konstrukcije. unutrasnje sile
DESCRIPTION
TeorijaTRANSCRIPT
VRSTE KONSTRUKCIJA
Konstrukcija: geometrija + opterećenja - Proračunski modeli (sheme) konstrukcije
(1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova:
- Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji
- Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije
- Masivne konstrukcije
(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti:
- Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi:
• Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije
Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: 0x =∑ ; 0y =∑ ; 0M =∑
Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 44
(3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru:
• ravninske konstrukcije • prostorne konstrukcije
VRSTE OPTEREĆENJA
1) Po promjenljivosti u vremenu: • statička opterećenja
• dinamička opterećenja 2) Po načinu prijenosa na konstrukciju:
• koncentrirano opterećenje
• kontinuirano opterećenje
3) Statička opterećenja dijele se na: • Stalno opterećenje – mrtvi teret
• Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.
• Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 45
STRUKTURA KONSTRUKCIJE
Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom
Unutrašnje veze
Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje
a) štapna veza – štap
- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela
- statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)
I II I II
b) zglobna veza – zglob
Jednostruki zglob
I II
- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela
- statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile
A
B C
A
B D
C
E
materijalni zglob nematerijalni zglob
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 46
Višestruki zglob
Kolikostruki zglob:
1ni −= ; n je broj zglobno spojenih elemenata Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: i2)1n(2Os =−=
c) kruta veza – uklještenje
I II
• kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka
• statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment
V
V
H
HM M
K d
V
ruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa.
) kruta pomična veza – pomično uklještenje
• kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja
• statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment
edrana Kozulić Tehnička mehanika 1 47
Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 48
Vanjske veze
Najčešći tipovi ležajnih veza:
F Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnjaslobode, jedna sila veze
Fx
Fy
Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode,dvije sile veze
M
Fx
Fy
Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanjslobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)
Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode(translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 49
KINEMATIČKA STABILNOST
Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke
M
U ravnini
M
U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: točka se mora vezati sa 2 štapa
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi ne smiju ležati na istom pravcu
A B
C
ispravno neispravnoA B
C
mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav
Vezivanje tijela
U ravnini U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 50
Geometrijski promjenljivi sistemi – mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata
Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije
elemenata Slučaj geometrijske promjenljivosti:
Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini a) trima štapovima; b) kombinacijom štapa i zgloba; c) krutom vezom
I II
a)
I II
b)
c)
I II
Treba paziti na raspored veza!
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)
- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:
I II
I
II
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 51
Postupno spajanje diskova
III IVI II
Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava
Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom.
jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav
A
B
C
dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav
jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav
A B
C
D E
I II
dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijskinepromjenljiv sustav → statički određen sustav
F
IA B
II
C D
E
dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 52
Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule:
lnni2nn2n3s ziščd −∑−−+=
s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava dn - broj diskova; - broj čvorova; - broj štapova; - broj ležajnih veza; čn šn ln
zin - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)
K+++=∑=
3z2z1zn
1izi n6n4n2ni2
0s = : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav
0s < : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav
0s > : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena:
