Fizika

1

Kinematika rotacionog kretanja Tijelo rotira kada se sve tačke tijela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije.

Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno

kretanje. 1

Da bismo opisali rotaciono kretanje tijela pomoću jednačina kretanja prvo ćemo uvesti fizičke

veličine kojima se opisuje ovo kretanje, a to su: pomjeraj, brzina i ubrzanje kod rotacionog

kretanja.

Ugaoni pomjeraj Posmatrajmo rotaciju krutog tijela (diska) oko fiksne ose O (pravac z) normalne na ravan diska

(Slika). Uočimo tačku koja rotira oko ose rotacije O po kružnici radijusa r. Položaj tačke na rubu

diska se može predstaviti polarnim koordinatama (r, ). Pri pomjeranju tačke iz položaja , koji

ćemo smatrati referentnim položajem, u položaj + materijalna tačka pređe put s (dužina

kružnog luka) i napravi ugaoni pomjeraj pri čemu važi da je:

rs

odnosno:

r

s

gdje je s[m] pređeni put, r[m] radijus kružne

putanje, θ[rad] ugaoni pomjeraj.

Ovaj ugao za koji se pomjerio (zarotirao) disk

naziva se ugaoni pomjeraj i izražava se u

jedinicima za ugao – radijanima (rad).

Radijan predstavlja centralni ugao za koji je

poluprečnik kružnice jednak dužini

odgovarajućeg kružnog luka

rad1

Ako posmatrana tačka opiše pun krug tada je

dužina kružnog luka jednaka obimu kružnice

poluprečnika r tj. rs 2 , a ugao rotacije tada iznosi:

22

r

r

r

s

Dakle, ukoliko materijalna tačka napravi ugaoni pomjeraj (opiše ugao) 2 znači da je napravila

jedan puni obrtaj. To zači da su radijan i stepen povezani izrazom:

1 Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno kretanje.

SLIKA 1. MATERIJALNA TAČKA IZ POLOŽAJA P ROTIRA OKO OSE O, NORMALNE NA RAVAN X-Y, U SMJERU SUPROTONOM SMJERU

KRETANJA KAZALJKE NA SATU (SLIKA LIJEVO). U POČENOM

TRENUTKU TI MATERIJALNA TAČKA P SE NALAZI U POLOŽAJU I, A U

KRAJNJEM TRENUTKUTF MATERIJALNA TAČKA SE NALAZI U

POLOŽAJU Q. (SLIKA DESNO).

Fizika

2

orad 3602

odavde je:

oradradrad 3,57

180

2

3601

00

Ugaona brzina Posmatrajmo materijalnu tačku koja rotira oko nepokretne ose koja prolazi kroz tačku O i

normalna je na ravan x-y. U početnom trenutku ti materijalna tačka se nalazi u položaju P i ima

položaj i, a u krajnjem trenutku tf materijalna tačka se nalazi u položaju Q kojem odgovara položaj

f . Dakle, za vrijeme t=tf-ti materijalna tačka se pomjerila iz položaja P u položaj Q i pri tome

opisala ugaoni pomjeraj:

if

gdje je f[rad] krajnji položaj materijalne tačke izražen u radijanima, a i[rad] početni položaj

materijalne tačke izražen u radijanima.

Po analogiji sa translatornim kretanjem može se uvesti srednja ugaona brzina kao ugaoni

pomjeraj θ koji materijalna tačka napravi u toku vremenskog intervala t:

s

rad

tttw

if

tf

Ugaona brzina izražava se u radijanima po sekundi (rad/s).

Trenutna ugona brzina definiše se kao granična vrijednost srednje ugaone brzine kada je

vremenski interval infinitezimalno mali (t0), odnosno:

dt

d

tw

t

lim

0

.

Pravac vektora ugaone brzine je pravac ose rotacije materijalne tačke ili krutog tijela, međutim

smjer vektora ugaone brzine se određuje pravilom desne ruke (Slika): Ako prsti prate smjer rotacije

tada palac pokazuje smjer vektora ugaone brzine tako da je u slučaju rotacije u smjeru suprotnom

smjeru kazaljke na satu smjer ugaone brzine pozitivan (Slika - lijevo), a u slučaju rotacije u smjeru

kazaljke na satu smjer ugaone brzine je negativan (Slika - desno).

Napomena: Ugaona brzina kao vektorska veličina je naročito značajna kada se pravac ose rotacije

mijenja tokom kretanja.

