kelompok 13_regresi dan korelasi
DESCRIPTION
regkolTRANSCRIPT
REGRESI DAN KORELASI
KELOMPOK 13 :
OKSA WINANTA (1404405068)
NGURAH SATYA (1404405069)
TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS UDAYANA
BAB 13
REGRESI DAN KOLERASI
Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga dapat digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabel. Jika kita memiliki dua buah variabel atau lebih maka sudah selayaknya apabila kita ingin mempelajari bagaimana variabel-variabel itu berhubungan atau dapat diramalkan.
Analisis regresi mempelajari hubungan yang diperoleh dinyatakan dalam persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel.
13.1 METODA KUADRAT TERKECIL, REGRESI
Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variabel x dan y, mula-mula kita mengumpulkan data (X,Y). Misal x menyatakan tinggi dan y menyatakan berat, maka kita memandang (X1, Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn), masing-masing pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama.
Misalkan data yang diperoleh adalah (X1, Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn). Lalu semua titik digambar pada sistem koordinat tegak lurus, hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dari diagram tersebut dapat kita ketahui apakah ada hubungan dan bila ada, apakah hubungan tersebut linier atau non-linier.
Dalam hal ini kita batasi kepada
hal yang linier saja dan untuk mendapatkan garis lurus yang paling baik penjajagannya kita
menggunakan metoda kwadrat terkecil.
Misalkan persamaan garis tersebut adalah y = a + bx. X dipandang sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel yang paling bergantung. Pada gambar 13.1.4 terlihat perbedaan d1 antara ordinat y1
Gb. 13.1.1 ada hubungan linier
Gb. 13.1.2 hubungan non-linier
Gb. 13.1.3 tidak ada hubungan
Gb. 13.1.4 garis yang paling baik penjajagannya
Y1
dan ordinat titik pada garis yang mempunyai absis yang sama dengan X1, yaitu d1 = y1 – a – bx1. Perbedaan itu disebut deviasi atau kesalahan. Sebagai ukuran mutu penjajagan, kita ambil
S = d21
+d22
+ ... + d2n
minimum, disebut garis lurus yang paling baik penjajagannya atau garis
regresi atau garis kuadrat terkecil.
Untuk meminimalkan S, bisa hitung diferensial
S = (Y1 – a – bx1)2 + (y2 – a - bx2)2 + ... + (yn – a – bxn)2
∂ S∂ a
= - 2(y1 – a – bx1) - 2(y2 – a – bx2) - ... - 2(yn – a – bxn)
∂ S∂ a
= - 2x1 (y1 -a – bx1) - 2x2 (y2 - a – bx2) - ... 2x1 (yn - a – bxn)
Dari kedua persamaan kita mendapat
(semua somasi dari 1 sampai dengan n)
Persamaan diatas disebut persamaan normal untuk garis lurus kuadrat terkecil.
Persamaan normal dengan aturan Cramer dengan cara eliminasi atau substitusi sederhana.
a=(∑ y ) ( ∑x2 )−(∑ x )(∑ y )
n ( ∑ x2 )−(∑ x2) dan
b=n (∑ xy )−(∑ x)(∑ y )
n (∑ x2 )−(∑ x2) ( semua somasi dari 1 sampai dengan n)
Dengan demikian kita memperoleh garis kuadrat terkecil (garis regresi Y pada X), juga ada garis regresi X pada Y.
Misalkan garis regresi X dan Y adalah x = c + dy. Akan mendapatkan persamaan normal
Persamaan kedua diperoleh dengan mengalikan dengan y dahulu. Akarnya ialah :
c=(∑ x ) (∑ y2 )−(∑ y )(∑ xy)
n (∑ y2)−(∑ y)2
d=n (∑ xy )−(∑ x )(∑ y)
n ( ∑ y2 )−(∑ y)2 (koefisien arah)
∑ y1 = na + b ∑ x1
∑ x1y1 = a + b ∑ x1 + b x22
∑ x = nc + d ∑ y
∑ xy = c ∑ y + d ∑ y
Garis X pada Y menunjukkan hubungan antara X dan Y, dan dapat dipakai untuk menaksir X bila nilai Y diketahui.
