kestabilan routh
DESCRIPTION
Kestabilan RouthTRANSCRIPT
-
Teknik Kendali
ANALISIS KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear.
Pada kondisi apa sistem menjadi tak stabil, dan bagaimana cara menstabilkannya.
Sistem stabil bila pole-pole loop tertutup terletak disebelah kiri bidang-s
Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa
perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s)
Fungsi alih loop tertutup :
KRITERIA KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kriteria ini menunjukkan adakah akar-akar tak stabil persamaan
polinom orde n (n=berhingga) tanpa perlu menyelesaikannya.
Untuk sistem kendali, ketabilan mutlak langsung dapat diketahui dari koefisien-koefisien persamaan karaktristik.
PROSEDUR: 1. Tulis persamaan orde-n dalam bentuk sbb:
Dengan koefisien-koefisien : besaran nyata dan an 0 (akar di titik asal sudah dihilangkan)
2. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya
koefisien positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-
akar imajiner atau memiliki bagian real positif (sistem tak stabil).
Kondisi perlu (tetapi belum cukup) untuk stabil adalah semua
koefisien persamaan polinom positif dan lengkap.
-
Teknik Kendali
3. Bila semua koefisien positif, buat tabel Routh sbb:
4. Kriteria kestabilan Routh : banyaknya akar tak stabil = banyaknya
perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh.
5. Syarat perlu dan cukup untuk stabil :
Semua koefisien persamaan karakteristik positif, dan
Semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif.
-
Teknik Kendali
CONTOH 1:
-
Teknik Kendali
KASUS KHUSUS (1) Bila ada suku pada kolom pertama bernilai 0 dengan suku-suku
lain tidak 0 atau tak ada lagi suku tersisa, maka suku 0 diganti
dengan bilangan positif sangat kecil , dan baris berikutnya dihitung.
CONTOH:
Mengingat koefisien diatas dan dibawah 0 sama, maka hal ini
menunjukkan adanya sepasang akar yang terletak disumbu
imajiner s = j. Bila koefisien diatas dan dibawah 0 berbeda, maka hal ini
menunjukkan ada satu perubahan tanda.
Terlihat ada 2 akar tak stabil di s = 1
-
Teknik Kendali
KASUS KHUSUS (2) Bila ada baris di tabel Routh bernilai 0 semua, maka hal ini
menunjukkan adanya pasangan akar yang bermagnitude sama
tetapi berbeda tanda (akar real), atau akar imajiner sekawan.
Contoh:
-
Teknik Kendali
APLIKASI KRITERIA ROUTH PADA
ANALISIS KESTABILAN Kriteria Routh tak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki
kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil.
Tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil.
CONTOH:
-
Teknik Kendali
PENALAAN PENGATURAN
Menala
Mengatur parameter pengendali agar diperoleh kualitas pengendalian
yang baik.
Kualitas pengendalian ditinjau berdasar tanggapan (c) terhadap
perubahan r atau perubahan u.
