kinematika - zadaci
DESCRIPTION
ZadaciTRANSCRIPT
Čestica se kreće brzinom konstantnog intenziteta v duž kardiode čija je
jednačina u polarnim koordinatama data sa r(φ)=2(1+cosφ ) gdje je
rastojanje r dato u metrima.Odrediti :
a) Izraziti φ preko intenziteta brzine
v2=r2+r2 φ2
r= drdφ
dφdt
= ddφ
[2(1+cosφ)] φ=−2 φ sinφ
v2=4 φ2 sin2φ+4 (2+cosφ )2 φ2
¿4 φ2 sin2φ+4(1+2cosφ+cos¿¿2φ) φ2 ¿ ¿8 φ2+8 φ2 cosφ=8 φ (1+cosφ )=4 φ22 (1+cosφ )
¿4 φ2 r→φ= v
√4 rb)Izraziti radijalnu komponentu ubrzanja preko intenziteta brzine
ar=r−r φ2
r=d rdt
=−2 ddt
( φ sinφ )=−2(φ sinφ+ φ2 cosφ)
φ= ddt ( v2√r )= v
2 (−12 )r−32 r= v
2r32
vsinφ
2 r12
= v2
4 r2sinφ
ar=−2 (φ sinφ+φ2 cosφ )−2 (1+cosφ ) v2
4 r
¿− v2
2 r2sin2φ− v2
2rcosφ− v2
4
¿− v2
4 r2(2sin2φ+2rcosφ )− v2
4
¿− v2
4 r2[2−2cos2φ+4 (1+cosφ ) cosφ ]− v2
4
¿− v2
4 r2(2+4cosφ+2cos2φ )− v2
4
¿− v2
8 r 24 (1+cosφ)2− v2
4=−v2
8− v2
4
ar=−3v2
8
c) Izraziti intenzitet ubrzanja čestice preko ugla φ .
a=√ar2+aφ
2
aφ=r φ+2 r φ=−3 v2
8sinφ1+cosφ
a=3v2
8 √ 21+cosφ
r=4 ,φ=0
a=3v2
8
Kretanje tačke u ravni zadato je tačkama u polarnim kordinatama
r=2t
φ=4 t t=12s
a) trajektorija tačke
rφ=8
b) brzina i ubrzanje tacke
r=( 2t )'
=−2t2
=−8 φ=4
r=(−2t2 )'
=−2 (t−2 )'=4 t−3= 4t3
=32 φ=0
v=√ r2+ (r φ )2=√(−8 )2+(16 )2=√64+256 v=8√5 a=√ ( r−r φ )2+ (r φ+2 r φ )2=¿ ¿√(32−4∗16)2+(4∗0+2∗4∗4)2
a=32√5
Tačka se krece u ravni konstantnom brzinom V=4 m/s pri cemu je
polarni ugao φ jednak uglu izmedju polarnog potega i brzine
tacke i mijenjaju se sa vremenom,po zakon φ=π6t
a) trajektorija tacke
sinφ=V φ
V φ=( π
6t )
'
V φ=Vsinφ φ=π6
r φ=Vsinφ
r=Vsinφφ
=4sin
π6t
π6
=24π
sinφ
b)polozaj tacke u trenutku t=0
r=24πsin
π6t
r=0
U t=0 tačka se nalazi u kordinatnom pocetku.c)ubrzanje tacke u proizvoljnom trenutku
r=24πcos
π6t ; r=−24
πsin
π6t a=√ar2+aφ
2
ar=r−r φ2=−43
πsinπ6t
aφ=r φ+2 r φ= 43πcos
π6t
a=√(−43
πsinπ6t)2
+( 43πcos
π6t)2
= 4π3
Klizac A kreće se naniže iz tačke D duž vertikalne vodice konstanom
brzinom v0 .Za klizač je vezano nerastezljivo,idealno savitljivo uže
koje je zatim prebačeno preko nepomicnog kotura O u cijem drugomkraju visi teret M.Rastojanje ose klizaca A od ose kotura
DO=b(const) .Naci brzinu i ubrzanje tereta M.Dimenzije kotura O
zanemariti.
