kumpulanrepository.radenintan.ac.id/11032/1/imam khoiruddin - trigonometri.… · geometri,...
TRANSCRIPT
KUMPULAN
60 SOAL & PEMBAHASAN
TRIGONOMETRI
ISBN 978-623-93416-3-3
PENULIS:
Imam Khoirudin
Rizki Wahyu Yunian Putra, M.Pd
CETAKAN PERTAMA, MEI 2020
Diterbitkan oleh :
CV. Madani Jaya
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
All ringh reserved
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahi robbil ‘alamin. Segala puji bagi Allah SWT
yang telah menganugrahkan begitu banyak nikmat kepada
hambanya. Sehingga sejak dari awal buku ini ditulis Allah SWT
masih memberikan nikmat yang luar biasa bagi penulis sampai
terbentuknya buku ini yang mudah – mudahan dapat memberi
banyak manfaat bagi para pembaca dan calon – calon generasi
penerus bangsa.
Matematika merupakan ilmu pengetahuan murni yang terdiri
atas puluhan cabang ilmu. Menurut ahli matematika Morris Klein
sebagaimana dikutip Dali S. Naga (1980), Tidak kurang dari delapan
puluhan cabang besar matematika seperti : berhitung, aljabar,
geometri, stereometri, analisis, vektor, probabilitas, teori tepologi,
statistika, kalkulus dan trigonometri. Cabang matematika terakhir ini
berkaitan erat dengan beberapa ilmu terapan seperti Astronomi dan
navigasi serta ilmu ukur pada umumnya (Geometri dan Stereometri),
kalkulus, fisika, teknik dan komputer.
Buku ini dihimpun dan diurai sesuai dengan pengalaman penulis
selama menempuh pendidikan formal maupun non formal. Buku ini
juga disusun dengan tujuan agar dapat mempermudah pemahaman
bagi para pembaca terutama pada materi trigonometri. dimana
menurut pengalaman penulis pribadi, trigonometri merupakan salah
satu materi matematika yang paling susah untuk difahami baik
iii
ditingkat sekolah menengah bahkan dalam lungkungan perkuliahan
sekalipun.
Tentu saja penulis mengakui disana – sini masih banyak
kekurangan dan kesalahan pada penulisan buku ini, baik dari sisi
materi, cara penyajian maupun penulisannya. Oleh karena itu,
sudilah kiranya bagi para pembaca, terutama kepada guru penulis
pribadi untuk memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan
buku ini.
Penutup, penulis pribadi sangat bersyukur kepada Allah SWT
yang telah memberikan kekuatan dan kesempatan bagi penulis untuk
menyelesaikan buku ini. Terutama ucapan terimakasih yang sebesar
– besarnya kepada kedua orangtua penulis, yakni ibunda Siti
Maisaroh dan ayahanda Sudarwo yang selalu memberikan
dukunganya setiap waktu dan setiap saat. Dan juga kepada ketiga
saudara kandung penulis, M Nur Saifan, Syifaul ‘Asyiqoh.alm dan
Latifah Qothrunnada. Begitu juga kepada guru – guru dan rekan –
rekan sekalian saya ucapkan terimakasih. Mudah – mudahan buku
ini dapat memberikan manfaat bagi siapapun yang membacanya.
Lampung, 18 Mei 2020
Hormat Penulis
Imam Khoirudin
iv
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................. ii
DAFTAR ISI ............................................................................ iv
1 FUNGSI TRIGONOMERI
1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus ........................................... 1
1.2 Fungsi Tangen ............................................................ 4
1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan .................................. 5
1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran ...... 7
1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa....... 9
1.6 Identitas Trigonometri ................................................ 10
2 FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT –
SUDUT YANG SALING BERELASI
2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri ......... 11
2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o ... 12
2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan
(180 – α)o .................................................................... 13
2.4 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (180 + α)o dan
(270 – α)o ................................................................... 14
2.5 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (270 + α)o dan
(360 – α)o .................................................................... 15
2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o .......... 15
3 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
3.1 Sistem Koordinat Kutub .............................................. 16
3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut ........................ 17
v
4 RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT
PERTENGAHAN
4.1 Rumus Sudut Rangkap ................................................ 18
4.2 Rumus Sudut Pertengahan .......................................... 18
5 RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT
5.1 Rumus Sudut Lipat ...................................................... 19
5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus ............................. 20
6 RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
6.1 Rumus Penjumlahan ................................................... 21
6.2 Rumus Perkalian ......................................................... 21
7 ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI
7.1 Aturan Sinus ................................................................ 22
7.2 Aturan Cosinus ........................................................... 22
7.3 Luas Segitiga ............................................................... 22
7.4 Rumus Gauss ............................................................... 23
7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga 24
8 PERSAMAAN TRIGONOMETRI
8.1 Persamaan untuk Sinus ............................................... 28
8.2 Persamaan untuk cosinus ........................................... 28
8.3 Persamaan untuk Tangent .......................................... 29
8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c .................... 29
Kumpulan Soal dan Pembahasan ............................................. 30
Daftar Pustaka .......................................................................... 119
Glosarium.................................................................................. 120
1
FUNGSI TRIGONOMERI
1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus
Fungsi pada aljabar didefinisikan sebagai relasi khusus yang
setiap anggota himpunan A memetakan tepat satu anggota himpunan
B. Anggota himpunan A disebut daerah asal fungsi (domain),
anggota himpunan B disebut himpunan kawan (ko-domain) dan
anggota himpunan A yang dihubungkan dengan anggota himpunan
B disebut daerah hasil (range). Perhatikan gambar di bawah ini
untuk memahami perbedaan antara fungsi dan bukan fungsi!
A B
*
*
*
*
*
*
A B
*
*
*
*
*
*
A B
*
*
*
*
*
*
Fungsi
A B
*
*
*
*
*
*
A B
*
*
*
*
*
*
A B
*
*
*
*
*
*
Bukan Fungsi
Gambar 1.1
2
Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika titik P dan Q terletak pada ruas garis OQ̅̅ ̅̅ maka OP = r1 = 5
dan OQ = r2 = 10. Untuk POP1 = QOQ1 = , maka nilai
perbandingan 𝑦
𝑟 pada POP1 dan QOQ1 sama, yaitu
4
5 dan
8
10.
Begitu juga pada 𝑥
𝑟. Maka dengan kata lain untuk nilai yang sama
akan menghasilkan perbandingan yang sama begitu juga sebaliknya.
.
.
O
P1 Q1
X
Y
P (3,4)
Q (6,8)
Gambar 1.2
3
Perhatikan diagram di bawah ini!
Dari diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi f memetakan
ke a didefinisikan fungsi g. Fungsi f yang menyatakan nilai
perbandingan 𝑦
𝑟 untuk disebut Fungsi Sinus atau ditulis sin =
𝑦
𝑟,
sedangkan fungsi g yang menyatakan nilai perbandingan 𝑥
𝑟 untuk
disebut Fungsi Cosinus atau ditulis cos = 𝑥
𝑟.
Maka dapat didefinsikan sinus dan cosinus sebagai berikut :
Sinus sudut = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
Cosinus sudut = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑙𝑎𝑠
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
1
2
3
A B
a1
a2
a3
a
f
1
2
3
A B
b1
b2
b3
b
g
Gambar 1.3
4
1.2 Fungsi Tangen
Perbandingan 𝑦
𝑟 dan
𝑥
𝑟 ditentukan oleh , maka perbandingan
𝑦
𝑥
juga ditentukan oleh nilai . Untuk nilai yang berbeda maka nilai
perbandingan 𝑦
𝑥 juga berbeda.
Perhatikan diagram di bawah ini.
Diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi h memetakan ke
c sehingga dikatakan bahwa fungsi h yang menyatakan nilai
perbandingan 𝑦
𝑥 untuk disebut Fungsi Tangen atau ditulis
tan = 𝑦
𝑥.
1
2
3
c1
c2
c3
c
A B h
Gambar 1.5
5
1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan
Selain ketiga fungsi di atas, kita juga mengenal fungsi
trigonometri lain yaitu: Secant (sec), Cosecant (csc) dan Cotangent
(cot). Ketiga fungsi ini disebut sebagai fungsi kebalikan sebagai
berikut :
sec = 𝑟
𝑥
csc = 𝑟
𝑦
cot = 𝑥
𝑦
Sehingga dari keenam definisi fungsi trigonometri dapat kita
lihat bahwa terdapat hubungan antara satu dan lainya yang sering
disebut dengan rumus kebalikan. Sebagai berikut :
sin = 1
csc
cos = 1
sec
tan = 1
cot
Ataupun dapat juga berupa :
csc = 1
sin
ses = 1
cos
cot = 1
tan
6
Sehingga didapatkan rumus perbandingan nya adalah :
tan = sin
cos
cot = cos
sin
Dari semua persamaan di atas dapat diturunkan identitas –
identitas berikut:1
sin2 + cos2 = 1
sec2 + tan2 = 1
csc2 + cot2 = 1
1 Sinaga, bornok, dk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester 2
(Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014). h. 66.
7
1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran
Perhatikan gambar di bawah ini :
Melihat gambar di atas kita dapat menentukan tanda fungsi
dengan menggunakan rumus perbandingan terhadap yang sudah
dibahas sebelumnya untuk setiap kwadran nya.
ao
P(x,y)
O ao di kwadran I
ao
P(-x,y)
O ao di kwadran II
P(-x,-y) O
ao di kwadran III
ao
P(x,-y) O
ao di kwadran IV
ao
Gambar 1.6
8
Jika αo di kwadran I atau x positif dan y positif, maka :
sin αo = 𝑦
𝑟 (positif) csc αo =
𝑟
𝑦 (positif)
cos αo = 𝑥
𝑟 (positif) sec αo =
𝑟
𝑥 (positif)
tan αo = 𝑦
𝑥 (positif) cot αo =
𝑥
𝑦 (positif)
Begitu juga untuk kwadran II, kwadran III dan kwadran IV.
Dengan demikian, maka tanda fungsi trigonometri dapat
diringkas dalam tabel berikut :2
αo
di kwadran
sin αo
csc αo
cos αo
sec αo
tan αo
cot αo
I Positif Positif Positif
II Positif Negatif Negatif
III Negatif Negatif Positif
IV Negatif Positif Negatif
2 Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010. Precalculus
Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA: Brook/Cole, Cengege Learning.
h. 380.
9
1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa
Sudut – sudut istimewa 30o, 45o dan 60o nilai fungsi
trigonometri dapat dicari pada segitiga berikut :
a. Sudut istimewa 30o
b. Sudut istimewa 60o
c. Sudut istimewa 45o
30o
ඥ3
1 2
sin 30o = 1
2 csc 30o = 2
cos 30o = 1
2ඥ3 sec 30o =
2
ξ3
tan 30o = 1
ξ3 cot 30o = ඥ3
60o
ඥ3
1
2
sin 60o = 1
2ඥ3 csc 60o =
2
ξ3
cos 60o = 1
2 sec 60o = 2
tan 60o = ඥ3 cot 60o = 1
ξ3
45o
1
1
ඥ2
sin 45o = 1
2ඥ2 csc 45o = ඥ2
cos 45o = 1
2ඥ2 sec 45o = ඥ2
tan 45o = 1 cot 45o = 1
10
Selanjutnya sudut 0o dan 90o. Untuk sudut 0o berarti r berimpit
dengan sumbu X atau r = x, sedangkan y = 0, sehingga :
sin 0o = 0
𝑟 csc 0o =
𝑟
0
= 0 = tidak tedefinisi
cos 0o = 𝑥
𝑟 sec 0o =
𝑟
𝑥
= 1 = 1
tan 0o = 0
𝑥 cot 0o =
𝑥
0
= 0 = tidak tedefinisi
Untuk sudut 90o berarti r berimpit dengan sumbu Y atau r = y,
sedangkan x = 0, sehingga :
sin 90o = 𝑦
𝑟 csc 90o =
𝑟
𝑦
= 1 = 1
cos 90o = 0
𝑟 sec 90o =
𝑟
0
= 0 = tidak terdefinisi
tan 90o = 𝑦
0 csc 90o =
0
𝑦
= tidak terdefinisi = 0
1.6 Identitas Trigonometri
Identitas dalam trigonometri merupakan bentuk kesamaan
antara ruas kiri dengan ruas kanan. Pembuktian kesamaan ini
merupakan kemantapan rumus – rumus yang sudah dijelaskan pada
materi sebelumnya. Pembuktian dilakukan dengan menjabarkan atau
menguraikan bentuk ruas kiri ataupun ruas kanan hingga keduanya
ekuivalen.
