konceptet baze te probabilitetit 1

1

Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit

Qëllimet: Pas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:

Definoni probabilitetin.

Kuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja.

Përshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të

probabilitetit dhe të bëni dallimet në mes të tyre.

Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve.

Definoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i

përbashkët.

Të konstruktoni një diagram në formë peme

Të kakuloni probabilitetin përmes Teoremes së Bayes-it

Përcaktoni numrin e permutacioneve dhe kombinacioneve

Probabiliteti

Probabiliteti është një matës numerik për

gjasat se një ngjarje do të ndodhë.

Probabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në

mes të 0 dhe 1.

Shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve

reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/ duhet

të jetë i barabartë me 1.

E sigurt

E pamundur

0.5

1

0

0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A

1P(C)P(B)P(A) Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht

përjashtuese dhe te domosdoshme

2

Definicionet

Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe 1.

Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) i disa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien deri te paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disa vrojtime të mundshme.

Rezultati: Rezultati i pjesshëm i një eksperimenti.

Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumë rezultateve të një eksperimenti.

Hapësira e mostrës/ Rezultatet e mundshme

5-3

Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme

Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha

ngjarjeve të mundshme

p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):

P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):

3

Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës

Eksperimenti Rezultati

Hapësira e mostrës

Gjuajtja e monedhës Stema (S) , numri (N) S= { Stema, Numri}

Gjuajtja e zarit 1,2,3,4,5,6 S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}

Gjuajta e monedhës dy herë NN, NS, SN, SS S = {NN, NS, SN, SS}

Loja në lotari Fitim, Humbje S ={ Fitim, Humbje}

Dhënja e provimit Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}

Zgjedhja e studentëve Mashkull, Femër S= {Mashkull, Femër}

Ngjarjet

Ngjarje e thjeshtë/ elementare

Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një

karakteristikë.

P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit, renja e stemes,

Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A, lexohet” JoA)

Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A

P.sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit.

Ngjarje e përbashkët

Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që

paraqiten njëkohësisht.

P.sh., Një As që është gjithashtu i kuq.

4

Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit

Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt:

1. a priori probabiliteti klasik

2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative

3. Probabiliteti subjektiv

numri i rezultateve te favorshmeprobabiliteti

n numri rezultateve te mundshme

m

total i

Numri ngjarjeve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti =

Numri total i vrojtimeve

m

n

Një vlerësim apo opinion individual rreth

probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes.

Qasjet e probabilitetit

Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet

e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta.

Sipas pikëpamjes klasike ,

Numri i rezultateve tefavorshmeProbabiliteti i nje ngjarje =

Numrii pergjithshem i rezultateve te mundshme

mP

n

5-4

5

SHEMBULL 1

Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy

monedhave metalike në të njejtën kohë.

Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS}

Marrim në konsiderim ngjarjen për një N.

Probabiliteti për me ra nje herë numri =2/4 = 1/2.

5-5

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të

papajtueshme

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të

papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje

nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të

njejtën kohë.

Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e

mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të

papajtueshme.

5-6

6

Ngjarjet e domosdoshme

Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një

ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment.

Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme

janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera

shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 +

0.25 + 0.25).

5-7

Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik

Qasja a-posteriori

Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të

gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e

kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën:

Numri i rezultateve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti i nje ngjarje=

Numri total i vrojtimeve

5-8

7

Probabiliteti empirik/koncepti i frekuencave relative

Supozojme se dëshirojmë të llogaisim probabilitetet e këtyre

ngarjeve:

- Probabilitetin se automobili i ardhshëm i prodhuar nga fabrika

do të jetë me “defekt”.

- Probabilitetin se një familje e zgjedhur rastësisht ka shtëpi te

veten.

- Probabilitetin se një grua e zgjedhur rastësisht nuk e punë

duhanin.

- Probabilitetin se një tetëdhjetëvjeçar do të jetoj më së paku

edhe një vjet, etj.

Shembull

Dhjetë nga 500 automobila të zgjedhur rastësisht të

prodhuar në një fabrikë kanë qenë me defekt. Sa

është probabiliteti që automobili i ardhshëm i

prodhuar nga kjo fabrikë të jetë me defekt.

n=500 P(A) = 10/500=0.02

m=10

Shpërndarja e frekuencave dhe frekuencave relative në

mostrën prej 500 automobilave

Automobili Frekuenca Frekuenca relative

I rregullt 490 490/500=0.98

Me defekt 10 10/500=0.02

Gjithsej 500 1.00

8

SHEMBULL

Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer

186 studentë me A nga 1200 studentë sa ajo i ka

mësuar. Sa është probabiliteti që studenti në

departamentin e saj në këtë semestër do të marrë

A?

Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative

probabiliteti për një A është

P(A)= 186/1200=0.155

5-9

Probabiliteti subjektiv/ Qasja subjektive

Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të veçanta.

Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon:

- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve.

- Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj

5-10

9

Disa rregulla të probabilitetit

Rregullat e

probabilitetit

Rregullat

aditive

(të mbledhjes)

Rregullat e

multiplikatorit

(e shumëzimit)

Rregulla e

veçantë

aditive

Rregulla e

plotësuese

komplementare

Rregulla e

përgjithshme

aditive

Rregulla e

veçantë e

multiplikatorit

Rregulla e

përgjithshme

e multiplikatorit

Rregullat bazë të probabilitetit

Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e

ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera.

Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë

reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se

probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën

e probabiliteteve të tyre.

P(A ose B) = P(A) + P(B)

Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) = P(A) + P(B) + P(C)

5-11

10

Shembull

Një makinë automatike mbush qese të plastikës me perime të ndryshme. Shumica prej tyre janë mbushur në mënyrë pothuajse korrekte, disa më pak e disa më shumë.

• Sa është probabiliteti që pakot

në përgjithësi të jenë më pak të

mbushura ose më shumë të

mbushura.

Pesha Ngjarja Nr.i paketimeve Probabiliteti

Më pak se normalja A 100 0.025

Pesha normale B 3600 0.9

Më shumë se normalja C 300 0.075

Totali 4000 1

Shembull-vazhdim

• P(A ose C)= P(A)+P(C)=

0.025 + 0.075 = 0.1

11

Rregulla plotësuese/komplementare

Rregulla plotësuese/komplementare /përdoret për

probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes

heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të

ndodhë nga 1.

Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A)

është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose

P(A) = 1 - P(~A).

5-14

Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim

Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron

rregullën komplementare që do të duket si në vijim:

A ~A

5-15

12

SHEMBULL 4 vazhdim

P(A ose B) = 1 – P(~(A ose C) = 1 – 0.9= 0.1

C

0.075

A

0.025

~(A ose C) = 1- 0.9 = 0.1

5-17

Rregulla aditive e përgjithshme

Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë

reciprkisht përjashtuese , atëherë ,

P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese:

P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)

5-18

13


Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:

A dhe B

A

B

5-19

SHEMBULL

Në një repart montimi me 50 punëtorë, çdo punëtorë duhet të

kryejë punën e tij në kohë dhe në cilësi. Në fund të punës

menaxheri ka konstatuar se 5 punëtorë kanë përfunduar punën me

vonesë, 6 punëtorë kanë bërë montim me defekt dhe 2 të tjerë

kanë përfunduar me vonesë dhe kanë bërë montim me defekt të

pjesëve të produktit.

Puna kryhet

me vonese

5

Bashkë

2

Produkti është

montuar me defekt

6

5-20

14

SHEMBULL vazhdim

Nëse punëtori zgjedhet rastësisht , sa është

probabiliteti që ai të ketë kryer punën me vonesë,

ti ketë montuar pjesët me defekt, të jetë vonuar

dhe të ketë montuar me defekt.

P(A) = Puna kryhet me vonesë.

P(B) = Produkti është montuar me defekt

P(A dhe B) = Puna kryhet me vonesë dhe produkti

montohet me defekt

5-21

SHEMBULL vazhdim

P(A)= 5/50= 0,1 – Probabailiteti se puna kryhet

me vonesë;

P(B) = 6/50=0.12- Probabiliteti se produkti është

montuar me defekt;

P(A dhe B) = 2/50=0.04- Probabiliteti se puna

është vonuar dhe produkti është montuar me defekt.

15

SHEMBULL vazhdim

Nëse punëtori zgjedhet rastësisht, sa është

probabiliteti që ai të jetë vonuar dhe të ketë

montuar pjesët me defekt?

P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B) =

0.10+0.12-0.04=0.18

5-22

Vlera 0,18 mund të interpretohet si probabilitet që një

punëtor të marrë një vlerësim të dobët për punën e tij.