Pola Tanggapan
1. Teredam kurang (under damped)
2. Teredam lebih (over damped)
3. Teredam kritis (Critically damped)
Ada perubahan u
Over damped
- deviasi mendekati setpoint secara halus / tanpa osilasi - durasi tidak minimum
Under damped
- diviasi maksimum - tanggapan siklis/osilatoris - terjadi lonjakan - cepat (durasi minimum)
1
2 3
r lama
r baru
1
3
2
r
c
c
-
Teknik Kendali
Critically damped
- deviasi minimum - tanpa lonjakan
Spesifikasi tanggapan transien :
tD : waktu mati (dead time) tr : waktu bangkit (rise time) td : waktu tunda (delay time) ts : waktu endap (setting time) Mp : lonjakan maksimum (max. overshoot) tp : waktu puncak
Metode Penalaan
Coba-coba agar memenuhi kriteria :
1. Stabil 2. Quarter Amplitude Response
(tanggapan amplitudo)
1
0,5
0,1
0,9
Mp
td
tS tp
tD
tr
batas toleransi :
a1
a2=1/4 a1 a3=1/4 a2
r
-
Teknik Kendali
Metode tanggapan transien /reaksi proses
- Oleh Ziegler dan Nichols Stabil
- dimodifikasi oleh Cohen dan Coon Quarter Amplitude
Langkah
1. Kontroler ke manual 2. Ubah m1 sebesar m1 % (mV %) 3. Rekam tanggapan C (PV) %
4. Catat : L = lag time (menit)
T = proses reaction time (menit)
5. Temukan :
menitperT
PN V %
(N = pesat reaksi / reaction rate)
6. Temukan :
VP
NLR
; (R = lag ratio)
Kontroler Unsur
Kendali
akhir
Proses
manual (kontroler off)
menjadi open loop
Saat m1 diubah
Titik infleksi
L T
PV (%)
Garis singgung
Analisa grafis
-
Teknik Kendali
7. Atur parameter controller sbb :
Reaksi proses Table 1
Kp Ti TD
P
VM
NL
- -
11
3V
V
M NL
NL P
- -
PI
0,9 VM
NL
3,33 L -
21 40,9
12 2VM b b acR
NL a
LR
R.
209
330
-
PID
1,2 VM
NL
2L 0,5 L
1.334
VM R
NL
L
R
R.
813
632
RL
211
4
Contoh soal :
Suatu proses yang diset pada 9 % perubahan variable pengendali PID
mempunyai grafik reaksi proses sebagai berikut :
Dengan menggambar titik infleksi pada grafik, dapat diperoleh L=2,4 menit, waktu reaksi proses 4,8 menit.
kriteria
stabil
kriteria
amplitudo
erro
r (%
)
Garis singgung
reaksi proses
1
1
2
2 3
3
4
4 5 6 7 8 t (min)
(min)5
-
Teknik Kendali
Maka laju reaksi (N) = menit
menitT
P %8125,0
.8,4
%9,3
Setting kendali diperoleh dari rumus :
54,54,28125,0
%92,12,1
NL
MKP
Atau suatu band proportional
%1854,5
100100
PK
menitLTI 8,44,222
menitLTD 2,14,25,05,0
Carilah setting 3 mode untuk tanggapan amplitude untuk soal di atas
Dengan menerapkan
5,09,3
4,28125,0
VP
NLR
433,1
R
NL
MKP
72.64
5,033,1
4,28125,0
9
menitR
RLTI 94,4
)5,0(813
)5,0(6324,2
813
632
menitR
LTD 8,0)5,0(211
44,2
211
4
Metode Ziengler Nichols (Ultimate Cycle Methode)
Langkah :
- kurangi aksi integral mulai menambah dan derivatif sampai minimum
- secara gradual mulai menambah gain proporsional, dan menambah sedikit gangguan pada proses.
-
Teknik Kendali
- Catat nilai gain kritis (Kc), saat mulai menghasilkan siklus (osilasi disekitar setpoint)
- Catat periode kritis (Tc) pada osilasi dalam menit.
Setting pengendali Table 2
Kp TI TD
P 0,5 Kc - -
< Kc - -
PI 0,45 Kc
2,1CT -
Coba-coba Tc -
PID
0,6 Kc 2
CT 8
CT
Coba-coba 5,1
CT 6
CT
Suatu proses mulai berosilasi pada band proporsional 30 % dengan
periode 11,5 menit. Tentukan nominal seting pengendali tiga mode
dengan metode Ziengler Nichols
30 % PB berarti 33,330
100100
PBKC
Dari ketentuan seting : 233,36,06,0 CP KK menit
75,52
5,11
2 CI
TT menit
44,18
5,11
8 CD
TT menit
PENALAAN UNTUK PENGENDALI PID
kriteria
siklis/osilatory
kriteria quarter
amplitude
-
Teknik Kendali
o Bila pemodelan matematis plant sulit dilakukan, penalaan PID (penentuan Kp, Ti dan Td) dilakukan secara eksperimental.