11
FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT
YANG SALING BERELASI
2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar di bawah ini :
Dari gambar di atas dapat dientukan :
sin (-α)o = −𝑦
𝑟 csc (-α)o =
𝑟
−𝑦
= - sin αo = - csc αo
cos (-a)o = 𝑥
𝑟 sec (-a)o =
𝑟
𝑥
= cos αo = sec αo
tan (-α)o = −𝑦
𝑥 cot (-α)o =
𝑥
−𝑦
= - tan αo = - cot αo
P (x, -y)
- αo
r
k
Gambar 2.1
12
2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o
Perhatikan gambar di bawah ini!
sin αo = 𝑦
𝑟 csc αo =
𝑟
𝑦
cos αo = 𝑥
𝑟 sec αo =
𝑟
𝑥
tan αo = 𝑦
𝑥 cot αo =
𝑥
𝑦
Selanjutnya kita perhatikan C atau sudut (90 – α)o. Dari sudut
ini nilai fungsi trigonometri dapat ditentukan sebagai berikut :
sin (90 – α)o = 𝑥
𝑟 csc (90 – α)o =
𝑟
𝑥
cos (90 – α)o = 𝑦
𝑟 sec (90 – α)o =
𝑟
𝑦
tan (90 – α)o = 𝑥
𝑦 cot (90 – α)o =
𝑦
𝑥
Dengan demikian dapat kita hubungkan sudut – sudut yang
berelasi sebagai berikut :
sin (90 – α)o = cos αo csc (90 – α)o = sec αo
cos (90 – α)o = sin αo sec (90 – α)o = csc αo
tan (90 – α)o = cot αo cot (90 – α)o = tan αo
αo
A B
C
r
x
y
13
2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o
Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o merupakan sudut – sudut yang
berelasi di kwadran II. Pada rumus 2.1 dan 2.2 gunakan rumus sudut
negatif dengan mengganti + αo menjadi – (– α)o sehingga diperoleh:
sin (90 + α)o = sin [90 – (– α)]o csc (90 + α)o = csc [90 – (– α)]o
= cos (– α)o = sec (– α)o
= cos αo = sec αo
cos (90 + α)o = cos [90 – (– α)]o sec (90 + α)o = sec [90 – (– α)]o
= sin (– α)o = csc (– α)o
= – sin αo = – csc αo
tan (90 + α)o = tan [90 – (– α)]o cot (90 + α)o = cot [90 – (– α)]o
= cot (– α)o = tan (– α)o
= – cot αo = – tan αo
Selanjutnya untuk mencari sin (180 – α)o lakukan cara yang
sama ubahlah ke bentuk sin [90 + (90 – α)]o, sehingga dieroleh :
sin (180 – α)o = sin [90 + (90 – α)]o
= cos (90 – α)o
= sin αo
Begitu juga seterusnya untuk fungsi trigonometri yang lainya.
14
2.4 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (180 + α)o dan (270 – α)o
Sudut (180 + α)o dan (270 – α)o merupakan sudut – sudut yang
berelasi di kwadran III. Dengan mengubah bentuk (180 + α)o
menjadi [180 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga
diperoleh sebagai berikut :
sin (180 + α)o = – sin αo csc (180 + α)o = – csc αo
cos (180 + α)o = – cos αo sec (180 + α)o = – sec αo
tan (180 + α)o = tan αo cot (180 + α)o = cot αo
Sedangkan untuk (270 – α)o diubah menjadi [180 – (90 – α)]o.
Sehingga diperoleh :
sin (270 – α)o = – cos αo csc (270 – α)o = – sec αo
cos (270 – α)o = – sin αo sec (270 – α)o = – csc αo
tan (270 – α)o = cot αo cot (270 – α)o = tan αo
15
2.5 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (270 + α)o dan (360 – α)o
Sudut (270 + α)o dan (360 – α)o merupakan sudut – sudut yang
berelasi di kwadran IV. Dengan mengubah bentuk (270 + α)o
menjadi [270 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga
diperoleh sebagai berikut :
sin (270 + α)o = – cos αo csc (270 + α)o = – sec αo
cos (270 + α)o = sin αo sec (270 + α)o = csc αo
tan (270 + α)o = – cot αo cot (270 + α)o = – tan αo
Sedangkan untuk (360 – α)o diubah menjadi [270 – (90 – α)]o.
Sehingga diperoleh :
sin (360 – α)o = – sin αo csc (360 – α)o = – csc αo
cos (360 – α)o = cos αo sec (360 – α)o = sec αo
tan (360 – α)o = – tan αo cot (360 – α)o = – cot αo
2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o
Untuk sudut yang lebih dari 360o, dapat ditulis dalam bentuk
(k.360 + α)o. Sehingga didapat rumus sebagai berikut :
sin (k.360 + α)o = sin αo csc (k.360 + α)o = csc αo
cos (k.360 + α)o = cos αo sec (k.360 + α)o = sec αo
tan (k.360 + α)o = tan αo cot (k.360 + α)o = cot αo
k bilangan bulat3
3 Zen, Fathurin. Trigonometri (Bandung : ALFABETA, 2012), h. 34.
16
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
3.1 Sistem Koordinat Kutub
Dalam materi bidang datar telah diajarkan bahwa letak suatu
titik dapat ditentukan dalam sistem koordinat kartesius (Rectangular
Coordinate), yaitu dengan menghitung arah absis (sumbu X) dan
berapa panjangnya, serta arah ordinat (sumbu Y) dan berapa
panjangnya. Selain itu, letak suatu titik dapat ditentukan dalam
system koordinat kutub (Polar Coordinate).
Perhatikan gambar berikut :
Dengan demikian titik P (x, y) dapat dinyatakan dalam koordinat
kutub atau koordinat polar sebagai P(r . cos α, r . sin α) atau P(r, α).
Didapat perubahan kedua sistem koordinat sebagai berikut :
Perubahan Koordinat
koordinat kutub (r, α) menjadi
koordinat kartesius (x, y)
Koordinat kartesius (x, y)
menjadi koordinat kutub (r, α)
x = r . cos α
y = r . sin α
r = ඥ𝑥2 + 𝑦2
tan α = 𝑦
𝑥 (α sesuai kwadran)
α
r
Q O
P(x, y)
17
3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus cos (α ± β)
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Rumus sin (α ± β)
cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Rumus tan (α ± β)
tan (α + β) = tan 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 − tan 𝛼 . 𝑡𝑎𝑛 𝛽
tan (α – β) = tan 𝛼− 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 + tan 𝛼 . 𝑡𝑎𝑛 𝛽
Rumus cot (α ± β)
cot (α + β) = cot 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽−1
tan 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽
cot (α – β) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼 . 𝑐𝑜𝑡 𝛽+1
tan 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛 𝛽
18
RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT PERTENGAHAN
4.1 Rumus Sudut Rangkap4
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α – sin2 α
= 1 – 2 sin2 α
= 2 cos2 α – 1
tan 2α = 2 tan 𝛼
1− 𝑡𝑎𝑛2𝛼
cot 2α = 𝑐𝑜𝑡2𝛼−1
2 cot 𝛼
4.2 Rumus Sudut Pertengahan
• sin 1
2 α = ±√
1−cos 𝛼
2
• cos 1
2 α = ±√
1+cos 𝛼
2
• tan 1
2 α =
sin 𝛼
1+cos 𝛼 tan
1
2 α =
1−cos 𝛼
sin 𝛼
tan 1
2 α = csc α – cot α tan
1
2 α = ±√
1−cos 𝛼
1+cos 𝛼
• cot 1
2 α =
1+cos 𝛼
sin 𝛼 cot
1
2 α =
sin 𝛼
1−cos 𝛼
cot 1
2 α = csc α + cot α cot
1
2 α = ±√
1+cos 𝛼
1−cos 𝛼
4 OpenStax College. Algebra and Trigonometry (Texas : Rice University.
2015). h. 1008.
19
RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT
5.1 Rumus Sudut Lipat
sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α
tan 3α = 3 tan 𝛼− 𝑡𝑎𝑛3𝛼
1−3 𝑡𝑎𝑛2𝛼
cot 3α = 𝑐𝑜𝑡3 𝛼−3 cot 𝛼
3 𝑐𝑜𝑡2𝛼−1
Secara umum rumus sudut lipat untuk na dapat ditulis sebagai
berikut :
sin nα = sin α {(2 cos 𝛼)𝑛−1 − (𝑛 − 2
1) (2 cos 𝛼)𝑛−3 + (
𝑛 − 31
) (2 cos 𝛼)𝑛−5− . . . }
cos nα = 1
2 {(2 cos 𝛼)𝑛 −
𝑛
1 (2 cos 𝛼)𝑛−2 +
𝑛
2(
𝑛 − 31
) (2 cos 𝛼)𝑛−4 − 𝑛
3(
𝑛 − 42
) (2 cos 𝛼)𝑛−6+ . . . }
Dimana bentuk (𝑛𝑘
) merupakan simbol kombinasi dengan
rumus 𝑐𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!.
20
5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus
sin2 α = 1
2 −
1
2 cos 2α
cos2 α = 1
2 +
1
2 cos 2α
Secara umum rumus pangkat sinus dan cosinus adalah :
𝑠𝑖𝑛2𝑛−1 𝛼=(−1)𝑛−1
22𝑛−2{sin(2𝑛 − 1) 𝛼 − (
2𝑛 − 11
) sin(2𝑛 − 3) 𝛼+. … (−1)𝑛−1 (2𝑛 − 1𝑛 − 1
) sin 𝛼}
𝑠𝑖𝑛2𝑛−1 𝛼=1
22𝑛(
2𝑛𝑛
) +(−1)𝑛
22𝑛−1{cos 2𝑛𝛼 − (
2𝑛1
) cos(2𝑛 − 2) 𝛼+. … (−1)𝑛−1 (2𝑛
𝑛 − 1) cos 2𝛼}
𝑐𝑜𝑠2𝑛−1 𝛼=1
22𝑛−2{cos(2𝑛 − 1)𝛼 + (
2𝑛 − 11
) cos(2𝑛 − 3) 𝛼+. … + (2𝑛 − 1𝑛 − 1
) cos 𝛼}
𝑐𝑜𝑠2𝑛 𝛼=1
22𝑛(
2𝑛𝑛
) +1
22𝑛−1{cos 2𝑛𝛼 + (
2𝑛1
) cos(2𝑛 − 2) 𝛼+. … + (2𝑛
𝑛 − 1) cos 2𝛼}
Dimana bentuk (𝑛𝑘
) merupakan simbol kombinasi dengan
rumus 𝑐𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!.
21
RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
6.1 Rumus Penjumlahan
sin α + sin β = 2 sin 1
2 (α + β) cos
1
2 (α − β)
sin α − sin β = 2 cos 1
2 (α + β) sin
1
2 (α − β)
cos α + cos β = 2 cos 1
2 (α + β) cos
1
2 (α − β)
cos α − cos β = 2 sin 1
2 (α + β) sin
1
2 (α − β)
6.2 Rumus Perkalian5
sin α cos β = 1
2 {sin(𝛼 + 𝛽) + sin (𝛼 − 𝛽)}
sin α sin β = 1
2 {cos(𝛼 + 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽)}
cos α sin β = 1
2 {sin(𝛼 + 𝛽) − 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽)}
cos α cos β = 1
2 {cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽)}
5 Ron Larson and David C. Falvo, Algebra and Trigonometry, 8th ed
(Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011). h. 569.
