1

1 klienci pojawiają się w systemie rzadziej niżsą obsługiwani.

Stan równowagi – kiedy sprawność obsługi klientów w systemie jest nie mniejsza niż częstość napływania nowych klientów

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

2

Z punktu widzenia ekonomicznego dążymy do minimalizacji kosztów lub maksymalizacji przychodów

Koszt oczekiwania

Koszt obsługi

Koszty razem

Liczba stanowisk

Koszt

najedn.

czasu

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

3

Zapis Kendalla Zapis Kendalla x/y/z/p/nx/y/z/p/n

xx– charakterystyka przybywania nowych klientów do systemu

yy – charakterystyka obsługi w stanowiskach obsługizz – liczba stanowiskpp – dopuszczalna wielkość kolejkinn – wielkość populacji, z której pochodzą klienci

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

4

SYMBOLE ZAPISU KENDALLA SYMBOLE ZAPISU KENDALLA W KLASYFIKACJI MODELI W KLASYFIKACJI MODELI

SYSTEMÓW KOLEJKOWYCHSYSTEMÓW KOLEJKOWYCHSYMBOLSYMBOL ZNACZENIEZNACZENIE

MM

Wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa długości odstępu czasu między kolejnymi zgłoszeniami do systemu/czasu obsługi

DD Wielkość deterministyczna lub o stałym rozkładzie zgłoszeń klientów/czasu obsługi

GG

Dowolny rozkład prawdopodobieństwa o znanej wartości oczekiwanej i wariancji zgłoszeń do systemu/czasu obsługi klientów

EEkk Rozkład Erlanga rzędu k opisujący rozkład prawdopodobieństwa długości odstępu czasu między kolejnymi zgłoszeniami do systemu/czasu obsługi

5

SYSTEM SYSTEM M/M/1M/M/1 ((x/y/z)x/y/z)

Z Z NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄNIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ

mamy z nim do czynienia wtedy gdy:

1. czas obsługi klientów w systemie,

2. długość odstępu czasu między zgłoszeniami napływającymi do systemu

mają wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa, a w systemie występuje jedno stanowisko obsługi

6

SYSTEM M/M/S SYSTEM M/M/S ((x/y/z)x/y/z)

Z Z NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄNIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ

1. czas obsługi klientów w systemie, oraz czas między zgłoszeniami do systemu mają wykładniczy rozkład prawdopodobieństwawykładniczy rozkład prawdopodobieństwa,

2. w systemie jest SS równoległych stanowisk obsługirównoległych stanowisk obsługi ze wspólną kolejką.

7

SYSTEM M/M/SM/M/S ZE SKOŃCZONĄ POPULACJĄ

1. czas między zgłoszeniami do systemu oraz czas obsługi mają wykładniczy rozkład wykładniczy rozkład pprawdopodobieństwarawdopodobieństwa,

2. istnieje SS kanałów obsługi,

3. populacja klientów jest skończona, o liczebności Nu.Nu.

4. ogólna budowa formuły (lambda;mi;n;S;Nu(lambda;mi;n;S;Nu))

W systemie ze skończoną liczbą klientów wielkość populacji nie będącej w systemie zależy w istotny sposób od liczby klientów obsługiwanych i oczekujących na obsługę w systemie.

8

Problem 1. (system jednokanałowy)*

W ciągu jednej godziny do sali egzaminacyjnej gdzie odbywa się egzamin z MAP, przychodzi średnio 4 studentów. Czas, jaki egzaminator przeznacza na pytanie jednego studenta wynosi około 12 minut.

•Wybrane metody badań operacyjnych w zarządzaniu. Problemy i zadania., pr. zb. pod red. D.Kopańskiej-Bródki, AE Katowice 2006

9

Wyznacz stopę przybyć, stopę obsługi i parametr intensywności ruchu.

Stopa przybyć

W ciągu godziny można przeegzaminować

(stopa obsługi) studentów.

Parametr intensywności ruchu

Ponieważ

układ jest stabilny (zmierza do stanu równowagi), tzn. prawdopodobieństwo tego, że kolejka ma określoną długość jest stałe w każdej jednostce czasu.

4512/60

8,05

4

1 czyli 54

10

Podaj przeciętną liczbę studentów czekających w kolejce na egzamin oraz przeciętną liczbę studentów znajdujących się w sali egzaminacyjnej.

osoby 2,3)45(5

4

)(1

222

qL

11

Średnia liczba zgłoszeń przebywających w systemie (łączna liczba zgłoszeń czekających w kolejce i obsługiwanych)

osoby 445

4

qL

Średnia liczba studentów przebywających na sali wynosi 4 studentów (łączna liczba studentów czekających na egzamin i egzaminowanych)

12

Podaj przeciętny czas oczekiwania przez studenta w kolejce na egzamin oraz średni czas, jaki spędza student w sali egzaminacyjnej.

Przeciętny czas oczekiwania

Średni czas egzaminu (średni czas spędzany w systemie)

godziny 8,0)45(5

4

)(

qW

godzina 145

11

W

13

Wyznacz prawdopodobieństwo braku studentów oczekujących na egzamin.

2,08,0110 P

14

Wyznacz prawdopodobieństwo, że w kolejce czeka więcej niż dwóch studentów.

10

0

k

kkP

512,0125

64

5

412

2

kP

15

Jeśli liczba studentów przybywających do Sali egzaminacyjnej zwiększy się do 6 osób, wówczas podstawowe parametry układu wynoszą:

Układ jest niestabilny, co spowoduje, że z upływem czasu kolejka studentów oczekujących na egzamin będzie coraz dłuższa.

1,2

osób/godz. 560/12

osób/godz. 6

16

Pracownicy nowoczesnego biurowca wpuszczani są na teren budynku przez specjalne bramki. Przejście przez bramkę jednego pracownika trwa ok.. 10 sek., w czasie których komputer zainstalowany przy bramce odczytuje kartę wejścia pracownika, zapisuje czas jego przybycia i zezwala na wejście do budynku. W ciągu jednej minuty przychodzi 16 pracowników, którzy mogą skorzystać z jednej z trzech bramek wejściowych.

Problem 2. (system wielokanałowy)

17

a) Określ podstawowe parametry systemu kolejkowego

b) Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że pracownicy nie będą czekali w kolejce

c) Oblicz średnią liczbę pracowników oczekujących w kolejce

d) Ile wynosi średni czas oczekiwania w kolejce oraz przebywania w systemie?

e) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejce czeka dokładnie dwóch pracowników?

n stabilny układ

n

:ruchu sciintensywnoparametr

3n obsługikanały

6prac./min10:60 obsługi stopa

przybyć stopa

89063

16

16

,

min/.praca)

19

350852

1

3890

2890

1890

0890

1

1

1

3210

1

0

0

,,

!,

!,

!,

!,

)!()(!

n

i

ni

nni

P

b)

Prawdopodobieństwo, że przebywający nie będą oczekiwać w kolejce wynosi 0,35

20

0250350138903

890

1

2

13

02

1

,,)!(),(

,

)!()(

Pnn

Ln

q

c)

Liczba pracowników oczekujących w kolejce

0016016

0250,

,

q

q

LW

nk dla n

nk dla

k-n

0

0

Pn

PkP

k

k

k

!

!

d)

Średni czas oczekiwania w kolejce.

e)

1403502

890 2

,,!

,2P

Prawdopodobieństwo, że w kolejce będzie oczekiwało 2 klientówwynosi 0,14.

22

Miłego dniaMiłego dnia