0s ≤ : ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza
s = −1
geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 53
Primjer 1: A B C
D E
F G
Analiza 1. broj diskova 2nd = broj čvorova 2nč = (točke F i G) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 1n 1z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 031252223s =−⋅−−⋅+⋅=
Analiza 2. broj diskova 7nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 0nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke D i E) broj dvostrukih zglobova 2n 2z = (točke F i G) broj trostrukih zglobova 1n 3z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 0316242273s =−⋅−⋅−⋅−⋅=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 54
STATIKA REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA
Pretpostavke o konstrukciji:
(1) sustav je sklopljen iz pravocrtnih štapova
(2) štapovi sustava su prizmatični, konstantnog presjeka
(3) međusobno su vezani u čvorove idealnim zglobovima (bez trenja)
(4) opterećenja su zadana u smjeru osi štapa i u čvorovima sustava
Kinematička stabilnost i statička određenost
Nužan uvjet kinematičke stabilnosti osnovni geometrijski nepromjenljiv lik sastavljen od štapova - trokut
7
6
9
5
6
7
4
1
2
3
2
3
1
4
5
8
10
11
formiranje rešetkastog diska Broj štapova nš koji je dovoljan da rešetkasti disk s brojem čvorova nč bude geometrijski nepromjenljiv:
3n22)3n(3n ččš −=⋅−+= Da bi rešetkasti disk postao nosač:
čš n2n =
Ispitivanje dovoljnog uvjeta kinematičke stabilnosti: - kinematičkim metodama (preko načina vezivanja: na elementaran način ili temeljem baznog
nepromjenljivog lika)
- statičkim metodama
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 55
Ispitivanje geometrijske nepromjenljivosti:
Način vezivanja na elementaran način:
12
11
10 8
9
7
6
5
4
3
1
2
1
2
3
4
5
6
01226s =−×=
Temeljem baznog nepromjenljivog lika:
1
2 4 6
3 5 7
1
2 6 10
3 7
115 94 8
Sile u rešetkastim konstrukcijama 1. Vanjske sile: aktivne (sile opterećenja) i pasivne (reakcije) 2. Unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova Određivanje sila u ležajnim vezama (reakcija): - kao kod krutih tijela u ravnini ili
- kao kod ostalih štapova rešetke Sile na štap Čvor rešetkaste konstrukcije
(+) vlakSi Si
i
( ) tlak−Si Si
i
Si+1 Si+1
i+1
Si+2 Si+2
i+2
i
Si
Si
i+3
Si+3
Si+3
Pj
j
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 56
Vrste rešetki
Naziv rešetke: - prema načinu vezivanja: konzolna, gredna, gredna s prepustima, trozglobna, lučna, rešetkasti
stup, itd. - ovisno o geometriji unutrašnjih štapova (ispune): V, N, K rešetka
štapovi gornjeg ruba - gornji pojas štapovi donjeg ruba - donji pojas
pojasevi: poligonalni i ravni (spec.) paralelni ako je štap ispune uspravan - uspravnica ili vertikala; ako je štap pod kutem - kosnik ili dijagonala
Konzolne N rešetke
V rešetka
K rešetka
Gerberova rešetka
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 57
Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija
1. Metode čvorova:
− Analitičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor • Metoda svih čvorova odjednom
− Grafičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor (zasebno crtano) • Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) - Cremona
2. Metode presjeka:
− Analitička metoda (Ritter-ova metoda) − Grafička metoda (Culmann-ova metoda)
Izbor metode ovisi o cilju proračuna. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače:
1. 2.
S1 = S = 0 2
S2S1
S1= − PS2
S1
P
S = 02
3. 4.
S3S1
S = 03
S2
S3S1
S2P
.
5.
S3S4
S = S1 3
S2S1
S = S2 4
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 58
Metode čvorova
a) Metoda čvor po čvor - grafička primjena
V2
1
2
3 5
4
6
7
8
9
10
12
11
V3V1
H1
H2
1
2
3
4
5
6
čvor 1
V1
H1
S1
S2
čvor 2
H2
S1S3
S4
čvor 3
V2S5
S2
S3
S6
čvor 4
S7
S4
S5
S8
čvor 5
V3
S10
S9
S6
S7
čvor 6
S8
S9
S11
S12 -- Maxwell-Cremonin plan sila
V2
a
c
d
e
f
g
h
i
b j
l
k
V3V1
H1
H2
1
2
3
4
5
6
plan silaMaxwell / Cremona
a
c
f
g
b
j
d
e
h
i
k
l
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 59
b) Metoda čvor po čvor - analitička primjena Primjer: Konzolna N rešetka
V2 V3
1
2 6 10
3 7 115 9
4 8 12
V1
H1
H2
1
2 4 6
3 5
α α α
S1
S2
S1 S5 S9
S4 S8 S12
S3 S7 S11
S2 S6 S10
S3 S7 S11S5 S9
S6 S10
S4 S8 S12 Jednadžbe ravnoteže:
α−=→=
−α−=→=
α−=→=
−α−=→=
α−=→=
−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
sinSS0Y
VsinSS0Y
sinSS0Y
VsinSS0Y
sinSS0Y
VS0Y
9116č
i
3795č
i
574č
i
2353č
i
132č
i
111č
i
α−=→=
α+=→=
α−=→=
α+=→=
−α−=→=
−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
cosSSS0X
cosSSS0X
cosSSS0X
cosSSS0X
HcosSS0X
HS0X
118126č
i
76105č
i
7484č
i
3263č
i
2342č
i
121č
i
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 60
Primjer: Gredna V rešetka
V1 V2BAy
α α α1
2 4 6
3 5S4
S8S4
S8
7
1
2 6 10
3 7
115 94 8
S2
S1S5 S9
S3S7
S11
S6 S10
S1
S2
S3
S5
S6
S7
S9
S10
S11
Prethodno se moraju odrediti reakcije.