22
ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI
7.1 Aturan Sinus
𝒂
𝒔𝒊𝒏 𝜶 =
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝜷 =
𝒄
𝒔𝒊𝒏 𝜸 = 2R
7.2 Aturan Cosinus6
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos β
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos γ
cos α = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2.𝑏.𝑐
cos β = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2
2.𝑎.𝑐
cos γ = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2
2.𝑎.𝑏
7.3 Luas Segitiga
Menentukan luas jika diketahui besar sudut dan panjang dua
sisi yang mengapit sudut tersebut.
Luas ABC = 1
2 . b . c . sin α
Luas ABC = 1
2 . a . c . sin β
Luas ABC = 1
2 . a . b . sin γ
6 Sinaga, bornok, dkk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Jakarta :
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017). h. 183.
23
Menentukan luas jika diketahui panjang ketiga sisi nya.
Luas ABC = ඥ𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan
panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut.
Luas ABC = 1
2𝑎2 sin 𝛽 . sin 𝛾
sin 𝛼
Luas ABC = 1
2𝑏2 sin 𝛼 . sin 𝛾
sin 𝛽
Luas ABC = 1
2𝑐2 sin 𝛼 .sin 𝛽
sin 𝛾
7.4 Rumus Gauss
sin 1
2 α = √
(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
𝑏.𝑐
sin 1
2 β = √
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)
𝑎.𝑐
sin 1
2 γ = √
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)
𝑎.𝑏
cos 1
2 α = √
𝑠(𝑠−𝑎)
𝑏.𝑐
cos 1
2 β = √
𝑠(𝑠−𝑏)
𝑎.𝑐
cos 1
2 γ = √
𝑠(𝑠−𝑐)
𝑎.𝑏
24
tan 1
2 α = √
(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
𝑠(𝑠−𝑎)
tan 1
2 β = √
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)
𝑠(𝑠−𝑏)
tan 1
2 γ = √
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)
𝑠(𝑠−𝑐)
7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga
7.5.1 Garis – garis Istimewa dalam Segitiga
a. Garis Tinggi
ta = 2R . sin β . sin γ
tb = 2R . sin α . sin γ
tc = 2R . sin α . sin β
Dari rumus panjang garis tinggi di atas, dapat diturunkan
rumus luas ABC.
L = 2R2 . sin α . sin β . sin γ
t
ta tb
tc
A B
C
25
b. Garis Bagi
Dalil Stewart
AD2 a = 𝑎1𝑏2+𝑎2𝑐2 − 𝑎1𝑎2𝑎
Dalil Garis Bagi Sudut Dalam
AD2 = bc − 𝑎1𝑎2
AD = ඥ𝑏𝑐 − 𝑎1𝑎2
Dalil Garis Bagi Sudut Luar
CB2 = 𝑐1𝑐2 - ab
CB = ඥ𝑐1𝑐2 − 𝑎𝑏
c. Garis Berat
CD = 1
2 ඥ𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 . cos 𝛾
AE = 1
2 ξ𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 . cos 𝛼
BF = 1
2 ඥ𝑎2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑐 . cos 𝛽
C
A B
D
E
1 2
𝛼2
𝛼1
𝑎2
𝑎1
𝑏
c
A B
C
D
E
F
c 𝑐1
a b
𝑐2
A B
C
D
E F
1
2 c
1
2 c
1
2 b
1
2 b
1
2 a
1
2 a
G
26
7.5.2 Hubungan Lingkaran dan Segitiga
a. Lingkaran – Dalam
Jari jari lingkaran – dalam (Rd) ABC yang panjang sisinya
a, b dan c ditentukan oleh :
Rd = √(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
𝑠
dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
b. Lingkaran – Luar
Jari – jari lingkaran luar (Rl) ABC yang panjang sisinya
a, b dan c ditentukan oleh :
Rl = 𝑎𝑏𝑐
4ඥ(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
sedangkan panjang jari – jari lingkaran – luar (Rl) ABC
dimana hanya diketahui satu sisi dan sudut yang berbeda
dihadapanya adalah :
Rl = 𝑎
2 sin 𝐴
Rl = 𝑏
2 sin 𝐵
Rl = 𝑐
2 sin 𝐶
27
c. Lingkaran – Singgung
Rs = √𝑠(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
(𝑠−𝑎)
Rs = √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)
(𝑠−𝑏)
Rs = √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)
(𝑠−𝑐)
dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
28
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
8.1 Persamaan untuk Sinus
Jika sin x = sin α (α diketahui), maka :
𝑥1 = α + k.360o
𝑥2 = (180 – α) + k.360o
Dengan k bilangan bulat
8.2 Persamaan untuk Cosinus
Jika cos x = cos α (α diketahui), maka :
𝑥1 = α + k.360o
𝑥2 = (360 – α) + k.360o
Atau,
Jika cos x = cos α ( α diketahui), maka :
𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± α ± k.360o
Dengan k bilangan bulat.
29
8.3 Persamaan untuk Tangen
Jika tan x = tan α (α diketahui), maka :
x = α ± k.180o
Dengan k bilangan bulat.
8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c
cos (x – α) = 𝑐
𝑘
dengan k = ξ𝑎2 + 𝑏2 dan tan α = 𝑏
𝑎
(α disesuaikan kwadran nya dengan tanda a dan b)
30
Kumpulan Soal dan
Pembahasan
31
Aplikasi Kehidupan Nyata
1. Seekor ikan yang berada di dalam air dengan kedalaman 3 m
dari permukaan laut dan seekor burung yang sedang terbang
dengan sudut 30o. Jika jarak antara ikan dengan burung adalah
18 m. Tentukan jarak burung dari permukaan laut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Untuk mencari jarak burung dari permukaan laut dapat kita
gunakan rumus sinus, dimana :
sin 𝑥2 = 𝑦2
𝑟2
sin 30𝑜 = 1
2 =
𝑦2
𝑟2
3 Meter
30o
32
Didapatkan 𝑦2 = 1 dan 𝑟2 = 2. Karena jarak r sebenarnya belum
diketahui maka terlebih dahulu kita cari jarak sisi miring ikan
terhadap permukaan laut menggunakan rumus yang sama.
sin 𝑥1 = 𝑦1
𝑟1
sin 30𝑜 = 1
2 =
𝑦1
𝑟1
Didapatkan 𝑦1 = 1 dan 𝑟1 = 2. Dikarenakan jarak 𝑦1 sebenarnya
3 meter jadi perbandingannya adalah 1 : 3 sehingga :
𝑦1
𝑟1 =
1
2 .
3
3
𝑦1
𝑟1 =
3
6
𝑟2 = r - 𝑟1
= 18 – 6
= 12 meter
Karena jarak 𝑦2 sebenarnya 12 meter jadi perbandingannya
adalah 1 : 6 sehingga:
𝑦2
𝑟2 =
1
2 .
6
6
= 6
12
Jadi jarak antara burung dengan permukaan laut adalah 6 meter.
33
2. Penebang liar ingin mengukur tinggi pohon yang berjarak 6ξ3
m dari tempat dia berdiri. Antara mata dengan puncak pohon
membentuk sudut elevasi sebesar 30o. Jika tinggi penebang liar
tersebut dihitung sampai mata adalah 1,5 m maka tentukan
tinggi pohon tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Misalkan t adalah jarak dari mata penebang liar sampai puncak
pohon.
30𝑜
1,5
Meter
6ඥ3 Meter
t
34
Dengan menggunakan rumus tangen didapat :
tan = 𝑦
𝑥 =
𝑡
𝑥
tan 30o = 𝑡
6ξ3
1
3ඥ3 =
𝑡
6ξ3
t = 1
3ඥ3 . 6ඥ3
= 2 . 3
= 6 Meter
Jadi tinggi pohon didapat dari t ditambah tinggi penebang liar
tersebut dihitung sampai mata,
Tinggi pohon = 6 + 1,5
= 7,5 Meter
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 7,5 meter.
35
3. Murid sekolah dasar dengan tinggi 120 cm berjalan mendekati
tiang mendera. Diketahui jarak murid tersebut terhadap tiang
bendera adalah 10 m dan terbentuk sudut elevasi dari ujung
kepalanya ke puncak tiang bendera sebesar 60o. Tentukan tinggi
tiang bendera tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.
Dengan menggunakan rumus tangen diperoleh :
tan 60o = 𝑦
𝑥
y = tan 60o . x
= ξ3 . 10
= 10 ξ3
Tinggi tiang adalah y ditambah dengan tinggi siswa sehingga :
Tinggi tiang = 10 ξ3 + 1,2
= 10 ξ3 + 1,2 meter
Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10 ξ3 + 1,2 meter.
60o
1,2 Meter
10 Meter
36
4. Sebuah pesawat akan mendarat dari ketinggian 3000 m dari
menara pengawas. Dalam 30 detik sudut elevasi pesawat
berubah dari 30o menjadi 45o dilihat dari puncak menara
pengawas. Carilah kecepatan pesawat tersebut dalam satuan
m/s.
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.
Pada ABC, panjang AB dapat ditentukan menggunakan
rumus tangen,
tan 30o = 𝑦
𝑥 =
𝐵𝐶
𝐴𝐵
AB = 𝐵𝐶
tan 30𝑜
= 30001
3 ξ3
= 3000 . 3
ξ3 .
ξ3
ξ3
= 3000 . 3 ξ3
3
= 3000 ξ3 meter
30o
A B
C
D
E
37
Pada ADE, panjang AD juga dapat ditentukan menggunakan
rumus tangen,
tan 45o = 𝑦
𝑥 =
𝐷𝐸
𝐴𝐷
AD = 𝐷𝐸
tan 45𝑜
= 3000
1
= 3000 meter
Dengan demikian,
BD = AB – AD
= 3000 ξ3 – 3000
= 3000 (ξ3 – 1) meter
Kecepatan pesawat tersebut adalah :
v = 𝐵𝐷
𝑡 =
3000 (ξ3 – 1)
30
= 100 (ξ3 – 1) m/s
Jadi kecepatan pesawat tersebut adalah 100 (ξ3 – 1) m/s.
38
5. Dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan C pada waktu
yang bersamaan. Keduanya berlayar pada jalus yang lurus dan
membentuk sudut 60o satu sama lain. Jika kecepatan kapal A 25
km/jam dan kecepatan kapal B 15 km/jam. Tentukan jarak
antara kapal A dan B setelah berlayar selama 1 jam!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa antara kapal A dan
kapal B atau panjang AB dapat menggunakan rumus panjang
garis berat sebagai berikut:
C B
A
15 km/jam 60o
39
AB = 1
2 ξ𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 + 2 . 𝐴𝐶 . 𝐵𝐶 . cos 𝐶
= 1
2 ξ252 + 152 + 2 . 25 . 15 . cos 60𝑜
= 1
2 √625 + 225 + 2 . 375 .
1
2
= 1
2 ξ625 + 225 + 375
= 1
2 ξ1225
= 1
2 35
= 35
2
= 17,5 km
Jadi jarak kedua kapal setelah berlayar selama 1 jam adalah 17,5 km.
40
6. Seorang pendaki berada di puncak sebuah gunung, terlihat
ujung – ujung landasan pacu sebuah bandara yang berbentuk
horizontal dengan sudut depresi 45o dan 30o. Jarak ujung
landasan yang terdekat terhadap lereng gunung adalah 1200 m.
Tentukan panjang landasan pacu tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya pada ADC, panjang AC dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus tangen, yaitu :
tan 60o = 𝐴𝐶
𝐴𝐷
AC = AD . tan 60o
= 1200 . ξ3
= 1200 ξ3 meter
A B
C
D
41
Pada ABC, panjang AB dapat ditentukan dengan rumus
tangen, yaitu :
tan 30o = 𝐴𝐶
𝐴𝐵
AB = 𝐴𝐶
tan 30𝑜
= 1200 ξ3
1
3 ξ3
= 1200 ξ3 . 3
ξ3
= 3600 meter
Dengan demikian panjang landasan pacu,
DB = AB – AD
= 3600 – 1200
= 2400 meter
Jadi panjang landasan pacu tersebut adalah 2400 m atau 2,4 km.