SLIKA 2. KADA RASTE TADA JE W>0, A KADA OPADA TADA JE I W<0.

Fizika

3

SLIKA 3. AKO PRSTI POKAZUJU SMJER ROTACIJE TIJELA TADA PALAC POKAZUJE SMJER VEKTORA UGAONE

BRZINE.

Ugaono ubrzanje Kada se intenzitet ugaone brzine krutog tijela mijenja tokom

vremena znači da tijelo ubrzava ili usporava.

Srednje ugaono ubrzanje definiše se kao količnik promjene

ugaone brzine w i intervala vremena t u toku kojeg je

promjena nastala:

2s

rad

t

w

tt

ww

if

tf

Srednje ugaono ubrzanje je dakle promjena ugaone brzine u

jedinci vremena, obilježava se sa , a izražava u rad/s2.

Slično kao i kod translatornog kretanja trenutno (ugaono)

ubrzanje definiše se kao granična vrijednost srednjeg (ugaonog)

ubrzanja kada t0:

2

2

0lim dt

d

dt

dw

t

w

t

.

Vektor ugaonog ubrzanja dat je izrazom:

dt

wd

Pri rotacionom kretanju, ukoliko je ugaono ubrzanje pozitivno,

tada ugaona brzina w raste, a ukoliko je negativno tada w opada. Rotaciono kretanje je ubrzano

ukoliko su i w istog predznaka i usporeno ukoliko su i w različitog predznaka. (Analogne

relacije važe i za linijsku brzinu i ubrzanje kod pravolinijskog kretanja).

Kada rotira oko nepokretne ose svaka čestica krutog tijela rotira kroz isti ugao, ima istu ugaonu

brzinu i isto ugaono ubrzanje.

Ravnomjerno-ubrzano rotaciono kretanje tijela Ukoliko se ugaono ubrzanje ne mijenja tokom vremena tada se tijelo kreće ravnomjerno-ubrzano

(kretanje tijela konstantnim ugaonim ubrzanjem), odnosno, =const.

SLIKA 4. AKO PRSTI POKAZUJU

SMJER ROTACIJE TIJELA TADA

PALAC POKAZUJE SMJER

VEKTORA UGAONE BRZINE.

KADA JE OSA ROTACIJE

NEPOKRETNA UGAONA BRZINA

I UGAONO UBRZANJE IMAJU

ISTI PRAVAC.ROTACIONO

KRETANJE JE UBRZANO

UKOLIKO SU A I W ISTOG

SMJERA (SLIKA LIJEVO) I

USPORENO UKOLIKO SU A I W

RAZLIČITOG SMJERA (SLIKA

DESNO).

Fizika

4

Neka se tijelo kreće ravnomjerno-ubrzano pri čemu u početnom trenutku ti=0 ima ugaonu brzinu

wi=w0, a u krajnjem trenutku tf=t brzinu wf=w, tada je njegovo trenutno ugaono ubrzanje dato

izrazom:

dt

dw .

Razdvajanjem promjenljivih veličina i integracijom po dw i dt:

tw

w

dtdw00

dobija se ugaona brzina pri ravnomjerno-ubrzanom rotacionom kretanju krutog tijela:

tww 0

Izraz za ugaoni pomjeraj može se odrediti iz izraza za trenutnu ugaonu brzinu:

dt

dw

koristeći i prethodno uvedeni izraz za zavisnost ugaone brzine od vremena:

dttwd

t

0

0 )(

0

dobija se izraz za ugaoni pomjeraj kod ravnomjerno-ubrzanog rotacionog kretanja:

2

2

00

ttw

gdje je 0 početni ugao (koji odgovara položaju tijela u trenutku t=0).

Dalje se, eliminacijom vremena iz izraza za ugaonu brzinu i izraza za ugaoni pomjeraj, može dobiti

veza između ugaonog pomjeraja, ugaonog ubrzanja i brzine:

22

0

2 ww

Pri uporenom kretanju važe iste jednačine u kojima umjesto znaka “+” ispred poslednjeg člana

stoji znak “-“.