Dalil 13.1.1
Kedua garis regresi selalu melalui titik (x8 , ӯ).
Bukti persamaan gari X dan Y adalah y = a + bx. (1)
Persamaan normal yang pertama adalah ∑ y = na + b∑x.
Jika dibagi dengan n mendapatkan ӯ = a + bx8 . (2)
Jika (1) dikurangi dengan (2) mendapatkan y – y = b(x- x8 ), dan ini menyatakan garis itu melalui titik (x8 , ӯ).
Contoh 13.1.1 Diketahui
X 1 3 4 6 8 9 10 12Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Tabel 13.1.1
a. Gambarlah diagram pencarb. Carilah garis regresi y pada xc. Carilah garis regresi x pada yd. Gambarlah kedua garis regresi pada diagram pencare. Taksirlah y, jika x = 14f. Taksirlah x, jika y = 10
Jawab :
a. Gambar Diagram Pancar
b. N = 8Misal persamaan garis regresi y pada x adalah y = a + bx. Persamaannya adalah :8a + 53b = 4053a + 451b = 338
A =
40338
853
5345153
451
= 18040−17914
3608−2809 = 0,156
x Y X2 Xy Y2
1346891012
12445789
11916366481100144
161624406380108
14161625496481
53
40 451 338 256
B =
8538
53
4038853451
= 2704−21203608−2809
= 0,730
Garis regresi Y dan X adalah y = 0,156 + 0,730 x.c. Misalkan garis regresi x pada y adalah x= c + dy. Persamaan normal untuk ini adalah
8 c + 40 d = 5340 c + 256 d = 338
C =
53338
840
4025620
246
= 13568−13520
2048−1600 = 0,107
D =
8408
40
5333840257
= 2704−21202048−1600
= 1,303
Jadi garis regresi x pada y adalah x = 0,107 + 1.303 y.
CATATAN Kedua garis regresi melalui titik (x8 , ӯ) = 6625 ; 5000).
d. Jika x = 14, taksiran untuk y ialah 0,156 = 0,730 x 14 = 10,376.e. Jika y = 10, taksiran untuk x ialah 0,107 + 1,303 x 10 = 13,137.
A dan d :
Gambar 13.1.5 Diagram dan ke dua garis regresi
Contoh 13.1.2 Tabel 13.1.3 menunjukkan hasil ujian 10 mahasiswa dalam Matematika dan Statistika.
a. Gambarlah diagram pencar.b. Carilah garis regresi y pada x.c. Carilah garis regresi x pada y.d. Gambarlah kedua garis regresi ini pada diagram pencar.
e. Bila seorang mahasiswa mendapat nilai 55 untuk Matematika, taksirlah nilai statistiknya.f. Bila seorang mahasiswa mendapat nilai 40 untuk Statistika, taksirlah nilai Matematikanya.
MatematikaX
70
50 93 65 60 75 68
40 65 80
StatistikaY
81
55 86 72 55 82 80
35 65 70
Tabel 13.1.3
Jawab :
a. untuk memudahkan hitungan kita adakan transformasi linier, yaitu suatu translasi
X =60 + x’
Y = 60 + y’
X’ Y’ X’2 X’Y’ Y’2
10-103350158
-20520
21-52612-5220
-25510
1001001089250
2256440025400
21050858650
3300
50025200
44125676144254840
62525600
66 61 2428 2233 2545 Tabel 13.1.4
b. x8 ’= 6,6, ӯ’ =6,1. Untuk garis regresi y dan X, persamaan normal adalah 10 a + 66 b = 6166 a + 2428 b = 2233
B =
10661066
61223366
2428
= 0,918
Jadi garis regresi Y padaX ialah y’ - ӯ’ = b(x’ - x8 ’).(Dalil 13.1.1)Y’ – 6,1 = 0,918 (x’ -6,6).Dengan transformasi inver x’ = x – 60 dan y’ = y – 60, kita mendapat y – 60 – 6,1 = 0,918(x – 60 – 6,6).Atau y = 0,918x + 4,961.