42
7. Seorang anak bersepeda dari tempat A sejauh 24 m dengan arah
15o, kemudian berbelok sejauh 16 m ketempat B dengan arah
135o. Tentukan jarak A dan B!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
diketahui AB = 24 m, BC = 16 m dan ABC = 60o.
Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh :
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o
= (24)2 + (16)2 – 2 . 24 . 16 . 1
2
= 576 + 256 – 24 . 16
= 576 + 256 – 384
= 448
AC = ξ448
= 8ξ7
Jadi, jarak A ke B adalah 8ξ7 meter.
A
15o
45o
24 m
16 m
B
C
43
8. Pedagang kaki lima yang berada pada jarak 46 meter dari kaki
sebuah monumen mengamati sebuah kejadian langka
melintasnya sebuah pesawat ufo yang berada di atas sebuah
monumen dengan sudut elevasi masing masing 45o dan 60o.
Hitunglah jarak pesawat ufo tersebut terhadap puncak
monumen!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya, Pada ABC, diketahui AB = 46 m, A = 45o dan
B merupakan sudut siku – siku.
Dengan menggunakan rumus tangen, yaitu :
tan 𝐴1 = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
BC = AB . tan A
= 46 . tan 45o
= 46 . 1
= 46 meter
A B 45o
C
D
46 meter
44
Pada ABD, diketahui AB = 46 m, A = 45 + 15 = 60 dan B
merupakan sudut siku – siku.
Dengan menggunakan rumus tangen juga, diperoleh :
tan 𝐴2 = 𝐵𝐷
𝐴𝐵
BD = AB . tan 𝐴2
= 46 . tan 60o
= 46 . ξ3
= 46ξ3 meter
Dengan demikian jarak antara puncak monumen dengan
pesawat ufo didapat:
CD = BD – BC
= 46ξ3 – 46
= 46 (ξ3 – 1) meter
Jadi jarak puncak monumen dengan pesawat ufo adalah
46 (ξ3 – 1) meter.
45
9. Pejalan kaki dengan tinggi 164 cm mengamati puncak pemancar
dengan sudut elevasi 45o. Kemudian ia melanjutkan perjalanan
nya yang kebetulan searah dengan pemancar tersebut sejauh 36
m. Kemudian pejalan kaki tersebut berhenti dan mengamati
kembali puncak pemancar tersebut dengan sudut elevasi 60o.
Tentukan tinggi menara tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya, misalkan BD = x, pada ABC diketahui
AB = x + AD dan A = 45o.
Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :
tan A = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
BC = AB . tan A
= (x + AD) . tan 45o
45o 60o
36 meter A B
C
D
46
= (x + 36) . 1
= x + 36
BC = x + 36
x = BC - 36
Pada DBC, diketahui D = 60o dan DB = x.
Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :
tan 60o = 𝐵𝐶
𝐷𝐵
BC = DB . tan 60o
= x . ξ3
BC = ξ3x
Dengan demikian didapat :
BC = ξ3x
= ξ3 . (BC - 36)
= ξ3BC - 36ξ3
ξ3BC - BC = 36ξ3
(ξ3 – 1) BC = 36ξ3
BC = 36ξ3
ξ3 – 1 .
ξ3+ 1
ξ3+ 1
= 36 . 3+ 36ξ3
3−1
= 108+36ξ3
2
= 54 + 18ξ3
Jadi tinggi pemancar diperoleh dari jumlah tinggi pejalan kaki
ditambah tinggi BC = 164 + 54 + 18ξ3 = 218 + 18ξ3 meter.
47
10. Pekerja konstruksi berada di atas sebuah gedung pada
ketinggian tertentu. Pekerja tersebut mengamati sebuah
container dengan sudut depresi α. Ketika nilai tan α = 1, terlihat
bahwa container bergerak mendekat kedasar gedung. 12 menit
kemudian, sudut depresi dari container berubah menjadi β,
dengan nilai tan β = 4. Jika container bergerak dengan kecepatan
tetap, tentukan waktu container sampai kedasar gedung!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya misalkan BC = x.
Jarak container terhadap gedung saat sudut depresinya α adalah
AB. Karena tan α = 1, sehingga berlaku :
tan α = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
1 = 𝑥
𝐴𝐵
AB = x
α β
A B
C
D
48
Jarak container terhadap gedung saat depresinya β adalah BD.
Karena tan β = 4, maka berlaku :
tan β = 𝐵𝐶
𝐵𝐷
4 = 𝑥
𝐵𝐷
BD = 1
4 x
Dengan demikian, setelah 12 menit container telah bergerak
sepanjang AD, yaitu :
AD = AB – BD
= x - 1
4 x
= 3
4 x
Kecepatan container saat berjalan 12 menit itu yaitu :
v = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
=
3
4 𝑥
12
= 1
16 𝑥
Sehingga waktu yang diperlukan oleh container untuk
menempuh sisa jarak terhadap menara, yaitu :
waktu = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
𝑣
=
1
4 𝑥
1
16 𝑥
= 4 menit
Jadi waktu yang ditempuh container untuk sampai ke dasar
gedung adalah 4 menit.
49
11. Di atas sebuah mercusuar dengan tinggi 24ξ3 m terdapat
seseorang sedang memantau sebuah objek yang berada di
bawahnya dengan jarak sejauh 72 m. Tentukan sudut depresi
yang terbentuk!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya diketahui ABC sama dengan sudut αo karena
berseberangan.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh :
tan αo = 24ξ3
72
= 1
3ඥ3
tan αo = 30o
Jadi sudut depresi yang terbentuk adalah 30o.
αo
A B
C
𝛼𝑜
72 meter
24ඥ3 meter
50
12. Sebuah bus berjalan dari terminal A ke terminal B sejauh 40 km
dengan arah 25o. Dari terminal B, bus itu berjalan sejauh 50 km
menuju terminal C dengan arah 145o. Tentukan jarak antara
terminal A ke terminal C!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan
aturan cosinus.
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o
= (40)2 + (50)2 – 2 . 40 . 50 . 1
2
= 1600 + 2500 – 2000
= 2100
AC = ξ2100
=10ξ21
Jadi, jarak antara terminal A ke terminal C adalah 10ξ21 km.
40o
20o
40o
20o
A
B
C
51
13. Sebuah rel kereta menghubungkan titik timur dan titik barat
dengan jarak 8 km. Dari suatu titik tidak jauh dari rel, suatu
bangunan memiliki arah 30o ke barat dan 60o ke arah timur.
Tentukan jarak terpendek dari bangunan ke rel!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya diketahui panjang AB adalah 8 km dan CD
merupakan jarak terpendek antara bangunan dengan rel.
Menggunakan rumus tangen pada ADC, diperoleh :
tan 30o = 𝐴𝐷
𝐶𝐷
A B
C
D
Utara
Selatan
Timur Barat
8 km
30o
60o
52
Menggunakan rumus yang sama pada BCD, diperoleh:
tan 60o = 𝐵𝐷
𝐶𝐷
Selanjutnya, menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh:
tan 30o + tan 60o = 𝐴𝐷
𝐶𝐷 +
𝐵𝐷
𝐶𝐷
= 𝐴𝐷+𝐵𝐷
𝐶𝐷
CD = 𝐴𝐷+𝐵𝐷
tan 30𝑜 +tan 60𝑜
= 𝐴𝐵
1
3 ξ3 +ξ3
= 8
4
3 ξ3
= 8 . 3
4ξ3 .
ξ3
ξ3
= 2 ξ3 km
Jadi jarak terdekat antara bangunan dengan rel adalah 2 ξ3 km.
53
14. Di sebuah bukit barisan terdapat kelompok A dan B yang sedang
berkemah dengan jarak keduanya adalah 4 km. Kelompok A
memberitahukan kelompok B melalui ponsel bahwa mereka
sedang berdiri menghadap perkemahan kelompok B dan
menghidupkan laser yang ditembakan ke arah awan yang berada
diantara keduanya dengan sudut elevasi 45o sehingga mengenai
awan. Kelompok B mengamati lacer menggunakan klinometer
sehingga didapat sudut 30o. Tentukan tinggi awan tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
A
45o
B
C
4 km
75o
D
54
Selanjutnya tinjau ADC, misalkan CD = t.
Menggunakan konsep tangen, diperoleh :
tan A = 𝐶𝐷
𝐴𝐷
tan 45o = 𝐶𝐷
𝐴𝐷
1 = 𝐶𝐷
𝐴𝐷
AD = CD
AD = t
Kemudian tinjau BDC.
Menggunakan rumus yang sama, diperoleh :
tan 75o = 𝑡
4−𝑡
tan (45o + 30) = 𝑡
4−𝑡
tan 45𝑜+tan 30𝑜
1− tan 45𝑜 . tan 30𝑜 = 𝑡
4−𝑡
1+
1
3 ξ3
1− 1 . 1
3 ξ3
= 𝑡
4−𝑡
3 + ξ3
3 − ξ3 =
𝑡
4−𝑡
(3 + ξ3)(4 – t) = (3 − ξ3) t
12 – 3t + 4ξ3 – ξ3t = 3t – ξ3t
6t = 12 + 4ξ3
t = 4(3+ ξ3)
6
t = 2
3(3 + ξ3)
Jadi tinggi awan ersebut adalah 2
3(3 + ξ3) km.
55
15. Arsitek sebuah bangunan ingin mengukur tinggi dari bangunan
tersebut menggunakan klinometer. Arsitektur tersebut berdiri
dengan jarak tertentu lalu melihat kepuncak gedung dengan
menggunakan klinometer didapat sudut 45o. Kemudian dia
mencari sudut yang lain dengan cara mendekat ke arah gedung
sejauh 24 m sehingga didapat sudut pada klinometer sebesar
60o. Tentukan tinggi gedung tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya misalkan panjang BC = y dan AB = x.
Maka pada ABC berlaku :
tan 45o = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
1 = 𝑦
𝑥
x = y
A B
C
D 24 m 45o 60o
56
Pada BDC, berlaku :
tan 60o = 𝐵𝐶
𝐵𝐷
ξ3 = 𝑦
𝑥−24
ξ3 = 𝑥
𝑥−24
ξ3 (𝑥 − 24) = x
ξ3x − 24ξ3 = x
𝑥(ξ3 – 1) = 24ξ3
x = 24ξ3
ξ3 – 1 .
ξ3+ 1
ξ3+ 1
= 24 .3+ 24ξ3
3 – 1
= 24 .3+ 24ξ3
2
= 36 +12ξ3
= 12(ξ3 + 3) meter
Jadi didapatkan tinggi gedung tersebut adalah 12(ξ3 + 3) meter.
57
16. Disebuah lapangan terdapat perlombaan layang – layang. Salah
seorang peserta dengan tinggi 1,8 m sedang menaikan layang –
layang miliknya dengan benang sepanjang 300 m. Sudut yang
terbentuk antara benang dengan garis horizontal adalah 45o.
Tentukan ketinggian layang – layang tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.
Selanjutnya, misalkan tinggi layang – layang adalah T, dan
tinggi orang adalah to, sehingga T = t + to. Maka :
sin 45o = 𝑡
300
t = 300 . sin 45
= 300 . 1
2 ξ2
= 150 ξ2
t = t + to
= (150 ξ2 + 1,8) m
Jadi tinggi layang – layang tersebut adalah (150 ξ2 + 1,8) m.
45o
1,8 m
58
17. Tukang bangunan ingin menaiki atap rumah menggunakan
tangga yang panjangnya 14 m dan disandarkan pada tembok
rumah tersebut. Jika tangga tersebut membentuk sudut 30o
dengan tanah. Tentukan tinggi tembok tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Misalkan tinggi tembok adalah t, AC = 14 m dan A = 30o.
Karena yang diketahui besar sudut A dan sisi mirik maka
perbandingan yang berlaku adalah perbandingan sinus.
sin A = 𝐵𝐶
14
sin 30o = 𝑡
14
t = 14 . sin 30o
= 14 . 1
2
= 7 m
Jadi tinggi tembok rumah adalah 7 meter.
