kontrakty forward
DESCRIPTION
KONTRAKTY FORWARD. Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Kontrakty forward na stopę procentową waluty zagranicznej Kontrakty na stopę procentową. Przypomnienie podstawowych idei wyceny kontraktów terminowych. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
KONTRAKTY FORWARDSprawiedliwa cena wykonania kontraktu
forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Kontrakty forward na stopę procentową waluty zagranicznej
Kontrakty na stopę procentową
Przypomnienie podstawowych idei wyceny kontraktów terminowych
Brak arbitrażu, równość oprocentowani kredytów i lokat
Zerowanie się strumienia zdyskontowanych przepływów finansowych
Równoważność zdyskontowanych przepływów w różnych strategiach
Wzór na cenę forward i wartość kontraktu
F0 > S0 erT strategia Apożyczka, zakup waloru, krótka poz.; sprzedaż waloru w ramach realiz. kontr., zwrot pożyczki
wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje pożyczyć w banku kwotę S0
zakupić walor na rynku za S0
zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F0
zaś w chwili t = T :
zrealizować kontrakt z ceną F0
zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT
Różnica F0 - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia
F0 < S0 erT strategia B krótka sprzedaż waloru, lokata, długa poz.; kupno – realiz. Kontr., oddanie waloru
w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S0 (krótka sprzedaż
waloru) kwotę S0 zdeponować w banku
zawrzeć kontrakt kupna z ceną F0
w chwili t = T należy:
wycofać z banku depozyt w kwocie S0 erT
zrealizować kontrakt kupna z ceną F oddać walor zamykając krótką sprzedaż
Różnica S0 erT - F0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia
Interpretacja wzoru F0 = S0 erT
Po elementarnych przekształceniach:
(2) - S0 + F0/ erT = 0
W zmodyfikowanej strategii strategia A – bez pożyczki: kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu:
S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,
F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.
UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii (A’) jest równy zeru.
Interpretacja wzoru F0 = S0 erT
Porównanie strategii A’ i B’Wzór (1) jest równoważny wzorowi (3) - S0 + (ST)/erT = - F0/ erT
+ (ST)/erT
gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T
Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii A’:
kupno waloru za S0 w chwili t=0,
sprzedaż waloru za ST w chwili t = T,
Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii B’ :
W chwili t = 0; długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0, lokata
w banku kwoty F0 / e rT
w chwili t=T; Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST,
UWAGA 2. Strategie A’ oraz B’ są równoważne
Cena terminowa kontraktu forward
Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w chwili
t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu
forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz
terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St .
WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi
(4) Ft = St er (T - t)
ponadto po uproszczeniach:
(4’) F = S erT, T - czas do realiz., S cena waloru na T przed realizacją
Wartość kontraktu terminowego kupnadefinicja
Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T].
DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór
(5) ft = St - e-r(T-t) F0
(f = S - e-rT K) Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy
ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu
S
Wartość kontraktu terminowego kupna c. d.
(7) ft = St - S0 ert
kolejna interpretacja wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t
Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K
Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy kontraktu
zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] )
(5’) ft = St - e-r(T-t) K
(6’) ft = e-r(T- t) (Ft - K )
lub po uproszczenaich:
(8) f = S - e-rT K
(9) f = e-rT (F- K )
S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu
Wartość kontraktu terminowego sprzedaży
Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania.
Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to (10) ft = e-r(T-t) F0 - St
(10’) ( f = e-rT K - S )
Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy f0= e-rT F0 - S0 = 0
fT = F0 - ST
Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe (dyskretne lub ciągłe)
aktywa generujące dyskretne wpływy aktywa generujące dyskretne koszty aktywa generujące stałą stopę zwrotu wypłacaną w
sposób ciągły aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do
wartości aktywa
Kontrakty forward na waluty Kontrakty na stopę procentową
Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.
(akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania)
Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez
C1, ..., Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody
posiadacza aktywa, ujemne – koszty.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2.
strategia A’ (trzymanie waloru):
w chwili t=0 kupno waloru za S0, realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t1,..,tn
w chwili t = T sprzedaż waloru za ST,strategia B’ (kontrakt + lokata bankowa): w chwili t=0 długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0 , lokata w banku
kwoty F0/ erT, w chwili t = T wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 ,
sprzedaż waloru za ST
Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: - S0 + (C1)/ert
1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT
Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II:
- F0/ erT + (ST)/erT
Wobec równoważności obu strategii - S0 + (C1)/ert
1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT = - F0/ erT
+ (ST)/erT
Stąd wyliczamy F0
(14) F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert
n )] erT
Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej w chwili t =T ceny waloru w chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C1, ...,Cn.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert
n )] erT
(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT symbolicznie
(16) F = (S – PV) erT
Po elementarnych przekształceniach wzoru (15):
- S0 + Σi PV(Ci) + F0/ erT = 0
W strategii : kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru
za F0 w ramach realizacji kontraktu:
S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,
Ci i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T]
F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.
Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) erT Stosujemy strategię: (t = 0) pożyczamy walor (przejmujemy tym samym obowiązek wypłat), dokonujemy
krótkiej sprzedaży uzyskując S,pieniądze w kwocie (S - PV) lokujemy przy stopie r na okres T, Pozostałą kwotę - czyli PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej
dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować;
zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t <T) realizujemy przepływy (wypłaty) (t =T)
podejmujemy kwotę (S - PV) erT , realizujemy kontrakt kupując walor za F’ Kwota [(S - PV) erT – F’] jest arbitrażowym zyskiem
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe
Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) erT Stosujemy strategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t <T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę
t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) )
(t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’
wartość naszej inwestycji w tym momencie to (S - PV) erT Kwota [F’- (S - PV) erT ] jest arbitrażowym zyskiem
Kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe
Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5 - letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację (z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie)
(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT
t1=0,5; t2=1; T=1
F0 = (930 – 40/e0,08*0,5 - 40/e0,08 )e0,08 = 925,8245
Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł
Kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe
Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca .
(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT
t1=0; t2= 0,25; t3= 0,5; T = 0,75
F0 = (8730 + 150 + 150 /e0,06*0,25 + 150 /e0,06*0,5 )e0,06 *0,75
= (8730 + 150 + 147,668 + 145,567 ) 1,046 = 9595,563
Cena terminowa kontraktu forward wynosi 9595,56 $
Wartość kontraktu kupna na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K
Cena dostawy - K
Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna
f = e-rT (F- K )
wstawiamy wzór na cenę terminową F = (S – PV) erT
Otrzymujemy f = e-rT ((S – PV) erT - K ) = S – PV - K e-rT
(17) f = (S – PV) - K e-rT
Wartość kontraktu kupna na aktywa generujące przepływy. Przykład
Niech 102 $ będzie ceną dostawy w dziesięciomisięcznym kontrakcie forward na akcję, której aktualna cena wynosi 100 $.
Po 3, 6, 9 miesiącach przewidywane są wypłaty dywidend w wysokości 1,5 $ na akcję. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Ile wynosi wartość kontraktu kupna ?
f = S – PV - K e-rT
f = 100 – 1,5 (e -0,08*0,25 + e -0,08*0,5 + e -0,08*0,75 ) -102 e -0,08*0,8333
= 100 – 4,324 – 95,422 = 0,254
Wartość rozważanego kontraktu to 25,4 centa
Wartość kontraktu sprzedaży na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K
wartość kontraktu sprzedaży - według ogólnej zasady – jest równa minus wartość kontraktu kupna
(18) f = K e-rT - (S – PV)
Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu(np. akcje o stałej stopie dywidendy)
Stopa dywidendy w stosunku rocznym : q = wielkość rocznej dywidendy / cena akcji
Założenia dodatkowe Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie
dywidendy q Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie
portfela akcji) Cena akcji jest stała
Rozważmy następującą strategię: t=0 Zakup e-qT akcji o stopie dywidendy q Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=T Sprzedaż posiadanych akcji – realizacja kontraktu.
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy
Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qT akcji
Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-qT , zatem końcowa liczba to e-qT eqT = 1
Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e0,05*0,01- 1)=500,13;
umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy
Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami:
wydatkiem Se-qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.
Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość
- Se -qT + F/ erT
= 0, Skąd otrzymujemy
(19) F = S e(r-q)T
Przykład
Stopa dywidendy płaconej w sposób ciągły dla pewnej pewnej akcji
wynosi 4 % w skali roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi
8%. Cena tych akcji to 50 $. Wyznacz cenę terminową półrocznego kontraktu forward na tą akcję.