Dakle, može se napraviti potpuna analogija između jednačina kinematike kod rotacionog i

linijskog kretanja konstantnim ubrzanjem:

tww o tvv 0

2

2

00

ttw

2

2

00

attvxx

22

0

2 ww axvv 22

0

2

Veza između ugaonih i linijskih veličina Posmatrajmo tačku P koja rotira oko nepokretne ose O u smjeru suprotnom smjeru kretanja

kazaljke na satu (Sika). Za interval vremena dt tačka P pređe put ds pa je njena linijska

(tangencijalna) brzina data relacijom:

Fizika

5

dt

dsv

Pošto je kružni luk s povezan sa ugaonim pomjerajem θ relacijom:

rs

gdje je r konstantno, izraz za brzinu se može transformisati u:

dt

rd

dt

dsv

Kako je trenutna ugaona brzna w=dθ/dt, zamjenom u prethodni

izraz dobija se veza između linijske i ugaone brzine kod rotaciong

kretanja:

wrv .

U vekorskom obliku veza između linijske i ugaone brzine data je

izrazom:

pri čemu je v brzina proizvoljne tačke krutog tijela koja se nalazi na odstojanju r od ose rotacije, a

w ugaona brzina kruog tijela.

Kada su vektor brzine i radijus vektor međusobno normalni (sin=1) izraz postaje:

wrv .

Da bismo pronašli vezu između tangencijalnog i ugaonog

ubrzanja posmatrajmo sada tačku P koja se kreće po kružnoj

putanji ubrzanjem a oko nepokretne ose O (Slika). Tačka P će

pored tangencijalnog ubrzanja usmjerenog duž tangente u

datoj tački sa smjerom koji se poklapa sa smjerom kretanja,

odnosno vektorom brzine u datoj tački, imati i centripetalno

ubrzanje usmjereno ka centru kružne putanje O:

22

rwr

va r

Kako je tangencijalno ubrzanje prvi izvod brzine po vremenu:

rdt

dwr

dt

dva r

Tako se ukupno linijsko ubrzanje može zapisati kao:

42422222 wrwrraaa rt

Primjer: Ugaona brzina osovine motora smanji se sa 200 rad/s na 140 rad/s u toku 5 s kretanja.

a) Koliko je ugaono ubrzanje točka?

b) Koliki je broj obrtaja koje osovina napravi?

SLIKA 6. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE

KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O.

UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU

DUŽ PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U

DATOJ TAČKI) AT I PRAVCA DUŽ RADIJUSA

KRUŽNE PUTANJE AR.

rwrwv

rxwv

,sin

SLIKA 5. UOČENA MATERIJALNA

TAČKA NA RASTOJANJU R OD OSE

ROTACIJE SE KREĆE LINIJSKOM

BRZINOM V I UGAONOM BRZINOM W.

SLIKA 7. ROTACIJA KRUTOG

TIJELA OKO NEPOKRENTE OSE O

KOJA JE NORMALNA NA RAVAN

XY I LEŽI NA OSI Z

KOORDINATNOG SISTEMA.

Fizika

6

Rješenje:a) Iz uslova zadatka vidimo da je dato ravnomjerno-usporeno rotaciono kretanje, pa se ugaono

ubrzanje može direktno odrediti iz izraza za ugaonu brzinu: tww o

2

0 125

140200

s

rad

s

s

rad

s

rad

t

ww

Broj obrtaja može se odrediti iz izraza za ugaoni pomjeraj pri ravnomjerno-usporenom kretanju:

radss

rads

s

radttw 850512

2

15200

2

2

2

2

0

i izraza kojim je ugaoni pomjeraj povezan sa brojem obrtaja. Ako jednom obrtaju odgovara ugaoni pomjeraj

2, onda će pri N obrtaja ugaoni pomjeraj biti:

a odavde 35,13514,32

850

2

rad

radN

Primjer: Odrediti centripetalno ubrzanje tačke koje se nalazi 7,5 mm od ose rotacije ako pri centrifugiranju

pravi 7500 obrtaja u minuti.

Rješenje: Centripetalno ubrzanje može se odrediti iz izraza: 22

rwr

va r

Pošto je r poznato w se može odrediti preko broja obrtaja:

s

rad

s

rad

t

N

tw 785

60

750014,322

Dalje je:

2

2

32 9,5785105,7s

m

s

radmxrwa r

Pitanja za provjeru znanja

1. Napisati jednačinu ravnomjerno-usporenog rotacionog kretanja.

2. Automobil mase m kreće se po kružnoj putanji poluprečnika r brzinom v po kružnom toku:

a. Kolika tangencijalna sila djeluje na tijelo?

b. Koliki moment proizvodi tangencijalna sila?

c. Koliki moment sile proizvodi normalna sila?

3. Ako je ukupan moment spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo nula šta se može reći o momentu impulsa

tijela?