30o
A B
C
59
18. Seorang pemain skateboard sedang menjalani latihan
rutinitasnya. Pada latihan kali ini ia latihan pada lintasan yang
mempunya ketinggian 4 m dengan sudut kemiringan 30o.
Tentukan panjang lintasan dan panjang sisi miring!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya diketahui ABC dimana b = 4 m dan B = 30o.
Tinggi lintasan yang diketahui maka ada beberapa perbandingan
yang berlaku yaitu perbandingan sinus dan tangen.
sin 30o = 𝑏
𝑐
c = 𝑏
sin 30𝑜
= 41
2
c = 8 meter
30o
60
Untuk mencari panjang lintasan atau sisi a bisa menggunakan
beberapa cara, diantaranya menggunakan perbandingan tangen.
tan 30o = 𝑏
𝑎
a = 𝑏
tan 30o
= 4
1
3 ξ3
a = 4 . 3
ξ3 .
ξ3
ξ3
= 4 . 3
3 . ξ3
a = 4 ξ3 meter
Dikarenakan panjang sisi miring sudah diketahui sehingga
panjang sisi a juga dapat dicari menggunakan rumus pytagoras,
sehingga :
a = ξ82 − 42
= ξ64 − 16
= ξ48
a = 4 ξ3 meter
Jadi panjang lintasan skateboard dan panjang sisi miringnya
berturut – turut adalah 4 ξ3 meter dan 8 meter.
61
19. Perhatikan gambar di bawah ini!
Terlihat seorang anak terjun dari ketinggian tertentu namun
tidak sampai menyentuh air sungai yang sedang mengalir.
Tentukan berapa jauh anak tersebut terjun dan berapa ketinggian
dari air sungai ke ujung tali.
Pembahasan :
Misalkan dibuat sebuah ABC dimana A = 30o dan O
merupakan titik penghubung pada AB. Sehingga panjang dari
titik A ke B dapat dicari menggunakan perbandingan tangen.
Sehingga :
2 m
4 m
62
tan A = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
tan 30o = 4
𝐴𝑂+2
1
3ξ3 =
4
𝐴𝑂+2
AO + 2 = 4
1
3ξ3
AO + 2 = 4 . 3
ξ3 .
ξ3
ξ3
AO + 2 = 4 ξ3 (jarak antara air sungai dengan ujung tali)
AO = 4ξ3 – 2
= 2(2ξ3 – 1) meter
Jadi jarak anak tersebut terjun dan jarak dari air sungai ke ujung
tali berturut – turut adalah 2(2ξ3 – 1) meter dan 4 ξ3 meter.
63
20. Disebuah halaman sekolah terdapat dua orang siswa nakal yang
sedang dihukum untuk berdiri dan memandani puncak tiang
bendera. Kebetulan kedua siswa tersebut memiliki tinggi yang
sama yaitu 160 m. Siswa pertama berada tepat 6 meter didepan
siswa kedua. Jika sudut elevasi keduanya berturut – turut adalah
45o dan 60o. Tentukan tinggi tiang bendera tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya diketahui 2 sudut elevasi berturut – turut adalah 45o
dan 60o, tinggi kedua siswa adalah 160 m dan jarak antara murid
pertama dan kedua yang merupakan sebuah sisi samping sudut
elevasi, didapatkan perbandingan yang dapat digunakan yaitu
perbandingan tangen.
60o 45o
160 cm
6 m
A
C
B D
64
pada ABC didapat :
tan 45o = 𝐴𝐶
𝐴𝐵
1 = 𝐴𝐶
𝐴𝐷 +6
𝐴𝐷 + 6 = AC
𝐴𝐷 = AC – 6
Pada ACD didapat :
tan 60o = 𝐴𝐶
𝐴𝐷
tan 60o = 𝐴𝐶
𝐴𝐶−9
AC = (𝐴𝐶 − 6) . tan 60o
= (𝐴𝐶 − 6) . ξ3
= ξ3AC – 6ξ3
ξ3AC – AC = 6ξ3
AC(ξ3 – 1) = 6ξ3
AC = 6ξ3
ξ3 – 1 .
ξ3+ 1
ξ3+ 1
= 6 .3 + 6ξ3
3−1
AC = 9 + 3ξ3
Tiang bendera = AC + tinggi siswa
= 9 + 3ξ3 + 1,6
= 10,6 + 3ξ3 meter
Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10,6 + 3ξ3 meter.
65
21. Dua buah pemancar yang berjarak 20 km sedang memancarkan
gelombangnya membentuk sudut elevasi berturut – turut 30o dan
45o. Disaat bersamaan yang berlalu begitu cepat sebuah pesawat
melintas sehingga kedua gelombang tersebut tepat mengenai
pesawat sehingga membetuk sebuah segitiga. Tentukan tinggi
pesawat tersebut!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya dikarenakan jumlah sudut dalah = 180o sehingga
C = 180o – (30 + 45)o
= 180o – 75o
C = 105o
30o 45o
20 km
h a
A B
C
D
66
Untuk mencari nilai C = 105o gunakan rumus jumlah sinus,
sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o
= 1
2ξ2 .
1
2 +
1
2ξ2 .
1
2ξ3
= 1
4ξ2 +
1
4ξ6
= 1
4(ξ2 + ξ6)
Gunakan aturan sinus dalam segitiga, sehingga :
𝑎
sin 𝐴 =
𝑐
sin 𝐶
𝑎
sin 45𝑜 = 20
sin 105𝑜
𝑎1
2ξ2
= 20
1
4(ξ6 + ξ2)
a = 20 . 4
ξ6 + ξ2 .
ξ6 − ξ2
ξ6 − ξ2 .
1
2ξ2
= 400 . ξ6 − ξ2
6−2
= 100 (ξ6 − ξ2)
Sehingga untuk mencari tinggi pesawat berlaku rumus
perbandingan sinus.
sin B = 𝐶𝐷
𝐵𝐶
sin 30o = ℎ
𝑎
h = a . sin 30o
= 100 (ξ6 − ξ2) . 1
2
= 50 (ξ6 − ξ2)
Jadi tinggi pesawat tersebut adalah 50 (ξ6 − ξ2) km.
67
22. Disebuah perkampungan tradisi anak – anak apabila terdengar
suara pesawat mereka langsung keluar rumah dan melihat
kearah pesawat tersebut. Diketahui tinggi pesawat tersebut 140
km shingga membentuk sudut elevasi 30o. Tentukan jarak anak
terhadap pesawat!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
Selanjutnya dari pernyataan dan gambar di atas sehingga jarak
anak terhadap pesawat dapan dicari menggunakan perbandingan
sinus, sehingga :
sin 30o = 𝑥
𝑟
r = x . sin 30o
= 140 . 1
2
= 70 km
Jadi jarak anak terhadap pesawat adalah 70 km.
30o
140 km
68
23. Seorang pemuda joging di sebuah komplek perumahan dengan
titik awal adalah rumahnya. Pemuda tersebut memulai joging
kearah barat dengan sudut elevasi 30o lalu dilanjutkan kearah
tenggara dengan sudut elevasi 45o dan selanjutnya pemuda
tersebut kembali ke rumah nya dimana jarak terhadap rumahnya
adalah 200 m. Tentukan seberapa jauh pemuda tersebut joging!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.
Selanjutnya dari gambar di atas diketahui A = 30o,
B = C = 45o dan jarak AC = b = 200 m.
A
B
C
200 m
30o
45o
69
Dikarenakan yang diketahui adalah satu sisi dan dua sudut
sehingga panjang yang lainya dapat dicari menggunakan rumus
Aturan Sinus sebagai berikut :
𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵
Dikarenakan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o sehingga:
B = 180o – (30 + 45)o
= 180o – 75o
= 105o
sin 105o dapat dicari menggunakan rumus jumlah sehingga :
sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o
= 1
2ξ2 .
1
2 +
1
2ξ2 .
1
2ξ3
= 1
4ξ2 +
1
4ξ6
= 1
4(ξ2 + ξ6)
Jadi,
𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵
𝑎
sin 30𝑜 = 200
sin 105𝑜
a = 200
sin 105𝑜 . sin 30𝑜
= 200
1
4(ξ6 + ξ2)
. 1
2
= 200 . 1
2 .
4
ξ6 + ξ2 .
ξ6 − ξ2
ξ6 − ξ2
= 400 . ξ6 – ξ2
6 – 2
= 100 (ξ6 − ξ2) m
70
𝑏
sin 𝐵 =
𝑐
sin 𝐶
200
sin 105𝑜 = 𝑐
sin 45𝑜
2001
4(ξ6 + ξ2)
= 𝑐
1
2ξ2
c = 200
1
4(ξ6 + ξ2)
. 1
2ξ2
= 200 . 1
2ξ2 .
4
ξ6 + ξ2 .
ξ6 − ξ2
ξ6 − ξ2
= 400ξ2 . ξ6 – ξ2
6 – 2
= 100ξ2 . (ξ6 – ξ2)
= 100 . (ξ12 – 2)
= 100 . (2ξ3 – 2)
= 200(ξ3 – 1) meter
Jarak yang ditempuh sama dengan keliling segitiga.
Keliling = a + b + c
= 100 (ξ6 − ξ2) + 200 + 200(ξ3 – 1)
= 200 (1
2ξ6 + ξ3 -
1
2ξ2 - 1) meter
Jadi panjang lintasan joging pemuda tersebut adalah
200 (1
2ξ6 + ξ3 -
1
2ξ2 - 1) meter.
71
24. Dua buah sungai a dan b berpotongan di kelurahan C. Dinas PU
perairan kota berencana akan menghubungkan sungai yang
berada dikeluraha A dan B dengan memotong kedua sungai
yang ada dan membangun sungai c. Jika diketahui jarak sungai
antara kelurahan A dan C adalah 5 km. Sudut yang dibentuk
oleh sunga a dan b adalah 60o dan sudut yang dibentuk sungai
a dan c adalah 30o. Tentukan jarak sungai antara kelurahan A
dengan kelurahan B!
Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.
B
A
C
60o
72
Selanjutnya dari gambar di atas dapat diketahui bahwa terdapat
dua sudut dan satu sisi yang berhadapan dengan sudut sehingga
untuk mencari panjang sungai c berlaku Aturan Sinus sebagai
berikut :
𝑏
sin 𝐵 =
𝑐
sin 𝐶
5
sin 30𝑜 = 𝑐
sin 60𝑜
𝑐 = 5
sin 30𝑜 . sin 60𝑜
= 51
2
. 1
2 ξ3
= 5ξ3 km
Jadi panjang sungai c adalah 5ξ3 km.
73
25. Perhatikan gambar di bawah ini!
Tentukan tinggi pohon tersebut!
Pembahasan :
Terlebih dahulu cari panjang AB pada ABD menggunakan
perbandingan cosinus.
cos 𝐴1 = 𝐴𝐵
𝐴1𝐷
AB = 𝐴1𝐷 . cos 𝐴1
= 10 . cos 30o
= 10 . 1
2 ξ3
= 5ξ3
A = 𝐴1+ 𝐴2
= 30o + 30o
= 60o
A 30o
C
B
D
74
Untuk mencari panjang BC perbandingan yang memenuhi
adalah perbandingan tangen. Sehingga :
tan A = 𝐵𝐶
𝐴𝐵
BC = AB . tan 60o
= 5ξ3 . ξ3
= 15
Tinggi pohon didapat dari BC dikurang BD. Dikarenakan BD
belum diketahui sehingga untuk mencari panjang BD berlaku
perbandingan sinus.
sin 𝐴1 = 𝐵𝐷
𝐴𝐷
BD = AD . sin 𝐴1
= 10 . sin 30o
= 10 . 1
2
= 5
Sehingga didapat tinggi pohon tersebut adalah :
Tpohon = BC – BD
= 15 – 5
= 10 m
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 10 meter.
75
26. Tentukan jarak kedua layang – layang berikut!
Pembahasan :
Dari gambar di atas diketahui satu sudut yang diapit oleh 2 sisi
sehingga rumus yang berlaku adalah Aturan Cosinus.
