KINEMATIKA

18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. – Úhlová rychlost

Mgr. Jana OslancováVY_32_INOVACE_F1r0218

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 1: Roztřiď do dvou sloupců, které veličiny, popisující pohyb, jsou u všech bodů otáčejícího se tělesa stejné, a které se u různých bodů liší.

poloměr rychlost frekvence dráha úhel otočení perioda

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIŘešení 2: pro všechny body stejné pro různé body se lišíúhel otočení φ poloměr rfrekvence f = 1/T dráha s = φrperioda T = 1/f rychlost v = s/t

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI Rychlosti jednotlivých bodů tělesa se liší v

závislosti na jejich vzdálenosti od osy otáčení (r) – urazí delší dráhu za stejný čas než body blíž ose

Zavedeme novou veličinu, která nebude záviset na vzdálenosti bodů, ale bude popisovat rychlost otáčení celého tělesa.

Úkol 2: Na čem by mohla záviset taková rychlost otáčení, aby byla pro všechny body stejná?

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚhlová rychlost Popisuje změnu úhlu otočení v čase Značíme ω (malé řecké písmeno omega) Velikost :

Jednotka: rad/s = rad.s-1

Říká nám, o kolik radiánů se těleso (a všechny jeho body) otočí za 1s.

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚhlová rychlost Směr úhlové rychlosti závisí na směru

otáčení

ω

Úhel otočení φ i úhlová rychlost ω jsou kladné, právě když se otáčí proti směru hodinových ručiček.

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI

Úkol 3: V běžné mluvě se říká například, že kotouč se točí rychlostí 30 otáček za minutu. Jakou rychlostí se ale otáčí?

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIŘešení 3: Budeme určovat úhlovou rychlost, popisující rychlost otáčení celého kotouče. 30 otáček za minutu = 30 otáček za 60s

A. 1 otočka za 2s:

Δφ = 360°= 2πΔt = 2s

ω = Δφ /Δt = 2π/2 = π rad.s-1 = = 3,14 rad.s-1

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIŘešení 3: druhá možnost

B. za 1s půl otočky :

Δφ = 180°= πΔt = 1s

ω = Δφ /Δt = π/1 = π rad.s-1 = 3,14 rad.s-1

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI

Úkol 4: Údaj 30ot/min souvisí s frekvencí a periodou otáčení. Odvoď (analogicky k předchozím výpočtům), jak úhlová rychlost závisí na a) periodě a b) frekvenci.

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI

Řešení 4: 30ot/minA. 1 otočka za čas = periodě

Δφ = 2πΔt = T

ω = Δφ /Δt = 2π/T

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI

Řešení 4: 30ot/minB.

• použijeme f = 1/T

ω = Δφ /Δt = 2π/T = 2π f

• za 1s vykoná počet otoček = frekvenci:

ω = Δφ /Δt = 2πf/1 = 2π f

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚhlová rychlost Má úzkou souvislost s frekvencí i periodou

otáčení

ω = 2π/T = 2π f

Čím větší frekvence – tím .............. úhlová rychlost.

Čím větší perioda – tím .................. úhlová rychlost.

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 5: Urči periodu, frekvenci a úhlovou rychlost kolotoče, který se během 20 sekund otočil třikrát.

Řešení:3 otočky (φ = 6π), t = 20sT = 20/3 = 6,7sf = 3/20 = 0,15 Hz

• ω = φ/t = 6π/20 = 0,94 rad/s

• ω = 2πf = 0,94 rad/s• ω = 2π/T = 0,94 rad/s

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 6: Porovnej úhlové rychlosti minutových ručiček věžních hodin a budíku (jdou-li přesně). Jak je to s obvodovými rychlostmi jejich koncových bodů?

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 7: Jak spolu souvisí obvodová rychlost a úhlová rychlost? Odvoď vztah.

𝑣=∆𝑠∆𝑡

=𝑠2−𝑠2∆ 𝑡

=𝑟 𝜑1−𝑟 𝜑1

∆ 𝑡= 𝑟 ∙∆𝜑

∆ 𝑡=𝑟 𝜔

𝒗=𝒓 𝝎

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 8: Porovnej úhlové rychlosti a) malé a velké hodinové ručičky,b) hodinové ručičky a Země.

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIOtázka: Vysvětli, jakým způsobem měří cyklistický tachometr nebo cyklopočítač ujetou vzdálenost a rychlost kola. Na čem závisí přesnost naměřených hodnot?

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 9: Vrtule letadla se otáčí s frekvencí 31,8 Hz. Urči úhlovou rychlost vrtule. Jak velkou rychlostí se pohybují body na koncích vrtule, jejichž vzdálenost od osy je 1,5 m? Jakou dráhu uletí letadlo během jedné otočky vrtule, letí-li rychlostí 540 km ∙ h–1?

Řešení: vrtule: v = 300m/s, letadlo: s = 4,7m

ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICIÚkol 10: Řezný kotouč pily se naprázdno otáčí s rychlostí 3000ot/min . Urči periodu, frekvenci, úhlovou rychlost jeho otáčení. Jakou rychlostí se pohybuje zub na kraji kotouče, jestliže kotouč má průměr 45 cm? Při řezání klesne rychlost otáčení o třetinu. Kolikrát se kotouč pily otočí než přeřízne prkno, jestliže řezání trvá 15 sekund? Jakou vzdálenost během řezání urazí zub na kotouči?Řešení: Kotouč pily se pohybuje s periodou 0,02 s a frekvencí 50Hz. Zub na kraji kotouče se pohybuje rychlostí 72 m/s. Během řezání se kotouč pily otočí 450 krát a urazí při tom dráhu 720 m.

BONUSOVÝ DOMÁCÍ ÚKOL

Vypočti úhlovou rychlost, kterou se pohybuje člověk stojící na povrchu Země (R = 6378km) kvůli její rotaci kolem osy. Pomocí této rychlosti urči obvodovou rychlost, kterou se pohybuje člověk, stojící:a) na rovníku b) v Praze ( 50° severní šířky) c) na pólu.