DO=b(const)s=s (t)
V o=const x+√b2+s2=c x=c−√b2+s2 s=V ot x=c−√b2+(V ¿¿ o t)2¿
V m=dsdt
∗τ0 a=V 2
Rm+ dv
dt∗τ0
V m=dxdt
=c'−¿¿
¿0−12
¿¿
¿0−12
¿¿ ¿−¿¿
am=dVmdt
=(−V 0
2 t
√b2+ (V 0 t )2)2
=−V 02 t
'√b2+(V 0t )2−t(√b2+ (V 0 t )
2)'
b2+ (V 0t )2=¿
¿−V 021∗√b2+(V 0 t)
2− t∗12
(b2+(V 0t )2)−12 ∗(b2+ (V 0 t )
2)'
b2+ (V 0 t )2 =¿
¿−V 02
√b2+(V 0 t)2− t∗1
21
√b2+(V 0t )2∗(0+V 0
2∗2t )
b2+(V 0t )2=
¿−V 02
(√b2+(V 0t )2)2−t∗12
∗(V 022t )
√b2+(V 0 t )2
b2+(V 0 t )2=¿
¿−V 0
2b2+(V 0t )2− t∗1
2∗2V 0
2t
(b¿¿2+(V 0t )2)∗√b2+(V 0 t )2=−V 0
2 b2+(V 0 t )2−t∗V 0
2 t
(b¿¿2+(V 0t )2)∗(b2+(V 0 t )2)12=¿¿
¿
¿−V 02 b
2+(V 0t )2−V 02t 2
(b2+ (V 0 t )2)12+1
=−V 0
2b2
(b2+(V 0 t )2)32
Prava p se obrće u horizontalnoj ravni ravnomjerno oko se kroz tačku
O1 ,koja je upravna na ravan obrtanja.Obrtanjem prava dovodi u
kretanje prstenove A i B po nepokretnoj kruznici.Poluprecnik kruznice
je r,a rastojanje OO1=12r .Odrediti :a)odnos brzina prstenova A i B
(Va,Vb) u funkciji ugla φ , b) velicinu ugla φ pri kome je taj odnos
jednak 12
sA=r∗ψ=V a
V a=dsAdt
=r∗ψ
ψ=φ+ 1
√1−14 sin2φ ¿ 12cos φ∗φ
Va=r (φ+ cosφ∗φ
2√1−14 sin2φ)
Va=r∗φ(1+ cosφ
2√4−sin2φ)
1800−α−¿ sB=r∗α=Vb=dsbdt
1800−φ−¿ sin (φ−α )=O1 RO1 B
OC= r2sinφ=rsin (ψ−φ)
sinα=O1 rr2
12sinφ=sin (ψ−φ) sin
(φ−α )∗r2
= sinα∗r2
ψ−φ=arcsin (12sinφ) sin (φ−α )= rsinφ
2
ψ=φ+arcsin ( 12sinφ) sin (φ−α )= sinφ
2
α=φ−arcsin ( 12sinφ)
α=φ−
1
√1− 14 sin2φ∗1
2cosφ∗φ
Vb=
dsdt
=r∗α=r∗(φ−cosφ∗φ
2√1− 14 sin2φ )=r∗φ (1−cos φ
√φ−sin2φ)
VaVb
=r∗φ (1+ cosφ
2√4−sin2φ)
r∗φ(1− cosφ
√φ−sin2φ)= √3+cos2φ+cosφ
√3+cos2φ−cosφ
b) 12= √3+cos2φ+cosφ
√3+cos2φ−cosφ=√3+cos2φ−cosφ=2√3+cos2φ+2cosφ
√3+cos2φ=3cos φ ¿2=3+cos2φ=9cos2φ=¿¿ 8cos2φ=3
cos2φ=38
cosφ=arccos (±√ 38 )
Tačka M se kreće duž parabole čije jednačina u polarnim kordinatama
glasi: r=2 p cosφsin2φ
.Odrediti ubrzanje tačke M u trenutku kada je
t 1=π2k
,ako se φ mijenja po zakonu φ=kt (k-const)
r=2 p cosktsin2 kt
φ=kt φ=k φ=0
r=(2 p cos ktsin2kt
)'
=2 p(coskt )' sin2 kt−cos kt(sin2 kt)'