4. Koji izraz povezuje tangencijalnu i ugaonu brzinu?

5. Kako je usmjeren vektor ugaone brzine ako tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu?

Fizika

7

Dinamika rotacionog kretanja Centar mase sistema Posmatrajmo sistem koji se sastoji od N čestica čije su mase m1,m2,....,mN, a njihovi vektori

položaja u posmatranom trenutku Nrrr

,...,, 21 . Centar mase definiše se kao tačka s vektorom

položaja:

N

i

i

N

i

ii

N

NN

c

m

rm

mmm

rmrmrmr

1

1

21

2211

...

...

Centar mase sistema kreće se kao materijalna tačka u kojoj bi bila skoncentrisana cjelokupna masa

sistema i na koju bi djelovala rezultantna sila.

Moment inercije tijela Kod rotacije krutog tijela pored mase tijela važno je i kako je masa raspoređena u odnosu na osu

rotacije. Zato se uvodi veličina koja se naziva moment inercije tijela, a predstavlja kvantitativnu

mjeru za inerciju tijela pri rotacionom kretanju. Za materijalnu tačku moment inercije se može

zapisati u obliku: 2rmI

gdje je m[kg] masa materijalne tačke, r[m] rastojanje materijalne tačke od ose rotacije.

Kako odrediti moment inercije krutog tijela? Ako kruto tijelo podijelimo na sastavne dijelove

(čestice) mase mi na rastojanju ri od ose rotacije moment inercije krutog tijela u odnosu na osu

rotacije se može dobiti sumiranjem momenata inercije svih čestica koje čine tijelo u odnosu na osu

rotacije i zapisati u obliku:

n

i

iirmI1

2.

Moment inercije je skalarna veličina i izražava se u kg·m2.

Iz poslednje jednačine može se zaključiti sljedeće: pri rotaciji krutog tijela poznate mase oko

nepokretne ose što je veće rastojanje materijalnih tačaka od ose rotacije to je veći i moment inercije

krutog tijela.

Međutim, ako je tijelo čiji se moment inercije određuje sastavljeno od kontinulanih dijelova

prethodni izraz se transformiše u integral:

dmrI 2

Izražavajući uočeni element mase dm preko gustine i elementarne zapremine dV:

dVdm

prethodni integral se svodi na:

dVrI 2

Fizika

8

Ako je tijelo homogeno tada je gustina konstantna i integral se može izračunati za poznatu

geometriju. U slučaju tijela kod kojih postoji izražena simetrija (lopta, cilindar itd.) moment

inercije se računa relativno lako pogodnim izborom koordinatnog sistema u kojem se vrši

integracija.

Moment inercije prstena mase m i poluprečnika R u odnosu na osu koja prolazi kroz centar

prstena i normlna je na njega moment inercije s emože odrediti koristeći izraz dmrI 2 .

Pošto su svi elementi mase dm prstena na istom rastojanju R od ose rotacije dobija se da je moment

inercije:

mRdmrI y

22

Za homogen štap dužine L i mase M u odnosu na osu rotacije koja je normalna na štap i prolazi

kroz centar štapa moment inercije se može jednostavno odrediti. Ako je dx element dužine štapa

čija je masa dm tada važi:

dxL

Mdxdm

Za moment inercije štapa u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz sredinu i normalna je na ravan

štapa (leži na pravcu y ose) dobija se:

2

2/

2/

2

2/

2/

22

12

1Mldxx

L

Mdx

L

MxdmrI

l

l

l

l

y

Moment inercije cilindra mase M i poluprečnika R u odnosu na

osu koja prolazi kroz centar mase cilindra:

2

2

1MRI

Moment inercije lopte mase M i radijusa R u odnosu na osu koja

prolazi kroz centar mase lopte:

2

5

2MRI

Ukoliko osa u odnosu na koju se računa moment inercije štapa nije

i osa koja prolazi kroz centar mase tijela za proračun momenta

inercije koristi se Štajnerova teorema: Moment inercije tijela oko

neke ose jednak je zbiru momenta inercije u odnosu na paralelnu osu koja prolazi kroz centar mase

tijela i proizvoda mase tijela i kvadrata rastojanja između osa:

SLIKA 8. MOMENT INERCIJE

ŠTAPA DUŽINE L U ODNOSU NA

OSU KOJA PROLAZI KROZ

CENTAR I NORMALNA JE NA

RAVAN ŠTAPA.

