9/28/2018

1

KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Định nghĩa và ví dụ

2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3. Hạng của họ vectơ

4. Cơ sở và số chiều

5. Không gian vectơ con

KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ TÍNH CHẤT

1 .0 0x x

VÍ DỤ 1. KHÔNG GIAN R3 KHÔNG GIAN R3

Phép cộng hai vec tơ:

Phép nhân vec tơ với một số:

Sự bằng nhau của hai vec tơ:

V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3

Tương tự ta có không gian Rn

1 1 2 3 1 2 3, , | , ,V x x x x x x R

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , , ,x y x x x y y y x y x y x y

1 2 3 1 2 3. , , , ,x x x x x x x

1 1

2 2

3 3

x y

x y x y

x y

9/28/2018

2

KHÔNG GIAN P2[X]

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức.

Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một số

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)

V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x]

Tương tự ta có không gian Pn[x]

2

2ax bx c | , ,V a b c R

KHÔNG GIAN M2[R]

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận.

Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một số

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai ma trận bằng nhau.

V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R]

Tương tự ta có không gian Mn[R]

3: , , ,

a bV a b c d R

c d

VÍ DỤ

Phép cộng, phép nhân và sự bằng nhau của hai vec tơnhư trong ví dụ 1.

V4 là không gian vec tơ.

Chú ý. Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phéptoán cộng và nhân trên V1, V2, V3 để chúng là các khônggian vec tơ.

4 1 2 3 1 2 3, , : 2 3 0

iV x x x x R x x x

VÍ DỤ

Phép cộng, phép nhân và sự bằng nhau của hai vec tơnhư trong ví dụ 1.

V5 là không phải là không gian vec tơ.

Ta có:

5 1 2 3 1 2 3, , : 2 1

iV x x x x R x x x

1 5 2 5

1 2 5

1, 0, 0 0,1, 0

1,1, 0

v V v V

v v V

MỐI QUAN HỆ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC VEC TƠ

Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)

Độc lập tuyến tính

Phụ thuộc tuyến tính

TỔ HỢP TUYẾN TÍNH

9/28/2018

3

VÍ DỤ

1 2 3(1,3, 2); (0,1, 1); (2,0,

( 2,1

)

, 1)

3

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

VÍ DỤ

Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

1 2 3

1 2

a) (1,2,3); (2,1,0); (0,1, 2)

b) (2,4); ( 1, 2)

VÍ DỤ

Trong không gian R3 cho hệ vec tơ:

1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M không?

1,1,1 ; 2,1,3 ; 1,2,0M

ĐÁP ÁN 1 ĐÁP ÁN 2

9/28/2018

4

XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH

XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN

Trong Rn cho hệ vec tơ

• Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc tơ của hệ)

• Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A<m.

1 2, , , mM

1 11 12 1 11 12 1

2 21 22 2 21 22 2

1 21 2

( , , , )

( , , , )

..............................

( , , , )

n n

n n

m m mnm m m mn

a a a a a a

a a a a a aA

a a aa a a

VÍ DỤ

Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra

3

1 2 3

4

1 2 3

a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 trong R

b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) trong R

VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho họ:

M={x,y,2x+3y,z}

A) Vecto 2x+3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z

B) M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho họ M={x,y,z} độc lập tuyến tính.

Chứng tỏ rằng hệ vec tơ sau cũng độc lập tuyến tính.

2 ,2 3 ,3 4x y z x y z x y z

9/28/2018

5

ĐÁP ÁN VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho họ M={x,y} độc lập tuyến tính.

Các tập hợp con sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

1

2

3

) 2 , 3

) ,2 3

) ,2 3 ,

a M x y

b M x y x y

c M x y x y x y

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

1) Nếu M chứa vecto 0 thì M phụ thuộc tuyến tính.

2) Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại một vec tơ là tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại trong hệ.

3) Thêm một số vec tơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một họ phụ thuộc tuyến tính.

4) Bỏ đi một số vec tơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được một họ độc lập tuyến tính.

5) Cho hai họ vec tơ M, N. Nếu mỗi vec tơ của họ N đều là tổ hợp tuyến tính của M và số vec tơ của N nhiều hơn thì N là họ phụ thuộc tuyến tính.

VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho họ M={x,y} tùy ý.

Hỏi hệ vec tơ sau đây độc lập hay phụ thuộc?

12 , 3 , 3M x y x y x y

GIẢI VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho hai họ vec tơ:

A) CMR nếu M độc lập tuyến tính thì M2 độc lập tuyến tính

B) Chứng minh rằng nếu M2 độc lập tuyến tính thì M1 độc lập tuyến tính.

1

2

, ,

, 2 3 , 3 4

M x y z

M x y z x y z x y z

9/28/2018

6

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

Cho hệ vec tơ trong không gian V.

Hệ con của hệ véc tơ là hệ véc tơ gồm một số (hoặc tất cả ) các véc tơ của hệ.