Shembull

• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim.

• Shënojmë ngjarejt :

• A= Studenti jep provimin e historisë

• B= Studenti jep provimin e matematikës

• B dhe A- Studenti jep të dyja provimet

Atëherë:

• P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50 =0.8.

16

Rregulla e multiplikatorit-shumëzimit

Rregulla e multiplikatorit/shumëzimit përdoret për

gjetjen e probabiliteteve që mund të ndodhin

njëkohësisht. Janë dy rregulla të shumëzimit:

Rregulla e veçantë e shumëzimit

Rregulla e përgjithshme e shumëzimit

Rregulla e veçantë e multiplikatorit

• Rregulla e veçantë e multiplikatorit kërkon që dy

ngjarje A dhe B të jenë të pavarura.

• Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e

njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së

tjetrës.

• Rregulla e veçantë e multiplikatorit është:

• Për tri ngjarje të pavarura rregulla e Multiplikatorit

5-24

( ) ( ) ( )P Adhe B P A P B

( ) ( ) ( ) ( )P Adhe BdheC P A P B P C

17

SHEMBULL

Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7

Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të rriten vitin e ardhshëm?

P(A dhe B) = (0.5)(0.7) = 0.35.

5-25

Probabiliteti me kusht

Probabilitetiti i një ngjarje ndikohet nga ndodhja apo mosndodhja e një ngjarje tjetër të lindur nga e njejta provë.

Le ta zëmë se kemi një ngajrje A me probabilitet P(A). Marrja e një informacioni të ri për ndodhjen e një ngjarje tjetër B që ka lidhje me ngjarjen A na detyron të rivlerësojmë edhe njëherë shansat e ndodhjes së ngjarjes A. Probabiliteti i ri i ngjarjes A, i llogaritur në kushtet kur ka ndodhur ngjarja B, quhet probabilitet me kusht i ngjarjes A dhe shënohet me simbolin P(A/B) dhe llogaritet me formulat vijuese:

18

Llogaritja e probabilitetit me kusht

Probabiliteti me është probabiliteti i një ngjarje, duke

ditur se një tjetër ngjarje ka ndodhur :

P(Adhe B)P(A|B)

P(B)

P(A)

B)andP(AA)|P(B

Ku: P(A dhe B) = probabiliteti i përbashkët i A dhe B

P(A) = Probabiliteti margjinal i A

P(B) = Probabiliteti margjinal i B

Probabiliteti me kusht i

A duke ditur se B ka

ndodhur

Probabiliteti me kusht i

B duke ditur se A ka

ndodhur

Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull

Gjinia Produkti A

(A)

Produkti B

(B)

Totali

Meshkuj (M) 200 300 500

Femra ( F) 100 400 500

Gjithsej 300 700 1000

•Rezultatet e një studimi të tregut që kanë përfshirë 1000 persona që janë

pyetur se cilin preferonin nga dy produktet konkurruese. Tabela jep klasifikimin e

personave sipas gjinisë dhe produktit që ata preferojnë.

•Sa është probabiliteti se një person i zgjedhur rastësisht preferon

produktin B kur dihet se ai është femër.

19

Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull

Shenojmë me :

M= (Personi i pyetur është mashkull) …P(M)=500/1000= 0.5

F= (Personi i pyetur është femër)………P(F) = 500/1000=0.5

A= (Personi i pyetur preferon produktin A)…P(A) = 300/1000=0.3

B= (Personi i pyetur preferon produktin B)…P(B) = 700/1000=0.7

Gjejmë edhe probabilitetet tjera:

P (M dhe A) = 200/1000=0.2; P(M dhe B) =300/100=0.3;

P( F dhe A) =100/1000=0.1. P(F dhe B)= 400/1000= 0.4

Probabiliteti me kusht se personi i zgjedhur preferon produktin B duke ditur se

është femër është:

P(B/F)=400/500=0.8

Ose

P(Bdhe F) 0.4P(B|F) 0.8

P(F) 0.5

Komentimi i rezultateve

Llogaritja e probabilitetit me kusht na mundëson që

të bëjmë analiza të ndryshme:

P.sh.

P(B/F)=0.8- probabiliteti i preferencës së produktit

B nga femrat

P(B/M)= 0.6 – probabiliteti i preferencës së

produktit B nga meshkujt.