Fizika

9

SLIKA 9.KRUTA TIJELA PRAVILNOG OBLIKA ZA KOJE JE POZNAT MOMENT INERCIJE U ODNOSU NA OSU KOJA PROLAZI KROZ CENTAR

MASE TIJELA.

Moment inercije štapa mase m i dužine L u odnosu na osu koja je normalna na štap i prolazi kroz

jedan njegov kraj iznosi:

2

3

1MlI

Što je veći moment inercije tijela to je teže tijelo pokrenuti iz stanja mirovanja odnosno potrebno

je uložiti veći rad da bi se ono pomjerilo. Takođe, ako se tijelo kreće, što je veći moment inercije

potrebno je uložiti veći rad da bi se ono zaustavilo – inercija rotacije.

Napomena: Masa je fizička karakeristika objekta dok moment inercije zavisi od

preraspodjele mase.

Rotaciona energija Posmatrajmo česticu mase mi koja rotira oko nepokretne ose O linijskom brzinom vi na rastojanju

ri od ose rotacije (Slika). Kinetička energija čestice mase mi koja se kreće brzinom vi data je

izrazom:

2

2

1iiik vmE

Ukupna kinetička energija krutog tijela jednaka je sumi kinetičkih energija svih čestica koje

čine tijelo:

n

i

iik vmE1

2

2

1

Kako je linijska brzina čestice povezana sa njenom ugaonom brzinom izrazom wrv ,

zamjenom u prethodni izraz dobija se izraz za kinetičku energiju krutog tijela:

2

1

2

2

1wrmE

n

i

iik

pošto je ugaona brzina w svih čestica ista.

Ako se za izraz u zagradi uvede nova fizička veličina odnosno moment inercije2

Fizika

10

n

i

iirmI1

2

.

prethodna jednačina se svodi na sljedeći oblik (kinetička energija rotacije)

2

2

1IwEk .

Jedinica za kinetičku energiju rotacije je Džul (J). Važno je imati na umu da kinetička energija

rotacije nije novi oblik energije tijela već samo suma kinetičkih energija koje čestice krutog tijela

imaju usljed rotacije. Da bi se kinetička energija dobila u džulima u poslednjoj jednačini

neophodno je koristiti w izraženo u radijanima po sekundi (rad/s).

Poslednja jednačina daje i dobru interpretaciju momenta inercije: Što je veći moment inercije tijela

za datu ugaonu brzinu veća je i njegova kinetička energija rotacije.

SLIKA 9. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O.

UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU DUŽ PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U DATOJ TAČKI)

AT I PRAVCA DUŽ RADIJUSA KRUŽNE PUTANJE AR.

Moment sile Kod translatornog kretanja zbog djelovanja sila tijelo se kreće ubrzano. Po analogiji kretanja

postoji veličina koja tijelu koje rotira daje ugaono ubrzanje, a ta veličina se naziva moment sile.

Vrijednost momenta sile zavisi od od vrijednosti sile, ali i položaja sile u odnosu na pravac

djelovanja sile u odnosu na osu rotacije.

Posmatrajmo kruto tijelo na koje u nekoj tački (napadna tačka sile) djeluje sila intenziteta F sa

smjerom kao što je prikazano na Slici (lijevo), pri čemu je O centar inercijalnog referentnog

sistema kroz koji prolazi osa rotacije i normalna je na ravan u kojoj djeluje sila.

Moment sile predstavlja vektorski proizvod vektora r i F, normalan je na ravan ovih vektora,

a smjer mu se određuje pravilom desnog zavrtnja (Slika):

gdje je r[m] rastojanje između sile F (tačke u kojoj djeluje) i ose rotacije (radijus vektor koji

spaja osu rotacije i napadnu tačku sile), F[N] intenzitet sile koja djeluje na tijelo.

FrM

Fizika

11

Dakle, jedinica za moment sile je Nm. Treba obratiti pažnju na to da je Nm jedinica za rad i

energiju i naziva se Džul, međutim kod momenta sile koji ima potpuno drugačiji fizički smisao to

nije slučaj.

Izraz za intenzitet momenta sile dobija se iz prethodne jednačine razvijanjem vektorskog

proizvoda:

),(sin FrFrM Moment sile biće jednak nuli u 3 slučaja:

pravac prolazi kroz osu rotacije (r=0),

sila je po intenzitetu jednaka nuli (F=0) ,

vektori r i F imaju isti (Q=00) ili suprotan smjer (Q=1800).