Jednadžbe ravnoteže:
aiskorišten već0Y
SS0Y
sinVSS0Y
SS0Y
sinVSS0Y
SS0Y
sinAS0Y
7či
9116č
i
2895č
i
584č
i
1453č
i
142č
i
y11č
i
→=
−=→=
α+−=→=
−=→=
α+−=→=
−=→=
α−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
aiskorišten već0X
aiskorišten već0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(S0X
cosSS0X
7či
6či
986105č
i
85374č
i
54263č
i
4132č
i
121č
i
→=
→=
α−+=→=
α−+=→=
α−+=→=
α−=→=
α−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 61
Metode presjeka
a) Metoda presjeka - grafička primjena (Culmannova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka
AB
F2
Rd
R
RlF1G
t
t
K
D
c
F2
F1
RA
B
RlGcK
D
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
0BAFF 21 =+++ ravnoteža čitave rešetke:
ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFAc
1 =++++ 321
Primjer: 'K' rešetka
AB
F2
Rd
R
Rl
F1
Gt
tD
c
F2
F1
RA
B
Rl
Gc
K
D
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
K1
K2
K1
K2
21 KKK += ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFA 1 =++++
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 62
b) Metoda presjeka - analitička primjena (Ritterova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka
AB
F2
Rd
R
RlF1
G
t
t
K
D
F2
F1
RA
B
Rl
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
RKrk RG
RD
rg
rd
dg
k
Uvjeti ravnoteže lijevog dijela rešetke:
0MGgRrGgM
0MKkRrKkM
0MDdRrDdM
0RgR
0RkR
0RdR
GG
KK
DD
=−⋅−=⋅−⋅−=
=+⋅=⋅+⋅=
=−⋅=⋅−⋅=
∑
∑
∑
l
l
l
Vrijednosti sila u presjeku t-t:
gM
Rgr
G
kM
RkrK
dM
RdrD
0Rg
0Rk
0Rd
G
K
D
−=⋅−=
−=⋅−=
=⋅=
l
l
l
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 63
Analitička metoda presjeka u slučaju paralelnih pojaseva
G
D
K
t
t
α
V V V V V V V 3.5 V3.5 V
RG
RD
g d
Sustav jednadžbi:
d
MD0M
0R
RD
D=→=∑
α=→=
−−∑ sin
TK0Ytt
tti -- uvjet ravnoteže projekcije sila u smjer
okomito na pojasne štapove
g
MG0M
0R
RG
G=→=∑
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 64
KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA
Statički određeni sustavi 0s =
Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti:
• punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi
Vrste statički određenih sustava
Konzola
Konzolna greda
Konzolnistup
Konzola proizvoljnog oblika
Prosta greda
Greda s prepustom
Greda s dva prepusta
Greda spojena s podlogom s tri štapa
Poluokviri
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 65
Okviri
Trozglobni štapni sistemi
trozglobni luk trozglobni okvir
Indirektno opterećena greda
Gerberov nosač
Ojačana greda
Ojačana greda s prepustima
Okvir sa zategom Luk sa zategom
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 66
Okviri sazategama
Poduprte grede
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 67
Statički neodređeni sustavi 0s <
Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.