Rezultatet na tregojnë se femrat e preferojnë më

shumë produktin B se sa meshkujt.

20

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit

Ne përdorim rregullën e përgjithshme të

multiplikatorit /të shumëzimit , për të gjetur

probabilitetin e përbashkët për dy apo më shumë

ngjarje kur ato nuk janë të pavarura, gjegjësisht

varen nga njëra tjetra.

P.sh. Kur ngjarja B ndodh pas ndodhjes së ngjarjes A

dhe A ka një efekt në gjasat e ndodhjes së ngjarjes

B, atëherë ngjarja A dhe B nuk janë të pavarura.


Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit përdoret për të

gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të

ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B,

probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin

gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do

të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se

ngjarja A ka ndodhur.

( ) ( ) ( / )P Adhe B P A P B A

5-28

OSE:

( ) ( ) ( / )P Adhe B P B P A B

21

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull

Shembull: Supozojme se në një kuti ka 10 rollne të filmit, ku tri prej tyre janë me defekt. Një rollne zgjedhet nga kutia rastësisht. Probabiliteti që filmi të jetë me defekt është 3/10 kurse probabiliteti që filmi të jetë në rregull është 7/10. Mandej filmi i dytë nxirret nga kutia pa e kthyer filmin e parë në kuti. Probabiliteti se filmi i dytë është me defekt ndikohet nga ngjarja paraprake që filmi është me defekt apo pa defekt. Probabiliteti se filmi i dytë është me defekt mund të jetë:

- P (Rollna e dytë është me defekt/rollna e parë ka qenë me defekt) është 2/9 ( Vetëm dy rollne kanë mbetur me defekt)

- P (Rollna e dytë është me defekt/rollna e parë ka qenë pa defekt) është 3/9 ( Ende të tri rollnet me defekt kanë mbetur në kuti).

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull - vazhdim

Nëse me D1 shënojmë probabilitetin se filmi i parë është me

defekt, atëherë P(D1 )=3/10

Nese me D2 shënojmë probabilitetin se rollna e dytë e filmit është

me defekt- atëherë probabiliteti P(D2 /D1 ) = 2/9, sepse pas

zgjedhjes së parë është parë se filmi është me defekt, kështu që

vetëm 2 rrollne kanë mbetur me defekt.

Probabiliteti për dy rollne me defekt është :

P(D1 dhe D2 ) = P(D1 )* P(D2 /D1 ) = (3/10)*(2/10)=0.07

22


Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit mund të

zgjerohet edhe për më shumë se dy ngjarje.

Për tri ngjarje formula do të ishte:

( ) ( ) ( / ) ( / )P Adhe BdheC P A P B A P C Adhe B

5-28

Për ilustrim, probabiliteti se tri rolnet e para të zgjedhura do të

jenë me defekt is 0.00833 i gjetur përmes :

1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( / ) ( / )

3 2 1 60.00833

10 9 8 720

P D dhe D dhe D P D P D D P D D dhe D

Shembull

Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë.

a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra?

b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj.

c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Spjego.

23

Zgjidhje

a) 0.002

b) 0.14

4 3 2 10.002

12 11 10 9

8 7 6 5 16800.1414

12 11 10 9 11880

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull

Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në

pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të

punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë

apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit

ta ndërronit?

Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të

përvojës së tyre në atë kompani sipas tabelës

vijuese:

24


Përvoja > Me pak se një vit

B1

1-5vite

B2

6-10 vite

B3

Më shumë se 10 vite

B4

Totali

Do të qëndrojnë

A1

10 30 5 75 120

Nuk do të qëndrojnë

A2

25 15 10 30 80

Totali 35 45 15 105 200

Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës


Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur

rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë

kompani dhe ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?

Këtu shohim se dy ngjarje do të ndodhin

njëkohësisht- do të qëndrojë në kompani dhe ka

përvojë pune më shumë se 10 vjet.

25


1. Ngjarja A1 ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që do

të qëndrojë në kompani përkundër kushteve më të mira të orfruara nga një kompani tjetër. P(A1 )=120/200= 0.6

2. Ngjarja e dytë ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune. Kështu P(B4 /A1 ) është probabiliteti me kusht që një punëtor me më shumë se 10 vjet përvojë pune do të qëndrojë në kompani.

