Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS

III. Előadás

KAMATLÁBAK LEJÁRATI SZERKEZETE

Elektronikus kereskedelem

Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

Tartalom

Spot kamatláb

Forward kamatláb

Kvalitatív meggondolások

A spot kamatláb előrejelzése

Short kamatlábak

A jelenérték rekurzív meghatározása

Változó kamatozású kötvények

Átlagidő

Immunizáció

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

A HOZAM GÖRBE (YIELD CURVE)

Tipikus hozamok: hosszú kötvények vs. rövid kötvények

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

KAMATLÁBAK LEJÁRATI SZERKEZETE

Fókuszban: a kamat és a lejárati idő összefüggése

Prompt, spot kamatláb (spot rates):

a jelen 0 időpont és a t időpont közötti éves kamat: st

Példa (kamat és hozam): t = 2

a kétéves hozam:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

ANGOL TERMINOLÓGIA

kamatlábak lejárati szerkezete the term structure of interest rates

hosszú kötvények long bonds

rövid kötvények short bonds

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS

A hozam, mint a kamat függvénye: (javítás: sx helyett st irandó )

t éves hozam :

t éves hozam, m periódus/ év :

folytonosan:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

DISZKONT TÉNYEZŐ (DISCOUNT FACTOR)

Diszkont tényező (dk): a jövőbeli k időpontban kapott $1 készpénz ára most

k évre:

k évre, m periódus/év:

folytonosan, t évre:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

JELENÉRTÉK (PRESENT VALUE) I.

Pénzáramlás:

Jelenérték:

Javitás: utolsó tagban d1 x1 helyett dn xn irandó

dk a k-ban kapott pénz jelenlegi ára

Példa: egy $ 100 névértékű 8%-os kötvény10 év futamidőreévi egyszeri (!) kamatjóváírással a 4.2 ábra szerint választott spot-rate alapján

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

JELENÉRTÉK II.

A táblázat alapján d1 = 1/(1 + 0,08973), s.í.t.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA I.

Probléma: a spot rate meghatározása hozamok alapján

egy nehézség: ritkaság a hosszú „zero-coupon bond”

Egy rekurzív eljárás, évi egyszeri kamatjóváírás mellett:

1. s1 meghatározása: a kincstárjegy kamata

2. végy egy 2 éves kötvényt: P áronC kamatkifizetéssel (összesen kétszer)F névértékkel

Ekkor

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA II.

Azonos lejáratú kötvények alapján:

Példa:

A kötvény: 10 éves10% névleges kamatlábára: PA = 98.72

B kötvény: 10 éves8% coupon névleges kamatlábára: PB = 85.59

Névérték: $ 100 mindkettőre

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA III.

Egy portfolió:

Ennek névértéke: $ 20

ára:

Kupon: 0% ! Így az s10 spot rate az

egyenletből számolható. Az eredmény: s10 =11,2%.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

FORWARD KAMATLÁBAK (FORWARD RATES)

A forward rate: a kamat két jövőbeni időpont között

Példa: egy éves lejáratra letétbe helyezek $ 1-t

egy év után kapok $ (1+s1)-t

megállapodás ma: újra befektetem egy évre f kamattal

A no-arbitrage feltétel alapján:

Rejtett feltétel: 0 tranzakciós költség

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

FORWARD KAMATLÁBAK II.

A forward rate: a 0 < t1 < t2 időpontok között

a t1 -ben kölcsönzött és

t2 -ben visszafizetett pénz kamatja

jele: ft1,t2

Belső (implied) forward kamatlábak vs. piaci forward kamatlábak

Általános definiáló egyenlet: i < j -re

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

A KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS HATÁSA

Forward rates – éves, m periódus, folytonos. Legyen i < j

Éves forward :

m periódus / év, i,j periódusok:

Folytonos, t1 < t2:

Tehát:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

KVALITATÍV MEGGONDOLÁSOK

Miért nő a spot rate ?

Tiszta várakozási elmélet : az egy éves kamatláb szint nő, vagyis

s1’ > s1, de f1,2 = s1’ így

s2 > s1 !

Ld. a forward rate definiáló egyenletét.

Terminológia:

tiszta várakozási elmélet expectation theory

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

KVALITATÍV MEGGONDOLÁSOK II.