Krak sile d definišemo kao najkraće rastojanje od pravca djelovanja sile do ose rotacije (Slika 10

-lijevo). Tada se moment sile može napsiati i preko izraza:

FdM

Pravac rezultujućeg vektora nalazi se na osi rotacije, ukoliko prsti na ruci prate redoslijed

množenja vektora r i F, tada palac pokazuje smjer rezultujućeg vektora M.

SLIKA 10. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O (SLIKA LIJEVO).

ODREĐIVANJE MJERA VEKTORA MOMENTA SILE (SLIAK U SREDINI). SMJER VEKTORSKOG PROIZVODA U

ZAVINSOSTI OD REDOSLJEDA MNOŽENJA VEKTORA.

U svakodnevnom životu se često susrećemo i sa pojomom sprega sila, npr. ruke na volanu

automobila kojim upravljamo. Spreg sila definišemo kao dvije sile jednakih intenziteta, a

suprotnih smjerova. Rezultanta sila koje čine spreg je nula,

ali njihov moment nije nula. Moment sprega sila

predstavlja sumu momenata sila koje čine spreg. Ako na

tijelo djeluju dvije sile F1 i F2 u različitim tačkama pri

čemu F1 nastoji rotirati tijelo u smjeru suprotnom kazaljci

na satu, a i F2 u smjeru kazaljke na satu tada ukupan

moment sile u tački O iznosi:

ii

N

i

N

i

i FrMM

11

SLIKA 11. ROTACIJA KRUTOG TIJELA

KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO

NEPOKRETNE OSE O (SLIKA

LIJEVO). SILE F1 I F2 DJELUJU U

RAZLIČITIM NAPADNIM TAČKAMA,

SILI F1 ODGOVARA KRAK SILE D1, A

SILI R2 KRAK SILE R2.

Fizika

12

Moment sile ima negativan predznak ako nastoji da okrene tijelo u smjeru kazaljke na satu, a

pozitivan u suprotnom slučaju. Primjenjeno na slučaj prikazan na slici:

2211 FRFRM

Poznata je Aristotelova izjava: „Dajte mi mjesto da stanem i pomjeriću svijet“. Aristotel je znao

da koristeći se polugom i djelujući na jedan kraj malom silom na drugom kraju poluge (velike

dužine) se može proizvesti velika sila. Poluga je primjer jednostavne mašine pomoću koje se uz

malu silu može pomjeriti tijelo velike mase.

Poluga je kruto tijelo koje može rotirati oko fiksne tačke ili ose koja se još naziva i oslonac. Glavna

namjena poluge jeste da se proizvede veliki momenat povećavanjem rastojanja između aksise i

pravca djelovanja sile.

Veza između momenta sile i ugaonog ubrzanja Neka čestica mase m rotira po kružnici radijusa r pri čemu na nju djeluju tangencijalana i radijalna

sila. Tangencijalna sila intenziteta:

ttmaF

saopštava materijalnoj tački m tangencijalno ubrzanje at.

Intenzitet momenta sile koji nastaje zbog dejstva tangencijalne sile se onda može izračunati na

sljedeći način:

Dobija se da je moment sile tijela srazmjeran ugaonom ubrzanju tijela, a konstanta

srazmjernosti je moment inercije tijela

Moment impulsa Posmatrajmo četicu mase m koja rotira u odnosu na prozivoljnu tačku referentnog sistema. Neka

je položaj uočene čestice u odnosu na referentni sistem određen vektorom položaja r

, a impuls

uočene čestice iznosi p

. Tada moment impulsa čestice mase m koja rotira u odnosu na osu z koja

prolazi kroz koordinatni početak određen je vektorskim proizvodom vektora r

i p

i iznosi (Slika):

pxrL

Vektor L

je normalana na pravac vektora r

i p

(pravilo vektorskog proizvoda), a smjer mu je

određen pravilom desne ruke (prsti desne ruke pokazuju smjer rotacije r

prema p

, a palac

pokazuje smjer vektora L

).

)()()( 2mrrmrrmarFMtt

IM

Fizika

13

Posto je impuls čestice p=mv, intenzitet vektora L se može

izračunati kao:

),(sin),(sin prmvrprprL

gdje je v[m/s] brzina kojom se kreće čestica, r[m] radijus vektor

(vektor položaja) čestice, [rad] ugao koji zaklapaju vektori r i p.