Misalkan dibuat sebuah ABC dimana A = 60o, AB = 100 m
dan AC = 200 m. Sehingga :
BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cos A
= 2002 + 1002 – 2 . 200 . 100 . cos 60o
= 40000 + 10000 – 40000 . 1
2
= 50000 – 20000
BC2 = 30000
BC = ξ30000
= 100ξ3 m
Jadi jarak kedua layang – layang tersebut adalah 100ξ3 m.
76
27. Tentukan tinggi tiang yang berada di atas gedung berikut!
Pembahasan :
Pertama – tama cari sisi miring segitiga kecil menggunakan
perbandingan cosinus, sehingga :
cos 60o = 𝑥
𝑟
r = 𝑥
cos 60𝑜
= 21
2
= 4 m
Diketahui ACD, A = 15o, D = 180o – 30o = 150o, C =
15o dan panjang AD = 4 km sehingga untuk mencari tinggi tiang
atau panjang CD berlaku aturan sinus, sebagai berikut :
𝑎
sin 𝐴 =
𝑐
sin 𝐶
𝑎
sin 15𝑜 = 4
sin 15𝑜
a = 4 . sin 15𝑜
sin 15𝑜
a = 4 m
Jadi tinggi tiang tersebut adalah 4 meter.
60o
2 m A
C
D
B
77
Fungsi Trogonometri
28. Tentukan nilai perbandingan sinus dan cosinus dari sudut α dan
β pada segitiga di bawah ini!
Pembahasan :
Panjang sisi miring segitiga di atas dicari menggunakan rumus
pytagoras.
r = ξ𝑎2 + 𝑏2
= √(2ඥ3)2 + (4ඥ2)2
= ξ4 . 3 + 16 . 2
= ξ12 + 32
= ξ44
= 2ξ11
α
β
2ඥ3
4ඥ2
α
β
a = 2ඥ3
b = 4ඥ2
r = 2ඥ11
78
Sehingga,
sin 𝛼 = 𝑎
𝑟
= 2ξ3
2ξ11
= 2ξ3
2ξ11 .
ξ11
ξ11
= 2ξ33
2 . 11
= ξ33
11
= 1
11 ඥ33
cos 𝛼 = 𝑏
𝑟
= 4ξ2
2ξ11
= 2 . 2 ξ2
2ξ11 .
ξ11
ξ11
= 2 . 2 ξ22
2 . 11
= 2 ξ22
11
= 2
11 ඥ22
sin β = 𝑏
𝑟
= 4ξ2
2ξ11
= 2 . 2 ξ2
2ξ11 .
ξ11
ξ11
= 2 . 2 ξ22
2 . 11
= 2 ξ22
11
= 2
11 ඥ22
cos β = 𝑎
𝑟
= 2ξ3
2ξ11
= 2ξ3
2ξ11 .
ξ11
ξ11
= 2ξ33
2 . 11
= ξ33
11
= 1
11 ඥ33
Jadi perbandingan sin 𝛼 : cos 𝛼 dan sin 𝛽 : cos β berturut – turut
adalah ඥ33 : 2ඥ22 dan 2ඥ22 : ඥ33.
79
29. Buktikan identitas trigonometri dari tan x + cot x = sec x . csc x.
Pembahasan :
Ruas kiri
tan x + cot x definisi tan x dan cot x
sin 𝑥
cos 𝑥 +
cos 𝑥
sin 𝑥 penjumlahan pecahan
𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥
sin 𝑥 .cos 𝑥 rumus identitas
1
sin 𝑥 .cos 𝑥 definisi sec x dan csc x
sec 𝑥 . csc x
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,
tan x + cot x = sec x . csc x
30. Buktikan identitas trigonometri :
(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x
Pembahasan :
Ruas kiri
(1 – cos x) (csc x + cot x)
csc x + cot x – cos x . csc x – cos x . cot x
1
sin 𝑥 +
cos 𝑥
sin 𝑥 – cos x .
1
sin 𝑥 – cos x .
cos 𝑥
sin 𝑥
1+cos 𝑥−cos 𝑥− 𝑐𝑜𝑠2𝑥
sin 𝑥
80
1− 𝑐𝑜𝑠2𝑥
sin 𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,
(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x
Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut
31. Jika α + β = 𝜋
3 dan cos α cos β =
2
3, tentukan nilai cos (α – β)!
Pembahasan :
α + β = 𝜋
3 kedua ruas sama-sama dijadikan cos
cos (α + β) = cos 𝜋
3
= 1
2
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
1
2 =
2
3 - sin α sin β
sin α sin β = 2
3 .
1
2
= 1
6
81
Sehingga didapat nilai :
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
= 2
3 +
1
6
= 5
6
Jadi nilai cos (α – β) adalah 5
6.
32. Diketahui sin α = 5
13 dan cos β =
3
5, sudut α dan β merupakan
sudut lancip. Tentukan nilai dari sin (α + β)!
Pembahasan :
Cara I
Gunakan dua buah segitiga bantu untuk menentukan nilai fungsi
trigonometri yang lain.
αo
5 13
A B
C
βo
3
5
A B
C
82
Dengan rumus pytagoras AC-2 = AB2 + BC2
AB2 = AC2 – BC2
AB = ξ𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2
= ξ132 − 52
= ξ169 − 25
= ξ144
= 12
BC2 = AC2 – AB2
BC = ξ𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵2
= ξ52 − 32
= ξ25 − 9
= ξ16
= 4
Cara II
Gunakan rumus identitas 𝑠𝑖𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1 atau sin α = ±
ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2 α atau cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2 α
jika sin α = 5
13 , maka cos α = ± √1 − (
5
13)2
= + √1 − 25
169 (α sudut lancip)
= + √169
169−
25
169
83
= + √144
169
= + 12
13
Jika cos β = 3
5 , maka sin α = ± √1 − (
3
5)2
= + √1 − 9
25 (a sudut lancip)
= + √25
25−
9
25
= + √16
25
= + 4
5
sin (α + β) = sin α . cos β + cos α . sin β
= 5
13 .
3
5 +
12
13 .
4
5
= 15
65 +
48
65
= 63
65
Jadi nilai sin (α + β) adalah 63
65.
84
33. Tanpa menggunakan daftar atau kalkulator, Hitunglah tan 15o!
Pembahasan :
Bentuk tan 15o diubah terlebih dahulu kebentuk tan (45o – 30o),
kemudian gunakan rumus tan (α – β), sehingga :
tan 15o = tan (45o – 30o)
= tan 𝛼−tan 𝛽
1+tan 𝛼 .tan 𝛽
= tan 30−tan 30
1+tan 30 .tan 30
= tan 45−tan 30
1+tan 45 .tan 30
= 1 −
1
3 ξ3
1+1 . 1
3 ξ3
= 1−
1
3 ξ3
1+ 1
3 ξ3
. 1−
1
3 ξ3
1− 1
3 ξ3
= 1−
2
3 ξ3+
1
3
1− 1
3
=
4
3 −
2
3 ξ3
2
3
= 2 - ξ3
Jadi nilai tan 15o adalah 2 - ξ3.
85
Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan
34. Diketahui sin α = 3
5 dan α adalah sudut lancip. Hitunglah nilai
dari tan 1
2 α!
Pembahasan :
Berdasarkan rumus cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 diperoleh :
cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼
= ± √1 − (3
5)
2
= ± √1 − 9
25
= ± √16
25
= ± 4
5
Karena α sudut lancip, maka cos α = 4
5
tan 1
2α =
sin 𝛼
1+cos 𝛼
=
3
5
1+4
5
=
3
59
5
= 1
3
Jadi nilai tan 1
2 α adalah
1
3.
86
35. Diketahui cos2 1
2𝜃 =
1
3 untuk
𝜋
2 < 𝜃 < 𝜋. Tentukan nilai tan 𝜃!
Pembahasan :
cos2 1
2𝜃 =
1
3
sin2 1
2𝜃 = 1 - cos2 1
2𝜃 =
2
3
Dari kedua persamaan tersebut sehingga didapat nilai sebagai
berikut :
tan2 1
2𝜃 =
𝑠𝑖𝑛2 1
2𝜃
𝑐𝑜𝑠2 1
2𝜃 =
2
31
3
= 2
tan 1
2𝜃 = ξ2
tan 𝜃 = 2 𝑡𝑎𝑛2
1
2𝜃
1 − 𝑡𝑎𝑛2 1
2𝜃
= 2ξ2
1−2
= - 2 ξ2
Dikarenakan 𝜋
2 < 𝜃 < 𝜋 berada di kwadran 2 sehingga tangen
bernilai negatif.
87
Sudut Lipat dan Pangkat
36. Diketahui sin α = 0,6 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai dari
cos 4α!
Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 diperoleh,:
cos α = ± ξ1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼
= ± ඥ1 − 0,62
= ± ξ1 − 0,36
= ± ξ0,64
= ± 0,8
Karena α sudut lancip, maka cos α = 0,8
cos 4α = 8 𝑐𝑜𝑠4𝛼 – 8 𝑐𝑜𝑠2α + 1
= 8 . 0,84 – 8 . 0,82 + 1
= 8 . 0,4096 – 8 . 0,64 + 1
= 3,2768 – 5,12 + 1
= - 0,8432
Jadi nilai cos 4α adalah - 0,8432.
88
37. Diketahui cos α = 3
5 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai sin4 α!
Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus sin α = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 diperoleh :
sin α = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼
= ± √1 − (3
5)
2
= ± √1 − 9
25
= ± √16
25
= ± 4
5
Karena α sudut lancip, maka yang memenuhi sin α = 4
5
sin4 α = 3
8 -
1
2 . cos 2α +
1
8 . cos 4α
Menggunakan rumus penjumlahan,
cos 2α = cos (α + α)
= cos α . cos α – sin α . sin α
= cos2𝛼 - sin2α
= (3
5)
2
- (4
5)
2
= 9
25 -
16
25
= - 7
25
89
Dengan cara yang sama didapat :
cos 4α = 8 . cos4𝛼 – 8 . cos2𝛼 + 1
= 8 . (3
5)
4
- 8 . (3
5)
2
+ 1
= 8 . 81
625 – 8 .
9
25 + 1
= 648
625 -
72
25 + 1
= 648−1800+625
625
= - 527
625
sin4 α = 3
8 -
1
2 . cos 2α +
1
8 . cos 4α
= 3
8 -
1
2 . cos 2α +
1
8 . cos 4α
= 3
8 –
1
2 . (-
7
25) +
1
8 . (-
527
625)
= 3
8 +
7
50 -
527
5000
= 3 . 625 +7 . 100 − 527
5000
= 1875 +700 − 527
5000
= 2048
5000
= 8 . 256
8 . 625
= 256
625
Jadi nilai sin4 α adalah 256
625.
90
Aturan Segitiga dalam Trigonometri
38. Diketahui ABC dengan A = 60o, B = 45o, dan sisi a = 8
cm. Tentukan kedua sisi yang lain!
Pembahasan :
Ilustasikan ke dalam bentuk gambar.
Berdasarkan aturan sinus 𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵 diperoleh,
𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵
8
sin 60 =
𝑏
sin 45
81
2ξ3
= 𝑏
1
2ξ2
b = 8
1
2ξ3
. 1
2ξ2
= 8 ξ2
ξ3 .
ξ3
ξ3
= 8 ξ6
3 cm
C = 180o – (60o + 45o)
= 75o
60o A B
C
8
45o
91
sin C = sin 75o
= sin (45 + 30)o
= sin 45o . cos 30o + cos 45o . sin 30o
= 1
2ξ2 .
1
2ξ3 +
1
2ξ2 .
1
2
= 1
4ξ6 +
1
4ξ2
= 1
4(ξ6 + ξ2)
𝑏
sin 𝐵 =
𝑐
sin 𝐶
8
sin 45 =
𝑐
sin 75
81
2ξ2
= 𝑏
1
4(ξ6 + ξ2)
c = 8
1
2ξ2
. 1
4(ξ6 + ξ2)
=
1
21
2
. 8 .
1
2 (ξ6 + ξ2)
ξ2
= 4 (ξ6 + ξ2)
ξ2 .