o Aturan Ziegler & Nichols berdasarkan pada langkah tanggapan eksperimental atau berdasarkan pada nilai Kp yang dihasilkan
dalam kestabilan marginal bila hanya aksi kendali proporsional
yang digunakan.
o Ziegler - Nichols mengusulkan aturan untuk menentukan nilai Kp, Ti dan Td berdasarkan pada karakteristik tanggapan peralihan dari
plant yang diberikan.
o Ada dua metoda penalaan Ziegler - Nichols yang bertujuan mencapai overshoot = 25%
METODA PERTAMA ZIEGLER NICHOLS o Jika plant mengandung integrator atau pole-pole kompleks
sekawan dominan, maka kurva tanggapan undak satuan terlihat
seperti kurva berbentuk S.
o Jika tanggapan tidak berbentuk kurva S, metoda ini tidak dapat diterapkan.
o Fungsi alih dapat didekati dengan sistem orde pertama:
-
Teknik Kendali
1)(
)(
Ts
LseKsR
sC
o Ziegler - Nichols menentukan nilai Kp, Ti, dan Td :
Pengendali PID yang ditala dengan metoda pertama ini memberikan
METODA KEDUA ZIEGLER - NICHOLS Anggap :Ti = dan Td = 0.
Dengan hanya menggunakan aksi kendali proporsional, kenaikan Kp dari
0 ke suatu nilai kritis Kcr akan menghasilkan tanggapan yang berosilasi.
-
Teknik Kendali
Secara umum, untuk plant dinamis tanpa integrator, dapat diterapkan
aturan penalaan Ziegler - Nichols.
Bila plant mengandung integrator, dalam beberapa kasus, aturan ini tidak dapat diterapkan.
Contoh 9-1: Suatu sistem kendali umpanbalik satuan:
-
Teknik Kendali
51
3)2()(
sss
sssG
Plant mengandung integrator, maka metoda pertama tidak dapat
diterapkan.
Jika metoda kedua diterapkan, maka sistem lup tertutup dengan suatu
pengendali proporsional tidak akan berosilasi terus-menerus
berapapun nilai Kp yang diambil.
Persamaan karakteristik:
Sistem stabil untuk semua nilai Kp positif. Jadi sistem tidak berosilasi :
nilai penguatan kritis Kcr tidak ada. Dengan demikian metoda kedua tidak
dapat diterapkan.
Contoh 9-2: Suatu sistem dengan pengendali PID sbb:
Gunakan aturan penalaan Ziegler - Nichols untuk menentukan nilai parameter
Kp, Ti, dan Td agar diperoleh tanggapan step dengan overshoot sekitar 25%.
Solusi:
Karena plant mengandung integrator, gunakan metoda kedua (Ti = dan
-
Teknik Kendali
Td = 0):
Menentukan nilai Kcr :
-
Teknik Kendali
Diperoleh Mp = 62%. Untuk memperkecil Mp , lakukan fine adjustment
parameter-parameter pengendali.
maka kecepatan tanggapan naik, overshoot naik menjadi sekitar 28%.
-
Teknik Kendali
-
Teknik Kendali
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
(ROOT LOCUS)
Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat
ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).
Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah.
Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.
Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan.
Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.
Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.
(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)
W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus.
Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.
Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop
terbuka.