Vrste statički neodređenih sustava
Obostrano upeta greda
Obostrano upeti okvir
Obostrano upeti poluokvir
Obostrano kruto spojen luk, iliobostrano upeti luk, naziva se isamo: upeti luk
Kontinuirana greda
Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima
Kontinuirani okvir s upetim stupovima
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 68
Ojačane grede
Okviri i lukovi sa zategama
Poduprte grede
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 69
OPĆE KARAKTERISTIKE STATIČKI ODREĐENIH NOSAČA
1. Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. 2. Kod statički određenih nosača reakcije i unutrašnje sile ne ovise o obliku i veličini
poprečnog presjeka elemenata niti o materijalu iz kojeg su napravljeni pojedini elementi nosača.
3. Kod statički određenih sustava ne pojavljuju se reakcije i unutrašnje sile zbog djelovanja
promjene temperature, popuštanja oslonaca ili uslijed netočno izvedenog pojedinog elementa u sustavu.
4. Ako se kod statički određenog sustava opterećenje na dijelu jednog diska zamijeni statički
ekvivalentnim opterećenjem, neće doći do promjene reakcija kao ni unutarnjih sila na ostalom dijelu sustava izvan tog područja.
A B
P p
M
+
5. Statički određeni nosači nemaju rezervu u pogledu stabilnosti ako dođe do raskida neke
vanjske ili unutrašnje veze. Ako dođe do popuštanja na mjestu jedne veze, dolazi do gubitka stabilnosti sustava ili dijela sustava.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 70
SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA
Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile
q1
P1 q2 P2
P3
BH
A
B
C
BV
AV
AH
P4
Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza - unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku
A
B
C
P1
P2q
D
E
F
I
II
III
BH
BV
AV
AH
P2
D
F
A
C
q
D
B
C
P1
E
DH
DV
CH
CV
CVCH
S
S
DV
DH
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 71
Određivanje reaktivnih sila
F
L1
L2
L3
BCA
F
BCA
F
B
CA FB
A
Sustav Štapni model
Grafičkouravnoteženje
Prosta greda
Zglobni ležaj(dvije veze)
Klizni ležaj(jedna veza)
Trokut sila
Analitičko rješenje
B
Ax
Ay
Fx
Fy
a bL
yyA
yyyyB
xxi
FLaB0FaBL:0M.3
FLbA0FbAL:0M.2
FA0X.1
⋅=→=⋅+⋅−=
⋅=→=⋅−⋅=
=→=
∑
∑
∑
---------------------------------------------------------------- Kontrola: 0Yi =∑
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 72
Unutrašnje sile u presjecima Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustava djeluje na drugi.
F21
1Presjek
F1F3
F1
Trokut sila
F2
F3
F1
F2
F3
F1-1
M1-1
M1-1
F1-1
F1
F2
F3
T1-1
M1-1
M1-1
N1-1
T1-1
N1-1
Tri unutrašnje sile u presjeku: uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna sila moment savijanja (M) Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava.
Definicije unutrašnjih sila u presjeku Uzdužna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka. Pop rečna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka. Momen t s av i j an j a u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 73
Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija) Klasična (na elementu):
Pozitivni smjerovi
M M
T T
N N
Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak. Poprečna sila T je pozitivna ako dio sustava na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanja kazaljke na satu. Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjim vlakancima elementa. Suvremena (u presjeku): (kompjutorske metode)
u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava
Presjek
Os elementa
MT
N
Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 74
Dijagrami unutrašnjih sila
To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava. Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama.
F2
1
1
F1F3
F1x
F1y
F3x
F3y
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
F3xF1x
Nx
−
F3y
Tx
−
+F1y F2
Mx
+
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 75
SILE U GREDNIM NOSAČIMA
Greda - štapni element koji ima potrebna ležajna pričvršćenja a može nositi bilo koje opterećenje.