ξ2
ξ2
= 4 (ξ12 + ξ4)
2
= 4 (2ξ3 + 2)
2
= 4 ξ3 + 4
= 4 (ξ3 + 1) cm
Jadi nilai sisi b dan c berturut adalah 8 ξ6
3 cm dan 4 (ξ3 + 1) cm.
92
39. Dalam sebuah ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, sisi b =
4 cm dan C = 60o. Tentukan panjang sisi c dan kedua
sudut lainya!
Pembahasan :
Berdasarkan rumus aturan cosinus c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C
c2 = 62 + 42 – 2 . 6 . 4 . cos 60o
= 36 + 16 – 48 . 1
2
= 52 – 24
= 28
c = ξ28
= 2ξ7 cm
Untuk mencari A digunakan rumus cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2 . 𝑏 . 𝑐,
sehingga :
cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2 . 𝑏 . 𝑐
= 42+ (2ξ7)2− 62
2 . 4 . 2ξ7
= 16 + 28 − 36
16 ξ7
= 8
16 ξ7
= 1
2 ξ7 .
ξ7
ξ7
= ξ7
2 . 7
B A
C
4 6
60o
93
= ξ7
14
cos A = 1
14 ξ7
A 79,1o
Jadi, panjang sisi c = 2ξ7 cm, A 79,1o dan B 180 – (60
+ 79,1)o 40,9o.
40. Diketahui luas PQR adalah 20 cm2. Jika PQ = 8 cm dan PR =
10 cm, Hitunglah besar sudut P!
Pembahasan :
Luas PQR = 1
2 . PQ . PR . sin P
20 = 1
2 . 8 . 10 . sin P
20 = 40 . sin p
sin p = 20
40
= 1
2
p = 30o
Jadi besar sudut P = 30o.
94
41. Hitunglah luas KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 8 cm,
KM = 14 cm dan LM = 10 cm!
Pembahasan :
Keliling KLM (2s) = KL + KM + LM
= 8 cm + 14 cm + 10 cm
= 32 cm
s = 16 cm
Luas KLM = ඥ𝑠 (𝑠 − 𝐾𝐿) (𝑠 − 𝐾𝑀) (𝑠 − 𝐿𝑀)
= ඥ16 (16 − 8) (16 − 14) (16 − 10)
= ξ16 . 8 . 2 . 6
= ξ16 . 4 . 2 . 2 . 6
= 4 . 2 . 2 ξ6
= 16 ξ6 cm2
Jadi Luas KLM = 16 ξ6 cm2.
95
42. Hitunglah luas ABC, jika diketahui A = 75o dan B = 15o
sedangkan panjang sisi c = 8 cm!
Pembahasan :
Jumlah sudut dalam segitiga = 180o, sehingga :
C = 180o – (75o + 15o)
= 180o – 90o
= 90o
Dengan rumus luas ABC = 1
2 . c2 .
sin 𝐴 sin 𝐵
sin 𝐶 diperoleh,
luas ABC = 1
2 . c2 .
sin 𝐴 sin 𝐵
sin 𝐶
= 1
2 . 82 .
sin 75 sin 15
sin 90
= 1
2 . 64 .
1
2 {1 +
1
2 ξ3}
1
= 1
2 . 64 .
1
2 {1 +
1
2 ξ3}
= 16 . {1 + 1
2 ξ3}
= 8 (2 + ξ3) cm2
sin A sin B dicari menggunakan rumus perkalian.
sin A sin B = 1
2 {sin (A + B) + sin (A – B)}
= 1
2 {sin (75o + 15o) + sin (75o – 15o)}
= 1
2 {sin 90o + sin 60o}
= 1
2 {1 +
1
2 ξ3}
Jadi diperoleh luas ABC = 16 + 8 ξ3 cm2.
96
43. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 8 cm, AC = 6 cm
dan BC = 4 cm. Hitunglah nilai dari sin A!
Pembahasan :
Dikeahui panjang sisi a = 4 cm, b = 6 cm dan c = 8 cm
Sedangkan keliling ABC (2s) = (4 + 6 + 8) cm
= 18 cm
s = 9 cm
Berdasarkan rumus sin 1
2 A = √
(𝑠−𝑏) (𝑠−𝑐)
𝑏 . 𝑐 , sehingga diperoleh :
sin 1
2 A = √
(𝑠−𝑏) (𝑠−𝑐)
𝑏 . 𝑐
= √(9−6) (9−8)
6 . 8
= √3 . 1
48
= √3
48
= √1
16
= 1
4
97
Dari rumus cos A = 1 – 2 sin2 1
2 A didapat,
cos A = 1 – 2 . (1
4)2
= 1 – 2 . 1
16
= 1 – 1
8
= 8
8 –
1
8
= 7
8
Sehingga dengan rumus sin A = ± ξ1 − 𝑐𝑜𝑠2𝐴 didapat nilai
sin A sebagai berikut :
sin A = ± √1 − (7
8)
2
= ± √1 − 49
64
= ± √64 − 49
64
= ± √15
64
= + 1
8 ξ15 ( karena A sudut lancip maka nilai sin A
bernilai positif)
Jadi nilai sin A yang memenuhi adalah 1
8 ξ15.
98
44. Dari soal no 43 carilah nilai dari cos B!
Pembahasan :
Berdasarkan rumus cos 1
2 B = √
𝑠 (𝑠−𝑏)
𝑎 . 𝑐 sehingga diperoleh :
cos 1
2 B = √
𝑠 (𝑠−𝑏)
𝑎 . 𝑐
= √9 (9−6)
4 . 8
= √9 . 3
4 . 8
= √27
32
Dari rumus cos B = 2 cos2 1
2 B – 1 didapat nilai:
cos B = 2 cos2 1
2 B – 1
= 2 . (√27
32)2 – 1
= 2 . 27
32 – 1
= 27
16 –
16
16
= 11
16
Karena nilai cos B positif maka sudut B lancip atau < 90o.
99
45. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm
dan CAB = 60o. CD merupakan tinggi ABC. Tentukan
panjang CD!
Pembahasan :
CD adalah tinggi ABC
Luas ABC = 1
2 . alas . tinggi =
1
2 . AB . CD
Lihat aturan sinus dan cosinus
Luas ABC = 1
2 . AB . sin γ
= 1
2 . AC . sin β
= 1
2 . BC . sin α
Diketahui :
AC = 4 cm
AB = 3 cm
α = 60o
A B
C
D
4 cm
100
Maka :
1
2 . AB . CD =
1
2 . AB . AC. sin α
Luas ABC = 1
2 . AB . AC . sin α
= 1
2 . 3 . 4 . sin 60o
= 6 . 1
2 ξ3
1
2 . AB . CD = 3ξ3
CD = 3ξ3
1
2 .AB
= 3ξ31
2 .3
= 2 ξ3 cm
Jadi panjang tinggi CD adalah 2 ξ3 cm.
101
46. Diketahui ABC dengan panjang sisi masing – masing, a = 4
cm, b = 6 cm dan c = 8 cm. Tentukan panjang garis tinggi CD!
Pembahasan :
Buatlah terlebih dahulu gambar yang dimaksud
Berdasarkan rumus luas ABC
L = ඥ𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐), Dimana :
2s = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
S = 𝑎+𝑏+𝑐
2
= 4+6+8
2
= 18
2
= 9
L = ඥ9(9 − 4)(9 − 6)(9 − 8)
= ξ9 . 5 . 3 . 1
= 3 ξ15 cm2
A B
C
D
F
E
102
Selanjutnya berdasarkan rumus luas ABC (L) yang lain, yaitu
L = 1
2 alas x tinggi, maka panjang garis tinggi CD, maka :
L = 1
2 alas x tinggi
= 1
2 . AB . CD
3ξ15 = 1
2 . 8 . CD
3ξ15 = 4 . CD
CD = 3ξ15
4
Jadi panjang garis tinggi CD = 3ξ15
4 cm.
103
47. Dari soal no 46 carilah panjang garis bagi BE!
Pembahasan :
Untuk menentukan panjang garis bagi BE, tentukan terlebih
dahulu nilai cos 1
2 B.
Kemudian gunakan rumus panjang garis bagi sudut dalam
BE = 2 .𝑎.𝑐.cos
1
2 𝐵
𝑎+𝑏.
Berdasarkan rumus cos B = 𝑎2+𝑐2−𝑏2
2 .𝑎.𝑐 sehingga didapat :
cos B = 𝑎2+𝑐2−𝑏2
2 .𝑎.𝑐
= 42+82−62
2.4.8
= 16+64−36
64
= 44
64
= 11
16
Selanjutnya gunakan rumus sudut pertengahan cos 1
2 B = ±
√1+cos 𝐵
2, sehingga:
cos 1
2 B = ± √
1+11
16
2
= ± √(1 +11
16) (
1
2)
104
= ± √(11
16+
11
16) (
1
2)
= ± √(22
16) (
1
2)
= ± √11
16
= + 1
4ξ11 (B sudut lancip sehingga bernilai positif)
Panjang garis bagi sudut dalam BE adalah :
BE = 2 .𝑎.𝑐.cos
1
2 𝐵
𝑎+𝑏
= 2 .4.8.
1
4ξ11
4+6
= 2 .4.8.
1
4ξ11
4+6
= 16ξ11
10
= 8ξ11
5
Jadi panjang garis bagi BE adalah 8ξ11
5 cm.
105
48. Dari soal no 46 carilah panjang garis berat AF!
Pembahasan :
Rumus panjang garis berat AF
AF = 1
2 ξ𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 . cos 𝐴
Selanjutnya nilai cos A diperoleh dari rumus cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2.𝑏.𝑐
, sehingga :
cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2.𝑏.𝑐
= 62+ 82− 42
2.6.8
= 36+ 64− 16
96
= 84
96
= 7
8
Didapat panjang garis berat AF sebagai berikut :
AF = 1
2 √62 + 82 + 2.6.8 .
7
8
= 1
2 ξ36 + 64 + 84
= 1
2 ξ184
= 1
2 . 8 ξ23
= 4 ξ23
Jadi panjang garis berat AF = 4 ξ23 cm.
106
49. Perhatikan gambar berikut!
Dari titik C puncak menara D mempunyai sudut elevasi 30o dan
dari titik B sudut elevasinya 45o. Sedangkan jarak BC = 12 cm.
Carilah panjang CD.
Pembahasan :
Karena diketahui B pada ABD = 45o sehingga pada CBD
didapat B = 180o – 45o = 135o dan D = 180o – (135o + 30o)
= 15o.
Sehingga panjang CD dapat dicari menggunakan aturan sinus
sebagai berikut :
Terlebih dahulu cari sin 135o dan sin 15o.
sin 135o = sin (180o – 45o)
= sin 45o
= 1
2 ξ2 (+ karena di kwadran II sin bernilai positif)
A C B
D
12 cm
45o 30o
107
sin 15o = sin (45o – 30o)
= sin 45o.cos 30o + cos 45o.sin 30o
= 1
2 ξ2 .
1
2 ξ3 +
1
2 ξ2 .
1
2
= 1
4 ξ6 +
1
4 ξ2
= 1
4 (ξ6 + ξ2)
𝐶𝐷
sin 𝐵 =
𝐵𝐶
sin 𝐷
𝐶𝐷
sin 135 =
12
sin 15
𝑏1
2 ξ2
= 12
1
4 (ξ6 + ξ2)
CD = 12
1
4 (ξ6 + ξ2)
. 1
2 ξ2
= 12
ξ6 + ξ2 .
1
2 ξ2 .
4
1
= 24 ξ2
ξ6 + ξ2 .
ξ6 − ξ2
ξ6 − ξ2
= 24 ξ12−24 . 2
6 − 2
= 24 .2 ξ3−24 . 2
4
= 12 ξ3 – 12
= 12 (ξ3 – 1)
Jadi panjang CD = 12 (ξ3 – 1) cm.