Duke ju referuar të dhënave nga tabela, 75 nga 120 punëtorë që do të qëndrojnë në kompani kanë më shumë se 10 vjet përvojë pune, kështu që probabiliteti me kusht është:

P(B4 /A1 )=75/120.


Duke përdorur rregullën e multiplikatorit do të

gjejmë probabilitetin se një person i zgjedhur

rastësisht do të qëndrojë në kompani dhe ka më

shumë se 10 vjet përvojë pune.

1 4 1 4 1P (A dhe B ) (A ) (B / A )

120 75 90000.375

200 120 24000

P

26

Diagrami në formë peme

Diagrami në formë peme është shumë i dobishëm për

llogaritjen e probabilitetetve të kushtëzuara dhe të përbashkëta

dhe veçanërisht i dobishëm për marrjen e vendimeve në biznes

që përfshijnë disa faza.

Mund të përdoret për të treguar rezultatet e dy apo më

shumë ngjarjeve.

Çdo degë prezanton rezultatet e mundshme të një ngjarje .

Probabiliteti i çdo njërës shkruhet në degë .

Rezultati final varet nga rruga që e marrim nëpër pemë.

Ne do të përdorim të dhënat e tabelës së fundit për të

parë se si konstruktohet diagarmi në formë peme.

27

Konstruktimi i Diagramit në formë peme

1. Për të konstruktuar diagramin ne fillojmë me një pikë të trashë në

anën e majtë për të prezantuar rrënjët e pemës.

2. Për problemin e paraqitur parprakisht, dy degë kryesore dalin nga

rrënjët, e sipërmja që prezanton “Do të qëndrojnë“ dhe e

poshtmja që paraqet “Nuk do të qëndrojnë“. Probabilitetet e tyre

shënohen në degë, zakonisht 120/200 dhe 80/200. Këto

probabilitete mund të shënohen edhe P(A) dhe P(~A).

3. Katër degë të tjera “rriten” prej dy të degëve kryesore. Këto

degë prezantojnë përvojën e punës në kompani: më pak se 1 vit;

1-5 vjet; 6-10 vjet dhe më shumë se 10 vjet. Probabilitetet me

kusht për degën e sipërme të pemës 10/120; 30/120; 5/120; e

kështu me radhë shënohen në degën përkatëse.

Konstruktimi i Diagramit në formë peme - vazhdim

4. Përfundimisht probabilitet e përbashkëta, që janë ngjarjet A1 ,

dhe Bj ose ngjarjet ~A dhe Bj do të shfaqen bashkë dhe janë

të treguara në anën e djathtë të pemës. P.sh. Probabiliteti i

përbashkët për një punëtor të zgjedhur rastësisht se do të

qëndrojë në kompani dhe ka më pak se një vit përvojë pune,

duke u bazuar në formulë dhe në diagramë të pemës është:

1 1 1 1 1P (A dhe B ) (A ) (B / A )

120 10 90000.05

200 120 24000

P

Meqenëse probabilitet e përbashkëta paraqesin të gjitha rezultatet e

mundshme, atëherë shuma e tyre duhet të jetë e barabartë me 1.00

28

Formula e probabilitetit të plotë

Teorema e Bayes - it

Në shekullin e 18th Reverend Thomas Bayes, një

ministër angles i ka shtruar vetit pyetje. A ekziston me

të vertetë Zoti?

Duke qenë i interesuar në matematikë ai ka tentuar të

zhvillojë një formulë që të arrijë te probabiliteti se

Zoti ekziston bazuar në evidenca të disponueshme në

tokë.

Më vonë Laplace e ka ridefinuar punën e Bayes-it dhe

i ka dhënë emrin “ Teorema e Bayes-it”

29

Teorema e Bayes’t

Simbolet e formul[s do t[ spjegohen p[rmes shembullit

vijues, mir[po, k[to simbole kryesisht i referohen probabiliteteve

me kusht

)|(*)()|(*)(

)|(*)()|(

2211

111

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

Shembull

Një prodhues kompjuterësh blen një qark të integruar nga tre

furnizues të ndryshëm I, II, III.

Prodhuesi merr 30% të qarqeve nga furnizuesi i parë, 20% nga

furnizuesi i dytë dhe 50% nga furnizuesi I tretë.