Poprečna sila i moment savijanja u gredi
BA
a b c d e
P q M
x
y
l
BA x
P q M
A x
P
B
q M
q
Tx
Mx
Tx
Mx
a) Zadana greda s opterećenjem
b) Sile opterećenja na gredu
c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku x
Tx
MxTx
Mx
a) Unutrašnje sile u presjeku (pozitivna poprečna sila i pozitivan moment savijanja)
b) Utjecaj poprečne sile
c) Utjecaj momenta savijanja
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 76
Sile u presjeku x dobivaju se analizom ravnoteže dijela grede lijevo ili desno od presjeka.
BA
P q MO
A x
P
B
Tx
Mx
Tx
Mx
a b c d e
l
A x
P q
Tx
Mx
A x Tx
Mx
x
MO
B
Tx
Mx
x
AP
Bq c.
T - dijagramx
−
+
MOMmax
+
M - dijagramx
ax0 << xAM;AT xx ⋅==
)ba(xa +<< PATx −=
)ax(PxAMx −⋅−⋅=
)cba(x)ba( ++<<+
)bax(qPATx −−⋅−−=
2)bax(q)ax(PxAM
2
x−−−−⋅−⋅=
)dcba(x)cba( +++<<++
BTx −=
Ox M)x(BM +−⋅= l
ll <<− x)e( BTx −=
)x(BMx −⋅= l
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 77
Diferencijalne veze između opterećenja i sila presjeka
i j
dx1 2 1 2
px
nx
Mx
Nx
Tx Tx+dTx
Nx+dNx
Mx+dMx
dx
px
nx
Mi
Ni
Ti Tj
Nj
Mj
x+dxx a) Element linijskog nosača b) Izdvojeni diferencijalni element Uvjeti ravnoteže diferencijalnog elementa grede:
1. :0Fy∑ = 0dxp)dTT(T xxxx =−+−
dxpdT xx −=
xx pdx
dT−= (1)
2. :0M2∑ = 0)dMM(2dxpdxTM xx
2xxx =+−−+
2dxpdxTdM
2xxx +−=−
xx Tdx
dM= (2)
Deriviranjem (2) po varijabli x i uvrštavanjem u (1) dobiva se:
dxdT
dxMd x
2x
2=
odnosno x2x
2p
dxMd
−= (3)
3. :0Fx∑ = 0)dNN(dxnN xxxx =+++−
dxndN xx −=
xx ndx
dN−= (4)
• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju poprečne sile u nekoj točki grede jednak je
negativnoj vrijednosti intenziteta kontinuiranog opterećenja u toj točki.
• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju momenta savijanja u nekoj točki grede jednak je poprečnoj sili u istoj točki.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 78
Veza između poprečne sile i opterećenja kada je opterećenje koncentrirana sila
Mil
Nil
Til
Pi
Tid
Nid
Mid
Suma projekcija sila na pravac djelovanja sile Pi mora biti jednaka nuli:
ii
idiii
dii
PT
TTT0PTT
=∆⇒
∆=−=−− ll
Skok u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu djelovanja koncentrirane sile. Na tom mjestu u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se lom.
T
M
+−
P
P
+
T
M
+ P
P
+
T
M
P
P
+
−
+
Skok u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se samo na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment.
T
M
+
+
M
+
MO
MO
T
+
MO
MO
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 79
U području konstantnog vertikalnog kontinuiranog opterećenja ( ): .konstpx =
T
M
q
a
q a.
Mmax+
+
−
Lom u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu na kojemu se mijenja intenzitet kontinuiranog opterećenja.
T
M
pL pD
dxdT
dxdT
pp DLDL ≠⇒≠
dxdM
dxdM
TT DLDL =⇒=
DL MM =
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 80
Integralne veze između opterećenja i sila presjeka
1. ∫∫ −=−=−=→−= ==
=
=
2
11212
2
1
x
xxxxxxxx
xx
xxxx
x dxpTTTTdTpdxdT
43421
x
2
1
p dijagramaispod površina
x
xx12 dxpTT ∫−=
2. ∫∫ =−=−=→= ==
=
=
2
11212
2
1
x
xxxxxxxx
xx
xxxx
x dxTMMMMdMTdxdM
43421
x
2
1
T dijagramaispod površina
x
xx12 dxTMM ∫+=
Različiti slučajevi opterećenja:
0px = :
.konstTT 0x == − konstanta, funkcija 0. stupnja
xcMM 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)
ppx = (konstanta, funkcija 0. stupnja):
xbTT 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)
2210x xcxcMM ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)
xapp 0x += (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):
2210x xbxbTT ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)
33
2210x xcxcxcMM +++= − funkcija 3. stupnja (kubna parabola)
xsinpp 0x α= (trigonometrijska funkcija):
xcospTT 00x αα⋅+=
xsinpxTMM 2000x αα⋅++=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 81
Primjer Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje.