Likviditáspreferencia-elmélet :

a rövid-távú befektetéseket könnyebb eladni

Piacszegmentációs elmélet : lejárati idők vs. befektetési csoportok

gyenge korreláció szomszédos piaci szegmensek között

Terminológia:

likviditáspreferencia-elmélet liquidity preference

piacszegmentációs elmélet market segmentation

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

A SPOT RATE ELŐREJELZÉSE

Pillanatnyi spot rate görbe:

Egy év múlva:

Ez a transzfromáció az ún. expectation dynamics.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

A SPOT RATE ELŐREJELZÉSE II.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

DISZKONTTÉNYEZŐ

Jelenidő 0, jövőbeni idők j < k:

Összetett diszkontálás: i < j < k –ra:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21

SHORT RATES

Short rate: egy forward rate egyetlen periódusra:

Spot rate vs. short rate:

Forward rate vs. short rate:

Invarianca elv: a hozam az újrabefektetési stratégiától független.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22

FOLYÓ JELENÉRTÉK I.

Pénzáramlás:

Jelenérték a k időben :

Felújítási képlet (visszafelé haladó rekurzió):

Terminológia:

folyó jelenérték running present value

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23

FOLYÓ JELENÉRTÉK II.

2. sor: egyperiódusú diszkont tényezők, ld. 4.2. táblázat első oszlopa

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24

FOLYÓ JELENÉRTÉK III.

Példa: konstans spot rate görbe

sk = r, k=1,…n.

Ekkor a felújítási képlet:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25

VÁLTOZÓ KAMATOZÁSÚ KÖTVÉNYEK

Kamatfizetés: az aktuális short rate szerint

Állítás: egy változó kamatozású kötvény értéke minden kifizetés után egyenlő a névértékkel.

Bizonyítás: visszafelé haladó indukcióval.

az utolsó kifizetés t -ben: névérték (1 + utolsó spot rate)

ennek jelenértéke (t-1) -ben: névérték

Terminológia: változó vagy lebegő kamatozású kötvények floating rate bonds

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26

ÁTLAGIDŐ (DURATION) I.

Pénzáramlás + spot rate curve → jelenérték (ár)

spot rate curve:

párhuzamos eltoltja:

Kérdés: hogyan változik az ár?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27

ÁTLAGIDŐ II.

A Fisher-Weil átlagidő: folytonos kamatszámítással

Pénzáramlás :

Jelenérték:

mértékű párhuzamos eltolás:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28

ÁTLAGIDŐ III.

Az ár relatív érzékenysége : (javítás: az első = előtt egy – áll, a [] előtt =)

Ez a Fisher-Weil duration !

Észrevétel: DFW a ti értékek konvex kombinációja, így t0 ≤ DFW ≤ tn

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29

DISZKRÉT IDEJŰ KAMATSZÁMÍTÁS

Spot rate k -ban sk, évenként m compounding, k a periódus indexe. Ekkor

A kvázi módosított duration:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30

IMMUNIZÁCIÓ (IMMUNIZATION) I.

Példa: kötelezettség: $ 1 millió 5 év múlva

Feladat: kamatváltozásokra nem érzékeny befektetés meghatározása

Kamatszámítás: éves

Két kötvény: B1, 12 éves, 6%

B2, 5 éves, 10%

Spot rate curve: ld. 4.4 Táblázat (94. old.) d oszlop

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31

IMMUNIZÁCIÓ II.

A 4.4 Táblázat összefoglalása:

A kötvények jelenértéke:

P1 = 65,95

P2 = 101,66

Kvázi-módosított (kvm) átlagidő:

D1 = 7,07

D2 = 3,80

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32

IMMUNIZÁCIÓ III.

A kötelezettség jelenértéke: P = $ 627.903,01

A kötelezettség kvm. átlagideje (egyetlen kifizetéssel): D = 5/(1+s5) = 4,56

Egy új cél: a portfólió érzékenysége (PD) = a követelés érzékenysége !

A portfolió egyenlet ($ 100 névértékkel):

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33

IMMUNIZÁCIÓ IV.Az immunizáció hatása : spot rate ±1%

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 34

FELADATOK OTTHONI KIDOLGOZÁSRA

• 4. fejezet

• 1.2.3.6.7.

• Bónusz feladat: 8.