + 3x - 6 adalah …. x→~ 2x2 – 8x -1Pembahasan Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim 4x 2 + 3x - 6 = 4 = 2x→~ 2x2 – 8x -1 2

4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~

Pembahasan: R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1 2√a 2√4 2.2 4

5. Nilai dari Lim (8x – 2) 2 adalah…. x→~ (4x + 1)2

Pembahasan: Lim (8x – 2) 2 .= Lim 64x 2 – 32x + 4 x→~ (4x + 1)2 x→~ 16x2 + 8x + 1 = 64 = 4 166. Nilai dari Lim x 2 – x adalah…. x→0 x2 + 2x

Pembahasan: Lim x 2 – x = Lim x ( x – 1 ) x→0 x2 + 2x x→0 x (x + 2) = Lim x – 1 x→0 x + 2 = 0 - 1 0 + 2 = -1 2

7. Nilai dari Lim 6x 3 - 4x 2 + 2x – 1 adalah…. x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2Pembahasan:Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4Jadi n < m sehingga nilai R = 0

8. Nilai dari Lim 2x 2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4Pembahasan: Lim 2x 2 + 5x – 12 x→-4 3x2 – 13x - 4 = Lim (2x – 3) (x – 4) x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim (2x – 3) x→-4 (3x + 1) = 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13

9. Nilai dari Lim 2x 2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7Pembahasan:Pangkat diatas = Pangkat dibawahMaka 2 = 1

4 2

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri

1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1 x→0 sin x x→0 x

2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1 x→0 x x→0 tan x

Akibatnya : 1. lim sin ax = 1 x→0 ax

2. lim ax = 1 x→0 sin ax

3. lim tan ax = 1 x→0 ax

4. lim ax = 1 x→0 tan ax

Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin 3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3 x→0 2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2 2

2. lim 4x = . lim 4 5x = 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5

3. lim sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim 7x

x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x 7 x→0 3x x→0 tan 7x = 3 . 1 . 1 7 = 3 7

4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x) x→0 3x2 x→0 3x2

= lim 2 sin 2 x x→0 3x2

= 2 lim sin x 2

3 x→0 x2

III. Latihan

Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar

1. Nilai dari Lim x 4 – 3x 2 + 4x adalah…. x→0 2x3 – x2 - 2x2. Nilai dari Lim x 2 – 4 adalah…. x→2 x2 + x - 6 3. Nilai dari Lim 4x 2 + 3x - 6 adalah …. x→~ 2x2 – 8x -14. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~5. Nilai dari Lim (8x – 2) 2 adalah…. x→~ (4x + 1)2

6. Nilai dari Lim x 2 – x adalah…. x→0 x2 + 2x7. Nilai dari Lim 6x 3 - 4x 2 + 2x – 1 adalah…. x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 28. Nilai dari Lim 2x 2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 49. Nilai dari Lim 2x 2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 710. lim 1 – cos x = … x→0 x tan x11. lim 4 x cot x adalah … x→0 312. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah … x→0 x

IV. . Tes Formatif

( Terlampir)

V. Daftar pustaka

Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA

XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)

Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA

semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)

Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)