a b c d
d/2
A BC
D E−
+
MC
MD ME
MB
−
M
T
TA TCl
TCd TD
l
TB− −
+
qPB
MB
PDPCPA
parabola 20
Prvo treba naći dijagram poprečnih sila.
-- na dijelu AC: a
MTT C
CA −== l
-- na dijelu CD: b
MMTT DC
DdC
+== l
-- na dijelu DE: 0TDE =
-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija:
dMM
22dMM
T , 0T BEBEBE
+−=
+−==
Opterećenje grede: -- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile:
AA TP = ; dCCC TTP += l ; l
DD TP = ; BB TP =
-- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q:
dT
q B=
-- u točki B djeluje koncentrirani moment BMM =
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 82
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
Dijagrami unutrašnjih sila za različite vrste opterećenja
Opterećenje simetričnom koncentriranom silom
P
L/2 L/2
M =PL/4max
A B
P
A =P/20 B =P/20
+
−
A0
B0
P
Nx
Tx
Mx
+
∑ = 0Fx : 0Ax =
∑ = 0MB : 02LPLAy =⋅+⋅−
2PAA 0
y ==
∑ = 0MA : 02LPLB =⋅−⋅
2PBB 0 ==
xx pdx
dT−= ; x
x TdxdM
=
x2x
2p
dxMd
−=
Opterećenje nesimetričnom koncentriranom silom
P
a b
M =Pab/Lmax
A B
+
−
A0
B0
P
Nx
Tx
Mx
+
A0 B0
L
∑ = 0Fx : 0Ax = ∑ = 0MB : 0bPLAy =⋅+⋅−
LbPAA 0
y⋅==
∑ = 0MA : 0aPLB =⋅−⋅
LaPBB 0 ⋅==
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 83
Opterećenje dvjema koncentriranim silama
P
a c
A BP
a
LA =P0 B =P0
M=Pa
+
−
A0
B0
P Tx
Mx
+
P
Poprečno opterećenje - simetrično
∑ = 0Fx : 0Ax =
∑ = 0MB : 0)aL(PaPLAy =−+⋅+⋅−
PAA 0y ==
∑ = 0MA : 0)aL(PaPLB =−−⋅−⋅
PBB 0 == Tx - antisimetričan dijagram Mx - simetričan dijagram
Jednoliko raspodijeljeno opterećenje
q
L
+
−
A =qL/20 B =qL/20
A0
B0
+
M =max qL /82
Tx
Mx
qL /82
∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−
2LqA0 =
∑ = 0MA : 2LqB0 =
( )x2Lqxq2
LqxqAT 0x −=−=−=
Tx - antisimetričan
( )xL2xq
2xxqx2
Lq2xxqxAM 0
x −=−=−=
Mx – simetričan
Mjesto i veličina maksimalnog momenta:
0dxdMx = ; 0TTdx
dMxx
x =→=
2Lx0xq2
Lq =⇒=− → 8Lq
2)2L(q2
L2LqM
22
max =−=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 84
Opterećenje koncentriranim momentom
M
a b
A B
−
Tx
Mx
+
L
MM/L
M/L
M/LM/L
MMa/L
Mb/L
−
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 85
Jednoliko raspodijeljeno opterećenje
q
L
+
−
A =qL/20 B =qL/20
A0
B0
+
M =max qL /82
Tx
Mx
qL /82
∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−
2LqA0 =
∑ = 0MA : 2LqB0 =
( )x2Lqxq2
LqxqAT 0x −=−=−=
Tx - antisimetričan
( )xL2xq
2xxqx2
Lq2xxqxAM 0
x −=−=−=
Mx - simetričan