(sin2 kt)2
¿2 p∗−sin kt∗k∗¿ sin2 kt−cos kt∗2sin kt ¿¿¿¿¿
¿2 p∗−k∗sin3 kt−cos kt∗2sin kt∗cos kt∗ksin4 kt
¿2 p∗−k∗sinkt (¿ sin2 kt+2cos2 kt)
sin4 kt=2
p∗−k∗(sin2 kt+cos2 kt+cos2 kt )sin3 kt
¿
r=−2pk∗1+cos2 ktsin3 kt
=−2 pk1+cos2 k π
2k
sin3kπ2k
=−2 pk1+01
=−2 pk
r=−2pk∗(1+cos2kt )' sin3 kt−(1+cos2kt )(sin3 kt)'
sin6 kt
¿−2 pk∗(2coskt (cos kt)¿¿ ')sin3 kt−((1+cos2 kt )3sin2 kt (sin kt )')
sin6 kt¿
¿−2 pk∗2coskt ¿¿¿ ¿−2 pk∗−2k coskt∗sin4 kt−¿¿¿¿
¿−2 pk∗−k sin2 kt ¿¿
¿2 p k2∗2coskt sin2 kt−3coskt+3cos3 ktsin4 kt
¿2 pk2∗coskt (2sin2 kt−3+2cos2 kt+cos kt)
sin4 kt=2 p k2
cos kt(2−3+cos kt)sin4 kt
r=2 pk2coskt (cos kt−1)
sin4 kt=2 pk2
cos kπ2k
(cos k π2k
−1)
sin4 kπ2k
=2 pk 20(0−1)1
=0
ar=r−r φ2=0−0 k2=0
aφ=r∗φ+2 r φ=0+2 (−2 pk ) k=−4 pk 2
a=√ar2+aφ2=√0+(−4 p k2 )2=4 p k2
Prava OP obrće se oko svoje ose po zakonu φ=π4t2 i dovodi u kretanje
prsten M po nepomičnoj kružnici poluprečnika r.Rastojanje
OO1= r2
(r-cm,φ -rad).Odrediti brzinu i normalno ubrzanje prstena M u
momentu kada je φ1=π4
∆OO1K ∆O 1KM
sinφ=01k
r2
sinα=01kr
O 1k=sin φ∗r2
O 1K=sinα∗r
sinφ∗r2
=sinα∗r
sinα=sinφ
r2
r=sinφ
12
α=arcsin ¿ φ+α=ψ s=r∗ψ
ψ=φ+α v=dsdt
= ddt
¿
ψ=φ+arcsin ¿ v=r∗ψ ψ=¿¿
¿ φ+
1
√1−( 12sin φ)
2∗1
2cosφ∗φ=φ(1+
12cosφ
√1−(12 sinφ)2)=φ (1+ cosφ
√ 1−14 sin2φ14
)
ψ=φ(1+ cosφ
√4(1−14 sin2φ))=φ(1+ cosφ
√4−sin2φ)
φ1=π4→φ=π
4t2 φ=π
4t2
π4= π4t 2 φ=π
42t= π
2t=¿
t=1 s φ1=π2∗1=π
2
ψ1=φ (1+ cosφ
√4−sin2φ )=π2 (1+ cos
π4
√4−sin2 π4 )= π2 (1+
√22
√4−( √22
)2 )=¿
¿ π2 (1+ √2
2
√4−24 )=π2 (1+ √2
2
√ 144 )=π2 (1+ √2
2
√142
)=π2 (1+ √2
√14∗√14
√14 )=¿
ψ1=π2 (1+ √28
14 )=π2 (1+ 2√714 )=π
2 ( 14+2√714 )=π2 ( 2(7+√7)
14 )= π (7+√7)14
za t 1=1
V m=r∗ψ=rπ(7+√7)14
an=Vr
2
=r2π 2( 49+14√7+7
142)
r=r π2( 56+14 √7
142 )=r π2( 14 (4+√7 )142 )=r π 2( 4+√7
14)
Kod zadanog kulisnog mehanizma krivaja OA krece se tako da ugao φ
mijenja po zakonu φ=ωt i dovodi u kretanje glavu B .odrediti :
max brzinu i ubrzanje glave B ako je OA=r = 15 cm . ω=2π s−1
vmax=ω∙r=2 πs
∙15=30 π cms
.