Nga përvoja e mëhershme dihet se3 % e qarqeve të marra nga

furnizuesi i parë , 5% e qarqeve nga furnizuesi i dytë dhe 4%

nga furnizuesi i tretë janë me defekt.

Detyrë

1. Llogaritni probabilitetin që një qark i integuar, i cili kontrollohet

para se të vendoset në kompjuter të jetë me defekt.

2. Sa është probabiliteti që qarku me defekt të jetë nga furnizuesi

i dytë.

30

Shembull- zgjidhje

Së pari përmbledhim informacionet me të cilat disponojmë:

Kemi tri ngjarje që janë tre furnizues/ Probabilitetet e njohura/apriori janë

A1 Qarku blehet nga furnizuesi i parë……P(A1)= 0.30

A2 Qarku blehet nga furnizuesi i dytë……. P(A2)= 0.20

A3 Qarku blehet nga furnizuesi i tretë…….. P(A3)= 0.50

Informata të tjera plotësuese janë :

B1 - Qarku është me defekt

B2 - Qarku është i rregullt / jo me defekt

Pobabilitet e kushtëzuara janë si më poshtë:

P(B1/A1 )= 0.03- Prob. se një qark është nga furnizuesi i parë.

P(B1/A2 )= 0.05- Prob. se një qark është nga furnizuesi i dytë.

P(B1/A3 )= 0.04- Prob. se një qark është nga furnizuesi i tretë.

Shembull- zgjidhje

Informacionin mund ta japim edhe përmes tabelës

vijuese:

Ngjarjet Ai Probabilitetet

e njohura

P( A1)

Probabilitetet

e kushtëzuara

P(B 1/Ai)

Probabiliteti i

përbashkët

P(A I dhe B1)

Probabiliteti i

rishikuar/aposteriori

P(Ai/B 1)

Furnz. i pare 0.3 0.03 0.009 =0.3 x0.03 0.009/0.039=0.2308

Furnz. i dytë 0.20 0.05 0.010=0.20x0.05 0.010/0.039=0.2564

Furnz. i tretë

0.5 0.04 0.020=0.5x0.04

0.020/0.039=0.5128

P(B 1 )=0.039

(probabiliteti total)

1.0000

31

Shembull- zgjidhje

2 1 22 1

1 1 2 2 2 31 1 1

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

(0.20) (0.05)

(0.30) (0.03) (0.20) (0.05) (0.50) (0.04)

0.0100.2564

0.039

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A

Probabiliteti se qarku me defekt është nga furnizuesi i parë

mund të gjindet me Teoremën e Bayes-it. Ne dëshirojmë të

llogarisim P(A2/B1 ), ku A2 i referohet furnizuesit të dytë dhe B1

faktit se qarku i zgjedhur është me defekt.

Disa parime të llogaritjes

Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme:

Rregulla 1.

Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja.

Shembull 10:

Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë:

Përgjigje:

3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme

5-37

32

Rregullat e llogaritjes

• Rregulla 2

– Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente sipas

rregullit është:

– Shembull:

• Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në

sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj?

Përgjigje:

5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme.

n! = (n)(n – 1)…(1)

(vazhdim)


Rregulla 3.

Permutacionet: çdo regullim i X elementeve i zgjedhur nga

n elementet e mundshme.

Shembull:

Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet

të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të

porositet dreka?

Përgjigje:

.

Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e rëndësishme te

permutacionet.

(vazhdim)

X)!(n

n!Pxn

n x

n! 5! 120P 60

(n X)! (5 3)! 2

33


Rregulla 4 Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes së x

elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar

renditjen

Shembull:

Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të

zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet

kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.

Përgjigje:

(vazhdim

X)!(nX!

n!Cxn

10(6)(2)

120

3)!(53!

5!

X)!(nX!

n!Cxn

Konceptet kyçe

Probabiliteti

Eksperimenti

Rezultati

Ngjarja

Hapësira e mostrës

Probabiliteti apriori

Probabiliteti aposteriori

Probabiliteti subjektiv

Ngjarje e thjeshtë

Ngjarje komplementare

Ngjarjet e papajtueshme

Ngjarjet e domosdoshme

Ngjarjet e kushtëzuara

Regulla aditive e thjeshte


Rregulla komplementare

Rregulla e multiplikatorit


Permuatacionet

Kombinacionet

Variacionet

konceptet baze te probabilitetit 1

Documents