Hệ con N của hệ M gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu hệ N độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính

1 2, ,...,

nM x x x V

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tínhtối đại khác nhau nhưng số véc tơ của các hệ con độc lậptuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Số đó ta gọi làhạng của hệ M, ký hiệu là rank(M)

Định nghĩa. Hạng của hệ vec tơ M là số k0 nếu tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k0 vectơ thì phụ thuộc tuyến tính.

Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập tuyến tính của M.

CÁCH TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn

Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau:

Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại ta làm như sau:

1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi

2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về dạng ma trận bậc thang A’.

3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’.

1 2, ,...,

nM x x x

VÍ DỤ

Trong R4 cho hệ vec tơ sau:

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó

1 2 3 4 5

(1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22)

, , , ,

M

M x x x x x

VÍ DỤ

Trong R4 cho hệ vec tơ sau:

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó

1 2 3(1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1,2)M

VÍ DỤ

Trong không gian vec tơ V cho họ M={x,y} độc lập tuyến tính.

Tìm hạng của các họ vec tơ sau đây?

1

2

3

) 2 , 3

) ,2 3

) , ,2 3 , 0

a M x y

b M x y x y

c M x y x y

9/28/2018

7

TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ của M với một số khác không.

2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được nhân với một số thì hạng không đổi

3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thay đổi.

VÍ DỤ

Tìm hạng của họ vec tơ sau:

1,1,1, 0 ; 1,2,1,1 ; 2, 3,2,1 ; 1, 3,1,2M

HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT

Cho ma trận A:

Họ vec tơ hàng của A:

Họ vec tơ cột của A:

1 1 1 0

1 2 1 1

2 3 2 1

1 3 1 2

A

1,1,1, 0 ; 1,2,1,1 ; 2, 3,2,1 ; 1, 3,1,2M

1 1 1 0

1 2 1 1; ; ;2 3 2 1

1 3 1 2

N

ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG

Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A.

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của A.

VÍ DỤ

Tìm hạng của hệ vec tơ sau:

Giải.

M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng với hạng của ma trận A.

1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0,2M

1 1 1 0

1 1 1 1

2 3 1 1

3 4 0 2

A

HỆ VEC TƠ ĐỘC LẬP – PHỤ THUỘC

Cho tập hợp M chứa m vec tơ.

1) Nếu hạng của M bằng với m (số vec tơ của M) thì hệ M độc lập tuyến tính.

2) Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số vec tơ của M) thì M phụ thuộc tuyến tính.

3) Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm vecto x thì x là tổ hợp tuyến tính của M

9/28/2018

8

VÍ DỤ

Hãy xác định tập hợp các vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

A)

B)

1,1,1 ; 2,1, 3 ; 1,2, 0M

2 21; 2 3 2; 2 1M x x x x x

VÍ DỤ

Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc tuyến tính

1,1, 0 ; 1,2,1 ; , 0,1M m

CƠ SỞ - SỐ CHIỀU – TỌA ĐỘ TẬP SINH

VÍ DỤ

1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

1,1,1 1,2,1 2, 3,1

2

2 3

x

x

x

x

Hệ này có nghiệm với mọi x nên mọi vec tơ x của không gian R3 đều là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M

VÍ DỤ

1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3

1,1, 1 2, 3,1 3, 4, 0

2 3

3 4

x

x

x

x

Hệ này có thể vô nghiệm nên vẫn có vec tơ x của không gian R3

không là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M

9/28/2018

9

VÍ DỤ

Hãy xác định tập hợp các vec tơ sau đây có là tập sinh củakhông gian P2[x]?

Tồn tại p(x) để hệ phương trình vô nghiệm. Do đó hệ vectơ trên không là tập sinh của không gian P2[x]

2 2 21; 2 3 1; 2M x x x x x x

2

2

2 2 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3 1 2

2

3 2

p x ax bx cx P x

p x x x x x x x

a

b

c

VÍ DỤ

VÍ DỤ CƠ SỞ - SỐ CHIỀU

Hệ vec tơ M gọi là cơ sở của không gian vec tơ V nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vec tơ của không gian V đều biểu thị tuyến tính được qua M.

ĐỊNH LÝ

Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó:

1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V

2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.

VÍ DỤ

1) Trong không gian V cho M={x,y,z} là cơ sở của V

Hỏi hệ vec tơ:

M1={2x+y+z,x+2y+z,x+y+z}

Có là cơ sở của không gian V?

2) Trong không gian V cho M={x,y,z} là cơ sở của V

Hỏi hệ vec tơ:

M1={2x, 3y, z, x+y+z}

Có là tập sinh, cơ sở của không gian V?

9/28/2018

10

CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn

Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở.

Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của Rn

1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1 nE R

1

2

(1,0, ,0)

(0,1, ,0)

..................