amax=ω2 ∙r=( 2πs )2
∙ r=60 π2 cms2
Kruzna ploca poluprecnika r obrće se oko ose kroz tacku O upravne
na ravan ploce pri cemu se ugao φkojeg gradi poteg OC sa pravom
ON mijenja po zakonu φ=π2t .Rastojanje tacke od sredista ploce
jeOC=b<r .Odrediti :a)zakon kretanja tacke M klizaca MN
b) odrediti brzinu i ubrzanje tacke M u trenutku t=2s
a¿X ¿M=0
Y M=OC cosφ+√r2−b2 sin2( π2 ) t
Y M=OC cosφ+√r2−((bsinφ))2
Y M=bcos φ+√r2−b2sin2φ
Y M=bcosπ2t+√r2−b2sin2
π2t
b¿ X ¿M=0 Y M=
dyM
dt=−bπ
2sin( π2 t)−b2
4sin (πt)
√r2−b2 sin2( π2 t)za t=2s
aXM=0 vYM=0
aY M=dvY M
dt=b π2
4 r(r−b)
Teret B dovodi u obrtanje vratilo poluprecnika r i zupčanik 1,poluprečnika r1koji je čvrsto spojen sa vratilom.Kretanje tereta počinje iz stanja mirovanjai vrši se konstantnim ubrzanjem a.Odrediti po kom će se zakonu obrtati,u
tom slučaju,zupčanik 2 poluprečnika r2,koje je spregnut zupčanikom 1.
v=ω∗r
a=d vdt
=[ d ωdt , r ]+[ω ,d rdt ]
a=[ ε , r ]+ [ ω , v ] a=√at2+an
2
a t=ε∗r∗sin∠ (ε , r ) a t=ε∗R an=ω∗v∗sin∠ (ω,v )
an=ω∗v=ω2r= v2
R
vn=ω1∗r1 a=dvdt
ω1=ω1
vn=ω2∗r2 dv=adt / ∫ atr
=ω2∗r2r1
/r
ω1∗r1=ω2∗r 2 ∫ dv=∫ adt at=ω2∗r2∗r
r 1
ω1=ω2∗r2r1
v=at+c
t=0 , c=0 , v=0 vm=vb=at
ω1 ¿vn
r=at
r
an=ω∗vn
an=ω∗ω1∗r1=ω∗atr
∗r=ω∗at
a t=ε1∗r1 ω1=atr∗r
a t=ε2∗r2 ω1∗r=at /t
ε 1∗r1=ε2∗r2 ω1t
∗r=a /r
ε 2=ε1∗r1r2
ω1t
=ar
ε 2=
ar∗r1
r2
ε 1=ar
ε 2=a∗r1r∗r2
Za koje rastojanje s=A0 A se pomjerio klizač A regulatora,ako je poznato
da su ubrzanja svake od lopti jednaka am
s2,i da je ugaona brzina konstantna
i jednaka ω s−1 ,a A0 položaj klizača pri a=0.Dužine štapova su l .
Rastojanje OO1 zanemariti.
a=d vdt
=[ d ωdt , r ]+[ω ,d rdt ]
v=d rdt
= [ω ,r ]
a=a t+an
a=√at2+an
2
a t=ε∗r∗sin∠ (ε , r ) a t=ε∗R=0
ε=dωdt
=0
an=R∗ω2
a=√at2+an2=√an2=¿R∗ω2¿
2 l=s+2 l∗cos α
s=2l−2l∗cosα sinα= Rl⇒R=sinα∗l
s=2l∗(1−cos α )
sinα= Rl=
a
ω2
l= aω2 l
s=2l∗(1−√1−sin2α )=2l∗(1−√1− a2
l2ω4 )=2 l∗(1−√ l2ω4−a2
l2ω4 ) s=2l ¿