c. Untuk garis regresi X pada Y, persamaan normal ialah10 c + 61 d =6661 c + 2545 d = 2233
Sehingga d =
10611061
66223361
2545
= 0,842
Jadi garis regresi X pada Y ialahx’ - x8 ’ = d(y’ - ӯ’);x’ – 6,6 = 0,842(y’ – 6,1).Dengan translasi invers kita mendapatX – 60 – 6,6 = 0,842(y – 60 – 6,1), atau x = 0,842 y + 10,945.
A dan d :
Gambar 13.1.6
e. Jika x = 55, maka y =0,918 x 55 + 0,042 = 50,532 ~ 50,5
f. Jika y = 40, maka x = 0,823 x 40 + 1,580 = 34,384 ~ 34,4.
13.2 KORELASI
Korelasi merupakan teknik statistik yang digunakan untuk meguji ukuran mengenai
kesempurnaan, bahwa satu garis lurus menyatakan hubungan antara dua variabel acak.
Korelasi juga dapat didefinisikan sebagai angka yang menunjukkan arah dan kuatnya
hubungan antar variabel atau lebih. Artinya dinyatakan dalam bentuk hubungan positif atau
negatif, sedangkan kuatnya hubungan dinyatakan dalam besarnya koefisien korelasi.
Jika pada diagram pencar semua titik terletak pada garis lurus, dapat dikatakan ada kolerasi
sempurna antara X dan Y. Jika pada diagram pencar semua titik terletak dekat satu garis
lurus, korelasi ialah linier. Dalam hal ini ada dua hal, yaitu:
Pada gambar korelasi positif, hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan positif, bila nilai
satu variabel ditingkatkan, maka akan meningkatkan variabel yang lain, dan sebaliknya bila
nilai satu variabel diturunkan maka akan menurunkan variabel yang lain.
Sedangkan pada gambar korelasi negatif, hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan
negatif, bila nilai satu variabel dinaikkan maka akan menurunkan nilai variabel yang lain, dan
juga sebaliknya bila nilai satu variabel diturunkan, maka akan menaikkan nilai variabel yang
lain.
Dalam statitiska analogi Cov (X,Y) adalah kovariansi sampel, yaitu:
Sx = 1n∑
1
n
(x1− x̄)❑(y1− ӯ ¿
Dan analogi variansi ơ2x
dan ơ2y
ialah variansi sampel, yaitu:
Sehingga analogi ρ (X,Y) ialah koefisien korelasi sampel:
DEFINISI r (x,y) =
Jika r (x,y) = +-1, kita katakan korelasi antara X dan Y adalah sempurna dan pada gambar
pencar semua titik terletak pada suatu garis lurus. Jika r = `1 condong garis lurus ialah positif
dan jika r = -1, condong garis lurus ialah negatif.
Contoh soal
X 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67Y 68 64 69 65 67 66 68 65 70 67
Cari koefisien korelansinya!
n (∑XY) – (∑X) (∑Y)r(KK) = ___________________________________________
√(n (∑X2) – (∑X)2) (n (∑Y2) – (∑Y)2) 10 (44.182) – (660) (669)
= ________________________________________________________
√ (10 (43.618) – (660)2) (10 (44.789) – (669)2)
441.820 – 441.540 = _____________________________________________________
√ (436.180 – 435.600) (447.890 – 447.561)
280 = _________________
√ (580) (329)
280 = ____________
√ 190.820
280 = ___________
436,8295
= 0,641
Artinya korelasi positif.,rendah