108
50. Dari soal no 49 carilah panjang AB!
Pembahasan :
Untuk mencari panjang AB kita menggunakan rumus sinus,
𝑎
sin 𝐴=
𝑏
sin 𝐵=
𝑐
sin 𝐶
Sehingga kalau diaplikasikan pada ABD didapat rumus,
𝐵𝐷
sin 𝐴 =
𝐴𝐷
sin 𝐵 =
𝐴𝐵
sin 𝐷
Panjang sisi BD dicari terlebih dahulu menggunakan rumus
sinus pada CBD = 𝐵𝐷
sin 𝐶=
𝐷𝐶
sin 𝐵 sehingga didapat :
𝐵𝐷
sin 𝐶 =
𝐷𝐶
sin 𝐵
𝐵𝐷
sin 30𝑜 = 12 (ξ3 – 1)
sin 135𝑜
𝐵𝐷1
2
= 12 (ξ3 – 1)
1
2 ξ2
BD = 12 (ξ3 – 1)
1
2 ξ2
. 1
2
= 12 (ξ3 – 1)
ξ2 .
ξ2
ξ2
= 12(ξ6 –ξ2)
2
= 6(ξ6 – ξ2) cm
109
Sehingga didapat panjang AB sebagai berikut :
𝐵𝐷
sin 𝐴 =
𝐴𝐵
sin 𝐷
6(ξ6 –ξ2)
sin 90𝑜 = 𝐴𝐵
sin 45𝑜
6(ξ6 –ξ2)
1 =
𝐴𝐵1
2 ξ2
AB = 6(ξ6 – ξ2) . 1
2 ξ2
= 3(ξ12 – 2)
= 3(2ξ3 – 2)
= 3 . 2 (ξ3 – 1)
= 6 (ξ3 – 1) cm
Jadi didapat panjang AB = 6 (ξ3 – 1) cm
110
Perubahan Bentuk
51. Nyatakan bentuk cos + sin dengan bentuk k cos ( - a)
dimana k adalah konstanta dan a dalam radian!
Pembahasan :
Misalkan : cos + sin = k cos ( - a) maka
cos + sin = k cos cos a – k sin sin a
atau k cos a = 1
k sin a = 1
k = ξ1 + 1
= ξ2
a pada kwadran 1 ( karena a = 1 dan b = 1),
Sehingga tan a = 1 dan tan a = 𝜋
4
Jadi cos + sin = ξ2 cos ( - 𝜋
4).
111
Persamaan dan Pertidaksamaan
52. Untuk –180o ≤ x ≤ 180o, tentukan nilai x yang memenuhi
sin x = 1
2!
Pembahasan :
sin x = 1
2
sin x = sin 30o
Berdasarkan rumus jika sin x = sin a dan a diketahui maka :
𝑥1 = a ± k . 360o
𝑥2 = (180 – a) ± k. 360o
Jadi, jika sin x = sin 30o, maka :
𝑥1 = a ± k . 360o
untuk k = - 1 → x = 30o – 360o = - 330o (tidak memenuhi)
untuk k = 0 → x = 30o ± 0o = 30o (memenuhi)
untuk k = 1 → x = 30o + 360o = 390o (tidak memenuhi)
𝑥2 = (180 – a) ± k. 360o
untuk k = - 1 → x = 150o – 360o =-210o(tidak memenuhi)
untuk k = 0 → x = 150o ± 0o = 150o (memenuhi)
untuk k = 1 → x = 150o + 360o = 510o (tidak memenuhi)
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = 1
2 dalam interval
– 180o ≤ x ≤ 180o adalah {30o, 150o}.
112
53. Untuk – 2π ≤ x ≤ 2π, Tentukanlah nilai x yang memenuhi
persamaan 2 cos x = 1!
Pembahasan :
2 cos x = 1
cos x = 1
2
cos x = cos 𝜋
3
Berdasarkan rumus jika cos x = cos a dan a diketahui maka :
𝑥1 = a ± 2kπ
𝑥2 = (2π – a) ± 2kπ
Sederhanakan menjadi : 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± a ± 2kπ
Jadi, jika cos x = cos 𝜋
3, maka :
𝑥1 𝑑𝑎𝑛 2 = ± 𝜋
3 ± 2kπ
untuk k = - 1 → x = + 𝜋
3 - 2π = -
5
3 𝜋 (memenuhi)
dan x = - 𝜋
3 - 2π = -
7
3 𝜋 ( tidak memenuhi)
untuk k = 0 → x = 𝜋
3 ± 0o =
𝜋
3 (memenuhi)
dan x = - 𝜋
3 ± 0o = -
𝜋
3 (memenuhi)
untuk k = 1 → x = 𝜋
3 + 2π =
7
3 𝜋 (tidak memenuhi)
dan x = - 𝜋
3 + 2π =
5
3 𝜋 (memenuhi)
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos x = 1 dalam interval
– 2π ≤ x ≤ 2π adalah {- 5
3 𝜋, -
𝜋
3,
𝜋
3,
5
3 𝜋}.
113
54. Hitunglah himpunan Penyelesaian Persamaan cos2 x - ξ3 sin x
+ 2 sin2 x – 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos2 x - ξ3 sin x + 2 sin2 x – 2 = 0
cos2 x - ξ3 sin x + 2 cos2 x = 0
- cos2 x - ξ3 sin x cos x = 0
cos x ( - cos x - ξ3 sin x ) = 0
Maka penyelesaian dari persamaan tersebut haruslah
memenuhi:
❖ cos x = 0,
himpunan penyelesaian pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah {90 o, 270 o }.
❖ - cos x - ξ3 sin x = 0
- ξ3 sin x cos x = cos2 x
- ξ3 sin x = cos x
𝑺𝒊𝒏 𝒙
𝑪𝒐𝒔 𝒙 = -
1
ξ3
tan x = - 1
3 ξ3
Himpunan penyelesaian tan x = - 1
3 ξ3 pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah
{150o, 330o} Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan
tersebut adalah {90 o, 150 o, 270 o, 330 o}.
114
55. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x + 1 = 0
untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + cos x + 1 = 0
(2 cos2 x – 1) + cos x +1 = 0
2 cos2 x + cos x = 0
cos x (2 cos x + 1) = 0
cos x = 0 atau 2 cos x + 1 = 0
cos x = 0 atau cos x = - 1
2
Sehingga kita dapat himpunan penyelesaianya sebagai berikut :
cos x = 0 maka x = 90 o, 270 o
cos x = - 1
2 maka x = 120o, 240 o
Jadi himpunan penyelesainya adalah{90o, 120o, 240o, 270o}.
115
56. Hitunglah himpunan penyelesaian dari persamaan
cos 2x + 3sin x + 1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0
1 – 2 sin2 x + 3 sin x + 1 = 0
– 2 sin2 x + 3 sin x + 2 = 0
2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0
(2 sin x + 1) (sin x – 2) = 0
Pembuat nol
2 sin x + 1 = 0 atau sin x – 2 = 0
sin x = - 1
2 (memenuhi)
sin x = 2 (tidak memenuhi)
Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan sin x = - 1
2
Nilai sin negatif berada di kwadran III dan IV, sehingga
himpunan penyelesaian nya adalah :
❖ Kwadran III
sin x = sin (180o + 30o)
= sin 210o
❖ Kwadran IV
sin x = sin (360o – 30o)
= sin 330o
Jadi himpunan penyelesaian nya adalah {210o, 330o).
116
57. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + 3 cos x + 2 = 0
(2 cos2x – 1) + 3 cos x + 2 = 0
2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x + 1) (cos x + 1) = 0
Pembuat nol
2 cos x + 1 = 0 atau cos x + 1 = 0
2 cos x + 1 = 0
cos x = - 1
2
cos x + 1 = 0
cos x = -1
Jadi nilai x memenuhi persamaan :
cos x = - 1
2
❖ Kwadran II
cos x = cos (180 – 60)o
= cos 120 o
❖ cos x = - 1
= cos 180 o
❖ Kwadran III
cos x = cos (180 + 60)o
= cos 240 o
Jadi himpunan penyelesaian adalah {120 o, 180 o, 240 o }.
117
58. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan
4 sin x = 1 + 2 cos 2x, 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
4 sin x = 1 + 2 cos 2x
- 2 cos 2x + 4 sin x – 1 = 0
-2 (1 – 2 sin2 x) + 4 sin x – 1 = 0
4 sin2 x + 4 sin x – 3 = 0
(2 sin x + 3) (2 sin x – 1) = 0
Pembuat nol
2 sin x + 3 = 0 atau 2 sin x -1 = 0
2 sin x + 3 = 0
sin x = - 3
2 (tidak memenuhi)
2 sin x – 1 = 0
sin x = 1
2 (memenuhi)
Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan adalah 1
2. Sehingga :
❖ Tidak memenuhi
karena |sin 𝑥| ≤ 1
sin x = 1
2
= sin 30o
❖ Kwadran I
sin x = sin 30o
❖ Kwadran II
sin x = sin (180 – 30)o
= sin 150o
Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{30o, 150o}.
118
59. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi
trigonometri y = - 5 . cos x – 7!
Pembahasan :
Menggunakan rumus -1 ≤ cos x ≤ 1, sehingga :
-1 ≤ cos x ≤ 1 semua ruas dikali (-5)
5 ≤ -5 cos x ≤ -5 semua ruas dikurang 7
5 – 7 ≤ -5 cos x -7 ≤ -5 -7
-2 ≤ -5 cos x -7 ≤ -12
Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 5 . cos x – 7 adalah -2 dan
nilai minimumnya adalah -12.
60. Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri
y = - 2sin x – 22!
Pembahasan :
Menggunakan rumus -1 ≤ sin x ≤ 1, sehingga :
-1 ≤ sin x ≤ 1 semua ruas dikali (-2)
2 ≤ -2 . sin x ≤ -2 semua ruas dikurang 22
2 – 22 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -2 – 22
-20 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -24
Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 2sin x – 22 adalah -20
dan nilai minimumnya adalah -24.
119
DAFTAR PUSTAKA
Larson, Ron, and David C. Falvo. Algebra and Trigonometry. 8th
ed. Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.
OpenStax College. 2015. Algebra and Trigonometry. Texas : Rice
University.
Sinaga, bornok, dkk. 2014. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas
X Semester 2. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan.
Sinaga, bornok, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas
X. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010.
Precalculus Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA:
Brook/Cole, Cengege Learning.
Zen, fathurin. 2012. Trigonometri, Bandung : ALFABETA.
120
GLOSARIUM
Absis : Suatu titik yang berada di garis
horizontal atau sumbu-x pada sistem
koordinat kartesius.
Daerah Asal/Domain : Himpunan tidak kosong dimana
sebuah relasi didefinisikan.
Daerah Hasil/Range : Suatu himpunan bagian dari daerah
kawan yang anggotanya adalah
pasangan anggota domain yang
memenuhi fungsi yang ditentukan.
Daerah kawan/Kodomain : Himpunan tidak kosong dimana
anggota domain memiliki pasangan
sesuai dengan fungsi yang
didefinisikan.
Garis Berat : Suatu garis yang dibentuk dari
suatu sudut segitiga sembarang dan
memotong sisi di depannya
menjadi dua bagian yang sama
panjang.
Garis Tinggi : Suatu gais yang dibentuk dari suatu
sudut segitiga sembarang dan
berpotongan tegak lurus dengan
sisi di hadapannya.
121
Ordinat : Suatu titik yang berada di garis
vertikal atau sumbu-y pada sistem
koordinat kartesius.
Persamaan : Kalimat terbuka yang
menggunakan relasi sama dengan.
Pertidaksamaan : Kalimat terbuka yang
menggunakan relasi tidak sama
dengan.
Rotasi αo : Perputaran terhadap titik pusat
sejauh αo.
Sistem Koordinat Polar : Sistem Koordinat 2-dimensi yang
setiap titik pada bidang ditentukan
dengan jarak dari suatu titik yang
telah ditetapkan dan suatu sudut dari
suatu arah yang telah ditetapkan.
Tak Terdefinisi : Tidak terdapat suatu bilangan real
yang merupakan hasil.
(Sistem koordinat kutub)
PenerbitPenerbitPenerbit
9 7 8 6 2 3 9 3 4 1 6 3 3
ISBN 978-623-93416-3-3