Mjesto i veličina maksimalnog momenta:
0dxdMx = ; 0TTdx
dMxx
x =→=
2Lx0xq2
Lq =⇒=− → 8Lq
2)2L(q2
L2LqM
22
max =−=
Jednoliko antisimetrično raspodijeljeno opterećenje
q
+
A =qL/40
B =qL/40
A0 B0+
q(L/2) /82
Tx
Mx
A B
qL/2 L/2
q
q
−
+
−
q(L/2) /82
q(L/2) /82
q(L/2) /82
∑ = 0MB : 4LqA0 =
∑ = 0MA : 4LqB0 =
4LqT minmax/ ±=
Tx dijagram - simetričan
8)2L(qM2
minmax/ ±=
Mx dijagram - antisimetričan
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 86
Jednoliko nesimetrično opterećenje
p
A BL/2 L/2
p/2=
p/2
p/2+
L/43L/8
A0
B0
Tx
−
+
+
Mx
p(L/2) /82
p(L/2) /82
9pL
/128
2
pL /162
parabola 20
Superpozicija: Nesimetrično opterećenje =
simetrično + antisimetrično
∑ = 0MB : Lp83A0 =
∑ = 0MA : Lp81B0 =
xpLp83Tx −=
2xpxLp8
3M2
x −⋅=
maxM :
0dxdMx = 8
L3x0Tx =→=→
2
max 8L3
2p
8L3Lp8
3M ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅=
2max Lp128
9M =
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 87
Linearno raspodijeljeno opterećenje
3Lx =
q
A B
a=2L/3
L
b=L/3
px
A2x/3 x/3
Q
x
Tx
Mx
Qx
3Lx =
L/2 L/2
A
BQ
+
−
αB
αA
Tx
Mx
βBβA
Qab
/L =
pL
/92Mmax
Zadano opterećenje: Lxqpx ⋅=
Ravnoteža cijelog sustava
ekvivalentno opterećenje: Lq21Q ⋅=
∑ = 0MB : Lq61Q3
1A ==
∑ = 0MA : Lq31Q3
2B ==
Kontrola: ∑ =−+= 0QBAFy
U presjeku na udaljenosti x
ekvivalentno opterećenje:
Lxq2
1xp21Q
2xx ⋅=⋅=
xxy QAT0F −=→=∑
[ ]2x )Lx(316
LqT −=
T - dijagram - kvadratna parabola
ležaj A: AA tg0pdxdT α==−=
ležaj B: BB tgqpdxdT α=−=−=
x31QxAM0M xxx ⋅−⋅=→=∑
[ ]2x )Lx(1x6
LqM −=
M - dijagram - kubna parabola
qL61
LbQATdx
dMtg xA =====β
qL31
LaQBTdx
dMtg xB −=−=−===β
za : maxM 0dxdMx =
0)Lx(310T 2x =−→=→
L577.03
Lx ==
)L577.0x(MM xmax == 2
max Lq39
1M =
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 88
Indirektno opterećena greda
P
a b
M =Pab/L0
A B
M+
L
P
M0
A BM
+
−
M na gornjem štapux −
M na gredi ABx +
x
P
M0
A B
M na gornjem štapux −
M na gredi ABx +
x
A=P b / L
M =Pab/L0
B=P a/ L
P
M0
A BM
+
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 89
Konzola
L
P
A
M =P LA −
+
A
P
Tx
Mx
A=P
MA
L
M =MA −
A
T =0x
Mx
MAM
M
Desna konzola Lijeva konzola
q
L
M =qL /2A2
A=qL
MA
A
−
+
Tx
Mx
q
L
qL /22
A=qL
MA
A
Tx
Mx
qL /82
−
qL /82 −
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 90
Greda s prepustima
q
L
+
A B
M =max qL /82
Mx
qL /82
P
ba
Superpozicija:
q
q
A
P+
qa /22− P b.
=qa /22
−
P b.
+
−
−
+
−
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 91