ASSALAMUALAIKUM WARAHMATULLAHI WABARAKATUH

Presentase Statistika Inferensial

OLEH : KELOMPOK I

MARDIAH

MARTINA

RAHMANIA SYUKUR

1. Variabel Random2. Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoritis3. Nilai Harapan dan Rata-Rata Hitung Distribusi

Teoritis4. Varians dan Simpangan Distribusi Teoritis5. Distribusi Binomial

DISTRIBUSI TEORETIS

A. VARIABEL RANDOM

Variabel random atau variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel

Jenis-jenis Variabel Randoma. Variabel Random Diskrit

Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval/ variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

b. Variabel Random kontinuVariabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval/ variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu

B. Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis1. Pengertian Distribusi Teoretis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan. Frekuensi dari distribusi itu diperoleh melalui perhitungan-perhitungan, karena itu distribusi

teoritis pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis ( perhitungan ). Contoh: Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A

dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya!

Penyelesaian:Dari pelemparan tersebut akan diperoleh ruang sampel dengan anggota sebanyak 8 (n=8), yaitu:S={AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB}Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka:1. Untuk AAA, didapat X = 32. Untuk AAB, didapat X = 23. Untuk ABA, didapat X = 24. Untuk BAA, didapat X = 25. Untuk ABB, didapat X = 16. Untuk BBA, didapat X = 17. Untuk BAB, didapat X = 18. Untuk BBB, didapat X = 0.

Dengan demikian: X = {0, 1, 2, 3}Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka

distribusi teoretisnya adalah seperti tabel berikut:

Tabel 1.1 Hasil Pelemparan Sebuah Mata Uang Logam Sebanyak 3 Kali

X P(X)0 0,1251 0,3752 0,375

3 0,125Jumlah 1,000

2. JENIS-JENIS DISTRIBUSI TEORETIS

a. Distribusi teoritis diskrit Suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas

terjadinya masing-masing nilai tersebut. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit jika memenuhi syarat:1) f(x) ≥ 0, x Є R2) f(x) = 13) P(X=x) = f(x)

Contoh soalDi dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil!Jawab:Jumlah titik sampel = = 20 titik sampel Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah Distribusi probabilitasnya P(X=x) = x = 0,1,2

Untuk X = 0

 

Untuk X = 1  

 

Untuk X = 2

Distribusi probabilitasnya adalah

X 0 1 2

P(X) 0,2 0,6 0,2

b. Distribusi Teoretis Kontinu

Suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.

Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu x, jika memenuhi syarat:

a.

b.

c.

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

f (x) ≥ 0, x Є R

Contoh Soal:Suatu variabel random kontinu X yang memilikinilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yangdinyatakan oleh :

Tentukan nilai P(X<2)!21

)1(2)( xxf

Penyelesaian:

3. Nilai Harapan/Rata-Rata Hitung Distribusi Teoretis

Nilai harapan atau harapan matematika dari distribusi teoretis sebenarnya adalah nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoretis itu, disimbolkan E(X) atau µ.

Misalkan X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) atau P(X = x) maka nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut:1. Untuk distribusi probabilitas diskrit

E(X) = µ = Ʃx . f(x),

AtauE(X) = µ = Ʃ(x . P(x)),

2. Untuk distribusi probabilitas kontinu

Contoh soal:Seorang salesman menjual jenis dinner set baru untuk PT. Mekar. Salesman itu menjual dinner set terbanyak pada hari senin. Ia kemudian membuat suatu distribusi probabilitas untuk jumlah dinner set yang diharapkan pada suatu hari senin tertentu yang disajikan dalam tabel berikut:

Jumlah iDinner Set Terjual (x)

ProbabilitasP(x)

012345

0,050,250,300,200,150,15

Berapa jumlah dinner set yang diharapkan oleh salesman dapat terjual dan apa artinya?

Penyelesaian:

E(X) = µ = Ʃ(x . P(x)) = 0(0,05) + 1(0,25) + 2(0,30) + 3(0,20)

+ 4(0,15) + 5(0,05) = 2,3

Artinya: untuk sejumlah besar hari Senin, salesman berharap menjual dinner set dengan rata-rata 2,3 sehari (tentu saja adalah tidak mungkin baginya untuk menjual tepat 2,3 dinner set pada suatu hari senin tertentu).

4. VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU DISTRIBUSI TEORETIS

Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku (deviasi standar) dari distribusi teoretis atau distribusi probailitas (variabel random X) dapat dihitung, yaitu:

atau

Contoh Soal :Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :

Tentukan Var(X) dan simpangan bakunya.

Penyelesaian:

E( X ) = Σ x . f(x)

= 0 + + +

= 2

X 0 1 2 3

f (x) 1/27 6/27 12/27 8/27

E (X2 ) = Σ x2. f (x)

= + + +

= 4,67

Vart(X) = E(X2 ) - (E(X) )2

= 4,67 – 22

= 0,67

=

=

= 0,82

DISTRIBUSI BINOMIALSuatu distribusi teoretis yang

menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dan sebagainya

Pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian

Ciri-ciri :1. Setiap percobaan hanya memiliki

dua peristiwa seperti ya-tidak, sukses-gagal

2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan

3. Percobaannya bersifat independent artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya

4. Jumlah/ banyaknya percobaan yang meruppakan komponen percobaan binomial harus tertentu

Rumus binomial suatu peristiwaProbabilitas suatu peristiwa dapat

dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan

Keterangan :x = banyaknya peristiwa suksesn = banyaknya percobaanp = probabilitas peristiwa suksesq = 1- p = probabilitas peristiwa gagal

xnxnx qpCpnxbxXP ..),;()(

JawabP= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1

kali) P (X=1) =

= 4 .(1/6).(5/6)3 = 0.386P = 3/6; q = ½; n =4; x =2 P(x=2) = = 6.(1/2)2.(1/2)2 = 0.375

Probabilitas binomial kumulatifProbabilitas dari peristiwa binomial lebih

dari satu sukses

)(...)2()1()0(

)(

.

0

0

nxPxPxPXP

xXP

qpCPBK

n

x

xnxn

x

nx

Contoh soal

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian

sarjana dan diperkirakan probabilitaskelulusannya adalah 0,7. Hitunglahprobabilitas :a. Paling banyak 2 orang lulusb. Yang akan lulus antara 2 orang sampai 3

orangc. Paling sedikit 4 orang diantaranya lulus

Jawaba) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2 P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3 P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)

c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5 P(X>4) = P(x=4) + P(x=5)

Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Binomial

qpnbakusimpangan

qpnians

pnratarata

..)(

..)(var

.)(2

“ kita kadang-kadang mengejar serta terus mengejar apa yang belum kita punyai dan kadang-kadang lupa dengan apa yang telah ada pada kita untuk disyukuri, ditinai, dan dimardiahi”

WASSALAMUALAIKUM WARAHMATULLAHI WABARAKATUH...

Tanah Doang,Bersejarah & Berhias