Pri rotacionom kretanju svi djelići putanje opsiuju kružne putanje

što znači da su vektori r i p međusobno normalni tako da se

intenzitet vektora momenta impulsa krutog tijela (linijska brzina

čestice povezana sa njenom ugaonom brzinom izrazom wrv )

može izraziti na sljedeći način:

wrmLii

2

Ukoliko je vektor L usmjeren duž z-ose za ugaoni moment sistema

čestica koji ima kruto tijelo dobija se:

IwL

wrmwrmLi

iiii

i

1

22

1

Moment impulsa sistema čestica predstavlja vektorski zbir momenata impulsa svih čestica koje

čine sistem i dat je jednačinom:

i

in LLLLL

..21

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja Po analogiji sa translatornim kretanjem, drugi Njutnov zakon rotacije se može izraziti i preko

momenta impulsa na sljedeći način:

Dakle, suma momenata spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo jednaka je brzini promjene momenta

impulsa.

Ovaj izraz predstavlja jednačinu dinamike rotacionog kretanja koja se može zapisati i preko

momenta inercije i ugaonog ubrzanja polazeći od izraza za moment impulsa L=Iw:

dt

LdM

dt

pdr

dt

Ld

pdt

rd

dt

pdrpr

dt

d

dt

Ld

dt

pdrFrFrM

)(

SLIKA 12. ROTACIJA KRUTOG

TIJELA KOJE SE KREĆE

UBRZANO OKO NEPOKRETNE

OSE Z. UOČENA JE ČESTICA

MASE M KOJA SE NALAZI NA

RASTOJANJU R OD OSE

ROTACIJE I KREĆE

TANGENCIJALNOM BRZINOM

VT.

Fizika

14

Idt

dwI

dt

dLz

gdje je ugaono ubrzanje relativno u odnosu na z osu.

Posto je dL/dz jednako momentu spoljašnjih sila

Moment spoljašnjih sila koje djeluju na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose jednak je proizvodu

momenta inercije oko te ose i ugaonog ubrzanja u odnosu na tu osu.

Prema zakonu održanja momenta impulsa: Ukupan moment impulsa sistema je konstantan ako

je rezultanta momenta spoljašnjih sila koje djeluju na njega jednaka nuli.

Dakle, u izolovanom fizičkom sistemu ukupan moment impulsa je konstantan.

Rad, snaga, energija kod rotacionog kretanja Rad koji izvrši sila F djelujući na tačku P koja rotira oko ose rotacije O može se zapisati u obliku:

drFsdFdA )sin(

Ovo je rad tangencijalne sile, pošto radijalna komponenta sile ne vrši rad (normalna sila je

okomita na pomjeraj).

Koristeći izraz za moment sile jednačina za rad se svodi na:

MddA

Brzina vršenja rada (snaga) se može zapisati u obliku:

Mwdt

dM

dt

dAP

Izraz za snagu kod rotacionog kretanja analogan je izrazu sa snagu kod translatornog kretanja:

FvP

Pri translaciji rad koji izvrše spoljašnje sile pri kretanju tijela jednak je promjeni kinetičke energije.

Koristeći izraz za rad pri rotaciji čestice za kruto tijelo uopštavanjem dobija sljedeći izraz:

22

2

1

2

1if

f

i

wf

wi

IwIwIwdwMdA

Ukupan rad pri rotaciji krutog tijela oko nepokretne ose jednak je promjeni rotacione

energije tijela.

Po analogiji sa jednačinama koje opisuju tranaslatorno kretanje konstantnim ubrzanjem mogu se

uvesti jednačine koje opisuju rotaciono kretanje konstantnim ubrzanjem:

Idt

zLdM sp

21,

0

LLconstL

dt

LdM

z

zsp

Fizika

15

FvP

mvE

mvp

dt

dpmaF

k

2

2

MwP

IwE

IwL

dt

dLIM

k

2

2

Zakon održanja impulsa Zakon održanja momenta impulsa

npppconstp ..., 21 nLLLconstL ..., 21

Primjer: Na materijalnu tačku mase 5 g koja rotira po kružnici poluprečnika 10 cm djeluje moment

tangencijalne sile od 0,02 mN. Kolikim ugaonim ubrzanjem se kreće materijalna tačka?