Persamaan karakteristik
0)().(1 sHsG
Andaikan 0)(1)().(11
sKGsHsG
1)(1
sKG
Memenuhi kriteria
1. magnitude : 1)(1
sKG
2. sudut :
ganjilsKG )(
1
keadaan ekstrim :
K G
1 H
-
Teknik Kendali
0K akar karakteristik = kutub )(1
sG
K akar karakteristik = nol )(1
sG
Ilustrasi
Persamaan karakteristik :
0)1(
1
ss
K
02 Kss
Ks 4121
21
1
Ks 4121
21
2
Aturan Penggambaran TKA
(persamaan karakteristik : 1+KG(s) = 0 )
1. TKA berangkat (K = 0) dari kutub-kutub G(s) dan berakhir
K di nol-nol (zero ) G(s)
2. cacah atau jumlah cabang TKA = orde tertinggi G(s)
3. TKA selalu simetri terhadap sumbu real 4. Sudut asimptot cabang yang berasal dari (menuju ke) adalah
mn
kk
)12( ; 1,,1,0 mnk
dimana mn : selisih orde penyebut dan pembilang G(s)
n : cacah kutub
m : cacah zero
s
K
1s
1
C
c
r
c +
K
K
Im
Re 0S
1 1
2S
41K
-
Teknik Kendali
5. Titik potong asimptot dengan sumbu real (centroid) = c
mn
berhingganolberhinggakutubc
6. TKA di sumbu real berada pada ruas yang : cacah kutub ditambah cacah nol G(s) disebelah kanannya adalah ganjil.
7. Sudut berangkat dari suatu kutub G(s) (=b
) atau sudut datang
ke suatu nol G(s)
d
ganjilsG )(
bpppzsG
3211)(
ganjil
32121)(
pppzzdsG
ganjil
Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-
vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb).
-
Teknik Kendali
Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-
vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).
8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner ditemukan memakai uji Routh.
9. Titik pisah (breakaway point) atau titik pelana (saddle point) =
b , memenuhi
0
bsds
dK
dengan
)(
1
sGK
berarti 0)(0 sGds
d
ds
dK
secara praktis dengan cara coba-coba.
CONTOH :
Persamaan karakteristik :
0
2265
)3(1)(1
2
sssss
sKsKG
1. Nilai kutub (pole) dan zero K = 0 s = 0, -5, -6, -1+j, -1-j
K = s = -3, , , ,
2. Jumlah cabang TKA = 5 (orde tertinggi G(s))
3. TKA simetris dengan sumbu real
-
Teknik Kendali
4. Sudut asimptot
47,
45,
43,
4151212
kmn
kk
5. Titik potong asimptot dengan sumbu real
5,2
15311650
jjc
6. Cabang TKA di sumbu real : s = 0 s = -3 ; s = -5 s = -6
7. Sudut berangkat dari s = -1 + j
1801653 ganjilb
jsssss
8,4377,43
180903,11036,14135565,26
b
b
-6 -5 -3 -2 -1 -4
4
1
4
3
4
5
4
7
c X X X
-6 -5 -3 -2 -1 -4 X X X
X
X
j
j
j
-j
-
Teknik Kendali
8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner Memakai pertolongan uji Routh atas :
03)60(825413 2345 KsKssss
Tabel Routh dengan penyederhanaan
5
4
3
2
1 2
0
: 1 54 60
: 13 82 3
: 62 78
: 4070 13 186
: 652 24420
: 3
s K
s K
s K
s K K
s K K
s K
0 0 0s K
1: 24420 24420 0 0s s s
5,355,6870244206522 atauKKK
66035,3608:
0:2
1
s
s
j1,35s 066035,3608 2s
Dari analisa Tabel Routh juga didapatkan bahwa sistem stabil
untuk 5,350 K
-6 -5 -3 -2 -1 -4
4
1
4
3
4
5
4
7
c X X X
j
X
X
j1,35
-j1,35
-
Teknik Kendali
9. Break-away point : b
0
3
226)5( 2
s
sssss
ds
d
53,5
468,0656,0
468,0656,0
024,133,3
024,133,3
s
js
js
js
js
-6 -5 -3 -2 -1 -4
4
1
4
3
4
5
4
7
c X X X
j
X
X
j1,35
-j1,35
-5,53
break
away
-2,5
-
Teknik Kendali
Penambahan Kutub dan Nol
Penambahan kutub dan nol akan mendorong TKA ke kanan
Penambahan nol akan menarik TKA ke kiri
X X X X X
X X