F = S e(r-q)T
S = 50; r = 0,08; q = 0,04; T = 0,5
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy
Można uzasadnić prawdziwość ostatniego wzoru z założenia braku arbitrażu
Przypuśćmy że F’ < F = S e(r-q)T
Strategia t=0:
dokonujemy krótkiej sprzedaży e-qT akcji,
kwotę Se-qT lokujemy przy stopie r
zajmujemy długą pozycję na kontrakcie forward na 1 akcję z ceną F’
t=T:
oddajemy zwiększoną liczbę akcji (dywidenda była inwestowana w akcje e-
qT eqT =1 ), mianowicie jedną akcję
Podejmujemy kwotę Se-qT e Tr
Realizacja kontraktu – kupno akcji za F’
Arbitrażowy zysk (S e(r-q)T – F’)
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy
Przypuśćmy że F’ > F = S e(r-q)T
Strategia, t=0: Zaciągamy pożyczkę na kwotę Se-qT
Kupujemy e-qT akcji przy cenie S zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie forward na akcję z ceną F’
t=T: Posiadamy 1 akcję (ciągle doliczana dywidenda była
inwestowana w akcje e-qT eqT =1 ) Realizacja kontraktu – sprzedaż akcji za F’ Oddajemy kwotę pożyczki z odsetkami Se-qT eTr
Arbitrażowy zysk (F’ – S e(r-q)T)
Wartość kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy
Podstawiając F ze wzoru
F = S e(r-q)T do ogólnego wzoru na wartość długiej pozycji na
kontrakcie forward f = e-rT (F- K )
Otrzymujemy wartość długiej pozycji na kontrakcie na akcję o znanej stopie dywidendy
(20) f = Se-qT - Ke-rT
Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa
Założenia dodatkowe Ponoszone koszty przechowania surowca stanowią w ciągu
roku ustalony procent (q) ceny aktywa (np. koszt magazynowania uncji złota może być proporcjonalny do jej ceny ) wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy
Koszty ponoszone są w sposób ciągły, poprzez zmniejszanie liczby aktywów (ciągła sprzedaż, by pokryć koszty magazynowania)
Przykładowo, gdyby inwestor w chwili początkowej miał 1 uncję złota, to po roku miałby tylko e-q uncji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e -qT uncji, gdzie q jest pewna liczbą dodatnią Cena aktywa jest stała
Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa
W przypadku akcji przynoszącej stałą dywidendę o stopie q liczba posiadanych akcji (aktywów) rosła zgodnie ze współczynnikiem eqT
Jeżeli aktywa wymagają nakładów, co powoduje redukcję liczby aktywów, to możemy przyjąć, że mamy ujemną stopę dywidendy. Zatem cena terminowa takiego kontraktu dana jest tym samym wzorem
F = S e(r-q)T ale q < 0 lub F = S e(r - (- |q|))T = S e( r + |q| )T
(21) F = S e( r + |q| )T
Liczba aktywów do wygaśnięcia kontraktu zmienia się według współczynnika e(- |q|)
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej
Sformułowanie problemu Obecny kurs waluty obcej wynosi S Stopa procentowa waluty krajowej wynosi r Stopa procentowa waluty zagranicznej wynosi rz
(obie stopy podlegają kapitalizacji ciągłej)
Aktualnie zawieramy kontrakt na sprzedaż waluty obcej z terminem realizacji T. Jaki powinien być kurs waluty obcej w tym czasie ?
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej
Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie w banku kwoty P na okres T t=T; Wycofanie depozytu P erT stratega II t=0; zakup P/S jednostek waluty obcej Zdeponowanie uzyskanej kwoty na okres T przy stopie rz
Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie kupna z terminem T i kursem waluty obcej F
t =T Wycofanie depozytu w kwocie (P/S) exp (rzT)
Zrealizowanie kontraktu – sprzedaż waluty po kursie F
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej. Parytet stóp procentowych
Żądamy- tak jak w poprzednich przypadkach - by obie strategie były równoważne. Zatem w chwili T liczby jednostek krajowej waluty muszą być równe, czyli:
P exp (rT ) = (P/S) exp (rzT) F
co oznacza, że
(22) F = S exp (r- rz)T
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Przykład
Dzisiejszy kurs Euro to 3,96 zł. Przyjmijmy, że wolna od ryzyka krajowa stopa procentowa wynosi 4,5%, zaś w strefie Euro 3,5%. Po jakim kursie powinno się kupić jedno Euro za pół roku ?
F = S exp (r - rz)T
F jest szukanym kursem euro
S= 3,96; r = 4,5%; rz = 3,5%; T =0,5
F = 3,97985
Kontrakt terminowy na stopę procentową
Kontrakt na stopę procentową polega na ustaleniu stopy procentowej dla pożyczki lub lokaty ustalonej wielkości w ustalonym, przyszłym przedziale czasu.
Często ważne będzie ustalenie w kontrakcie tylko przyszłej stopy procentowej
Załóżmy, że dane są ciągłe stopy procentowe obowiązujące od dziś do chwili t1 oraz do chwili t2.
Jaka stopa powinna obowiązywać dla lokat (pożyczek) w okresie (t1, t2) ?
Kontrakt terminowy na stopę procentową
Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie kwoty P, przy stopie r2 do chwili t2
t= t2; Wycofanie depozytu P exp (r2 t2)stratega II t =0; Zdeponowanie kwoty P przy stopie r1 do chwili t1 Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie z terminem t1 i stopą r t = t1 Wycofanie depozytu w kwocie P exp (r1 t1)
Zrealizowanie kontraktu – udzielenie pożyczki w kwocie P exp (r1 t1)
przy stopie r do chwili t2
t = t2
Odzyskanie kwoty pożyczki z odsetkami: P exp (r1 t1) exp [r ( t2 -t1)]
Kontrakt terminowy na stopę procentową
Obie strategie powinny być równoważne, gdyż w przeciwnym przypadku istniałaby możliwość arbitrażu.
Zatem kwoty uzyskane w obu strategiach w chwili t2 muszą być
równe
P exp (r2 t2) = P exp (r1 t1) exp [r ( t2 -t1)]
skąd otrzymujemy
(23) r = ( r2 t2 - r1 t1) / ( t2 - t1)
Jest to tzw. stopa terminowa, która powinna
obowiązywać w kontraktach dotyczących okresu (t1, t2)
Literatura
Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 Instrumenty pochodne – sympozjum
matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron
Warszawa 1998