Rješenje: Prvo se jednice fizičkih veličina moraju pretvoriti u jedinice SI sistema (m=5g=5x10-3kg,

r=10cm=0,1m). Moment tangencijalne sile (djeluje pod uglom 90o u odnosu na vektor položaja materijalne

tačke) je dat izrazom:

ramrFM tt

Ubrzanje materijalne tačake izrazićemo koristeći vezu između tangencijalnog i ugaonog ubrzanja:

rat

Zamjenom u izraz za moment sile dobija se:

2rmM Odavde je:

223250

1,0105

025,0

s

rad

mkgx

Nm

mr

M

Primjer: Na valjak poluprečnika 20 cm i mase 15 kg namotano je uže koje se vuče silom stalnog intenziteta 12 N. Kolika je ugaona brzina valjka? (Moment inercije valjka određuje se iz izraza).

Rješenje:

Rotaciju valjka izaziva moment tangencijalne sile M, a on se može izraziti preko sile i

njenog kraka, ali i preko momenta inercije i ugaonog ubrzanja točka: rFIM Odavde je:

228

2,015

1222

2

s

rad

mkg

N

mr

F

mr

rF

I

rF

I

M

Primjer: Točak sa momentom inercije 100 kgm2 kreće iz stanja mirovanja i dostiže ugaonu brzinu 15 rad/s pod dejstvom konstantnog momenta sile 20 Nm. Poslije koliko vremena će točak da dostigne navedenu brzinu i

koliki ukupan broj obrtaja će pri tome napraviti. Koliki rad izvrši disk pri kočenju?

Rješenje: Vrijeme se može odrediti iz izraza za ravnomjerno-ubrzano kretanje konstantim ubrzanjembez početne

brzine: ttww o

Fizika

16

Međutim, pošto je nepoznato i ugaono ubrzanje prvo je potrebno da se odredi, a može se izračunati iz izraza

koji povezuje moment sile i moment inercije:22

2,0100

20

s

rad

kgm

Nm

I

M

Dalje se zamjenom u prvi izraza dobija: s

s

rads

rad

wt 75

2,0

15

2

Broj obrtaja možemo izračunati iz izraza koji povezuje ravnomjerno-ubrzano kretanje sa ugaonim pomjerajem:

Nt

22

2

obrtaja

ss

rad

tN 89

14,34

752,0

4

2

22

Rad diska pri kočenju jednak je rotacionoj energiji diska:

kJs

radkgmIwA 25,111510

2

1

2

12

222

Zadaci za vježbu:

1.Točak razvija brzinu rotacije 3000 obrtaja u minuti. Kolika je snaga mašine ako je moment sile 500 Nm?

2.Klizač kliže početnom ugaonom brzinom 11 rad/ s sa raširenim rukama, a zatim spušta ruke i smanjuje moment

inercije 8 puta. Kolika je konačna brzina klizača ako je trenje na ledu zanemarljivo?

3.Uniformna sfera mase 5 kg i radijusa 0,2 m rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar sa periodom 0,7 s.

Koliki je ugaoni moment (moment impulsa sfere)?

4.Lopta mase M i radijusa R kliže niz strmu ravan nagibnog ugla i visine h. Odrediti linijsku brzinu centra

mase na dnu strme ravni i linijsko ubrzanje.

Pitanja za provjeru znanja:

1. Kako se definiše i od čega zavisi moment inercije tijela? Kojim se jedinicama izražava?

2. Da li je vektorski proizvod dva vektora uvijek vektor? Kako je usmjeren? Koje fizičke veličine

predstavljaju vektorski proizvod dva vektora?

3. Kako su povezani moment sile i ugaono ubrzanje?

4. Šta je spreg sila? Objasniti!

5. Kolikom ugaonom brzinom rotira Zemlja oko Sunca?

6. Na točak sa momentom inercije 10-3 kgm2 djeluje moment sile od 1 Nm u toku 5 s. Izračunati koliku

ugaonu brzinu dobije točak ako kretanje započne iz stanja mirovanja.

7. Na standardni CD može da se snimi muzika u maksimalnom trajanju od 74 minuta i 33 sekunde. Kada

slušamo muziku koliko obrtaja CD napravi za to vrijeme? Izračunati koliko je ugaono ubrzanje CD-a

pretpostavljajući da se ne mijenja tokom vremena.

Fizika

17

8. Izračunati ubrzanje kojim se kreće teg mase m, pričvršćen na kotur mase M, poluprečnika R i

momenta inercije I.

9. Napisati osnovnu jednačinu dinamike rotacije.

10. Od čega zaivisi kinetička energija rotacije? Objasiniti vezu sa momentom inercije.