KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKAVariace s opakováním

VY_32_INOVACE_M4r0110Mgr. Jakub Němec

PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM

Variace s opakováním je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných uspořádaných k-tic lze sestavit z n prvků, které se v nich mohou vyskytnout nejvýše k-krát jednou.

U této operace nám záleží na pořadí prvků. Uveďme si jednoduchý příklad:

Určete, kolik různých kombinací lze hodit černou a bílou pětikorunou) barvy jsou použity pro jejich odlišení).

LL, LR, RL, RR – tedy čtyři V případě, že by se házelo třemi mincemi (např. plus

modrá) bylo by možností osm – LLL, LLR, LRL, RLL, LRR, RLR, RRL, RRR.

KOMBINACE – DEFINICE A VZOREC

Definice variace s opakováním vychází z výše uvedeného, tedy: k-členná variace s opakováním z n prvků je

uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.

Počet všech k-členných variací s opakováním z n prvků odpovídá vztahu:

, kde , jak již víme z problematiky věnující se faktoriálům.

Všechny tři úlohy jsou založeny pouze na správném doplnění hodnot do vzorce variace s opakováním dle definice.

Důležité je uvědomit si, že počet prvků, tedy hodnoty, které mohou kostky nabývat, je základem mocniny a k-tice, neboli počet prvků, je mocninou.

Kolik různých možností máme při hodu hrací kostkou. Kolik různých možností máme při hodu dvěma hracími kostkami? A kolik možností máme pro tři hrací kostky?

𝑎 ¿𝑉 ´1 (6 )=61=6 1,2,3,4,5,6

𝑏¿𝑉 ´2 (6 )=62=36

1112131 41516𝑐 ¿𝑉 ´3 (6 )=63=216 Nejlépe sestavit

jako třírozměrný prostor v krychli.

Ve všech třech příkladech rozdělíme SPZ na dvě části – písmennou a číselnou.

Vypočteme je zvlášť podle definice pro variace s opakováním.

Počet možností navzájem vynásobíme na základě kombinatorického pravidla součinu.

Určete teoretický počet unikátní SPZ aut, když v něm budou dvě písmena (máme celkem 28 písmen) a čtyři číslice. Jak by se změnil počet pro tři číslice? Pro pět číslic? Pro čtyři číslice bez použití nuly?

𝑎 ¿𝑉 ´ 2 (28 ) ∙𝑉 ´ 4 (10 )=784 ∙10000=7840000

𝑏¿𝑉 ´2 (28 ) ∙𝑉 ´3 (10 )=784 ∙1000=784000

𝑐 ¿𝑉 ´2 (28 ) ∙𝑉 ´5 (10 )=784 ∙100000=78400000

𝑑¿𝑉 ´ 2 (28 ) ∙𝑉 ´ 4 (9 )=784 ∙6561=5143824

ÚKOL ZÁVĚREM

1) Kolik různých pěticiferných sudých čísel není menších než 50000?

2) Určete, kolik možných jeden až čtyřsymbolových znaků lze vytvořit v Morseově abecedě.

3) V akváriu plave 1600 rybek, které jsou dvoubarevné. Každá z rybek má jinou barvu ploutve a jinou barvu trupu. Celkový počet barev je 39. Dokažte, že alespoň jedna dvojice rybek má stejnou barevnou kombinaci.

ZDROJE Literatura:

Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.