(0, 0,1)n

e

e

e

dim nR n

CƠ SỞ CHÍNH TẮC CỦA Pn[x] VÀ Mn[R]

TÍNH CHẤT

Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n

VÍ DỤ

A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3

B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3

1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0M

1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1M

VÍ DỤ

Tập hợp sau đây có là cơ sở của không gian P2[x]

2 2 21; 2 1; 2 2M x x x x x x

TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ

9/28/2018

11

VÍ DỤ VÍ DỤ

VÍ DỤ TÍNH CHẤT

Ý NGHĨA VÍ DỤ

9/28/2018

12

ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ

VÍ DỤ

Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở:

A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2

B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2.

Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3

1 1 2 3

2 1 2 3

1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1

2, 1, 3 ; 1, 0,1 ; 0, 1,2

B e e e

B u u u

GIẢI

A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2:

B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là:

1 2

2 1 0

1 0 1

3 1 2B BT

2 1 1 22 1

2

1

13 2 1 0 3

1 1 0 1 1

0 3 1 2 0

1 2 1 3 5

1 4 2 1 7

1 1 1 0 4

B B B BB B

B

x T x T

x

KHÔNG GIAN CON ĐỊNH LÝ

9/28/2018

13

1) Trong không gian vec tơ R3 cho tập con:

U có phải là không gian vec tơ con của R3 hay không?

2) Tập hợp nào sau đây là không gian con của R2.

VÍ DỤ

1 2 1 2( , ,0) : ,U x x x x x R

2

1

2

2

a) : ( ,3 ),

b) : ( ,2 3 ),

U x R x a a a R

U x R x a a a R

VÍ DỤ

GIẢI

Câu 1) Sinh viên tự làm

Câu 2.

VÍ DỤ

GIẢI

Câu 1) Sinh viên tự làm

Câu 2)

KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ

Trong không gian vec tơ V, cho tập hợp M các vec tơ:

Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vec tơ củaM tạo thành một không gian vec tơ.

Ta có:

1) L(M) là không gian con của V

2) dimL(M) bằng với số chiều của họ vec tơ M

1 2, ,...,

nM v v v V

1 2 1 2

1 1 2 2

, ,..., , ,...,

...n n

n n i

L M v v v span v v v

L M v v v R

9/28/2018

14

VÍ DỤ

Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vec tơ con sau đây.

A) Cho F=<(1,1,1); (2,1,1); (3,1,1)>

B) G=<x2+x+1, 2x2+3x-1, x2+2x-2>

VÍ DỤ

A) Cho x=(1,-2,3) và M={(1,1,1); (2,1,0); (3,-1,3)}

Vec tơ x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?

B) Cho x=(1,0,m) và M={(1,1,1); (2,3,1); (3,-2,0)}

Tìm m để vec tơ x thuộc không gian con sinh bởi M?

TỔNG VÀ GIAO CỦA HAI KHÔNG GIAN CON ĐỊNH LÝ

TÍNH CHẤT

CÁC BƯỚC TÌM KHÔNG GIAN CON F+G

B1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là {f1,f2,…,fn}

B2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1,g2,…,gm}

B3. Không gian con F+G là không gian sinh bởi hệ các vecto bao gồm tập sinh của F và của G

1 2 1 2, ,..., , , ,...,

n mF G f f f g g g

VÍ DỤ

9/28/2018

15

VÍ DỤ VÍ DỤ

VÍ DỤ

9/28/2018

16

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHTUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ thuần nhất

Đặt:

Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất.

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0. 0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a xA X

a x a x a x

1 2, ,..., R : . 0n

nL x x x x A X

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHTUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và:

Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

dim L n r A

VÍ DỤ

Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình thuần nhất.

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 0

) 2 4 3 =0

2 +5x =0

2 3 4 0

) 2 4 2 7 5 0

2 4 2 4 2 0

x x x x

a x x x

x x x

x x x x x

b x x x x x

x x x x x

KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’

1) Cho các ma trận:

A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)

B) Giải phương trình sau:

0 1 2 2 4

1 0 3 1 0

4 3 8 3 6

A B

.AX B

9/28/2018

17

BÀI 2Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C.

• Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, 0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.

• Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.

A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và loại chi phí của công ty.

B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào?

C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4]

BÀI 3

Tính các định thức sau:2

2

2

1

1

1

2 1 1

1 2 1

1 1 2

1 1 1

a a

A b b

c c

x

yB

z

t

CÂU 4

Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.

2 1 2 2

2 1

mx y z m

x m y z

x y m z

SÁNG

Tiết 1: 6h45 – 7h30

Tiết 2: 7h30 – 8h15

Nghỉ 5 phút

Tiết 3: 8h20 – 9h05

Nghỉ 10 phút

Tiết 4: 9h15 – 10h00

Tiết 5: 10h00 – 10h45

Nghỉ 5 phút

Tiết 6: 10h50 – 11h35

CHIỀU

Tiết 1: 12h30 – 13h15

Tiết 2: 13h15 – 14h00

Nghỉ 5 phút

Tiết 3: 14h05 – 14h50

Nghỉ 10 phút

Tiết 4: 15h00 – 15h45

Tiết 5: 15h45 – 16h30

Nghỉ 5 phút

Tiết 6: 16h35 – 17h20